| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) О построении семейств оптимальных методов восстановления линейных операторов К. Ю. Осипенкоab a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва
Английская версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9384e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $X$ – линейное пространство, $Y,Z$ – линейные нормированные пространства. Задача об оптимальном восстановлении линейного оператора $\Lambda$: $X\to Z$ по неточно заданным значениям линейного оператора $I\colon X\to Y$ на множестве $W\subset X$ ставится как задача нахождения величины
$$
\begin{equation*}
E(\Lambda,W,I,\delta)=\inf_{\varphi\colon Y\to Z}\sup_{\substack{x\in W,\, y\in Y\\\|Ix-y\|_Y \leqslant\delta}}\|\Lambda x-\varphi(y)\|_Z,
\end{equation*}
\notag
$$
называемой погрешностью оптимального восстановления, и отображения $\varphi$, на котором достигается нижняя грань, называемым оптимальным методом восстановления (здесь $\delta\geqslant0$ – параметр, характеризующий ошибку задания значений оператора $I$). Первоначально эта задача была поставлена для случая, когда $\Lambda$ – линейный функционал, $Y$ – конечномерное пространство и информация известна точно ($\delta=0$), в работе С. А. Смоляка [1]. Фактически эта постановка являлась обобщением задачи А. Н. Колмогорова о наилучшей квадратурной формуле на классе функций [2], в которой интеграл и значения функций заменены на произвольные линейные функционалы и нет условия линейности метода восстановления. В дальнейшем обобщениям этой задачи было посвящено много работ (см. [3]–[10], а также библиографию в этих работах). Одной из первых работ, в которой рассматривалась задача построения оптимального метода восстановления для линейного оператора, была работа [4]. Дальнейшее развитие эта тематика получила в работах [11]–[19]. Оказалось, что в некоторых случаях удается построить целое семейство оптимальных методов восстановления линейного оператора. Изучение таких семейств началось в работе [20] и продолжилось в работах [21], [22], [14] и [19]. Цель работы – предложить некоторый подход к построению семейств оптимальных методов восстановления линейных операторов и продемонстрировать его применение к ряду конкретных задач. § 2. Общая постановка и построение семейств оптимальных методовБудем рассматривать случай, когда в задаче оптимального восстановления само множество $W$ (априорная информация об элементах из $X$) задается в виде ограничений, связанных с некоторым набором линейных операторов. Пусть $Y_0,\dots,Y_n$ – линейные нормированные пространства, а $I_j\colon X\,{\to}\, Y_j$, $j=0,\dots,n$, – линейные операторы. Пусть, кроме того, заданы числа $\delta_1,\dots,\delta_n\geqslant0$ и задано множество натуральных чисел $J\subset\{1,\dots,n\}$. Положим $\overline J=\{1,\dots,n\}\setminus J$. Задача состоит в оптимальном восстановлении оператора $I_0$ на множестве
$$
\begin{equation*}
W_J=\{x\in X\colon \|I_jx\|_{Y_j}\leqslant\delta_j,\, j\in J\}
\end{equation*}
\notag
$$
по значениям операторов $I_j$, заданным с погрешностью $\delta_j$, $j\in\overline J$ (при $J=\varnothing$ полагаем $W=X$). Точнее говоря, будем считать, что для каждого $x\in W$ нам известен вектор
$$
\begin{equation*}
y=\{y_j\}_{j\in\overline J}\in Y_{\overline J}=\prod_{j\in\overline J}Y_j
\end{equation*}
\notag
$$
такой, что $\|I_jx-y_j\|_{Y_j}\leqslant\delta_j$, $j\in\overline J$. В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные отображения $\varphi\colon Y_{\overline J}\to Y_0$. Погрешностью метода $\varphi(\,{\cdot}\,)$ называется величина
$$
\begin{equation*}
e_J(I,\delta,\varphi)=\sup_{\substack{x\in W_J,\, y\in Y_{\overline J}\\ \|I_jx-y_j\|_{Y_j}\leqslant\delta_j,\, j\in\overline J}}\|I_0x-\varphi(y)\|_{Y_0},
\end{equation*}
\notag
$$
а погрешностью оптимального восстановления – величина
$$
\begin{equation}
E_J(I,\delta)=\inf_{\varphi\colon Y_{\overline J}\,\to Y_0} e_J(I,\delta,\varphi)
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
(здесь $I=(I_0,\dots,I_n)$, $\delta=(\delta_1,\dots,\delta_n)$). Методы, на которых достигается нижняя грань в (2.1) (если таковые существуют), называются оптимальными. Теорема 1. Пусть $1\leqslant p<+\infty$. Предположим, что существуют $\widehat{\lambda}_j\geqslant0$, $j=1,\dots,n$, такие, что Доказательство. Пусть $\varphi\colon Y_{\overline J}\to Y_0$ – произвольный метод восстановления и $x\in X$ такой, что $\|I_jx\|_{Y_j}\leqslant\delta_j$, $j=1,\dots,n$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2\|I_0x\|_{Y_0} &=\|I_0x-\varphi(0)-(I_0(-x)-\varphi(0))\|_{Y_0} \\ &\leqslant\|I_0x-\varphi(0)\|_{Y_0}+\|I_0(-x)-\varphi(0)\|_{Y_0}\leqslant2e_J(I,\delta,\varphi). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда В силу произвольности метода $\varphi(\,{\cdot}\,)$ получаем
Для оценки $p$-й степени погрешности метода $\widehat{\varphi}(\,{\cdot}\,)$ надо оценить значение следующей экстремальной задачи:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl\|I_0x-\sum_{j\in\overline J}S_jy_j\biggr\|_{Y_0}^p\to\max,\qquad \|I_jx\|_{Y_j}\leqslant\delta_j,\quad j\in J, \\ \|I_jx-y_j\|_{Y_j}\leqslant\delta_j,\qquad j\in\overline J,\quad x\in X. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $z_j=I_jx-y_j$, $j\in\overline J$. Тогда эта задача переписывается в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl\|\biggl(I_0-\sum_{j\in\overline J}S_jI_j\biggr)x+\sum_{j\in\overline J}S_jz_j\biggl\|_{Y_0}^p\to\max,\qquad \|I_jx\|_{Y_j}\leqslant\delta_j,\quad j\in J, \\ \|z_j\|_{Y_j}\leqslant\delta_j,\qquad j\in\overline J,\quad x\in X. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
В силу равенства (2.2) и условия (2.3) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\biggl(I_0-\sum_{j\in\overline J}S_jI_j\biggr)x+\sum_{j\in\overline J}S_jz_j\biggl\|_{Y_0}^p &= \biggl\|\sum_{j\in J}S_jI_jx+\sum_{j\in\overline J} S_jz_j\biggl\|_{Y_0}^p \\ &\leqslant\sum_{j\in J}\widehat{\lambda}_j\|I_jx\|_{Y_j}^p+\sum_{j\in\overline J} \widehat{\lambda}_j\|z_j\|_{Y_j}^p \leqslant\sum_{j=1}^n\widehat{\lambda}_j\delta_j^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
E_J^p(I,\delta)\leqslant e_J^p(I,\delta,\widehat{\varphi}) \leqslant\sum_{j=1}^n\widehat{\lambda}_j\delta_j^p,
\end{equation*}
\notag
$$
что вместе с (2.6) доказывает теорему. Отметим, что двойственная экстремальная задача
$$
\begin{equation*}
\|I_0x\|_{Y_0}\to\max,\qquad\|I_jx\|_{Y_j}\leqslant\delta_j,\quad j=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
“не различает”, какие из операторов $I_j$ являются информационными, а какие из них задают класс, на котором рассматривается задача восстановления. Иными словами, двойственная экстремальная задача не отличает априорную информацию от апостериорной. В силу этого из теоремы 1 вытекает, что если найдены операторы $S_j\colon Y_j\to Y_0$, $j=1,\dots,n$, удовлетворяющие условиям (2.2) и (2.3), то решены сразу $2^n$ задач восстановления. Причем для получения соответствующего оптимального метода достаточно в методе положить $y_j=0$ для $j\in J$.
