| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Условие применимости регуляризации обрезанием в координатном представлении Александр Ивановab  a Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Санкт-Петербург, Россия b Математический центр мирового уровня «Cанкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера» (МЦМУ им. Л. Эйлера), Санкт-Петербург, Россия
Английская версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2025, Volume 59, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S123456782501001X 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеВ различных моделях квантовой теории поля [1], [2] возникают расходящиеся интегралы. Как правило, это связано с тем фактом, что обобщенные функции [3], которые должны рассматриваться на определенном тестовом классе, действуют на другие обобщенные функции. Это приводит к появлению неинтегрируемых особенностей. Для работы с такими объектами необходима промежуточная регуляризация, выбор которой зависит от симметрий модели и существенным образом влияет на процесс дальнейших исследований. В работе [4] была предложена регуляризация обрезанием в координатном представлении. Позже она была усовершенствована [5] и успешно применена к ряду моделей [6]–[9]. В данной работе планируется сформулировать условие допустимости для такой регуляризации, доказать его выполнимость и привести конкретные примеры. Пусть $n\in\mathbb{N}$ и $n>2$. Рассмотрим евклидово пространство $\mathbb{R}^n$ со стандартным скалярным произведением векторов $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$. Определим оператор Лапласа $A_n(x)$ и его фундаментальное решение $G_n(x)$, которые в декартовых координатах имеют вид
$$
\begin{equation}
A_n(x)=-\sum_{k=1}^n\partial_{x_k}^2, \qquad G_n(x)=\frac{|x|^{2-n}}{(n-2)S_{n-1}}, \qquad S_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Именно $G_n(\,\cdot\,)$, как правило, используется в качестве главного приближения функции Грина, и поэтому исследование его свойств является важной задачей. Ясно, что последние объекты решают уравнение $A_n(x)G_n(x-y)=\delta(x-y)$ в смысле обобщенных функций на классе Шварца $S(\mathbb{R}^n)$. Упомянутая выше регуляризация заключается в деформации следующего вида:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber G_n(x)\xrightarrow{\text{рег.}} G_n^{\Lambda,\mathbf{f}}(x) &=\frac{\Lambda^{n-2}}{(n-2)S_{n-1}}\mathbf{f}(|x|^2\Lambda^2)+ \frac{1}{(n-2)S_{n-1}}\times \begin{cases} \Lambda^{n-2}, &|x|\leqslant\dfrac 1\Lambda; \\ |x|^{2-n}, &|x|>\dfrac 1\Lambda, \end{cases} \\ &=\frac{\Lambda^{n-2}}{(n-2)S_{n-1}}\mathbf{f}(|x|^2\Lambda^2)+ G_n^{\Lambda,\mathbf{0}}(x), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\Lambda$ – регуляризующий параметр и $\mathbf{f}(\,\cdot\,)\in C([0,+\infty),\mathbb{R})$ – вспомогательная деформирующая функция, удовлетворяющая свойствам
$$
\begin{equation}
\operatorname{supp}(\mathbf{f}(\,\cdot\,))\subset[0,1], \qquad A_n(x)\Lambda^{n-2}\mathbf{f}(|x-y|^2\Lambda^2) \xrightarrow{\Lambda\to+\infty}0.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Для такого вида деформации справедлив переход $A_n(x)G_n^{\Lambda,\mathbf{f}}(x-y)\to\delta(x-y)$ при снятии регуляризации $\Lambda\to+\infty$ в смысле обобщенных функций на $S(\mathbb{R}^n)$. Из построения следует, что деформация производится только в замкнутом шаре $\mathrm{B}_{1/\Lambda}$ радиуса $1/\Lambda$ с центром в нуле, поэтому при $|x|>1/\Lambda$ верно равенство $G_n(x)= G_n^{\Lambda,\mathbf{f}}(x)$. Простыми словами можно сказать, что при введении регуляризации производится обрезание растущей функции в области $\mathrm{B}_{1/\Lambda}$. При изучении квантово-полевых моделей основным инструментом анализа является метод “функционального интеграла” в паре с пертурбативным разложением в асимптотический ряд по некоторому малому параметру [10; гл. II]. Коэффициенты такого разложения представимы в виде набора гауссовых интегралов от полиномов. Если определить преобразование Фурье для фундаментального решения равенством
