| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Об инвариантных относительно вращений интегрируемых системах А. В. Цыганов  Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Английская версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9506e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВопрос об интегрируемости уравнений Ньютона в евклидовом пространстве $\mathbb E^n$ непосредственно связан с вопросом об интегрируемости гамильтониана на фазовом пространстве $T^*\mathbb E^n$
$$
\begin{equation}
H=\sum_{i=1}^n p_i^2+V(q_1,\dots,q_n),\qquad F_i=-2\,\frac{\partial}{\partial q_i}V(q_1,\dots,q_n)
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
и, тем самым, с возможностью нахождения $n$ независимых инвариантов для уравнений Гамильтона
$$
\begin{equation}
\dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\quad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q_i},\qquad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
К таким инвариантам относятся, в частности, функции на фазовом пространстве (первые интегралы), векторные поля (поля симметрий), дифференциальные $k$-формы (порождающие $k$-мерные интегральные инварианты) и так далее. Все необходимые математические определения могут быть найдены в работах В. В. Козлова [1]–[3], которым мы будем следовать далее. Для нахождения первых интегралов, находящихся в определенных отношениях между собой, можно использовать различные методы. Приведем несколько известных примеров. Методом грубой силы (brute force method), т. е. путем перебора возможных вариантов, решается уравнение в которое подставляется гамильтониан $H$ (1.2) и некоторый анзац для искомого первого интеграла $G(q,p)$ [4], [5]. Здесь $\{\,{\cdot}\,,{\cdot}\,\}$ – скобки Пуассона на фазовом пространстве $T^*\mathbb E^n$
$$
\begin{equation}
\{q_i,q_j\}=0,\qquad \{p_i,p_j\}=0,\qquad \{q_i,p_j\}=\delta_{ij}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
В качестве предварительного шага для выбора анзаца для $V(q)$ можно найти необходимые для интегрируемости условия на потенциал $V(q)$, используя метод Ковалевской–Пенлеве и его различные обобщения [6], [7]. Например, можно использовать метод Моралеса–Рамиса, основанный на анализе дифференциальной группы Галуа соответствующих вариационных уравнений вдоль некоторых частных решений, см. обзор [8]. Использование полей симметрий конфигурационного пространства. Вместо уравнений движения рассматриваются поля симметрий $X_k$ конфигурационного пространства, сохраняющие метрику. Если потенциал инвариантен относительно какого-либо поля симметрий то по теореме Нётер существует отвечающий этой симметрии закон сохранения, методы построения которого известны [9]. Здесь $\mathcal L$ – производная Ли вдоль векторного поля $X_k$.Использование скрытых симметрий конфигурационного пространства. Симметрические произведения полей симметрий $X_j$ евклидова пространства порождают семейство тензоров Киллинга различных валентностей
$$
\begin{equation*}
K=\sum a_{ij\dots m} X_i\cdot X_j \cdots X_m,\qquad a_{ij\dots m}\in \mathbb R,
\end{equation*}
\notag
$$
которые можно использовать для нахождения интегралов движения, являющихся полиномами различных степеней по импульсам [10], [11]. Использование переменных разделения в уравнении Гамильтона–Якоби. Решая уравнения, в которые входят переменные разделения $u_i$ и $p_{u_i}$,
$$
\begin{equation*}
\Phi_i(u_i,p_{u_i},\alpha_1,\dots, \alpha_n)=0,\qquad \det\biggl[\frac{\partial \Phi_i}{\partial \alpha_j}\biggr]\neq 0
\end{equation*}
\notag
$$
относительно $\alpha_k$, мы получим $n$ независимых функций на фазовом пространстве в инволюции относительно нескольких согласованных друг с другом скобок Пуассона. При наложении некоторых дополнительных условий на функции $\Phi_i$ можно найти не только первые интегралы, но и определить соответствующие переменные действие–угол [12]. Если нам не известны переменные разделения и разделенные уравнения, но известны согласованные скобки Пуассона на фазовом пространстве, то можно построить необходимое число независимых функций в инволюции $G_k$, используя оператор рекурсии $N$ В рассматриваемом нами случае $P$ – бивектор Пуассона, отвечающий скобкам Пуассона (1.4), а $P'$ – бивектор Пуассона, совместный с $P$ [13]. Случай вырожденных пуассоновых структур обсуждается в [14]. В некоторых случаях уравнения Ньютона (1.1) можно отождествить с одним из стационарных потоков известных нелинейных эволюционных уравнений [15], [16], см. также обзор [17]. Это позволяет построить первые интегралы в конечномерном случае, используя известные инварианты нелинейных эволюционных уравнений. В некоторых случаях уравнения Гамильтона (1.3) можно переписать в виде уравнений Лакса Искомые первые интегралы движения порождаются спектральными инвариантами матрицы Лакса $L$ и нам необходимо доказать, что спектральных инвариантов достаточно для интегрируемости по Лиувиллю исходной гамильтоновой системы уравнений [18].