| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Среднее значение мультипликативного функционала синус-процесса Александр Буфетовabc  a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, Москва, Россия c Aix-Marseille Université, CNRS, Institut de Mathématiques de Marseille, Marseille, France
Английская версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324020035 
Реферативные базы данных:
   Светлой памяти моих дорогих учителей Бориса Марковича Гуревича (1938–2023) и Анатолия Моисеевича Вершика (1933–2024) § 1. Введение1.1. Формулировка основного результатаСинус-процесс – скейлинговый предел радиальных частей мер Хаара на унитарных группах растущего формата – допускает явную формулу для математических ожиданий мультипликативных функционалов ограниченных наблюдаемых соболевской регулярности $1/2$, получаемую скейлинговым пределом из формулы Бородина–Окунькова–Джеронимо–Кейса для детерминантов Тёплица, обобщающей вторую теорему Сегё в форме Ибрагимова. Cинус-процесс $\mathbb P_{\mathscr{S}}$ – это детерминантный процесс с синус-ядром ядром проектора на пространство Пэли–Винера
$$
\begin{equation*}
\mathscr{PW}=\bigl\{f\in L_2(\mathbb{R})\colon \operatorname{supp} \widehat f\subset [-\pi,\pi])\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Иными словами, синус-процесс есть по определению мера на пространстве конфигураций $\operatorname{Conf}(\mathbb{R})$, состоящем из подмножеств $X\subset\mathbb{R}$, не имеющих точек накопления, однозначно заданная условием
$$
\begin{equation}
\mathbb{E}_{\mathbb P_{\mathscr{S}}}\prod_{x\in X}(1+f(x))=\det(1+f\mathscr{S}),
\end{equation}
\tag{1}
$$
выполненным для всякой ограниченной борелевской функции $f$ с компактным носителем. Теорема 1 ниже дает удобное выражение для математического ожидания (1) для функций $f$ соболевской регулярности $1/2$, чье преобразование Гильберта ограничено. Борелевской ограниченной функции $f$ с компактным носителем сопоставим аддитивный функционал $S_f$ на $\operatorname{Conf}(\mathbb{R})$ по формуле ряд в правой части содержит лишь конечное число ненулевых членов. Дисперсия аддитивного функционала $S_f$ дается формулой
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Var}_{\mathbb P_{\mathscr{S}}}S_f=\frac{1}{2}\iint_{\mathbb{R}^2}|f(x)-f(y)|^2\cdot |\Pi(x,y)|^2\,dx\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Следуя [7], определим пространство $\dot H_{1/2}(\mathscr{S})$ как пополнение семейства гладких функций на $\mathbb{R}$ с компактным носителем по отношению к норме ${\|\cdot\|}_{\dot H_{1/2}(\mathscr{S})}$, заданной формулой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{\dot H_{1/2}(\mathscr{S})}^2= \iint_{\mathbb{R}^2}|f(x)-f(y)|^2\cdot |\Pi(x,y)|^2\,dx\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению соответствие $f\mapsto S_f-\mathbb{E}_{\mathbb P_{\mathscr{S}}}S_f$ по непрерывности распространяется на все пространство $\dot H_{1/2}(\mathscr{S})$. Будем писать
$$
\begin{equation*}
\overline{S}_f=S_f-\mathbb{E}_{\mathbb P_{\mathscr{S}}}S_f
\end{equation*}
\notag
$$
и называть $\overline{S}_f$ регуляризованным аддитивным функционалом, отвечающим функции $f\in\dot H_{1/2}(\mathscr{S})$. Наша цель – дать явную формулу для экспоненциальных моментов регуляризованных аддитивных функционалов синус-процесса для функций $f$ соболевской регулярности $1/2$. Напомним некоторые определения. Мы будем использовать такое соглашение для преобразования Фурье на прямой:
$$
\begin{equation*}
\widehat{f}(s)=\int_{\mathbb{R}}e^{-i\lambda s} f(\lambda)\,d\lambda, \qquad f(\lambda)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{i\lambda s}\widehat{f}(s)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Символом $\widetilde{\phantom{a}}$ будем обозначать отражение в пространстве фаз и соответственно частот относительно нуля:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{f}(\lambda)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} \widehat{f}(-u)e^{iu\lambda}\,du=f(-\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим пространство соболевского типа $\dot H_{1/2}(\mathbb{R})$ как пополнение семейства гладких функций с компактным носителем по отношению к норме
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{\dot H_{1/2}(\mathbb{R})}^2=\int_{\mathbb{R}}|u|\cdot |\widehat{f}(u)|^2\,du= \iint_{\mathbb{R}^2}\biggl|\frac{f(\xi)-f(\eta)}{\xi-\eta}\biggr|^2\,d\xi \,d\eta.
