Известия Российской академии наук. Серия математическая
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Изв. РАН. Сер. матем.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2021, том 85, выпуск 2, страницы 73–94
DOI: https://doi.org/10.4213/im8964
(Mi im8964)
 

Эта публикация цитируется в 8 научных статьях (всего в 8 статьях)

Функции, универсальные относительно тригонометрической системы

М. Г. Григорян, Л. Н. Галоян

Ереванский государственный университет
Список литературы:
Аннотация: В статье построена интегрируемая функция, ряд Фурье которой обладает следующим свойством: после выбора подходящих знаков для коэффициентов этого ряда частичные суммы вновь полученного ряда будут плотными в $L^p$, $p\in(0,1)$.
Библиография: 26 наименований.
Ключевые слова: универсальная функция, универсальный тригонометрический ряд, ряды Фурье, сходимость в метрике $L^p$.
Финансовая поддержка Номер гранта
Государственный комитет по науке министерства образования и науки Республики Армения 18T-1A148
Исследование выполнено при финансовой поддержке Государственного комитета по науке МОН РА в рамках научного проекта № 18T-1A148.
Поступило в редакцию: 21.08.2019
Исправленный вариант: 15.04.2020
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 2, Pages 241–261
DOI: https://doi.org/10.1070/IM8964
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.538
MSC: 42A16, 43A15

§ 1. Введение

Существование функций и рядов, универсальных в том или ином смысле в различных классах функций, изучалось, начиная с первой половины 20-го века, многими математиками работавшими в теории функций как действительного, так и комплексного переменного, см. [1]–[17].

Заметим, что единого определения понятия “универсальная функция” не существует. Обычно под этим термином понимается функция, с помощью которой можно “представить” все функции. При этом способ представления, а также класс представимых функций может трактоваться различным образом.

По сути первый тип универсальной функции был рассмотрен в 1929 г. Биркхофом в работе [1]: существует целая функция $g(z)$, которая универсальна относительно сдвигов, т. е. для любой целой функции $f(z)$ и числа $r>0$ существует возрастающая последовательность натуральных чисел $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ такая, что последовательность сдвигов $\{g(z+n_k)\}_{k=1}^{\infty}$ равномерно сходится к $f(z)$ на круге $|z|\leqslant r$.

В 1935 г. Марцинкевич [2] доказал существование непрерывной функции, которая универсальна относительно производных чисел: если $\{h_n\}_{n=1}^{\infty}$ заранее фиксированная бесконечно малая последовательность, то существует непрерывная на $[0,1]$ функция $F$ такая, что для любой измеримой функции $g$, определенной на $[0,1]$, существует возрастающая последовательность натуральных чисел $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ такая, что

$$ \begin{equation*} \frac{F(x+h_{n_k})-F(x)}{h_{n_k}}\to g(x)\quad\textit{п.в. на }[0,1]. \end{equation*} \notag $$

Более того, множество таких универсальных функций является множеством второй категории в $C[0,1]$.

В 1991 г. Кротов [3] поставил и изучил вопрос о возможной гладкости таких функций $F$ (функций Марцинкевича) и связал этот вопрос с поведением ряда Фурье–Стилтьеса функции $F$.

В 1952 г. Маклейн в работе [4] доказал, что существует целая функция $g(z)$, которая универсальна относительно производных, а именно: для любой целой функции $f(z)$ и числа $r>0$ можно выбрать возрастающую последовательность натуральных чисел $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ так, чтобы последовательность производных $\{g^{(n_k)}(z)\}_{k=1}^{\infty}$ равномерно сходилась к $f(z)$ на круге $|z|\leqslant r$.

Далее, в 1975 г. Воронин [5] доказал теорему универсальности дзета-функции Римана: пусть $0<r<1/4$, а функция $f(s)$ непрерывна, не имеет нулей внутри круга $|s|\leqslant r$ и аналитична внутри этого круга. Тогда для всякого $\varepsilon\,{>}\,0$ существует вещественное число $T=T(\varepsilon)$, что выполняется неравенство

$$ \begin{equation*} \max_{|s|\leqslant r}\biggl|f(s)-\zeta\biggl(s+\frac34+iT\biggr)\biggr|<\varepsilon. \end{equation*} \notag $$

Близким к понятию универсальной функции является понятие универсального ряда. Так называют ряды, с помощью которых можно представить любую функцию (здесь также способ представления и класс представляемых функций можно понимать различным образом). Часто такой ряд связан с какой-то функцией, например, является ее рядом Тейлора или Фурье (Фурье–Стильтеса).

Понятие универсального ряда восходит к работам Меньшова [6] и Талаляна [7]. Универсальные ряды также изучались во многих работах и имеется значительная информация о свойствах таких рядов (см. [8]–[17]).

Следует отметить, что первый универсальный вещественный степенной ряд был построен еще в 1914 г. Фекетом. Он, в частности, доказал существование действительного степенного ряда $\sum_{k=1}^{\infty}a_kx^k$ со следующим свойством: для всякой непрерывной на $[-1,1]$ функции $g(x)$ с $g(0)=0$ существует такая возрастающая последовательность целых положительных чисел $\{n_j\}_{j=1}^{\infty}$, что равномерно относительно $x\in[-1,1]$ имеет место равенство

$$ \begin{equation*} \lim_{j\to\infty}\sum_{k=1}^{n_j}a_kx^k=g(x). \end{equation*} \notag $$

В 1987 г. Гроссе–Эрдман [18] доказал существование действительнозначной функции с универсальным рядом Тейлора: существует функция $g\in C^{\infty }(\mathcal{R})$ с $g(0)=0$, ряд Тейлора которой в точке $x=0$ локально равномерно универсален в $C(\mathcal{R})$, т. е. для любой функции $f\in C(\mathcal{R})$ с $f(0)=0$ и числа $r>0$, существует подпоследовательность

$$ \begin{equation*} S_{n_k}(g,0)=\sum_{m=1}^{n_k}{\frac{g^{(m)}(0)}{m!}}x^{m} \end{equation*} \notag $$
частичных сумм ряда Тейлора функции $g(x)$, которая равномерно сходится к $f(x)$ на отрезке $|x|\leqslant r$.

В работах [19]–[21] можно найти доказательство следующего факта: пусть $0\leqslant r<\infty$. Существует степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ с радиусом сходимости $r$ такой, что для произвольного компакта $K$ из $\{z\colon |z|>r\}$ со связным дополнением и для любой непрерывной на $K$ и голоморфной внутри $K$ функции $h$ существует возрастающая последовательность целых положительных чисел $\{n_j\}_{j=1}^{\infty}$ такая, что равномерно на $K$ имеет место равенство $\lim_{j\to\infty}\sum_{k=1}^{n_j}a_kz^k=h(z)$.

Первой работой, где построены универсальные тригонометрические ряды в классе всех измеримых функций в смысле сходимости почти всюду, является работа Меньшова [6]. Он доказал следующую фундаментальную теорему.

Теорема 1. Существует тригонометрический ряд

$$ \begin{equation*} \frac{a_0}{2} +\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx), \end{equation*} \notag $$
со следующим свойством: для любой измеримой функции $g(x)$, определеной на $[-\pi, \pi]$, существует возрастающая подпоследовательность натуральных чисел $\{n_j\}_{j=1}^{\infty}$ такая, что подпоследовательность частичных сумм
$$ \begin{equation*} S_{n_j}(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n_j}(a_k\cos kx+b_k\sin kx) \end{equation*} \notag $$
сходится почти всюду на $[-\pi, \pi]$ к $g(x)$.

Замечание 1. Отметим, что не существует функции $U\in L^{1}[-\pi, \pi]$, подпоследовательность частичных сумм ряда Фурье (в отличие от рядов Тейлора) которой могли бы (даже по мере) приближать все измеримые функции. В самом деле, если бы существовала такая функция $U\in L^{1}[-\pi, \pi]$, то для функции $f(x)=2U(x)$ нашлась бы подпоследовательность натуральных чисел $\{m_k\}\nearrow\infty$ такая, что по мере на $[-\pi, \pi]$

$$ \begin{equation} \lim_{k\to\infty}\sum_{|n|=0}^{m_k}c_n(U)e^{i nx}=2U(x); \end{equation} \tag{1.1} $$
здесь $c_n(U)$ – коэффициенты Фурье функции $U$. С другой стороны, из известной теоремы Колмогорова (см., например, [22; с. 597]), ряд Фурье каждой интегрируемой функции по тригонометрической системе сходится к ней в $L^p$, $p\in(0,1)$, вытекает, что $\sum_{|n|=0}^{m_k}c_n(U)e^{i nx}$ сходится к $U(x)$ по мере на $[-\pi, \pi]$. Отсюда и из (1.1) вытекает, что $U(x)=2U(x)$ почти всюду на $[-\pi, \pi]$. Пришли к противоречию.

Тем не менее, в этой статье мы построим функцию $U\in L^{1}[-\pi, \pi]$ такую, что после выбора подходящих знаков $\{\delta_k=\pm1\}_{|k|=0}^{\infty}$, для ее коэффициентов Фурье $\{c_k(U)\}_{|k|=0}^{\infty}$ можно достичь того, чтобы подпоследовательности частичных сумм ряда $\sum_{|k|=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)e^{i kx}$ могли бы приближать все измеримые функции в смысле сходимости почти всюду.

§ 2. Формулировка результатов

Пусть $M[a, b]$ – совокупность всех (не обязательно конечных) измеримых функций на $[a, b]$, $L^p[a, b]$, $p>0$, представляет собой класс всех измеримых на $[a, b]$ функций, для которых $\int_a^b|f|^p\, dx<\infty$, $|E|$ – лебегова мера измеримого множества $E\subseteq[a, b]$, $\mathbb{N}$ – совокупность всех натуральных чисел. Под сходимостью в $M[a, b]$ мы будем подразумевать сходимость почти всюду.