§ 3. Восстановление в $L_p(\mathbb R^d)$Обозначим через $L_p(\mathbb R^d)$, $1\leqslant p<\infty$, совокупность всех измеримых функций $x(\,{\cdot}\,)$, для которых
$$
\begin{equation*}
\|x(\,{\cdot}\,)\|_{L_p(\mathbb R^d)}=\biggl(\int_{\mathbb R^d} |x(\xi)|^p\,d\xi\biggr)^{1/p}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in\mathbb R_+^d$. Для $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_d)\in\mathbb R^d$ положим $(i\xi)^\alpha=(i\xi_1)^{\alpha_1}\cdots(i\xi_d)^{\alpha_d}$, $|\xi|^\alpha=|\xi_1|^{\alpha_1}\cdots|\xi_d|^{\alpha_d}$. Для $\alpha^0,\dots,\alpha^n\in\mathbb R_+^d$ положим
$$
\begin{equation*}
I_jx(\xi)=(i\xi)^{\alpha^j}x(\xi),\qquad j=0,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество измеримых функций $x(\,{\cdot}\,)$, для которых $\|I_jx(\,{\cdot}\,)\|_{L_p(\mathbb R^d)}<\infty$, $j=1,\dots,n$, обозначим через $X$. Рассмотрим задачу (2.1) для $Y_0=Y_1=\dots=Y_n=L_p(\mathbb R^d)$. Положим
$$
\begin{equation*}
Q=\operatorname{co}\biggl\{\biggl(\alpha^1,\ln\frac1{\delta_1}\biggr),\dots, \biggl(\alpha^n,\ln\frac1{\delta_n}\biggr)\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{co} M$ обозначает выпуклую оболочку множества $M$, и определим функцию $S(\,{\cdot}\,)$ на $\mathbb R^d$ по формуле
$$
\begin{equation}
S(\alpha)=\max\{z\in\mathbb R\colon (\alpha,z)\in Q\},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
считая, что $S(\alpha)=-\infty$, если множество в фигурных скобках пусто. Пусть $\alpha^0\in\operatorname{co}\{\alpha^1,\dots,\alpha^n\}$. Тогда точка $(\alpha^0,S(\alpha^0))$ принадлежит границе выпуклого многогранника $Q$. Проведем опорную гиперплоскость к выпуклому многограннику $Q$ в точке $(\alpha^0,S(\alpha^0))$. Ее можно записать в виде $z=\langle\alpha,\widehat{\eta}\,\rangle\,{+}\,\widehat{a}$ при некоторых $\widehat{\eta}=(\widehat{\eta}_1,\dots,\widehat{\eta}_d)\in\mathbb R^d$ и $\widehat{a}\in\mathbb R$ (через $\langle\alpha,\widehat{\eta}\,\rangle$ обозначается скалярное произведение векторов $\alpha$ и $\widehat{\eta}$ ). По теореме Каратеодори найдутся точки $(\alpha^{j_k},\ln1/\delta_{j_k})$, $k=1,\dots,s$, $s\leqslant d+1$, из этой гиперплоскости такие, что
$$
\begin{equation}
\alpha^0=\sum_{k=1}^s\theta_{j_k}\alpha^{j_k},\qquad\theta_{j_k}>0,\quad k=1,\dots,s, \quad\sum_{k=1}^s\theta_{j_k}=1.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Положим $J_0=\{j_1,\dots,j_s\}$ и
$$
\begin{equation*}
\widehat{\lambda}_j=\frac{\theta_j}{\delta_j^p}e^{-pS(\alpha^0)},\qquad j\in J_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. Пусть $\alpha^0\in\operatorname{co}\{\alpha^1,\dots,\alpha^n\}$. Тогда для любого $J\subset\{1,\dots,n\}$ При этом все методы Доказательство. Оценим значение экстремальной задачи
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb R^d}|(i\xi)^{\alpha^0} x(\xi)|^p\,d\xi\to\max,\qquad\int_{\mathbb R^d}|(i\xi)^{\alpha^j} x(\xi)|^p\,d\xi\leqslant\delta_j^p,\quad j=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Положим $\widehat{A}=e^{-p\widehat{a}}$, $\widehat{\xi}_j=e^{-\widehat{\eta}_j}$, $j=1,\dots,d$, $\widehat{\xi}=(\widehat{\xi}_1,\dots,\widehat{\xi}_d)$. Для достаточно малых $\varepsilon>0$ рассмотрим куб
$$
\begin{equation*}
B_\varepsilon=\{\xi=(\xi_1,\dots,\xi_d)\in\mathbb R^d\colon \widehat{\xi}_j-\varepsilon\leqslant\xi_j\leqslant\widehat{\xi}_j,\, j=1,\dots,d\}
\end{equation*}
\notag
$$
и функцию
$$
\begin{equation*}
x_\varepsilon(\xi)= \begin{cases} \biggl(\dfrac{\widehat{A}}{|B_\varepsilon|}\biggr)^{1/p}, &\xi\in B_\varepsilon, \\ 0, &\xi\notin B_\varepsilon \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
(через $|B_\varepsilon|$ обозначен объем куба $B_\varepsilon$). Тогда
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^d} |(i\xi)^{\alpha^j}x_\varepsilon(\xi)|^p\,d\xi \leqslant\widehat{A}|\widehat{\xi}|^{p\alpha^j}= e^{-p(\langle\alpha^j,\widehat{\eta}\,\rangle+\widehat{a})}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу того, что $z=\langle\alpha,\widehat{\eta}\,\rangle+\widehat{a}$ – уравнение опорной гиперплоскости к $Q$, имеем
$$
\begin{equation*}
\langle\alpha^j,\widehat{\eta}\,\rangle+\widehat{a}\geqslant\ln\frac1{\delta_j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^d}|(i\xi)^{\alpha^j}x_\varepsilon(\xi)|^p\,d\xi\leqslant\delta_j^p, \qquad j=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым $x_\varepsilon(\,{\cdot}\,)$ – допустимая функция в задаче (3.6). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sup_{\substack{x\in X\\\|I_jx\|_{Y_j}\leqslant\delta_j,\, j=1,\dots,n}}\|I_0x\|_{Y_0}^p\geqslant \int_{\mathbb R^d}|(i\xi)^{\alpha^0}x_\varepsilon(\xi)|^p\, d\xi \geqslant\widehat{A}|\widehat{\xi}_\varepsilon|^{p\alpha^0},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widehat{\xi}_\varepsilon=(\widehat{\xi}_1-\varepsilon,\dots,\widehat{\xi}_d-\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Устремив $\varepsilon$ к нулю, будем иметь Таким образом,
Определим операторы $S_j\colon L_p(\mathbb R^d)\to L_p(\mathbb R^d)$, $j=1,\dots,n$, следующим образом:
$$
\begin{equation*}
S_jz(\xi)=\begin{cases} a_j(\xi)z(\xi), &j\in J_0, \\ 0, &j\notin J_0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_j(\,{\cdot}\,)$, $j\in J_0$, удовлетворяют условиям (3.3)–(3.5). Имеем
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sum_{j=1}^nS_jz_j(\,{\cdot}\,)\biggl\|_{L_p(\mathbb R^d)}^p=\int_{\mathbb R^d} \biggl|\sum_{j\in J_0}a_j(\xi)z_j(\xi)\biggr|^p\,d\xi.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
По неравенству Гёльдера при $1<p<\infty$
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{j\in J_0}a_j(\xi)z_j(\xi)\biggr|=\biggl|\sum_{j\in J_0} \frac{a_j(\xi)}{\widehat{\lambda}_j^{1/p}}\widehat{\lambda}_j^{1/p}z_j(\xi)\biggr| \leqslant\Omega(\xi)\biggl(\sum_{j\in J_0}\widehat{\lambda}_j|z_j(\xi)|^p\biggr)^{1/p},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Omega(\xi)=\biggl(\sum_{j\in J_0} \frac{|a_j(\xi)|^{p'}}{\widehat{\lambda}_j^{p'/p}}\biggr)^{1/p'},\qquad \frac1{p}+\frac1{p'}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
При $p=1$ получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{j\in J_0}a_j(\xi)z_j(\xi)\biggr|\leqslant\Omega(\xi)\biggl(\sum_{j\in J_0} \widehat{\lambda}_j|z_j(\xi)|\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
в котором
$$
\begin{equation*}