Существуют также и другие методы построения первых интегралов [19], [20]. Например, для нахождения полиномиальных и рациональных интегралов движения для суперинтегрируемых систем можно использовать классические теоремы Эйлера [21], [22], Ришело [23], Чебышёва [24], Римана–Роха [25] и так далее. Несмотря на обилие классических и новых методов построения первых интегралов, наиболее продуктивными методами для случая евклидова пространства являются метод грубой силы и методы, использующие симметрии евклидова пространства [5]. Применимость первого метода ограничена нашими вычислительными возможностями для больших размерностей фазового пространства. По сути, данный метод применим только к двумерным интегрируемым системам. Применение второго метода ограничено размерностью, но не фазового пространства, а пространства тензоров Киллинга. Фактически этот метод позволяет наиболее эффективно построить интегралы движения первого и второго порядков по импульсам, см. обсуждение в [26]. В данной работе обсуждается одна из возможных комбинаций этих двух методов, которая позволяет частично устранить указанные недостатки. Алгоритм вычислений достаточно прост: $\bullet$ берем $m$ полей симметрий $X_i$ конфигурационного пространства $\mathbb E^n$, которые порождают $n-2$ независимых функций в инволюции; $\bullet$ определим координаты $Q_1$, $Q_2$ и $P_1$, $P_2$ на фазовом пространстве $T^*\mathbb E^n$, которые инвариантны относительно выбранных выше полей $X_i$; $\bullet$ предполагаем, что гамильтониан $H$ (1.2) и искомый второй интеграл движения $G$ являются функциями от инвариантных переменных $Q_1$, $Q_2$ и $P_1$, $P_2$; $\bullet$ решаем уравнение $\{H(Q,P),G(Q,P)\}=0$, используя различные подстановки для функции $G$. В результате мы получаем гамильтониан $H$, который коммутирует с $n-2$ линейными и квадратичными по импульсам интегралами движения и с интегралом движения $G$, который может быть полиномом произвольной степени или даже рациональной функцией по импульсам. Далее мы покажем, как предложенный алгоритм работает в случае вращений евклидова пространства, и приведем ряд примеров построенных нами новых интегрируемых и суперинтегрируемых систем. В качестве обобщения предложенного алгоритма вместо нётеровских полей симметрий можно использовать скрытые симметрии и отвечающие им интегралы движения. § 2. Интегрируемые системы, инвариантные относительно вращенийЕвклидова группа $\mathrm E(n)$ состоит из изометрий евклидова пространства $\mathbb E^n$, т. е. преобразований этого пространства, которые сохраняют евклидово расстояние между любыми двумя точками. Прямые евклидовы изометрии, сохраняющие хиральность фигур, образуют специальную евклидову группу $\mathrm{SE}(n)$, элементы которой называются жесткими движениями или евклидовыми движениями. Они состоят из произвольных комбинаций перемещений и вращений, но не отражений, т. е. $\mathrm{SE}(n)$ является полупрямым произведением специальной ортогональной группы вращений $\mathrm{SO} (n)$ и группы трансляций $\mathrm T (n)$. Сдвиги $X_i$ вдоль осей координат и вращения $X_{ij}$ образуют базис в $\mathrm{SE}(n)$:
$$
\begin{equation}
X_i=\partial _i, \quad X_{ij}=q_iX_j-q_jX_i,\qquad \partial_k=\frac{\partial}{\partial q_k}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Далее мы будем рассматривать гамильтонианы $H$ (1.2), инвариантные относительно действия коммутативных и не коммутативных подгрупп группы вращений $\mathrm{SO}(n)$. Так как изометрии сохраняют метрику, то требование инвариантности гамильтониана $H$ (1.2) эквивалентно требованию инвариантности потенциала. Предположим, что потенциал $V(q_1,\dots,q_n)$ инвариантен относительно какого-либо вращения, т. е. где $\mathcal L$ – производная Ли вдоль векторного поля
$$
\begin{equation}
Y_\alpha=\sum c^{ij}_\alpha X_{ij},\qquad c_\alpha^{ij}\in \mathbb R.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Согласно теореме Нётер отвечающая полю симметрий $Y_\alpha$ функция
$$
\begin{equation}
M_\alpha=\sum c_\alpha^{ij} J_{ij}, \qquad J_{ik}=q_ip_k-q_kp_i,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
находится в инволюции с гамильтонианом $H$ (1.2) относительно скобок Пуассона (1.4) на фазовом пространстве $T^*\mathbb E^n$. Другими словами, интегралы движения, отвечающие симметриям относительно вращений, являются комбинациями компонент тензора углового момента $J$. Отметим, что эти интегралы движения являются одними из самых старых и наиболее изученных задолго до создания теории Нётер. Предположим, что гамильтониан $H$ и $m$ функций $M_\alpha$, $\alpha=1,\dots,m$, порождают $n-1$ независимых интегралов движения в инволюции. В этом случае нам остается найти еще один дополнительный интеграл движения $G$ для построения интегрируемой по Лиувиллю системы. Для нахождения искомого интеграла движения мы будем использовать переменные, инвариантные относительно вращений. 2.1. Переменные инвариантные относительно вращенийРассмотрим представление группы вращений $\mathrm{SO}(n)$ в пространстве $T^*\mathbb E$: Согласно [27], [28] вместо переменных $J_{ij}$ можно использовать переменные
$$
\begin{equation*}
s_+^{(i)}=\frac{p_i^2}{2},\quad s_-^{(i)}=-\frac{q_i^2}{2},\quad s_3^{(i)}=\frac{q_ip_i}{2},\qquad i=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющие скобкам Ли–Пуассона на прямой сумме $n$ алгебр $\mathrm{su}^*(2)$ или $\mathrm{so}^*(3)$
$$
\begin{equation*}
\{s_3^{(i)},s^{(j)}_\pm\}=\pm \delta_{ij}\, s^{(i)}_\pm,\qquad \{s_+^{(i)},s_-^{(j)}\}=2\delta_{ij}\,s_3^{(i)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $q_i$ и $p_i$ – переменные, удовлетворяющие скобкам Пуассона (1.4) в пространстве $T^*\mathbb E$. Замена переменных $J\to s$ позволяет установить взаимосвязь между классической теорией углового момента, классификацией квадрик на римановых многообразиях постоянной кривизны, классификацией ортогональных криволинейных координат с теорией магнетиков Годена [27], [28]. Согласно этой теории вектор полного спина с компонентами
$$
\begin{equation*}
S_+=\sum_{i=1}^n s_+^{(i)},\qquad S_-=\sum_{i=1}^n s_-^{(i)},\qquad S_3=\sum_{i=1}^n s_3^{(i)}
