| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) О безусловности дробного хаоса Радемахера в симметричных пространствах С. В. Асташкинab, К. В. Лыковcd a Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева b Bahçesehir University, Istanbul, Turkey c Белорусский государственный университет, г. Минск d Институт математики НАН Беларуси, г. Минск
Английская версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9406e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеКак обычно, функции Радемахера определяются следующим образом: если $0\leqslant t\leqslant 1$, то где через $[x]$ обозначена целая часть числа $x$ (т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Согласно классическому неравенству Хинчина [1] (см. также [2]), для любого $p\geqslant 1$ существует константа $C_p$ такая, что для произвольных $a_k\in\mathbb{R}$, $k=1,2,\dots$,
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sum_{j=1}^\infty a_jr_j\biggr\|_{L_p[0,1]}\leqslant C_p\biggl(\sum_{j=1}^\infty a_j^2\biggr)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Хорошо известно, что $C_p\leqslant \sqrt{p}$ (точное значение этих констант было найдено в работе У. Хаагерупа [3]). С другой стороны, в [4] С. Шарек доказал, что для всех $p\geqslant 1$ и $a_k\in\mathbb{R}$, $k=1,2,\dots$,
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{2}}\biggl(\sum_{j=1}^\infty a_j^2\biggr)^{1/2}\leqslant \biggl\|\sum_{j=1}^\infty a_jr_j\biggr\|_{L_p[0,1]}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Эти соотношения вызвали большое количество исследований и обобщений, нашли многочисленные применения в различных разделах анализа. Напомним [5], что А. Я. Хинчин доказал неравенство (1), “преследуя цель выяснения правильной скорости сходимости в усиленном законе больших чисел Э. Бореля”. В то же время с точки зрения геометрии банаховых пространств неравенства (1) и (2) показывают, что пространства $L_p[0,1]$, $1\leqslant p<\infty$, не являясь гильбертовыми при $p\neq 2$, тем не менее содержат подпространства, изоморфные $\ell_2$. Вопрос о том, в каких симметричных пространствах $X$ последовательность $\{r_j\}_{j=1}^\infty$ эквивалентна каноническому базису в $\ell_2$, был решен в работе В. А. Родина и Е. М. Семенова [6], доказавших, что последнее имеет место тогда и только тогда, когда $X$ содержит сепарабельную часть пространства Орлича $\operatorname{Exp}L^{2}$, построенного по функции $N_2(u)=e^{u^{2}}-1$. В работе [7] аналогичный вопрос изучался для системы $\{r_{j_1}(t)\,{\cdot}\, r_{j_2}(t)\}_{j_1>j_2}$ произведений функций Радемахера, именуемой хаосом Радемахера второго порядка. Там было показано, что эта система эквивалентна в $X$ каноническому базису в $\ell_2$ тогда и только тогда, когда $X$ содержит сепарабельную часть пространства Орлича $\operatorname{Exp}L$, построенного по функции $N_1(u)=e^u-1$. Кроме того, оба последних свойства оказались равносильными формально более слабому (чем эквивалентность каноническому базису в $\ell_2$) свойству безусловной базисности системы $\{r_{j_1}(t)\,{\cdot}\, r_{j_2}(t)\}_{j_1>j_2}$ в $X$ [8]. Отметим, что сама система Радемахера является безусловной (и даже симметричной с константой 1) базисной последовательностью в любом симметричном пространстве [2; предложение 2.2]. Следующий шаг в изучении поведения хаоса Радемахера в симметричных пространствах был сделан в работе авторов [9] с использованием важного понятия комбинаторной размерности, разработанного Р. Блеем (см. [10]–[14]). А именно, в [9] показано, что вышеупомянутые результаты работ [7] и [8] распространяются на неполный хаос $\{r_{j_1}(t)\,{\cdot}\, r_{j_2}(t)\cdots r_{j_d}(t)\}_{(j_1,j_2,\dots,j_d)\in \mathcal{A}}$ в случае, если комбинаторная размерность индексного множества $\mathcal{A}\subset \mathbb{N}^d$ равна $d$. Основная цель настоящей работы состоит в том, чтобы выяснить, при каких условиях на индексное множество $\mathcal{A}$ из безусловности системы $\{r_{j_1}(t)\cdot r_{j_2}(t)\cdots r_{j_d}(t)\}_{(j_1,j_2,\dots,j_d)\in \mathcal{A}}$ в симметричном пространстве $X$ вытекает ее эквивалентность в $X$ каноническому базису в $\ell_2$. В частности, имея в виду отмеченную выше специфику поведения хаоса по сравнению с системой Радемахера, мы хотим найти количественную зависимость поведения такой системы от комбинаторной размерности соответствующего индексного множества. Для достижения этой цели мы несколько модифицируем понятие комбинаторной размерности, используя односторонние плотностные оценки индексного множества $\mathcal{A}$, что позволяет существенно расширить сферу действия соотношений вида (1). Важно отметить один новый эффект, проявившийся в этой работе. Как показывает теорема 1, определенные плотностные оценки индексного множества гарантируют, что “удаленность” симметричного пространства $X$ от “крайнего” пространства $L_\infty$ является следствием даже более слабого, нежели безусловность, так называемого свойства случайной безусловной расходимости системы $\{r_{j_1}(t)\cdot r_{j_2}(t)\cdots r_{j_d}(t)\}_{(j_1,j_2,\dots,j_d)\in \mathcal{A}}$ в $X$. Тем самым в этом случае последнее свойство такой системы оказывается равносильным ее эквивалентности в симметричном пространстве $X$ каноническому базису в $\ell_2$ (см. теорему 2). В частном случае, для пространств Орлича $L_M$, изучаемые базисные свойства системы $\{r_{j_1}(t)\cdot r_{j_2}(t)\cdots r_{j_d}(t)\}_{(j_1,j_2,\dots,j_d)\in \mathcal{A}}$, как и ранее, могут быть охарактеризованы также в терминах непрерывного вложения в $L_M$ некоторого экспоненциального пространства Орлича (теорема 3). Заметим, что близкие результаты для пространств Орлича были получены ранее в работах Р. Блея и Л. Ге [15], [16]. Использование