\Omega(\xi)=\max_{j\in J_0}\frac{|a_j(\xi)|}{\widehat{\lambda}_j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя полученные неравенства, из (3.7) следует, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{j=1}^nS_jz_j(\,{\cdot}\,)\biggl\|_{L_p(\mathbb R^d)}^p\leqslant\int_{\mathbb R^d} \Omega^p(\xi)\biggl(\sum_{j\in J_0}\widehat{\lambda}_j|z_j(\xi)|^p\biggr)\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условий (3.4), (3.5) получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{j=1}^nS_jz_j(\,{\cdot}\,)\biggl\|_{L_p(\mathbb R^d)}^p\leqslant\sum_{j\in J_0} \widehat{\lambda}_j\|z_j(\,{\cdot}\,)\|_{L_p(\mathbb R^d)}^p.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается показать, что множество функций $a_j(\,{\cdot}\,)$, $j\in J_0$, удовлетворяющих условиям (3.3)–(3.5) не пусто. Рассмотрим на $\mathbb R^d$ функцию
$$
\begin{equation*}
f(\eta)=-1+\sum_{j\in J_0}\widehat{\lambda}_je^{-p\langle\alpha^j-\alpha^0,\eta\rangle}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это, очевидно, выпуклая функция, причем легко убедиться, что $f(\widehat{\eta})=0$ и производная этой функции в точке $\widehat{\eta}$ также равна нулю. Отсюда вытекает, что $f(\eta)\geqslant0$ при всех $\eta\in\mathbb R^d$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
-e^{-p\langle\alpha^0,\eta\rangle}+\sum_{j\in J_0} \widehat{\lambda}_je^{-p\langle\alpha^j,\eta\rangle}\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Положив $e^{-\eta_j}=|\xi_j|$, $j=1,\dots,d$, получаем, что
$$
\begin{equation}
-|\xi|^{p\alpha^0}+\sum_{j\in J_0}\widehat{\lambda}_j|\xi|^{p\alpha^j}\geqslant0
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
при всех $\xi\in\mathbb R^d$. Положим
$$
\begin{equation*}
a_j(\xi)=(i\xi)^{\alpha^0}\frac{\widehat{\lambda}_j(-i\xi)^{\alpha^j}|\xi|^{(p-2)\alpha^j}} {\sum_{j\in J_0}\widehat{\lambda}_j|\xi|^{p\alpha^j}},\qquad j\in J_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко убедиться, что условие (3.3) выполнено. При $p=1$, учитывая (3.8), получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{|a_j(\xi)|}{\widehat{\lambda}_j}=\frac{|\xi|^{\alpha^0}}{\sum_{j\in J_0} \widehat{\lambda}_j|\xi|^{\alpha^j}}\leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $p>1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{j\in J_0}\frac{|a_j(\xi)|^{p'}}{\widehat{\lambda}_j^{p'/p}} &=\sum_{j\in J_0} \frac{|\xi|^{p'\alpha^0}\widehat{\lambda}_j^{p'}|\xi|^{(p-1)p'\alpha^j}}{\widehat{\lambda}_j^{p'/p} \bigl(\sum_{j\in J_0} \widehat{\lambda}_j|\xi|^{p\alpha^j}\bigr)^{p'}} =\frac{|\xi|^{p'\alpha^0} \sum_{j\in J_0}\widehat{\lambda}_j|\xi|^{p\alpha^j}}{\bigl(\sum_{j\in J_0} \widehat{\lambda}_j|\xi|^{p\alpha^j}\bigr)^{p'}} \\ &=\Biggl(\frac{|\xi|^{p\alpha^0}}{\sum_{j\in J_0} \widehat{\lambda}_j|\xi|^{p\alpha^j}}\Biggr)^{p'-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь из (3.8) следует, что Пусть $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in\mathbb R^d_+$. Для функции $x(\,{\cdot}\,)\in L_2(\mathbb R^d)$ через $D^\alpha x(\,{\cdot}\,)$ будем обозначать производную порядка $\alpha$ по Вейлю, определяемую равенством
$$
\begin{equation*}
D^\alpha x(t)=\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}(i\xi)^\alpha Fx(\xi) e^{i\langle\xi,t\rangle}\,d\xi,
\end{equation*}
\notag
$$
где $Fx(\,{\cdot}\,)$ – преобразование Фурье функции $x(\,{\cdot}\,)$. Пусть $\alpha^0,\dots,\alpha^n\in\mathbb R_+^d$. Положим Множество измеримых функций $x(\,{\cdot}\,)$, для которых $\|D^{\alpha^j}x(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb R^d)}<\infty$, $j=1,\dots,n$, обозначим через $X$. Рассмотрим задачу (2.1) для $Y_0=\dots=Y_n=L_2(\mathbb R^d)$. Используя ранее введенные обозначения для $p=2$, получаем следующую теорему.Теорема 3. Пусть $\alpha^0\in\operatorname{co}\{\alpha^1,\dots,\alpha^n\}$. Тогда для любого $J\subset\{1,\dots,n\}$ При этом все методы где $\Lambda_j\colon L_2(\mathbb R^d)\to L_2(\mathbb R^d)$, $j\in J_0$, – линейные непрерывные операторы, действия которых в образах Фурье имеют вид $F\Lambda_jy_j(\,{\cdot}\,)=a_j(\,{\cdot}\,) Fy_j(\,{\cdot}\,)$, а измеримые функции $a_j(\,{\cdot}\,)$, $j\in J_0$, удовлетворяют условиям для п. в. $\xi\in\mathbb R^d$, и являются оптимальными для соответствующей задачи оптимального восстановления. Доказательство. Переходя к образам Фурье и пользуясь равенством Парсеваля, условия
$$
\begin{equation*}
\bigl\|D^{\alpha^j}x(\,{\cdot}\,)\bigr\|_{L_2(\mathbb R^d)}^2 \leqslant\delta_j^2,\qquad \bigl\|D^{\alpha^j}x(\,{\cdot}\,)-y_j(\,{\cdot}\,)\bigr\|_{L_2(\mathbb R^d)}^2 \leqslant\delta_j^2
\end{equation*}
\notag
$$
могут быть переписаны в виде
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^d}|\xi|^{2\alpha^j}|f(\xi)|^2\,d\xi\leqslant\delta_j^2,\qquad \int_{\mathbb R^d} \bigl|(i\xi)^{\alpha^j}f(\xi)-Y_j(\xi)\bigr|^2 \leqslant\delta_j^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
f(\,{\cdot}\,)=\frac1{(2\pi)^{d/2}}Fx(\,{\cdot}\,),\qquad Y_j(\,{\cdot}\,)=\frac1{(2\pi)^{d/2}}Fy_j(\,{\cdot}\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого метода восстановления $\varphi\colon(L_2(\mathbb R^d))^m\to L_2(\mathbb R^d)$, $m=\operatorname{card}\overline{J}$,
$$
\begin{equation*}
\bigl\|D^{\alpha^0}x(\,{\cdot}\,)-\varphi(y)(\,{\cdot}\,)\bigr\|^2_{L_2(\mathbb R^d)}=\int_{\mathbb R^d} \bigl|(i\xi)^{\alpha^0}f(\xi)-\Phi(y)(\xi)\bigr|^2\, d\xi,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Phi(y)(\,{\cdot}\,)=\frac1{(2\pi)^{d/2}}F\varphi(y)(\,{\cdot}\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым рассматриваемая задача эквивалентна задаче (для $p=2$), решение которой дано в теореме 2. Теорема доказана. Отметим, что из теорем 1 и 2 вытекает равенство
$$
\begin{equation}
\sup_{\|D^{\alpha^j}x(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb R^d)} \leqslant \delta_j,\, j=1,\dots,n} \bigl\|D^{\alpha^0}x(\,{\cdot}\,)\bigr\|_{L_2(\mathbb R^d)}=e^{-S(\alpha^0)}=\prod_{j\in J_0} \delta_j^{\theta_j}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Экстремальная задача в левой части (3.9) тесно связана с нахождением точной константы в обобщенном неравенстве Харди–Литлвуда–Полиа, которое в рассматриваемом случае имеет вид
$$
\begin{equation*}
\bigl\|D^{\alpha^0}x(\,{\cdot}\,)\bigr\|_{L_2(\mathbb R^d)}\leqslant\prod_{j\in J_0} \bigl\|D^{\alpha^j}x(\,{\cdot}\,)\bigr\|^{\theta_j}_{L_2(\mathbb R^d)}
\end{equation*}
\notag
$$
(подробнее см. [23]).