\end{equation*}
\notag
$$
инвариантен относительно действия группы вращений, что также следует из классической теории углового момента, см. обсуждение в [27], [28]. Другими словами, у нас есть известное представление $\mathrm{so}^*(3)$ в кокасательном расслоении $T^*\mathbb E^n$, которое инвариантно относительно группы вращений $\mathrm{SO}(n)$. Общий случай римановых многообразий постоянной кривизны в данной работе не рассматривается. Далее нам будет удобно использовать вместо $S_\pm$ и $S_3$ функции
$$
\begin{equation*}
Q_1=\sum_{i=1}^n q_i^2 ,\qquad P_1=\sum_{i=1}^n p_i^2,\qquad A=\{P_1,Q_1\},
\end{equation*}
\notag
$$
скобки Пуассона (1.4) между которыми
$$
\begin{equation*}
\{P_1, A\} =8P_1,\qquad \{Q_1, A\}=- 8Q_1,\qquad \{P_1,Q_1\}=A
\end{equation*}
\notag
$$
эквивалентны скобкам Ли–Пуассона между элементами алгебр Ли $\mathrm{su}^*(2)$ или $\mathrm{so}^*(3)$ с точностью до перенормировки. Элемент Казимира для этих скобок
$$
\begin{equation*}
J^2\equiv\sum_{i>j}^n J_{ij}^2=P_1Q_1-\frac{1}{16}A^2
\end{equation*}
\notag
$$
является суммой квадратов компонент тензора углового момента. Имея рассмотренное выше инвариантное относительно действия группы вращений представление $\mathrm{so}^*(3)$, естественно поставить вопрос о построении представлений алгебры
$$
\begin{equation*}
\mathrm{so}^*(4)=\mathrm{so}^*(3)\times \mathrm{so}^*(3)
\end{equation*}
\notag
$$
в пространстве $T^*\mathbb E^n$. Далее обсуждается один из вариантов построения такого представления. Возьмем какую-либо из подгрупп группы вращений $\mathrm{SO}(n)$, состоящей из $m$ вращений $Y_\alpha$, $\alpha=1,\dots,m$. Предположим, что для выбранной нами подгруппы существует какое-либо второе решение уравнений (2.2) в пространстве квадратичных полиномов
$$
\begin{equation}
V_2(q_1,\dots,q_n)=\sum_{i,j=1}^n V_{ij}q_iq_j,\qquad V_{ij}\in \mathbb R,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
отличное от $V_1(q)=Q_1$. В этом случае три функции
$$
\begin{equation*}
Q_2=V_2(q_1,\dots,q_n),\qquad P_2=V_2(p_1,\dots,p_n),\qquad B=\{P_1,Q_2\}
\end{equation*}
\notag
$$
коммутируют не со всеми комбинациями компонент тензора углового момента, а только с $m$ функциями $M_\alpha$, $\alpha=1,\dots,m$, отвечающими выбранным нами полям симметрий:
$$
\begin{equation*}
\{Q_2,M_\alpha\}=0,\quad\{P_2,M_\alpha\}=0,\quad \{B,M_\alpha\}=0,\qquad \alpha=1,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Это можно доказать, используя тот факт, что каноническое преобразование симплектического многообразия $T^*\mathbb E^n$ сохраняет скобки Пуассона (1.4) и меняет знак у компонент тензора углового момента и, соответственно, линейных комбинаций этих компонент $M_\alpha$ (2.4). В силу симметричности матрицы $V_{ij}$ в определении потенциала $V_2$ (2.6) мы имеем и нам остается определить скобку Пуассона между переменными $Q_2=V_2(q)$ и $P_2=V_2(p)$, которая является линейной по импульсам $p_1,\dots,p_n$ функцией, инвариантной относительно действия выбранной нами подгруппы группы вращений, т. е. линейной комбинацией инвариантных функций $A$ и $B$.В данной работе мы ограничимся рассмотрением частного случая, когда выполнено следующее дополнительное условие на решения уравнений (2.2) в пространстве квадратичных потенциалов $V_2(q)$ (2.6): которое можно переписать в виде где $\phi$ – каноническое преобразование (2.7). Насколько нам известно, частные решения уравнений (2.2) и (2.8) для построения представлений алгебр Ли–Пуассона раньше никто не использовал.При выполнении условия (2.8) скобки Пуассона между шестью функциями $Q_{1,2}$, $P_{1,2}$ и $A$, $B$ задаются бивектором Пуассона вида
$$
\begin{equation}
\Pi= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -A &-B & -8Q_1 & -8Q_2 \\ 0 & 0 & -B & -A& -8Q_2 & -8Q_1\\ A & B & 0 & 0 & 8P_1 & 8P_2 \\ B & A & 0 & 0 & 8P_2 &8P_1 \\ 8Q_1 & 8Q_2 & -8P_1 &-8P_2 & 0 & 0 \\ 8Q_2 & 8Q_1 &-8P_2 & 8P_1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Удовлетворяющие условию $\Pi\,dC=0$ два элемента Казимира этого бивектора есть
$$
\begin{equation}
C_1=A^2 + B^2 - 16Q_1P_1 - 16Q_2P_2\quad\text{и}\quad C_2=AB - 8Q_1P_2 - 8Q_2P_1.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Функции $C_1$ и $C_2$ являются полиномами второго порядка от $m$ функций $M_\alpha$, $\alpha=1,\dots,m$, входящих в уравнение (2.5). Предложение 1. Бивектор $\Pi$ (2.9) определяет скобки Пуассона $\{\,{\cdot}\,,{\cdot}\,\}_\Pi$, которые эквивалентны скобкам Ли–Пуассона комплексной алгебры Ли $\mathrm{so}^*(4)$. Для доказательства введем переменные
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} s_1&=\frac{\mathrm i(A - B)}{16},&\quad s_2&=-\mathrm i(P_1 - P_2) +\frac{\mathrm i(Q_1 - Q_2)}{64},&\quad s_3&=-(P_1 - P_2) -\frac{Q_1-Q_2}{64}, \\ t_1&=\frac{\mathrm i(A + B)}{16},&\quad t_2&=\mathrm{i}(P_1 + P_2) - \frac{\mathrm i(Q_1+Q_2)}{64},&\quad t_3&=(P_1+P_2)+\frac{Q_1 + Q_2}{64}, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm i=\sqrt{-1}$. Скобки Пуассона $\{\,{\cdot}\,,{\cdot}\,\}_\Pi$ и, соответственно, скобки (1.4) для этих переменных совпадают со скобками Ли–Пуассона алгебры $\mathrm{so}^*(4)=\mathrm{so}^*(3)\times \mathrm{so}^*(3)$:
$$
\begin{equation*}