свойств системы, связанных с ее безусловностью, эти авторы заменяют более тщательным анализом комбинаторной размерности ее индексного множества. В заключительной части работы показано, что всякая равномерно ограниченная бесселева система (в частности, хаос Радемахера) имеет в симметричном пространстве $X$, удовлетворяющем условию $\operatorname{Exp}L^{2}\subset X$, свойство случайной безусловной сходимости, которое в определенном смысле противоположно свойству случайной безусловной расходимости. Кроме того, мы приводим конкретный пример, иллюстрирующий интересный факт “расхождения” в оценках моментов дробного хаоса Радемахера и его асимптотического поведения (см. также [14]). § 2. Предварительные сведенияВсюду далее вложение одного банахова пространства в другое понимается как непрерывное, т. е. $X_1\subset X_0$ означает, что из $x\in X_1$ следует: $x\in X_0$ и $\|x\|_{X_0}\leqslant C\|x\|_{X_1}$ для некоторого $C>0$. Если важна конкретная константа, с которой имеет место вложение $X_1$ в $X_0$, то в случае выполнения последнего неравенства мы будем писать также $X_1\stackrel{C}{\subset} X_0$. Выражение вида $F_1\asymp F_2$ означает, что $cF_1\leqslant F_2\leqslant CF_1$ для некоторых констант $c>0$ и $C>0$, причем эти константы не зависят от всех или части аргументов $F_1$ и $F_2$, и из контекста должно быть ясно, о каких аргументах идет речь. Через $|\,{\cdot}\,|$ далее обозначаем модуль числа или функции, а также мощность множества, в зависимости от контекста. 2.1. Симметричные пространстваПодробное изложение теории симметричных пространств можно найти в монографиях [17]–[19]. Пусть $\mathcal{S}$ – множество измеримых и конечных почти всюду вещественных функций (классов эквивалентности) на $[0,1]$ c обычной мерой Лебега $\mu$. Функция распределения функции $x=x(t)\in\mathcal{S}$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
n_x(\tau)=\mu \{t\colon x(t)>\tau\},\qquad \tau\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем называть две функции $x$ и $y$ равнораспределенными, если их функции распределения совпадают, и равноизмеримыми, если функции $|x|$ и $|y|$ равнораспределены. Перестановкой функции $x=x(t)\in\mathcal{S}$ будем называть неотрицательную функцию $x^*=x^*(t)$, определенную на $[0,1]$, равноизмеримую с $x(t)$, убывающую и непрерывную слева. Она всегда существует, единственна и ее можно явно задать формулой [17; гл. 2, § 2, см. текст, следующий за определением 2.2]: Определение 1. Говорят, что банахово пространство $X$ функций из $\mathcal{S}$ идеально, если из условий $x\in X$, $y\in \mathcal S$ и $|y|\leqslant|x|$ следует: $y\in X$ и $\|y\|_X\leqslant\|x\|_X$. Банахово идеальное пространство $X$ называется симметричным, если из того, что $x\in X$, $y\in \mathcal S$ и $y^*=x^*$, вытекает, что $y\in X$ и $\|y\|_X=\|x\|_X$. Из определения следует, что симметричное пространство вместе с каждой функцией $x$ содержит и все равноизмеримые с ней функции. Приведем примеры симметричных пространств на $[0,1]$. Как обычно, пространство $L_p=L_p[0,1]$, $1\leqslant p<\infty$, состоит из всех функций $x\in \mathcal S$, для которых
$$
\begin{equation*}
\|x\|_p:=\biggl(\int_0^1|x(t)|^p\,dt\biggr)^{1/p}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом при $p>q$ имеет место вложение $L_p\stackrel{1}{\subset} L_q$. Предельным случаем является пространство $L_\infty$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\|x\|_\infty:=\operatorname*{ess\,sup}_{t\in[0,1]}|x(t)|=\inf\bigl\{C\colon \mu\{t\in [0,1]\colon |x(t)|>C\}=0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Естественным обобщением $L_p$-пространств являются пространства Орлича. Пусть $M=M(u)$ – функция Орлича, т. е. выпуклая неотрицательная функция на $[0,\infty)$, не равная нулю тождественно, $M(0)=0$. Пространство Орлича $L_M$ состоит из всех измеримых функций $x=x(t)$, для которых существует такое $\lambda>0$, что
$$
\begin{equation*}
\int_0^1 M\biggl(\frac{|x(t)|}{\lambda }\biggr)\,dt<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Норма в $L_M$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
{\|x \|} _{L_M}:=\inf\biggl\{\lambda>0 \colon \int_0^1 M\biggl(\frac{|x(t)|}{\lambda }\biggr)\,dt\leqslant 1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, $L_{M_p}=L_p$, если $M_p(u)=u^p$. Через $\operatorname{Exp}L^{r}$, $r>0$, будет обозначаться экспоненциальное пространство Орлича, построенное по такой функции Орлича $N_r(u)$, что для некоторого $u_0>0$ выполнено $\log N_r(u)\asymp u^{r}$ при $u>u_0$. Далее мы будем использовать следующее экстраполяционное описание экспоненциальных пространств Орлича $\operatorname{Exp}L^{r}$ (см. [20; формулы (2)–(4)], [21; § 2] или [13; гл. X, лемма 18]):
$$
\begin{equation}
\|x\|_{\operatorname{Exp} L^{r}}\asymp \sup_{p\geqslant 1}\frac{\|x\|_p}{p^{1/r}}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Подробнее о пространствах Орлича см., например, в книге [22]. Пусть $\varphi$ – непрерывная возрастающая вогнутая функция на $[0,1]$, $\varphi(0)\,{=}\,0$. Пространство Лоренца $\Lambda(\varphi)$, соответственно пространство Марцинкевича $\mathcal{M}(\varphi)$, состоит из всех функций $x\in\mathcal{S}$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{\Lambda(\varphi)}:=\int_0^1x^*(t)\,d\varphi(t),
