Известия Российской академии наук. Серия математическая
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Изв. РАН. Сер. матем.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2022, том 86, выпуск 5, страницы 5–17
DOI: https://doi.org/10.4213/im9248
(Mi im9248)
 

Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях)

Оценки интегралов от производных рациональных функций в многосвязных областях на плоскости

А. Д. Барановa, И. Р. Каюмовb

a Санкт-Петербургский государственный университет
b Казанский (Приволжский) федеральный университет
Список литературы:
Аннотация: Получены оценки интегралов от производных рациональных функций в многосвязных областях на плоскости, а также точный порядок роста интеграла модуля производной конечного произведения Бляшке в единичном круге. Результаты Е. П. Долженко об интегралах от модулей производных рациональных функций распространены на более широкие классы областей, а именно, на области, ограниченные спрямляемыми кривыми без внутренних нулевых углов. Показана точность полученных результатов.
Библиография: 22 наименования.
Ключевые слова: рациональные функции, конформные отображения, произведения Бляшке, пространства Харди, класс Джона.
Финансовая поддержка Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 075-15-2021-602
075-15-2019-1619
А. Д. Баранов поддержан Министерством науки и высшего образования Российской Федерации (соглашение № 075-15-2021-602). И. Р. Каюмов поддержан Министерством науки и высшего образования Российской Федерации (соглашение № 075-15-2019-1619).
Поступило в редакцию: 21.07.2021
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 5, Pages 839–851
DOI: https://doi.org/10.4213/im9248e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.54

§ 1. Введение

С. Н. Мергелян [1] 70 лет назад доказал, что существует ограниченная и аналитическая в круге $\mathbb{D}=\{|z|<1\}$ функция $f$ такая, что

$$ \begin{equation*} I(f):=\int_\mathbb{D} |f'(z)|\, dA(z) = \infty, \end{equation*} \notag $$
где $dA(z) = (1/\pi)\, dx\,dy$, $z=x+iy$. Развивая исследования в этом направлении, У. Рудин [2] построил пример бесконечного произведения Бляшке
$$ \begin{equation*} B(z)=\prod_{k=1}^\infty \frac{|z_k|}{z_k}\, \frac{z_k-z}{1-\overline{z_k} z} \end{equation*} \notag $$
такого, что $I(B)=\infty$ и, более того, $\int_{0}^1 |B'(re^{i\theta})|\, dr = \infty$ для почти всех $\theta\in[0, 2\pi]$. Похожий, но конкретный пример был построен Дж. Пираняном [3].

Естественно задаться следующим вопросом: что произойдет, если $B$ – конечное произведение Бляшке порядка $n$? Очевидно, что для фиксированного $n$ величина $I(B)$ ограничена, но она не может быть равномерно ограничена по $n$, поскольку любая ограниченная функция может быть приближена конечными произведениями Бляшке локально равномерно в круге $\mathbb{D}$.

Нами получен точный порядок роста таких интегралов. А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть $B$ – конечное произведение Бляшке порядка $n$. Тогда

$$ \begin{equation} I(B) \leqslant 1+\sqrt{\log n}. \end{equation} \tag{1.1} $$
С другой стороны, существует абсолютная постоянная $c>0 $ такая, что для любого $n \in \mathbb{N}$ существует конечное произведение Бляшке степени $n$, для которого $I(B) \geqslant c(1+\sqrt{\log n}\,)$.

Доказательство точности этого неравенства основано на тонких результатах Н. Г. Макарова [4] и Р. Бануэлоса и Ч. Н. Мура [5] о граничном поведении функций из пространства Блоха.

Отметим также, что существует обширная литература, посвященная принадлежности производных произведений Бляшке различным функциональным пространствам, например, пространствам Бергмана в круге (см. [6]–[8] и ссылки в них). Однако большинство этих результатов относятся к бесконечным произведениям, а условия сформулированы в терминах нулей.

Поскольку произведение Бляшке представляет собой ограниченную рациональную функцию в единичном круге, вопрос об оценке интеграла от производной произведения Бляшке оказался связан с оценками интегралов от ограниченных рациональных функций. Такие оценки впервые были исследованы Е. П. Долженко [9] для достаточно гладких областей. Будем называть кривой типа $\mathrm{K}$ замкнутую жорданову кривую с непрерывной кривизной $k(s)$, удовлетворяющей (как функция длины $s$ дуги кривой) условию Гельдера. Пусть $G$ – конечносвязная область, граничные кривые которой удовлетворяют условию типа $\mathrm{K}$. Предположим, что $1\leqslant p \leqslant 2$, а $R$ – рациональная функции степени не выше $n$ с полюсами вне $\overline{G}$. Долженко [9; теорема 2.2] показал, что тогда найдется константа $C$, зависящая от области $G$ и от $p$, такая, что

$$ \begin{equation} \int_{G}|R'(w)|^p\, dA(w) \leqslant C n^{p-1} \|R\|_{H^\infty(G)}^p, \qquad p \in (1,2], \end{equation} \tag{1.2} $$
$$ \begin{equation} \int_{G}|R'(w)|\, dA(w) \leqslant C \ln (n+1) \|R\|_{H^\infty(G)}. \end{equation} \tag{1.3} $$

Здесь $H^\infty(G)$ обозначает множество всех функций, ограниченных и аналитических в $G$, а $\|f\|_{H^\infty(G)} = \sup_{w\in G} |f(w)|$.

В дальнейшем неравенства для производных рациональных функций (преимущественно в круге) исследовались в статьях В. В. Пеллера [10], С. Семмса [11], А. А. Пекарского [12], [13], В. И. Данченко [14], [15] и многих других авторов (см., например, [16]–[20]). Короткое доказательство неравенств Долженко в случае круга с заменой $H^\infty$-нормы на более слабую $\mathrm{BMOA}$-норму можно найти в [19].

В настоящей работе неравенства (1.2) и (1.3) доказаны при существенно более слабом ограничении на область, а именно, при условии отсутствия внутренних нулевых углов (точнее, для областей класса Джона – см. определение в § 3).