$$
\begin{equation}
\widehat{G}_n^{\Lambda,\mathbf{f}}(y) =\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}^nx\,e^{i(y,x)} G_n^{\Lambda,\mathbf{f}}(x),
\end{equation}
\tag{4}
$$
которое следует понимать в смысле обобщенных функций на классе Шварца $S(\mathbb{R}^n)$ (см. [3; с. 363] для недеформированного случая), то при построении асимптотического разложения возникают интегралы вида
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}s\,s^k \exp\bigl(-s^2(\widehat{G}_n^{\Lambda,\mathbf{f}}(y))^{-1}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $k\in\mathbb{N}\cup\{0\}$, $y\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ и $\Lambda>0$. Таким образом, при появлении отрицательного значения величины $\widehat{G}_n^{\Lambda,\mathbf{f}}(y)$ последний интеграл теряет сходимость. Этот факт приводит к необходимости требовать дополнительное ограничение на функцию $\mathbf{f}(\,\cdot\,)$, формируя тем самым множество допустимых функций. Замечание 1. Если $\widehat{G}_n^{\Lambda,\mathbf{f}}(y)=0$ для некоторого $y\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$, то интеграл понимается в смысле предельного значения $\widehat{G}_n^{\Lambda,\mathbf{f}}(y)+\epsilon$ при $\epsilon\to+0$ и, таким образом, тождественно равен нулю. Определение 1. Деформация (2) называется допустимой, если для всех $y\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ выполнено соотношение $\widehat{G}_n^{1,\mathbf{f}}(y)\geqslant0$. Предложение 1. Пусть деформация (2) является допустимой, тогда верно соотношение $\widehat{G}_n^{\Lambda,\mathbf{f}}(z)\geqslant0$ для всех $z\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ и $\Lambda>0$. Доказательство. Так как $\Lambda>0$, то в (4) можно произвести масштабирование. Тогда утверждение следует из соотношения $\widehat{G}_n^{1,\mathbf{f}}(y)=\Lambda^{2}\widehat{G}_n^{\Lambda,\mathbf{f}}(z)$, где новая переменная имеет вид $z=\Lambda y$. $\square$ Замечание 2. При деформации более общего вида, когда параметр регуляризации $\Lambda$ нельзя убрать преобразованием масштаба, в определении 1 следует рассматривать неравенство $\widehat{G}_n^{1,\mathbf{f}}(y)\geqslant0$ для всех $y\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ и $\Lambda>N>0$, где $N$ – некоторое фиксированное достаточно большое число. Предложение 2. Условие допустимости деформации, сформулированное в определении 1, можно эквивалентно представить набором неравенств где и $J_{n/2-1}(\,\cdot\,)$ – функция Бесселя первого рода. Доказательство. Подставим явный вид деформированного фундаментального решения (2) в неравенство из определения 1 и воспользуемся соотношениями из [5; формулы (20) и (30)] и [11; теорема 4.15]:
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}^nx\,G_n^{1,\mathbf{0}}(x)e^{i(x,y)} =\frac{\rho_n(|y|)}{|y|^2}, \qquad \rho_n(|y|)=\frac{1}{S_{n-1}}\int_{\mathrm{S}^{n-1}} \mathrm{d}^{n-1}\sigma(\widehat{x})\,e^{i(\widehat{x},y)},
\end{equation}
\tag{7}
$$
где в последнем равенстве было использовано интегрирование по единичной сфере $\mathrm{S}^{n-1}$ с центром в нуле со стандартной мерой, $\widehat{x}=x/|x|$. Далее, переходя к переменной $s=|y|$, получаем окончательный вид (5). $\square$ Замечание 3. Отметим, что, с учетом формулы (6), интеграл в неравенстве (5) по сути является преобразованием Ганкеля функции $t^{n/2-1}\mathbf{f}(t^2)$ с ядром $J_{n/2-1}(\,\cdot\,)$, см. [12; п. 7.6]. Замечание 4. Несмотря на то, что преобразование Фурье (4) понимается в смысле обобщенных функций, отметим, что для всех $|y|>0$ и $n=4,5$ интеграл сходится в смысле главного значения, а при $n>5$ абсолютно. Это следует из сходимости несобственного интеграла В краткой форме основные результаты настоящей статьи можно изложить в трех пунктах.
