| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Удивительная целочисленность собственных значений Ричард Кеньонa, Максим Концевичb, Олег Огиевецкийcdefg, Космин Похоатаh, Вилл Савинi, Семен Шлосманdcegjk a Yale University, New Haven, USA b Institut des Hautes Études Scientifiques, Bures-sur-Yvette, France c Université de Toulon, France d Aix-Marseille Université, France e CNRS – Center of Theoretical Physics, Marseille, France f Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук, Москва, Россия g Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН, Москва, Россия h Emory University, Atlanta, USA i Princeton University, Princeton, USA j Yanqi Lake Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications, China k Сколковский институт науки и технологий, территория Инновационного центра "Сколково", Москва, Россия
Английская версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324020072 
Реферативные базы данных:
   § 1. Основное утверждениеПусть $X=\{ \alpha_{1},\dots ,\alpha_{n}\} $ – это посет, т. е. частично упорядоченное множество, с частичным порядком $\preccurlyeq$. Линейным расширением $P$ частичного порядка $\preccurlyeq$ называется биекция $P\colon X\to[1,\dots,n]$ такая, что для любой пары элементов $\alpha_{i},\alpha_{j}$ такой, что $\alpha_{i}\preccurlyeq\alpha_{j}$, выполняется соотношение $P(\alpha_{i}) \leqslant P(\alpha_{j})$. Пусть $P,Q$ – два линейных расширения $\preccurlyeq$. Скажем, что на месте $Q^{-1}(k) \in X$ имеет место $(P,Q)$-конфликт (или, в терминологии Стенли, $(P,Q)$-спуск, [9]), если По определению на позиции $Q^{-1}(1) $ конфликта (т. е. $(P,Q)$-конфликта) не имеется. Сопоставим каждой паре $P,Q$ функцию $\varepsilon_{PQ}\colon \{ 1,\dots,n-1\} \to\{ 0,1\}$:
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{PQ}(k)= \begin{cases} 1, & \text{если }Q^{-1}(k+1)\ -\text{ это $(P,Q)$-спуск}, \\ 0 & \text{в противном случае}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1}
$$
Отметим, что для некоторых пар $(P,Q) \neq(P,Q') $ функции $\varepsilon_{PQ}$, $\varepsilon_{PQ'}$ могут совпадать (см. п. 4.3). Рассмотрим множество $\mathcal{E}=\{\varepsilon\colon \{ 1,\dots,n-1\} \to\{ 0,1\}\} $ из $2^{n-1}$ всевозможных функций $\varepsilon$ и сопоставим каждой из них соответствующую формальную переменную $a_{\varepsilon}$. Сопоставим каждому посету $X$ матрицу $M^{X}$, матричные элементы которой занумерованы парами $(P,Q) $ и задаются соотношением $(M^{X})_{PQ}=a_{\varepsilon_{PQ}}$. К примеру, возьмем посет $(X,\preccurlyeq) $ с тремя элементами и одним соотношением $X=\{\{u,v,w\},\,u<v\}$. Частичный порядок $\preccurlyeq$ допускает три линейных расширения: $u<v<w$, $u<w<v$ и $ w<u<v$. Пусть $P$ – это порядок $u<v<w$, а $Q$ – порядок $u<w<v$. Тогда $\varepsilon _{PQ}=(0,1)$, так как $2$ не является спуском (ибо $u<v$ и по упорядочению $Q$, и по упорядочению $P$), а $3$ – это спуск (так как $w<v$ по $Q$, но не по $P$). Соответствующая матрица $M^{X}$ такова:
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{10} \\ a_{01} & a_{00} & a_{10} \\ a_{01} & a_{10} & a_{00} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Ее собственные значения $a_{00}-a_{01}$, $a_{00}-a_{10}$ и $a_{00}+a_{01}+a_{10}$ являются целочисленными линейными комбинациями ее матричных элементов. Один из нас (О. В. Огиевецкий) на основе компьютерных экспериментов высказал гипотезу, что такое явление имеет место для любого посета $X$. Эту гипотезу мы и доказываем в настоящей работе. Теорема 1. Для произвольного посета $X$ его матрица $M^{X}$ невырождена, а ее собственные значения суть целочисленные линейные комбинации переменных $a_{\varepsilon}$. Здесь имеется в виду невырожденность над полем рациональных функций от матричных элементов. Матрицы $M^{X}$ были введены в работе [5]. Там доказано, что сумма матричных элементов в каждой строке $\sum_{Q}(M^{X})_{PQ}$ одна и та же, т. е. не зависит от $P$. Другими словами, матрица $M^{X}$ является стохастической (с точностью до нормировки), а ее главное собственное значение равно
$$
\begin{equation*}
\Pi_{X}(\{ a_{\varepsilon}\}) :=\sum_{Q}(M^{X})_{PQ}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти суммы названы в [5] “пьедестальными полиномами”. Они входят в выражения для производящих функций числа монотонных функций $f\colon X\to\{0,1, 2,\dots \} $ (например, для производящих функций числа плоских разбиений, числа пространственных разбиений и т. п.):
