Множества притяжения в абстрактной задаче о достижимости в топологическом пространстве

Рассматриваются абстрактные задачи о достижимости с ограничениями асимптотического характера (ОАХ), в которых результат (аналог множества достижимости) определяется в виде множества притяжения (МП) в топологическом пространстве. Сами ОАХ порождаются при этом непустыми семействами подмножеств исходного множества обычных (доступных для реализации) решений. Среди этих семейств выделяются фильтры: семейство всех возможных МП получается добавлением пустого множества к аналогичному семейству МП, отвечающим каждое ОАХ, порождаемым фильтром; при этом ультрафильтрам всякий раз сопоставляется единственный элемент притяжения. Это позволяет установить ряд важных свойств семейства всех МП, порождаемых фильтрами. Так, в частности, установлено, что данное семейство замкнуто относительно конечных объединений, указаны условия, при которых конечное объединение фильтров порождает МП упомянутого семейства, указано семейство синглетонов, являющихся МП, порождаемыми фильтрами. Само же появление непустых неодноэлементных МП удается истолковать в терминах немаксимальности фильтра, порождающего ОАХ: непустые МП, не являющиеся синглетонами, непременно соответствуют ОАХ, порождаемыми фильтрами, не являющимися ультрафильтрами.