§ 2. Результаты и доказательства Теорема 1. Пусть $k\in\mathbb{N}$. Рассмотрим набор мультииндексов $\{\alpha_i\}_{i=1}^k$, компоненты которых являются положительными числами из $(0,1/2]$ и удовлетворяют соотношению Доказательство. Обратим внимание, что если каждая функция из набора удовлетворяет условию (5), то их выпуклая линейная комбинация тоже будет ему удовлетворять. Поэтому без ограничения общности достаточно рассмотреть лишь случай $\alpha_i$ для одного фиксированного $i$.
Заметим, что по определению (9) оператор $\mathrm{H}_{\alpha_i}^{\Lambda}$ является многократным усреднением ($2\dim(\alpha_i)$ раз). При этом из формул (7) следует, что уже однократное усреднение с радиусом $r>0$ функции $G_n(x)$ равно
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{S_{n-1}}\int_{\mathrm{S}^{n-1}}\mathrm{d}^{n-1} \sigma(\widehat{x})\,G_n(y+r\widehat{x})=G_n^{1/r,\mathbf{0}}(y)
\end{equation*}
\notag
$$
и является ограниченной функцией. Следовательно, оператор $\mathrm{H}_{\alpha_i}^\Lambda$ регуляризует фундаментальное решение. Убедимся, что при такой деформации выполняется условие из определения 1. Для этого применим преобразование Фурье и воспользуемся формулами (7), тогда получим неотрицательную плотность
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}^nx\,e^{i(y,x)} \mathrm{H}_{\alpha_i}^{\Lambda}(G_n)(x) =\frac{1}{|y|^2}\prod_{j=1}^{\dim(\alpha_i)} \biggl(\rho_n\biggl(\frac{|y|(\alpha_i)_j}{\Lambda}\biggr)\biggr)^2\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее проверим, что функция $\mathrm{H}_{\alpha_i}^{\Lambda}(G_n)(x)$ вписывается в представление (2). Для этого заметим, что если носитель некоторой вспомогательной функции $g(\,\cdot\,)$ лежит в шаре $\mathrm{B}_{r_1}$ радиуса $r_1$, то для носителя усреднения с радиусом $r_2$ выполнено соотношение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp}\biggl(\int_{\mathrm{S}^{n-1}} \frac{\mathrm{d}^{n-1}\sigma(\widehat{y})}{S_{n-1}} g(\,\cdot\,+r_2\widehat{y})\biggr)\subset\mathrm{B}_{r_1+r_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, если на каком-то шаге получается функция $\widetilde{G}(x)$, которую можно получить из $G_n(x)$ путем деформации в шаре $\mathrm{B}_{r_1}$, т.е. $\widetilde{G}(x)=G_n(x)$ в $\mathbb{R}^n\setminus\mathrm{B}_{r_1}$, то дополнительное усреднение с радиусом $r_2$ приведет к соотношению
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathrm{S}^{n-1}}\frac{\mathrm{d}^{n-1}\sigma(\widehat{y})}{S_{n-1}}\, \widetilde{G}(x+r_2\widehat{y}) \\ &\qquad =\int_{\mathrm{S}^{n-1}}\frac{\mathrm{d}^{n-1}\sigma(\widehat{y})}{S_{n-1}}\, \bigl(\widetilde{G}(x+r_2\widehat{y})-G_n(x+r_2\widehat{y})\bigr)+G_n^{1/r_2,\mathbf{0}}= G_n(x) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\in\mathbb{R}^n\setminus\mathrm{B}_{r_1+r_2}$. Такая процедура шаг за шагом может быть применена к усреднениям из (9). Таким образом, учитывая соотношение (8), можно утверждать, что $\mathrm{H}_{\alpha_i}^{\Lambda}(G_n)(x)=G_n(x)$ для всех $x\in\mathbb{R}^n\setminus\mathrm{B}_{1/\Lambda}$, в том числе и для $|x|=1/\Lambda$ в силу непрерывности усредненной функции. Это означает, что функция $\mathrm{H}_{\alpha_i}^{\Lambda}(G_n)(\,\cdot\,)$ имеет деформацию вида (2).