$$
\begin{equation}
\sum_{\text{monotone }f\colon X\to\{ 0,1,2,\dots \}}t^{\sum_{x\in X}f(x)} =\Pi_{X}(t) \prod_{k=1}^{n}\frac{1}{1-t^{k}},
\end{equation}
\tag{3}
$$
где полиномы $\Pi_{X}(t) $ получаются из $\Pi_{X}(\{ a_{\varepsilon}\}) $ подстановкой
$$
\begin{equation*}
a_{\varepsilon}\rightsquigarrow t^{\sum_{k=1}^{n-1}k\varepsilon(k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Необходимые факты о пьедесталах и пьедестальных полиномах помещены в § 4. Основной инструмент нашего доказательства – это полугруппы фильтров $M_{F}^{X}$, которые мы рассмотрим в § 2. Они появились в работах [1], [3], где изучались их спектральные свойства. Часть доказательства теоремы 1 может быть получена с помощью доказательств теорем 1, 2 из статьи [1]. Однако наше доказательство короче и проще. В § 2 содержатся общие сведения о посетах, а в § 3 приводится доказательство. § 2. Полугруппа фильтровПолугруппа фильтров будет введена в конце этого параграфа. Ее проще определить геометрически как полугруппу граней расположения гиперплоскостей, с которой мы и начнем. 2.1. ГраниПусть $A_{n}$ – семейство гиперплоскостей в $\mathbb{R}^{n}$: Камерами называются связные компоненты дополнения
$$
\begin{equation*}
\mathbb{R}^{n}\setminus\Bigl\{ \bigcup H_{ij}\Bigr\} .
\end{equation*}
\notag
$$
Конусом называется любое выпуклое объединение замыканий камер. Множество всевозможных конусов обозначается $\mathfrak{O}(n) $. Пусть $X$ – посет из $n$ элементов с бинарным соотношением $\preccurlyeq$. Сопоставим каждой паре полупространство
$$
\begin{equation*}
K_{ij}=\{ x_{i}\leqslant x_{j}\} \subset\mathbb{R}^{n}
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь мы предполагаем фиксированной некоторую нумерацию $\{1,2,\dots,n\}$ элементов множества $X$). Рассмотрим конус
$$
\begin{equation*}
A(X,\preccurlyeq)=\biggl\{\bigcap_{i,j\colon i\preccurlyeq j}K_{ij}\biggr\} \in\mathfrak{O}(n),
\end{equation*}
\notag
$$
где пересечение берется по всем парам $i$, $j$ таким, что $i\preccurlyeq j$. Следующие утверждения хорошо известны (и легко доказуемы); см. [2], [4], [6], [9]. Утверждение 2. Вышеуказанное соответствие является взаимно однозначным соответствием между всеми частичными порядками на $\{ 1,2,\dots,n\} $ и всеми конусами $\mathfrak{O}(n) $. Проиллюстрируем это утверждение в случае $n=4$ (см. рис. 1, где изображен случай $n=4$).  Рис. 1.Семейство гиперплоскостей $A_{4}$ в $\mathbb{R}^{4}$, спроектированное в $\mathbb{R}^{3}$ вдоль прямой $x=y=z=t$ и пересеченное со сферой $\mathbb{S}^{2}\subset\mathbb{R}^{3}$. Сфера $\mathbb{S}^{2}$ разбивается на 24 равных треугольника с углами $(\pi/{2},{\pi}/{3},{\pi}/{3})$. Из них могут быть составлены следующие выпуклые подмножества сферы: сама сфера, полусфера, “двуугольник” между двумя большими кругами, элементарный треугольник (или е-трик, для краткости), пара е-триков с общей стороной, треугольник из трех е-триков, “квадратик” из четырех е-триков с общей ${\pi}/{2}$-вершиной, треугольник из квадратика и примыкающего е-трика, треугольник из шести е-триков с общей ${\pi}/{3}$-вершиной. Количества таких подмножеств сферы, соответственно 1, 12, 60, 24, 36, 48, 6, 24, 8 – всего 219. Это в точности количество частичных порядков на множестве из четырех различных элементов; см. последовательность A001035 библиотеки OEIS [8]. Пусть $f'$, $f''$ – две грани конуса $A(X)=A(X,\preccurlyeq)$. (Это могут быть и камеры конуса, т. е. грани максимальной размерности). Определим грань $f=f''(f') \in A(X) $ – или произведение граней $f''f'$ – следующим образом: выберем пару точек $x'\in f'$, $x''\in f''$ в общем положении, и пусть $s_{x'x''}\colon [ 0,1] \to\mathbb{R}^{n}$ – отрезок, их соединяющий, $s_{x'x''}(0)=x'$, $s_{x'x''}(1)=x''$. Рассмотрим грань $f\in A(X)$, в которой лежат все точки $s_{x'x''}(1-\varepsilon) $ нашего отрезка при достаточно малых значениях $\varepsilon>0$. Такая грань существует в силу выпуклости $A(X)$. По определению $f''(f')=f$. Отметим, что если $f''$ – камера, то $f''f'=f''$. Определенное таким образом произведение граней ассоциативно. Отметим для полноты, что полугруппы $A(X,\preccurlyeq) $ являются “лево-регулярными полосками” (left-regular bands); см. [6]. Мы опускаем доказательства этих соотношений, так как мы не будем их использовать. 2.2. ФильтрыПусть $F$ – фильтр на $X$ ранга $k$, т. е. сюръективное отображение $F\colon X\to \{ 1,\dots,k\} $, сохраняющее частичный порядок, и