§ 4. Обобщенное уравнение теплопроводности на сфереПоложим
$$
\begin{equation*}
\mathbb S^{d-1}=\{x\in\mathbb R^d\colon |x|=1\},\qquad d\geqslant2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $|x|=\sqrt{x_1^2+\dots+x_d^2}$. Оператор Лапласа–Бельтрами $\Delta_S$ определяется для функций, заданных на единичной сфере $\mathbb S^{d-1}$, следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\Delta_SY(x')=\Delta Y\biggl(\frac x{|x|}\biggr)\bigg|_{x=x'},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Delta$ – оператор Лапласа. Обозначим через $\mathcal{H}_k$ множество сферических гармоник порядка $k$. Известно (см. [24]), что $L_2(\mathbb S^{d-1})=\sum_{k=0}^\infty\mathcal{H}_k$, при этом $\dim\mathcal{H}_0=a_0=1$,
$$
\begin{equation*}
\dim\mathcal{H}_k=a_k=(d+2k-2)\frac{(d+k-3)!}{(d-2)!\,k!},\qquad k=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем в $\mathcal{H}_k$ ортонормированный базис $Y_j^{(k)}(\,{\cdot}\,)$, $j=1,\dots,a_k$. Для $\alpha>0$ оператор $(-\Delta_S)^{\alpha/2}$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
(-\Delta_S)^{\alpha/2}Y(\,{\cdot}\,)=\sum_{k=1}^\infty\Lambda_k^{\alpha/2}\sum_{j=1}^{ a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}(\,{\cdot}\,),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
Y(\,{\cdot}\,)=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}(\,{\cdot}\,),
\end{equation*}
\notag
$$
а $\Lambda_k=k(k+d-2)$ – собственные значения оператора $-\Delta_S$. Рассмотрим задачу нахождения решения уравнения с начальным условием где $f(\,{\cdot}\,)\in L_2(\mathbb S^{d-1})$. Если
$$
\begin{equation}
f(\,{\cdot}\,)=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}(\,{\cdot}\,),
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
то методом Фурье несложно получить решение этой задачи
$$
\begin{equation*}
u(x',t)=\sum_{k=0}^\infty e^{-\Lambda_k^{\alpha/2}t}\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj} Y_j^{(k)}(x').
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что приближенно известны решения рассматриваемой задачи при $t=0,T$. Требуется восстановить решение в момент времени $\tau$, $0<\tau<T$. Для функций $f(\,{\cdot}\,)\in L_2(\mathbb S^{d-1})$, имеющих разложение (4.2), положим $I_1f(\,{\cdot}\,)\,{=}\,f(\,{\cdot}\,)$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_0f(\,{\cdot}\,)&=\sum_{k=0}^\infty e^{-\Lambda_k^{\alpha/2}\tau} \sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}(\,{\cdot}\,), \\ I_2f(\,{\cdot}\,)&=\sum_{k=0}^\infty e^{-\Lambda_k^{\alpha/2}T}\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}(\,{\cdot}\,). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым мы приходим к задаче (2.1) при $X=Y_0=Y_1=Y_2=L_2(\mathbb S^{d-1})$, $p=2$ и $J=\varnothing$. Теорема 4. Если $\delta_1/\delta_2\in\bigl[e^{\Lambda_m^{\alpha/2}T},e^{\Lambda_{m+1}^{\alpha/2}T}\bigr]$ при некотором $m\in\mathbb Z_+$, то для всех $\alpha_{kj}$, $k=0,1,\dots$, $j=1,\dots,a_k$, удовлетворяющих условию Доказательство. Рассмотрим экстремальную задачу
$$
\begin{equation*}
\|I_0f(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}^2\to\max,\qquad\|I_jf(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}^2\leqslant\delta_j^2,\quad j=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Эту задачу можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\sum_{k=0}^\infty e^{-2\Lambda_k^{\alpha/2}\tau}f_k^2\to\max,\qquad\sum_{k=0}^\infty f_k^2\leqslant\delta_1^2,\qquad\sum_{k=0}^\infty e^{-2\Lambda_k^{\alpha/2}T}f_k^2\leqslant\delta_2^2,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где Пусть $\delta_1/\delta_2\in\bigl[e^{\Lambda_m^{\alpha/2}T},e^{\Lambda_{m+1}^{\alpha/2}T}\bigr]$. Определим $f_m$ и $f_{m+1}$ из условий
$$
\begin{equation*}
f_m^2+f_{m+1}^2=\delta_1^2,\qquad e^{-2\Lambda_m^{\alpha/2}T}f_m^2+e^{-2\Lambda_{m+1}^{\alpha/2}T}f_{m+1}^2=\delta_2^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
f_m^2=\frac{\delta_2^2-\delta_1^2e^{-2\Lambda_{m+1}^{\alpha/2}T}}{e^{-2\Lambda_m^{\alpha/2}T} -e^{-2\Lambda_{m+1}^{\alpha/2}T}},\qquad f_{m+1}^2 =\frac{\delta_1^2e^{-2\Lambda_m^{\alpha/2}T}-\delta_2^2}{e^{-2\Lambda_m^{\alpha/2}T} -e^{-2\Lambda_{m+1}^{\alpha/2}T}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Последовательность $\{f_k\}$, в которой $f_k=0$ при $k\ne m,m+1$ является допустимой в экстремальной задаче (4.4). Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sup_{\substack{f(\,{\cdot}\,)\in L_2(\mathbb S^{d-1})\\\|I_jf(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})} \leqslant\delta_j,\, j=1,2}}\|I_0f(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}^2 &\geqslant e^{-2\Lambda_m^{\alpha/2}\tau}f_m^2+e^{-2\Lambda_{m+1}^{\alpha/2}\tau}f_{m+1}^2 \\ &=\lambda_1\delta_1^2+\lambda_2\delta_2^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\delta_1/\delta_2\in(0,1]$, то последовательность $\{f_k\}$, в которой $f_0=\delta_1^2$, а $f_k=0$ при $k\geqslant1$, является допустимой в задаче (4.4). Поэтому в данном случае
Пусть снова $\delta_1/\delta_2\in\bigl[e^{\Lambda_m^{\alpha/2}T},e^{\Lambda_{m+1}^{\alpha/2}T}\bigr]$. Для функций $f(\,{\cdot}\,)\in L_2(\mathbb S^{d-1})$, имеющих разложение (4.2), определим операторы $S_j\colon L_2(\mathbb S^{d-1})\to L_2(\mathbb S^{d-1})$, $j=1,2$, равенствами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1f(\,{\cdot}\,)&=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}e^{-\Lambda_k^{\alpha/2}T} \bigl(e^{\Lambda_k^{\alpha/2}(T-\tau)}-\alpha_{kj}\bigr)c_{kj}Y_j^{(k)}(\,{\cdot}\,), \\ S_2f(\,{\cdot}\,)&=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}\alpha_{kj}c_{kj}Y_j^{(k)}(\,{\cdot}\,), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha_{kj}$ удовлетворяют условию (4.3). Нетрудно убедиться, что $I_0=S_1I_1+S_2I_2$. Для $f_1(\,{\cdot}\,),f_2(\,{\cdot}\,)\in L_2(\mathbb S^{d-1})$ имеем
$$
\begin{equation*}