Последнее соотношение (11) получается обращением равенства (2) с дополнительным масштабированием переменных. Полученная функция является сферически симметричной и в действительности не зависит от выбора единичного вектора $\widehat{x}$. $\square$ Теорема 2. Пусть верны предположения теоремы 1. Выберем $k=1$, $\dim(\alpha_1)=1$ и $(\alpha_1)_1=1/2$, тогда функция (11) выписывается в явном виде Доказательство. Подействуем оператором Лапласа на функцию (10) при условии $\Lambda=1$, тогда можно выписать следующее соотношение с $\delta$-функцией в $n$-мерном пространстве:
$$
\begin{equation}
A_n(x)\mathrm{H}_{\alpha_1}^1(G_n)(x)= \int_{\mathrm{S}^{n-1}}\frac{\mathrm{d}^{n-1}\sigma(\widehat{y})}{S_{n-1}} \int_{\mathrm{S}^{n-1}}\frac{\mathrm{d}^{n-1}\sigma(\widehat{z})}{S_{n-1}}\, \delta\biggl(x+\frac{\widehat{y}}2+\frac{\widehat{z}}2\biggr).
\end{equation}
\tag{13}
$$
Далее преобразуем последний интеграл в правой части. Для этого сперва подействуем на тестовую функцию $\phi(\,\cdot\,)\in S(\mathbb{R}^n)$ и выпишем следующую цепочку равенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}^nx\int_{\mathrm{S}^{n-1}}\mathrm{d}^{n-1}\sigma(\widehat{z})\, \delta\biggl(x+\frac y2+\frac{\widehat{z}}2\biggr)\phi(x) \\ &\qquad =\int_{\mathrm{S}^{n-1}}\mathrm{d}^{n-1}\sigma(\widehat{z})\,\phi\biggl(-\frac y2-\frac{\widehat{z}}2\biggr) \\ &\qquad =\int_0^{+\infty}\mathrm{d}s\int_{\mathrm{S}^{n-1}}\mathrm{d}^{n-1}\sigma(\widehat{z})\, s^{n-1}\delta(s-1)\phi\biggl(-\frac y2-\frac{s\widehat{z}}2\biggr) \\ &\qquad=2^{n-1}\int_0^{+\infty}\mathrm{d}s \int_{\mathrm{S}^{n-1}}\mathrm{d}^{n-1}\sigma(\widehat{z})\, s^{n-1}\delta\biggl(s-\frac 12\biggr)\phi\biggl(-\frac y2-s\widehat{z}\biggr) \\ &\qquad =2^{n-1}\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}^nz\,\delta\biggl(|z|-\frac12\biggr) \phi\biggl(-\frac y2-z\biggr) \\ &\qquad =2^{n-1}\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}^nz\,\delta\biggl(\biggl|z+\frac y2\biggr|-\frac12\biggr)\phi(z), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где в последней строке уже стоит $\delta$-функция в одномерном пространстве. Таким образом, была доказана формула в смысле обобщенных функций на классе Шварца $S(\mathbb{R}^n)$
$$
\begin{equation}
\int_{\mathrm{S}^{n-1}}\mathrm{d}^{n-1}\sigma(\widehat{z})\, \delta\biggl(x+\frac y2+\frac{\widehat{z}}2\biggr) =2^{n-1}\delta\biggl(\biggl|x+\frac y2\biggr|-\frac 12\biggr).