$$
\begin{equation*}
\{ b_{1},\dots,b_{j_{1}}\},\{ b_{j_{1}+1},\dots,b_{j_{2}}\},\dots, \{ b_{j_{k-1}+1},\dots,b_{j_{k}}\} \subset X
\end{equation*}
\notag
$$
– его “этажи”,
$$
\begin{equation*}
\{b_{j_{r-1}+1},\dots,b_{j_{r}}\}=F^{-1}(r), \qquad r=1,\dots,k.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим грань $f_{F}\in A(X,\preccurlyeq)$, определяемую уравнениями
$$
\begin{equation*}
x_{b_{j_{r-1}+1}}=\dots=x_{b_{j_{r}}}, \qquad r=1,\dots,k,
\end{equation*}
\notag
$$
и неравенствами (Мы записываем по уравнению для каждого этажа $F$, содержащего по крайней мере два элемента $X$.) Таким образом, возникает взаимно однозначное соответствие между фильтрами и гранями. Фильтры максимального ранга $n$, т. е. линейные расширения частичного порядка $\preccurlyeq$, отвечают камерам. Соответствующее произведение фильтров выглядит так: если $F'$, $F''$ – пара фильтров на $X$, то фильтр $F=F''F'$ на $X$ – это единственный фильтр, удовлетворяющий соотношениям:
В самом деле, пусть $f',f''$ – две грани, соответствующие фильтрам $F',F''$, и в них выбраны точки $x',x''$ общего положения. То обстоятельство, что $F''(u) <F''(v)$, означает, что $x_{u}''<x_{v}''$. Но точка $s_{x'x''}(1-\varepsilon) $ близка к $x''$ и, стало быть, $[ s_{x'x''}(1-\varepsilon) ]_{u}<[s_{x'x''}(1-\varepsilon) ]_{v}$ при достаточно малом $\varepsilon$. Если же $F''(u)=F''(v)$, а $F'(u) <F'(v) $, то $x_{u}''=x_{v}''$, а $x'_{u}<x_{v}'$. А так как отображение $s_{x'x''}\colon [0,1] \to\mathbb{R}^{n}$ линейно, то для всех $t<1$ мы имеем $[ s_{x'x''}(t) ]_{u}<[s_{x'x''}(t) ]_{v}$. Пусть $F$ – фильтр на $X$, а $P$ – фильтр ранга $n$, т. е. линейный порядок на $X$. Тогда фильтр $FP$ – тоже фильтр ранга $n$. Рассмотрим квадратную матрицу $M_{F}^{X}=\|(M_{F}^{X})_{P,Q}\|$, где $P,Q$ – линейные порядки на $X$:
$$
\begin{equation*}
(M_{F}^{X})_{P,Q}= \begin{cases} 1 & \text{при } Q=FP, \\ 0 & \text{при }Q\neq FP. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Операторы $M_{F}^{X}$ играют центральную роль в нашем доказательстве. Примеры операторов $M_{F}^{X}$ приведены ниже, в п. 4.3. § 3. Доказательство основного утвержденияПлан доказательства таков:
3.1. Разложение по фильтрамЗапишем матрицу $M^{X}$ как сумму по $2^{n-1}$ функциям $\varepsilon \colon \{ 1,\dots,n-1\} \to\{ 0,1\} $:
$$
\begin{equation}
M^{X}=\sum_{\varepsilon}a_{\varepsilon}B_{X,\varepsilon},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где матричные элементы матриц $B_{X,\varepsilon}$ – это $0$ или $1$. Для каждой функции $\varepsilon$ определим число $r(\varepsilon)=1+\sum_{j=1}^{n-1}\varepsilon(j)$ и разобьем отрезок $\{ 1,\dots,n\} $ на $r(\varepsilon) $ последовательных отрезков:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \{ 1,\dots,n\} &=\{ 1,\dots,c_{1}\}\cup\{ c_{1}+1,\dots,c_{1}+c_{2}\} \\ &\qquad \cup\{ c_{1}+c_{2}+1,\dots,c_{1}+c_{2}+c_{3}\} \cup\dots\cup\{ c_{1}+\dots +c_{r(\varepsilon) }+1,\dots,n\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где значения $c_{1}+1$, $c_{1}+c_{2}+1$, $\dots$, $c_{1}+\dots +c_{r(\varepsilon) }+1$ – это все те точки, в которых функция $\varepsilon$ равна $1$. Для набора $c_{1},\dots,c_{r}$ натуральных чисел, дающих в сумме $n$, oбозначим через $\mathcal{F}_{c_{1},\dots,c_{r}}$ множество всех фильтров $F\colon X\to[ 1,2,\dots,r] $ таких, что $|F^{-1}(i)|=c_{i}$ для всех $i=1,\dots,r$. Лемма 4. Предположим, что матрица $B_{X,\varepsilon}$ не равна нулю, а функция $\varepsilon$ имеет параметры $r$ и $c_{1},\dots,c_{r}$. Тогда справедлива следующая формула включения-исключения: Доказательство. В самом деле, рассмотрим порядок $Q$ из строки $P$, который наличествует в левой части. Он согласован с порядком $P$ на первых $c_{1}-1$ позициях, противоречит порядку $P$ на следующей позиции, опять согласован с $P$ на следующих $c_{2}-1$ позициях, снова противоречит $P$ на одной позиции и т. д. В то же время порядок $Q$ из строки $P$ из первого слагаемого правой части (5) согласован с $P$ на первых $c_{1}-1$ позициях, противоречит или не противоречит ему на следующей позиции, опять согласован с $P$ на следующих $c_{2}-1$ позициях, снова противоречит или не противоречит $P$ на одной позиции и т. д. Стало быть, следует удалить все те порядки $Q$, которые согласованы с порядком $P$ на первых $c_{1}-1$ позициях, потом согласованы на следующей позиции и на следующих $c_{2}-1$ позициях и т. д.
