| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Двойственность в задаче Канторовича с фиксированным барицентром и барицентры функционалов Константин Афонинab a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Москва, Россия b Московский центр фундаментальной и прикладной математики, Москва, Россия
Английская версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324020023 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеНапомним классические постановки задачи Канторовича оптимальной транспортировки мер и двойственной к ней. На заданных вероятностных пространствах $(X,\mathcal{B}_X,\mu)$ и $(Y,\mathcal{B}_Y,\nu)$ с неотрицательной $\mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y$-измеримой функцией $h$ на произведении $X\times Y$ (такая функция называется функцией стоимости) рассматривается задача минимизации величины по всем мерам $\sigma$ из множества $\Pi(\mu,\nu)$ вероятностных мер на $(X\times Y,\mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y)$ с проекциями $\mu$ и $\nu$ на сомножители, т. е.
$$
\begin{equation*}
\sigma(A\times Y)=\mu(A), \quad \sigma(X\times B)=\nu(B), \qquad A\in\mathcal{B}_X, \quad B\in\mathcal{B}_Y.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $K_h(\mu,\nu)$ обозначим инфимум от функционала $I_h(\sigma)$ по всем таким мерам $\sigma$. Меры $\mu$ и $\nu$ называются маргиналами мер из $\Pi(\mu,\nu)$, а меры из $\Pi(\mu,\nu)$ – планами Канторовича. О задаче Канторовича см. [3], [4], [10], [11], [15], [18], [19]. Двойственная задача Канторовича состоит в нахождении величины
$$
\begin{equation*}
J_h(\mu,\nu) = \sup\biggl\{\int_X f\,d\mu + \int_Y g\,d\nu\biggm| f\in L^1(\mu), \,g\in L^1(\nu),\, f(x)+ g(y)\leqslant h(x,y)\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $f\in L^1(\mu)$ измерима относительно $\mathcal{A}$, а $g\in L^1(\nu)$ измерима относительно $\mathcal{B}$. Теорема о двойственности заключается в том, что при определенных условиях имеет место равенство В § 4 мы напомним формулировку и доказательство версии теоремы о двойственности для полунепрерывных снизу функций стоимости на вполне регулярных пространствах с радоновскими мерами. Вопрос о двойственности Канторовича естественным образом возникает для задачи Канторовича с фиксированным барицентром. Пусть теперь функция стоимости $h$ задана на $X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$, где $\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$ – пространство радоновских вероятностных мер на вполне регулярном пространстве $Y$, наделенное слабой топологией. Прямая задача состоит в поиске минимума интеграла
$$
\begin{equation*}
\int_{X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} h(x,p)\,P(dx\,dp)
\end{equation*}
\notag
$$
по всем мерам $P$ с проекцией $\mu$ на $X$ и барицентром второй проекции, равным $\beta\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$. Обозначим инфимум этого интеграла по таким мерам через $K^\beta_h(\mu)$. Двойственный к $K^\beta_h(\mu)$ функционал записывается в форме
$$
\begin{equation*}
J^\beta_h(\mu)=\sup\biggl\{\int_X f\,d\mu + \int_Y g\,d\beta \biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где супремум берется по ограниченным непрерывным функциям $f$ на $X$ и $g$ на $Y$, удовлетворяющим неравенству
$$
\begin{equation*}
f(x)+\int_Y g\,dp \leqslant h(x,p), \qquad x\in X, \quad p\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y).
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [1] (см. также [7], [6]) доказано, что если $X$ и $Y$ – полные сепарабельные метрические пространства, а функция $h$ полунепрерывна снизу, то выполнено равенство В настоящей работе мы расширяем результат о двойственности в задаче с фиксированным барицентром и доказываем, что соотношение двойственности верно для произвольных вполне регулярных пространств $X$ и $Y$. Из него получено несколько следствий, которые дополняют результаты работы [5]. Кроме того, в § 3 получен результат, связанный с барицентрами функционалов. Особо отметим, что этот результат дает ответ на вопрос о задании функционалов радоновскими мерами, который возник при рассмотрении задач с барицентрами, однако он также представляет и самостоятельный интерес. Данное утверждение о представлении играет ключевую роль при доказательстве соотношения двойственности. В заключительном § 5 рассматриваются две новые постановки барицентрических задач; для них доказаны теоремы двойственности, а также установлены связи с классической задачей Канторовича и с задачей с фиксированным барицентром. § 2. Обозначения и терминологияВ настоящей работе рассматриваются радоновские меры на вполне регулярных пространствах и их компактификациях. Напомним необходимые обозначения и терминологию. Пространство $X$ вполне регулярно, если оно хаусдорфово и для всякого замкнутого множества $F$ и всякой точки $x\in X\setminus F$ существует такая непрерывная функция $f\colon X\to [0,1]$, что $f(x)=1$ и $f=0$ на $F$. Известно (см. детали в [14], [17]), что топология вполне регулярного пространства $X$ порождается семейством псевдометрик $\Pi$ (псевдометрика отличается от метрики тем, что может обращаться в нуль на несовпадающих элементах). Пару $(X,\Pi)$ будем называть равномерным пространством. Функция $f\colon X\to \mathbb{R}$ из равномерного пространствами $(X,\Pi)$ называется равномерно непрерывной, если для всякого $\varepsilon>0$ найдутся такие $\delta>0$ и $d_1,\dots,d_n\in\Pi$, что для всех $x,y\in X$