\end{equation}
\tag{14}
$$
Затем в оставшемся интегрировании по сфере в (13) перейдем в сферические координаты
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat{y}_1=\cos(\phi_1), \ \ \widehat{y}_2=\sin(\phi_1)\cos(\phi_2), \ \ \dots, \ \ \widehat{y}_{n-1}=\sin(\phi_1)\dotsb\sin(\phi_{n-2})\cos(\phi_{n-1}), \\ \mathrm{d}^{n-1}\sigma(\widehat{y})=\sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2) \dotsb\sin(\phi_{n-2})\,\mathrm{d}\phi_1\dots\mathrm{d}\phi_{n-1}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\phi_i\in[0,\pi]$ при $i\in\{1,\dots,n-2\}$ и $\phi_{n-1}\in[0,2\pi)$. Из удобства выберем их таким образом, чтобы выполнялось соотношение Тогда с учетом (14) правая часть (13) переписывается в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{2^{n-1}}{S_{n-1}^2} \int_{\mathrm{S}^{n-1}}\mathrm{d}^{n-1}\sigma(\widehat{y})\, \delta\biggl(\biggl|x+\frac y2\biggr|-\frac 12\biggr) \\ &\qquad =\frac{2^{n-1}S_{n-2}}{S_{n-1}^2} \int_0^\pi\mathrm{d}\phi_1\,\sin^{n-2}(\phi_1) \delta\biggl(\sqrt{|x|^2+|x|\cos(\phi_1)+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последний интеграл явно вычисляется, и промежуточный ответ принимает вид
$$
\begin{equation}
A_n(x)\mathrm{H}_{\alpha_1}^1(G_n)(x)=\frac{2^{n-1}S_{n-2}}{S_{n-1}^2}\times \begin{cases} |x|^{-1}(1-|x|^2)^{(n-3)/2}& \text{для } |x|\leqslant1; \\ 0& \text{для }|x|>1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Используя тот факт, что последняя функция зависит лишь от $|x|$, оператор $A_n(x)$ можно представить в виде $-|x|^{1-n}\partial_{|x|}|x|^{n-1}\partial_{|x|}$. Тогда, вводя для удобства обозначения $r=|x|$ и $h(r)=\mathrm{H}_{\alpha_1}^1(G_n)(x)$, соотношение выписывается в виде
$$
\begin{equation*}
\partial_r r^{n-1}\partial_rh(r)=-\frac{2^{n-1}S_{n-2}}{S_{n-1}^2}\times \begin{cases} r^{n-2}(1-r^2)^{(n-3)/2}& \text{для } r\leqslant1; \\ 0& \text{для }r>1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее интегрируем с учетом непрерывности функции $\partial_rh(r)$ при $r=1$
$$
\begin{equation*}
\partial_rh(r)\big|_{r=1-0}=\partial_rh(r)\big|_{r=1+0}
\end{equation*}
\notag
$$
и выбираем константу интегрирования таким образом, чтобы функция $h(r)$ обладала свойством $(r^{n-1}\partial_rh(r))\big|_{r=0}=0$. Последнее равенство следует из тех соображений, что в противном случае первая производная $\partial_rh(r)$ будет иметь особенность в нуле вида $r^{1-n}$, чего не может быть по построению. Таким образом, имеем
$$
\begin{equation*}
\partial_rh(r)=\frac{-1}{S_{n-1}^2} \begin{cases} \dfrac{S_{n-2}}{n-1}2^{n-1}{}_2F_{1} \biggl(\dfrac{3-n}{2},\dfrac{n-1}{2};\dfrac{n+1}{2};r^2\biggr)& \text{для } r\leqslant1; \\ S_{n-1}r^{1-n}& \text{для } r>1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Окончательно, выполняя еще одно интегрирование с учетом непрерывности $h(r)$ при $r=1$, т.е. с условием $h(r)\big|_{r=1-0}=h(r)\big|_{r=1+0}$, и выбирая константу интегрирования таким образом, чтобы при $r>1$ выполнялось равенство $h(r)=G_n(x)$, получаем, с учетом формулы (11), заявленное соотношение (12). $\square$ Следствие 1. В условиях теоремы 2, в размерностях $n\in\{3,4,5,6\}$ в области $s\in[0,1]$ имеем следующий явный вид функций: Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Введем в рассмотрение два набора положительных чисел $\{\kappa_i\}_{i=1}^{+\infty}$ и $\{r_i\}_{i=1}^{+\infty}$, удовлетворяющих условиям При этом $G_n^{\Lambda/r,\mathbf{\widetilde{f}}_n}$ является непрерывной ограниченной функцией на $\mathbb{R}^n$, $A_n(x)G_n^{\Lambda/r,\mathbf{\widetilde{f}}_n}$ является непрерывной ограниченной функцией в $\mathbb{R}^n\setminus \mathrm{B}_\epsilon$ для любого $\epsilon>0$, а