Примеры операторов $M_{F}^{X}$ приведены в п. 4.3. $\square$ 3.2. Одновременное приведение матриц $M_{F}^{X}$ к верхнетреугольному видуПусть $X=\{ \alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\} $ – посет с частичным порядком $\preccurlyeq$. Обозначим через $\mathrm{Tot}_{X}$ множество всех линейных расширений порядка $\preccurlyeq$. Размер наших матриц $M_{F}^{X}$ – это $|\mathrm{Tot}_{X}| \times| \mathrm{Tot}_{X}| $. Если забыть о частичном порядке на $X$, то возникнет посет $\overline{X}$ с $|\mathrm{Tot}_{\overline{X}}|=n!$. Очевидно, что матрица $M_{F}^{X}$ – подматрица $M_{F}^{\overline{X}}$. Предположим, что эта подматрица занимает (после перенумерации) левый верхний угол. Мы утверждаем, что справа от нее все матричные элементы матрицы $M_{F}^{\overline{X}}$ равны нулю, т. е. $M_{F}^{X}$ – это блок матрицы $M_{F}^{\overline{X}}$. В самом деле, каждая строка матрицы $M_{F}^{\overline{X}}$ содержит ровно одну единицу, а остальные элементы – нули. Но каждая строка $M_{F}^{X}$ уже имеет одну единицу, и, стало быть, достаточно установить целочисленность спектра матрицы $M_{F}^{\overline{X}}$. Исходный посет $X$ больше не появится до конца доказательства; мы будем работать только с “тотально неупорядоченным” посетом $\overline{X}$. Одновременная приводимость матриц $M_{F}^{\overline{X}}$ к верхнетреугольному виду может быть извлечена из работ [1], [3]. Наше доказательство заметно короче. А именно, рассмотрим матрицы $N_{F}^{\overline{X}}$ большего размера $2^{n(n-1) /2}$. Здесь $F$ – по-прежнему фильтр на $\overline{X}$, а строки и столбцы $N_{F}^{\overline{X}}$ занумерованы турнирами между элементами множества $\overline{X}$. Турнир – это произвольный выбор порядка $\preccurlyeq$ на каждой паре $i\neq j$ элементов из $\overline{X}$. По турниру $\preccurlyeq$ и фильтру $F$ на $\overline{X}$ определим турнир $\preccurlyeq_{F}$ так: 1) если $F(i)=F(j)$, то $i\preccurlyeq_{F}j$ тогда и только тогда, когда $i\preccurlyeq j$; 2) если $F(i) <F(j) $, то $i\preccurlyeq_{F}j$. Определим теперь матрицу $N_{F}^{\overline{X}}$:
$$
\begin{equation*}
(N_{F}^{\overline{X}})_{\preccurlyeq\preccurlyeq'}= \begin{cases} 1, & \text{если }\preccurlyeq'=\ \preccurlyeq_{F}, \\ 0, & \text{если }\preccurlyeq'\not=\ \preccurlyeq_{F}\!. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что всякий линейный порядок является турниром, и поэтому наши матрицы $M_{F}^{\overline{X}}$ являются блоками матриц $N_{F}^{\overline{X}}$, а стало быть, достаточно изучать только их. Заметим теперь, что матрицы $N_{F}^{\overline{X}}$ представляют собой тензорные произведения $n(n-1) /2$ матриц размера $2\times 2$, соответствующих всем парам $(i,j)$, так как турнирный порядок $\preccurlyeq$ назначается каждому ребру независимо. А так как тензорное произведение верхнетреугольных матриц есть снова верхнетреугольная матрица, то наше утверждение достаточно проверить для фильтров и турниров в случае $n=| \overline{X}|=2$. Неупорядоченное множество $\overline{X}$, состоящее из двух различных элементов, $\overline{X}=\{ 1,2\}$, допускает три фильтра и два турнира. Три соответствующих матрицы $N_{F}^{\overline{X}}$ – это
$$
\begin{equation*}
N_{1}:=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad N_{2}:=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad N_{3}:=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сопрягая их с помощью матрицы дискретного преобразования Фурье
$$
\begin{equation*}
U=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
мы получаем тройку верхнетреугольных матриц
$$
\begin{equation*}
