Слабо регулярные полугруппы изотонных преобразований

Пусть $X$ – частично упорядоченное множество, $O(X)$ – полугруппа преобразований $X\to X$, сохраняющих порядок, т.е. при всех $x,y\in X$ если $x\leq y$, то $x\alpha\leq y\alpha$. Доказано, что полугруппа $O(X)$ слабо регулярна в широком смысле в том и только том случае, если выполнено одно из следующих условий: 1) $X$ – квазиполная цепь; 2) элементы из $X$ попарно несравнимы; 3) $X=Y\cup Z$, причём $y\lt z$ при $y\in Y$, $z\in Z$; 4) $X=Y\cup Z$, $y_0 \in Y$, $z_0\in Z$ и $y_0\lt z$ при $z\in Z$, $y\lt z_0$ при $y\in Y$; 5) $X=\{a,c\}\cup B$ и $a\lt b\lt c$ при $b\in B$; 6) $X=\{1,2,3,4,5,6\}$ и $1\lt 4$, $1\lt 5$, $2\lt 5$, $2\lt 6$, $3\lt 4$, $3\lt 6$. Кроме того, если $X$ – квазиупорядоченное множество, не являющееся частично упорядоченным, то полугруппа $O(X)$ слабо регулярна в широком смысле в том и только том случае, если $x\leq y$ при всех $x,y\in X$.