\end{equation*}
\notag
$$
Символом $\langle{\,\cdot\,},{\,\cdot\,}\rangle_{\dot H_{1/2}(\mathbb{R})}$ будем обозначать билинейную форму, заданную формулой
$$
\begin{equation*}
\langle f_1,f_2\rangle_{\dot H_{1/2}(\mathbb{R})}= \int_{\mathbb{R}}|u|\cdot \widehat{f_1}(u)\widehat{f_2}(-u)\,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{\dot H_{1/2}(\mathbb{R})}^2= \langle f,\overline{f}\rangle_{\dot H_{1/2}(\mathbb{R})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, для функции $f\in\dot H_{1/2}(\mathbb{R})$ обозначим символами $f_+$, $f_-$ функции, определяемые формулами
$$
\begin{equation*}
\widehat{f_+}=\widehat f \cdot\chi_{(0,\infty)}, \qquad \widehat{f_-}=\widehat f \cdot\chi_{(-\infty,0)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим, наконец, Разумеется, $f_--f_+$ есть умноженное на мнимую единицу преобразование Гильберта функции $f$. Функции $r\in L_2(\mathbb{R})\cap L_\infty(\mathbb{R})$ сопоставляем непрерывный оператор Ганкеля $\mathfrak{H}(r)$, действующий по формуле
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{H}(r)\varphi(s)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{+\infty} \widehat{r}(s+t)\varphi(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим символом $\mathscr{H}(1/2,\infty)$ пополнение пространства гладких функций на $\mathbb{R}$ с компактным носителем по отношению к норме
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{\mathscr{H}(1/2,\infty)}=\|f\|_{L_\infty(\mathbb{R})}+\|f\|_{\dot H_{1/2}(\mathbb{R})}.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению оператор $\mathfrak{H}(h)$ есть оператор Гильберта–Шмидта, коль скоро $h\in\mathscr{H}(1/2,\infty)$. Далее, если $f_1,f_2\in\mathscr{H}(1/2,\infty)$, то и $f_1f_2\in\mathscr{H}(1/2,\infty)$, а следовательно, если $f\in\mathscr{H}(1/2,\infty)$, то и $\exp(f)-1\in\mathscr{H}(1/2,\infty)$. Математическое ожидание мультипликативного функционала синус-процесса, отвечающего функции соболевской регулярности 1/2, задается теперь такой формулой. Теорема 1. Пусть $f\in \dot H_{1/2}(\mathbb{R})$ такова, что $f_--f_+\in L_\infty(\mathbb{R})$. Тогда Из условия $f_--f_+\in L_\infty(\mathbb{R})$ немедленно следует, что Если функция $f$ вещественнозначная, то условие ограниченности не нужно. Следствие 1. Если $f\in\dot H_{1/2}(\mathbb{R})$ принимает вещественные значения, то формула (3) выполнена. Доказательство. Если функция $f$ вещественна, то $|h|\equiv 1$, $h\in\mathscr{H}(1/2,\infty)$ и $\|\mathfrak{H}(h)\|\leqslant 1$, и формула (3) имеет место, даже если $f$ не ограничена. $\square$ Доказательство теоремы 1 проводится переходом к скейлинговому пределу в ее дискретном аналоге – формуле