UN_{1}U^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad UN_{2}U^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad UN_{3}U^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это сопряжение продолжается естественным образом на тензорные произведения. $\square$ Замечание 5. Вернемся к определению (4) матриц $B_{X,\varepsilon}$: для посета $X$ матрицы $\{B_{X,\varepsilon}\}$, где $\varepsilon\in\{0,1\}^{\{1,\dots,n-1\}}$, определяются с помощью равенства $M^{X}=\sum_{\varepsilon }a_{\varepsilon}B_{X,\varepsilon}$. Пусть $\mathcal{L}(X)$ – алгебра Ли, порожденная матрицами $\{B_{X,\varepsilon}\}$. Наше доказательство показывает, что алгебра $\mathcal{L}(X)$ разрешима. Замечание 6. Пусть $\Phi_{T}$ – алгебра функций на множестве $\mathrm{Tour}_{\overline{X}}$ турниров, рассматриваемом как множество вершин $n(n-1)/2$-мерного куба в $\mathbb{R}^{n(n-1)/2}$. На ней имеется возрастающая фильтрация состоящая из ограничений полиномов степени $\leqslant0$, степени $\leqslant1$, $\dots$ на вершины куба. Эта фильтрация строго мультипликативна в том смысле, что Из сказанного выше следует, что все операторы $N_{F}^{\overline{X}}$ сохраняют эту фильтрацию и коммутируют на ассоциированном градуированном пространстве $\bigoplus_{k}\Phi_{T}^{\leqslant k}/\Phi_{T}^{\leqslant k-1}$. Ограничивая функции с $\Phi_{T}$ на подмножество $\mathrm{Tot}_{X} \subset\mathrm{Tour}_{\overline{X}}$, мы снова получаем строго мультипликативную фильтрацию на алгебре $\Phi_{X}:=\mathbb{R}^{\mathrm{Tot}_{X}}$ функций $\mathrm{Tot}_{X}$, сохраняемую всеми операторами $M_{F}^{X}$, где индекс $F$ пробегает множество фильтров на $X$. § 4. Дополнения4.1. ПьедесталыКак и ранее, пусть $X$ – посет с частичным порядком $\preccurlyeq$, а $P,Q$ – пара полных порядков на $X$, совместимых с $\preccurlyeq$. Рассмотрим функцию $q_{PQ}$ на $X$, задаваемую соотношением
$$
\begin{equation}
q_{PQ}(Q^{-1}(k))=\#\{ l\colon l\leqslant k,\,Q^{-1}(l) \text{ является }(P,Q) \text{-спуском}\}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Ясно, что $q_{PQ}$ – неубывающая функция на $X$, а $q_{PQ}(Q^{-1}(1))=0$. Она называется пьедесталом упорядочения $Q$ относительно упорядочения $P$. Например, пусть $X$ – прямоугольная диаграмма Юнга размера $3\times2$ и
$$
\begin{equation*}
P=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix}, \qquad Q=\begin{bmatrix}1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 6\end{bmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
– две стандартных таблицы. Тогда
$$
\begin{equation*}
q_{PQ}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\mathcal{E}_{P}$ множество всех пьедесталов вида $q_{PQ}$. Сопоставление – это взаимно однозначное соответствие, что мы установим ниже.Имеется естественное отображение $\mathcal{E}_{P}\to\mathcal{E}$, сопоставляющее каждому пьедесталу $q_{PQ}$ его “дискретную производную” $\varepsilon_{PQ}$. Пьедесталы были введены в работе [7] в следующем контексте. Рассмотрим множество $\mathcal{P}=\mathcal{P}_{X}$ всех неотрицательных целочисленных неубывающих функций $p$ на $X$. Пусть $v(p) $ – это “объем” функции $p$: а $G$ – производящая функция
$$
\begin{equation*}
G_{X}(t)=\sum_{k\geqslant0}g_{k}t^{k}=\sum_{p\in\mathcal{P}_{X}}t^{v(p) },
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $g_{k}$ – это количество неубывающих функций $p$ объема $v(p)=k$. Например, если $X$ – это множество $X_{n}=[1,2,\dots,n] $ с линейным порядком, то – производящая функция последовательности $g_{k}$ количества разбиений $\pi$ числа $k$ на не более чем $n$ частей: где $\pi(i)\geqslant0$, $\pi(i) \leqslant\pi(i+1)$. Пусть $\mathcal{Y}_{n}$ – множество всех таких разбиений $\pi$ (т. е. диаграмм Юнга). Чтобы записать формулу для функции $G_{X}$ для произвольного посета $X$, нужны пьедесталы. А именно, выберем какое-то упорядочение $P$ на $X$, рассмотрим все пьедесталы $q_{PQ}$, и пусть – производящая функция (на самом деле полином) последовательности числа пьедесталов с данным объемом. Тогда справедливо тождество
$$
\begin{equation}
G_{X}(t)=\Pi_{P}(t) G_{X_{n}}(t) \equiv\Pi_{P}(t) \prod_{l=1}^{n}\frac{1}{1-t^{l}}
\end{equation}
\tag{8}
$$
(ср. с (3)). Из соотношения (8), в частности, следует, что полином $\Pi_{P}(t) $ не зависит от $P$ и может быть обозначен $\Pi_{X}(t)$. Равенство (8) вытекает из существования биекции $b\colon \mathcal{P}_{X}\to \mathcal{E}_{P}\times\mathcal{Y}_{n}$ между множеством $\mathcal{P}_{X}$ неубывающих функций и прямым произведением $\mathcal{E}_{P}\times\mathcal{Y}_{n}$, сохраняющим объем. А именно, пьедесталу $q_{PQ}$ и разбиению $\pi$ она сопоставляет функцию $p$ на $X$ по формуле
