Вычисление группы компонент произвольной вещественной алгебраической группы

Мы вычисляем в явном виде группу компонент связности $\pi_0G(\mathbb{R})$ вещественной группы Ли $G(\mathbb{R})$ для произвольной (не обязательно линейной) связной алгебраической группы $G$, определённой над полем вещественных чисел $\mathbb{R}$. В частности, оказывается, что $\pi_0G(\mathbb{R})$ всегда является элементарной абелевой $2$-группой. Ответ выглядит особенно наглядно в случаях, когда $G$  — линейная алгебраическая группа или абелево многообразие. Вычисление основано на структурных результатах об алгебраических группах и методах теории когомологий Галуа.