Бородина–Окунькова–Джеронимо–Кейса. Достаточно доказать теорему 1 для бесконечно гладких функций $f$ с компактным носителем. Общий случай немедленно следует из непрерывности обеих частей равенства (3) в пространстве $\mathscr{H}(1/2,\infty)$. Замечание 1. При более стеснительных условиях на функцию $f$ формулу, эквивалентную формуле (3), получили Басор и Чен [2]. Частный случай формулы (3) использован в [8] при доказательстве того, что почти все реализации синус-процесса имеют избыток 1 в пространстве Пэли–Винера. 1.2. Исторические замечанияГабор Сегё доказал гипотезу Пойи, называемую теперь первой теоремой Сегё [15] в том самом 1915 г., в котором вступил добровольцем в кавалерию Королевского Гонведа, а вторую теорему [16] доказал 37 лет спустя, в 1952 г. Об истории теорем Сегё см., например, [9], [14]. Необходимые и достаточные условия выполнения второй теоремы Сегё дал Ибрагимов [13], [11]. Джеронимо и Кейс [10] доказали формулу (5) в 1979 г., а Бородин и Окуньков [4] переоткрыли ее в 2000 г. Сейчас известно несколько доказательств формулы Бородина–Окунькова–Джеронимо–Кейса [3], [5], [6], а вопрос о необходимых и достаточных условиях ее выполнения остается открытым. БлагодарностиЯ глубоко благодарен С. М. Горбунову и Р. В. Романову за полезные обсуждения, а также анонимному рецензенту за тщательное рецензирование статьи и предложенные им улучшения. § 2. Начало доказательства теоремы 1: формула Бородина–Окунькова–Джеронимо–КейсаНапомним формулу Бородина–Окунькова–Джеронимо–Кейса. Обозначим $\mathbb{T}=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$. Функции $F\in L_1(\mathbb{T})$ с коэффициентами Фурье
$$
\begin{equation*}
\widehat F(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{T}}F(\theta)e^{-ik\theta}\,d\theta,
\end{equation*}
\notag
$$
как обычно (см., напрмер, [12]), сопоставляем оператор Тёплица $T(F)$ с символом $F$, действующий на функциях $\varphi$ с конечным носителем на $\mathbb{N}$ по формуле
$$
\begin{equation*}
T(F)\varphi(k)=\sum_{l\in\mathbb{N}} \widehat{F}(k-l)\varphi(l).
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор Ганкеля $\mathbf{H}(F)$ с символом $F$ определяем формулой
$$
\begin{equation*}
\mathbf{H}(F)\varphi(k)=\sum_{l\in\mathbb{N}} \widehat{F}(k+l-1)\varphi(l).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $F\in L_\infty(\mathbb{T})$, то операторы $T(F)$ и $\mathbf{H}(F)$ ограничены в $l_2(\mathbb{N})$. Как и на прямой, символом $\widetilde{\phantom{a}}$ будем обозначать отражение в пространстве фаз или частот относительно нуля:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{F}(\theta)=\sum_{k\in\mathbb{Z}} \widehat{F}(-k)e^{ik\theta}=F(-\theta).