\{s_i,s_j\}=\varepsilon_{ijk}s_k,\quad \{t_i,t_j\}=\varepsilon_{ijk}t_k,\quad \{s_i,t_j\}=0,\qquad i,j,k=1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\varepsilon_{ijk}$ – антисимметричный тензор. Подставляя эти переменные $s_i$ и $t_i$ в определения интегралов движения для волчка Фрама–Шоттки, волчка Стеклова, системы Кирхгофа и других известных интегрируемых систем на $\mathrm{so}^*(4)$ [18], мы получим аналоги этих интегрируемых систем на фазовом пространстве $T^*\mathbb E^n$, которые не имеют никакого физического смысла. В зависимости от выбранной нами подгруппы группы $\mathrm{SO}(n)$ и представлений ее элементов с помощью одинарных, двойных, тройных и тому подобных вращений уравнения (2.2) и (2.8) могут иметь несколько решений, т. е. размерность пространства решений вида (2.6) зависит от выбора конкретной подгруппы и ее реализации. Обсуждение связи числа решений и конкретной реализации подгруппы вращений выходит за рамки данной работы. В случае существования трех и более решений можно либо взять пару решений и построить представление алгебры Ли–Пуассона $\mathrm{su}^*(2)$, либо рассмотреть более двух решений, определяющих алгебру Ли–Пуассона большей размерности, для которой метод грубой силы уже не столь эффективен, как для случая двух степеней свободы. Отметим, что также существуют такие подгруппы группы $\mathrm{SO}(n)$ и такие их реализации, что уравнения (2.2) имеют решения в пространстве полиномов третьей, четвертой и более высоких степеней по координатам. В этом случае вместо линейных скобок Пуассона возникают полиномиальные скобки Пуассона и вместо интегралов четвертой степени по импульсам возникают интегралы движения старших степеней. В работе [29] рассмотрена одна из таких систем в девятимерном евклидовом пространстве связанная с подгруппой $\mathrm{SO}(3)\times \mathrm{SO}(3)$ группы вращений $\mathrm{SO}(9)$ в случае, когда элементы $\mathrm{SO}(3)\times \mathrm{SO}(3)$ реализованы в виде трех последовательных вращений. 2.2. Новые интегрируемые системы на $\mathrm{so}^*(4)$Перепишем гамильтониан $H$ (1.2) на $2n$-мерном фазовом пространстве $T^*\mathbb E^n$ в виде функции на алгебре Ли:
$$
\begin{equation}
H=\sum_{i=1}^n p_i^2+V(q_1,\dots,q_n)=P_1+U(Q_1,Q_2)
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
и постараемся найти интегрируемые потенциалы $U(Q_1,Q_2)$ методом грубой силы [5]. Напомним, что метод грубой силы относится к классу методов поиска решения перебором всех возможных вариантов, т. е. в нашем случае берется гамильтониан $H$ (2.11) и анзац для второго интеграла движения $G$ такой, что мы можем найти решение для системы дифференциальных уравнений в частных производных, возникающей из уравнения $\{H,G\}_\Pi =0$. Предложение 2. Подставим $H$ (2.11) и полином второй степени по импульсам $p_1,\dots,p_n$ вида Доказательство состоит в решении уравнения (2.13), что позволяет доказать единственность решения (2.14), которое непосредственно связано с разделением переменных в уравнениях Гамильтона–Якоби $H=E_1$ и $G=E_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (P_1+P_2)+2f_1(Q_1+Q_2)&=E_1+E_2, \\ (P_1-P_2)+2f_2(Q_1-Q_2)&=E_1-E_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь возьмем более сложный анзац для интеграла движения $G$, отвечающий двум из пяти известных интегрируемых потенциалов четвертой степени в трехмерном евклидовом пространстве [7]. Предложение 3. Подставим $H$ (2.11) и полином четвертой степени по импульсам вида Предъявленные решения являются частными, так как существуют решения, описанные ранее в предложении 2, и решения, связанные с данными решениями заменой координат, см. ниже. Представители еще одного семейства интегрируемых систем были найдены в трехмерном случае в [7], [30], [31] и затем обобщены на $n$-мерный случай в [32], [33]. Предложение 4. Подставим $H$ (2.11) и полином четвертого порядка по импульсам вида В случае, когда потенциал $U(Q_1,Q_2)$ в (2.11) произволен, а $G$ является полиномом четвертой степени по импульсам общего вида, мы не смогли найти ни общее решение, ни другие частные решения системы дифференциальных уравнений в частных производных, получаемой из уравнения (2.13). Так как решения уравнений (2.2) и (2.8) определены с точностью до знака, то все приведенные выше результаты справедливы и после замены переменных Иными словами, выписанные в предложении 3 и в предложении 4 решения являются частными в том смысле, что существуют так же другие решения, связанные с ними преобразованием (2.20).Первое семейство интегрируемых потенциалов $U_{\mathrm{I}}$ (2.16) инвариантно относительно изменения знака. Изменяя знак $Q_2$ во втором (2.17) и третьем (2.19) потенциалах, мы получим еще два семейства интегрируемых потенциалов
$$
\begin{equation}
U_{\mathrm{IV}} =a_1(5Q_1 - 3Q_2)(3Q_1 - Q_2)+a_2(5Q_1 - 3Q_2) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\frac{a_3}{Q_1 - Q_2} +\frac{a_4}{Q_1+ Q_2}+ \frac{a_5}{(Q_1 + Q_2)^3},
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
$$
\begin{equation}
U_{\mathrm{V}} =a_1(29Q_1^2 + 30Q_1Q_2 + 5Q_2^2) + a_2(5Q_1 + 3Q_2) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\frac{a_3}{Q_1 + Q_2} + \frac{a_4}{Q_1 - Q_2} +\frac{a_5(5Q_1 + 3Q_2)}{(Q_1 - Q_2)^3}.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Таким образом, мы имеем пять семейств интегрируемых систем, связанных с различными подгруппами группы вращений $n$-мерного евклидова пространства $\mathbb E^n$. Если положить $a_2=a_3=a_4=a_5=0$, то рассматриваемые пять гамильтонианов будут иметь общий вид
$$
\begin{equation*}
H_N=\sum_{i=1}^n p_i^2+\sum_{i,j,k,\ell} \mathcal R_{ijk\ell} q_iq_jq_kq_\ell, \qquad \mathcal R_{ijk\ell}\in \mathbb R,
\end{equation*}
\notag
$$
так же как и уравнения Ньютона
$$
\begin{equation*}
\ddot{q}_i=\sum_{j,k,\ell=1}^n \mathcal R_{ijk\ell}q_j q_k q_\ell.