Теорема 2. Пусть $G$ – конечносвязная область класса Джона со спрямляемыми границами, $1\leqslant p \leqslant 2$. При $p=1$ дополнительно предполагаем, что область $G$ ограничена. Тогда найдется такая константа $C>0$, зависящая от области $G$ и от $p$, что для произвольной рациональной функции $R$ степени не выше $n$ выполнены неравенства (1.2) и (1.3).

Точность неравенства (1.2) видна уже на простейшем примере функции $R(z) = z^n$ в круге (очевидно, мы можем рассматривать полиномы как частный случай рациональных функций с полюсом в бесконечности). Вопрос о точности оценки (1.3) в условиях теоремы 2 пока остается открытым. Однако оказывается, что при дополнительных условиях регулярности области $G$ неравенство (1.3) может быть усилено.

Теорема 3. Пусть $G$ – односвязная область со спрямляемой границей. Предположим, что $\varphi' \in H^2$, где $\varphi$ – конформное отображение круга $\mathbb{D}$ на $G$. Тогда найдется такая константа $C>0$, зависящая от области $G$, что для любой рациональной функции $R$ степени не выше $n$ выполнено

$$ \begin{equation} \int_{G}|R'(w)|\, dA(w) \leqslant C \sqrt{\ln (n+1)}\, \|R\|_{H^\infty(G)}. \end{equation} \tag{1.4} $$

Как следует из теоремы 1, это неравенство уже является точным по порядку.

Наконец, приведем утверждение, относящееся к случаю $p>2$ (здесь $q$ – сопряженный с $p$ показатель).

Теорема 4. Пусть $G$ – ограниченная односвязная область, $G_\rho = \{ z\in G$: $\operatorname{dist}(z, \partial G) >\rho\}$. Тогда для любой рациональной функции $R$ степени не выше $n$ и $p>2$ имеет место неравенство

$$ \begin{equation} \|R'\|_{A^p(G_\rho)} = \biggl(\int_{G_\rho}|R'(w)|^p\, dA(w)\biggr)^{1/p} \leqslant n^{1/p} \rho^{1/p-1/q} \|R\|_{H^\infty(G)}. \end{equation} \tag{1.5} $$

В статье [9] неравенство (1.5) было установлено для областей класса $\mathrm{K}$, но, как показывает наш результат, никаких ограничений на регулярность области не требуется.

В [20] получено другое обобщение неравенства Долженко для случая $p>2$ и для рациональных функций в круге. Предположим, что $R$ – рациональная функция степени не выше $n$, полюса которой лежат в дополнении круга $\{|z| <1+\rho\}$. Из [19; теорема 8.2] немедленно вытекает неравенство

$$ \begin{equation*} \|R'\|_{A^p(\mathbb{D})} \leqslant C(p) n^{1/q} \rho^{1/p-1/q} \|R\|_{\mathrm{BMOA}}, \end{equation*} \notag $$
где $\mathrm{BMOA}$ обозначает аналитическое пространство функций ограниченной средней осцилляции. Отметим, что зависимость от $n$ в теореме 4 существенно слабее (так как в этом случае функция $R$ предполагается ограниченной на более широком множестве).

В § 5 получены более общие неравенства для весовых норм производных рациональных функций, где вес представляет собой некоторую степень расстояния до границы.

Подходящим аппаратом исследования оказалась теория пространств Харди. Пусть $p>0$. Пространство Харди $H^p$ – множество голоморфных функций в круге $\mathbb{D}$, удовлетворяющих условию $\|f\|_{H^p}<\infty$, где

$$ \begin{equation*} \|f\|^p_{H^p}:=\sup_{0<r<1}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{it})|^p\, dt. \end{equation*} \notag $$
Отметим, что при $p \geqslant 1$ последняя величина является нормой, относительно которой $H^p$ – банахово пространство.

§ 2. Оценка интеграла от модуля производной произведения Бляшке

Для доказательства теоремы 1 нам потребуется следующая лемма.

Лемма 1. Предположим, что функция $g(z)\,{=}\sum_{k=0}^\infty b_k z^k$ аналитична в круге $\mathbb{D}$. Если $\|g\|_\infty \leqslant 1$ и $p(z) = \sum_{k=0}^n b_k z^k$, $n\geqslant 2$, то найдется абсолютная константа $C_0$ такая, что

$$ \begin{equation*} |p(z)| \leqslant C_0, \qquad |z|\leqslant 1-2\frac{\log n}{n}, \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} |g'(z) - p'(z)| \leqslant C_0, \qquad |z|\leqslant 1-2\frac{\log n}{n}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Поскольку $|b_k| \leqslant 1$ и $|z|^k \leqslant 1/n^2$ для $|z|\leqslant 1-2\log n/ n$ и $k\geqslant n$, ясно, что $|g(z) - p(z)|$ допускает равномерную оценку при $|z|\leqslant 1-2\log n/ n$, откуда вытекает первая оценка леммы.

Очевидно, что

$$ \begin{equation*} \sum_{k=n}^\infty (k+1)|b_{k+1} z^k| \leqslant \frac{|z|^n}{(1-|z|)^2} +\frac{n|z|^n}{1-|z|} \leqslant \mathrm{const}, \qquad |z|\leqslant 1-2\frac{\log n}{n}, \end{equation*} \notag $$
что доказывает второе неравенство леммы.

Доказательство теоремы 1. Воспользуемся следующими известными фактами:
$$ \begin{equation*} \int_0^{2\pi} |B'(re^{it})|\, dt \leqslant 2 \pi n, \qquad r \in[0,1], \end{equation*} \notag $$
для любого конечного произведения Бляшке степени $n$ и
$$ \begin{equation} \int_\mathbb{D} |f'(z)|^2 (1-|z|^2)\, dA(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}|a_n|^2 \leqslant \|f\|^2_{H^2} \end{equation} \tag{2.1} $$
для любой функции $f(z) = \sum_{n\geqslant 0} a_n z^n$ из пространства Харди $H^2$.