\end{equation*}
\notag
$$
Детерминант Тёплица $n\times n$, отвечающий символу $F$, обозначим $D_n(F)$: таким образом, Из формулы Андреева [1]
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_X\dotsi\int_X \det(\varphi_i(x_j))_{i,j=1,\dots,n}\cdot \det(\psi_i(x_j))_{i,j=1,\dots,n}\,dx_1\dotsb dx_n \\ &\qquad= \det\biggl(\int_X \varphi_i(x)\psi_j(x)\,dx\biggr)_{i,j=1,\dots,n} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любой функции $G\in L_1(\mathbb{T})$ вытекает равенство
$$
\begin{equation}
D_n(G)=\frac{1}{n!}\int_{\mathbb{T}}\dotsi\int_{\mathbb{T}} |e^{i\theta_k}-e^{i\theta_l}|^2\cdot \prod_{k=1}^{n} G(\theta_k)\,\frac{d\theta_k}{2\pi}=\det(1+(G-1)K_n),
\end{equation}
\tag{4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
K_n(\theta,\theta')=\frac{\sin\frac{n+1}{2}(\theta-\theta')}{\sin\frac{1}{2}(\theta-\theta')}
\end{equation*}
\notag
$$
есть $n$-е ядро Дирихле. Аналогично § 1, введем пространство Соболева порядка $1/2$ на окружности $\mathbb{T}=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$, полунорму и билинейную форму на нем, полагая
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H_{1/2}(\mathbb{T})=\biggl\{f\in L_2(\mathbb{T})\colon \sum_{k\in\mathbb{Z}}|k|\cdot |\widehat{F}(k)|^2<+\infty\biggr\}, \\ \|F\|_{\dot H_{1/2}(\mathbb{T})}^2=\sum_{k\in\mathbb{Z}}|k|\cdot |\widehat{F}(k)|^2, \\ \langle F_1,F_2\rangle_{\dot H_{1/2}(\mathbb{T})}= \sum_{k\in\mathbb{Z}}|k|\cdot \widehat{F_1}(k)\widehat{F_2}(-k). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\|F\|_{\dot H_{1/2}(\mathbb{T})}^2= \langle F,\overline{F}\rangle_{\dot H_{1/2}(\mathbb{T})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следуя Бородину–Окунькову, рассмотрим на окружности $\mathbb{T}=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ квадратично-интегрируемую функцию
$$
\begin{equation*}
F(\theta)=\sum_{k\in\mathbb{Z}} \widehat{F}(k)e^{ik\theta}
\end{equation*}
\notag
$$
с нулевым средним: $\widehat F(0)=0$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
F_+(\theta)=\sum_{k>0} \widehat{F}(k)e^{ik\theta}, \qquad F_-(\theta)=\sum_{k<0} \widehat{F}(k)e^{ik\theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим теперь функцию $N$: Мы готовы сформулировать теорему Бородина–Окунькова–Джеронимо–Кейса. Теорема 2 (см. [4], [10]). Пусть $F\in H_{1/2}(\mathbb{T})$, $\widehat F(0)=0$, $F_--F_+\in L_\infty(\mathbb{T})$. Тогда Если $F$ принимает действительные значения, то $|N(\theta)|=|\widetilde{N^{-1}}(\theta)|=1$ при всех $\theta\in\mathbb{T}$. Из определений видно, что операторы Ганкеля $\mathbf{H}(N)$ и $\mathbf{H}(\widetilde{N^{-1}})$ сопряжены. Следствие 2. Если $F\in H_{1/2}(\mathbb{T})$ принимает вещественные значения, то (5) выполнено. Бородин и Окуньков подчеркивают, что тождество (5) можно воспринимать формально как тождество между формальными степенными рядами по переменным $\widehat{F}(k)$. Замечание 2. Вторая теорема Сегё для функции $G=\exp(F)$, утверждающая, что выполнена при условии $F\in H_{1/2}(\mathbb{T})$, $\widehat{F}(0)=0$. Вместе с тем, если не предполагать вещественности $F$, то дополнительное условие $F_--F_+\in L_\infty(\mathbb{T})$ используется в доказательстве формулы Бородина–Окунькова–Джеронимо–Кейса, а именно, при доказательстве того, что соответствующие ганкелевы операторы лежат в классе Гильберта–Шмидта. Вопрос. Необходимо ли условие $F_--F_+\in L_\infty(\mathbb{T})$ для выполнения формулы Бородина–Окунькова–Джеронимо–Кейса? Каковы необходимые и достаточные условия для выполнения формулы Бородина–Окунькова–Джеронимо–Кейса? Замечание 2. Наше определение слегка отличается от принятого Бородиным и Окуньковым, рассматривавшими функцию $F_-(\pi-\theta)-F_+(\pi-\theta)$; возникающие ядра, однако, различаются калибровочным множителем $(-1)^{i+j}$, и, таким образом, соответствующие детерминанты Фредгольма совпадают. § 3. Скейлинговый предел в формуле Бородина–Окунькова–Джеронимо–КейсаНаша следующая цель – перейти к пределу в формуле Бородина–Окунькова–Джеронимо–Кейса при скейлинге $R_n(\theta)=r(n\theta)$. Пусть $r$ – бесконечно гладкая функция с компактным носителем и с нулевым средним. Для достаточно больших $n\in\mathbb{N}$ носитель функции $r(n\varphi)$ лежит внутри интервала $(-\pi,\pi)$. Определим функции $R_n$ на $\mathbb{T}=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ формулой Определим разложения $r=r^+-r^-$, $R_n=R_n^++R_n^-$, по положительным и отрицательным гармоникам:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp} \widehat{r^+}^{\mathbb{R}}\subset [0,+\infty), \qquad \operatorname{supp} \widehat{r^-}^{\mathbb{R}}\subset (-\infty,0].