\|S_1f_1(\,{\cdot}\,)+S_2f_2(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}^2 =\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}\bigl(e^{-\Lambda_k^{\alpha/2}T} \bigl(e^{\Lambda_k^{\alpha/2}(T-\tau)}-\alpha_{kj}\bigr)f_{kj}^{(1)}+ \alpha_{kj}f_{kj}^{(2)}\bigr)^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $f_{kj}^{(1)},f_{kj}^{(2)}$ – коэффициенты Фурье функций $f_1(\,{\cdot}\,),f_2(\,{\cdot}\,)$. Из неравенства Коши–Буняковского, учитывая условие (4.3), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(e^{-\Lambda_k^{\alpha/2}T} \bigl(e^{\Lambda_k^{\alpha/2}(T-\tau)}-\alpha_{kj}\bigr)f_{kj}^{(1)}+ \alpha_{kj}f_{kj}^{(2)}\bigr)^2 \\ &\qquad\leqslant\biggl(\frac{\bigl(e^{\Lambda_k^{\alpha/2}(T-\tau)}-\alpha_{kj}\bigr)^2} {\lambda_1e^{2\Lambda_k^{\alpha/2}T}}+ \frac{\alpha_{kj}^2}{\lambda_2}\biggr) \bigl(\lambda_1\bigl(f_{kj}^{(1)}\bigr)^2+\lambda_2\bigl(f_{kj}^{(2)}\bigr)^2\bigr) \\ &\qquad\leqslant\lambda_1\bigl(f_{kj}^{(1)}\bigr)^2+\lambda_2\bigl(f_{kj}^{(2)}\bigr)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|S_1f_1(\,{\cdot}\,)+S_2f_2(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}^2 &\leqslant\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}\bigl(\lambda_1\bigl(f_{kj}^{(1)}\bigr)^2 +\lambda_2\bigl(f_{kj}^{(2)}\bigr)^2\bigr) \\ &=\lambda_1\|f_1(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}^2+\lambda_2\|f_2(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что существуют $\alpha_{kj}$, $k=0,1,\dots$, $j=1,\dots,a_k$, удовлетворяющие условию (4.3). Рассмотрим на плоскости $(x,y)$ множество точек с координатами
$$
\begin{equation*}
x_k=e^{-2\Lambda_k^{\alpha/2}T},\quad y_k=e^{-2\Lambda_k^{\alpha/2}\tau},\qquad k=0,1,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Это множество точек лежит на вогнутой кривой $y=x^{\tau/T}$. Проведем прямую через точки $(x_{m+1},y_{m+1})$ и $(x_m,y_m)$. Нетрудно убедиться, что уравнение этой прямой записывается в виде $y=\lambda_1+\lambda_2x$. В силу вогнутости кривой, на которой лежат рассматриваемые точки, имеем
$$
\begin{equation*}
y_k\leqslant\lambda_1+\lambda_2x_k,\qquad k=0,1,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для всех $k=0,1,\dots$
$$
\begin{equation*}
\frac{e^{-2\Lambda_k^{\alpha/2}\tau}}{\lambda_1+\lambda_2e^{-2\Lambda_k^{\alpha/2}T}}\leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat{\alpha}_{{kj}}=\frac{\lambda_2e^{\Lambda_k^{\alpha/2}(T-\tau)}} {\lambda_1e^{2\Lambda_k^{\alpha/2}T}+\lambda_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{\bigl(e^{\Lambda_k^{\alpha/2}(T-\tau)}-\widehat{\alpha}_{kj}\bigr)^2} {\lambda_1e^{2\Lambda_k^{\alpha/2}T}}+ \frac{\widehat{\alpha}_{kj}^2}{\lambda_2}=\frac{e^{2\Lambda_k^{\alpha/2}(T-\tau)}} {\lambda_1e^{2\Lambda_k^{\alpha/2}T}+\lambda_2}= \frac{e^{-2\Lambda_k^{\alpha/2}\tau}}{\lambda_1+\lambda_2e^{-2\Lambda_k^{\alpha/2}T}}\leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\delta_1/\delta_2\in(0,1]$, то положим $S_1=I_0$, а $S_2=0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|S_1f_1(\,{\cdot}\,)+S_2f_2(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}^2 &=\|I_0f_1(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}^2=\sum_{k=0}^\infty e^{-2\Lambda_k^{\alpha/2}\tau}\sum_{j=1}^{a_k}\bigl(f_{kj}^{(1)}\bigr)^2 \\ &\leqslant\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}\bigl(f_{kj}^{(1)}\bigr)^2=\|f_1(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь утверждение доказываемой теоремы вытекает из теоремы 1. Условие (4.3) можно записать в эквивалентной форме
$$
\begin{equation*}
(\alpha_{kj}-\widehat{\alpha}_{kj})^2\leqslant\lambda_1\lambda_2e^{4\Lambda_k^{\alpha/2}T} \frac{-e^{-2\Lambda_k^{\alpha/2}\tau}+\lambda_1+\lambda_2e^{-2\Lambda_k^{\alpha/2}T}} {\bigl(\lambda_1+\lambda_2e^{-2\Lambda_k^{\alpha/2}T}\bigr)^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым все $\alpha_{kj}$, удовлетворяющие условию (4.3), имеют вид
$$
\begin{equation*}
\alpha_{kj}=\widehat{\alpha}_{kj}+\theta_{kj}e^{2\Lambda_k^{\alpha/2}T}\sqrt{\lambda_1\lambda_2}\, \frac{\sqrt{-e^{-2\Lambda_k^{\alpha/2}\tau}+\lambda_1+\lambda_2e^{-2\Lambda_k^{\alpha/2}T}}} {\lambda_1+\lambda_2e^{-2\Lambda_k^{\alpha/2}T}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\theta_{kj}|\leqslant1$. Если рассмотреть задачу об оптимальном восстановлении решения в момент времени $\tau$ по неточно заданному решению в момент времени $T>\tau$ на классе
$$
\begin{equation*}
W=\{f(\,{\cdot}\,)\in L_2(\mathbb S^{d-1})\colon \|f(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}\leqslant\delta_1\},
\end{equation*}
\notag
$$
то из той же теоремы 1 (при $J=\{1\}$) будет следовать, что методы $\widehat{\varphi}(0,y_2)(\,{\cdot}\,)$ будут оптимальными. Оказывается, что среди этого семейства оптимальных методов есть подсемейство оптимальных методов, которые обладают некоторым преимуществом по сравнению с остальными. Для того чтобы указать это подсемейство, сформулируем сначала расширенный вариант рассматриваемой задачи. Пусть задан некоторый класс функций $\mathcal F\subset L_2(\mathbb S^{d-1})$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, e(\mathcal F,\delta,\varphi) &=\sup_{\substack{f(\,{\cdot}\,)\in\mathcal F,\, y(\,{\cdot}\,)\in L_2(\mathbb S^{d-1})\\\|u(\,{\cdot}\,,T)-y(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}\leqslant\delta}} \|u(\,{\cdot}\,,\tau)-\varphi(y)(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}, \\ E(\mathcal F,\delta) &=\inf_{\varphi\colon L_2(\mathbb S^{d-1})\to L_2(\mathbb S^{d-1})}e(\mathcal F,\delta,\varphi). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Задача о нахождении погрешности оптимального восстановления $E(\mathcal F,\delta)$ и соответствующего оптимального метода отличается от рассмотренной ранее лишь произвольным классом $\mathcal F$. Будем говорить, что метод $\varphi(y)(\,{\cdot}\,)$ точен на множестве $L\subset L_2(\mathbb S^{d-1})$, если $\varphi(u(\,{\cdot}\,,T))(\,{\cdot}\,)=u(\,{\cdot}\,,\tau)$ для всех $f(\,{\cdot}\,)\in L$. Предложение 1. Если $\widehat{\varphi}(y)(\,{\cdot}\,)$ – оптимальный метод для класса $\mathcal F$, являющийся линейным и точным на множестве $L\subset L_2(\mathbb S^{d-1})$, содержащем нуль, то он оптимален и на классе $\mathcal F+L$. При этом Доказательство. Пусть $f(\,{\cdot}\,)\in\mathcal F+L$, $f(\,{\cdot}\,)=f_1(\,{\cdot}\,)+f_2(\,{\cdot}\,)$, где $f_1(\,{\cdot}\,)\,{\in}\,\mathcal F$, $f_2(\,{\cdot}\,)\,{\in}\, L$. Обозначим через $u_j(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)$ решение уравнения (4.1) с начальной функцией $f_j(\,{\cdot}\,)$, $j=1,2$. Пусть функция $y(\,{\cdot}\,)\in L_2(\mathbb S^{d-1})$ такова, что $\|u(\,{\cdot}\,,T)-y(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}\leqslant\delta$. Положим $y_1(\,{\cdot}\,)=y(\,{\cdot}\,)-u_2(\,{\cdot}\,,T)$. Ясно, что $y_1(\,{\cdot}\,)\in L_2(\mathbb S^{d-1})$. Так как $u_1(\,{\cdot}\,,T)-y_1(\,{\cdot}\,)=u(\,{\cdot}\,,T)-y(\,{\cdot}\,)$, то