Пусть $s \in [0,1]$. Имеем

$$ \begin{equation*} \int_{\{s<|z| <1\}} |B'(z)|\, dA(z)= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \int_s^1 |B'(re^{it})| r\, dr\, dt \leqslant 2n \int_s^1 r\, dr= n (1-s^2). \end{equation*} \notag $$
В оставшейся части применим неравенство Коши–Шварца
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{\{0 <|z| \leqslant s\}} |B'(z)|\, dA(z) \\ &\qquad\leqslant \biggl( \int_{\{0 <|z| \leqslant s\}} |B'(z)|^2 (1-|z|^2)\, dA(z) \biggr)^{1/2} \biggl( \int_{\{0 <|z| \leqslant s\}} \frac{dA(z)}{1-|z|^2} \biggr)^{1/2} \\ &\qquad\leqslant \sqrt{2\int_0^s \frac{r\, dr}{1-r^2}} = \sqrt{\log\frac{1}{1-s^2}}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Таким образом,
$$ \begin{equation*} I(B) \leqslant n (1-s^2)+ \sqrt{ \log\frac{1}{1-s^2}}. \end{equation*} \notag $$
Полагая $s^2=1-1/n$, получаем (1.1).

Оценка снизу может быть получена методами, основанными на законе повторного логарифма Макарова [4]. Напомним, что класс Блоха $\mathcal{B}$ состоит из аналитических в $\mathbb{D}$ функций, для которых конечна полунорма $ \|f\|_{\mathcal{B}} = \sup_{z\in \mathbb{D}} (1-|z|^2) |f'(z)|$. В статье [5] Р. Бануэлос и Ч. Н. Мур, отвечая на вопрос Н. Г. Макарова и Ф. Пжитыцкого, построили такую функцию $f(z) = \sum_{k=1}^\infty a_k z^k$ из класса Блоха, что ее асимптотическая энтропия допускает оценку снизу

$$ \begin{equation*} \liminf_{r\to 1-} \frac{\sum_{k=1}^\infty |a_k|^2 r^{2k}}{\log(1/(1-r))} >0, \end{equation*} \notag $$
но для всех $\zeta$ таких, что $|\zeta| =1$, выполнено
$$ \begin{equation*} \limsup_{r\to 1-} \frac{f(r \zeta)}{\sqrt{\log(1/(1-r)) \log\log\log(1/(1-r))}} =0. \end{equation*} \notag $$
При этом в [5; с. 852] построена последовательность многочленов
$$ \begin{equation*} p_n(z)=\sum_{k=4}^{4^{n+1} -1} a_k z^k=\sum_{j=1}^{n} b_j(z), \quad \text{где} \quad b_j(z)=\sum_{k=4^j}^{4^{j+1} -1} a_k z^k, \end{equation*} \notag $$
удовлетворяющих оценкам $\|b_j\|_\infty \leqslant 1$,
$$ \begin{equation*} \sum_{k=1}^{4^{n+1} -1} |a_k|^2 \geqslant c \log m, \qquad \|p_n\|_{H^\infty} \leqslant C\sqrt{\log m}, \end{equation*} \notag $$
где $m = \operatorname{deg} p_n = 4^{n+1} -1$, а $C,c>0$ – некоторые абсолютные константы.

Из неравенства $\|b_j\|_\infty \leqslant 1$ нетрудно вывести, что $\sup_n \|p_n\|_{\mathcal{B}} <\infty$. Действительно, по лемме Шварца $|b_j(rz)| \leqslant r^{4^j}$, откуда по классическому неравенству Бернштейна $|b_j' (rz)| \leqslant 4^j r^{4^j}$. Известно (и легко показать), что $\sum_{j\geqslant 1} 4^j r^{4^j} \leqslant C_1/(1-r^2)$ для некоторой константы $C_1>0$ и, таким образом, $\sup_n \|p_n\|_{\mathcal{B}} <\infty$. Не умаляя общности, можем считать, что $\|p_n\|_{\mathcal{B}} \leqslant 1$.

Пусть $r=1-1/m$. Тогда для некоторых абсолютных констант $C', c'>0$

$$ \begin{equation*} c' \log\frac{1}{1-r} \,{\leqslant} \sum_{k=1}^m |a_k|^2 r^{2k} \,{\leqslant}\, 2 \int_{|z|<r}|p_n'(z)|^2(1-|z|^2)\,dA(z) \leqslant C'\int_{|z|<r}|p_n'(z)|\,dA(z). \end{equation*} \notag $$
Теперь положим $q_n = p_n/(C\sqrt{\log m}\,)$. Тогда $\|q_n\|_\infty \leqslant 1$ и
$$ \begin{equation*} \int_{|z|<1-1/m}|q_n'(z)|\, dA(z) \geqslant c_1\sqrt{\log m} \end{equation*} \notag $$
для некоторой абсолютной константы $c_1>0$. Поскольку
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{1-2\log m/m < |z|<1-1/m}|q_n'(z)| \, dA(z) \\ &\qquad \leqslant \int_{1-2\log m /m < |z|<1-1/m} \frac{dA(z)}{1-|z|^2}=O(\log\log m), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
мы имеем для некоторого $c_2>0$
$$ \begin{equation} \int_{|z|<1-2\log m/m}|q_n'(z)|\,dA(z) \geqslant c_2 \sqrt{\log m}. \end{equation} \tag{2.2} $$

Пусть $B$ – произведение Бляшке степени $m+1$ такое, что его первые $m$ коэффициентов Тейлора совпадают с соответствующими коэффициентами многочлена $q_n$. В силу леммы 1

$$ \begin{equation*} |q_n'(z)-B'(z)| \leqslant 2C_0, \qquad |z| \leqslant 1-2\frac{\log m}{m}. \end{equation*} \notag $$
Поэтому из (2.2) следует, что
$$ \begin{equation*} \int_{\mathbb{D}}|B'(z)|\, dA(z) \geqslant c_3\sqrt{\log m} \end{equation*} \notag $$
для некоторой абсолютной константы $c_3$. Теорема 1 доказана.