$$
\begin{equation*}
|f(x)-f(y)|<\varepsilon, \quad\text{если}\ \ \max_{1\leqslant i\leqslant n}d_i(x,y)<\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $C_b(X)$ и $U_b(X)$ множества всех ограниченных непрерывных и ограниченных равномерно непрерывных функций на $X$ соответственно. Всякое равномерное пространство $(X,\Pi)$ обладает так называемой компактификацией Самюэля $sX$ (равномерной компактификацией); см. [17] или [14; п. 8.5.7]. Это такое компактное пространство, что $X$ гомеоморфно всюду плотному подмножеству в нем, причем это вложение равномерно непрерывно и для каждой ограниченной равномерно непрерывной функции на $X$ после такого вложения существует непрерывное продолжение на $sX$. Отметим, что такая компактификация зависит не только от топологии на $X$, но и от равномерности, порождающей эту топологию. Например, если на $X$ взять равномерность $\mathcal{U}(C_b)$, порожденную псевдометриками вида $|f(x)-f(y)|$, $f\in C_b(X)$, то равномерной компактификацией пространства $X$ будет стоун-чеховская компактификация $\beta X$, обладающая свойством продолжаемости всякой непрерывной ограниченной функции с $X$ на $\beta X$ (о стоун-чеховской компактификации см. [14]). Наименьшую $\sigma$-алгебру, содержащую все открытые множества топологического пространства $X$, будем называть борелевской и обозначать через $\mathcal{B}(X)$. Ограниченная $\sigma$-аддитивная мера $\mu$ на этой $\sigma$-алгебре называется радоновской, если
$$
\begin{equation*}
|\mu|(B) = \{|\mu|(K)\colon K\text{ -- компакт},\,K\subset B\}
\end{equation*}
\notag
$$
для всякого $B\in\mathcal{B}(X)$, где $|\mu|=\mu^{+}+\mu^{-}$ – полная вариация меры $\mu$, а $\mu^{+}$ и $\mu^{-}$ – ее положительная и отрицательная части из разложения Жордана–Хана. Пространство всех борелевских мер конечной вариации можно наделить нормой полной вариации относительно которой оно банахово. О радоновских мерах см. [8], [9]. Через $\mathcal{M}_{\mathrm r}(X)$ обозначается линейное пространство всех радоновских мер на $X$, а через $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ – его подмножество, состоящее из вероятностных мер. Пространство $\mathcal{M}_{\mathrm r}(X)$ наделяется $U_b(X)$-слабой топологией, которая есть топология двойственности $\sigma(\mathcal{M}_{\mathrm r}(X), U_b(X))$ с пространством $U_b(X)$, задаваемая полунормами вида
$$
\begin{equation*}
\mu\mapsto \biggl|\int_X f\, d\mu\biggr|, \qquad f\in U_b(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами, это $^*$-слабая топология на пространстве $(U_b(X))^*$, индуцированная на $\mathcal{M}_{\mathrm r}(X)$, если всякую меру $\mu\in\mathcal{M}_{\mathrm r}(X)$ рассматривать как функционал на $U_b(X)$, действующий по формуле В частности, если на $X$ взять равномерность $\mathcal{U}(C_b)$, то получим топологию слабой сходимости мер (см. [9]), ибо все ограниченные непрерывные функции на $X$ равномерно непрерывны по этой равномерности. Топология $\sigma(\mathcal{M}_{\mathrm r}(X), U_b(X))$ порождает равномерность на $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$, задаваемую псевдометриками
$$
\begin{equation*}
(\mu,\nu)\mapsto \biggl|\int_X f\, d\mu - \int_X f\, d\nu\biggr|, \qquad f\in U_b(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Такую равномерность будем называть $U_b(X)$-равномерностью, а соответствующую пару обозначать через $(\mathcal{P}_{\mathrm r}(X), U_b(X))$. На пространстве $\mathcal{M}_{\mathrm r}(X)$ можно ввести еще одну систему полунорм. Для каждой псевдометрики $d\in\Pi$ определена полунорма Канторовича–Рубинштейна
$$
\begin{equation*}
\|\mu\|_{\mathrm{KR},d}=\sup \biggl\{ \int_X f\, d\mu\colon f\in \operatorname{Lip}_1(d), \, |f|\leqslant 1\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{Lip}_1(d)$ – множество $1$-липшцевых функций $f$, т. е. $|f(x)-f(y)|\leqslant d(x,y)$. На подпространстве $\mathcal{M}_{\mathrm r}^1(X)$ тех мер, для которых при некотором $x_0\in X$ (тогда и при всех $x_0$) интегрируема функция $x\mapsto d(x,x_0)$, задана полунорма Канторовича
$$
\begin{equation*}
\|\mu\|_{\mathrm{K},d}=\sup\biggl\{ \int_X f\, d\mu\colon f\in \operatorname{Lip}_1(d),\, f(x_0)=0\biggr\}+|\mu(X)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Наборы полунорм $\|\cdot\|_{\mathrm{KR},d}$ и $\|\cdot\|_{\mathrm{K},d}$ по $d\in\Pi$ порождают равномерности на соответствующих пространствах. В работе [2] обсуждается связь слабой сходимости мер со сходимостью по наборам этих полунорм. Неотрицательные функционалы единичной нормы из пространства $(U_b(X))^*$ назовем вероятностными. Неотрицательность функционала $m\in (U_b(X))^*$ означает, что $m(f)\geqslant 0$ при $f\geqslant 0$; для этого используем запись $m\geqslant 0$. Лемма 2.1. Выпуклая оболочка дираковских мер $\{\delta_x\}_{x\in X}$ плотна во множестве вероятностных функционалов в $^*$-слабой топологии. Доказательство. Предположим, что существует вероятностный фукционал $m_0\in (U_b(X))^*$, не лежащий в замыкании $C$ по $^*$-слабой топологии выпуклой оболочки дираковских мер. Тогда по теореме Хана–Банаха найдется такая функция $f\in U_b(X)$, что
$$
\begin{equation*}
m_0(f)>\sup_{m\in C} m(f)\geqslant \sup_{x\in X} f(x).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, $m_0(f)\leqslant m_0(1)\cdot\sup_{x\in X} f(x)=\sup_{x\in X} f(x)$. Противоречие.