\end{equation*}
\notag
$$
Входящие в эти уравнения тензоры $\mathcal R$ четвертого порядка иногда можно отождествить с тензорами кривизны или тензорами Римана многообразий, на первый взгляд, никак не связанных с евклидовым пространством. Примеры интегрируемых систем, для которых тензоры $\mathcal R$ совпадают с тензорами Римана, возникающими при классификации эрмитовых симметрических пространств, могут быть найдены в [15], [16], [29]. Примеры для всех этих семейств потенциалов будут приведены ниже, при этом мы для краткости опустим явные выражения для интегралов движения $G_N$, $N=\mathrm{I}, \mathrm{II}, \mathrm{III}, \mathrm{IV}, \mathrm{V}$, которые являются полиномами четвертой степени от импульсов $p_1,\dots,p_n$. § 3. Примеры для случая $m=n-2$, коммутативные подгруппы группы вращенийПри $m=n-2$ выбранные нами поля симметрий $Y_\alpha$, $\alpha=1,\dots,m$, коммутируют друг с другом и порождают линейные законы сохранения $M_\alpha$ (2.4) в инволюции относительно скобок Пуассона (1.4). 3.1. Трехмерное евклидово пространство $\mathbb E^3$Рассмотрим вращение вокруг третьей оси $X_{12}$ (2.1) в трехмерном евклидовом пространстве $\mathbb E^3$, которое порождает интеграл движения Уравнения (2.2) и (2.8) имеет два независимых решения
$$
\begin{equation*}
V_1=q_1^2+q_2^2+q_3^2\quad\text{и}\quad V_2=q_1^2+q_2^2 - q_3^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя переменные
$$
\begin{equation}
Q_{1,2}=V_{1,2}(q),\qquad P_{1,2}=V_{1,2}(p),\qquad A=\{P_1,Q_1\},\qquad B=\{P_1,Q_2\}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
в потенциалы (2.16), (2.17) и (2.19), мы получим интегрируемые по Лиувиллю системы, для которых функции Гамильтона имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_{\mathrm{I}} &=\sum_{i=1}^3 p_i^2+a_1(q_1^4 + 2q_1^2q_2^2 + 6q_1^2q_3^2 + q_2^4 + 6q_2^2q_3^2 + q_3^4) \\ &\qquad+ a_2(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2)+\frac{a_3-a_4}{4(q_1^2 + q_2^2)} +\frac{a_3+a_4}{4q_3^2}, \\ H_{\mathrm{II}} &=\sum_{i=1}^3 p_i^2+4a_1(8q_1^4 + 16q_1^2q_2^2 + 6q_1^2q_3^2 + 8q_2^4 + 6q_2^2q_3^2 + q_3^4) \\ &\qquad+ 2a_2(4q_1^2 + 4q_2^2 +q_3^2)+\frac{a_3}{2(q_1^2 + q_2^2)} + \frac{a_4}{2q_3^2} + \frac{a_5}{8q_3^6}, \\ H_{\mathrm{III}} &=\sum_{i=1}^3 p_i^2+4a_1(q_1^4 + 2q_1^2q_2^2 + 12q_1^2q_3^2 + q_2^4 + 12q_2^2q_3^2 + 16q_3^4) \\ &\qquad+a_2(q_1^2 + q_2^2 + 4q_3^2) +\frac{a_3}{2q_3^2} + \frac{a_4}{2(q_1^2 + q_2^2)} +\frac{a_5(q_1^2 + q_2^2 + 4q_3^2)}{4(q_1^2 + q_2^2)^3}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируемые гамильтонианы c потенциалами (2.21) и (2.22) есть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_{\mathrm{IV}} &=\sum_{i=1}^3 p_i^2+4a_1(q_1^4 + 2 q_1^2 q_2^2 + 6 q_1^2 q_3^2 + q_2^4 + 6 q_2^2 q_3^2 + 8 q_3^4) \\ &\qquad+a_2 (2 q_1^2 + 2 q_2^2 + 8 q_3^2) +\frac{a_3}{2 q_3^2} +\frac{a_4}{2(q_1^2 + q_2^2)} + \frac{a_5}{(2q_1^2 + 2 q_2^2)^3} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H_{\mathrm{V}} &=\sum_{i=1}^3 p_i^2+ 4a_1(16q_1^4 + 32q_1^2q_2^2 + 12q_1^2q_3^2 + 16q_2^4 + 12q_2^2q_3^2 + q_3^4) \nonumber \\ &\qquad+ 2a_2(4q_1^2 + 4q_2^2 + q_3^2)+ \frac{a_3}{2(q_1^2 + q_2^2)} + \frac{a_4}{2q_3^2} + \frac{a_5(4q_1^2 + 4q_2^2 + q_3^2)}{4q_3^6}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Элементы Казимира $C_{1,2}$ (2.10) для этой реализации (3.1) алгебры $\mathrm{so}^*(4)$ имеют вид Так как выписанные выше гамильтонианы $H_N$, $N=\mathrm{I},\mathrm{II},\mathrm{III},\mathrm{IV},\mathrm{V}$, коммутируют с $M_1$ и $G_N$
$$
\begin{equation*}
\{H_N,M_1\}=0,\qquad \{H_N,G_N\}=0,\qquad \{G_N,M_1\}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
мы имеем пять интегрируемых систем с тремя степенями свободы. Полиномиальные слагаемые в этих пяти потенциалах были получены в работе [7] с помощью метода Йошиды [6]. Рациональные слагаемые в этих гамильтонианах так же встречались в литературе, например гамильтониан $H_{\mathrm{V}}$ при $a_1=a_2=a_3=a_4=0$ был найден в [30], [31] как пример не тривиальной суперинтегрируемой системы. Действительно, гамильтониан $H$ (3.2) при $a_1=a_2=a_3=a_4=0$
$$
\begin{equation*}
H_{\mathrm{V}}=p_1^2+p_2^2+p_3^2+ \frac{a_5(4q_1^2 + 4q_2^2 + q_3^2)}{4q_3^6}
\end{equation*}
\notag
$$
инвариантен относительно выбранного нами вращения $X_{12}$ и коммутирует с полиномом четвертой степени $G_{\mathrm{V}}$. Согласно [32], [33] этот гамильтониан также коммутирует с полиномами второй степени по импульсам вида
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K_1 &=p_3J_{23} - 2p_1J_{12} + \frac{2a_5q_2(2q_1^2 + 2q_2^2 + q_3^2)}{q_3^6}, \\ K_2 &=p_3J_{13} + 2p_2J_{12} + \frac{2a_5q_1(2q_1^2 + 2q_2^2 + q_3^2)}{q_3^6}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
которые не инвариантны относительно вращения $X_{12}$. Алгебра первых интегралов имеет вид
$$
\begin{equation*}
\{M_1,K_1\}=-K_2,\quad \{M_1,K_2\}=K_1,\quad \{K_1,K_2\}=4M_1 {H}_{\mathrm{V}},\qquad M_1=J_{12},
\end{equation*}
\notag
$$
a полином четвертой степени является элементом центра этой алгебры
$$
\begin{equation*}
G_{\mathrm{V}}=4M_1^2{H}_{\mathrm{V}} - K_1^2 - K_2^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $K_{1,2}$ не инварианты относительно вращения $X_{12}$, мы не можем найти эти интегралы движения в рамках предлагаемого нами алгоритма. Обобщение этой суперинтегрируемой системы на $n$-мерный случай приведено в [32], [33]. Итак, мы полностью воспроизвели список полиномиальных потенциалов четвертой степени, приведенный в табл. 1 работы [7], за исключением первых двух случаев, когда полином четвертой степени $G$ является квадратом полинома второй степени по импульсам. Отсутствующие в этой таблице случаи интегрируемых потенциалов рассматриваются далее. 3.1.1. Двойные вращенияПостроим интегрируемые системы, инвариантные относительно комбинации вращений вокруг первой и третьей осей координат $X_{23}+X_{12}$. Соответствующий линейный по импульсам интеграл движения есть
$$
\begin{equation*}
M_1=J_{12}+J_{23}=(q_1p_2-p_1q_2) + (q_2p_3 - p_2q_3).