§ 3. Оценки интегралов от рациональных функций

Напомним, что конечносвязная область $\Omega$ называется областью класса Джона, если существует константа $C>0$ такая, что любые две точки $a,b\in \Omega$ могут быть соединены кривой $\gamma$ в $\Omega$ так, что для любого $x\in\gamma$ имеет место неравенство

$$ \begin{equation*} \min \bigl( \operatorname{diam}\gamma(a,x), \operatorname{diam}\gamma(x,b) \bigr) \leqslant C \operatorname{dist} (x, \partial \Omega). \end{equation*} \notag $$
Здесь $\gamma (a,x)$ и $\gamma (x,b)$ – части кривой $\gamma$, на которые ее разбивает точка $x$. Данное определение имеет много различных эквивалентных формулировок (см. [21], [22]). По существу оно означает отсутствие у области внутренних нулевых углов. В частности, такому определению удовлетворяют области с условием конуса: можно коснуться границы области изнутри некоторым достаточно маленьким треугольником с фиксированными углами.

В дальнейшем мы будем существенно использовать следующее свойство односвязных областей класса Джона: если $\varphi$ – конформное отображение круга $\mathbb{D}$ на односвязную область класса Джона, то

$$ \begin{equation} |\varphi'(z)| \leqslant \frac{C}{(1-|z|)^{\alpha}} \end{equation} \tag{3.1} $$
для некоторых $\alpha\in(0,1)$ и $C>0$ (см. [22; с. 96–100]).

В доказательстве теоремы 2 мы будем использовать лемму 2.

Лемма 2. Пусть $g$ – ограниченная и не более чем $n$-листная функция в $\mathbb{D}$. Тогда

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |g'(re^{it})|^2\, dt \leqslant \|g\|^2_{H^\infty(\mathbb{D})} \frac{n}{1-r}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Пусть $g(z) = \sum_{k=0}^\infty a_kz^k$. Тогда
$$ \begin{equation*} \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |g'(re^{it})|^2\, dt = \sum_{k=1}^\infty k^2|a_k|^2 r^{2k} \leqslant \frac{1}{1-r} \sum_{k=1}^\infty k|a_k|^2. \end{equation*} \notag $$
Здесь мы воспользовались простым неравенством $kr^{k-1}(1-r) \leqslant 1$, $k\geqslant 1$, $r \in [0,1)$. Поскольку функция $g$ не более чем $n$-листна в круге $\mathbb{D}$, то в силу классической теоремы площадей имеет место неравенство
$$ \begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty k|a_k|^2 \leqslant \|g\|^2_{H^\infty(\mathbb{D})} n. \end{equation*} \notag $$
Доказательство теоремы 2. Предположим сначала, что область $G$ ограничена. Без ограничения общности можно считать, что $G$ – односвязная область класса Джона со спрямляемой границей. Действительно, проводя гладкие разрезы (и контролируя углы), можно легко представить нашу область в виде объединения конечного числа односвязных областей класса Джона.

Пусть $w=\varphi(z)$ – конформное отображение $\mathbb{D}$ на $G$. В силу спрямляемости границы $G$ имеем $\varphi' \in H^1$. Также $\varphi'$ удовлетворяет неравенству (3.1).

Перепишем наш интеграл в терминах переменной $z$:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_{G}|R'(w)|^p\, dA(w) &= \int_{\mathbb{D}}|R'(\varphi(z))|^p|\varphi'(z)|^2\, dA(z) \\ &=\int_{\mathbb{D}} |(R\circ \varphi)'(z)|^p |\varphi'(z)|^{2-p}\, dA(z). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Очевидно, что при $p=2$ последний интеграл не превосходит $nM^2$, поскольку функция $R\circ\varphi$ является не более чем $n$-листной в круге $\mathbb{D}$.

Последний интеграл мы разобьем на две части – интегралы по множеству $\{|z| \leqslant r_n\}$ и по множеству $\{r_n < |z| < 1\}$, где $r_n = 1- 1/(n+1)^{K}$, а число $K>0$ будет выбрано позже.

Оценка интеграла по множеству $\{|z| \leqslant r_n\}$. Пусть $M = \|R\|_{H^\infty(G)}$. Положим

$$ \begin{equation*} J := \int_{\{|z|\leqslant r_n\}} |(R\circ \varphi)'(z)|^p\, |\varphi'(z)|^{2-p}\, dA(z). \end{equation*} \notag $$

Для $p=1$ воспользуемся оценкой $(1-|z|^2) |(R\circ \varphi)'(z)| \leqslant M$. Имеем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, J &\leqslant \frac{M}{\pi} \int_0^{r_n} \frac{1}{1-r}\int_0^{2\pi} |\varphi'(re^{it})|\, dt\, dr \\ &\leqslant 2 \|\varphi'\|_{H^1} M \int_0^{r_n} \frac{dr}{1-r} = 2K \|\varphi'\|_{H^1} \log(n+1) M. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

В случае $1<p<2$ рассмотрим отдельно интегралы по множествам $\{|z| \leqslant 1-1/(n+1)\}$ и $\{1-1/(n+1) <|z| \leqslant r_n\}$. Поскольку $\varphi' \in H^1$, имеем $\varphi'\in H^{2-p}$ и $\|\varphi'\|_{H^{2-p}} \leqslant \|\varphi'\|_{H^1}$. Следовательно,

