Граничные классы некомпактных римановых многообразий и метод Перрона

В работе рассматривается разрешимость обобщенной задачи Дирихле для линейного эллиптического дифференциального уравнения $Lu=f$, где $L=\Delta +\langle B(x),\nabla\rangle+c(x)$ – линейный оператор, ($B(x)$ – векторное поле класса $\mathrm{C}(\mathcal{M})$, $c(x)\leqslant0$, $c(x)\in \mathrm{C}(\mathcal{M})$), заданного на некомпактном римановом многообразии $(\mathcal{M},g)$. Развивается подход к постановке данной задачи на основе классов эквивалентности, предложенный Е. А. Мазепой, позволивший ставить эту задачу на некомпактных многообразиях при отсутствии естественной геометрической компактификации. Введены и изучены линейные пространства $\mathrm{CM}_b$, $\mathrm{CM}$ таких классов. Описана версия известного метода Перрона с граничными данными в этих классах, с помощью которого установлены признаки $L$-параболичности и $L$-гиперболичности концов многообразия $\mathcal{M}$ в зависимости от их геометрического строения. Признаки гиперболичности многообразия играют ключевую роль в обосновании разрешимости задачи Дирихле, а признаки параболичности важны для выяснения справедливости на многообразии теорем Лиувиллева типа.