$$
\begin{equation}
\|u_1(\,{\cdot}\,,T)-y_1(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}\leqslant\delta.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Из линейности и точности $\widehat{\varphi}(y)(\,{\cdot}\,)$ на $L$ следует равенство
$$
\begin{equation}
\|u(\,{\cdot}\,,\tau)-\widehat{\varphi}(y)(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})} =\|u_1(\,{\cdot}\,,\tau)-\widehat{\varphi}(y_1)(\,{\cdot}\,)\|_{L_2(\mathbb S^{d-1})}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Выражение справа в (4.7) в силу (4.6) не превосходит величины $e(\mathcal F,\delta,\widehat{\varphi})$, которая равна $E(\mathcal F,\delta)$, так как метод $\widehat{\varphi}(y)(\,{\cdot}\,)$ оптимален. Учитывая это обстоятельство и переходя в левой части (4.7) к верхней грани по $f(\,{\cdot}\,)\in\mathcal F+L$ и соответствующим $y(\,{\cdot}\,)$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
e(\mathcal F+L,\delta,\widehat{\varphi})\leqslant E(\mathcal F,\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из того, что $\mathcal F\subset\mathcal F+L$, имеем
$$
\begin{equation*}
E(\mathcal F,\delta)\leqslant E(\mathcal F+L,\delta)\leqslant e(\mathcal F+L,\delta,\widehat{\varphi})\leqslant E(\mathcal F,\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\widehat{\varphi}(y)(\,{\cdot}\,)$ – оптимальный метод для класса $\mathcal F+L$, и справедливо равенство (4.5). Предложение доказано. Предположим, что $\delta_1/\delta_2\in\left[e^{\Lambda_m^{\alpha/2}T},e^{\Lambda_{m+1}^{\alpha/2}T}\right]$. Нетрудно показать, что при достаточно большом $m$ выполняется неравенство $\lambda_2\geqslant1$. Тем самым, если $\delta_1$ фиксировано, то при достаточно малых $\delta_2$ выполняется неравенство $\lambda_2\geqslant1$. В этом случае положим
$$
\begin{equation*}
\widehat{k}=\max\biggl\{k\in\mathbb Z_+\colon \Lambda_k\leqslant\biggl(\frac{\ln\lambda_2}{2(T-\tau)}\biggr)^{2/\alpha}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Несложно убедиться, что
$$
\begin{equation*}
\widehat{k}=\Biggl[\sqrt{\frac{(d-2)^2}4+\biggl(\frac{\ln\lambda_2}{2(T-\tau)}\biggr)^{2/\alpha}}- \frac{d-2}2\Biggr]
\end{equation*}
\notag
$$
($[a]$ – целая часть числа $a$). Рассмотрим методы
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varphi}_0(y)(\,{\cdot}\,)=\sum_{k=0}^{\widehat{k}}\sum_{j=1}^{a_k} e^{\Lambda_k^{\alpha/2}(T-\tau)}Y_j^{(k)}(\,{\cdot}\,)+ \sum_{k=\widehat{k}+1}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}\alpha_{kj}y_{kj}Y_j^{(k)}(\,{\cdot}\,),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha_{kj}$, $k=\widehat{k}+1,\widehat{k}+2,\dots$, $j=1,\dots,a_k$, удовлетворяют условию (4.3). В силу того, что для
$$
\begin{equation*}
\alpha_{kj}=e^{\Lambda_k^{\alpha/2}(T-\tau)},\qquad k=0,\dots\widehat{k},\quad j=1,\dots,a_k,
\end{equation*}
\notag
$$
выполнено условие (4.3), методы $\widehat{\varphi}_0(y)(\,{\cdot}\,)$ – оптимальные на классе $W$. Кроме того, методы $\widehat{\varphi}_0(y)(\,{\cdot}\,)$ – точные на подпространстве
$$
\begin{equation*}
L_{\widehat{k}}=\sum_{k=0}^{\widehat{k}}\mathcal{H}_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, пусть $f(\,{\cdot}\,)\in L_{\widehat{k}}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
f(\,{\cdot}\,)=\sum_{k=0}^{\widehat{k}}\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}(\,{\cdot}\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
u(x',T)=\sum_{k=0}^{\widehat{k}} e^{-\Lambda_k^{\alpha/2}T}\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}(x').
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varphi}_0(u(\,{\cdot}\,,T))(\,{\cdot}\,)=\sum_{k=0}^{\widehat{k}} e^{-\Lambda_k^{\alpha/2}\tau}\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}(\,{\cdot}\,)=u(\,{\cdot}\,,\tau).
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым из предложения 1 вытекает, что методы $\widehat{\varphi}_0(y)(\,{\cdot}\,)$ не только оптимальны на классе $W$, но они остаются оптимальными на более широком классе $W+L_{\widehat{k}}$.
§ 5. Оптимальное восстановление решений разностных уравненийРассмотрим процесс распространения тепла в бесконечном стержне, описываемый дискретной моделью, а именно, неявной разностной схемой
$$
\begin{equation}
\frac{u_{s+1,j}-u_{sj}}\tau=\frac{u_{s+1,j+1}-2u_{s+1,j}+u_{s+1,j-1}}{h^2}.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Здесь $\tau$ и $h$ – положительные числа, $(s,j)\in\mathbb Z_+\times\mathbb Z$, $u_{s,j}$ – температура стержня в момент времени $s\tau$ в точке $jh$. Обозначим через $l_{2,h}$ множество векторов $x=\{x_j\}_{j\in\mathbb Z}$, для которых
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{l_{2,h}}=\biggl(h\sum_{j\in\mathbb Z}|x_j|^2\biggr)^{1/2}<\infty,\qquad h>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что приближенно измерена температура стержня в нулевой момент времени и в момент времени $n\tau$, т. е. приближенно известны векторы $u_0=\{u_{0,j}\}$ и $u_n=\{u_{n,j}\}$, или, точнее говоря, нам известны векторы $y_1,y_2\in l_{2,h}$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\|u_0-y_1\|_{l_{2,h}}\leqslant\delta_1,\qquad \|u_n-y_2\|_{l_{2,h}}\leqslant\delta_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_j>0$, $j=1,2$. По этой информации требуется восстановить вектор $u_m=\{u_{m,j}\}$, где $0<m<n$, т. е. восстановить значение температуры стержня в момент времени $m\tau$. Тем самым мы снова приходим к задаче (2.1), в которой $X=Y_0=Y_1=Y_2= l_2$, $p=2$, $J=\varnothing$, а операторы $I_j\colon l_{2,h}\to l_{2,h}$, $j=0,1,2$, определены равенствами Преобразованием Фурье последовательности $x=\{x_j\}_{j\in\mathbb Z}\in l_{2,h}$ назовем функцию Несложно убедиться, что $Fx(\,{\cdot}\,)\in L_2([-\pi/h,\pi/h])$ и
