О чистоте в абелевых группах

Абелевы группы без кручения $G$ and $H$ называются квазиравными ($G\approx H$), если $\lambda G\subset H\subset G$ для некоторого натурального числа $\lambda$. Известно [3], что квазиравенство абелевых групп без кручения можно представлять как равенство в подходящей фактор-категории. Поэтому при изучении тех или иных свойств абелевых групп без кручения обычно стараются доказать, что изучаемое свойство сохраняется при переходе к квазиравной группе. Особенно часто этот приём используется при изучении модульных свойств абелевых групп, рассматриваемых как левые модули над своими кольцами эндоморфизмов. С другой стороны, одной из актуальных проблем теории абелевых групп является проблема изучения чистот в категории абелевых групп [1]. В данной работе рассматривается чистота по П. Кону [5] для абелевых групп как модулей над своими кольцами эндоморфизмов. Особенность изучения свойств чистоты для абелевой группы $G$ как модуля ${}_{E(G)}G$ объясняется тем, что эта ситуация более общая, нежели изучение свойств чистоты для унитарного модуля над произвольным ассоциативным кольцом $R$ с единицей. Действительно, если $_R M$ — произвольный унитарный левый модуль и $M^+$ — его абелева группа, то каждый элемент кольца $R$ можно отождествить с подходящим эндоморфизмом из кольца $E(M^+)$ при каноническом гомоморфизме колец $R\to E(M^+)$, и поэтому если $_{E(M^+)}N$ — чистый подмодульо в $_{E(M^+)}M^+$, то $_R N$ — чистый подмодуль в $_R M$. В данной работе будут изучены связи между чистотой, сервантностью и квазиразложениями абелевых групп без кручения конечного ранга.