| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Плоские гиперкомплексные нильмногообразия Юлия Горгинянab a Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, Brazil b Лаборатория алгебраической геометрии и ее приложений, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Москва, Россия
Английская версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S001626632403002X 
Реферативные базы данных:
   § 1. Введение1.1. Аффинные многообразияМногообразие $X$ с плоской связностью $\nabla$ без кручения называется плоским аффинным многообразием. Эквивалентно, аффинное многообразие $X$ – это многообразие с атласом таким, что все функции склейки между картами находятся в $\operatorname{Aff}(\mathbb R^n)$ (см. [12], [24]). Напомним, что группа аффинных преобразований $\operatorname{Aff}(\mathbb R^n)$ является полупрямым произведением $\operatorname{GL}_n(\mathbb R)\ltimes\mathbb R^n$. Если $f\in\operatorname{Aff}(\mathbb R^n)$, то для любого $x\in\mathbb R^n$ существуют линейная часть $A\in\operatorname{GL}(\mathbb R^n)$ и параллельный перенос $t \in\mathbb R^n$ такой, что $f(x)=Ax+t$. Отображение линеаризации – это естественный гомоморфизм $l\colon \operatorname{Aff}(\mathbb R^n)\to\operatorname{GL}(\mathbb R^n)$, заданный формулой $l(f)=A$. Аффинное многообразие $X$ называется полным, если его универсальное накрытие аффинно эквивалентно $\mathbb R^n$, т.е. $X=\mathbb R^n/\Gamma$, где $\Gamma\subset\operatorname{Aff}(\mathbb R^n)$ – дискретная подгруппа группы аффинных преобразований. В области аффинной геометрии остается открытым множество вопросов. Наиболее известными являются следующие три гипотезы. Гипотеза 1.1 (Ш. Черн). Эйлерова характеристика компактного аффинного многообразия равна нулю [13]. Б. Костант и Д. Салливан доказали гипотезу Черна для полных компактных аффинных многообразий [21]. Б. Клинглер показал, что гипотеза верна в случае, когда компактное аффинное многообразие допускает параллельную форму объема [20]. В максимальной общности гипотеза остается открытой. Гипотеза Маркуса связывает существование параллельной формы объема с полнотой компактного аффинного многообразия. Гипотеза 1.2 (Л. Маркус [23]). Компактное аффинное многообразие $X$ допускает параллельную форму объема тогда и только тогда, когда многообразие $X$ полно. Напомним, что подгруппа $\Gamma$ аффинной группы $\operatorname{Aff}(\mathbb R^n)$ называется кристаллографической [1], если $\Gamma$ действует на $\mathbb R^n$ кокомпактно, вполне разрывно и свободно. Говорят, что группа $G$ обладает некоторым свойством $P$ виртуально, если $G$ содержит подгруппу $H$ конечного индекса, обладающую свойством $P$. Теорема 1.3 (Л. Бибербах [6]). Каждая дискретная подгруппа $\Gamma$ группы изометрий $\operatorname{Isom}(\mathbb R^n)$ виртуально абелева. Каждая кристаллографическая подгруппа $\operatorname{Isom}(\mathbb R^n)$ является виртуальной группой параллельных переносов. Для данного $n$ существует лишь конечное число таких групп $\Gamma\subset\operatorname{Isom}(\mathbb R^n)$ с точностью до сопряжения. Теорему Бибербаха можно обобщать разными способами. Например, вместо группы $\operatorname{Isom}(\mathbb R^n)$ рассматривать группу $\operatorname{Aff}(\mathbb R^n)$. Гипотеза 1.4 (Л. Ауслендер [4]). Каждая кристаллографическая подгруппа аффинной группы виртуально разрешима, т.е. содержит разрешимую подгруппу конечного индекса. Гипотеза Ауслендера была доказана Д. Фридом и В. Гольдманом [11] в случае $n=3$ и позже результат был улучшен вплоть до размерности $n=6$ Х. Абельсом, Г. А. Маргулисом и Г. А. Сойфером [2]. Также гипотеза Ауслендера верна в случае, когда группа монодромии сохраняет метрику сигнатуры $(1,n)$ (см. [15]) и $(2,n)$ (см. [3]). 1.2. Гиперкомплексные аффинные нильмногообразияНапомним, что нильмногообразие $N=\Gamma\setminus G$ – это компактный фактор связной односвязной нильпотентной группы Ли $G$ по решетке $\Gamma$, действующей на группе $G$ слева. Оно называется аффинным нильмногообразием, если $G$ имеет левоинвариантную аффинную структуру, т.