также справедливы оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \bigl|G_n^{\Lambda/r,\mathbf{\widetilde{f}}_n}(x)\bigr| \leqslant\Lambda^{n-2}r\kappa\times\max_{x\in\mathrm{B}_{1}} \biggl(\frac{|\mathbf{f}_n(|x|^2)|+1}{(n-2)S_{n-1}}\biggr), \\ \bigl|A_n(x)G_n^{\Lambda/r,\mathbf{\widetilde{f}}_n}(x)\bigr| \leqslant \frac{2^{n-1}S_{n-2}\Lambda^{n-1}\kappa}{S_{n-1}^2}\times \begin{cases} |x|^{-1}\biggl(1-\dfrac{|x|^2\Lambda^2}{r^2}\biggr)^{(n-3)/2}, &|x|\leqslant \dfrac{r}\Lambda; \\ 0,&|x|>\dfrac{r}{\Lambda}, \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\in\mathbb{R}^n$. Замечание 5. В качестве примеров последовательностей можно взять $\kappa_i=2^{-i}$ и $r_i=2^{-i/(2n)}$. Доказательство. Заметим, что каждое отдельное слагаемое в сумме (17) имеет деформацию вида (2). Более того, функция $G_n^{\Lambda/r_i,\mathbf{f}_n}$ совпадает с $G_n(x)$ при всех $i\geqslant1$ и $x\in\mathbb{R}^n\setminus\mathrm{B}_{r/\Lambda}$. Следовательно, учитывая первое равенство из (16), убеждаемся, что сумма (17) равна $G_n(x)$ в области $x\in\mathbb{R}^n\setminus\mathrm{B}_{r/\Lambda}$. Далее проверим, что сумма конечна в области $\mathrm{B}_{r/\Lambda}$. Положим
$$
\begin{equation*}
M=\max_{x\in\mathrm{B}_{1}}\biggl(\frac{|\mathbf{f}_n(|x|^2)|+1}{(n-2)S_{n-1}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, учитывая справедливость $\mathrm{B}_{r_i/\Lambda}\subset\mathrm{B}_{r/\Lambda}$ для всех $i\geqslant1$, каждую функцию $G_n^{\Lambda/r_i,\mathbf{f}_n}$ в шаре радиусом $r/\Lambda$ можно оценить следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\bigl|G_n^{\Lambda/r_i,\mathbf{f}_n}(x)\bigr|\leqslant \frac{(\Lambda/r_i)^{n-2}}{(n-2)S_{n-1}} \biggl|\mathbf{f}_n\biggl(\frac{|x|^2\Lambda^2}{r_i^2}\biggr)\biggr| +\frac{(\Lambda/r_i)^{n-2}}{(n-2)S_{n-1}}\leqslant\biggl(\frac{\Lambda}{r_i}\biggr)^{n-2}M.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |G_n^{\Lambda/r,\mathbf{\widetilde{f}}_n}(x)| &= \biggl|\sum_{i=1}^{+\infty}\kappa_iG_n^{\Lambda/r_i,\mathbf{f}_n}(x)\biggr|\leqslant \sum_{i=1}^{+\infty}\kappa_i|G_n^{\Lambda/r_i,\mathbf{f}_n}(x)| \\ &\leqslant \Lambda^{n-2}Mr\sum_{i=1}^{+\infty}\kappa_ir_i^{1-n} \biggl(\frac{r_i}r\biggr) \leqslant\Lambda^{n-2}Mr\kappa, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из которой следует ограниченность и существование деформированной функции. Непрерывность предельной функции следует из равномерной сходимости, которая может быть получена с применением признака Вейерштрасса, см. [14].
Несмотря на то, что для последней оценки достаточно иметь сходимость ряда с членами $\kappa_ir_i^{2-n}$, запас в степени ($r_i^{1-n}$ вместо $r_i^{2-n}$) обеспечивает выполнение следующей оценки для любого $x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |A_n(x)G_n^{\Lambda/r,\mathbf{\widetilde{f}}_n}(x)| &\leqslant\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{\beta\kappa_i\Lambda^{n}}{r_i^{n}}\times \begin{cases} r_i\Lambda^{-1}|x|^{-1} \biggl(1-\dfrac{|x|^2\Lambda^2}{r_i^2}\biggr)^{(n-3)/2}, &|x|\leqslant \dfrac{r_i}\Lambda; \\ 0,&|x|>\dfrac{r_i}\Lambda \end{cases} \\ &\leqslant\Lambda^{n}\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{\beta\kappa_i}{r_i^{n}}\times \begin{cases} r_i\Lambda^{-1}|x|^{-1} \biggl(1-\dfrac{|x|^2\Lambda^2}{r^2}\biggr)^{(n-3)/2}, &|x|\leqslant \dfrac{r}\Lambda; \\ 0,&|x|>\dfrac{r}\Lambda \end{cases} \\ &\leqslant\beta\Lambda^{n-1}\kappa\times \begin{cases} |x|^{-1}\biggl(1-\dfrac{|x|^2\Lambda^2}{r^2}\biggr)^{(n-3)/2},&|x|\leqslant \dfrac{r}\Lambda; \\ 0,&|x|>\dfrac{r}\Lambda. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\beta=2^{n-1}S_{n-2}/S_{n-1}^2$ из формулы (15).