$$
\begin{equation*}
p(Q^{-1}(k))=q_{PQ}(Q^{-1}(k)) +\pi(k), \qquad k=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что это – неубывающая функция на $X$. Проверка того, что $b$ – биекция, содержится в [7], см. соотношение (46) и следующее за ним определение обратного отображения $b^{-1}$. Из биективности отображения $b$ следует, в частности, что для любого фиксированного $P$ все пьедесталы $q_{PQ}$ различны. Когда $X$ – это (двумерная) диаграмма Юнга, функции $p\in\mathcal{P}_{X}$ называются обратными плоскими разбиениями. Для их производящей функции $G_{X}$ известна другая формула – знаменитая формула Стенли [9]
$$
\begin{equation*}
G_{X}(t)=\prod_{\alpha\in X}\frac{1}{1-t^{h(\alpha) }},
\end{equation*}
\notag
$$
где $h(\alpha) $ – это длина крюка клетки $\alpha\in X$. Когда $X$ – прямоугольник, это формула МакМагона. Мы видим, тем самым, что в случае, когда $X$ – это диаграмма Юнга, в правой части соотношения (8) имеют место многочисленные сокращения. Прямая проверка показывает, что если $X$ – трехмерная диаграмма Юнга, аналогичных сокращений в формуле (8) не происходит, и, стало быть, аналога формулы Стенли в размерности 3 не существует. 4.2. Пьедестальные полиномыТот факт, что функция $\Pi_{P}(t) $ (см. (7)) зависит только от посета $X$, а не от порядка $P$ на $X$, имеет следующее обобщение. Вместо того чтобы сопоставить пьедесталу его объем, сопоставим пьедесталу $q_{PQ}$ моном
$$
\begin{equation*}
m_{PQ}(x_{1},x_{2},x_{3},\dots)=x_{1}^{l_{1}-1}x_{2} ^{l_{2}-l_{1}}\dotsb x_{r}^{l_{r}-l_{r-1}}x_{r+1}^{n-l_{r}+1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $r$ – число $(P,Q) $-спусков, а $l_{1},\dots,l_{r}$ – их положения; см. (6). Отметим, что В работе [5] доказано, что полином
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{h}_{P}(x_{1},x_{2},x_{3},\dots) =\sum_{Q\in\mathrm{Tot}_{X}}m_{PQ}(x_{1},x_{2},x_{3},\dots)
\end{equation*}
\notag
$$
тоже не зависит от порядка $P$, поэтому его корректно обозначить как $\mathfrak{h}_{X}(x_{1}, x_{2},x_{3},\dots)$. Иными словами, матрица $\widetilde{M}^{X}$ (размера $| \mathrm{Tot}_{X}|\times| \mathrm{Tot}_{X}| $) с матричными элементами
$$
\begin{equation*}
(\widetilde{M}^{X})_{PQ}=m_{PQ}(x_{1},x_{2},x_{3},\dots)
\end{equation*}
\notag
$$
является стохастической: вектор $(1,1,\dots,1) $ – ее правый собственный вектор с собственным значением $\mathfrak{h}_{X}(x_{1},x_{2},x_{3},\dots)$. Заменяя мономы $m_{PQ}(x_{1},x_{2},x_{3},\dots) $ переменными $a_{\varepsilon_{PQ}}$, мы получаем из $\widetilde{M}^{X}$ нашу матрицу $M^{X}$. Замечание 7. Как мы только что отметили, строки матрицы $M^{X}$ отличаются друг от друга перестановкой матричных элементов. Заманчиво поэтому расмотреть множество перестановок $\pi_{PP'}\in S_{|\mathrm{Tot}_{X}|}$, превращающих строку $P$ в $P'$. К сожалению, строки матрицы $M^{X}$ могут содержать повторяющиеся элементы, поэтому пeрестановки $\pi_{PP'}$ определены неоднозначно. 4.3. ПримерыВ этом пункте мы рассмотрим несколько примеров, где посеты $X$ соответствуют разбиениям, т. е. диаграммам Юнга. Сначала мы перечисляем полные порядки на них, т. е. стандартные таблицы Юнга, а потом выписываем соответствующую пьедестальную матрицу, строки и столбцы которой занумерованы стандартными таблицами Юнга в перечисленном порядке. Во всех рассмотренных нами случаях пьедестальные матрицы оказываются диагонализуемыми в общей точке. Однако для специальных значений переменных пьедестальная матрица может иметь нетривиальные жордановы блоки. Минимальный пример такого явления возникает в случае разбиения $(3,1)$. По существу это тот же пример, что и перед основной теоремой, с пьедестальной матрицей (2), так как клетка $(1,1)$ является первой в любом полном порядке и может быть опущена. Достаточно рассмотреть частичную спецификацию $a_{10}\mapsto -2a_{01}$. Жорданова форма имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} a_{00}-a_{01}&1&0 \\ 0&a_{00}-a_{01}&0 \\ 0&0&a_{00}+2a_{01} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Представляется интересным понять режимы, в которых пьедестальная матрица недиагонализуема. A. Разбиение $(3,2)$. Соответствующие стандартные таблицы:  Пьедестальная матрица $\widetilde{M}^{X}$ имеет вид $x_{1}^{2}A_{(3,2)}$, где