е. плоскую связность без кручения $\nabla$ такую, что $L_g^*(\nabla)=\nabla$, где $ L_g\colon G\to G$ – действие левыми сдвигами $G$ на себе. Пусть $\pi\colon \widetilde X\to X$ – универсальное накрытие многообразия $X$ и $\pi_1(X)$ – его фундаментальная группа. Рассмотрим аффинное погружение $D\colon \widetilde{X}\to\mathbb R^n$. По теореме 27.34 из [19] $D$ существует и определено однозначно с точностью до аффинного автоморфизма. Определение 1.5. Представление аффинной голономии – это гомоморфизм $h\colon \pi_1(X)\to\operatorname{Aff}(\mathbb R^m)$, который удовлетворяет условию $D\circ \gamma=h(\gamma)\circ D$ для любого $\gamma\in\pi_1(X )$ и единствен. Аффинная группа голономии $\mathcal{H}\colon =\Im(h)$ – это образ гомоморфизма $h$ в $\operatorname{Aff}(\mathbb R^n)$. Группа линейной голономии – это образ аффинной группы голономии при отображении линеаризации $\mathcal{L}: =l(\mathcal{H})\subset\operatorname{GL}(\mathbb R^n)$. Определение 1.6. Замкнутая подгруппа Ли $G\subset\operatorname{GL}(V)$ называется линейной алгебраической группой, если $G$ задается системой полиномиальных уравнений. Определение 1.7. Представление линейной алгебраической группы называется унипотентным, если в некотором базисе ее образ лежит в группе строго верхнетреугольных матриц. Пусть $X$ – компактное аффинное многообразие, линейное представление голономии которого унипотентно. Тогда $X$ допускает параллельную форму объема. Обратное тоже верно и было доказано В. Гольдманом, Д. Фридом и М. Хиршем (см. [12; теорема A]). Теорема 1.8. Пусть $X$ – компактное аффинное многообразие с параллельной формой объема. Предположим, что аффинная группа голономии нильпотентна. Тогда представление линейной голономии унипотентно. Мы будем использовать следующую переформулировку теоремы 1.8. Теорема 1.9. Пусть $X$ – компактное аффинное многообразие с параллельной формой объема, и пусть его фундаментальная группа нильпотентна. Тогда представление монодромии унипотентно. Нас интересуют аффинные нильмногообразия, которые также обладают гиперкомплексной структурой. Напомним определение комплексного нильмногообразия. Определение 1.10. Пусть $G$ – группа Ли с левоинвариантной комплексной структурой $\widetilde{I}$. Комплексное нильмногообразие – это пара $(\Gamma\setminus G, I)$, где $\Gamma\setminus G$ – нильмногообразие, а комплексная структура $I$ получается из соответствующей левоинвариантной комплексной структуры $\widetilde{I}$ на $G$. Почти гиперкомплексное многообразие – это гладкое многообразие, снабженное тремя эндоморфизмами $I, J$ и $K$ касательного расслоения, удовлетворяющими кватернионным соотношениям $I^2=J^2=K^2=-\operatorname{Id}$ и $IJ=-JI=K$. Когда почти комплексные структуры интегрируемы, четверка $(X, I, J, K)$ называется гиперкомплексным многообразием. Определение 1.11. Пусть $G$ – нильпотентная группа Ли с левоинвариантной гиперкомплексной структурой $\widetilde{I}, \widetilde{J},\widetilde{K}$ и $\Gamma\subset G$ – кокомпактная решетка. Тогда $(\Gamma\setminus G, I, J, K)$ называется гиперкомплексным нильмногообразием. М. Обата показал [18], что на любом гиперкомплексном многообразии $M$ существует единственная связность $\nabla$ без кручения, сохраняющая комплексные структуры: $\nabla I=\nabla J=\nabla K=0$. Она называется связностью Обаты. Связность Обаты записывается в явном виде следующим образом:
$$
\begin{equation}
\nabla_XY=\frac{1}{2}\bigl([X,Y]+I[IX,Y]-J[X,JY]+K[IX,JY]\bigr)
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
для любого $X,Y\in TM$ (см. [25]). Отметим следующий факт – на всяком гиперкомплексном нильмногообразии существует параллельная форма объема. Теорема 1.12 (см. [5; теорема 3.2]). Пусть $N=\Gamma\setminus G$ – гиперкомплексное нильмногообразие, $n=\dim_{\mathbb C}G$. Тогда $G$ допускает левоинвариантное ненулевое голоморфное сечение $\Omega$ канонического расслоения $\Lambda^{n,0}G$. Более того, $\nabla\Omega=0$, где $\nabla$ – это связность Обаты. 