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_{\{|z| \leqslant 1- 1/(n+1)\}} |(R\circ \varphi)'(z)|^p\, |\varphi'(z)|^{2-p} \, dA(z) & \leqslant 2\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} \int_0^{1-1/(n+1)} \frac{M^p}{(1-r)^p}\, dr \\ &=2\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} (p-1)^{-1} (n+1)^{p-1} M^p. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Для оценки по множеству $\{1-1/(n+1)<|z| \leqslant r_n\}$ применим неравенство Гёльдера с показателями $(2-p)^{-1}$ и $(p-1)^{-1}$:
$$ \begin{equation*} J \,{\leqslant}\, 2 \int_{1-1/(n+1)}^{r_n} \biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |(R\circ \varphi)'(re^{it})|^{p/(p-1)}\, dt\biggr)^{p-1} \!\biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |\varphi'(re^{it})|\, dt\biggr)^{2-p} dr. \end{equation*} \notag $$
Последовательно используя неравенство $(1-|z|^2) |(R\circ \varphi)'(z)| \leqslant M$ и лемму 2, получим
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, J &\leqslant 2 \|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} M^{p-2(p-1)} \int_{1-1/(n+1)}^{r_n} \frac{1}{(1-r)^{p-2(p-1)}} \\ &\qquad\times \biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |(R\circ \varphi)'(re^{it})|^2 \, dt\biggr)^{p-1}\, dr \\ &\leqslant 2 \|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} M^p n^{p-1} \int_{1-1/(n+1)}^{r_n} \frac{dr}{(1-r)^{2-p +p-1}} \\ &=2 \|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} M^p n^{p-1} \int_{1-1/(n+1)}^{1-1/(n+1)^K} \frac{dr}{1-r} = 2 \|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} K n^{p-1} M^p. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Оценка интеграла по множеству $\{r_n<|z| <1\}$. В этом случае рассуждение применимо для всех $p\in [1, 2)$. Выберем число $\delta$ такое, что $0<\delta<1-p/2$. Тогда $2-p-\delta \in (0,1)$. Пусть $\beta$ – показатель, сопряженный c $(2-p-\delta)^{-1}$. Имеем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, I &:= \int_{r_n<|z|<1} |(R\circ \varphi)'(z)|^p \, |\varphi'(z)|^{2-p} \, dA(z) \\ &\leqslant C^\delta \int_{r_n<|z|<1} \frac{|(R\circ \varphi)'(z)|^p \, |\varphi'(z)|^{2-p-\delta}}{(1-|z|)^{\alpha\delta}}\, dA(z) \\ &\leqslant 2C^\delta \int_{r_n}^1 \frac{1}{(1-r)^{\alpha\delta}} \biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |(R\circ \varphi)'(re^{it})|^{p\beta}\, dt\biggr)^{1/\beta} \\ &\qquad\times \biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |\varphi'(re^{it})|\, dt\biggr)^{2-p-\delta} \, dr. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отметим, что из условия $\delta<1-p/2$ следует, что $p\beta>2$. Последовательно применяя оценки $(1-|z|^2) |(R\circ \varphi)'(z)| \leqslant M$ и лемму 2, получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, I &\leqslant 2 C^\delta\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p-\delta} M^{(p\beta - 2)/\beta} \int_{r_n}^1 \frac{1}{(1-r)^{\alpha\delta + (p\beta - 2)/\beta}} \\ &\qquad\times \biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |(R\circ \varphi)'(re^{it})|^2\, dt\biggr)^{1/\beta}\, dr \\ &\leqslant 2 C^\delta\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p-\delta} M^p n^{1/\beta} \int_{r_n}^1 \frac{dr}{(1-r)^{\alpha\delta + (p\beta-2)/\beta +1/\beta}} \\ &=2 C^\delta\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p-\delta} M^p n^{1/\beta} \int_{r_n}^1 \frac{dr}{(1-r)^{\alpha\delta + p -1/\beta}}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Остается заметить, что $\alpha\delta +p- 1/\beta = \alpha\delta +p- (1- (2-p-\delta)) = 1-(1-\alpha)\delta$, откуда
$$ \begin{equation} I \leqslant 2(1-\alpha)^{-1}\delta^{-1}C^\delta\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p-\delta} M^p n^{1/\beta} . \end{equation} \tag{3.2} $$
Зафиксировав $\delta\in (0, 1-p/2)$ и выбрав достаточно большое $K$ в равенстве $r_n = 1- 1/(n+1)^K$, мы получаем, что $I \leqslant C^\delta \|\varphi'\|_{H^1}^{2-p-\delta} M^p$ (и даже $o(1)$ при $n\to\infty$).

Разберем теперь случай, когда $\infty \in G$. Ясно, что такую область можно представить как объединение (возможно с пересечением) внешности круга достаточно большого радиуса с конечносвязной ограниченной областью. Для конечносвязных ограниченных областей нами этот факт уже доказан, а для внешности круга он следует из вышеупомянутых результатов Долженко. Теорема 2 полностью доказана.

§ 4. Доказательства теорем 3 и 4

Доказательство теоремы 3. Как в доказательстве теоремы 2 положим $r_n=1-1/(n+1)^K$, где $K>0$. Поскольку $\varphi' \in H^2 \subset H^1$ и условие (3.1) выполнено для $\alpha=1/2$, воспользуемся оценкой (3.2) для интеграла по множеству $\{r_n<|z|<1\}$, найденной в доказательстве теоремы 2. При достаточно большом $K$ этот интеграл равномерно ограничен по $n$ (и даже стремится к нулю при $n\to\infty$).

Таким образом, нам достаточно оценить

$$ \begin{equation*} J:=\int_{0<|z| \leqslant r_n} |(R\circ \varphi)'(z)| |\varphi'(z)|\, dA(z). \end{equation*} \notag $$
По неравенству Коши–Шварца
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, J & \leqslant \biggl(\int_{0<|z|\leqslant r_n} (1-|z|) |(R\circ \varphi)'(z)|^2\, dA(z) \biggr)^{1/2} \biggl(\int_{0<|z| \leqslant r_n} \frac{|\varphi'(z)|^2}{1-|z|}\, dA(z) \biggr)^{1/2} \\ & \leqslant M \biggl( \int_{0<|z| \leqslant r_n} \frac{|\varphi'(z)|^2}{1-|z|}\, dA(z) \biggr)^{1/2} \leqslant \sqrt{2} M \|\varphi'\|_{H^2} \biggl( \int_0^{r_n} \frac{dr}{1-r} \biggr)^{1/2} \\ & =\sqrt{2} M \|\varphi'\|_{H^2} \sqrt{K\ln (n+1)}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Теорема 3 доказана.