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{\mathcal{M}(\varphi)}:=\sup_{t\in(0,1]}\frac{\varphi(t)}{t}\int_0^tx^*(s)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого симметричного пространства на $[0,1]$ справедливы непрерывные вложения $L_\infty\subset X\subset L_1$ [17; теорема II.4.1]. Замыкание $L_\infty$ в симметричном пространстве $X$ называется его сепарабельной частью и обозначается через $X^\circ$. Если $X\ne L_\infty$, то $X^\circ$ – сепарабельное симметричное пространство. Важной характеристикой симметричного пространства является его фундаментальная функция Здесь и всюду далее через $\chi_A$ обозначается характеристическая функция (индикатор) множества $A\,{\subset}\,[0,1]$. Фундаментальная функция квазивогнута (т. е. $\phi_X(t)$ возрастает, $\phi_X(t)/t$ убывает и $\phi_X(0)=0$). Напомним также, что всякая квазивогнутая функция эквивалентна своей наименьшей вогнутой мажоранте (в смысле отношения $\asymp $, определенного выше) [17; следствие из теоремы II.1.1]. В частности,
$$
\begin{equation*}
\phi_{\mathcal{M}(\varphi)}(t)=\phi_{\Lambda(\varphi)}(t)=\varphi(t),\qquad\phi _{L_M}(t)= \frac{1}{M^{-1}(1/t)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы неоднократно будем использовать то обстоятельство, что при определенных условиях пространства Орлича и Марцинкевича могут совпасть. А именно, $L_M=\mathcal{M}(\varphi)$ тогда и только тогда, когда и
$$
\begin{equation}
\int_0^1M\biggl(\frac{\varepsilon}{\varphi(t)}\biggr)\,dt<\infty\quad\text{для некоторого }\varepsilon>0
\end{equation}
\tag{5}
$$
(см. [23], [24]). Пространство Лоренца $\Lambda(\varphi)$ обладает следующим экстремальным свойством в классе симметричных пространств: если $\phi_X(t)\leqslant C\varphi(t)$ для некоторого $C>0$ и всех $t\in[0,1]$, то $\Lambda(\varphi)\subset X$ (см. [17; теорема II.5.5]). В частности, пространство Лоренца $\Lambda(\varphi)$ является самым узким среди всех симметричных пространств с фундаментальной функцией $\varphi(t)$. Самое широкое в том же классе – пространство Марцинкевича $\mathcal{M}(\varphi)$ [17; теорема II.5.7]. Таким образом, если симметричное пространство $X$ такое, что $\phi_X=\varphi$, то имеют место непрерывные вложения 2.2. Комбинаторная размерность и $(\alpha,\beta)$-множестваОсновываясь на ранее введенном понятии дробного декартова произведения [10], Р. Блей пришел к следующему определению комбинаторной размерности множества (см. [11], а также монографию [13; гл. XIII], содержащую немало интересных примеров применения этого понятия). Пусть $\mathbb{N}^d:=\mathbb{N}\times\mathbb{N}\times\dots\times\mathbb{N}$ ($d$ множителей), где $\mathbb{N}$ – множество натуральных чисел. Определение 2. Будем говорить, что множество $\mathcal{A}\subset\mathbb{N}^d$ имеет комбинаторную размерность $\alpha$, если 1) для произвольного $\beta>\alpha$ существует $C_\beta>0$ такое, что для любого $n\in\mathbb{N}$ и всякого набора множеств $B_1,B_2,\dots,B_d\subset\mathbb{N}$, $|B_1|=|B_2|=\dots=|B_d|=n$, 2) для любых $\gamma<\alpha$ и $k\in\mathbb{N}$ найдутся $n>k$ и множества $B_1,B_2,\dots,B_d\subset\mathbb{N}$, $|B_1|=|B_2|=\dots=|B_d|=n$, для которыхИзвестно, что для каждого вещественного $\alpha\in[1,d]$ существует множество размерности $\alpha$ (см. [12] или [13; гл. XIII]). Заметим, что в определении 2 есть некоторая асимметрия между нижней и верхней плотностными оценками на множество $\mathcal{A}$. Далее для нас будет полезна следующая модификация этого определения, позволяющая рассматривать эти оценки по отдельности. Определение 3. Пусть $\mathcal{A}\subset\mathbb{N}^d$, $\alpha\geqslant 1$. Будем говорить, что множество $\mathcal{A}$ является супер-$\alpha$-множеством, если выполняется условие: для некоторого $c_{\mathcal{A}}>0$ и каждого $n\in\mathbb{N}$ найдутся множества $B_1,B_2,\dots, B_d$ такие, что $|B_j|=n$, $j=1,2,\dots,d$, и Обратим внимание, что в отличие от части 2) определения 2 в последнем определении множества $B_1,B_2,\dots, B_d$, для которых выполнена нижняя плотностная оценка, существуют для каждого натурального $n$. Определение 4. Пусть $\mathcal{A}\subset\mathbb{N}^d$, $\beta\leqslant d$. Будем говорить, что $\mathcal{A}$ – суб-$\beta$-множество, если выполняется условие: для некоторого $C_{\mathcal{A}}>0$, каждого $n\in\mathbb{N}$ и всех множеств $B_1,B_2,\dots, B_d$, $|B_j|=n$, $j=1,2,\dots,d$, имеет место неравенство Определение 5. Множество $\mathcal{A}\subset\mathbb{N}^d$, являющееся одновременно супер-$\alpha$- и суб-$\beta$-множеством, будем называть $(\alpha,\beta)$-множеством. Перечислим некоторые непосредственные следствия введенных определений. Если $\mathcal{A}$ является $(\alpha,\beta)$-множеством, то $\alpha\leqslant\beta$. Любое супер-$\alpha$-множество – $(\alpha,d)$-множество. Всякое $(\alpha,\alpha)$-множество $\mathcal{A}$ имеет комбинаторную размерность $\alpha$; про такое множество будем говорить, что оно имеет точную комбинаторную размерность $\alpha$. Отметим также, что для любых $1\leqslant\alpha<\beta\leqslant d$ существует $(\alpha,\beta)$-множество, которое не является $(\alpha',\beta')$-множеством, если выполнено хотя бы одно из неравенств $\alpha<\alpha'$ или $\beta>\beta'$ [13; гл. XIII, теорема 19]. 2.3. Системы случайной безусловной сходимости и расходимости в банаховом пространствеНапомним, что последовательность $\{x_k\}_{k=1}^\infty$ элементов банахова пространства $X$ называется базисной, если она является базисом в замыкании своей линейной оболочки. Если же последовательность $\{x_{\pi(k)}\}_{k=1}^\infty$ будет базисной для любой биекции $\pi\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, то $\{x_k\}_{k=1}^\infty$ называется безусловной базисной последовательностью. Хорошо известно, что базисная последовательность $\{x_k\}_{k=1}^\infty$ в банаховом пространстве $X$ безусловна тогда и только тогда, когда существует $D>0$ такое, что для любого $n\in\mathbb{N}$, произвольного набора знаков $\{\theta_k\}_{k=1}^n$, $\theta_k=\pm1$, и всех $a_k\in\mathbb{R}$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{k=1}^n\theta_ka_kx_k\biggr\|_X\leqslant D\biggl\|\sum_{k=1}^na_kx_k\biggr\|_X.