$$
\begin{equation}
\|Fx(\,{\cdot}\,)\|^2_{L_2([-\pi/h,\pi/h])}=2\pi\|x\|^2_{l_{2,h}}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Применим преобразование Фурье к обеим частям равенства (5.1):
$$
\begin{equation*}
h\sum_{j\in\mathbb Z}\frac{u_{s+1,j}-u_{sj}}\tau\, e^{-ijh\xi}=h\sum_{j\in\mathbb Z} \frac{u_{s+1,j+1}-2u_{s+1,j}+u_{s+1,j-1}}{h^2} \, e^{-ijh\xi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
\frac{U_{s+1}(\xi)-U_s(\xi)}\tau=\frac{e^{ih\xi}-2+e^{-ih\xi}}{h^2}U_{s+1}(\xi),
\end{equation*}
\notag
$$
где Тем самым
$$
\begin{equation*}
U_{s+1}(\xi)=\biggl(1+\frac{4\tau}{h^2}\sin^2\frac{h\xi}2\biggr)^{-1}U_s(\xi).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
U_s(\xi)=\Lambda^s(\xi)U_0(\xi),\quad\Lambda(\xi)=\biggl(1+\frac{4\tau}{h^2} \sin^2\frac{h\xi}2\biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $a=(1+4\tau/h^2)^{-1}$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda_1 &=\begin{cases} 0, &\dfrac{\delta_2}{\delta_1}\in(0,a^n], \\ \biggl(1-\dfrac mn\biggr)\biggl(\dfrac{\delta_2}{\delta_1}\biggr)^{2m/n}, &\dfrac{\delta_2}{\delta_1}\in(a^n,1), \\ 1, &\dfrac{\delta_2}{\delta_1}\in[1,+\infty), \end{cases} \\ \lambda_2 &= \begin{cases} a^{2(m-n)}, &\dfrac{\delta_2}{\delta_1}\in(0,a^n], \\ \dfrac mn\biggl(\dfrac{\delta_2}{\delta_1}\biggr)^{2(m/n-1)}, &\dfrac{\delta_2}{\delta_1}\in(a^n,1), \\ 0, &\dfrac{\delta_2}{\delta_1}\in[1,+\infty). \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5. Имеет место равенство Доказательство. Рассмотрим экстремальную задачу
$$
\begin{equation*}
\|u_m\|^2_{l_{2,h}}\to\max,\qquad\|u_0\|^2_{l_{2,h}}\leqslant\delta_1^2,\qquad\|u_n\|^2_{l_{2,h}}\leqslant\delta_2^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к образам Фурье, получим следующую задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac1{2\pi}\|\Lambda^m(\,{\cdot}\,) U_0(\,{\cdot}\,)\|^2_{L_2([-\pi/h,\pi/h])}\to\max, \qquad\frac1{2\pi}\|U_0(\,{\cdot}\,)\|^2_{L_2([-\pi/h,\pi/h])}\leqslant\delta_1^2, \\ \frac1{2\pi}\|\Lambda^n(\,{\cdot}\,) U_0(\,{\cdot}\,)\|^2_{L_2([-\pi/h,\pi/h])}\leqslant\delta_2^2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Предположим, что $\delta_2/\delta_1\in(a^n,1)$. Функция $\Lambda(\xi)$ при $\xi\in[0,\pi/h]$ монотонно убывает от $1$ до $a$. Поэтому найдется $\widehat{\xi}\in(0,\pi/h)$ такое, что $\Lambda^n(\widehat{\xi})=\delta_2/\delta_1$. Положим для достаточно малых $\varepsilon>0$
$$
\begin{equation*}
\widehat{U}_0(\xi)=\begin{cases} \sqrt{\dfrac{2\pi}\varepsilon}\,\delta_1, &\xi\in(\widehat{\xi},\widehat{\xi}+\varepsilon), \\ 0, &\xi\notin(\widehat{\xi},\widehat{\xi}+\varepsilon). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\frac1{2\pi}\|\widehat{U}_0(\,{\cdot}\,)\|^2_{L_2([-\pi/h,\pi/h])}=\delta_1^2,
\end{equation*}
\notag
$$
а
$$
\begin{equation*}
\frac1{2\pi}\|\Lambda^n(\,{\cdot}\,) \widehat{U}_0(\,{\cdot}\,)\|^2_{L_2([-\pi/h,\pi/h])} =\frac{\delta_1^2}\varepsilon\int_{\widehat{\xi}}^{\widehat{\xi}+\varepsilon} \Lambda^{2n}(\xi)\,d\xi\leqslant\delta_1^2\Lambda^{2n}(\widehat{\xi})=\delta_2^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым функция $\widehat{U}_0(\,{\cdot}\,)$ является допустимой в задаче (5.4). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sup_{\substack{u_0\in l_{2,h}\\\|u_0\|^2_{l_{2,h}}\leqslant\delta_1^2\\\|u_n\|^2_{l_{2,h}}\leqslant\delta_2^2}} \|u_m\|^2_{l_{2,h}} &\geqslant\frac1{2\pi}\|\Lambda^m(\,{\cdot}\,)\widehat{U}_0(\,{\cdot}\,)\|^2_{L_2([-\pi/h,\pi/h])} =\frac{\delta_1^2} \varepsilon\int_{\widehat{\xi}}^{\widehat{\xi}+\varepsilon} \Lambda^{2m}(\xi)\,d\xi \\ &=\delta_1^2\Lambda^{2m}(c), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c\in[\widehat{\xi},\widehat{\xi}+\varepsilon]$. Переходя к пределу при $\varepsilon\to0$, получаем
$$
\begin{equation*}
\sup_{\substack{u_0\in l_{2,h}\\\|u_0\|^2_{l_{2,h}}\leqslant\delta_1^2\\\|u_n\|^2_{l_{2,h}}\leqslant\delta_2^2}} \|u_m\|^2_{l_{2,h}}\geqslant\delta_1^2\Lambda^{2m}(\widehat{\xi})=\delta_1^{2(1-m/n)}\delta_2^{2m/n}= \lambda_1\delta_1^2+\lambda_2\delta_2^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $\delta_2/\delta_1\in(0,a^n]$. Положим для достаточно малых $\varepsilon>0$
$$
\begin{equation*}
\widehat{U}_0(\xi)=\begin{cases} \sqrt{\dfrac{2\pi}\varepsilon}\, \dfrac{\delta_2}{\Lambda^n(\xi)}, &\xi\in\biggl(\dfrac{\pi}{h}-\varepsilon,\dfrac{\pi}{h}\biggr], \\ 0, &\xi\notin\biggl(\dfrac{\pi}{h}-\varepsilon,\dfrac{\pi}{h}\biggr]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac1{2\pi}\|\Lambda^n(\,{\cdot}\,) \widehat{U}_0(\,{\cdot}\,)\|^2_{L_2([-\pi/h,\pi/h])}=\delta_2^2,
\end{equation*}
\notag
$$
а
$$
\begin{equation*}
\frac1{2\pi}\|\widehat{U}_0(\,{\cdot}\,)\|^2_{L_2([-\pi/h,\pi/h])} =\frac{\delta_2^2}\varepsilon\int_{\pi/h-\varepsilon}^{\pi/h} \Lambda^{-2n}(\xi)\,d\xi\leqslant\delta_2^2a^{-2n}\leqslant\delta_1^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым функция $\widehat{U}_0(\,{\cdot}\,)$ является допустимой в задаче (5.4). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sup_{\substack{u_0\in l_{2,h}\\\|u_0\|^2_{l_{2,h}} \leqslant\delta_1^2\\\|u_n\|^2_{l_{2,h}}\leqslant\delta_2^2}} \|u_m\|^2_{l_{2,h}} &\geqslant\frac1{2\pi}\|\Lambda^m(\,{\cdot}\,)\widehat{U}_0(\,{\cdot}\,)\|^2_{L_2([-\pi/h,\pi/h])} \\ &=\frac{\delta_2^2}\varepsilon\int_{\pi/h-\varepsilon}^{\pi/h}\Lambda^{2(m-n)}(\xi)\,d\xi =\delta_2^2\Lambda^{2(m-n)}(c), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c\in[\pi/h-\varepsilon,\pi/h]$. Переходя к пределу при $\varepsilon\to0$, получаем
$$
\begin{equation*}
\sup_{\substack{u_0\in l_{2,h}\\\|u_0\|^2_{l_{2,h}}\leqslant\delta_1^2\\\|u_n\|^2_{l_{2,h}}\leqslant\delta_2^2}} \|u_m\|^2_{l_{2,h}}\geqslant\delta_2^2a^{2(m-n)}=\lambda_2\delta_2^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Если, наконец, $\delta_2/\delta_1\in[1,+\infty)$, положим для достаточно малых $\varepsilon>0$
$$
\begin{equation*}
\widehat{U}_0(\xi)=\begin{cases} \sqrt{\dfrac{2\pi}\varepsilon}\delta_1, &\xi\in(0,\varepsilon), \\ 0, &\xi\notin(0,\varepsilon). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac1{2\pi}\|\widehat{U}_0(\,{\cdot}\,)\|^2_{L_2([-\pi/h,\pi/h])}=\delta_1^2,
\end{equation*}