Доказательство теоремы 4. Пусть $\varphi$ – конформное отображение $\mathbb{D}$ на $G$, $D_\rho = \varphi^{-1}(G_\rho)$. Поскольку $\rho \leqslant (1-|z|^2)|\varphi'(z)|$, $z\in D_\rho$, имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_{G_\rho} |R'(\zeta)|^p\, dA(\zeta) & = \int_{D_\rho} |(R\circ \varphi)'(z)|^p |\varphi'(z)|^{2-p}\, dA(z) \\ & \leqslant \rho^{2-p} \int_{D_\rho} |(R\circ \varphi)'(z)|^p (1-|z|^2)^{p-2}\, dA(z) \\ & \leqslant \rho^{2-p} M^{p-2} \int_{D_\rho} |(R\circ \varphi)'(z)|^2\, dA(z) \leqslant \rho^{2-p} n M^p. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
На последнем шаге мы воспользовались тем, что $R\circ \varphi$ накрывает каждую точку круга радиуса $M$ с кратностью не выше $n$. Теорема 4 доказана.

§ 5. Весовые неравенства типа Долженко и Пеллера

Естественным обобщением неравенств Долженко будет рассмотрение весовых интегралов от производных рациональных функций. Подобные неравенства интенсивно изучались в контексте весовых пространств Бергмана (или Бесова) в круге. Например, известное неравенство В. В. Пеллера [10] утверждает, что для рациональной функции $R$ степени $n$ с полюсами вне $\overline{\mathbb{D}}$ имеет место оценка

$$ \begin{equation*} \|R\|_{B_p^{1/p}} \leqslant C n^{1/p} \|R\|_{\mathrm{BMOA}}, \end{equation*} \notag $$
где $B_p^{1/p}$ – пространство Бесова, $p>0$, $C=C(p)$. Отсюда, в частности, следует, что при $1<p<\infty$
$$ \begin{equation*} \int_\mathbb{D} |R'(z)|^p (1-|z|)^{p-2}\, dA(z) \leqslant C n \|R\|^p_{H^\infty}. \end{equation*} \notag $$
Различные доказательства и обобщения этого неравенства можно найти в [11]–[13], [19].

Используя методы § 3, можно получить более общие весовые оценки, в которых вес равен расстоянию до границы в некоторой степени. Сформулируем соответствующий результат. Для ограниченной области $G\subset \mathbb{C}$ и $z\in G$ положим

$$ \begin{equation*} d_G(z):=\operatorname{dist} (z, \partial G). \end{equation*} \notag $$
Для $p\geqslant 1$, $\beta \in \mathbb{R}$ и аналитической в $G$ функции $f$ положим
$$ \begin{equation*} I_{p,\beta} (f) := \int_G |f'(\zeta)|^p \, d_G^\beta(\zeta)\, dA(\zeta) \end{equation*} \notag $$
(величина $I_{p,\beta} (f)$, вообще говоря, может быть бесконечной). Нас интересуют оценки вида
$$ \begin{equation*} I_{p,\beta}(R) \leqslant C\Psi(n) \|R\|^p_{H^\infty(G)}, \end{equation*} \notag $$
справедливые для всех рациональных функций $R$ степени $n$ с полюсами вне $\overline{G}$ и с константой $C$, зависящей от $G$, $p$ и $\beta$, но не от $n$ и $R$. Здесь $\Psi$ – некоторая зависящая только от $n$ функция. Такие оценки возможны только при $\beta \geqslant p-2$; как видно уже на примере $G=\mathbb{D}$ и рациональных дробей $R(\zeta) = 1/(\zeta-\lambda)$, при $\beta< p-2$ интеграл $I_{p,\beta} (f)$ не допускает оценку, зависящую только от $n$, нужно учитывать также расстояние от полюсов $R$ до $\partial G$.

Чтобы не загромождать запись, в дальнейшем мы пишем $X(R,n) \lesssim Y(R,n)$, если $X(R, n)\leqslant CY(R,n)$ c константой $C$, зависящей только от $G$, $p$ и $\beta$, но не от $n$ и $R$.

Теорема 5. Пусть $G$ – односвязная ограниченная область, $\varphi$ – конформное отображение единичного круга $\mathbb{D}$ на $G$, $p\geqslant 1$, $\beta \geqslant p-2$. Тогда выполняется следующее.

1) Если $\beta > p-1$ и $\varphi'\in H^{\gamma}$ для некоторого $\gamma>1$, то $I_{p,\beta}(R) \lesssim \|R\|^p_{H^\infty(G)}$, т. е. зависимость от $n$ пропадает.

2) Если $\beta = p-1$, $1\leqslant p <2$ и $\varphi'\in H^{2/(2-p)}$, то

$$ \begin{equation*} I_{p,\beta}(R) \lesssim (\log n)^{1- p/2} \|R\|^p_{H^\infty(G)}. \end{equation*} \notag $$
Если $\beta = p-1$, $p \geqslant 2$ и $\varphi'\in H^\infty$, то $I_{p,\beta}(R) \lesssim \|R\|^p_{H^\infty(G)}$.

3) Если $p-2 \leqslant \beta <p-1$, $p\geqslant 2$, $\varphi' \in H^1$ и $G$ – область Джона, то

$$ \begin{equation*} I_{p,\beta}(R) \lesssim n^{p-1-\beta} \|R\|^p_{H^\infty(G)}. \end{equation*} \notag $$

Неравенства в теореме 5 являются точными по порядку зависимости от $n$ уже в случае единичного круга. В утверждении 3) оптимальный рост достигается на $R(z) = z^n$, а точность неравенства утверждения 2) легко проверить, рассматривая пример Бануэлоса–Мура (в качестве $R$ можно взять многочлен или произведение Бляшке).