Пусть $\{\varphi_k(x)\}_{k=1}^{\infty}$ – полная ортонормированная ограниченная система на $[a,b]$, и пусть

$$ \begin{equation*} c_k(U)=\int_a^bU(x)\varphi_k(x)\, dx,\qquad k\in\mathbb{N}, \end{equation*} \notag $$
– коэффициенты Фурье по системе $\{\varphi_k(x)\}_{k=0}^{\infty}$ функции $U\in L^{1}[a,b]$.

Пусть $S$ обозначает какое-нибудь из пространств $M[a, b]$ или $L^p[a, b]$.

Определение 1. Ряд

$$ \begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}{f}_k,\qquad f_k\in S, \end{equation} \tag{2.1} $$
называется универсальным в $S$:

1) в обычном смысле, если для каждой функции $f\in S$ существует возрастающая последовательность натуральных чисел $n_k$ такая, что у ряда (2.1) последовательность частичных сумм с номерами $n_k$ сходится к $f$ в пространстве $S$;

2) в смысле (относительно) перестановок, если для каждой функции $f\in S$ члены ряда (2.1) можно переставить так, чтобы вновь полученный ряд

$$ \begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty}f_{\sigma(k)} \end{equation*} \notag $$
сходился к функции $f$ в пространстве $S$;

3) в смысле (относительно) знаков в $S$, если для каждой функции $f\in S$ можно найти последовательность знаков $\{\delta_k=\pm1\}_{k=0}^{\infty}$, для которой ряд $\sum_{k=1}^{\infty}\delta_kf_k$ сходится к функции $f$ в пространстве $S$.

Как уже отмечали выше, в работе [6] Меньшовым построены универсальные ряды в $M[-\pi,\pi]$. Ряды $\sum_{k=1}^{\infty}a_k\varphi_k(x)$ по любой ортонормированной полной системе $\{\varphi_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$, $x\in[0,1]$, универсальные в $M[0,1]$ были построены А. А. Талаляном в работе [7], см. также работы [8]–[13].

В данной статье будем изучать вопрос существования функций, ряды Фурье которых по тригонометрической системе универсальны в том или ином смысле в различных функциональных классах.

Такие функции мы назовем универсальными относительно тригонометрической системы.

Определение 2. Будем говорить, что функция $U\in$ $L^{1}[a,b]$ универсальна для класса $S$ относительно системы $\{\varphi_k(x)\}_{k=0}^{\infty}$:

a) в обычном смысле, если ряд Фурье функции $U$ по этой системе универсален в $S$ в обычном смысле;

b) в квазиобычном смысле, если существует последовательность знаков $\{\delta_k=\pm1\}_{k=0}^{\infty}$ такая, что ряд $\sum_{k=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)$ универсален в обычном смысле в $S$;

c) в смысле перестановок, если ряд Фурье функции $U$ по этой системе универсален в $S$ в смысле (относительно) перестановок;

d) в смысле знаков своих коэффициентов Фурье по этой системе, если ряд Фурье функции $U$ по этой системе универсален в $S$ в смысле знаков.

В силу замечания 1 не существует функции $U\in$ $L^{1}[-\pi,\pi]$, универсальной для класса $M[-\pi,\pi]$ относительно тригонометрической системы в обычном смысле (аналогичным образом можно доказать, что последнее утверждение верно и в случае систем Уолша, Хаара, Франклина и Виленкина).

Сразу же возникает следующий вопрос, ответ на который нам не известен.

Вопрос 1. Существует ли такая ортонормированная система $\{\varphi_n(x)\}$ ограниченных функций такая, что можно было бы построить универсальную функцию $U$ для класса $M$ относительно системы $\{\varphi_n(x)\}$ в обычном смысле?

Тем не менее, в этой статье мы построим функцию $U\in L^{1}[-\pi,\pi]$ такую, что после выбора подходящих знаков $\{\delta_k=\pm1\}_{|k|=0}^{\infty}$, для ее коэффициентов Фурье $\{c_k(U)\}_{|k|=0}^{\infty}$ можно достичь того, чтобы вновь полученный ряд $\sum_{|k|=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)e^{i kx}$ являлся универсальным в обычном смысле в ${M}[-\pi,\pi]$.

Более того верно следующее утверждение.

Теорема 2. Для каждого $p\in(0,1)$ существует функция $U\in$ $L^{1}[-\pi,\pi]$, универсальная для класса $L^p[-\pi,\pi]$ относительно тригонометрической системы в квазиобычном смысле.

Замечание 2. Если при некотором $p\in(0,1)$ функция $U\in L^{1}[a,b]$ универсальна для пространства $L^p[a,b]$ относительно системы $\{\varphi_n(x)\}$ в квазиобычном смысле, то она будет универсальной и для класса ${M}[a,b]$ относительно системы $\{\varphi_n(x)\}$ в квазиобычном смысле. В самом деле, пусть функция $U\in L^{1}[a,b]$ универсальна для пространства $L^p[a,b]$, $p\in(0,1)$, относительно системы $\{\varphi_n(x)\}$ в квазиобычном смысле, тогда по определению можно найти числа $\{\delta_k=\pm1,\, k=1,2,\dots\}$ такие, что последовательность частичных сумм $S_{N}(x)=\sum_{k=0}^{\ N}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)$ ряда $\sum_{k=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)$ будет плотной в $L^p[a,b]$. Тогда существует возрастающая подпоследовательность натуральных чисел $N_{\nu}\nearrow\infty$ такая, что

$$ \begin{equation} \int_a^b|f_{\nu}(x)-S_{N_{\nu}}(x)|^p\, dx<4^{-8\nu p},\qquad \nu=1,2,\dots, \end{equation} \tag{2.2} $$
где $\{f_{\nu}(x)\}_{n=1}^{\infty}$ – последовательность всех тригонометрических полиномов с рациональными коэффициентами. Положим
$$ \begin{equation} G_{\nu}=\{x\in[a,b]\colon |f_{\nu}(x)-S_{N_{\nu}}(x)|\leqslant2^{-\nu}\}, \end{equation} \tag{2.3} $$
$$ \begin{equation} E=\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{\nu=m}^{\infty}G_{\nu}. \end{equation} \tag{2.4} $$
Из (2.2)(2.4) вытекает
$$ \begin{equation} \mathit{|E|}=b-a,\qquad \lim_{\nu\to\infty}|f_{\nu}(x)-S_{N_{\nu}}(x)|=0,\quad x\in\ E. \end{equation} \tag{2.5} $$
Пусть $g \in M[a,b]$. Нетрудно увидеть, что можно выбрать подпоследовательность $\{f_{l_k}(x)\}_{k=1}^{\infty}$ из последовательности $\{f_{\nu}(x)\}_{\nu=1}^{\infty}$ такую, что почти всюду на $[a,b]$
$$ \begin{equation*} \lim_{k\to\infty}f_{l_k}(x)=g(x). \end{equation*} \notag $$
Отсюда и из (2.5) вытекает, что почти всюду на $[a,b]$ справедливо равенство
$$ \begin{equation*} \lim_{k\to\infty}S_{N_{l_k}}(x)=g(x). \end{equation*} \notag $$

В этой статье доказывается также следующее утверждение.

Теорема 3. Для каждого $p\in(0,1)$ существует функция $U\in L^{1}[-\pi,\pi]$, универсальная для класса $L^p[-\pi,\pi]$ относительно тригонометрической системы в смысле знаков своих коэффициентов Фурье.

Замечание 3. Заметим, что из известной теоремы С. В. Конягина [23] (тригонометрические ряды не могут сходиться к $+\infty$ на множестве положительной меры) вытекает, что не существует функции $U\in$ $L^{1}[-\pi,\pi]$, универсальной для класса $M[-\pi,\pi]$ относительно тригонометрической системы в смысле знаков своих коэффициентов Фурье.

Теоремы 2 и 3 следуют из теоремы 4.

Теорема 4. Для каждого $p\in(0,1)$ существует функция $U\in$ $L^{1}[-\pi,\pi]$, универсальная для класса $L^p[-\pi,\pi]$ относительно тригонометрической системы как в квазиобычном смысле, так и в смысле знаков своих коэффициентов Фурье.

Следует отметить,что теорема 4 окончательна в некотором смысле (неулучшаема), ибо не существует функции $U\in$ $L^{1}[-\pi,\pi]$, которая была бы универсальной для класса $L^{1}[-\pi,\pi]$ относительно тригонометрической системы либо в квазиобычном смысле, либо в смысле знаков своих коэффициентов Фурье (см. замечание 4).

Замечание 4. Каковы бы ни были число $p\geqslant1$ и ограниченная ортонормированная система $\{\varphi_n(x)\}$, не существует функции $U\in$ $L^{1}[a,b]$, которая была бы универсальной для класса $L^p[a,b]$ относительно системы $\{\varphi_n(x)\}$ в квазиобычном смысле. Действительно, если бы при некотором $p\geqslant1$ относительно некоторой ограниченной ортонормированной системы $\{\varphi_n(x)\}$ существовала бы функция $U\in L^{1}[a,b]$, универсальная для класса $L^p[a,b]$, $p\geqslant1$, в квазиобычном смысле (соответственно в смысле знаков своих коэффициентов Фурье), то нашлась бы последовательность знаков $\{\delta_k=\pm1\}_{k=0}^{\infty}$ такая, что для любой функции $f\in L^p[a,b]$ с $c_1(f)\neq0$ нашлись бы последовательности $\{N_m, \Lambda_m\}$ такие, что

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \lim_{m\to\infty}\int_a^b\biggl| \sum_{k=1}^{N_m}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)- f(x)\biggr| \, dx &=0, \\ \lim_{m\to\infty} \int_a^b\biggl| \sum_{k=1}^{\Lambda_m}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x) -2f(x)\biggr| \, dx&=0. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Откуда следует, что справедлива оценка

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &|\delta_1c_1(U)-c_1(f)| =\biggl| \int_a^b \biggl( \sum_{k=1}^{N_m}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)-f(x)\biggr)\varphi_1(x)\, dx\biggr| \\ &\qquad\leqslant\sup_{x\in[a,b]}|\varphi_1(x)| \int_a^b \biggl| \sum_{k=1}^{N_m}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)-f(x)\biggr| \, dx\to0,\qquad m\to\infty. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отсюда вытекает, что $\delta_1c_1(U)=c_1(f)$. Аналогично находим соотношение $\delta_1c_1(U)=2c_1(f)$ и сразу получаем противоречие: $c_1(f)=0$.