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнения (2.2) и (2.8) имеют два независимых решения
$$
\begin{equation*}
V_1=q_1^2+q_2^2+q_3^2\quad\text{и}\quad V_2=2q_1q_3 - q_2^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя соответствующие переменные $Q_{1,2}$ и $P_{1,2}$ в (2.16), получаем интегрируемый гамильтониан вида
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_{\mathrm{I}} &=\sum_{i=1}^3 p_i^2+a_1\bigl(2(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2)^2 - (2q_1q_3 - q_2^2)^2\bigr)+a_2(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2) \\ &\qquad+\frac{a_3(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2)+a_4(2q_1q_3 - q_2^2)}{(q_1 + q_3)^2(q_1^2 - 2q_1q_3 + 2q_2^2 + q_3^2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $a_2=a_3=a_4=0$, мы получаем гамильтониан, связанный с эрмитовым симметрическим пространством $\mathrm{Sp}(3)/\mathrm{U}(3)$ типа $\mathrm{C.I}$ [15], [16], [29]. Для этого частного случая нам известна и матрица Лакса, и соответствующая классическая $r$-матрица. Обобщения матрицы Лакса на общий случай $a_k\neq 0$ нам не известно. Для полноты выпишем второй и третий гамильтонианы (2.17), (2.19) в терминах исходных декартовых координат:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_{\mathrm{II}} &=\sum_{i=1}^3 p_i^2+ a_1(5q_1^2 + 6q_1q_3 + 2q_2^2 + 5q_3^2)(3q_1^2 + 2q_1q_3 + 2q_2^2 + 3q_3^2) \\ &\qquad+a_2(5q_1^2 + 6q_1q_3 + 2q_2^2 + 5q_3^2)+\frac{a_3}{q_1^2 + 2q_1q_3 + q_3^2}+\frac{a_4}{q_1^2 - 2q_1q_3 + 2q_2^2 + q_3^2} \\ &\qquad+\frac{a_5}{(q_1^2 - 2q_1q_3 + 2q_2^2 + q_3^2)^3}, \\ H_{\mathrm{III}} &=\sum_{i=1}^3 p_i^2+a_1(29q_1^4 - 60q_1^3q_3 + 88q_1^2q_2^2 + 78q_1^2q_3^2 - 80q_1q_2^2q_3 - 60q_1q_3^3 \\ &\qquad+ 64q_2^4 + 88q_2^2q_3^2 + 29q_3^4) + a_2(5q_1^2 - 6q_1q_3 + 8q_2^2 + 5q_3^2) \\ &\qquad+\frac{a_3}{q_1^2 - 2q_1q_3 + 2q_2^2 + q_3^2} +\frac{a_4}{(q_1 + q_3)^2} +\frac{a_5(5q_1^2 - 6q_1q_3 + 8q_2^2 + 5q_3^2)}{(q_1 + q_3)^6}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Упоминаний об интегрируемых гамильтонианах $H_N$, $N=\mathrm{II},\mathrm{III},\mathrm{IV},\mathrm{V}$, в существующей литературе нами не найдено. 3.2. Четырехмерное евклидово пространство $\mathbb E^4$Начнем с построения интегрируемых систем, инвариантных относительно двух коммутирующих базисных полей симметрий $X_{12}$ и $ X_{34}$ (2.1). В этом случае уравнения (2.2) и (2.8) имеют два независимых решения
$$
\begin{equation*}
V_1=q_1^2+q_2^2+q_3^2+q_4^2, \qquad V_2=q_1^2 + q_2^2 - q_3^2 - q_4^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя различные реализации шестимерной алгебры $\mathrm{so}^*(4)$, в которых $Q_2=\pm V_2(q)$, и интегралы движения $H_N$ и $G_N$, $N=\mathrm{I},\mathrm{II},\mathrm{III},\mathrm{IV},\mathrm{V}$, мы можем описать пять интегрируемых систем в евклидовом пространстве $\mathbb E^4$. Перейдем теперь к комбинациям базисных вращений $X_{ij}$ (2.1). В евклидовом пространстве $E^4$ можно выделить два типа двойных вращений. Будем называть двойное вращение невырожденным, если все четыре индекса различны:
$$
\begin{equation*}
Y_{ij,km}= X_{ij}+X_{km},\qquad i\neq j,\quad k\neq m .
\end{equation*}
\notag
$$
Остальные двойные вращения назовем вырожденными или приводимыми, и в этом случае $i=k$ или $i=m$, или $j=k$, или $j=m$. 3.2.1. Невырожденные двойные вращенияВ качестве примера рассмотрим поля симметрий, отвечающие последовательностям из двух вращений,
$$
\begin{equation*}
Y_{12,34}=X_{12}+X_{34},\qquad Y_{31,42}=X_{31}+X_{42}.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствующие интегралы Нётер
$$
\begin{equation}
M_1= J_{1 2} + J_{3 4},\quad M_2=J_{3 1}+ J_{42},\qquad \{M_1,M_2\}=0,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
коммутируют друг с другом относительно скобок Пуассона (1.4). Уравнения (2.2) и (2.8) имеют два независимых решения
$$
\begin{equation*}
V_1=\sum_{i=1}^4 q_i^2,\qquad V_2=2(q_1q_4 - q_2q_3).