\end{equation*}
\notag
$$
Детальную информацию о свойствах базисных и безусловных базисных последовательностей можно найти, например, в монографиях [25]–[27]. Каждое из следующих понятий является естественным ослаблением только что приведенного. Определение 6. Базисная последовательность $\{x_k\}_{k=1}^\infty$ в банаховом пространстве $X$ называется системой случайной безусловной сходимости с константой $D$ или $D$-RUC, соответственно системой случайной безусловной расходимости с константой $D$ или $D$-RUD, где $D>0$, если для любых $n\in\mathbb{N}$ и $a_k\in\mathbb{R}$, $k=1,2,\dots,n$, выполняется неравенство соответственно RUC (соответственно RUD) системой будем называть $D$-RUC (соответственно $D$-RUD) систему с некоторой константой $D$, точное значение которой для нас не важно. Обозначение RUC (соответственно RUD) является аббревиатурой выражения “Random Unconditional Convergence” (соответственно “Random Unconditional Divergence”). Понятие RUC системы было введено в работе [28]; там же были доказаны многие важные свойства таких систем. В дальнейшем поведение RUC и RUD систем в различных функциональных пространствах интенсивно изучалось (см., например, [29]–[34]). Ясно, что базисная последовательность безусловна в банаховом пространстве тогда и только тогда, когда она является там одновременно RUC и RUD последовательностью (см. также [32; предложение 2.3]). Кроме того, из определений легко следует, что базисная последовательность $1$-RUC (соответственно $1$-RUD), если и только если она $1$-безусловна [32; предложения 2.7 и 2.8]. Через $\Delta^d$, $d\in\mathbb{N}$, будем обозначать “нижнетреугольное” подмножество $\mathbb{N}^d$:
$$
\begin{equation*}
\Delta^d:=\{(j_1,j_2,\dots,j_d)\in\mathbb{N}^d\colon j_1>j_2>\dots>j_d\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $d\in\mathbb{N}$ и $(j_1,j_2,\dots,j_d)\in \Delta^d$ всюду полагаем $\jmath:=(j_1,j_2,\dots,j_d)$ и $\mathbf{r}_\jmath(t):=r_{j_1}(t)\cdot r_{j_2}(t)\cdots r_{j_d}(t)$, a через $\{r_\jmath\}$ будем обозначать обычную последовательность функций Радемахера (см. § 1), пронумерованную в некотором (фиксированном) порядке индексами $\jmath=(j_1,j_2,\dots,j_d)\in \Delta^d$. Известно, что система $\{\mathbf{r}_\jmath\}_{\jmath\in \Delta^d}$, рассматриваемая в лексикографическом порядке индексов $\jmath$, является базисной в любом симметричном пространстве $X$ (см. [9; теорема 2]). Однако для результатов, изложенных в настоящей статье, порядок нумерации системы $\{\mathbf{r}_\jmath\}_{\jmath\in \Delta^d}$ не имеет значения.
§ 3. Основные результатыПервый результат, играющий ключевую роль в этой работе, показывает, что при некоторых не ограничительных условиях на плотностные характеристики индексного множества наличие RUD свойства соответствующей подсистемы хаоса Радемахера в симметричном пространстве $X$ гарантирует то, что $X$ расположено достаточно “далеко” от пространства $L_\infty$. Теорема 1. Пусть $X$ – симметричное пространство, $d\in\mathbb{N}$, $\alpha,\beta,b\in\mathbb{R}$, $1\leqslant \alpha,\beta,b\leqslant d$, $\alpha+b/\beta>b+1$. Предположим также, что $\mathcal{A}\subset\Delta^d$ – такое $(\alpha,\beta)$-множество, что для некоторого $D>0$ и любого конечного множества $\mathcal{A}'\subset \mathcal{A}$ выполняется неравенство Тогда $X\supset \operatorname{Exp}L^{2/b}$. В частности, это утверждение верно, если $\mathcal{A}$ является $(\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon)$-множеством для некоторого $\alpha>b$ и достаточно малого $\varepsilon>0$, а система $\{\mathbf{r}_\jmath\}_{\jmath\in\mathcal{A}}$ является RUD последовательностью в $X$. Доказательство. Прежде всего, заметим, что функции $\varphi(t)=\log^{-b/2}(e/t)$ и $M(u)=\exp(u^{2/b})-1$ удовлетворяют условиям (4) и (5). Поэтому $\operatorname{Exp}L^{2/b}= \mathcal{M}(\log^{-b/2}(e/t))$. Так как для любого $\gamma>{b}/{2}$ пространство $\mathcal{M}(\log^{-b/2}(e/t))$ непрерывно вложено в пространство Лоренца $\Lambda(\log^{-\gamma}(e/t))$ (см. [9; следствие 1]), то теорема будет доказана, если показать, что $\Lambda(\log^{-\gamma}(e/t))\subset X$ при некотором $\gamma>{b}/{2}$.
Из условий теоремы следует, что $\alpha>1$. Выберем $\alpha_0\in(1,\alpha)$ так, чтобы $\alpha_0+b/\beta>b+1$. Тогда по условию для каждого достаточно большого $n\in\mathbb{N}$ найдутся множества $B_1,B_2,\dots, B_d$ такие, что $|B_j|=n$, $j=1,2,\dots,d$, и
$$
\begin{equation*}
|\mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n|\geqslant n^{\alpha_0},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{B}_n:=B_1\times B_2\times\dots \times B_d$. Зафиксируем $n$ и одно из множеств $\mathcal{B}_n$, удовлетворяющих этому условию. Так как $|\mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n|\leqslant n^d$, то существует $\delta\in[\alpha_0,d]$, зависящее от $n$ и $\mathcal{B}_n$, для которого Тогда найдется множество $U_n\subset[0,1]$ такое, что $\mu(U_n)>1-2(e/2)^{-dn}$ и для всех $u\in U_n$
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}r_\jmath(u) \mathbf{r}_\jmath\biggr\|_\infty \leqslant \sqrt{2d}\, n^{(\delta+1)/2}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Действительно, в силу (8) и неравенства Бернштейна (см., например, [35; гл. 1, § 6, формула (42)] или [2; предложение 1.2]) для любого $t\in[0,1]$ и $\lambda>0$
$$
\begin{equation*}
\mu\biggl\{u\in[0,1]\colon \biggl|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}{r}_\jmath(u) \mathbf{r}_{\jmath}(t)\biggr|>\lambda\biggr\}<2e^{-\lambda^2/(2n^\delta)},
\end{equation*}
\notag
$$
и, в частности,
$$
\begin{equation*}
\mu\biggl\{u\in[0,1]\colon \biggl|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}{r}_\jmath(u) \mathbf{r}_{\jmath}(t)\biggr|>\sqrt{2d}\, n^{(\delta+1)/2}\biggr\}<2e^{-dn}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что последовательность $\{\mathbf{r}_{\jmath}\}_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}$ содержит не более чем $dn$ различных функций Радемахера. Следовательно, для различных $t\in[0,1]$ существует не более $2^{dn}$ вариантов значений последовательности $\{\mathbf{r}_{\jmath}(t)\}_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}$. Поэтому в силу предыдущей оценки
$$
\begin{equation*}
\mu\biggl\{u\colon \biggl|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}{r}_\jmath(u) \mathbf{r}_{\jmath}(t)\biggr|>\sqrt{2d}\, n^{(\delta+1)/2}\text{ для некоторого }t\in [0,1]\biggr\} <2^{dn}\cdot2e^{-dn}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если теперь через $U_n$ обозначить дополнение множества, для меры которого получена последняя оценка, то $\mu(U_n)>1-2(e/2)^{-dn}$ и для всех $u\in U_n$ будет выполнено (9).