В связи с представленными выше теоремами и определениями возникают следующие (на наш взгляд, интересные) вопросы, ответы на которые нам неизвестны.

Вопрос 2. Существует ли ортонормированная система $\{\varphi_n(x)\}$ ограниченных функций и функция $U\in L^{1}[a,b]$, универсальная для некоторого класса $L^p[a,b]$, $p\in(0,1)$, относительно системы $\{\varphi_n(x)\}$ в обычном смысле?

Вопрос 3. Существует ли функция $U\in L^{1}[-\pi,\pi]$, универсальная для некоторого класса $L^p[-\pi,\pi]$, $p\in(0,1)$, относительно тригонометрической системы, системы Уолша в смысле перестановок?

Вопрос 4. Верны ли теоремы 24 для других классических систем?

В связи с вопросом 4 отметим, что теорема 3 верна для системы Уолша, более того, в работах М. Григоряна и А. Саргсяна (см. [14], [17]) построена функция $U\in L^{1}[0,1]$ со сходящимся рядом Фурье–Уолша и со строго убывающими коэффициентами Фурье–Уолша, универсальная для классов $L^p[0,1]$, $p\in(0,1)$, относительно системы Уолша в смысле знаков коэффициентов Фурье–Уолша.

Отметим также, что доказательство основной леммы настоящей работы, с помощью которой доказывается теорема 4, отличается от доказательства соответствующей леммы работы [14].

Замечание 5. Следует отметить, что (как видно и из вышеизложенного) существование универсальных функций зависит от (типа) смысла универсальности, от системы, от пространства $S$ (в частности, $S$ – какое-нибудь из пространств $M$, $L^p[0,1]$, $p\geqslant0$).

§ 3. Обозначения и вспомогательные факты

Ниже мы будем использовать следующие обозначения: $T$ – отрезок $[-\pi,\pi]$, $L^{r}(T)$ ($r>0$) – пространство всех измеримых на $T$ функций $f$, для которых $\int_T|f|^{r}\, dx\,{<}\,{+}\infty$, $C(T)$ – пространство непрерывных на $T$ функций, $\|\,{\cdot}\,\|_C$, $\|\,{\cdot}\,\|_{p}$ – нормы пространств $C(T)$ и $L^p(T)$ ($p\geqslant1$) соответственно, $|G|$ – мера множества $G$, $\mathbb{N}$ – множество натуральных чисел, $a_k(f)$, $b_k(f)$ – коэффициенты Фурье функции $f$, т. е.

$$ \begin{equation*} a_k(f)=\frac{1}{\pi}\int_Tf(t)\cos kt\, dt,\qquad b_k(f)=\frac{1}{\pi}\int_Tf(t)\sin kt\,dt, \quad k\geqslant0, \end{equation*} \notag $$
$\operatorname{spec}\{f\}$ – спектр функции $f$, т. е. множество $\{k\colon |a_k(f)|+|b_k(f)|\neq 0\}$, $\chi_{E}$ – характеристическая функция множества $E$, $S_n(\,{\cdot}\,,f)$ ($n\in\mathbb{N}$) – частичные суммы ряда Фурье функции $f$.

Пусть

$$ \begin{equation*} \Delta\equiv[a,b]\subset T,\qquad \Delta_k=\biggl[a+\frac{|\Delta|}{2^{k+1}},\, b-\frac{|\Delta|}{2^{k+1}}\biggr],\quad k\in \mathbb{N}. \end{equation*} \notag $$
Определим непрерывные на всей числовой оси функции $t_k(x,\Delta)$ следующим образом: $t_k(x,\Delta)=1$ для $x\in\Delta_k$, $t_k(x,\Delta)=0$ для $x\notin\Delta$, $t_k(x,\Delta)$ линейная на $[a,a+|\Delta|/(2^k+1)]$ и линейная на $[b-|\Delta|/(2^k+1),b]$ и $t_k(x+2\pi,\Delta)=t_k(x,\Delta)$ ($x\in\mathbb R$). Для каждого $k\in \mathbb{N}$ обозначим через $I_n^{(k)}(x)$ ($n\in \mathbb{N}$) частичные суммы ряда Фурье функции $t_k(x,\Delta)$.

Мы будем использовать (полиномы Радона–Шапиро) лемму Радона–Шапиро (см., например, [24; с. 146]).

Лемма 1. Существует последовательность знаков $\{\varepsilon_{\nu}=\pm1\}_{\nu=1}^{\infty}$ такая, что

$$ \begin{equation} \biggl\|\sum_{\nu=0}^{N-1}\varepsilon_{\nu}e^{i\nu t}\biggr\|_C\leqslant5\sqrt{N},\qquad N\in \mathbb{N}. \end{equation} \tag{3.1} $$

Рассмотрим тригонометрические полиномы Фейера

$$ \begin{equation} F_n(t)=\frac12+\sum_{\nu=1}^nf_{\nu}^{(n)}\cos \nu t, \qquad f_{\nu}^{(n)}=1-\frac{\nu}{n+1},\quad n\in \mathbb{N}. \end{equation} \tag{3.2} $$
Известно, что эти полиномы неотрицательны на всей числовой оси (см., например, [22; с. 138]). Положим
$$ \begin{equation} \mathcal{F}_n(t)=\frac12+\sum_{\nu=1}^n\varepsilon_{\nu}f_{\nu}^{(n)}\cos \nu t,\qquad n\in \mathbb{N}. \end{equation} \tag{3.3} $$

Покажем, что для каждой последовательности $\{M_n\}_{n=1}^{\infty}\nearrow$; $M_n\geqslant4n$ справедливы оценки

$$ \begin{equation} \biggl\| \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr\|_2 >\frac12,\qquad \biggl\| \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr\|_C\leqslant6. \end{equation} \tag{3.4} $$

В силу равенства Парсеваля из (3.1)(3.3) будем иметь

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \biggl\| \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr\|_2 &=\sqrt{\int_T\biggl(\frac{\cos M_{n}x}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_{n}(x)\biggr)^{2}\, dx} =\frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\sum_{\nu=1}^n\biggl( 1-\frac{\nu}{n+1}\biggr)^2} \\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{2(n+1)^2}\sum_{\nu=1}^n (n+1-\nu)^2}>\frac12. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Применяя преобразования Абеля и учитывая (3.1)(3.3), получим
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \biggl\| \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr\|_C &\leqslant\biggl\| \frac{1}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n\biggr\|_C=\frac{1}{\sqrt{n}}\biggl\| \frac12+\frac{1}{n+1} \sum_{\nu=1}^n\biggl( \sum_{k=1}^{\nu}\varepsilon_k\cos kx\biggr) \biggr\|_C \\ &\leqslant\frac{1}{\sqrt{n}}\biggl| \frac12+\frac{5}{n+1}\sum_{\nu=1}^n\sqrt{\nu}\biggr| \leqslant6. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Теперь, используя оценки (3.4), покажем, что существуют числа $\alpha,\beta\in(0,1)$ такие, что для всех $n\in\mathbb{N}$

$$ \begin{equation} \biggl| \biggl\{x\in T\colon\biggl| \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr| >\alpha\biggr\}\biggr| >\beta. \end{equation} \tag{3.5} $$

Действительно, в противном случае нашлись бы последовательности $\{\alpha_k\}_{k=1}^{\infty}\,{\searrow}\,0$, $\{\beta_k\}_{k=1}^{\infty}\searrow0$ и $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}\nearrow\infty$ такие, что для всех $k\in\mathbb{N}$

$$ \begin{equation*} \biggl| \biggl\{x\subset T\colon\biggl| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr| \leqslant\alpha_k\biggr\}\biggr| >2\pi-\beta_k. \end{equation*} \notag $$

Отсюда, вводя обозначение

$$ \begin{equation*} A_k=\biggl\{x\in T\colon\biggl| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr| \leqslant\alpha_k\biggr\},\qquad k=1,2,\dots, \end{equation*} \notag $$
и используя (3.4), сразу получаем противоречие
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{1}{16}&<\biggl\| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr\|_2^2= \int_{A_k} \biggl| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr|^2\, dx \\ &\qquad+\int_{CA_k} \biggl| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr|^2\, dx<2\pi(\alpha_k)^2+6\beta_k\to0,\qquad k\to\infty. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Из (3.5) вытекает, что

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_{A_n^+}\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\, dx+ \int_{A_n^-} \biggl( -\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr) \, dx \nonumber \\ &\qquad=\int_T \biggl| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr| \, dx\geqslant\alpha\beta, \end{aligned} \end{equation} \tag{3.6} $$
где
$$ \begin{equation*} A_n^-=\biggl\{x\in T\colon\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)<0\biggr\},\qquad A_n^+=\biggl\{x\in T\colon\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\geqslant0\biggr\}. \end{equation*} \notag $$

Ввиду того, что (см. (3.3))

$$ \begin{equation*} 0=\int_T\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\, dx= \int_{A_n^-}\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\, dx+ \int_{A_n^+} \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\, dx, \end{equation*} \notag $$
в силу (3.6) будем иметь
$$ \begin{equation} \int_{A_n^-}\biggl( -\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr) \, dx= \int_{A_n^+} \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\, dx\geqslant\frac12\alpha\beta. \end{equation} \tag{3.7} $$

