Усреднение периодических операторов типа Леви

В $L_2(\mathbb R^d)$ рассматривается самосопряженный оператор ${\mathbb A}_\varepsilon$, $\varepsilon >0$, вида
$$ ({\mathbb A}_\varepsilon u) (\mathbf{x}) =\int_{\mathbb R^d} \mu\biggl(\frac{\mathbf{x}}{\varepsilon},\frac{\mathbf{y}}{\varepsilon}\biggr) \frac{(u(\mathbf{x}) -u(\mathbf{y}))}{| \mathbf{x}-\mathbf{y} |^{d+\alpha}}\,d \mathbf{y}, $$
где $0< \alpha < 2$. Предполагается, что функция $\mu(\mathbf{x},\mathbf{y})$ ограничена, положительно определена, периодична по каждой переменной, причем $\mu(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mu(\mathbf{y},\mathbf{x})$. Оператор ${\mathbb A}_\varepsilon$ строго определяется через квадратичную форму. Показано, что при $\varepsilon\to 0$ резольвента $({\mathbb A}_\varepsilon+I)^{-1}$ сходится по операторной норме в $L_2(\mathbb R^d)$ к оператору $({\mathbb A}^0+I)^{-1}$. Здесь ${\mathbb A}^0$ – эффективный оператор того же вида с постоянным коэффициентом $\mu^0$, равным среднему значению функции $\mu(\mathbf{x},\mathbf{y})$. Получена оценка погрешности порядка $O(\varepsilon^\alpha)$ при $0< \alpha < 1$, $O(\varepsilon (1+| \operatorname{ln} \varepsilon|)^2)$ при $ \alpha=1$ и $O(\varepsilon^{2- \alpha})$ при $1< \alpha < 2$. В случае $1< \alpha < 2$ результат уточнен за счет учета корректоров.