$\square$ Напомним, что функционал $m\in (U_b(X))^*$ называется плотным, если для каждого $\varepsilon>0$ существует такое компактное множество $K_\varepsilon$, что при $f\in U_b(X)$ и $f|_{K_\varepsilon}=0$ имеем Хорошо известно (см. [17; теорема 5.3]), что плотность функционала $m$ равносильна существованию такой радоновской меры $\mu\in\mathcal{M}_{\mathrm r}(X)$, что справедливо представление
$$
\begin{equation}
m(f) = \int_X f(x)\,\mu(dx) \quad \forall\, f\in U_b(X).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Более того, соотношение (2.1) выполнено и для $m^+$, $m^-$ и $|m|$ с мерами $\mu^+$, $\mu^-$ и $|\mu|$ соответственно, где $m^+$, $m^-\geqslant 0$ и $m=m^+ - m^-$, $|m|=m^+ + m^-$. Линейное подпространство плотных функционалов обозначается символом $(U_b(X))^*_t$. Из леммы 2.1 вытекает следующее утверждение, позволяющее отождествить ненулевые элементы пространств $(U_b(X))^*_t$ и $(C_b(X))^*_t$. Следствие 2.2. Пусть $X$ – вполне регулярное пространство с набором полуметрик $\Pi$. Тогда функционал $m\in (C_b(X))^*$, $m\ne 0$, является плотным тогда и только тогда, когда его ограничение на $U_b(X)$ является плотным. Более того, всякий ненулевой функционал из $(U_b(X))^*_t$ единственным образом продолжается до линейного непрерывного функционала на $C_b(X)$, причем такое продолжение лежит в $(C_b(X))^*_t$. Доказательство. Пусть $m\in (U_b(X))^*_t$ , а мера $\mu\in\mathcal{M}_{\mathrm r}(X)$ представляет $m$ в смысле равенства $(2.1)$. Можно считать, что $m$ – вероятностный функционал, т. е. $m\geqslant 0$ и $m(1)=\|m\|=1$. Тогда по лемме 2.1, применяемой к пространству $X$ с равномерностью $\mathcal{U}(C_b)$, существует такая направленность выпуклых комбинаций дираковских мер $\{m_\gamma\}$, что $\{m_\gamma\}$ сходится $C_b$-слабо к $m$. Так как $m$ задается мерой $\mu\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ на $U_b(X)$, а $C_b(X)$-слабая и $U_b(X)$-слабая топологии совпадают на $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ (см. [17; следствие 5.17] или [2]), то $\{m_\gamma\}$ сходится слабо к $\mu$. Таким образом, равенство (2.1) верно при $f\in C_b(X)$, что доказывает включение $m\in(C_b(X))^*_t$. Вторая часть утверждения следует из теоремы Хана–Банаха и первой части. $\square$ Пусть $(X,\Pi)$ – равномерное пространство, а $sX$ – его равномерная компактификация. Всякая функция $f\in U_b(X)$ имеет единственное продолжение $\widehat{f}\in C_b(sX)$. Если $\nu\in\mathcal{M}_{\mathrm r}(sX)$, то формула
$$
\begin{equation*}
f\mapsto\int_{sX}\widehat{f}\,d\nu, \qquad f\in U_b(X),
\end{equation*}
\notag
$$
определяет линейный непрерывный функционал на $U_b(X)$ с нормой, равной $\|\nu\|$. С другой стороны, по теореме Рисса для каждого $m\in (U_b(X))^*=(C_b(sX))^*$ существует мера $\nu\in\mathcal{M}_{\mathrm r}(sX)$, для которой $m$ имеет такой вид. Обозначим эту меру через $\mu_m$. Таким образом, отображение $m\mapsto\mu_m$ есть изометрический изоморфизм пространств $(U_b(X))^*$ и $\mathcal{M}_{\mathrm r}(sX)$. Приведем теорему, характеризующую функционалы на $U_b(X)$, которые могут быть заданы радоновскими мерами на $X$ (доказательство можно найти в [17; гл. 7]). Теорема 2.3. Функционал $m\in (U_b(X))^*$ принадлежит $(U_b(X))^*_t$ тогда и только тогда, когда существует такое $B\in\mathcal{B}(sX)$, что Ясно, что при условиях приведенной теоремы справедливо равенство где мера $\mu\in\mathcal{M}_{\mathrm r}(X)$ связана с $m$ соотношением (2.1). Таким образом, получаем описание
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}_{\mathrm r}(X) = \{\nu\in\mathcal{M}_{\mathrm r}(sX)\colon |\nu|^*(sX\setminus X)=0\},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $|\nu|^*$ – внешняя мера меры $|\nu|$. Следующее простое наблюдение позволяет описать компактификацию Самюэля $s\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ пространства вероятностных мер с равномерностью, порожденной равномерно непрерывными функциями. Пространство $\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)$ компактно (см. [9; теорема 5.1.2]) в слабой топологии, $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ вложено в $\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)$ и всюду плотно в нем, поскольку по лемме 2.1 в $\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)$ плотны выпуклые комбинации дираковских мер в точках из $sX$, а всякая дираковская мера в точке из $sX$ приближается дираковскими в точках из $X$ в силу всюду плотности $X$ в $sX$. Кроме того, $U_b(X)$-равномерность на $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ есть ограничение $C_b(sX)$-равномерности с пространства $\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)$, поэтому всякая ограниченная функция на $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$, равномерно непрерывная относительно $U_b(X)$-равномерности, продолжается до непрерывной функции на $\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)$ (см. [17; теорема 2.22] или [14; теорема 8.3.10]). Таким образом, нами доказано, что
$$
\begin{equation*}
s\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)=\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. равномерной компактификацией пары $(\mathcal{P}_{\mathrm r}(X), U_b(X))$ является $\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)$ со слабой топологией. В частности, равномерной компактификацией $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ со слабой топологией будет $\mathcal{P}_{\mathrm r}(\beta X)$.