Ясно, что используя (3.7) и повторяя те же рассуждения, что и при доказательстве (3.6), мы можем найти числа $\alpha,\beta\in(0,1)$ такие, что для всех $n\in\mathbb{N}$

$$ \begin{equation} \biggl| \biggl\{ x\in T\colon\biggl( -\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr) >\alpha\biggr\} \biggr| = \biggl| \biggl\{ x\in T\colon\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)<-\alpha\biggr\} \biggr| >\beta. \end{equation} \tag{3.8} $$

Пусть

$$ \begin{equation*} T(x)=\sum_{k=0}^{N} \alpha_k\cos kx+\beta_k\sin kx, \qquad Q(x)=\sum_{k=0}^{N} \overline{\alpha}_k\cos kx+\overline{\beta}_k\sin kx \end{equation*} \notag $$
– некоторые тригонометрические полиномы (ниже просто “полиномы”). Мы условимся писать $T\sim Q$, если при некоторых $\delta_k=\pm1$ ($0\leqslant k\leqslant N$) имеют место равенства
$$ \begin{equation*} \alpha_k=\delta_k\overline{\alpha}_k, \quad \beta_k=\delta_k\overline{\beta}_k,\qquad 0\leqslant k\leqslant N. \end{equation*} \notag $$
Заметим, что

i) если $T\sim Q$, то $\alpha T \sim \alpha Q $ для любого $\alpha\neq0$;

ii) если $T \sim Q$ и порядки полиномов $T$ и $Q$ меньше чем $M\in \mathbb{N}$, то $T\cos Mx \sim Q\cos Mx$;

iii) если $T_j \sim Q_j$ при всех $1\leqslant j\leqslant p$ и

$$ \begin{equation*} \operatorname{spec}\{T_{j_1}\}\cap \operatorname{spec}\{T_{j_2}\}=\varnothing,\qquad \operatorname{spec}\{Q_{j_1}\}\cap \operatorname{spec}\{Q_{j_2}\}=\varnothing \end{equation*} \notag $$
при $j_1\neq j_2$, $1\leqslant j_1,j_2\leqslant m$, то $\sum_{j=1}^{m}T_j \sim \sum_{j=1}^{m}Q_j$.

И наконец, напомним следующую теорему (см. [22; с. 595]): пусть $f$ – суммируемая функция и $p\in(0,1)$. Тогда при всех $n\in\mathbb{N}$

$$ \begin{equation} \int_{-\pi}^{\pi}|S_n(x,f)|^p\, dx\leqslant B_{p}\biggl(\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|\, dx\biggr)^p, \end{equation} \tag{3.9} $$
где $B_{p}$ – константа, зависящая только от $p$.

§ 4. Доказательство лемм

Нам понадобится следующая элементарная лемма.

Лемма 2. Пусть $\{F_k(x)\}_{k=1}^{\infty}$ – последовательность измеримых функций, определенных на $(\alpha,\beta)$, стремящаяся к нулю по мере на $(\alpha,\beta)$ и удовлетворяющая условиям $\int_{\alpha}^{\beta}|F_{k}(x)|\, dx\leqslant M$ ($k\geqslant1$), где $M$ – постоянная. Тогда при любом $p\in(0,1)$ имеет место равенство

$$ \begin{equation*} \lim_{k\to\infty}\int_{\alpha}^{\beta} |F_k(x)|^p\, dx=0. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Пусть $h$ – произвольное положительное число. Выберем числа $\mu, a, A>0$ так, чтобы $3a^p(\beta-\alpha)<h$, $3M A^{p-1}<h$ и $3A^p\mu<h$. Положим $E_k=\{x\in(\alpha,\beta)\colon |F_k(x)|\geqslant a\}$. Поскольку $\{F_k(x)\}_{k=1}^{\infty}$ стремится к нулю по мере на $(\alpha,\beta)$, то существует натуральное число $k(h)$ такое, что $|E_k|<\mu$ при всех $k\geqslant k(h)$. Отсюда при всех $k\geqslant k(h)$ получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_{\alpha}^{\beta} |F_k|^p\, dx &=\int_{CE_k} |F_k|^p\, dx+\int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|<A\}} |F_k|^p\, dx+\int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|\geqslant A\}} |F_k|^p\, dx \\ &\leqslant a^p(\beta-\alpha)+A^p\mu+\int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|\geqslant A\}} |F_k|^p\, dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Учитывая, что
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|\geqslant A\}} |F_k|^p\, dx&=\int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|\geqslant A\}} \frac{|F_k|}{|F_k|^{1-p}}\, dx \\ &\leqslant\frac{1}{A^{1-p}}\int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|\geqslant A\}} |F_k|\, dx\leqslant \frac{M}{A^{1-p}}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
в итоге при всех $k\geqslant k(h)$ получаем
$$ \begin{equation*} \int_{\alpha}^{\beta} |F_k|^p\, dx< a^p(\beta-\alpha)+A^p\mu+\frac{M}{A^{1-p}}<h. \end{equation*} \notag $$
Лемма 2 доказана.

В следующей лемме используются некоторые конструкции из работы [25] (а также [26; с. 333–337]).

Лемма 3. Для любых чисел

$$ \begin{equation*} N_0>1,\qquad \gamma\neq0,\qquad \epsilon,\eta,p\in (0,1),\qquad \eta<2^{-5}|\gamma| \end{equation*} \notag $$
и интервала $\Delta\equiv(a, b)\subset T$ существуют тригонометрические полиномы $\mathcal{U}(x)$ и $\mathcal{Q}(x)$, удовлетворяющие следующим условиям:

1) спектры полиномов $\mathcal{U}(x)$ и $\mathcal{Q}(x)$ находятся правее $N_0$;

2) $\mathcal{U}(x)\backsim\mathcal{Q}(x)$;

3) $\int_T|\mathcal{Q}(x)-\gamma \chi_{\Delta}(x)|^p\, dx<\epsilon$;

4) $\int_T|S_n(x,\mathcal{Q})|^p\, dx<\overline{B}_{p}|\gamma|^p|\Delta|^p$ ($n\in\mathbb{N}$);

5) $\int_T|\mathcal{U}(x)|\, dx<\eta$,

где $\overline{B}_{p}$ – константа, зависящая только от $p$.

Доказательство. Зафиксируем положительное число $\varepsilon$, удовлетворяющее условию
$$ \begin{equation} \varepsilon<\min\biggl\{\frac{|\Delta|}{7};\frac{\epsilon^{1/p}}{81p|\gamma|}\biggr\}, \end{equation} \tag{4.1} $$
где
$$ \begin{equation} s=\biggl[\log_2\frac{10|\gamma|}{\eta}\biggr]+1. \end{equation} \tag{4.2} $$
Нашей ближайшей целью будет рассмотрение некоторых свойств последовательности
$$ \begin{equation} \mathcal{P}_k(x)=\prod_{j=1}^k\biggl(1+\frac{1}{2^{j+s}} \mathcal{F}_{4^j}(2^{\sigma_j}x)I_{n_j}^{(j)}(x)\cos2^{\lambda_j}x\biggr),\qquad k\in \mathbb{N}, \end{equation} \tag{4.3} $$
где последовательности натуральных чисел $\{n_j, \sigma_j, \lambda_j\}_{j=1}^{\infty}$ будут выбраны ниже по индукции, при этом мы не будем налагать на эти последовательности никаких специфических условий, кроме требования “достаточно быстрого роста”.

Последовательность $\{n_j\}_{j=1}^{\infty}$ выберем таким образом, чтобы при всех $j$ выполнялись неравенства

$$ \begin{equation} |I_{n_j}^{(j)}(x)-t_j(x,\Delta)|<\frac{\varepsilon}{2^jL_j},\qquad x\in \mathbb R, \end{equation} \tag{4.4} $$
где $L_j\equiv \max\{\|\mathcal{P}_{j-1}\|_{\infty};1\}$ ($\mathcal{P}_0(x)\equiv1$).

Заметим, что в силу равенства

$$ \begin{equation} \mathcal{P}_k(x)-\mathcal{P}_{k-1}(x)=\mathcal{P}_{k-1}(x)\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(2^{\sigma_k}x)I_{n_k}^{(k)}(x)\cos2^{\lambda_k}x, \end{equation} \tag{4.5} $$
при достаточно быстром росте последовательностей $\{\sigma_j, \lambda_j\}_{j=1}^{\infty}$, можем добиться того, чтобы переход от $\mathcal{P}_{k-1}$ к $\mathcal{P}_k$ состоял в прибавлении к $\mathcal{P}_{k-1}$ группы гармоник со спектром, лежащим правее спектра $\mathcal{P}_{k-1}$. Ясно также, что при таких переходах можем добиться образования неограниченно расширяющихся лакун (достаточно подчинить последовательности $\{\sigma_j, \lambda_j\}_{j=1}^{\infty}$ условиям $2^{\sigma_j-1}>n_j$, $2^{\lambda_j}>2^{\lambda_{j-1}}+8\cdot2^{\sigma_j+2j}+4n_j+4N_{j-1}$, где $N_j$ – порядок полинома $\mathcal{P}_j$).

Итак, при достаточно быстром росте последовательностей $\{\sigma_j, \lambda_j\}_{j=1}^{\infty}$, произведение

$$ \begin{equation} \prod_{j=1}^{\infty}\biggl(1+\frac{1}{2^{j+s}} \mathcal{F}_{4^j}(2^{\sigma_j}x)I_{n_j}^{(j)}(x)\cos2^{\lambda_j}x\biggr) \end{equation} \tag{4.6} $$
можно представить в виде тригонометрического ряда
$$ \begin{equation} 1+\sum_{\nu=N_0}^{\infty}(\alpha_{\nu}\cos\nu x+\beta_{\nu}\sin\nu x). \end{equation} \tag{4.7} $$
Теперь докажем несколько свойств последовательности $\{\mathcal{P}_j\}_{j=1}^{\infty}$.