1.3. $\mathbb H$-разрешимые алгебры Ли и алгебраическая голономияОператор $I$ на вещественной алгебре Ли $\mathfrak g$ называется оператором комплексной структуры, если $I^2=-\operatorname{Id}$ и $\sqrt{-1}$-собственное пространство $\mathfrak g^ {1,0}$ – подалгебра Ли в комплексификации $\mathfrak g_{\mathbb C}=\mathfrak g\otimes\mathbb C$. Возьмем эндоморфизм $I\in\operatorname{End}(\mathfrak g)$, $I^2=-\operatorname{Id}$, и продолжим его до левоинвариантной почти комплексной структуры на группе Ли $G$. Эндоморфизм $I$ является комплексной структурой на группе Ли (как на многообразии) тогда и только тогда, когда $[\mathfrak g^{1,0},\mathfrak g^{1,0}]\subset\mathfrak g^{1,0}$. Другими словами, это определение согласовано с определением 1.10. Гиперкомплексная структура на алгебре Ли – это тройка операторов комплексной структуры $I,J$ и $K$, удовлетворяющих кватернионным соотношениям. Определение 1.13. Пусть $\mathfrak g$ – нильпотентная гиперкомплексная алгебра Ли и $\mathbb H$ – алгебра кватернионов, порожденная $I,J$ и $K$. Пусть $\mathfrak g_0^{\mathbb H}=\mathfrak g$ и – минимальная кватернионно-инвариантная подалгебра в $\mathfrak g$, содержащая $[\mathfrak g,\mathfrak g]$. Индуктивно определим $\mathbb H$-инвариантные подалгебры Ли: Возникает естественный вопрос: является ли $\mathfrak g_1^{\mathbb H}$ собственной подалгеброй в $\mathfrak g$? Гиперкомплексная нильпотентная алгебра Ли $\mathfrak g$ называется $\mathbb H$-разрешимой, если следующая последовательность завершается для некоторого $k\in\mathbb Z_{>0}$: Гипотеза 1.14. Пусть $(\mathfrak g, I, J, K)$ – нильпотентная гиперкомплексная алгебра Ли. Тогда она $\mathbb H$-разрешима. Пусть $(N=\Gamma\setminus G, I, J, K)$ – гиперкомплексное нильмногообразие. Рассмотрим комплексное нильмногообразие $(N, L)$ с общей комплексной структурой $L=aI+bJ+cK$, где $(a,b,c)\in S^2$, полученной из гиперкомплексной структуры. Естественно попытаться описать комплексные подмногообразия в $(N, L)$. Мы решили эту проблему в случае комплексных кривых при условии, что соответствующая алгебра Ли $\mathbb H$-разрешима [16]. В настоящей работе мы показываем, что если гиперкомплексное нильмногообразие $\Gamma\setminus G$ допускает плоскую связность Обаты, то соответствующая алгебра Ли $\mathfrak g=\operatorname{Lie}(G)$ является $\mathbb H$-разрешимой. Основной аргумент, который мы используем, основан на понятии алгебраической группы голономии, определение которой дано ниже (определение 3.16). В [10] было показано, что все 8-мерные гиперкомплексные нильпотентные алгебры Ли являются Обата-плоскими. Однако в той же статье И. Дотти и А. Фино дают пример 3-ступенчатой нильпотентной гиперкомплексной алгебры Ли размерности 12, которая имеет ненулевую кривизну связности Обаты. В том случае, когда группа Ли $G$ допускает левоинвариантную гиперкомплексную структуру с плоской связностью Обаты, мы доказываем, что $\mathfrak g_i^{\mathbb H}$ является собственной подалгеброй в $\mathfrak g_{i-1}^{\mathbb H}$, используя следующий подход. Связностью на алгебре Ли $\mathfrak g$ называется $\mathbb R$-линейное отображение
$$
\begin{equation*}
\nabla\colon \mathfrak g\to\mathfrak g^*\otimes\mathfrak g
\end{equation*}
\notag
$$
такое, что $X\mapsto\nabla_X\in\operatorname{End}(\mathfrak g)$. Заметим, что связность на алгебре Ли $\mathfrak g$ эквивалентна левоинвариантной связности на группе Ли $G$ (утверждение 3.5). Это понятие можно обобщить на произвольное $G$-эквивариантное векторное расслоение на группе Ли $G$, дав алгебраическую версию эквивариантной связности (см. (3.1)). Тензор кривизны $R$ связности $\nabla$ определяется следующим образом: где $X, Y\in\mathfrak g$. Мы говорим, что связность $\nabla$ плоская, если $R=0$. Заметим, что левоинвариантные плоские связности на $G$ эквивалентны представлениям алгебры Ли на самой себе, рассматриваемой как векторное пространство (утверждение 3.8).Главным результатом настоящей статьи является следующая теорема. Теорема 1.15. Пусть $(N, I, J, K)$ – гиперкомплексное нильмногообразие с плоской связностью Обаты. Тогда соответствующая алгебра Ли $\mathbb H$-разрешима. Отметим, что теорема доказана для случая, когда алгебра Ли $\mathfrak g$ допускает рациональную структуру. Пусть $\mathfrak g$ – нильпотентная алгебра Ли над полем $\mathbb R$. Рациональная структура в $\mathfrak g$ – это подалгебра $\mathfrak g_{\mathbb Q}\subset\mathfrak g$, определенная над рациональными числами и такая, что $\mathfrak g_{\mathbb Q}\otimes_{\mathbb Q}\mathbb R= \mathfrak g$. Предположим, что алгебра Ли $\mathfrak g$ допускает рациональную структуру $\mathfrak g_{\mathbb Q}$. По [9] это происходит тогда и только тогда, когда существует нильмногообразие $\Gamma\setminus G$ такое, что $\mathfrak g_{\mathbb Q}:=\operatorname{span}_{\mathbb Q}\langle\log\Gamma \rangle$. § 2. Предварительные сведения: нильпотентные группы и алгебры ЛиПусть $G$ – группа Ли. Индуктивно определим убывающую цепочку нормальных подгрупп группы $G$:
$$
\begin{equation}
G=G_0\supset G_1\supset G_2 \supset\cdots\supset G_k \supset\cdots,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $G_j:=[G_{j-1},G]$ – подгруппа, порожденная элементами вида $xyx^{-1}y^{-1}$, $x\in G_{j-1 }$, $y\in G$. Определение 2.1. Группа Ли $G$ называется нильпотентной группой Ли, если $G_k=\{e\}$ для некоторого $k\in\mathbb Z_{>0}$. Убывающий центральный ряд алгебры Ли $\mathfrak g$ – это цепочка идеалов, определяемая следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak g_0\supset\mathfrak g_1\supset\dots\supset[\mathfrak g_k,\mathfrak g]\supset\dotsb,
\end{equation*}
\notag
$$
$\mathfrak g_0=\mathfrak g$ и $\mathfrak g_k=[\mathfrak g_{k-1},\mathfrak g]$. Определение 2.2. Алгебра Ли $\mathfrak g$ называется нильпотентной, если $\mathfrak g_s=0$ для некоторого $s\in\mathbb Z_{>0}$. Пусть $\mathfrak g$ – вещественная алгебра Ли и $\mathfrak g^*$ – ее двойственное пространство. Для любых $\alpha\in\mathfrak g^*$ и $\xi,\theta\in\mathfrak g$ дифференциал Шевалле–Эйленберга $d\colon \mathfrak g^*\to\Lambda^2\mathfrak g^*$ определен следующим образом: Он продолжается до конечномерного комплекса
$$
\begin{equation}
0\to\mathfrak g^*\to\Lambda^2\mathfrak g^*\to\cdots\to\Lambda^{2n}\mathfrak g^*\to 0
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
по правилу Лейбница $d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^{\widetilde{\alpha}}\alpha\wedge d\beta$, где $\alpha, \beta\in\mathfrak g^*$. Тождество $d^2=0$ следует из тождества Якоби [8]. Заметим, что ядро замкнутой $1$-формы является идеалом в алгебре Ли $\mathfrak g$. Согласно определению дифференциала Шевалле–Эйленберга любая замкнутая 1-форма $\alpha\in\mathfrak g^*$ обращается в нуль на коммутаторном идеале $[\mathfrak g,\mathfrak g]\subseteq\ker\alpha$. Пересечение всех ядер замкнутых 1-форм $\alpha\in\mathfrak g^*$
$$
\begin{equation*}
\Sigma:=\bigcap_{\alpha\in\mathfrak g^*,\, d\alpha=0}{\ker\alpha}
\end{equation*}
\notag
$$
также образует идеал в алгебре Ли $\mathfrak g$, совпадающий с коммутаторным идеалом $[\mathfrak g,\mathfrak g]$. Напомним, что распределение на гладком многообразии $N$ является подрасслоением $\Sigma\subset TN$. Распределение называется инволютивным, если оно замкнуто относительно скобки Ли. Лист распределения $\Sigma$ – это максимальное связное погруженное подмногообразие $L\subset N$ такое, что $L$ касается $\Sigma$ в каждой точке. Если $\Sigma$ инволютивна, то множество всех ее слоев называется слоением. § 3. Алгебраическая группа голономии3.1. Левоэквивариантные векторные расслоенияНапомним, что отображение $\varphi\colon X\to Y$ двух многообразий $X$ и $Y$ с действием группы $G$ называется $G$-эквивариантным, если $\varphi(g\cdot x)=g\cdot\varphi(x)$ для любых $g\in G$, $x\in X$. Векторное расслоение $\pi\colon \mathbb{B}\to X$ на многообразии $X$ называется $G$-эквивариантным векторным расслоением, если его тотальное пространство снабжено $G$-действием таким, что проекция $\pi$ является $G$-эквивариантным отображением и действие $G$ линейно на слоях, т.е. $\mathbb{B}_{x}\to\mathbb{B}_{gx} $ – линейное отображение для всех $g\in G$. Пусть $G$ – группа Ли, $L_g\colon G\to G$ – левый сдвиг ($h\mapsto g\cdot h$) и $B$ – конечномерное векторное пространство с базисом $\{b_1, \dots,b_n\}$. Определение 3.1. Пусть $\mathfrak g=\operatorname{Lie}(G)$ – алгебра Ли и $\mathfrak g^*=\operatorname{Hom}(\mathfrak g,\mathbb R)$ – двойственная ей алгебра. Алгебраическая связность – это $\mathbb R$-линейное отображение Мы используем следующее обозначение: где $\theta_i\in\mathfrak g^*$ и $A_i\in\operatorname{End}(B)$, $b\in B$. Пусть $d\colon \mathfrak g^*\to\Lambda^2\mathfrak g^*$ – дифференциал Шевалле–Эйленберга. Определим кривизну алгебраической связности $\nabla$ по следующей формуле: где
$$
\begin{equation*}
\omega:=\sum_i\theta_i\otimes A_i, \qquad d\omega=\sum_id\theta_i\otimes A_i, \qquad \omega\wedge\omega=\sum_{i<j}\theta_i\wedge\theta_{j}\otimes[A_i,A_j].