Отметим, что утверждение 3) теоремы не покрывает случай $p-2 \leqslant \beta <p-1$ и $1<p<2$. В этом случае было бы достаточно доказать следующий аналог неравенства Пеллера:

$$ \begin{equation*} \int_\mathbb{D} |(R\circ\varphi)'(z)|^p (1-|z|)^{p-2}\, dA(z) \lesssim n\|R\|_{H^\infty(G)}^p, \end{equation*} \notag $$
где $G = \varphi(\mathbb{D})$ – область класса Джона, а $R$ – рациональная функция степени не выше $n$ с полюсами вне $\overline{G}$. Однако мы не знаем, справедливо ли это неравенство.

Доказательство теоремы 5. Положим $M = \|R\|_{H^\infty(G)}$. Сделаем замену $\zeta = \varphi(z)$. Учитывая, что $d_G(\zeta) \leqslant |\varphi'(z)|(1-|z|^2)$, получаем
$$ \begin{equation*} I_{p,\beta}(R) \lesssim \int_{\mathbb{D}} |(R\circ\varphi)'(z)|^p\, |\varphi'(z)|^{2-p+\beta} (1-|z|)^{\beta}\, dA(z). \end{equation*} \notag $$

Утверждение 3) следует из теоремы 2. В самом деле, $1<p-\beta \leqslant 2$ и, используя неравенство $|(R\circ\varphi)'(z)| (1-|z|) \leqslant M$, получаем

$$ \begin{equation*} I_{p,\beta}(R) \lesssim M^\beta \int_{\mathbb{D}} |(R\circ\varphi)'(z)|^{p-\beta} |\varphi'(z)|^{2-(p-\beta)}\, dA(z) \lesssim n^{p-\beta-1}M^p. \end{equation*} \notag $$

Докажем утверждение 1). Величина $d_G(z)$ ограничена, поэтому достаточно доказать утверждение для $\beta \in (p-1, p-2 +\gamma]$. Для таких $\beta$ из неравенства $p-\beta <1$ и включения $\varphi' \in H^\gamma \subset H^{2-p+\beta}$ следует, что

$$ \begin{equation*} I_{p,\beta}(R) \lesssim M^p \int_0^1 \biggl(\int_0^{2\pi}|\varphi'(re^{it})|^{2-p+\beta} \, dt\biggr)\, \frac{r\, dr}{(1-r)^{p-\beta}} \lesssim M^p. \end{equation*} \notag $$
На первом шаге мы опять использовали неравенство $|(R\circ\varphi)' (z)|(1-|z|) \leqslant M$.

Рассмотрим наиболее интересный случай 2): $\beta = p-1$. Пусть $1\leqslant p <2$. Положим $s=1-1/n$. Применяя неравенство Гёльдера с показателями $2/p$ и $2/(2-p)$ и неравенство (2.1), получим

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{\{|z|\leqslant s\}} |(R\circ\varphi)'(z)|^p\, |\varphi'(z)| (1-|z|)^{p-1}\, dA(z) \\ &\ \leqslant \biggl( \int_{\{|z|\leqslant s\}} |(R\circ\varphi)'(z)|^2 (1-|z|)\, dA(z) \biggr)^{p/2} \biggl( \int_{\{|z|\leqslant s\}} \frac{|\varphi'(z)|^{2/(2-p)}}{1-|z|}\, dA(z) \biggr)^{1-p/2} \\ &\ \lesssim M^p \biggl( \int_0^s \biggl(\int_0^{2\pi} |\varphi'(re^{it})|^{2/(2-p)}\, dt \biggr) \frac{r\, dr}{1-r} \biggr)^{1-p/2} \lesssim (\log n)^{1- p/2} M^p. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Осталось оценить интеграл по кольцу $\{s<|z| <1\}$:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{\{s<|z| <1\}} |(R\circ\varphi)'(z)|^p\, |\varphi'(z)| (1-|z|)^{p-1}\, dA(z) \\ &\ \leqslant M^{p-1} \int_{\{s<|z| <1\}} |(R\circ\varphi)'(z)| \, |\varphi'(z)|\, dA(z) \\ &\ \lesssim M^{p-1} \biggl(\int_{\{s<|z| <1\}} |(R\circ\varphi)'(z)|^2\, dA(z)\biggr)^{1/2} \biggl(\int_{\{s<|z| <1\}} |\varphi'(z)|^2\, dA(z)\biggr)^{1/2} \,{\lesssim}\, M^p. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
В последнем неравенстве мы воспользовались тем, что
$$ \begin{equation*} \int_{\{s<|z| <1\}} |(R\circ\varphi)'(z)|^2\, dA(z) \lesssim n M^2, \end{equation*} \notag $$
так как $R\circ\varphi$ покрывает круг радиуса $M$ с кратностью не выше $n$, а также тем, что $\varphi'\in H^2$.

Случай $p\geqslant 2$ тривиален:

$$ \begin{equation*} I_{p, p-1}(R) \lesssim M^{p-2} \int_\mathbb{D} |(R\circ\varphi)'(z)|^2 (1-|z|)\, dA(z)\lesssim M^p, \end{equation*} \notag $$
т. е. величина $I_{p, p-1}(R)$ равномерно ограничена по $R$ и $n$.

Теорема 5 полностью доказана.