$$
\begin{equation*}
A_{(3,2)}=\begin{pmatrix} x_{1}^{3} & x_{2}^{3} & x_{1}^{2}x_{2} & x_{2}^{2}x_{3} & x_{1}x_{2}^{2} \\ x_{2}^{3} & x_{1}^{3} & x_{2}^{2}x_{3} & x_{1}^{2}x_{2} & x_{1}x_{2}^{2} \\ x_{1}^{2}x_{2} & x_{2}^{2}x_{3} & x_{1}^{3} & x_{2}^{3} & x_{1}x_{2}^{2} \\ x_{2}^{2}x_{3} & x_{1}^{2}x_{2} & x_{2}^{3} & x_{1}^{3} & x_{1}x_{2}^{2} \\ x_{2}^{2}x_{3} & x_{1}^{2}x_{2} & x_{2}^{3} & x_{1}x_{2}^{2} & x_{1}^{3} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
После замены
$$
\begin{equation}
\phi\colon (x_{1}^{3},x_{1}^{2}x_{2},x_{1}x_{2}^{2},x_{2}^{3},x_{2}^{2} x_{3})\to(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5})
\end{equation}
\tag{9}
$$
получаем
$$
\begin{equation*}
A_{(3,2)}^{\phi}=\begin{pmatrix} a_{1} & a_{4} & a_{2} & a_{5} & a_{3}\\ a_{4} & a_{1} & a_{5} & a_{2} & a_{3}\\ a_{2} & a_{5} & a_{1} & a_{4} & a_{3}\\ a_{5} & a_{2} & a_{4} & a_{1} & a_{3}\\ a_{5} & a_{2} & a_{4} & a_{3} & a_{1} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Собственные значения матрицы $A_{(3,2)}^{\phi}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_{1}-a_{3}, \qquad a_{1}+a_{2}-a_{4}-a_{5}, \qquad a_{1}-a_{2}+a_{4}-a_{5}, \\ a_{1}-a_{2}-a_{4}+a_{5}, \qquad a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
B. Разбиение $(3,1,1)$. Соответствующие стандартные таблицы: Пьедестальная матрица имеет вид $x_{1}^{2}A_{(3,1,1)}$, где
$$
\begin{equation*}
A_{(3,1,1)}=\begin{pmatrix} x_{1}^{3} & x_{1}x_{2}^{2} & x_{2}^{3} & x_{1}^{2}x_{2} & x_{2}^{2}x_{3} & x_{1}x_{2}^{2} \\ x_{1}x_{2}^{2} & x_{1}^{3} & x_{2}^{3} & x_{1}^{2}x_{2} & x_{2}^{2}x_{3} & x_{1}x_{2}^{2} \\ x_{1}x_{2}^{2} & x_{2}^{3} & x_{1}^{3} & x_{2}^{2}x_{3} & x_{1}^{2}x_{2}^{2} & x_{1}x_{2}^{2} \\ x_{1}x_{2}^{2} & x_{1}^{2}x_{2} & x_{2}^{2}x_{3} & x_{1}^{3} & x_{2}^{3} & x_{1}x_{2}^{2} \\ x_{1}x_{2}^{2} & x_{2}^{2}x_{3} & x_{1}^{2}x_{2} & x_{2}^{3} & x_{1}^{3} & x_{1}x_{2}^{2} \\ x_{1}x_{2}^{2} & x_{2}^{2}x_{3} & x_{1}^{2}x_{2} & x_{2}^{3} & x_{1}x_{2}^{2} & x_{1}^{3} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
После замены переменных (9) (в матрицы $A_{(3,1,1)}$ и $A_{(3,2)}$ входят одни и те же мономы) получаем
$$
\begin{equation*}
A_{(3,1,1)}^{\phi}= \begin{pmatrix} a_{1} & a_{3} & a_{4} & a_{2} & a_{5} & a_{3}\\ a_{3} & a_{1} & a_{4} & a_{2} & a_{5} & a_{3}\\ a_{3} & a_{4} & a_{1} & a_{5} & a_{2} & a_{3}\\ a_{3} & a_{2} & a_{5} & a_{1} & a_{4} & a_{3}\\ a_{3} & a_{5} & a_{2} & a_{4} & a_{1} & a_{3}\\ a_{3} & a_{5} & a_{2} & a_{4} & a_{3} & a_{1} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Собственные значения матрицы $A_{(3,1,1)}^{\phi}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (a_{1}-a_{3})_{2}, \qquad a_{1}+a_{2}-a_{4}-a_{5}, \qquad a_{1}-a_{2}+a_{4}-a_{5}, \\ a_{1}-a_{2}-a_{4}+a_{5}, \qquad a_{1}+a_{2}+2a_{3}+a_{4}+a_{5}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где символ $(y)_{k}$ означает, что кратность собственного значения $y$ равна $k$. В случае посета $(3,1,1)$ имеется вырождение: символ $a_{3}$ появляется в каждой строке матрицы $A_{(3,1,1)}^{\phi}$ дважды. Соответствующий моном равен $x_{1}^{3}x_{2}^{2}$, поэтому в разложение матрицы $B_{a_{3}}$ входят фильтры из семейства $\mathcal{F}_{3,2}$, каковых имеется три (мы используем стандартные матричные обозначения, элемент $(i,j)$ находится на пересечении строки $i$ и столбца $j$):
Матрицы действий этих фильтров на линейные порядки таковы:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M_{F_{1}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad M_{F_{2}}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \\ M_{F_{3}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Семейство $\mathcal{F}_{5}$ состоит из единственного фильтра, который действует как единичная матрица $I$. Тем самым,