\end{equation*}
\notag
$$
Выпишем гамильтониан (2.16) при $a_2=a_3=a_4=0$:
$$
\begin{equation*}
H_{\mathrm{I}}=\sum_{i=1}^4 p_i^2+a_1\biggl(2\biggl(\sum_{i=1}^4 q_i^2 \biggr)^2- (q_1q_4 - q_2q_3)^2\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тензор $\mathcal R$ в определении потенциала совпадает с тензором кривизны в эрмитовом симметрическом пространстве $\mathrm{SO}(4)/\mathrm{S}(\mathrm{U}(2)\times \mathrm{U}(2))$ типа $\mathrm{A.III}$, см. [15], [16], [29]. При $a_2=a_3=a_4=a_5=0$ второй и третий гамильтонианы (2.17), (2.19) имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_{\mathrm{II}} &=\sum_{i=1}^4 p_i^2+ a_1(5q_1^2 + 6q_1q_4 + 5q_2^2 - 6q_2q_3 + 5q_3^2 + 5q_4^2) \\ &\qquad\times(3q_1^2 + 2q_1q_4 + 3q_2^2 - 2q_2q_3 + 3q_3^2 + 3q_4^2), \\ H_{\mathrm{III}} &=\sum_{i=1}^4 p_i^2+a_1(29 q_1^4 - 60 q_1^3 q_4 + 58 q_1^2 q_2^2 + 60 q_1^2 q_2 q_3 + 58 q_1^2 q_3^2 + 78 q_1^2 q_4^2 \\ &\qquad - 60 q_1 q_2^2 q_4 - 40 q_1 q_2 q_3 q_4 - 60 q_1 q_3^2 q_4 - 60 q_1 q_4^3 + 29 q_2^4 + 60 q_2^3 q_3 \\ &\qquad + 78 q_2^2 q_3^2 + 58 q_2^2 q_4^2 + 60 q_2 q_3^3 + 60 q_2 q_3 q_4^2 + 29 q_3^4 + 58 q_3^2 q_4^2 + 29 q_4^4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируемые гамильтонианы $H_N$, $N=\mathrm{II}, \mathrm{III}, \mathrm{IV}, \mathrm{V}$, не связаны с эрмитовыми симметрическими пространствами [16]. 3.2.2. Вырожденные двойные вращенияВ качестве примера рассмотрим поля симметрий, отвечающие двойным вращениям
$$
\begin{equation*}
Y_{12,23}=X_{12}+X_{23},\qquad Y_{14,34}=X_{14}+X_{34}.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствующие интегралы Нётер
$$
\begin{equation}
M_1= J_{1 2} + J_{2 3},\quad M_2=J_{14}+ J_{34},\qquad \{M_1,M_2\}=0,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
коммутируют друг с другом относительно скобок Пуассона (1.4). Уравнения (2.2) и (2.8) имеют два независимых решения
$$
\begin{equation*}
V_1=\sum_{i=1}^4 q_i^2,\qquad V_2=2q_1q_3 - q_2^2 + q_4^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя
$$
\begin{equation*}
Q_{1,2}=V_{1,2}(q),\qquad P_{1,2}=V_{1,2}(p),\qquad A=\{P_1,Q_1\},\qquad B=\{P_1,Q_2\}
\end{equation*}
\notag
$$
в (2.16), (2.17) и (2.19) при $a_2=a_3=a_4=a_5=0$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_{\mathrm{I}} &=\sum_{i=1}^4 p_i^2+a_1\biggl(2 \biggl(\sum_{i=1}^4 q_i^2\biggr)^2- (2q_1q_3 - q_2^2 + q_4^2)^2\biggr), \\ H_{\mathrm{II}} &=\sum_{i=1}^4 p_i^2+a_1(5q_1^2 + 6q_1q_3 + 2q_2^2 + 5q_3^2 + 8q_4^2)(3q_1^2 + 2q_1q_3 + 2q_2^2 + 3q_3^2 + 4q_4^2), \\ H_{\mathrm{III}} &=\sum_{i=1}^4 p_i^2+a_1(29 q_1^4 - 60 q_1^3 q_3 + 88 q_1^2 q_2^2 + 78 q_1^2 q_3^2 + 28 q_1^2 q_4^2 - 80 q_1 q_2^2 q_3 - 60 q_1 q_3^3 \\ &\qquad- 40 q_1 q_3 q_4^2 + 64 q_2^4 + 88 q_2^2 q_3^2 + 48 q_2^2 q_4^2 + 29 q_3^4 + 28 q_3^2 q_4^2 + 4 q_4^4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Явные выражения для четвертого и пятого интегрируемых случаев мы не приводим, так как они имеют аналогичную структуру. 3.2.3. Тройные вращенияВ качестве примера рассмотрим поля симметрий, отвечающие последовательностям из двух и трех вращений
$$
\begin{equation*}
Y_{12,34}=X_{12}+X_{34},\qquad Y_{12,13,24}=X_{12}+X_{13}+X_{24}.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствующие интегралы Нётер
$$
\begin{equation*}
M_1= J_{1 2} + J_{3 4},\quad M_2=J_{1 2} + J_{1 3} + J_{2 4},\qquad \{M_1,M_2\}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
коммутируют друг с другом относительно скобок Пуассона (1.4). Уравнения (2.2) и (2.8) имеют два независимых решения
$$
\begin{equation*}
V_1=\sum_{i=1}^4 q_i^2,\qquad V_2=\frac{\sqrt{5}}{5} (q_1^2 - 4q_1q_4 + q_2^2 + 4q_2q_3 - q_3^2 - q_4^2).
\end{equation*}
\notag
$$
При $a_2=a_3=a_4=0$ явное выражение для первого гамильтониана (2.16) остается вполне обозримым:
$$
\begin{equation*}
H_{\mathrm{I}}=\sum_{i=1}^4 p_i^2+a_1\biggl(2 \biggl(\sum_{i=1}^4 q_i^2\biggr)^2-\frac{1}{5} (q_1^2 - 4q_1q_4 + q_2^2 + 4q_2q_3 - q_3^2 - q_4^2)^2\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Явные выражения для остальных четырех гамильтонианов мы не приводим из-за их громоздкости.