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 3.2. Левоэквивариантное векторное расслоение $\pi\colon \mathbb{B}\to G$ над группой Ли $G$ – это $G$-эквивариантное векторное расслоение $\pi$ на группе Ли $G$ с действием, заданным левыми сдвигами. Левоинвариантное сечение $s$ определяется своим значением $s_e$ в точке $e\in G$. Это дает отображение Например, все тензорные степени $G$-эквивариантного векторного расслоения $G$-эквивариантны. Заметим, что категория левоэквивариантных векторных расслоений на группе Ли $G$ устроена достаточно просто. Утверждение 3.3. Категория левоэквивариантных векторных расслоений на группе Ли $G$ эквивалентна категории векторных пространств. Доказательство. Группа $G$ действует на себе левым умножением свободно и транзитивно. Любое левоэквивариантное расслоение $\mathbb{B}$ тривиально как векторное расслоение, т. е. существует базис левоинвариантных сечений $\{s_1,\dots,s_n\}$ такой, что $s_i=\mathbb{L}(b_i)$. Для каждого левоэквивариантного векторного расслоения векторное пространство его левоинвариантных сечений задает функтор в категорию векторных пространств. Обратно, если дано векторное пространство, рассмотрим его как пространство $G$-инвариантных сечений в единице группы $e\in G$, а затем продолжим их с помощью всех левых переносов (3.3), чтобы получить левоэквивариантное векторное расслоение. $\square$ Теперь мы можем дать определение инвариантной связности на расслоении $\mathbb{B}$. Мы используем алгебраическую связность (3.1) на слое $B=\mathbb{B}_e$. Определение 3.4. Пусть $\pi\colon \mathbb{B}\to X$ – $G$-эквивариантное векторное расслоение над многообразием $X$. Связность $\nabla\!\!\!\!\nabla$ на $\mathbb{B}$ называется эквивариантной, если она определяет левоинвариантный дифференциальный оператор Утверждение 3.5. Связность $\nabla\!\!\!\!\nabla\colon \mathbb{B}\to\Lambda^1(G)\otimes\mathbb{B}$ на левоэквивариантном векторном расслоении $\mathbb{B}$ над группой Ли $G$ является эквивариантной, если она удовлетворяет Определение 3.6. Пусть $\theta\in\mathfrak g^*$ и $b\in B$. Определим отображение по формуле Тогда кривизна алгебраической связности имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\Theta=d^2_{\nabla}\colon B\to \Lambda^2\mathfrak g^*\otimes B.
\end{equation*}
\notag
$$
Как и в (3.2), она получается следующим образом: $\Theta=d\omega+\omega\wedge\omega$. Утверждение 3.7. Кривизна левоэквивариантной связности $\nabla\!\!\!\!\nabla$ на $G$-эквивариантном расслоении $\pi\colon \mathbb{B}\to X$ является $\mathbb R$-линейным отображением $\Theta_{\nabla\!\!\!\nabla}\colon \mathbb{B}\to\Lambda^2(X)\otimes\mathbb{B}$ и задается формулой $\Theta_{\nabla\!\!\!\nabla}(s):=\mathbb{L}(d^2_{\nabla}(s_e))$. Мы говорим, что расслоение $\mathbb{B}$ является плоским, если $\Theta_{\nabla\!\!\!\nabla}=0$. Утверждение 3.8. Пусть $\pi\colon \mathbb{B}\to G$ – левоэквивариантное векторное расслоение на группе Ли $G$. Оно является плоским тогда и только тогда, когда $\nabla_X\colon \mathfrak g\to\operatorname{End}(B)$ – представление алгебры Ли. Доказательство. Предположим, что $\nabla\colon \mathfrak g\to B^*\otimes B\cong\operatorname{End}(B)$ является представлением и отображение имеет вид $X\mapsto\nabla_X$. Тогда для любых $X,Y\in\mathfrak g$ имеем $[\nabla_X,\nabla_Y]-\nabla_{[X,Y]}=0$, следовательно, по утверждению 3.7 кривизна обращается в нуль. Обратно, если $\Theta_{\nabla\!\!\!\nabla}=0$, то $\Theta_{\nabla}=[\nabla_X,\nabla_Y]-\nabla_{[X,Y]}=0$, следовательно, $\nabla_X$ – представление. $\square$ Рассмотрим левоэквивариантное векторное расслоение $\pi\colon \mathbb{B}\to G$ над группой Ли $G$. Пусть $\Gamma$ – дискретная подгруппа группы Ли $G$, действующая на $G$ слева, и $q\colon G\to\Gamma\setminus G$ – факторотображение. Обозначим через $\mathbb{B}_{\Gamma}$ индуцированное векторное расслоение $\pi_{\Gamma}\colon \mathbb{B}_{\Gamma}\to \Gamma\setminus G$ на многообразии $\Gamma \setminus G$, полученное в результате послойного фактора по $\Gamma$, так что следующая диаграмма коммутативна: Для векторного расслоения $(\mathbb{B},\nabla\!\!\!\!\nabla)$ с эквивариантной связностью $\nabla\!\!\!\!\nabla$ через $\nabla\!\!\!\!\nabla^{\Gamma}$ обозначим индуцированную связность на расслоении $\mathbb{B}_ {\Gamma}$. 