В силу (3.4), (4.3) и (4.4) имеем

$$ \begin{equation} \mathcal{P}_k(x)\geqslant 0,\qquad x\in\mathbb R, \quad k\in \mathbb{N}. \end{equation} \tag{4.8} $$
Применением индукции покажем, что
$$ \begin{equation} |\mathcal{P}_k(x)-1|<\varepsilon,\qquad x\notin\Delta, \quad k\in \mathbb{N}, \end{equation} \tag{4.9} $$
$$ \begin{equation} \int_{\Delta}\mathcal{P}_k(x)\, dx<2|\Delta|,\qquad k\in \mathbb{N}. \end{equation} \tag{4.10} $$
Действительно, в силу (3.4), (4.3) и (4.4)
$$ \begin{equation*} |\mathcal{P}_1(x)-1|<\frac{6\varepsilon}{2^{2+s}},\qquad x\notin\Delta. \end{equation*} \notag $$
Пусть при некотором значении $j$
$$ \begin{equation*} |\mathcal{P}_{j-1}(x)-1|<\frac{\varepsilon}{2}(1-2^{-j+1}),\qquad x\notin\Delta, \end{equation*} \notag $$
тогда, согласно (3.4) и (4.3), (4.4) имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, |\mathcal{P}_j(x)-1|&\leqslant|\mathcal{P}_{j-1}(x)-1|+\biggl|\mathcal{P}_{j-1}(x)\frac{1}{2^{j+s}} \mathcal{F}_{4^j}(2^{\sigma_j}x)I_{n_j}^{(j)}(x)\cos2^{\lambda_j}x\biggr| \\ &<\frac{\varepsilon}{2}(1-2^{-j+1})+\frac{6\|\mathcal{P}_{j-1}\|_{\infty}}{2^{s}} \cdot\frac{\varepsilon}{2^jL_j}<\frac{\varepsilon}{2}(1-2^{-j}),\qquad x\notin\Delta. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Таким образом, при всех $k\in\mathbb{N}$
$$ \begin{equation*} |\mathcal{P}_k(x)-1|<\frac{\varepsilon}{2}(1-2^{-k})<\varepsilon,\qquad x\notin\Delta, \quad k\in \mathbb{N}, \end{equation*} \notag $$
и кроме этого, в силу $\int_T\mathcal{P}_k(x)\, dx=|T|$, получаем (см. (4.8) и (4.9))
$$ \begin{equation*} \int_{\Delta}\mathcal{P}_k(x)\, dx=|T|-\int_{T\setminus\Delta}\mathcal{P}_k(x)\, dx= |\Delta|-\int_{T\setminus\Delta}(\mathcal{P}_k(x)-1)\, dx<2|\Delta|. \end{equation*} \notag $$

Далее, докажем что

$$ \begin{equation*} \lim_{k\to\infty}\mathcal{P}_k(x)=0\quad \text{п.в. на }\Delta. \end{equation*} \notag $$
Пусть $\mathcal{S}_n(x)$, $n\in \mathbb{N}$, – частичные суммы ряда (4.7). Имеем
$$ \begin{equation} \mathcal{S}_{N_k}(x)=\mathcal{P}_k(x)=1+\sum_{\nu=N_0}^{N_k}(c_{\nu}\cos\nu x+d_{\nu}\sin\nu x),\qquad k\in \mathbb{N}. \end{equation} \tag{4.11} $$
Поскольку $k$-е частичное произведение (4.6) (и $N_k$-я частичная сумма (4.7)) неотрицательно (см. (4.8)), то ряд (4.7) является рядом Фурье–Стильтеса неубывающей непрерывной функции. Обозначим эту функцию через $\psi(x)$. Известно, что такой ряд суммируем методом средних арифметических к $\psi'$. Благодаря наличию неограниченно расширяющихся лакун у ряда (4.7), в силу [26; теорема 1.27, с. 134], имеем $\mathcal{S}_{N_k}(x)\to \psi'(x)$. Используя (3.8) для полиномов
$$ \begin{equation*} \frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(x)\cos2^{\lambda_k-\sigma_k}x,\qquad k=1,2,\dots, \end{equation*} \notag $$
мы можем утверждать, что существуют числа $\sigma\in(0,1)$, $\sigma'>0$ и множества $e_k$ ($k=1,2,\dots$) такие, что при всех $k\geqslant 1$
$$ \begin{equation} 1+\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(x)\cos2^{\lambda_k-\sigma_k}x<\sigma,\quad x\in e_k,\qquad \mu e_k>\sigma'. \end{equation} \tag{4.12} $$
Обозначим через $e_k'$ множества, получающиеся из $e_k$ при замене $x$ на $2^{\sigma_k}x$. Положим $e_k''=e_k'\cap\Delta_k$. Ясно, что при некотором $\sigma''\in(0,1)$ и достаточно больших значениях $k$ мы будем иметь (см. (4.12))
$$ \begin{equation} \mu e_k''>\sigma'', \end{equation} \tag{4.13} $$
$$ \begin{equation} 1+\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(2^{\sigma_k}x)\cos2^{\lambda_k}x<\sigma, \qquad x\in e_k''. \end{equation} \tag{4.14} $$
Из (3.4) и (4.12)(4.14) следует, что при достаточно больших значениях $k$ выполняется следующее неравенство:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &1+\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(2^{\sigma_k}x)I_{n_k}^{(k)}(x)\cos2^{\lambda_k}x \nonumber \\ &\qquad=1+\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(2^{\sigma_k}x)\cos2^{\lambda_k}x+\frac{1}{2^{k+\rho}} \mathcal{F}_{4^k}(2^{\sigma_k}x)(I_{n_k}^{(k)}(x)-1)\cos2^{\lambda_k}x \nonumber \\ &\qquad<\sigma+\frac{6}{2^{s}}\cdot\frac{\varepsilon}{2^k}<\sigma+\frac{1}{2^k},\qquad x\in e_k''. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.15} $$
Положим
$$ \begin{equation*} G=\bigcap_{s=1}^{\infty}\bigcup_{k=s}^{\infty} e_k''. \end{equation*} \notag $$
Легко проверить, что (см. (4.13)) $\mu G=\mu\Delta$. Покажем, что $\psi'(x)=0$ почти всюду на $\Delta$. Пусть $x_0\in G$ и $\psi'(x_0)\neq0$ конечно (что имеет место почти всюду). Тогда $x_0\in e_{k_r}''$, $r=1,2,\dots$, для некоторой возрастающей последовательности натуральных чисел $k_r$. Выберем $k_0$ настолько большим, чтобы выполнялись неравенства
$$ \begin{equation} \frac{1+\sqrt{\sigma}}{2} \psi'(x_0)<\mathcal{S}_{N_k}(x)<\frac{1}{\sqrt{\sigma}} \psi'(x_0),\qquad k\geqslant k_0. \end{equation} \tag{4.16} $$
С другой стороны, при достаточно больших значениях $r$ имеем (см. (4.5), (4.11), (4.15))
$$ \begin{equation*} |\mathcal{S}_{N_{k_r}}(x)|\,{=}\,|\mathcal{S}_{N_{k_r-1}}(x)|\biggl|1+\frac{1}{2^{k_r+s}} \mathcal{F}_{4^{k_r}}(2^{\sigma_{k_r}}x)I_{n_{k_r}}^{(k_r)}(x)\cos2^{\lambda_{k_r}}x\biggr| \,{<}\,\frac{\sigma+2^{-k_r}}{\sqrt{\sigma}} \psi'(x_0). \end{equation*} \notag $$
Последнее неравенство вместе с (4.16) противоречат условию $\psi'(x_0)\neq0$. Таким образом,
$$ \begin{equation} \lim_{k\to\infty}\mathcal{S}_{N_k}(x)=0 \quad \text{п.в. на }\Delta. \end{equation} \tag{4.17} $$
Учитывая соотношения (4.8), (4.10), (4.11), (4.17) и применяя лемму 2, будем иметь
$$ \begin{equation} \lim_{k\to\infty}\int_{\Delta}|\mathcal{S}_{N_k}(x)|^p \,dx =\lim_{k\to\infty}\int_{\Delta}|\mathcal{P}_k(x)|^p\, dx=0. \end{equation} \tag{4.18} $$