§ 3. Барицентры функционаловПусть $(X,\Pi)$ – равномерное пространство и $L\in (U_b(\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)))^*$, где на $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ рассматривается $U_b(X)$-равномерность. Определим барицентр функционала $L$ формулой где
$$
\begin{equation*}
l_f (p) = \int_X f\,dp, \qquad p\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\beta_L\in (U_b(X))^*$ и $\|\beta_L\|\leqslant\|L\|$. Кроме того, если функционал $L$ задан $\tau$-аддитивной мерой $Q$ (см. [8], т. е. для всякой возрастающей направленности открытых множеств $U_\alpha$ числа $Q(U_\alpha)$ стремятся к $Q(\bigcup U_\alpha)$; например, все радоновские меры являются $\tau$-аддитивными), то $\beta_L$ также задается некоторой $\tau$-аддитивной мерой $\beta_Q$, называемой барицентром меры $Q$, причем для всех $B\in\mathcal{B}(X)$ справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\beta_Q(B)=\int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)} q(B)\,Q(dq).
\end{equation*}
\notag
$$
В самом деле, определив $\beta_Q$ формулой выше, получим $\tau$-аддитивную меру на $X$ (см. [9; предложение 5.8.5 и следствие 5.8.6]), для которой соотношение (3.1) выполняется в случае, когда $f$ есть индикатор множества $B\in\mathcal{B}(X)$. Из теоремы о монотонных классах теперь следует, что равенство
$$
\begin{equation*}
\int_X f(x)\,\beta_Q(dx) = \int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)}\int_X f(x)\,q(dx)\,Q(dq)
\end{equation*}
\notag
$$
справедливо для всех ограниченных борелевских функций $f$ на $X$. Как уже было замечено, барицентр $\tau$-аддитивной меры $Q$ на $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ является $\tau$-аддитивной мерой на $X$. Кроме того, мера $\beta_Q$ радонова только тогда, когда $Q$ сосредоточена на счетном объединении равномерно плотных компактных множеств в $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ (см. [10; предложение 3.1]). Однако из радоновости меры $Q$ не следует радоновость ее барицентра: в статье [12] построен пример радоновской вероятностной меры на пространстве радоновских вероятностных на вполне регулярном пространстве, для которой барицентр не является радоновской мерой. Естественным является рассмотрение обратной ситуации: пусть барицентр функционала $L\in (U_b(\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)))^*$ задан борелевской мерой. Задается ли борелевской мерой сам функционал? Оказывается, что при условии радоновости $\beta_L$ вероятностный функционал также представляется радоновской мерой. Теорема 3.1. Пусть вероятностный функционал $L\in (U_b(\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)))^*$ имеет плотный барицентр. Тогда $L\in(U_b(\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)))^*_t$. Доказательство. Как было показано выше, пространство $\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)$ со слабой топологией служит компактификацией Самюэля равномерного пространства $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ с $U_b(X)$-слабой равномерностью, где $sX$ – равномерная компактификация $(X,\Pi)$. Обозначим через $\sigma$ радоновскую меру на $\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)$, представляющую функционал $L$. Пусть мера $\beta\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ представляет функционал $\beta_L$ в смысле равенства (2.1). Заметим, что барицентр меры $\sigma$ есть продолжение $\beta$ до меры из $\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)$. В самом деле, так как для всякой функции $f\in U_b(X)$ непрерывным продолжением $l_f$ на $\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)$ является функционал
$$
\begin{equation*}
\widehat{l}_f\colon p\mapsto\int_{sX}\widehat{f}\,dp,\qquad p\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX),
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation*}
\int_X f\,d\beta=L(l_f) = \int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)}\widehat{l}_f\,d\sigma = \int_{sX}\widehat{f}\,d\beta_\sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 2.3 существует такое $B\in\mathcal{B}(sX)$, что $B\subset X$ и Множество
$$
\begin{equation*}
E:=\{p\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)\colon p(sX\setminus B)=0\}
\end{equation*}
\notag
$$
является борелевским в $\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)$ (см. [9; предложение 5.8.5]) и, кроме того, $E\subset\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ согласно (2.2). При этом для каждого $\varepsilon>0$ по неравенству Чебышёва имеем
$$
\begin{equation*}
\sigma(p\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)\colon p(sX\setminus B)>\varepsilon)\leqslant \frac{1}{\varepsilon}\int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)} p(sX\setminus B)\,\sigma(dp) = \frac{1}{\varepsilon}\beta_\sigma(sX\setminus B)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому $\sigma(\mathcal{P}_{\mathrm r}(sX)\setminus E)=0$, что с учетом теоремы 2.3 завершает доказательство.