3.2. Алгебраическая группа голономииНапомним, что существует биекция между множеством классов изоморфизма плоских векторных расслоений над $X$ и множеством классов сопряженности гомоморфизмов $\varphi\colon \pi_1(X)\to\operatorname{GL}(\mathbb R^n)$ (“соответствие Римана–Гильберта”; см., например, [19]). Пусть $p\colon E\to M$ – векторное расслоение на гладком многообразием $M$ и $\delta\colon [0,1]\to M$ – гладкий путь в $M$. Уравнение $\nabla_{\dot\delta(t)}v=0$ определяет параллельный перенос сечения $v$ вдоль кривой $\delta$. Параллельный перенос вдоль петли $\delta\colon [0,1]\to M$ такой, что $x=\delta(0)=\delta(1)$, дает эндоморфизм $p_{\delta}\in\operatorname{End}(E_x)$ слоя $E_x$. Определение 3.9. Пусть $\nabla\colon E\to\Lambda^1(M)\otimes E$ – связность на векторном расслоении. Группа голономии связности $\nabla$ – это группа линейных преобразований слоя $E_x$, заданная всеми параллельными переносами вдоль всех гладких петель в $x$: Определение 3.10. Группа голономии плоской связности $\nabla$ называется группой монодромии $\nabla$. Если $G$ – подгруппа Ли линейной группы $\operatorname{GL}(n, K)$, где $K=\mathbb R$ или $K=\mathbb C$, то ее алгебра Ли канонически отождествляется с соответствующей подалгеброй Ли в $\operatorname{Mat}(n, K)$. В этом случае экспоненциальное отображение $\exp\colon \mathfrak g\to G$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation}
X\mapsto e^{tX}=\operatorname{Id}+\displaystyle\frac{t}{1!}X+\frac{t^2}{2!}X^2+\dots+\frac{t^k}{k! }X^k+\cdots, \qquad t\in\mathbb R, \quad X\in\mathfrak g,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
и его локальный обратный задается логарифмом:
$$
\begin{equation}
1+\gamma\mapsto \log(1+\gamma)=\gamma-\frac{\gamma^2}{2}+\frac{\gamma^3}{3}-\dots+(-1)^{ k+1}\frac{\gamma^k}{k}+\dotsb
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
для всех $\gamma\in U\subset G$ в достаточно малой открытой окрестности $U$ единицы $e\in G$. Пусть $G$ – односвязная нильпотентная группа Ли (она диффеоморфна евклидову пространству $\mathbb R^n$; см. [26; следствие 2, с. 53]) и $\Gamma$ кокомпактная решетка в $G$, т.е. левый фактор $\Gamma\setminus G$ является нильмногообразием. Теорема 3.11. Пусть $(\mathbb{B},\nabla\!\!\!\!\nabla)$ – плоское левоэквивариантное векторное расслоение над нильпотентной группой Ли $G$, $\Gamma$ – кокомпактная решетка и $(\mathbb{B}_{\Gamma}, \nabla\!\!\!\!\nabla^{\Gamma})$ – соответствующее плоское расслоение на нильмногообразии $\Gamma\setminus G$. Тогда группа монодромии $\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}}$ связности $\nabla\!\!\!\!\nabla^{\Gamma}$ порождается $e^{\log\gamma}$, где $\gamma\in\Gamma$. Доказательство. Пусть $\delta\colon [0,1]\,{\to}\, G$ есть $1$-параметрическая подгруппа в группе Ли $G$ такая, что $\delta(0)=e$, $\delta(1)\in\Gamma$, касательная к вектору $X=\log\gamma$. Тогда решением линейного дифференциального уравнения $\nabla_{X}b=0$ вдоль кривой $\gamma$ является $e^{tX}=e^{t\log\gamma}$. $\square$ 3.3. Мальцевское пополнениеМы предполагаем, что группа $G$ является конечно порожденной нильпотентной группой без кручения. Определение 3.12. Нильпотентная группа $G$ называется мальцевски полной, если для каждого $g\in G$ и для всех $n\in\mathbb Z_{>0}$ уравнение $x^n=g$ имеет решения в $G$ [22]. Определение 3.13. Пусть $\Gamma$ – подгруппа мальцевской полной нильпотентной группы ${G}$. Тогда множество $\widehat{\Gamma}=\{g\in G\mid g^n\in\Gamma,\, n\in\mathbb Z\}\subset G$ называется мальцевским пополнением группы $\Gamma$ [22]. В [22] определение мальцевского пополнения было дано над полем $\mathbb Q$, но его можно было сделать и над любым полем $k$ нулевой характеристики. Определение 3.14. Пусть $k$ – поле нулевой характеристики. Функтор мальцевского пополнения $\mathscr{M}_{k}$ – это функтор из категории конечно порожденных нильпотентных групп без кручения в категорию унипотентных алгебраических $k$-групп. Если $G$ – конечно порожденная нильпотентная группа, то $\mathscr{M}_{k}(G):=\overline{\Phi(G)}$, где – точное унипотентное представление, а $\overline{\Phi(G)}$ – замыкание Зарисского образа, лежащего в подгруппе верхнетреугольных матриц [17]. Рациональное мальцевское пополнение группы $G$ будем также обозначать через $\widehat{G}$, как оно было введено в определении 3.12. Перечисляем некоторые свойства мальцевского пополнения [17].
Утверждение 3.15. Функтор $\mathscr{M}_{\mathbb Q}$ обеспечивает биекцию между конечномерными унипотентными представлениями $\Gamma$ над $\mathbb Q$ и конечномерными $\mathbb Q$-представлениями $\widehat{\Gamma}$, рассматриваемыми как алгебраическая группа: Более того, образ $\Phi(\Gamma)$ плотен по Зарискому в $\widehat{\Phi}(\widehat{\Gamma})$ [17]. Заметим, что в контексте теоремы 3.11 группа голономии $\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}}$ изоморфна образу представления решеточной подгруппы $\Gamma $:
$$
\begin{equation}
\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}} \cong \Phi(\Gamma).