Положим $T_0(x)\equiv1$ и определим последовательность тригонометрических полиномов $\{T_j(x)\}_{j=0}^{\infty}$ согласно соотношению

$$ \begin{equation} T_j(x)=T_{j-1}(x)+\frac{1}{2^{j+s}} \mathcal{P}_{j-1}(x)I_{n_j}^{(j)}(x)F_{4^j}(2^{\sigma_j}x)\cos2^{\lambda_j}x. \end{equation} \tag{4.19} $$
Ясно, что $\mathcal{P}_j\sim T_j$ при всех $j\in\mathbb{N}$. Выберем натуральное число $\overline{k}$ так, чтобы (см. (4.18))
$$ \begin{equation} \int_{\Delta}|\mathcal{P}_{\bar{k}}(x)|^p\, dx<\varepsilon. \end{equation} \tag{4.20} $$
Положим
$$ \begin{equation} \mathcal{Q}(x) =\gamma(1-\mathcal{P}_{\bar{k}}(x)), \end{equation} \tag{4.21} $$
$$ \begin{equation} \mathcal{U}(x) =\gamma(1-T_{\bar{k}}(x)). \end{equation} \tag{4.22} $$
Покажем, что полиномы (4.21) и (4.22) удовлетворяют условиям настоящей леммы. Сначала заметим, что (см. (4.5), (4.19)) спектры полиномов $\mathcal{U}(x)$ и $\mathcal{Q}(x)$ находятся правее $N_0$. Далее, в силу $\mathcal{P}_j\sim T_j$ имеем $\mathcal{Q}\sim \mathcal{U}$. Используя (4.9), (4.21), получим
$$ \begin{equation} |\mathcal{Q}(x)|\leqslant |\gamma|\,|\mathcal{P}_{\bar{k}}(x)-1|<\varepsilon|\gamma|,\qquad x\notin\Delta. \end{equation} \tag{4.23} $$
Далее, используя (4.1) и (4.20), (4.21), (4.23), получим оценку
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_T\left|\mathcal{Q}(x)-\gamma \chi_{\Delta}(x)\right|^p\, dx &=\int_{T\setminus\Delta}|\mathcal{Q}(x)|^p\, dx+ |\gamma|^p\int_{\Delta}|\mathcal{P}_{\bar{k}}(x)|^p\, dx \\ &\qquad\leqslant 2\pi\varepsilon^p|\gamma|^p+\varepsilon^p|\gamma|^p <8\varepsilon^p|\gamma|^p<\epsilon. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Учитывая неотрицательность полиномов Фейера из (3.4), (4.2)(4.4), (4.19) и (4.21)(4.23), получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_T|\mathcal{U}(x)|\, dx &=|\gamma|\,\biggl\|\sum_{j=1}^{\overline{k}}(T_j(x)-T_{j-1}(x))\biggr\|_1 \\ &=|\gamma|\,\biggl\|\sum_{j=1}^{\overline{k}}\frac{1}{2^{j+s}} \mathcal{P}_{j-1}(x)I_{n_j}^{(j)}(x)F_{4^j}(2^{\sigma_j}x)\cos2^{\lambda_j}x\biggr\|_1 \\ &\leqslant\frac{|\gamma|}{2^{s}}\sum_{j=1}^{\overline{k}} \frac{1}{2^j}\|\mathcal{P}_{j-1}I_{n_j}^{(j)}\|_{\infty}\cdot\|F_{4^j}(2^{\sigma_j}x)\|_1 <\frac{\pi|\gamma|}{2^{s}}\sum_{j=1}^{\infty}\biggl(\frac{3}{4}\biggr)^j {<}\,\frac{10|\gamma|}{2^{s}}\,{<}\,\eta. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Осталось проверить утверждение 4) настоящей леммы. В силу (4.1), (4.10), (4.21) и (4.23) имеем
$$ \begin{equation*} \int_T|\mathcal{Q}(x)|\, dx =|\gamma|\int_T |\mathcal{P}_{\bar{k}}(x)-1|\, dx<4|\gamma|\,|\Delta|, \end{equation*} \notag $$
следовательно (см. (3.9)),
$$ \begin{equation*} \int_T|S_n(x,\mathcal{Q})|^p\, dx\leqslant B_{p}\biggl(\int_T|\mathcal{Q}(x)|\, dx\biggr)^p <4^pB_{p}|\gamma|^p|\Delta|^p=\overline{B}_{p}|\gamma|^p|\Delta|^p. \end{equation*} \notag $$
Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Для любых чисел $\varepsilon, p \in(0, 1)$, $n_0\in \mathbb{N}$ и функции $f\in L^{1}[-\pi,\pi]$ с $\|f\|_1\neq0$ существуют тригонометрические полиномы $H(x)$ и $Q(x)$, удовлетворяющие следующим условиям:

1) спектры полиномов $H(x)$ и $Q(x)$ находятся правее $n_0$;

2) $H(x)\backsim Q(x)$;

3) $\int_T|Q(x)-f(x)|^p\, dx<\varepsilon$;

4) $\int_T|S_n(x,Q)|^p\, dx<2\int_T|f(x)|^p\, dx$, $n\in\mathbb{N}$;

5) $\int_T|H(x)|\, dx<\varepsilon$.

Доказательство. Положим $\epsilon=\min\bigl\{\varepsilon/2;\, \int_T|f(x)|^p\, dx\bigr\}$. Ясно, что существует ступенчатая функция $\varphi(x)$ вида
$$ \begin{equation*} \varphi(x)=\sum_{j=1}^{j_0}\gamma_j\chi_{\Delta_j}(x),\qquad \gamma_j\neq0,\quad j=1, \dots, j_0, \end{equation*} \notag $$
такая, что
$$ \begin{equation*} \int_T|\varphi(x)-f(x)|^p\, dx<\epsilon, \end{equation*} \notag $$
где интервалы постоянства $\{\Delta_j\}$ функции $\varphi$ удовлетворяют условиям
$$ \begin{equation*} \Delta_{t}\cap\Delta_{s}=\varnothing,\quad s\neq t, \qquad \bigcup_{j=1}^{j_0}\Delta_j=T,\qquad \overline{B}_{p}\max_{1\leqslant j\leqslant j_0}\{|\gamma_j|^p|\Delta_j|^p\}<\int_T|f(x)|^p\, dx. \end{equation*} \notag $$
Применив лемму 3, получим полиномы $\{\mathcal{H}_j\}_{j=1}^{j_0}$ и $\{\mathcal{Q}_j\}_{j=1}^{j_0}$, удовлетворяющие при каждом $j=1,\dots, j_0$ условиям:

1) спектры полиномов $\mathcal{H}_j(x)$ и $\mathcal{Q}_j(x)$ лежат на $[N_{j-1}, N_j)$;

2) $\mathcal{H}_j(x)\backsim\mathcal{Q}_j(x)$;

3) $\int_T|\mathcal{Q}_j(x)-\gamma_j \chi_{\Delta_j}(x)|^p\, dx<\epsilon/j_0$;

4) $\int_T|S_n(x,\mathcal{Q}_j)|^p\, dx<\overline{B}_{p}|\gamma_j|^p|\Delta_j|^p$, $n\in\mathbb{N}$;

5) $\int_T|\mathcal{H}_j(x)|\, dx<\epsilon/j_0$,

где $N_{j_0}>\dots>N_1>N_0=n_0$. Положим

$$ \begin{equation*} H(x)=\sum_{j=1}^{j_0}\mathcal{H}_j(x), \qquad Q(x)=\sum_{j=1}^{j_0}\mathcal{Q}_j(x). \end{equation*} \notag $$
Из свойств 1), 2) следует, что спектры полиномов $H(x)$ и $Q(x)$ находятся правее $n_0$ и $H(x)\backsim Q(x)$. Из свойств 3), 5) следует, что
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \int_T|H(x)|\, dx\leqslant\sum_{j=1}^{j_0}\int_T|\mathcal{H}_j(x)|\, dx<\varepsilon, \\ \begin{aligned} \, \int_T|Q(x)-f(x)|^p\, dx &\leqslant\int_T|Q(x)-\varphi(x)|^p\, dx+\int_T|\varphi(x)-f(x)|^p\, dx \\ &\leqslant \sum_{j=1}^{j_0}\int_T|\mathcal{Q}_j(x)-\gamma_j \chi_{\Delta_j}(x)|^p\, dx+\epsilon<\varepsilon. \end{aligned} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Пусть $n\in[N_{j'-1}, N_{j'})$. В силу свойств 3), 4) имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_T|S_n(x,Q)|^p\, dx &\leqslant\int_T\biggl|\sum_{j=1}^{j'-1}\mathcal{Q}_j(x)\biggr|^p\, dx+ \int_T|S_n(x,\mathcal{Q}_{j'})|^p\, dx \\ &\leqslant \int_T\biggl|\sum_{j=1}^{j'-1}(\mathcal{Q}_j(x)-\gamma_j \chi_{\Delta_j}(x))\biggr|^p\, dx+ \int_T\biggl|\sum_{j=1}^{j'-1}\gamma_j \chi_{\Delta_j}(x)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad+\int_T|S_n(x,\mathcal{Q}_{j'})|^p\, dx\leqslant 2\int_T|f(x)|^p\, dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Лемма 4 доказана.

§ 5. Доказательство теоремы 4

Пусть $p\in(0,1)$. Обозначим через $\{f_m(x)\}_{m=1}^{\infty}$ последовательность всех тригонометрических полиномов с рациональными коэффициентами. Применяя лемму 4, полагая в ее формулировке $n_0=M_1=1$, $\epsilon=2^{-1}$ и $f=f_1$, можем определить полиномы

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, H_1^{(1)}(x)&=\sum_{k=M_1}^{M_2-1}a_k^{(1)}\cos kx+b_k^{(1)}\sin kx, \\ Q_1^{(1)}(x)&=\sum_{k=M_1}^{M_2-1}\delta_k^{(1)}(a_k^{(1)}\cos kx+b_k^{(1)}\sin kx), \end{aligned} \\ \delta_k^{(1)}=\pm1,\qquad \forall\, k\in[M_1,M_2), \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
удовлетворяющие условиям
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \int_T|f_1(x)-{Q_1^{(1)}}(x)|^p\, dx<2^{-1}, \\ \max_{m\in[ M_1,M_2)}\int_T|S_m(x, Q_1^{(1)})|^p\, dx<4\int_T|f_1(x)|^p\, dx, \\ \|H_1^{(1)}\|_1<2^{-1}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Снова применяя лемму 4, полагая в ее формулировке $n_0=M_2$, $\varepsilon=\eta =2^{-1}$ и $f=f_1-H_1^{(1)}$, определим полиномы
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, H_1^{(2)}(x)&=\sum_{k=M_2}^{M_{3}-1}a_k^{(1)}\cos kx+b_k^{(1)}\sin kx, \\ Q_1^{(2)}(x)&=\sum_{k=M_2}^{M_{3}-1}\delta_k^{(1)}(a_k^{(1)}\cos kx+b_k^{(1)}\sin kx), \end{aligned} \\ \delta_k^{(1)}=\pm1,\qquad \forall k\in[M_2,M_{3}), \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
удовлетворяющие условиям
$$ \begin{equation*} \int_T\bigl|[f_1(x)-H_1^{(1)}(x)]-{Q_1^{(2)}}(x)\bigr|^p\, dx<2^{-1},\qquad \|H_1^{(2)}\|_1<2^{-1}. \end{equation*} \notag $$