Так как для всех $u\in[0,1]$ (см. (8))
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}r_\jmath(u) \mathbf{r}_\jmath\biggr\|_\infty\leqslant n^\delta,
\end{equation*}
\notag
$$
то в силу (9)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^1 \biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}r_\jmath(u) \mathbf{r}_\jmath\biggr\|_\infty\,du \\ &\qquad\leqslant \int_{[0,1]\setminus U_n} \biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}r_\jmath(u) \mathbf{r}_\jmath\biggr\|_\infty\,du+\int_{U_n} \biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}r_\jmath(u) \mathbf{r}_\jmath\biggr\|_\infty\,du \\ &\qquad\leqslant n^\delta\cdot 2\biggl(\frac2{e}\biggr)^{dn}+\sqrt{2d}\, n^{(\delta+1)/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\int_0^1 \biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}r_\jmath(u) \mathbf{r}_\jmath\biggr\|_\infty\,du \leqslant C n^{(\delta+1)/2},
\end{equation}
\tag{10}
$$
где константа $C$ зависит только от $d$.
С другой стороны, для некоторого множества точек $t\in[0,1]$ меры $2^{-dn}$ все участвующие в сумме функции Радемахера будут принимать значение $1$, откуда
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}\mathbf{r}_\jmath\biggr\|_X \geqslant \|n^\delta\chi_{(0,2^{-dn})}\|_X \geqslant n^\delta\phi_X(2^{-dn}),
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $\phi_X$ – фундаментальная функция пространства $X$. Используя последовательно условие (7), вложение $L_\infty\subset X$, оценку (10) и неравенство $\alpha_0\leqslant\delta$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \phi_X(2^{-dn}) &\leqslant n^{-\delta}\biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}\mathbf{r}_\jmath\biggr\|_X\leqslant n^{-\delta}D\int_0^1 \biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}r_\jmath(u) \mathbf{r}_\jmath\biggr\|_X\,du \\ &\leqslant n^{-\delta}C_1\int_0^1 \biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}r_\jmath(u) \mathbf{r}_\jmath\biggr\|_\infty\,du \leqslant C_2n^{-(\delta-1)/2}\leqslant C_3n^{-(\alpha_0-1)/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как это неравенство верно для всех достаточно больших $n\in\mathbb{N}$, а функция $\phi_X$ квазивогнута, то для всех $t\in[0,1]$
$$
\begin{equation*}
\phi_X(t)\leqslant C\log^{-\gamma_0} \biggl(\frac{e}{t}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_0=(\alpha_0-1)/2>0$. Значит, $\Lambda(\log^{-\gamma_0}(e/t))\subset\Lambda(\phi_X)\subset X$, и если $\gamma_0\,{>}\,b/2$, т. е. если $\alpha_0>b+1$, то доказательство закончено. В случае, когда $\gamma_0\leqslant b/2$ (эквивалентно $\alpha_0\leqslant b+1$), поступим следующим образом.
Согласно неравенствам Р. Блея (см. [13; гл. VII, формула (9.30) и гл. XIII, следствие 29] или [14; формула (1.7)]) для того же $\delta$, что и выше, всех $p\geqslant 1$ и $u\in [0,1]$
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}r_\jmath(u)\mathbf{r}_\jmath\biggr\|_p\leqslant Cp^{\beta/2}\biggl(\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}(r_\jmath(u))^2\biggr)^{1/2}=Cp^{\beta/2}n^{\delta/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, используя экстраполяционное описание (3) экспоненциального пространства Орлича при $r=2/\beta$, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}r_\jmath(u) \mathbf{r}_\jmath\biggr\|_{\operatorname{Exp}L^{2/\beta}}\leqslant Cn^{\delta/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в силу равенства $\operatorname{Exp}L^{2/\beta}=\mathcal{M}(\log^{-\beta/2}(e/t))$ и определения нормы в пространстве Марцинкевича (см. п. 2.1) для всех $u\in [0,1]$
$$
\begin{equation*}
\biggl(\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}r_\jmath(u) \mathbf{r}_\jmath\biggr)^*(t)\leqslant Cn^{\delta/2}\log^{\beta/2}\biggl(\frac{e}{t}\biggr),\qquad 0<t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя последнее неравенство с (9), для всех $u\in U_n$ получаем оценку
$$
\begin{equation}
\biggl(\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}r_\jmath(u) \mathbf{r}_\jmath\biggr)^*(t)\leqslant Cn^{\delta/2}\min\biggl\{n^{1/2},\log^{\beta/2}\biggl(\frac{e}{t}\biggr)\biggr\},\qquad 0<t\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Полагая $\gamma_{k+1}=\gamma_0+\gamma_k/\beta$, $k=0,1,\dots$, где по-прежнему $\gamma_0=(\alpha_0-1)/2$, покажем, что для каждого $k=0,1,\dots$
$$
\begin{equation}
\Lambda\biggl(\log^{-\gamma_k}\biggl(\frac{e}{t}\biggr)\biggr)\subset X.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Так как это вложение выполнено при $k=0$, то достаточно доказать, что из справедливости (13) для $\gamma_k$ следует то же самое для $\gamma_{k+1}$.
Действительно, в силу неравенств (11), (7) и (12) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\phi_X(2^{-dn})\leqslant n^{-\delta}\biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}\mathbf{r}_\jmath\biggr\|_X\leqslant Dn^{-\delta}\int_0^1 \biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}r_\jmath(u) \mathbf{r}_\jmath\biggr\|_X\,du \\ &\leqslant Cn^{-\delta}\biggl(\int_{[0,1]\setminus U_n} \biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}r_\jmath(u) \mathbf{r}_\jmath\biggr\|_\infty \, du +\int_U \biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n}r_\jmath(u) \mathbf{r}_\jmath\biggr\|_{\Lambda(\log^{-\gamma_k}(e/t))}\, du\biggr) \\ &\leqslant C\cdot 2\biggl(\frac{e}{d}\biggr)^{-dn} \\ &\quad+C'n^{-\delta/2}\biggl(\int_0^{e^{1-n^{1/\beta}}}n^{1/2}\,d\log^{-\gamma_k} \biggl(\frac{e}{t}\biggr) +\int_{e^{1-n^{1/\beta}}}^1\log^{\beta/2}\biggl(\frac{e}{t}\biggr)\,d\log^{-\gamma_k} \biggl(\frac{e}{t}\biggr)\biggr) \\ &\leqslant C''n^{-(\delta/2+\gamma_k/\beta-1/2)}\leqslant C''n^{-(\alpha_0/2+\gamma_k/\beta-1/2)}=C''n^{-\gamma_{k+1}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом квазивогнутости фундаментальных функций получаем (13) с $\gamma_{k+1}$ вместо $\gamma_k$.