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее для различения преобразования Фурье на $\mathbb{R}$ и на $\mathbb{T}=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ будем писать соответственно $\widehat f^{\,\,\mathbb{R}}$ и $\widehat f^{\,\,\mathbb{T}}$. По определению имеем
$$
\begin{equation*}
\widehat{R_n}^{\mathbb{T}}(k)=\frac{1}{2\pi n} \widehat{r}^{\,\mathbb{R}}\biggl(\frac{k}{n}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма. Пусть $r$ – гладкая функция на $\mathbb{R}$ с компактным носителем, $h=\exp(r^--r^+)$. Тогда выполнено соотношение Следствие 3. Соотношение (7) выполнено также для всякой функции $r\in\mathscr{H}(1/2,\infty)$ с компактным носителем. Следствие непосредственно вытекает из леммы, поскольку обе части (7) непрерывны в пространстве $\mathscr{H}(1/2,\infty)$. Доказательству леммы предпошлем небольшое общее замечание о сходимости детерминантов Фредгольма. Пусть $K$ – оператор с конечным следом, действующий в некотором сепарабельном гильбертовом пространстве. Как обычно, полагаем $|K|=\sqrt{K^*K}$, а при $l\geqslant 1$ символом $\bigwedge^{\!l}K$ обозначаем внешнюю степень оператора $K$. Внешние степени оператора $K$ тоже имеют конечный след, причем
$$
\begin{equation}
\operatorname{tr}\bigwedge\nolimits^{\!l} K\leqslant \frac{(\operatorname{tr}|K|)^l}{l!}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Если теперь даны операторы $K_n$ и $K$ с конечным следом, действующие, быть может, в различных гильбертовых пространствах, то для установления сходимости достаточно, во-первых, проверить сходимость
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\operatorname{tr}\bigwedge\nolimits^{\!l} K_n=\operatorname{tr}\bigwedge\nolimits^{\!l} K,
\end{equation*}
\notag
$$
а во-вторых, дать равномерную оценку
$$
\begin{equation}
\sum_{l=1}^\infty \sup_{n\in\mathbb{N}}\Bigl|\operatorname{tr}\bigwedge\nolimits^{\!l} K_n\Bigr|<+\infty.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Если сами операторы $K_n$ самосопряжены и положительны, то в силу (8) для (9) достаточна оценка В случае дискретного оператора Ганкеля с гладким символом $r$ для наших целей будет достаточна простая оценка
$$
\begin{equation*}
\Bigl|\operatorname{tr} \bigwedge\nolimits^{\!l} \mathbf{H}(r)\Bigr|\leqslant\frac{(\|\widehat{r}^{\,\mathbb{T}}\|_{L_1})^l}{l!},
\end{equation*}
\notag
$$
а в случае непрерывного оператора Ганкеля с гладким символом $r$ – аналогичная оценка
$$
\begin{equation*}
\Bigl|\operatorname{tr}\bigwedge\nolimits^{\!l} \mathfrak{H}(r)\Bigr|\leqslant\frac{((2\pi)^{-1}\cdot\|\widehat{r}^{\,\mathbb{R}}\|_{L_1})^l}{l!}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство леммы. Напомним, что функции $R_n$ определены формулой (6). Для соболевских полунорм функций $R_n$ получаем
$$
\begin{equation*}