Продолжая эти рассуждения, определим по индукции последовательности полиномов $\{H_n^{(1)}(x)\}_{n=1}^{\infty}$, $\{H_n^{(2)}(x)\}_{n=1}^{\infty}$, $\{Q_n^{(1)}(x)\}_{n=1}^{\infty}$, $\{Q_n^{(2)}(x)\}_{n=1}^{\infty}$ видов

$$ \begin{equation} H_n^{(1)}(x) =\sum_{k=M_{2n-1}}^{M_{2n}-1}(a_k^{(n)}\cos kx+b_k^{(n)}\sin kx), \end{equation} \tag{5.1} $$
$$ \begin{equation} Q_n^{(1)}(x) =\sum_{k=M_{2n-1}}^{M_{2n}-1}\delta_k^{(1)}(a_k^{(n)}\cos kx+b_k^{(n)}\sin kx), \end{equation} \tag{5.2} $$
$$ \begin{equation} H_n^{(2)}(x) =\sum_{k=M_{2n}}^{M_{2n+1}-1}(a_k^{(n)}\cos kx+b_k^{(n)}\sin kx), \end{equation} \tag{5.3} $$
$$ \begin{equation} Q_n^{(2)}(x) =\sum_{k=M_{2n}}^{M_{2n+1}-1}\delta_k^{(n)}(a_k^{(n)}\cos kx+b_k^{(n)}\sin kx), \end{equation} \tag{5.4} $$
$$ \begin{equation*} \{M_j\}_{j=1}^{\infty}\nearrow \infty,\qquad \delta_k^{(n)}=\pm1,\qquad k\in[M_{2n-1},M_{2n+1}), \end{equation*} \notag $$
которые для каждого $n\in\mathbb N$ удовлетворяют условиям
$$ \begin{equation} \int_T|f_n(x)-{Q_n^{(1)}}(x)|^p\, dx<2^{-n}, \end{equation} \tag{5.5} $$
$$ \begin{equation} \max_{m\in[ M_{2n-1},M_{2n})}\int_T|S_m(x, Q_n^{(1)})|^p\, dx<4\int_T|f_n(x)|^p\, dx, \end{equation} \tag{5.6} $$
$$ \begin{equation} \int_T\biggl| f_n(x)-\sum_{j=1}^n(H_j^{(1)}(x)+Q_j^{(2)}(x))\biggr|^p\, dx<2^{-n}, \end{equation} \tag{5.7} $$
$$ \begin{equation} \|H_n^{(1)}\|_1<2^{-n},\qquad \|H_n^{(2)}\|_1<2^{-n}. \end{equation} \tag{5.8} $$
Определим функцию $U(x)$ следующим образом:
$$ \begin{equation} U(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(H_n^{(1)}(x)+H_n^{(2)}(x)\bigr). \end{equation} \tag{5.9} $$
Поскольку (см. (5.8))
$$ \begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{j=1}^2\|H_n^{(j)}\|_1<\infty, \end{equation*} \notag $$
то согласно теореме Лебега ряд (5.9) сходится почти всюду и его сумма $U\in L^{1}[-\pi,\pi]$. Далее, определим последовательности чисел $\{a_k, b_k\}$ следующим образом:
$$ \begin{equation} a_k=a_k^{(n)},\quad b_k=b_k^{(n)},\qquad k\in[M_{2n-1}, M_{2n+1}),\quad n\in\mathbb{N}, \end{equation} \tag{5.10} $$
и рассмотрим ряд
$$ \begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx). \end{equation} \tag{5.11} $$
В силу (5.1), (5.3), (5.8) и (5.9),
$$ \begin{equation*} \biggl\|U(x)-\sum_{k<M_{2n+1}}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\biggr\|_1\leqslant\sum_{k=n+1}^{\infty}\sum_{j=1}^2\|H_k^{(j)}\|_1<2^{-n+1}. \end{equation*} \notag $$
Значит, некоторая подпоследовательность частичных сумм ряда (5.11) сходится к $U$ по $L^{1}$ норме. Отсюда следует, что ряд (5.11) является рядом Фурье функции $U$.

Положим

$$ \begin{equation} \delta_k= \begin{cases} 1, &k\in[ M_{2n-1},M_{2n}), \\ \delta_k^{(n)}, &k\in[M_{2n},M_{2n+1}), \end{cases}\quad n\in\mathbb{N}. \end{equation} \tag{5.12} $$
Покажем, что ряд
$$ \begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}\delta_k(a_k\cos kx+b_k\sin kx) \end{equation} \tag{5.13} $$
универсален в пространстве $L^p[-\pi,\pi]$ в обычном смысле.

Пусть $p\in(0,1)$, и пусть $f\in L^p[-\pi,\pi]$. Выберем подпоследовательность $\{f_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ из последовательности $\{f_m\}_{m=1}^{\infty}$ так, чтобы

$$ \begin{equation*} \lim_{k\to\infty}\int_T|f(x)-f_{n_k}(x)|^p\, dx=0. \end{equation*} \notag $$
Полагая $N_k=M_{2n_k+1}-1$ ($k\in\mathbb{N}$), из (5.1)(5.4), (5.12) будем иметь
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_T\biggl| \sum_{j=1}^{N_k}\delta_j(a_j\cos jx+b_j\sin jx)-f(x)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad=\int_T\biggl| \sum_{j=1}^{N_k}\bigl(H_j^{(1)}(x)+Q_j^{(2)}(x)\bigr)-f(x)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad\leqslant \int_T|f(x)-f_{n_k}(x)|^p\, dx+\int_T\biggl| \sum_{j=1}^{N_k}\bigl(H_j^{(1)}(x)+Q_j^{(2)}(x)\bigr)-f_{n_k}(x)\biggr|^p\, dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отсюда заключаем (см. (5.7))
$$ \begin{equation*} \lim_{k\to\infty}\int_T\biggl| \sum_{j=1}^{N_k}\delta_j(a_j\cos jx+b_j\sin jx)-f(x)\biggr|^p\, dx=0. \end{equation*} \notag $$
Значит, функция $U$ универсальна для пространства $L^p[-\pi,\pi]$ относительно тригонометрической системы в квазиобычном смысле.

Теперь покажем, что функция $U$ универсальна для класса $L^p[-\pi,\pi]$, $p\in(0,1)$ , относительно тригонометрической системы в смысле знаков своих коэффициентов Фурье.

Пусть $f\in L^p[-\pi,\pi]$. Без ограничения общности можем считать, что

$$ \begin{equation*} \int_T|f|^p\, dx=1. \end{equation*} \notag $$
Из последовательности $\{f_m\}_{m=1}^{\infty}$ выберем такую функцию $f_{\nu_1}(x)$, что
$$ \begin{equation*} \int_T|f_{\nu_1}(x)-f(x)|^p\, dx<1. \end{equation*} \notag $$
Отсюда и из (5.5), (5.8) вытекает $\int_T|f_{\nu_1}|^p\, dx<2$ и
$$ \begin{equation*} \int_T\biggl| f(x)-Q_{\nu_1}^{(1)}(x)-\sum_{n=1}^{\nu_1-1}\bigl(H_n^{(1)}(x) +H_n^{(2)}(x)\bigr)-H_{\nu_1}^{(2)}(x)\biggr|^p\, dx<4. \end{equation*} \notag $$

Предположим, что уже определены числа $0=\nu_0<\nu_1<\dots<\nu_{q-1}$, функции $\{f_{\nu_j}\}_{j=1}^{q-1}$ и выбраны полиномы $\{Q_{\nu_{s}}^{(1)}\}_{s=1}^{q-1}$ и $\{H_{\nu_{s}}^{(1)}\}_{s=1}^{q-1}$ при всех $s=1,\dots,q-1$, удовлетворяющие условиям:

$$ \begin{equation} \int_T| f_{\nu_{s}}|^p\, dx\leqslant2^{-s+2}, \end{equation} \tag{5.14} $$
$$ \begin{equation} \int_T\biggl| f-\sum_{j=1}^{s} \biggl(\sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1}\bigl( H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr) +Q_{\nu_j}^{(1)}+H_{\nu_j}^{(2)}\biggr)\biggr|^p\, dx\leqslant2^{-s+2}. \end{equation} \tag{5.15} $$
Из последовательности $\{f_m\}_{m=1}^{\infty}$ выберем такую функцию $f_{\nu_q}$ ($\nu_q>\nu_{q-1}+1$), чтобы
$$ \begin{equation} \int_T\biggl| f-\sum_{j=1}^{q-1}\biggl(\sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1} \bigl(H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr) + Q_{\nu_j}^{(1)}+H_{\nu_j}^{(2)}\biggr) -f_{\nu_q}\biggr|^p\, dx\leqslant2^{-q+3}. \end{equation} \tag{5.16} $$
Имеем (см. (5.15), (5.16))
$$ \begin{equation*} \int_T|f_{\nu_q}|^p\, dx\leqslant2^{-q+2} \end{equation*} \notag $$
и (см. (5.5), (5.8), (5.16))
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_T\biggl| f-\sum_{j=1}^{q} \biggl(\sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1}\bigl( H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr)+ Q_{\nu_j}^{(1)}+H_{\nu_j}^{(2)}\biggr)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad\leqslant\int_T\biggl| f-{\sum_{j=1}^{q-1}\biggl( \sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1}\bigl( H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr)+ Q_{\nu_j}^{(1)}+H_{\nu_j}^{(2)}\biggr)-f_{\nu_q}}\biggr|^p\, dx \\ &\qquad\qquad+\int_T|Q_{\nu_q}^{(1)}-f_{\nu_q}|^p\, dx{+}\int_T\biggl| \sum_{n=\nu_{q-1}+1}^{\nu_q-1}\bigl(H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr) +H_{\nu_q}^{(2)}\biggr|^p\, dx\leqslant2^{-q+2}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Положим

$$ \begin{equation} \varepsilon_k= \begin{cases} \delta_k^{(\nu_q)}, &k\in{\displaystyle\bigcup_{q=1}^{\infty}[M_{2\nu_q-1},M_{2\nu_q})}, \\ 1, &k\notin {\displaystyle\bigcup_{q=1}^{\infty}[M_{2\nu_q-1},M_{2\nu_q})}. \end{cases} \end{equation} \tag{5.17} $$
Покажем, что ряд
$$ \begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon_k(a_k\cos kx+b_k\sin kx) \end{equation} \tag{5.18} $$
сходится к функции $f$ в $L^p[-\pi,\pi]$.