Список литературы

1. С. Н. Мергелян, “Об одном интеграле, связанном с аналитическими функциями”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 15:5 (1951), 395–400  mathnet  mathscinet  zmath
2. W. Rudin, “The radial variation of analytic functions”, Duke Math. J., 22:2 (1955), 235–242  crossref  mathscinet  zmath
3. G. Piranian, “Bounded functions with large circular variation”, Proc. Amer. Math. Soc., 19:6 (1968), 1255–1257  crossref  mathscinet  zmath
4. Н. Г. Макаров, “Вероятностные методы в теории конформных отображений”, Алгебра и анализ, 1:1 (1989), 3–59  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. G. Makarov, “Probability methods in the theory of conformal mappings”, Leningrad Math. J., 1:1 (1990), 1–56
5. R. Bañuelos, C. N. Moore, “Mean growth of Bloch functions and Makarov's law of the iterated logarithm”, Proc. Amer. Math. Soc., 112:3 (1991), 851–854  crossref  mathscinet  zmath
6. A. Aleman, D. Vukotić, “On Blaschke products with derivatives in Bergman spaces with normal weights”, J. Math. Anal. Appl., 361:2 (2010), 492–505  crossref  mathscinet  zmath
7. D. Protas, “Blaschke products with derivative in function spaces”, Kodai Math. J., 34:1 (2011), 124–131  crossref  mathscinet  zmath
8. D. Protas, “Derivatives of Blaschke products and model space functions”, Canad. Math. Bull., 63:4 (2020), 716–725  crossref  mathscinet  zmath
9. Е. П. Долженко, “Рациональные аппроксимации и граничные свойства аналитических функций”, Матем. сб., 69(111):4 (1966), 497–524  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: E. P. Dolženko, “Rational approximations and boundary properties of analytic functions”, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 74, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968, 61–90  crossref
10. В. В. Пеллер, “Операторы Ганкеля класса $\mathfrak S_p$ и их приложения (рациональная аппроксимация, гауссовские процессы, проблема мажорации операторов)”, Матем. сб., 113(155):4(12) (1980), 538–581  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. V. Peller, “Hankel operators of class $\mathfrak S_p$ and their applications (rational approximation, Gaussian processes, the problem of majorizing operators)”, Math. USSR-Sb., 41:4 (1982), 443–479  crossref
11. S. Semmes, “Trace ideal criteria for Hankel operators, and applications to Besov spaces”, Integral Equations Operator Theory, 7:2 (1984), 241–281  crossref  mathscinet  zmath
12. А. А. Пекарский, “Неравенства типа Бернштейна для произвольных рациональных функций и обратные теоремы рациональной аппроксимации”, Матем. сб., 124(166):4(8) (1984), 571–588  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Pekarskii, “Inequalities of Bernstein type for derivatives of rational functions, and inverse theorems of rational approximation”, Sb. Math., 52:2 (1985), 557–574  crossref
13. А. А. Пекарский, “Новое доказательство неравенства Семмеса для производной рациональной функции”, Матем. заметки, 72:2 (2002), 258–264  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Pekarskii, “New proof of the Semmes inequality for the derivative of the rational function”, Math. Notes, 72:2 (2002), 230–236  crossref
14. В. И. Данченко, “Об одной интегральной оценке производной рациональной функции”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 43:2 (1979), 277–293  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. I. Dančenko, “An integral estimate for the derivative of a rational function”, Izv. Math., 14:2 (1980), 257–273  crossref
15. В. И. Данченко, “Некоторые интегральные оценки производных рациональных функций на множествах с ограниченной плотностью”, Матем. сб., 187:10 (1996), 33–52  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. I. Danchenko, “Several integral estimates of the derivatives of rational functions on sets of finite density”, Sb. Math., 187:10 (1996), 1443–1463  crossref
16. E. Dyn'kin, “Inequalities for rational functions”, J. Approx. Theory, 91:3 (1997), 349–367  crossref  mathscinet  zmath
17. E. Dyn'kin, “Rational functions in Bergman spaces”, Complex analysis, operators, and related topics, Oper. Theory Adv. Appl., 113, Birkhäuser, Basel, 2000, 77–94  crossref  mathscinet  zmath
18. A. Baranov, R. Zarouf, “A Bernstein-type inequality for rational functions in weighted Bergman spaces”, Bull. Sci. Math., 137:4 (2013), 541–556  crossref  mathscinet  zmath
19. A. Baranov, R. Zarouf, “The differentiation operator from model spaces to Bergman spaces and Peller type inequalities”, J. Anal. Math., 137:1 (2019), 189–209  crossref  mathscinet  zmath
20. A. Baranov, R. Zarouf, “$H^\infty$ interpolation and embedding theorems for rational functions”, Integral Equations Operator Theory, 91:3 (2019), 18, 19 pp.  crossref  mathscinet  zmath
21. O. Martio, J. Sarvas, “Injectivity theorems in plane and space”, Ann. Acad. Sci.Fenn. Ser. A I Math., 4:2 (1979), 383–401  crossref  mathscinet  zmath
22. Ch. Pommerenke, Boundary behaviour of conformal maps, Grundlehren Math. Wiss., 299, Springer-Verlag, Berlin, 1992, x+300 pp.  crossref  mathscinet  zmath

Образец цитирования: А. Д. Баранов, И. Р. Каюмов, “Оценки интегралов от производных рациональных функций в многосвязных областях на плоскости”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:5 (2022), 5–17; Izv. Math., 86:5 (2022), 839–851
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BarKay22}
\by А.~Д.~Баранов, И.~Р.~Каюмов
\paper Оценки интегралов от производных рациональных функций в многосвязных областях на плоскости
\jour Изв. РАН. Сер. матем.
\yr 2022
\vol 86
\issue 5
\pages 5--17
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im9248}
\crossref{https://doi.org/10.4213/im9248}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582535}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022IzMat..86..839B}
\transl
\jour Izv. Math.
\yr 2022
\vol 86
\issue 5
\pages 839--851
\crossref{https://doi.org/10.4213/im9248e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992252200001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165710416}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/im9248
  • https://doi.org/10.4213/im9248
  • https://www.mathnet.ru/rus/im/v86/i5/p5
  • Эта публикация цитируется в следующих 4 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Известия Российской академии наук. Серия математическая Izvestiya: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:490
    PDF русской версии:58
    PDF английской версии:71
    HTML русской версии:267
    HTML английской версии:96
    Список литературы:63
    Первая страница:21
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024