\langle R_n^+,R_n^-\rangle_{\dot H_{1/2}(\mathbb{T})}= \sum_{k>0} k \widehat{R_n}^{\mathbb{T}}(k)\widehat{R_n}^{\mathbb{T}}(-k)= \frac{1}{4\pi^2}\sum_{k>0}\frac{k}{n^2}\widehat{r}^{\,\mathbb{R}} \biggl(\frac{k}{n}\biggr)\widehat{r}^{\,\mathbb{R}}\biggl(-\frac{k}{n}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда видно, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\langle R_n^+,R_n^-\rangle_{\dot H_{1/2}(\mathbb{T})}= \frac{1}{4\pi^2}\langle r^+,r^-\rangle_{\dot H_{1/2}(\mathbb{R})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, для следов внешних степеней ганкелевых операторов $\mathbf{H}(R_n)$ по определению имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{tr}\bigwedge\nolimits^{\!l} \mathbf{H}(R_n) =\frac{1}{l!}\sum_{i_1,\dots,i_l\in\mathbb{N}} \widehat{R_n}^{\mathbb{T}}(i_1+i_2-1)\cdots \widehat{R_n}^{\mathbb{T}}(i_{l-1}+i_l-1)\widehat{R_n}^{\mathbb{T}}(i_{l}+i_1-1) \\ &\qquad=\frac{1}{l!\,(2\pi n)^l}\sum_{i_1,\dots,i_l\in\mathbb{N}} \widehat{r}^{\,\mathbb{R}}\biggl(\frac{i_1+i_2-1}{n}\biggr)\cdots \widehat{r}^{\,\mathbb{R}}\biggl(\frac{i_{l-1}+i_l-1}{n}\biggr) \widehat{r}^{\,\mathbb{R}}\biggl(\frac{i_l+i_1-1}{n}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Гладкость функции $r$ немедленно влечет $\sup_{n\in\mathbb{N}}\|\widehat{R_n}\|_{L_1}<+\infty$. По определению записав
$$
\begin{equation*}
\operatorname{tr}\bigwedge\nolimits^{\!l} \mathfrak{H}(r)= \frac{1}{l!\,(2\pi)^l} \int_0^{+\infty}\dotsi\int_0^{+\infty} \widehat{r}^{\,\mathbb{R}}(s_1+s_2)\dotsb \widehat{r}^{\,\mathbb{R}}(s_{l-1}+s_l) \widehat{r}^{\,\mathbb{R}}(s_l+s_1)\,ds_1\dotsb ds_l,
\end{equation*}
\notag
$$
немедленно получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} \operatorname{tr}\bigwedge\nolimits^{\!l} \mathbf{H}(R_n)=\operatorname{tr}\bigwedge\nolimits^{\!l} \mathfrak{H}(r),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в свою очередь следуют равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lim_{n\to\infty} \det(1+\mathbf{H}(R_n))=\det(1+\mathfrak{H}(r)), \\ \lim_{n\to\infty} \det(1-\mathbf{H}(R_n))=\det(1-\mathfrak{H}(r)). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом, если заданы две гладкие функции $r^{(1)}$ и $r^{(2)}$, каждая с носителем, заключенным внутри интервала $(-\pi,\pi)$, а функции $R_n^{(1)}$, $R_n^{(2)}$ определены формулами $R_n^{(1)}(\theta)=r^{(1)}(n\theta)$, $R_n^{(2)}(\theta)=r^{(2)}(n\theta)$, то выполнено и предельное соотношение
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} \det\bigl(1+\mathbf{H}(R^{(1)}_n)\mathbf{H}(R^{(2)}_n)\bigr)=\det\bigl(1+\mathfrak{H}(r^{(1)})\mathfrak{H}(r^{(2)})\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, для операторов Ганкеля, ограниченных на луч, точно так же получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to\infty} \det\bigl(1-\chi_{[n+1,+\infty)}\mathbf{H}(R^{(1)}_n)\mathbf{H}(R^{(2)}_n)\chi_{[n+1,+\infty)}\bigr) \\ &\qquad = \det\bigl(1-\chi_{[1,+\infty)}\mathfrak{H}(r^{(1)})\mathfrak{H}(r^{(2)})\chi_{[1,+\infty)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма прямо следует теперь из формулы Бородина–Окунькова–Джеронимо–Кейса (5). $\square$ § 4. Скейлинг детерминанта ФредгольмаНам остается связать детерминант Фредгольма в левой части формулы (3) в теореме 1 со скейлинговым пределом детерминантов Тёплица. Пусть $f$ – гладкая функция с компактным носителем на $\mathbb{R}$, $r(\,\cdot\,)=f(\,\cdot\,/(2\pi))$ и, как и раньше, $R_n(\theta)=r(n\theta)$. Пусть $E$ – полное сепарабельное метрическое пространство. Пусть $\mu_n$ – последовательность $\sigma$-конечных радоновых мер на $E$, а $K_n$ – последовательность непрерывных ядер на $E$ с тем условием, что ядро $K_n$ задает положительное самосопряженное сжатие в $L_2(E,\mu_n)$; несколько напрягая обозначения, мы сохраняем для сжатия тот же символ $K_n$. Пусть также $\mu$ – $\sigma$-конечная радонова мера на $E$, а $K$ – непрерывное ядро на $E$, задающее положительное самосопряженное сжатие в $L_2(E,\mu_n)$. Будем говорить, что последовательность $K_n$ $F$-сходится к предельному ядру $K$, если:
Из определения $F$-сходимости легко вытекает Предложение 2. Если последовательность непрерывных ядер неотрицательных самосопряженных сжатий $F$-сходится к предельному ядру $K$, то для всякого компакта $C\subset E$ выполнено Доказательство. 1. Достаточно при фиксированном $l$ доказать равенство действительно, ведь ряды, задающие детерминанты Фредгольма, сходятся равномерно.
2. Далее, возьмем $\varepsilon>0$ и рассмотрим компакт $C_\varepsilon=C\cap\{x\in E\colon K(x,x)\geqslant\varepsilon\}$. Для $x_1,\dots,x_n\in C_\varepsilon$ имеет место равномерная сходимость
$$
\begin{equation}
\frac{\det K_n(x_i,x_j)_{i,j=1,\dots,l}}{\prod_{i=1}^l K_n(x_i,x_i)}\rightrightarrows \frac{\det K(x_i,x_j)_{i,j=1,\dots,l}}{\prod_{i=1}^l K(x_i,x_i)}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Теперь, используя сходимость по вариации мер $K_n(x,x)\,d\mu_n(x)$ к предельной мере $K(x,x)\,d\mu(x)$, вспоминая, что в силу положительности наших ядер частные в (10) не превосходят $1$, и устремляя $\varepsilon\to 0$, завершаем доказательство предложения. $\square$ Возьмем отрезок $[a,b]\subset\mathbb{R}$. Из предложения 1 непосредственно вытекает такое Следствие 4. Пусть $K$ – оператор с конечным следом, действующий в пространстве $L_2([a,b])$ и допускающий непрерывное ядро $K(x,y)$. Пусть, далее, $K_n$ – последовательность ядер на $\mathbb{Z}$, наделенном стандартной считающей мерой, таких, что при любых $x,y\in[a,b]$ выполнено предельное соотношение причем сходимость в (11) равномерна на $[a,b]$. Тогда Предложение 1 непосредственно вытекает теперь из формулы (4) и формулы (12) в следствии 4.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Buf24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|