В силу (5.1)(5.3), (5.17), (5.18) при $m\in[M_{2\nu_q-1},M_{2\nu_q+1})$ будем иметь

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_T\biggl|f(x)-\sum_{k=1}^{m}\varepsilon_k(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad\leqslant\int_T\biggl| f-\sum_{j=1}^{q-1}\biggl( \sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1}\bigl( H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr)+Q_{\nu_j}^{(1)}+H_{\nu_j}^{(2)}\biggr)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad\qquad+\int_T\biggl| \sum_{n=\nu_{q-1}+1}^{\nu_q-1}\bigl(H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr) \biggr|^p\, dx \\ &\qquad\qquad+\max_{l\in[ M_{2\nu_q-1},M_{2\nu_q})}\int_T|S_{l}(x,Q_{\nu_q}^{(1)})|^p\, dx +\max_{l\in[ M_{2\nu_q-1},M_{2\nu_q})}\int_T|S_{l}(x, H_{\nu_q}^{(2)})|^p\, dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отсюда, из (3.9), (5.6), (5.8), (5.15) и того, что $q\to\infty$ при $m\to\infty$, заключаем
$$ \begin{equation*} \lim_{m\to\infty}\int_T\biggl|f(x)-\sum_{k=1}^{m}\varepsilon_k(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\biggr|^p\, dx=0. \end{equation*} \notag $$

Теорема 4 доказана.

Список литературы

1. G. D. Birkhoff, “Démonstration d'un théorème élémentaire sur les fonctions entières”, C. R. Acad. Sci. Paris, 189 (1929), 473–475  zmath
2. J. Marcinkiewicz, “Sur les nombres dérivés”, Fundamenta Math., 24 (1935), 305–308  crossref  zmath
3. В. Г. Кротов, “О гладкости универсальных функций Марцинкевича и универсальных тригонометрических рядах”, Изв. вузов. Матем., 1991, № 8, 26–31  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. G. Krotov, “On the smoothness of universal Marcinkiewicz functions and universal trigonometrical series”, Soviet Math. (Iz. VUZ), 35:8 (1991), 24–28
4. G. R. MacLane, “Sequences of derivatives and normal families”, J. Analyse Math., 2 (1952), 72–87  crossref  mathscinet  zmath
5. С. М. Воронин, “Теорема об “универсальности” дзета-функции Римана”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 39:3 (1975), 475–486  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: S. M. Voronin, “Theorem on the “universality” of the Riemann zeta-function”, Math. USSR-Izv., 9:3 (1975), 443–453  crossref
6. Д. Е. Меньшов, “О частных суммах тригонометрических рядов”, Матем. сб., 20(62):2 (1947), 197–238  mathnet  mathscinet  zmath
7. А. А. Талалян, “О сходимости почти всюду подпоследовательностей частных сумм общих ортогональных рядов”, Изв. АН Арм. ССР. Сер. матем., 10:3 (1957), 17–34  mathscinet  zmath
8. Г. Г. Геворкян, К. А. Навасардян, “О рядах Уолша с монотонными коэффициентами”, Изв. РАН. Сер. матем., 63:1 (1999), 41–60  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: G. G. Gevorkyan, K. A. Navasardyan, “On Walsh series with monotone coefficients”, Izv. Math., 63:1 (1999), 37–55  crossref
9. Н. Б. Погосян, “Представление измеримых функций базисами $L_{p}[0, 1]$, ($p\geq 2$)”, Докл. АН Арм. ССР, 63:4 (1976), 205–209  mathscinet  zmath
10. M. G. Grigorian, “On the representation of functions by orthogonal series in weighted $L^{p}$ spaces”, Studia Math., 134:3 (1999), 207–216  crossref  mathscinet  zmath
11. M. Ж. Григорян, “Представление функций классов $L^{p}[0, 1]$, $1\leq p<2$, ортогональными рядами”, Докл. АН Арм. ССР, 67:5 (1978), 269–274  zmath
12. M. Г. Григорян, “Об одном универсальном ортогональном ряде”, Изв. НАН РА. Математика, 35:4 (2000), 26–45  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. G. Grigorian, “An example of universal orthogonal series”, J. Contemp. Math. Anal., 35:4 (2000), 23–43
13. M. G. Grigoryan, “On the universal and strong $(L^1,L^\infty)$-property related to Fourier–Walsh series”, Banach J. Math. Anal., 11:3 (2017), 698–712  crossref  mathscinet  zmath
14. M. G. Grigoryan, A. A. Sargsyan, “On the universal function for the class $L^{p}[0,1]$, $p\in(0,1)$”, J. Funct. Anal., 270:8 (2016), 3111–3133  crossref  mathscinet  zmath
15. М. Г. Григорян, К. А. Навасардян, “Универсальные функции в задачах “исправления”, обеспечивающего сходимость рядов Фурье–Уолша”, Изв. РАН. Сер. матем., 80:6 (2016), 65–91  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. G. Grigoryan, K. A. Navasardyan, “Universal functions in ‘correction’ problems guaranteeing the convergence of Fourier–Walsh series”, Izv. Math., 80:6 (2016), 1057–1083  crossref
16. A. Sargsyan, M. Grigoryan, “Universal function for a weighted space $L_{\mu}^{1}[0,1]$”, Positivity, 21:3 (2017), 1457–1482  crossref  mathscinet  zmath
17. М. Г. Григорян, А. А. Саргсян, “О структуре функций, универсальных для классов $L^{p}$, $p\in (0,1)$”, Матем. сб., 209:1 (2018), 37–57  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. G. Grigoryan, A. A. Sargsyan, “The structure of universal functions for $L^p$-spaces, $p\in(0,1)$”, Sb. Math., 209:1 (2018), 35–55  crossref  adsnasa
18. K.-G. Grosse-Erdmann, Holomorphe Monster und universelle Funktionen, Ph.D. thesis, Univ. of Trier, Trier, 1987, Mitt. Math. Sem. Giessen, 176, Selbstverlag des Math. Inst., Giessen, 1987, iv+84 pp.  mathscinet
19. W. Luh, “Universal approximation properties of overconvergent power series on open sets”, Analysis, 6:2–3 (1986), 191–207  crossref  mathscinet  zmath
20. W. Luh, “Entire functions with various universal properties”, Complex Variables Theory Appl., 31:1 (1996), 87–96  crossref  mathscinet  zmath
21. C. K. Chui, M. N. Parnes, “Approximation by overconvergence of a power series”, J. Math. Anal. Appl., 36:3 (1971), 693–696  crossref  mathscinet  zmath
22. Н. К. Бари, Тригонометрические ряды, Физматгиз, М., 1961, 936 с.  mathscinet; англ. пер.: N. K. Bary, A treatise on trigonometric series, т. I, II, A Pergamon Press Book The Macmillan Co., New York, 1964, xxiii+553 pp., xix+508 с.  mathscinet  zmath
23. С. В. Конягин, “О пределах неопределенности тригонометрических рядов”, Матем. заметки, 44:6 (1988), 770–784  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: S. V. Konyagin, “Limits of indeterminacy of trigonometric series”, Math. Notes, 44:6 (1988), 910–920  crossref
24. Б. С. Кашин, А. А. Саакян, Ортогональные ряды, 2-е изд., АФЦ, М., 1999, x+550 с.  mathscinet  zmath; англ. пер. 1-го изд.: B. S. Kashin, A. A. Saakyan, Orthogonal series, Transl. Math. Monogr., 75, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1989, xii+451 с.  crossref  mathscinet  zmath
25. Y. Katznelson, “Trigonometric series with positive partial sums”, Bull. Amer. Math. Soc., 71:5 (1965), 718–719  crossref  mathscinet  zmath
26. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. 1, Мир, М., 1965, 615 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: A. Zygmund, Trigonometric series, т. I, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, New York, 1959, xii+383 с.  mathscinet  zmath

Образец цитирования: М. Г. Григорян, Л. Н. Галоян, “Функции, универсальные относительно тригонометрической системы”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:2 (2021), 73–94; Izv. Math., 85:2 (2021), 241–261
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriGal21}
\by М.~Г.~Григорян, Л.~Н.~Галоян
\paper Функции, универсальные относительно тригонометрической системы
\jour Изв. РАН. Сер. матем.
\yr 2021
\vol 85
\issue 2
\pages 73--94
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im8964}
\crossref{https://doi.org/10.4213/im8964}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021IzMat..85..241G}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=46042032}
\transl
\jour Izv. Math.
\yr 2021
\vol 85
\issue 2
\pages 241--261
\crossref{https://doi.org/10.1070/IM8964}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000701472000001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85105046956}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/im8964
  • https://doi.org/10.4213/im8964
  • https://www.mathnet.ru/rus/im/v85/i2/p73
  • Эта публикация цитируется в следующих 8 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Известия Российской академии наук. Серия математическая Izvestiya: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:398
    PDF русской версии:90
    PDF английской версии:29
    HTML русской версии:141
    Список литературы:44
    Первая страница:25
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024