\notag
$$
а
$$
\begin{equation*}
\frac1{2\pi}\|\Lambda^n(\,{\cdot}\,) \widehat{U}_0(\,{\cdot}\,)\|^2_{L_2([-\pi/h,\pi/h])} =\frac{\delta_1^2}\varepsilon\int_0^\varepsilon \Lambda^{2n}(\xi)\,d\xi\leqslant\delta_1^2\leqslant\delta_2^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, функция $\widehat{U}_0(\,{\cdot}\,)$ является допустимой в задаче (5.4). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sup_{\substack{u_0\in l_{2,h}\\ \|u_0\|^2_{l_{2,h}}\leqslant\delta_1^2 \\ \|u_n\|^2_{l_{2,h}}\leqslant\delta_2^2}} \!\|u_m\|^2_{l_{2,h}} {\geqslant}\, \frac1{2\pi}\|\Lambda^m(\,{\cdot}\,)\widehat{U}_0(\,{\cdot}\,)\|^2_{L_2([-\pi/h,\pi/h])} {=}\,\frac{\delta_1^2} \varepsilon\int_0^\varepsilon\Lambda^{2m}(\xi)\,d\xi \,{=}\,\delta_1^2\Lambda^{2m}(c),
\end{equation*}
\notag
$$
где $c\in[0,\varepsilon]$. Переходя к пределу при $\varepsilon\to0$, получаем
$$
\begin{equation*}
\sup_{\substack{u_0\in l_{2,h}\\\|u_0\|^2_{l_{2,h}}\leqslant\delta_1^2\\\|u_n\|^2_{l_{2,h}}\leqslant\delta_2^2}} \|u_m\|^2_{l_{2,h}}\geqslant\delta_1^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Займемся теперь оценкой (2.3). Пусть $\delta_2/\delta_1\in(a^n,1)$. Определим операторы $S_j\colon l_{2,h}\to l_{2,h}$, $j=1,2$, так, чтобы
$$
\begin{equation*}
F(S_1u)(\,{\cdot}\,)=\Lambda^m(\,{\cdot}\,)(1-\alpha(\,{\cdot}\,))Fu(\,{\cdot}\,),\qquad F(S_2u)(\,{\cdot}\,)=\Lambda^{m-n}(\,{\cdot}\,)\alpha(\,{\cdot}\,) Fu(\,{\cdot}\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно убедиться, что для всех $u_0\in l_{2,h}$ Поэтому $I_0=S_1I_1+S_2I_2$. В силу (5.2) получаем
$$
\begin{equation*}
\|S_1z_1+S_2z_2\|_{l_{2,h}}^2=\frac1{2\pi}\int_{-\pi/h}^{\pi/h}\Lambda^{2m}(\xi) |(1-\alpha(\xi))Fz_1(\xi)+\Lambda^{-n}(\xi)\alpha(\xi)Fz_2(\xi)|^2\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Из неравенства Коши–Буняковского вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\Lambda^{2m}(\xi)|(1-\alpha(\xi))Fz_1(\xi)+\Lambda^{-n} \alpha(\xi)Fz_2(\xi)|^2 \leqslant\Omega(\xi)(\lambda_1|Fz_1(\xi)|^2+\lambda_2|Fz_2(\xi)|^2),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Omega(\xi)=\Lambda^{2m}(\xi)\biggl(\frac{|1-\alpha(\xi)|^2} {\lambda_1}+\Lambda^{-2n}(\xi)\frac{|\alpha(\xi)|^2}{\lambda_2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условия (5.3) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|S_1z_1+S_2z_2\|_{l_{2,h}}^2 &\leqslant\frac1{2\pi}\int_{-\pi/h}^{\pi/h}\bigl(\lambda_1|Fz_1(\xi)|^2+ \lambda_2|Fz_2(\xi)|^2\bigr)\,d\xi \\ &=\lambda_1\|z_1\|^2_{l_{2,h}}+\lambda_2\|z_2\|^2_{l_{2,h}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 1 вытекает, что в рассматриваемом случае методы являются оптимальными, а
$$
\begin{equation*}
E_\varnothing(I,\delta)=\sqrt{\lambda_1\delta_1^2+\lambda_2\delta_2^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим теперь случай, когда $\delta_2/\delta_1\in(0,a^n]$. Определим оператор $S_2\colon l_{2,h}\to l_{2,h}$ так, чтобы
$$
\begin{equation*}
F(S_2u)(\,{\cdot}\,)=\Lambda^{m-n}(\,{\cdot}\,) Fu(\,{\cdot}\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как то $I_0=S_2I_2$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\|S_2z_2\|_{l_{2,h}}^2=\frac1{2\pi}\int_{-\pi/h}^{\pi/h}\Lambda^{2(m-n)}(\xi)|Fz_2(\xi)|^2\,d\xi \leqslant a^{2(m-n)}\|z_2\|^2_{l_{2,h}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 1 вытекает, что в рассматриваемом случае метод является оптимальным, а
Наконец, если $\delta_2\geqslant\delta_1$, определим оператор $S_1\colon l_{2,h}\to l_{2,h}$ так, чтобы
$$
\begin{equation*}
F(S_1u)(\,{\cdot}\,)=\Lambda^m(\,{\cdot}\,) Fu(\,{\cdot}\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $I_0=S_1I_1$ и
$$
\begin{equation*}
\|S_1z_1\|_{l_{2,h}}^2=\frac1{2\pi}\int_{-\pi/h}^{\pi/h}\Lambda^{2m}(\xi)|Fz_1(\xi)|^2\,d\xi \leqslant\|z_1\|^2_{l_{2,h}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 1 следует, что метод
является оптимальным, а Докажем, что при $\delta_2/\delta_1\in(a^n,1)$ множество функций $\alpha(\,{\cdot}\,)$, удовлетворяющих условию (5.3), не пусто. Рассмотрим вогнутую функцию Проведем касательную к графику этой функции в точке $x_0>0$. Нетрудно убедиться, что касательная будет иметь вид $y=\widehat{\lambda}_1+\widehat{\lambda}_2x$, где
$$
\begin{equation*}
\widehat{\lambda}_1=\biggl(1-\frac mn\biggr)x_0^{m/n},\qquad\widehat{\lambda}_2=\frac mnx_0^{m/n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу вогнутости кривой (5.5) для всех $x\geqslant0$ будет выполняться неравенство
$$
\begin{equation*}
x^{m/n}\leqslant\widehat{\lambda}_1+\widehat{\lambda}_2x.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
x=\Lambda^{2n}(\xi),\qquad x_0=\biggl(\frac{\delta_2}{\delta_1}\biggr)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\widehat{\lambda}_j=\lambda_j$, $j=1,2$, и для всех $\xi\in[-\pi/h,\pi/h]$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\Lambda^{2m}(\xi)\leqslant\lambda_1+\lambda_2\Lambda^{2n}(\xi).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\Lambda^{2m}(\xi)}{\lambda_1+\lambda_2\Lambda^{2n}(\xi)}\leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Положив получаем Теорема доказана. Если рассмотреть задачу об оптимальном восстановлении решения в момент времени $m\tau$ по неточно заданному решению в момент времени $n\tau$ на классе
$$
\begin{equation*}
W=\{u_0\in l_{2,h}\colon\|u_0\|_{l_{2,h}}\leqslant\delta_1\},
\end{equation*}
\notag
$$
то из той же теоремы 1 будет следовать, что методы $\widehat{\varphi}(0,y_2)(\,{\cdot}\,)$ будут оптимальными. Отметим, что для непрерывной модели распространения тепла результат, полученный в работе [25] для $t_1=0$, $t_2=T$ ($n=2$) и промежуточной точки $\tau_0$, в которой требуется восстановить распределение температуры, в одномерном случае совпадет с предельным значением погрешности восстановления и одним из методов, построенных в теореме 5 при $h\to0$ и $\tau\to0$ (в этом случае надо положить $a=0$). Отметим также, что задача, аналогичная рассмотренной, когда процесс распространения тепла происходит на окружности, рассматривалась в работе [22]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Osi24} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|