Далее, заметим, что
$$
\begin{equation*}
\gamma_k=\gamma_0\sum_{i=0}^{k}\frac{1}{\beta^i}\to \frac{\beta\gamma_0}{\beta-1} \quad \text{при}\quad k\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, так как по условию $\alpha_0>b+1-b/\beta$ и $\beta\geqslant 1$, то
$$
\begin{equation*}
\frac{\beta\gamma_0}{\beta-1}>\frac12\biggl(b-\frac{b}{\beta}\biggr)\frac{\beta}{\beta-1}=\frac{b}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последних соотношений следует, что для некоторого достаточно большого $k$ будет выполняться неравенство $\gamma_k>b/2$, и отсюда, как отмечалось в самом начале доказательства, вытекает нужное утверждение. Теорема 1 доказана. В частности, при $b=1$ получаем следующее утверждение. Следствие 1. Пусть $X$ – симметричное пространство, $d\in\mathbb{N}$. Предположим, что $\mathcal{A}\subset\Delta^d$ является $(\alpha,\beta)$-множеством, $\alpha+1/\beta>2$, таким, что для некоторого $D>0$ и любого конечного множества $\mathcal{A}'\subset \mathcal{A}$ выполняется неравенство Тогда $\operatorname{Exp}L^{2}\subset X$. В частности, это верно, если $\mathcal{A}$ является $(\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon)$-множеством для некоторого $\alpha>1$ и достаточно малого $\varepsilon>0$, а система $\{\mathbf{r}_\jmath\}_{\jmath\in\mathcal{A}}$ является RUD последовательностью в $X$. Теорема 2. Пусть $X$ – симметричное пространство, $d\in\mathbb{N}$. Предположим также, что $\mathcal{A}\subset\Delta^d$ является $(\alpha,\beta)$-множеством, $\alpha+1/\beta>2$. Тогда следующие условия эквивалентны: (a) $\{\mathbf{r}_\jmath\}_{\jmath\in \mathcal{A}}$ – RUD последовательность в $X$; (b) $\{\mathbf{r}_\jmath\}_{\jmath\in \mathcal{A}}$ – безусловная базисная последовательность в $X$; (c) последовательность $\{\mathbf{r}_\jmath\}_{\jmath\in \mathcal{A}}$ эквивалентна в $X$ стандартному базису $\ell_2$, т. е. для некоторой константы $C_X$
$$
\begin{equation}
C_X^{-1}\|\{a_{\jmath}\}_{\jmath\in\mathcal{A}}\|_{\ell_2} \leqslant \biggl\|\sum_{\jmath\in\mathcal{A}}a_{\jmath}\mathbf{r}_\jmath\biggr\|_X \leqslant C_X \|\{a_{\jmath}\}_{\jmath\in\mathcal{A}}\|_{\ell_2}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
В частности, если $\alpha>1$, то для всех достаточно малых $\varepsilon>0$ и произвольного $(\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon)$-множества $\mathcal{A}$ условия (a), (b) и (c) эквивалентны. Ясно, что в доказательстве нуждается только импликация (a)$\Rightarrow$(c). Она непосредственно вытекает из следствия 1 и следующего утверждения. Предложение 1. Пусть $X$ – симметричное пространство и $\operatorname{Exp}L^2\,{\subset}\, X$. Тогда для каждой равномерно ограниченной $D$-RUD последовательности $\{x_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ из $X$ с некоторой константой $C'$ выполняется аналог неравенства Хинчина: Доказательство. Как известно (см., например, [9; лемма 3]), для любой измеримой функции $z=z(u,t)$ на $[0,1]\times[0,1]$ и всякой функции Орлича $M$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\int_0^1{\|z(u,{\cdot}\,)\|}_{\mathrm{L}_M(\,{\cdot}\,)}\,du \leqslant 2 \operatorname*{ess\,sup}_{t\in[0,1]}{\|z(\,{\cdot}\,,t)\|}_{\mathrm{L}_M(\,{\cdot}\,)}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Поэтому в силу условий предложения и неравенства Хинчина (для системы Радемахера) в пространстве $\operatorname{Exp}L^2$ (см. [36; гл. V, теорема 8.7] или [6]) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\sum_{j\in\mathbb{N}}a_jx_j\biggr\|_X \leqslant D\int_0^1\biggl\|\sum_{j\in\mathbb{N}}r_j(u)a_jx_j\biggr\|_X\,du \leqslant DC\int_0^1\biggl\|\sum_{j\in\mathbb{N}}r_j(u)a_jx_j(\,{\cdot}\,) \biggr\|_{\operatorname{Exp}L^2(\,{\cdot}\,)}\,du \\ &\qquad\leqslant 2 DC \operatorname*{ess\,sup}_{t\in[0,1]} \biggl\|\sum_{j\in\mathbb{N}}r_j(\,{\cdot}\,)a_jx_j(t) \biggr\|_{\operatorname{Exp}L^2(\,{\cdot}\,)} \leqslant C'D \operatorname*{ess\,sup}_{t\in[0,1]} \biggl(\sum_{j\in\mathbb{N}}(a_jx_j(t))^2\biggr)^{1/2} \\ &\qquad\leqslant C'D \sup_{j\in\mathbb{N}}{\|x_j\|}_{\infty}\cdot \biggl(\sum_{j\in\mathbb{N}}a_j^2\biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 1, а с ним и теорема 2 доказаны. Теорема 2 показывает, что причиной различия в поведении системы Радемахера $\{r_j\}$ и хаоса $\{r_{j_1}r_{j_2}\}_{j_1>j_2}$, отмеченного во введении, является их разная комбинаторная размерность. Более того, из этого результата следует, что безусловность подсистемы $\{\mathbf{r}_\jmath\}_{\jmath\in \mathcal{A}}$ хаоса любого порядка $d$ в симметричном пространстве $X$ и ее эквивалентность в $X$ каноническому базису в $\ell_2$ равносильны, если только индексное множество $\mathcal{A}$ имеет точную комбинаторную размерность $\alpha>1$. В классе пространств Орлича теорема 2 допускает уточнение. А именно, в случае, когда множество $\mathcal{A}$ имеет точную комбинаторную размерность, ее условия (a), (b) и (c) могут быть охарактеризованы в терминах вложений. Теорема 3. Пусть $L_M$ – произвольное пространство Орлича, $d\in\mathbb{N}$. Предположим, что множество $\mathcal{A}\subset\Delta^d$ имеет точную комбинаторную размерность $\alpha>1$. Тогда следующие условия эквивалентны: (i) $\{\mathbf{r}_\jmath\}_{\jmath\in \mathcal{A}}$ – RUD последовательность в $L_M$; (ii) $\{\mathbf{r}_\jmath\}_{\jmath\in \mathcal{A}}$ – безусловная базисная последовательность в $L_M$; (iii) последовательность $\{\mathbf{r}_\jmath\}_{\jmath\in \mathcal{A}}$ эквивалентна в $L_M$ стандартному базису $\ell_2$, т. е. для некоторой константы $C_M$
$$
\begin{equation*}
C_M^{-1}\|\{a_{\jmath}\}_{\jmath\in \mathcal{A}}\|_{\ell_2} \leqslant \biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}}a_{\jmath}\mathbf{r}_\jmath\biggr\|_{L_M}\leqslant C_M\|\{a_{\jmath}\}_{\jmath\in \mathcal{A}}\|_{\ell_2};
\end{equation*}
\notag
$$
(iv) $L_M\supset\operatorname{Exp}L^{2/\alpha}$. Доказательство. Равносильность условий (i), (ii) и (iii) вытекает из теоремы 2. Таким образом, осталось проверить, что эквивалентны (iii) и (iv).