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Понятие группы голономии имеет геометрическую природу. Мы определим его алгебраическую версию следующим образом. Определение 3.16. Пусть $B$ – векторное пространство, $\mathfrak g$ – алгебра Ли и $\nabla\colon B\to\mathfrak g^*\otimes B$ – алгебраическая связность (3.1). Алгебраическая группа голономии $ \mathscr{H}\!ol^{\mathrm a}_\nabla$ – это подгруппа $\operatorname{GL}(B)$, порожденная матричными экспонентами: Мы предполагаем, что эквивариантная связность $\nabla\!\!\!\!\nabla$ на $G$-эквивариантном векторном расслоении $\mathbb{B}$ плоская. В этом случае ассоциированная алгебраическая связность определяет представление алгебры Ли $X\mapsto\nabla_X\in\operatorname{End}(B)$. Пусть $G$ – нильпотентная группа и $\widehat{G}$ – ее рациональное мальцевское пополнение, которое является рациональной алгебраической группой, т. е. ее можно записать в виде $\widehat{G}=\operatorname{Spec}(A)$, где $A$ – кольцо регулярных функций. В определении 3.14 мы определили функтор мальцевского пополнения $\mathscr{M}_{k}$ с коэффициентами в поле $k$. Вещественное мальцевское пополнение $\mathscr{M}_{\mathbb R}$ можно определить следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\widehat{G}\otimes_{\mathbb Q}\mathbb R:=\operatorname{Spec}(A\otimes_ {\mathbb Q}\mathbb R)=\mathscr{M}_{\mathbb R}(G).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3.17. Пусть $(\mathbb{B},\nabla\!\!\!\!\nabla)$ – плоское левоэквивариантное векторное расслоение над нильпотентной группой Ли $G$, $\Gamma\subset G$ – кокомпактная решетка и $(\mathbb{B}_{ \Gamma},\nabla\!\!\!\!\nabla^{\Gamma})$ – индуцированное расслоение над нильмногообразием $\Gamma\setminus G$. Предположим, что $\nabla\colon B\to\mathfrak g^*\otimes B$ – алгебраическая связность, ассоциированная с $\nabla\!\!\!\!\nabla$. Предположим, что представление монодромии $\Phi\colon \Gamma\to\operatorname{End}(B)$ унипотентно. Тогда где $\overline{\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}}}\subseteq\operatorname{GL}(B)$ – замыкание Зарисского группы монодромии $(\mathbb{B}_{ \Gamma},\nabla\!\!\!\!\nabla^{\Gamma})$. Доказательство. Рассмотрим цепочку вложений где $\widehat{\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}}}$ – рациональное мальцевское пополнение группы $\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}}$.
Заметим, что $\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}}\cong\Phi(\Gamma)$ плотно по Зарисскому в $\widehat{\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}}}$ по [7; лемма 3.11] и $\widehat{\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}}}$ плотно по Зарисскому в $\widehat {\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}}}\otimes_{\mathbb Q}\mathbb R$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\overline{\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}}} =\widehat{\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}}}\otimes_{\mathbb Q}\mathbb R.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
По определению 3.16 алгебраическая группа голономии ${\mathscr{H}\!ol}^{\mathrm a}_{\nabla}\subseteq\widehat{\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma} }}$ – вещественная группа, которая также содержит $\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}}$. Следовательно, она изоморфна $\widehat{\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}}}\otimes_{\mathbb Q}\mathbb R$ из-за минимальности вещественного мальцевского пополнения. $\square$ Следствие 3.18. Пусть $\Gamma\setminus G$ – гиперкомплексное нильмногообразие с плоской связностью Обаты $\nabla^{\mathrm{Ob}}$ (формула (1.1)) на $TG$. Тогда действие алгебраической голономии на $\mathfrak g=\operatorname{Lie}(G)$ унипотентно. Доказательство. Пусть $\nabla$ – плоская алгебраическая связность на алгебре Ли $\mathfrak g=T_eG$, ассоциированная с $\nabla^{\mathrm{Ob}}$. Определим действие $\mathscr{H}\!ol^{\mathrm a}_{\nabla}\times\mathfrak g\to\mathfrak g$ на $\mathfrak g$ следующим образом: где $X,Y\in\mathfrak g$. По теореме 1.9 представление монодромии $\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}}$ унипотентно. Из теоремы 3.17 следует, что $\mathscr{H}\!ol_{\nabla\!\!\!\nabla{\kern1pt}^{\Gamma}}$ плотно по Зарисскому в ${\mathscr{H}\!ol}^{\mathrm a}_{\nabla} $. Следовательно, ${\mathscr{H}\!ol}^{\mathrm a}_{\nabla}$ также унипотентно. $\square$ 3.4. Унипотентная группа голономии и $\mathbb H$-разрешимостьПусть $(G, I, J, K)$ – нильпотентная группа Ли с левоинвариантной гиперкомплексной структурой. В дальнейшем через $\nabla$ мы будем обозначать связность Обаты (см. (1.1)), которую мы считаем плоской, а через $\mathscr{H}\!ol_\nabla$ и $\mathscr{H}\!ol^{\mathrm a}_{\nabla}$ – ее группы голономии и алгебраической голономии соответственно. Пусть $\mathfrak g$ – нильпотентная гиперкомплексная алгебра Ли. Рассмотрим наименьшее $\mathbb{H}$-инвариантное подпространство в $\mathfrak g$, содержащее коммутаторный идеал $[\mathfrak g,\mathfrak g]$:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak g_1^{\mathbb{H}}:=\mathbb H[\mathfrak g,\mathfrak g]=[\mathfrak g,\mathfrak g]+I[\mathfrak g,\mathfrak g]+J[\mathfrak g,\mathfrak g]+K[\mathfrak g,\mathfrak g].