$\square$ § 4. Двойственность в задачах КанторовичаНиже нам потребуется следующая теорема о представлении выпуклых полунепрерывных функций на локально выпуклых пространствах (доказательство см. в [16; гл. 4]). Теорема 4.1. Пусть $E$ – локально выпуклое пространство, а функция $f$: $E\to (-\infty,+\infty]$ не равна тождественно $+\infty$. Функция $f$ выпукла и полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда Из сформулированной теоремы, в частности, следует, что выпуклая полунепрерывная оболочка функции $f$, т. е. наибольшая выпуклая и полунепрерывная снизу функция, которая не больше $f$, на локально выпуклом пространстве $E$ есть супремум аффинных непрерывных функций на $E$, не превосходящих $f$. Также нам понадобится рассмотрение многозначных отображений. Пусть $X,Y$ – некоторые множества и $F\colon X\to 2^Y\setminus\{\varnothing\}$ – отображение со значениями во множестве всех непустых подмножеств $Y$. Графиком $F$ называется множество Напомним теперь понятие полунепрерывности сверху многозначного отображения между топологическими пространствами $X$ и $Y$. Отображение $F\colon X\to 2^Y\setminus\{\varnothing\}$ называется полунепрерывным сверху, если для всякого открытого множества $V\subset Y$ множество открыто в $X$. Например, непрерывная сюръекция $f\colon Y\to X$ является замкнутым отображением тогда и только тогда, когда многозначное отображение
$$
\begin{equation*}
x\mapsto f^{-1}(x), \qquad X\to 2^{Y}\setminus\{\varnothing\}
\end{equation*}
\notag
$$
полунепрерывно сверху. Отображение $F$ будем называть компактнозначным, если $F(x)$ – компакт в $Y$ для всех $x\in X$. Также через $\mathcal{K}(X)$ будем обозначать множество всех непустых компактов в $X$. Нетрудно показать, что компактнозначность и полунепрерывность сверху $F$ равносильны тому свойству, что для всякого $x\in X$ и всякой направленности $\{(x_t, y_t)\}\subset \Gamma_F$ выполнено: если $x_t\to x$, то направленность $\{y_t\}_t$ имеет предельную точку в $F(x)$. Отметим также, что непрерывная сюръекция $f\colon Y \to X$ является совершенным отображением (т. е. $f$ замкнуто и прообразы всех точек компактны) тогда и только тогда, когда многозначное отображение $x\mapsto f^{-1}(x)$ компактнозначно и полунепрерывно сверху. Из этих наблюдений и теоремы 3.1 вытекает следующее утверждение. Следствие 4.2. Пусть $X$ – вполне регулярное пространство. Тогда для отображения барицентра где $L\in(C_b(\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)))^*$ – вероятностный функционал, выполнено включение прообраза $\beta^{-1}(\mathcal{P}_{\mathrm r}(X))\subset\mathcal{P}_{\mathrm r}(\mathcal{P}_{\mathrm r}(X))$ и, кроме того, многозначное отображение Перейдем к рассмотрению оптимальных функций. Пусть заданы функция $f\colon X\times Y\to (-\infty,+\infty]$, которая не равна тождественно $+\infty$, и многозначное отображение $F\colon X\to 2^Y\setminus\{\varnothing\}$. Рассмотрим функцию Далее предполагаем, что $f^*>-\infty$.Приведем утверждение о выпуклости функции $f^*$ в случае линейных пространств $X$ и $Y$ (доказательство см. в [16; теорема 2.129]). Теорема 4.3. Пусть $X,Y$ – линейные пространства, многозначное отображение $F\colon X\to 2^Y\setminus\{\varnothing\}$ имеет выпуклый график и функция $f\colon X\times Y\to (-\infty,+\infty]$ выпукла. Тогда $f^*$ также является выпуклой. Имеются следующие простые достаточные условия, при которых функция $f^*$ полунепрерывна снизу. Лемма 4.4. Пусть $X,Y$ – топологические пространства, а многозначное отображение $F\colon X\to \mathcal{K}(Y)$ полунепрерывно сверху. Тогда если функция $f$ полунепрерывна снизу, то $f^*$ также полунепрерывна снизу. Доказательство. Возьмем направленность $\{x_t\}_t\subset X$, сходящуюся к $x$, и $\varepsilon>0$. Для каждого $t$ выберем такие $y_t\in F(x_t)$, что Согласно сделанному выше замечанию существует поднаправленность направленности $\{y_t\}_t$, сходящаяся к некоторому $y\in F(x)$. Можно считать, что такова исходная направленность. Тогда, пользуясь полунепрерывностью снизу функции $f$, получаем
$$
\begin{equation*}
f^*(x)\leqslant f(x,y)\leqslant\liminf_t f(x_t,y_t)\leqslant\liminf_t f^*(x_t)+\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает искомую полунепрерывность снизу $f^*$ в силу произвольности выбора числа $\varepsilon>0$. $\square$ Следствие 4.5. Пусть $X_0$ и $Y_0$ – замкнутые выпуклые подмножества в локально выпуклых пространствах $X$ и $Y$ соответственно, и пусть функция $f\colon X_0\times Y_0\to\mathbb{R}$ полунепревна снизу и выпукла, а многозначное отображение $F\colon X_0\to\mathcal{K}(Y_0)$ имеет выпуклый график и полунепрерывно сверху. Тогда Доказательство. Продолжим функцию $f^*$ значением $+\infty$ на пространство $X$. Такое продолжение выпукло и полунепрерывно снизу на $X$, так как оно обладает этими свойствами на $X_0$ по теореме 4.3 и лемме 4.4. Поэтому $f^*$ есть указанный супремум согласно теореме 4.1. $\square$ Пусть $X$ и $Y$ – два произвольных вполне регулярных пространства. Рассмотрим многозначное отображение
$$
\begin{equation*}
\Pi\colon (p,q)\mapsto \Pi(p,q), \qquad \mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)\to \mathcal{K}(\mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times Y)).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что отображение $\Pi$ полунепрерывно сверху. В самом деле, пусть направленности мер $(p_t, q_t)\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$ и $\sigma_t\in\Pi(p_t, q_t)$ таковы, что $\{p_t\}_t$ и $\{q_t\}_t$ сходятся слабо к радоновским мерам $p$ и $q$ соответственно. По теореме Банаха–Алаоглу из направленности $\{\sigma_t\}_t$ можно выделить поднаправленность $\{\sigma_s\}_s$, которая поточечно сходится к некоторому неотрицательному функционалу $L\in(C_b(X\times Y))^*$. Тогда проекции мер $\sigma_s$ сходятся к проекциям функционала $L$, т. е. к образам $L$ при проекциях на сомножители, поэтому проекции $L$ на $X$ и $Y$ есть $p$ и $q$ соответственно. Согласно [17; лемма 6.27] существует такая радоновская мера $\sigma$ на $X\times Y$, что
$$
\begin{equation*}
L(f) = \int_{X\times Y} f\,d\sigma \quad \forall \,f\in U_b(X\times Y).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, равенство выше выполнено и для всех $f\in C_b(X\times Y)$ согласно следствию 2.2. Тогда $\sigma_s$ сходится слабо к $\sigma$, так как слабая топология на множестве радоновских вероятностных мер совпадает с топологией двойственности с пространством равномерно непрерывных функций. Таким образом, $\sigma$ есть предельная точка направленности $\{\sigma_t\}_t$ в $\Pi(p,q)$. Из доказанного вытекает классический результат о двойственности Канторовича. Теорема 4.6. Пусть $X$ и $Y$ – вполне регулярные пространства с борелевскими $\sigma$-алгебрами $\mathcal{B}(X)$ и $\mathcal{B}(Y)$, $\mu\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$, $\nu\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$ и функция $h\colon X\times Y\to [0,+\infty)$ полунепрерывна снизу. Тогда Доказательство. Заключение теоремы следует из полунепрерывности снизу функции
$$
\begin{equation*}
\sigma\mapsto\int_{X\times Y} h(x,y)\,\sigma(dx\,dy), \qquad \sigma\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times Y),