Покажем, что соотношение (4) выполняется в строгой форме для функции $G_n^{\Lambda/r,\mathbf{\widetilde{f}}_n}$. Для этого применим преобразование Фурье
$$
\begin{equation}
\widehat{G}_n^{\Lambda/r,\mathbf{\widetilde{f}}_n}(y)= \sum_{i=1}^{+\infty}\kappa_i\widehat{G}_n^{\Lambda/r_i,\mathbf{f}_n}(y)= \frac{1}{|y|^2}\sum_{i=1}^{+\infty}\kappa_i \biggl(\rho_n\biggl(\frac{|y|r_i}{2\Lambda}\biggr)\biggr)^2.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Далее необходимо показать, что для любого значения $y=z\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ и $\Lambda=r$ последняя сумма строго больше нуля. Заметим, что функция $\rho_n(\,\cdot\,)$ является осциллирующей, см. (6), при этом она начинается с точки $\rho_n(0)=1$. Пусть число $\theta$ обозначает первый нуль. Затем обратим внимание, что из второго соотношения (16) следует, что существуют числа $r_j$, значения которых меньше сколь угодно малой фиксированной величины. Тогда для любого фиксированного $z\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ можно найти такое малое $r_j$, чтобы выполнялось неравенство $|z|r_j/r\leqslant\theta$. В этом случае, продолжая (18), можно написать из чего и следует выполнимость неравенства в строгой форме. Заметим, что последняя оценка верна для всех $y\in\mathrm{B}_{|z|}\setminus\{0\}$, а не только для выбранного фиксированного значения. $\square$ Замечание 6. Обратим внимание, что в качестве функции, удовлетворяющей условию в строгой формулировке, можно взять сумму любой функции $\mathbf{f}_n(\,\cdot\,)$ из теоремы 1 и непрерывной функции $\mathbf{g}(\,\cdot\,)\in C([0,+\infty),\mathbb{R})$, носитель которой находится в $[0,1]$ и для которой $n$-мерное преобразование Фурье от $\mathbf{g}(|x|^2)$ всюду строго положительно. Однако в этом случае представимость деформированного фундаментального решения с использованием операторов усреднения будет не ясна. К примеру, при $n=3$ функцию $\mathbf{g}(\,\cdot\,)$ можно выбрать в виде где $c>0$. § 3. ЗаключениеВ работе изучено условие применимости регуляризации обрезанием в координатном представлении в евклидовом пространстве с размерностью больше двух. Построены примеры деформаций, удовлетворяющих этому условию. Разобрано условие в более строгой формулировке. В тексте целенаправленно опущен случай с размерностью $n=2$. Это связано с тем фактом, что в деформации могут участвовать логарифмические особенности вида $\ln(\Lambda/\sigma)$, поэтому анзац может содержать несколько слагаемых. Такой случай предполагается изучить в отдельной работе с соответствующими примерами. Применение регуляризации с $n=2$ может быть найдено в [15]. В качестве примера можно отметить, что в случае выбора функции в виде
$$
\begin{equation*}
G_2^{\Lambda,\mathbf{f}}(x)=\frac{1}{4\pi}\mathbf{f}(|x|^2\Lambda^2)+ G_2^{\Lambda,\mathbf{0}}(x)
\end{equation*}
\notag
$$
с условием $\widehat{G}_2^{\Lambda,\mathbf{0}}(y)=\rho_2(|y|/\Lambda)/|y|^2$ результаты теорем 1 (кроме формулы (11)) и 3 (кроме последнего абзаца) и формула (15) остаются справедливыми для $n=2$. Возвращаясь к замечанию 6, следует обратить внимание, что не ясно, все ли решения, удовлетворяющие условию применимости (в строгой или обычной формулировке), допускают представление, основанное на применении набора операторов усреднения к нерегуляризованному решению. БлагодарностиАвтор выражает благодарность Н. В. Харук за полезные комментарии. Дополнительно автор выражает особую благодарность Н. В. Харук и К. А. Иванову за создание благоприятной и стимулирующей обстановки для написания работы.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Iva25} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|