§ 4. Примеры для случая $m>n-2$При $m>n-2$ выбранные нами поля симметрий вращения $Y_\alpha$, $\alpha=1,\dots,m$, могут не коммутировать друг с другом, но тем не менее мы будем требовать существования $n-2$ линейных или квадратичных законов сохранения в инволюции относительно скобок Пуассона (1.4). Напомним, что в классической механике гамильтонова система на $2n$-мерном симплектическом многообразии называется интегрируемой по Лиувиллю, если существует $n$ функционально независимых интегралов движения в инволюции. Система является суперинтегрируемой, если она допускает более $n$ интегралов, которые функционально независимы и коммутируют с гамильтонианом, см. обзор [20] и ссылки в нем. Если эти суперинтегрируемые системы интегрируемы в квадратурах Абеля, то интегралы движения выражаются через переменные действие–угол [19] с помощью теоремы Эйлера [21], теоремы Римана–Роха [25], теоремы Чаплыгина [24] и других классических теорем, встречающихся в различных математических приложениях [23], [22]. В рамках предлагаемого нами алгоритма мы не можем построить дополнительные интегралы движения при $m=n-2$, так как эти интегралы движения будут не инвариантными относительно выбранных нами полей симметрий, см. пример (3.3). Если $m>n-2$, мы заведомо получаем суперинтегрируемые системы, так поля симметрий не коммутируют друг с другом. Далее мы ограничимся рассмотрением двух примеров из множества подобных суперинтегрируемых систем. 4.1. Пятимерное евклидово пространство $\mathbb E^5$Рассмотрим две пары коммутирующих друг с другом двойных вращений
$$
\begin{equation*}
Y_{12,34}=X_{12}+X_{34},\qquad Y_{31,42}=X_{31}+X_{42}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
Y_{12,23}=X_{12}+X_{23},\qquad Y_{14,34}=X_{14}+X_{34},
\end{equation*}
\notag
$$
которые мы использовали для построения интегрируемых систем в четырехмерном евклидовом пространстве. 4.1.1. Невырожденные двойные вращенияВ пятимерном евклидовом пространстве $\mathbb E^5$ не существует двойных вращений, которые коммутируют с $Y_{12,34}$ и $Y_{31,42}$. Тем не менее, добавляя к нётеровским интегралам движения (2.4), (3.4)
$$
\begin{equation*}
M_1= J_{1 2} + J_{3 4},\quad M_2=J_{3 1}+ J_{42},\qquad \{M_1,M_2\}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
еще два нётеровских интеграла движения мы получаем алгебру интегралов движения
$$
\begin{equation*}
\{M_1, M_3\}=- M_4,\quad \{M_1, M_4\}= M_3, \quad \{M_2, M_3\}=M_4,\quad \{M_2 M_4\} =- M_3,
\end{equation*}
\notag
$$
что позволяет построить необходимое нам число $n-2=3$ независимых интегралов движения в инволюции Коммутирующие с $m=4$ функциями $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ решения уравнений (2.2) и (2.8) имеют вид
$$
\begin{equation*}
V_1(q)=\sum_{i=1}^5 q_i^2,\qquad V_2(q)=\pm(2q_1q_4 - 2q_2q_3 + q_5^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя соответствующие инвариантные переменные
$$
\begin{equation*}
Q_{1,2}=V_{1,2}(q),\qquad P_{1,2}=V_{1,2}(p),\quad A=\{P_1,Q_1\},\quad B=\{P_1,Q_2\}
\end{equation*}
\notag
$$
в выражения для $H_N$ и $G_N$, $N=\mathrm{I},\mathrm{II},\mathrm{III},\mathrm{IV},\mathrm{V}$, мы получаем две функции, коммутирующие с четырьмя функциями $M_1$, $M_2$, $M_3$ и $M_4$, т. е. пять суперинтегрируемых гамильтонианов, два из которых связаны с эрмитовыми симметрическими пространствами B.III и BD.I типов [15], [16], [29]. 4.1.2. Вырожденные двойные вращенияДобавим два нётеровских интеграла движения к коммутирующим друг с другом интегралам Нётер (2.4), (3.5)
$$
\begin{equation*}
M_1= J_{1 2} + J_{2 3},\quad M_2=J_{14}+ J_{34},\qquad \{M_1,M_2\}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\{M_1, M_3\}=0,\quad \{M_1, M_4\}=0,\quad \{M_2, M_3\}= \sqrt{2}\,M_4,\quad \{M_2, M_4\}=-\sqrt{2}\,M_3
\end{equation*}
\notag
$$
и Решения уравнений (2.2) и (2.8), коммутирующие с $m=4$ функциями $M_1$, $M_2$, $M_3$ и $M_4$, имеют вид
$$
\begin{equation*}
V_1(q)=\sum_{i=1}^5 q_i^2,\qquad V_2(q)=\pm(q_1^2 + 2q_2q_3 - q_4^2 - q_5^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя соответствующие инвариантные относительно вращений переменные в выражения для $H_N$, $N=\mathrm{I},\mathrm{II},\mathrm{III},\mathrm{IV},\mathrm{V}$, мы получаем пять суперинтегрируемых гамильтонианов в пятимерном евклидовом пространстве $T^*\mathbb E^5$.
§ 5. ЗаключениеДля построения интегрируемых и суперинтегрируемых систем в $n$-мерном евклидовом пространстве мы предлагаем использовать $m$ коммутирующих или не коммутирующих полей симметрий. Если этих полей симметрий достаточно для построения $n-2$ интегралов движения в инволюции, то оставшиеся два интеграла движения можно построить, используя переменные инвариантные относительно этих полей симметрий. В данной работе этот метод используется для построения ряда известных и ряда неизвестных интегрируемых и суперинтегрируемых систем, связанных с различными реализациями алгебры Ли $\mathrm{so}^*(4)$. Так как таких реализаций и соответствующих интегрируемых систем бесконечно много, то мы ограничились рассмотрением только наиболее интересных примеров в евклидовых пространствах размерностей не более пяти. Естественное обобщение предложенного алгоритма состоит в полной или частичной замене изометрий на скрытые симметрии, например, связанные с тензорами Киллинга второго порядка. Место нётеровских интегралов движения $M_\alpha$ (2.4) в этом случае займут квадратичные интегралы движения вида
$$
\begin{equation*}
h_\alpha= \sum_{i,j=1}^m c^{ij}_\alpha M_{ij}^2 +t_\alpha(p)+v_\alpha(q),
\end{equation*}
\notag
$$
где функции $M_{ij}=J_{ij}$ отвечают вращениям $X_{ij}$, функция $t_\alpha(p)$ отвечает комбинации трансляций $X_i$ (2.1) a $v_\alpha(q)$ – некоторые функции от координат $q_i$. Соответствующие интегрируемые потенциалы при этом будут не решениями уравнений $\mathcal L_{Y_\alpha}V(q)=0$ (2.2), а решениями уравнений $d( \mathcal K_\alpha \,dV(q))=0$, где $\mathcal K_\alpha$ – тензоры Киллинга, отвечающие квадратичным законам сохранения $h_\alpha$. Примеры таких интегралов движения $h_\alpha$, тензоров Киллинга $\mathcal K_\alpha$ с ненулевым кручением Хаантьеса и соответствующих интегрируемых систем могут быть найдены в работе [29].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tsi24} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|