\end{equation*}
\notag
$$
и следствия 4.5. $\square$ Отметим, что доказанная полунепрерывность сверху отображения $(p,q)\mapsto \Pi(p,q)$ влечет совершенность отображения
$$
\begin{equation*}
\sigma\mapsto (\sigma_X, \sigma_Y), \qquad \mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times Y)\to\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, получаем такое следствие. Следствие 4.7. Множество $M\subset \mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times Y)$ предкомпактно тогда и только тогда, когда его проекции $M_X\subset\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ и $M_Y\subset\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$ предкомпактны. Теперь напомним постановку линейной задачи Канторовича с фиксированным барицентром. Пусть заданы вполне регулярные пространства $X$ и $Y$ и ограниченная борелевская функция стоимости
$$
\begin{equation*}
h\colon X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)\to [0,+\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, пусть заданы меры $\mu\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ и $\beta\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$. На множестве
$$
\begin{equation*}
\Pi^\beta(\mu):=\{P\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y))\colon P_X=\mu,\,\beta(P_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)})=\beta\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $P_X$ – проекция меры $P$ на $X$, рассматривается задача
$$
\begin{equation}
\int_{X\times \mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} h(x,p)\,P(dx\,dp)\to\min, \qquad P\in\Pi^\beta(\mu).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
В дальнейшем для меры из $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y))$ ее проекцию на $\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$ будем обозначать через $P_{\mathcal{P}(Y)}$. Отметим, что радоновость мер $P_X$ и $\beta(P_{\mathcal{P}(Y)})$ равносильна тому, что мера $P$ сосредоточена на счетном объединении множеств вида $K\times\Pi$, где $K$ – компакт в $X$ и $\Pi$ – равномерный плотный компакт в $\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$. Такой класс мер будем обозначать символом $\mathcal{P}_{\mathrm r,u}(X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y))$. Как показано в работе [13], если функция стоимости $h$ полунепрерывна снизу на $X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$, то инфимум задачи Канторовича с фиксированным барицентром (4.2) достигается на некоторой мере $P\in\Pi^\beta(\mu)$, причем этот минимум равен минимуму линейной задачи Канторовича с той же самой функцией стоимости и маргиналами $\mu$ и $P_{\mathcal{P}}$. Тогда по теореме двойственности получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\inf_{P\in\Pi^\beta(\mu)}\int_{X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} h(x,p)\,P(dx\,dp) =\sup\biggl\{\int_X f\,d\mu + \int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} G\,dP_{\mathcal{P}}\biggm| \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad (f,G)\in C_b(X)\times C_b(\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)), f(x)+ G(p)\leqslant h(x,p)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Однако представляет интерес двойственность в следующей форме:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\inf_{P\in\Pi^\beta(\mu)}\int_{X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} h(x,p)\,P(dx\,dp) = \sup\biggl\{\int_X f\,d\mu + \int_Y g\,d\beta\biggm| \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad (f,g)\in C_b(X)\times C_b(Y),\, f(x)+\int_Y g\,dp\leqslant h(x,p)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Отличие этой двойственности от двойственности выше – в линейности по мерам $p\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$ и вытекающей отсюда выпуклости и полунепрерывности снизу супремума как функции от мер $\mu$ и $\beta$. Теорема 4.8. Пусть $X$ и $Y$ – вполне регулярные пространства, а функция стоимости $h$ полунепрерывна снизу на $X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$. Тогда имеет место равенство (4.3). Доказательство. Действительно, для всяких $\mu\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ и $\beta\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$ множество $\Pi^\beta(\mu)$ есть прообраз пары $(\mu,\beta)$ при совершенном и выпуклом отображении
$$
\begin{equation*}
P\mapsto (P_X, \beta(P_\mathcal{P})), \qquad \mathcal{P}_{\mathrm r,u}(X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y))\to\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)
\end{equation*}
\notag
$$
как композиции совершенных и выпуклых отображений $P\mapsto (P_X, P_{\mathcal{P}})$, $(p,Q)\mapsto (p,\beta(Q))$ (см. [14; следствие 3.7.3 и теорема 3.7.10]). Следовательно, многозначное отображение $(\mu,\beta)\mapsto\Pi^\beta(\mu)$ обладает выпуклым графиком и полунепрерывно сверху. Требуемое тождество (4.3) теперь следует из следствия 4.5. $\square$ Замечание 4.9. Функция $(\mu,\beta)\mapsto K^\beta(\mu)$ максимальная среди выпуклых полунепрерывных снизу на $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$ функций $G$, для которых Доказанная теорема имеет несколько следствий, дополняющих результаты работы [5]. В указанной статье рассматривается функция
$$
\begin{equation*}
H(x,p)=\inf_{Q\in B_p}\int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} h(x,q)\,Q(dq),
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_p$ – множество таких мер $Q\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y))$, что $\beta_Q=p$. Заметим, что выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
H(x,p)=\inf_{P\in \Pi^p(\delta_x)}\int_{X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} h(x',q)\,P(dx'\,dq),
\end{equation*}
\notag
$$
вытекающее из того, что мера с проекцией, равной мере Дирака, есть произведение этой дираковской меры на вторую проекцию. Из этого равенства и замечания 4.9 следует максимальность функции $H$ среди таких функций $G\colon X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)\to\mathbb{R}$, которые полунепрерывны снизу по совокупности аргументов, выпуклы по второму аргументу и не превосходят $h$. Однако о функции $H$ можно сказать немного больше. Следствие 4.10. Пусть функция $h$ полунепрерывна снизу на всем произведении $X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$. Тогда для каждого $x\in X$ функция $p\mapsto H(x,p)$ является выпуклой полунепрерывной снизу оболочкой функции $p\mapsto h(x,p)$. Доказательство. Зафиксируем $x\in X$. Из теоремы 4.8 вытекает, что $H$ обладает всеми указанными свойствами. Если $g\in C_b(Y)$ и $b\in\mathbb{R}$ таковы, что
$$
\begin{equation*}
\int_Y g\,dq + b\leqslant h(x,q) \quad\forall\, q\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y),
\end{equation*}
\notag
$$
то, интегрируя это неравенство по мере $Q\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y))$ с барицентром $p$, получим
$$
\begin{equation*}
\int_Y g\,dp + b\leqslant \int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} h(x,q)\,Q(dq).