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\mathbb H[\mathfrak g,\mathfrak g]$ содержит коммутаторный идеал, он является идеалом и, следовательно, подалгеброй в $\mathfrak g$. Индуктивно определим $\mathbb H$-инвариантные подалгебры Ли:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak g_i^{\mathbb H}:=\mathbb H[\mathfrak g_{i-1}^{\mathbb H},\mathfrak g_{i-1}^{\mathbb H}], \qquad i\in\mathbb Z_{\geqslant 2 }.
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение 3.19. Пусть $(\mathfrak g, I, J, K)$ – гиперкомплексная нильпотентная алгебра Ли с плоской связностью Обаты. Тогда $\nabla_XY\in\mathfrak g^{\mathbb H}_{i+1}$ для любых $X,Y\,{\in}\,\mathfrak g^{\mathbb H}_i$. Доказательство. Предположим, что $X,Y\in\mathfrak g^{\mathbb H}_i$. Тогда (см. (1.1)) $\nabla_XY\in\mathfrak g^{\mathbb H}_{i+1}$. $\square$ Для каждых $i\in\mathbb Z_{\geqslant0}$, $X\in\mathfrak g^{\mathbb H}_i$ элементы $e^{\nabla_X}\in\operatorname{End}({\mathfrak g^{\mathbb H} _i})$ порождают алгебраическую группу голономии, ассоциированную с подалгеброй Ли $\mathfrak g^{\mathbb H}_i$:
$$
\begin{equation*}
\mathscr{H}\!ol^{\mathrm a}_{\nabla^i}=\langle e^{t\nabla_X}\mid t\in\mathbb R,\,X\in\mathfrak g^{\mathbb H }_i\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Обратим внимание на то, что $\mathscr{H}\!ol^{\mathrm a}_{\nabla^i}$ действует на $\mathfrak g^{\mathbb H}_i$, как в (3.12), и может случиться так, что это не подгруппа или даже подмножество алгебраической группы голономии $\mathscr{H}\!ol^{\mathrm a}_{\nabla}$. Действительно, действие $\nabla_X$ на $\mathfrak g_i^{\mathbb H}$ может быть тривиальным, но действовать на $\mathfrak g$ нетривиально для некоторого $X\in\mathfrak g^{\mathbb H}_i$. Однако действие $\mathscr{H}\!ol^{\mathrm a}_{\nabla^i}$ на $\mathfrak g^{\mathbb H}_i$ совпадает с действием соответствующей подгруппы $\mathscr{H}\!ol^{\mathrm a}_{\nabla}$. Следовательно, действие унипотентно на $\mathfrak g^{\mathbb H}_i$, если $\mathscr{H}\!ol^{\mathrm a}_{\nabla}$ унипотентная. Следующая теорема является основным результатом данной статьи. Теорема 3.20. Пусть $(\mathfrak g,I,J,K)$ – гиперкомплексная нильпотентная алгебра Ли с плоской связностью Обаты. Предположим, что представление алгебраической монодромии унипотентно. Тогда алгебра Ли $\mathfrak g$ является $\mathbb H$-разрешимой. Доказательство. Мы рассматриваем действие $\mathscr{H}\!ol^{\mathrm a}_{\nabla^i}$ на подалгебру Ли $\mathfrak g^{\mathbb H}_i$, определенное в (3.12). По предположению представление алгебраической голономии на $\mathfrak g$ унипотентно, следовательно, по утверждению 3.19 действие $\mathscr{H}\!ol^{\mathrm a}_{\nabla^i}$ унипотентно на $\mathfrak g^{\mathbb H}_i$.
Пусть
$$
\begin{equation*}
\varphi\colon \mathscr{H}\!ol^{\mathrm a}_{\nabla^i}\to\operatorname{End}((\mathfrak g^{\mathbb H}_i)^*)
\end{equation*}
\notag
$$
– действие алгебраической группы голономии на двойственной алгебре Ли $(\mathfrak g_i^{\mathbb H})^*$. Каждое унипотентное представление алгебры Ли имеет инвариантный вектор. Отсюда следует существование ненулевой Обата-параллельной 1-формы для $\alpha\in\Lambda^1(\mathfrak g_i^{\mathbb H})^*$. Снова рассматриваем действие голономии на $(\mathfrak g_i^{\mathbb H})^*$ и для каждого $i$ получаем ненулевую параллельную (следовательно, замкнутую1) $1$-форму $\alpha_i\in\Lambda^1(\mathfrak g_i^{\mathbb H})^*$.
Пересечение ядер $\Sigma_{\alpha_i}=\ker\alpha_i\cap\ker I\alpha_i\cap\ker J\alpha_i\cap\ker K\alpha_i$ дает $\mathbb H$-инвариантное слоение, содержащее $\mathfrak g^{\mathbb H}_i$ как собственное подпространство. Отсюда следует $\mathfrak g_{i+1}^{\mathbb H}\subsetneq\mathfrak g^{\mathbb H}_i$. Последовательность $\mathfrak g\supsetneq\mathfrak g_1^{\mathbb H}\supsetneq\dotsb$ завершается за конечное число шагов, поскольку $\mathfrak g$ конечномерная алгебра Ли. $\square$ Следствие 3.21. Пусть $(N, I, J, K)$ – гиперкомплексное нильмногообразие с плоской связностью Обаты $\nabla$. Тогда алгебра Ли $\mathfrak g=\operatorname{Lie}(G)$ $\mathbb H$-разрешима. Доказательство. По следствию 3.18 представление алгебраической голономии на $\mathfrak g$ унипотентно $\square$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gor24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|