|
О точности нормальной аппроксимации при отсутствии нормальной сходимости
В. Ю. Королевab, А. В. Дорофееваa a Факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова
b Институт проблем информатики Федерального исследовательского центра «Информатика и управление» Российской академии
наук
Аннотация:
При решении прикладных задач в самых разных областях принято использовать нормальное распределение в качестве модели статистических закономерностей в наблюдаемых данных с аддитивной структурой. В качестве критерия степени адекватности такой модели можно использовать оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме (ЦПТ) теории вероятностей, устанавливающей, что при определенных условиях (например, при условии Линдеберга) суммарное воздействие большого числа случайных факторов проявляется в виде случайной величины с нормальным распределением. Классические оценки скорости сходимости в ЦПТ типа неравенства Берри–Эссеена доказаны при условии конечности третьих моментов слагаемых. Известны также оценки скорости сходимости при существовании моментов порядка $2+\delta$ с $0<\delta<1$. Если существуют моменты лишь второго порядка, то сходимость в ЦПТ может быть как угодно медленной. Если же у слагаемых моменты второго порядка не существуют, то сходимость распределений сумм независимых случайных величин к нормальному закону не имеет места. Условия, гарантирующие справедливость ЦПТ, практически невозможно достоверно проверить при ограниченном объеме наблюдаемой выборки. Поэтому вопрос о том, какой может быть реальная точность нормальной аппроксимации, когда она теоретически не применима, но используется в практических вычислениях, представляет большой интерес. Более того, в некоторых ситуациях при имитационном моделировании, когда распределения слагаемых принадлежат области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем, меньшим двух, при увеличении числа слагаемых сначала наблюдается убывание расстояния между распределением нормированной суммы и нормальным законом и лишь при довольно большом числе слагаемых это расстояние начинает увеличиваться. В данной заметке предпринята попытка дать ответ на сформулированный выше вопрос и привести некоторые теоретические объяснения указанному эффекту.
Ключевые слова:
центральная предельная теорема, точность нормальной аппроксимации, тяжелые хвосты, равномерное расстояние.
Поступила в редакцию: 13.10.2020
Образец цитирования:
В. Ю. Королев, А. В. Дорофеева, “О точности нормальной аппроксимации при отсутствии нормальной сходимости”, Информ. и её примен., 15:1 (2021), 116–121
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/ia720 https://www.mathnet.ru/rus/ia/v15/i1/p116
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 179 | PDF полного текста: | 65 | Список литературы: | 26 |
|