\end{equation*}
\notag
$$
Переход к инфимуму по множеству $B_p$ дает неравенство $G\leqslant H(x,\cdot)$ для непрерывных афинных функций $G$, а значит, и для выпуклой оболочки функции $p\mapsto h(x,p)$. $\square$ В качестве еще одного следствия получаем утверждение о равенстве значений задачи Канторовича с фиксированным барицентром для функций стоимости $h$ и $H$. Следствие 4.11. Пусть $X$, $Y$ – вполне регулярные пространства, а функция стоимости $h$ полунепрерывна снизу на всем произведении $X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$. Тогда Доказательство. Согласно теореме 4.8 выполнены два равенства
$$
\begin{equation*}
K^\beta_h(\mu)=J^\beta_h(\mu), \qquad K^\beta_H(\mu)=J^\beta_H(\mu).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, для всяких $f\in C_b(X)$ и $g\in C_b(Y)$ функция
$$
\begin{equation*}
(x,p)\mapsto f(x) + \int_Y g\,dp, \qquad X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)\to\mathbb{R}
\end{equation*}
\notag
$$
непрерывна по совокупности переменных и линейна по второму аргументу, поэтому из замечания 4.9 следует равенство $J_h^\beta(\mu)=J_H^\beta(\mu)$, которое завершает доказательство. $\square$ Наконец, приведем утверждение об эквивалентности нелинейной задачи Канторовича с условными мерами для $h$ и $H$. Теорема 4.12 (см. [5]). Пусть $X$, $Y$ – вполне регулярные пространства, причем $Y$ – суслинское пространство, мера $\mu$ сепарабельна и не имеет атомов, а функция стоимости $h\geqslant 0$ непрерывна и ограничена на всем пространстве $X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$. Тогда В работе [5] показано, что функция $H$ полунепрерывна снизу на всех множествах вида $K\times\Pi$, где $K$ – компакт в $X$, а $\Pi$ – равномерно плотный компакт в $\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$; однако оставалось неясным будет ли $H$ полунепрерывна снизу на всем произведнии $X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$. Теперь получается, что $H$ в самом деле полунепрерывна снизу на $X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$, а указанная задача с произвольной функцией стоимости заменяется на ту же задачу с функцией стоимости, которая есть выпуклая оболочка исходной в полном соответствии с результатом работы [1]. § 5. Барицентрические задачиМожно поставить еще две барицентрические задачи типа Канторовича. Пусть задана ограниченная борелевская функция стоимости
$$
\begin{equation*}
h_1\colon \mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)\to [0,+\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
На множестве
$$
\begin{equation*}
B_1(\mu,\nu):=\{Q\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y))\colon \beta(Q_{\mathcal{P}(X)})=\mu,\, \beta(Q_{\mathcal{P}(Y)})=\nu\}
\end{equation*}
\notag
$$
рассмотрим задачу поиска минимума
$$
\begin{equation}
\int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times \mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} h_1(p,q)\,Q(dp\,dq)\to\min, \qquad Q\in B_1(\mu,\nu).
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Назовем такую задачу задачей Канторовича с фиксированными барицентрами проекций. Для всяких $\mu\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ и $\nu\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$ множество $B_1(\mu,\nu)$ есть прообраз пары $(\mu,\nu)$ при отображении
$$
\begin{equation*}
Q\mapsto (\beta(Q_{\mathcal{P}(X)}), \beta(Q_{\mathcal{P}(Y)})),
\end{equation*}
\notag
$$
заданном на множестве мер, сосредоточенных на счетных объединениях произведений равномерно плотных компактов. Это отображение выпукло и совершенно, так как является композицией совершенных отображений
$$
\begin{equation*}
Q\mapsto (Q_{\mathcal{P}(X)},Q_{\mathcal{P}(Y)}), \qquad (Q_1,Q_2)\mapsto (\beta(Q_1),\beta(Q_2)).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что инфимум интегралов в (5.1) по $Q\in B_1(\mu,\nu)$ есть оптимальная функция, соответствующая многозначному отображению $(\mu,\nu)\mapsto B_1(\mu,\nu)$ и функции
$$
\begin{equation*}
Q\mapsto \int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times \mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} h_1(p,q)\,Q(dp\,dq), \qquad Q\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, обозначив этот инфимум через $D_{h_1}(\mu,\nu)$, для полунепрерывной снизу функции $h_1$ согласно следствию 4.5 имеем равенство
$$
\begin{equation*}
D_{h_1}(\mu,\nu) = \sup\biggl\{\int_X f\,d\mu + \int_Y g\,d\nu\biggm|\int_X f\,d\mu'+\int_Y g\,d\nu' \leqslant D_{h_1}(\mu',\nu')\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где супремум берется по всем $f\in C_b(X)$ и $g\in C_b(Y)$. Неравенство в этом супремуме равносильно неравенству
$$
\begin{equation*}
\int_X f\,dp+\int_Y g\,dq \leqslant h_1(p,q) \quad \forall\, (p,q)\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times \mathcal{P}_{\mathrm r}(Y).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, получаем следующую двойственность в задаче (5.1):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\inf_{Q\in B_1(\mu,\nu)}\int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times \mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} h_1(p,q)\,Q(dp\,dq) = \sup\biggl\{\int_X f\,d\mu + \int_Y g\,d\nu\biggm| \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad (f,g)\in C_b(X)\times C_b(Y), \int_X f\,dp+\int_Y g\,dq\leqslant h_1(p,q)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
В частности, если функция стоимости $h_1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
h_1(p,q) = \int_X h(x,q)\,p(dx), \qquad p\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(X), \quad q\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y),
\end{equation*}
\notag
$$
где $h\colon X\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)\to[0,\infty)$ полунепрерывна снизу, то получим равенство значений задач