Предположим сначала, что выполнено (iv). Применяя еще раз неравенства Р. Блея ([13; гл. VII, формула (9.30) и гл. XIII, следствие 29] или [14; формула (1.7)]), для всех $p\geqslant 1$ и произвольной последовательности $\{a_\jmath\}_{\jmath\in A}$ получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}}a_\jmath\mathbf{r}_\jmath\biggr\|_p\leqslant C(\alpha,d)p^{\alpha/2}\biggl(\sum_{\jmath\in \mathcal{A}}a_\jmath^2\biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, так как по условию $L_M\supset\operatorname{Exp}L^{2/\alpha}$, то из экстраполяционного описания пространства $\operatorname{Exp} L^{2/\alpha}$ (см. (3)) следует, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}}a_\jmath \mathbf{r}_\jmath\biggr\|_{L_M}\leqslant C\biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}}a_\jmath \mathbf{r}_\jmath\biggr\|_{\operatorname{Exp}L^{2/\alpha}}\leqslant C'\biggl(\sum_{\jmath\in \mathcal{A}}a_\jmath^2\biggr)^{1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. в $L_M$ выполняется правая часть неравенства из (iii). Так как левая часть этого неравенства имеет место в любом симметричном пространстве $X$ (это следует, например, из [9; лемма 6] и вложения $X\subset L_1$), то импликация (iv)$\Rightarrow$(iii) доказана.
Предположим теперь, что выполнено (iii). Так как по условию множество $\mathcal{A}$ имеет точную комбинаторную размерность $\alpha$, то для некоторой константы $C\,{>}\,0$ и каждого $n\in\mathbb{N}$ найдется множество $\mathcal{B}_n:=B_1\times B_2\times\dots \times B_d$ такое, что $|B_j|=n$, $j=1,2,\dots,d$, и
$$
\begin{equation*}
C^{-1}n^{\alpha}\leqslant |\mathcal{A}\cap \mathcal{B}_n|\leqslant Cn^{\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым в силу (11) (с $\alpha$ вместо $\delta$) и условия (iii)
$$
\begin{equation*}
\phi_{L_M}(2^{-dn})\leqslant Cn^{-\alpha}\biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap\mathcal{B}_n}\mathbf{r}_\jmath\biggr\|_{L_M}\leqslant Cn^{-\alpha}C_M\biggl(\sum_{\jmath\in \mathcal{A}\cap\mathcal{B}_n} 1\biggr)^{1/2}\leqslant C'n^{-\alpha/2},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, учитывая квазивогнутость фундаментальной функции $\phi_{L_M}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\phi_{L_M}(t)\leqslant C\log^{-\alpha/2}\biggl(\frac{e}{t}\biggr),\qquad t\in(0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторой константой $C$. Так как $\phi_{L_M}(t)=1/M^{-1}(1/t)$, то из последнего неравенства следует
$$
\begin{equation*}
\log^{\alpha/2}\biggl(\frac{e}{t}\biggr)\leqslant C M^{-1}\biggl(\frac1{t}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
или эквивалентно
$$
\begin{equation*}
M\biggl(c\log^{\alpha/2}\biggl(\frac{e}{t}\biggr)\biggr)\leqslant \frac1{t}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге после замены $c\log^{\alpha/2}(e/t)=u$ приходим к неравенству
$$
\begin{equation*}
M(u)\leqslant e^{(Cu)^{2/\alpha}-1}\quad\text{при}\quad u\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу определения нормы в пространстве Орлича (см. п. 2.1) отсюда сразу вытекает вложение $L_M\supset\operatorname{Exp}L^{2/\alpha}$, т. е. (iv) доказано. Теорема 3 доказана. § 4. Заключительные замечания4.1. О RUС свойстве равномерно ограниченных бесселевых систем в симметричных пространствахСогласно теореме 1, если хаос Радемахера имеет RUD свойство в некотором симметричном пространстве $X$, то при некоторых условиях на плотностные характеристики его индексного множества можно утверждать, что $X$ располагается в шкале симметричных пространств достаточно “далеко” от пространства $L_\infty$. В определенном смысле противоположное утверждение справедливо для RUС свойства системы $\{\mathbf{r}_\jmath\}_{\jmath\in \Delta^d}$. Мы получим его как следствие более общего результата для равномерно ограниченных бесселевых систем функций. Аналогичное утверждение при более ограничительных условиях, когда дополнительно $X\subset L_2$ и система ортонормирована, было доказано в [31; предложение 2.1] (см. также [28; следствие 1.4]). Напомним, что ограниченная базисная последовательность $\{x_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ в банаховом пространстве $X$ называется бесселевой, если для некоторой константы $C(X)$ и любых $a_j\in\mathbb{R}$, $j\in\mathbb{N}$, выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl(\sum_{j\in\mathbb{N}}a_j^2\biggr)^{1/2}\leqslant C(X)\biggl\|\sum_{j\in\mathbb{N}} a_jx_j\biggr\|_X.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 2. Пусть $X$ – симметричное пространство, $\operatorname{Exp}L^2\subset X$. Тогда каждая бесселева равномерно ограниченная последовательность $\{x_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ имеет RUC свойство в $X$. Доказательство. В силу условий предложения, соотношения (15) в случае, когда $L_M=\operatorname{Exp}L^2$, а также неравенства Хинчина в пространстве $\operatorname{Exp}L^2$ (см. [36; гл. V, теорема 8.7] или [6]) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^1\biggl\|\sum_{j\in\mathbb{N}}r_j(u)a_jx_j\biggr\|_X\,du \leqslant C'\int_0^1 \biggl\|\sum_{j\in\mathbb{N}}r_j(u)a_jx_j(\,{\cdot}\,) \biggr\|_{\operatorname{Exp}L^2(\,{\cdot}\,)}\,du \\ &\qquad\leqslant 2 C' \operatorname*{ess\,sup}_{t\in[0,1]} \biggl\|\sum_{j\in\mathbb{N}}r_j(\,{\cdot}\,)a_jx_j(t) \biggr\|_{\operatorname{Exp}L^2(\,{\cdot}\,)} \leqslant C'' \operatorname*{ess\,sup}_{t\in[0,1]} \biggl(\sum_{j\in\mathbb{N}}(a_jx_j(t))^2\biggr)^{1/2} \\ &\qquad\leqslant C'' \sup_{j\in\mathbb{N}}{\|x_j\|}_{\infty}\cdot \biggl(\sum_{j\in\mathbb{N}}a_j^2\biggr)^{1/2} \leqslant C''C(X)\sup_{j\in\mathbb{N}}{\|x_j\|}_{\infty}\cdot \biggl\|\sum_{j\in\mathbb{N}} a_jx_j\biggr\|_X. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 2 доказано. Так как $\{\mathbf{r}_\jmath\}_{\jmath\in\Delta^d}$ – ортонормированная равномерно ограниченная последовательность на $[0,1]$, из предложения 2 вытекает следствие. Следствие 2. $\{\mathbf{r}_\jmath\}_{\jmath\in\Delta^d}$ – RUC последовательность в любом симметричном пространстве $X$ таком, что $\operatorname{Exp}L^2\subset X$. 4.2. Асимптотическая независимость дробного хаоса РадемахераПусть $d=3$, $\mathcal{A}=\{(i,j,i+j),\,1\leqslant i<j\}$. Тогда, как легко видеть, $\mathcal{A}$ является $(2,2)$-множеством, и поэтому по теореме 3
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{\jmath\in \mathcal{A}}a_{\jmath}\mathbf{r}_\jmath\biggr\|_{\operatorname{Exp}L} \asymp\biggl\|\{a_{\jmath}\}_{\jmath\in \mathcal{A}}\biggr\|_{\ell_2}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\sup\biggl\{\biggl\|\sum_{\jmath\in E} a_{\jmath}\mathbf{r}_\jmath\biggr\|_{\operatorname{Exp}L^\gamma}\colon \|\{a_{\jmath}\}_{\jmath\in E}\|_{\ell_2}\leqslant 1,\,E\subset \mathcal{A}\text{ конечно } \biggr\}=\infty
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $\gamma>1$. Кроме того, если $\mathcal{A}_N:=\mathcal{A}\cap \{1,2,\dots,N\}^3$, где $N\in\mathbb{N}$, $N\geqslant 3$, то нормированные в $L_2$ суммы
$$
\begin{equation*}
S_N:=|\mathcal{A}_N|^{-1/2}\sum_{\jmath\in\mathcal{A}_N}\mathbf{r}_\jmath
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяют соотношению [14; теорема 1.5], и, значит (см. (3)),
$$
\begin{equation*}
\inf\Bigl\{\gamma\colon \sup_{N}{\|S_N\|}_{\operatorname{Exp}L^\gamma}=\infty\Bigr\}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее соотношение можно рассматривать как результат определенной “взаимозависимости” функций $\mathbf{r}_\jmath$, $\jmath\in \mathcal{A}$. Покажем, что в то же время суммы $S_N$ имеют асимптотически нормальное распределение, которое соответствует пространству $\operatorname{Exp}L^2 \subsetneqq \operatorname{Exp}L$, и тем самым функции $\mathbf{r}_\jmath$, $\jmath\in \mathcal{A}$, являются асимптотически независимыми подобно обычным функциям Радемахера. Подобное “расхождение” в оценках распределения и моментов дробного хаоса Радемахера и его асимптотического поведения ранее отмечалось в работе [14]. Для проверки последнего утверждения мы воспользуемся теоремой 1.7 из [14]. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_{N,k}^*:=\{(i,j,m)\in \mathcal{A}_N\colon k\in \{i,j,m\}\},\qquad k\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим также множество $\mathcal{A}_N^\sharp\subset \mathcal{A}_N\times \mathcal{A}_N$, состоящее из пар $((i,j,i+j), (k,l,k+l))$ элементов множества $\mathcal{A}_N$ таких, что и
$$
\begin{equation}
\{i,j,i+j,k,l,k+l\}=\{i_1,j_1,i_1+j_1,k_1,l_1,k_1+l_1\}
\end{equation}
\tag{17}
$$
для некоторых $(i_1,j_1,i_1+j_1),(k_1,l_1,k_1+l_1)\in \mathcal{A}_N$, удовлетворяющих условиям
$$
\begin{equation}
(i_1,j_1,i_1+j_1)\ne (i,j,i+j)\quad\text{и}\quad (i_1,j_1,i_1+j_1)\ne (k,l,k+l).
\end{equation}
\tag{18}
$$
Согласно теореме 1.7 из [14] для доказательства того, что суммы $S_N$ асимптотически имеют стандартное нормальное распределение, достаточно проверить выполнение следующих соотношений:
$$
\begin{equation*}
\lim_{N\to\infty}\max_{k} \frac{|\mathcal{A}_{N,k}^*|}{|\mathcal{A}_N|}=0\quad\text{и}\quad \lim_{N\to\infty}\frac{|\mathcal{A}_N^\sharp|}{|\mathcal{A}_N|^2}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Первое из этих равенств – следствие очевидных оценок: $|\mathcal{A}_{N,k}^*|\,{\leqslant}{\kern1pt} 3N$ и $|\mathcal{A}_N|\,{\asymp}\, N^2$. Для проверки второго достаточно показать, что $\mathcal{A}_N^\sharp=\varnothing$. Предположим, что $((i,j,i+j),(k,l,k+l))\in\mathcal{A}_N^\sharp$, т. е. выполнено (16), а также (17) для некоторых элементов $(i_1,j_1,i_1+j_1),(k_1,l_1,k_1+l_1)\in \mathcal{A}_N$, удовлетворяющих условиям (18). Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
V:=\{i,j,i+j,k,l,k+l\}=\{i_1,j_1,i_1+j_1,k_1,l_1,k_1+l_1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\max\{x\colon x\in V\}=\max\{i+j,k+l\}=\max\{i_1+j_1,k_1+l_1\}
\end{equation*}
\notag
$$
и где $\Sigma_V$ – сумма элементов множества $V$. Значит, либо $i+j=i_1+j_1$, $k+l=k_1\,{+}\,l_1$, либо $i+j=k_1+l_1$, $k+l=i_1+j_1$, откуда По условию числа $i$, $j$, $k$, $l$, $i+j$, $k+l$ попарно различны (см. (16)), поэтому
$$
\begin{equation*}
i+k\ne i+j,\quad i+l\ne i+j,\quad j+k\ne i+j,\quad j+l\ne i+j,\quad k+l\ne i+j.
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда из равенства $i_1+j_1=i+j$ следует $i_1=i$, $j_1=j$, что противоречит (18). Аналогично из равенства $i_1+j_1=k+l$ получим $i_1=k$, $j_1=l$, что также противоречит (18).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AstLyk24} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|