$$
\begin{equation*}
B_{a_{3}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} =M_{F_{1}}+M_{F_{2}}+M_{F_{3}}-I
\end{equation*}
\notag
$$
в соответствии с формулой включения-исключения. C. Разбиение $(3,2,1)$. В этом примере для экономии места мы выписываем пьедестальную матрицу, в которой замена
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(x_{1}^{6},x_{1}^{5}x_{2},x_{1}^{4}x_{2}^{2},x_{1}^{4}x_{2}x_{3},x_{1} ^{3}x_{2}^{3},x_{1}^{3}x_{2}^{2}x_{3},x_{1}^{2}x_{2}^{4},x_{1}^{2}x_{2} ^{3}x_{3},x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2},x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}) \\ &\qquad \to(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8},a_{9},a_{10}) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
уже сделана. Соответствующие стандартные таблицы:  Матрица $A_{(3,2,1)}^{\phi}$ выглядит так:
$$
\begin{equation*}
A_{(3,2,1)}^{\phi}=\begin{pmatrix} \!a_{1}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{6}\!\! \\ \!a_{5}\!\! & \!\!a_{1}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{6}\!\! \\ \!a_{5}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{1}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{6}\!\! \\ \!a_{5}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{1}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{5}\!\! \\ \!a_{5}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{1}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{5}\!\! \\ \!a_{2}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{1}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{6}\!\! \\ \!a_{6}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{1}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{6}\!\! \\ \!a_{6}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{1}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{6}\!\! \\ \!a_{6}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{1}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{6}\!\! \\ \!a_{6}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{1}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{6}\!\! \\ \!a_{6}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{1}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{2}\!\! \\ \!a_{5}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{1}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{5}\!\! \\ \!a_{5}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{1}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{5}\!\! \\ \!a_{6}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{1}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{5}\!\! \\ \!a_{6}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{1}\!\! & \!\!a_{5}\!\! \\ \!a_{6}\!\! & \!\!a_{10}\!\! & \!\!a_{4}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{8}\!\! & \!\!a_{6}\!\! & \!\!a_{2}\!\! & \!\!a_{9}\!\! & \!\!a_{3}\!\! & \!\!a_{7}\!\! & \!\!a_{5}\!\! & \!\!a_{1}\!\! \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ее собственные значения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (a_{1}-a_{4}-a_{7}+a_{10})_{3}, \qquad a_{1}-a_{4}+a_{7}-a_{10}, \qquad (a_{1}+a_{2}-a_{5}-a_{6})_{2}, \\ (a_{1}-a_{2}-a_{5}+a_{6})_{2}, \qquad (a_{1}-a_{2}-a_{3}+a_{4}+a_{7}-a_{8}-a_{9}+a_{10})_{2}, \\ (a_{1}-a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{7}+a_{8}+a_{9}-a_{10})_{2}, \qquad (a_{1}-a_{4}+a_{5}-a_{6}+a_{7}-a_{10})_{2}, \\ a_{1}+2a_{2}+2a_{3}+a_{4}-a_{7}-2a_{8}-2a_{9}-a_{10}, \\ a_{1}+2a_{2}+2a_{3}+2a_{5}+2a_{6}+a_{7}+2a_{8}+2a_{9}+a_{10}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
БлагодарностиЧасть настоящей работы была выполнена в Институте высших исследований (IHES) во время программы, посвященной столетию модели Изинга в мае–июне 2022 г. Р. Кеньон, М. Концевич и С. Шлосман благодарны организаторам программы за создание прекрасной рабочей атмосферы. Мы благодарим профессора П. Дьякониса и профессора Р. Стенли за ценные комментарии.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KenKonOgi24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|