$$
\begin{equation*}
\inf_{Q\in B_1(\mu,\nu)}\int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times \mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} h_1(p,q)\,Q(dp\,dq) = \inf_{P\in\Pi^\beta(\mu)}\int_{X\times \mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} h(x,q)\,P(dx\,dq).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что из равенства (5.2) вытекает, что функция $(p,q)\mapsto D_{h_1}(p,q)$ есть выпуклая полунепрерывная снизу оболочка функции $h_1$ и, кроме того, справедливо равенство значений задачи (5.1)
$$
\begin{equation*}
\inf_{Q\in B_1(\mu,\nu)}\int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times \mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} \!\! h_1(p,q)\,Q(dp\,dq) = \inf_{Q\in B_1(\mu,\nu)}\int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times \mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)}\!\!D_{h_1}(p,q)\,Q(dp\,dq).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим еще одну модификацию задачи с барицентрами – задачу с проекциями барицентра. Пусть задана ограниченная борелевская функция стоимости
$$
\begin{equation*}
h_2\colon \mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times Y)\to [0,+\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
На множестве
$$
\begin{equation*}
B_2(\mu,\nu):=\{P\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(\mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times Y))\colon \beta_P\in\Pi(\mu,\nu)\}=\beta^{-1}\bigl(\Pi(\mu,\nu)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
рассматриваем задачу поиска минимума
$$
\begin{equation}
\int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times Y)} h_2(\sigma)\,P(d\sigma)\to\min, \qquad P\in B_2(\mu,\nu).
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
В этом случае для мер $\mu\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ и $\nu\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$ множество $B_2(\mu,\nu)$ есть прообраз композиции выпуклых совершенных отображений $P\mapsto \beta_P$ и $\sigma\mapsto (\sigma_X, \sigma_Y)$. Обозначив инфимум интегралов в (5.3) через $V_{h_2}(\mu,\nu)$, как и выше, замечаем, что $V_{h_2}$ является оптимальной функцией для многозначного отображения $(\mu,\nu)\mapsto B_2(\mu,\nu)$ и функции
$$
\begin{equation*}
P\mapsto \int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times Y)} h_2(\sigma)\,P(d\sigma), \qquad P\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(\mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times Y)).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда снова при условии полунепрерывности снизу функции $h_2$ в силу следствия 4.5 получаем
$$
\begin{equation*}
V_{h_2}(\mu,\nu) = \sup\biggl\{\int_X f\,d\mu + \int_Y g\,d\nu\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где супремум взят по функциям $f\in C_b(X)$ и $g\in C_b(Y)$, удовлетворяющим неравенствам
$$
\begin{equation*}
\int_X f\,dp+\int_Y g\,dq \leqslant V_{h_2}(p,q), \qquad p\in \mathcal{P}_{\mathrm r}(X), \quad q\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y).
\end{equation*}
\notag
$$
Класс таких пар функций $(f,g)$ совпадает со множеством функций, для которых
$$
\begin{equation*}
\int_X f(x)\,\sigma_X(dx)+\int_Y g(y)\,\sigma_Y(dy) \leqslant h_2(\sigma) \quad \forall\, \sigma\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times Y).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, получаем следующую двойственность в задаче (5.3):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\inf_{P\in B_2(\mu,\nu)}\int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times Y)} h_2(\sigma)\,P(d\sigma) = \sup\biggl\{\int_X f\,d\mu + \int_Y g\,d\nu\biggm| \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad (f,g)\in C_b(X)\times C_b(Y), \int_X f\,dp+\int_Y g\,dq\leqslant \inf_{\sigma\in\Pi(p,q)}h_2(\sigma)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Более того, так как функция
$$
\begin{equation*}
\widehat{h}(p,q) = \inf_{\sigma\in\Pi(p,q)} h_2(\sigma), \qquad (p,q)\in\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y),
\end{equation*}
\notag
$$
полунепрерывна снизу по лемме 4.4, то из равенств двойственности (5.2) и (5.4) следует равенство значений задач (5.1) и (5.3):
$$
\begin{equation}
\inf_{P\in B_2(\mu,\nu)}\int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times Y)} h_2(\sigma)\,P(d\sigma) = \inf_{Q\in B_1(\mu,\nu)}\int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times \mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} \widehat{h}(p,q)\,Q(dp\,dq).
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
В частности, если $h_2(\sigma)$ есть интеграл по $\sigma$ от полунепрерывной снизу функции $h\colon X\times Y\to[0,\infty)$, то $V_{h_2}(\mu,\nu) = K_h(\mu,\nu)$. В заключение отметим, что равенство (5.5) устанавливает связь задачи (5.1) с задачей (5.3) для заданной функции стоимости на $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times Y)$, однако есть и обратная связь этих задач для функции стоимости на $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$. Действительно, если $h_1\colon \mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)\to [0,+\infty)$ полунепрерывна снизу, то
$$
\begin{equation*}
\inf_{Q\in B_1(\mu,\nu)}\int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)\times \mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)} h_1(p,q)\,Q(dp\,dq) = \inf_{P\in B_2(\mu,\nu)}\int_{\mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times Y)} h_1(\sigma_X, \sigma_Y)\,P(d\sigma).
\end{equation*}
\notag
$$
Полученное равенство вытекает из (5.5) для $h_2(\sigma) = h_1(\sigma_X, \sigma_Y)$. В заключение автор благодарит В. И. Богачева за интерес к работе. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Afo24} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|