| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О подпространствах пространств Орлича, порожденных независимыми копиями в среднем равной нулю функции С. В. Асташкинabcd a Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова c Московский центр фундаментальной и прикладной математики d Bahcesehir University, Turkey
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9531e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеСогласно классическому неравенству Хинчина (см., например, [1; теорема V.8.4]), для каждого $0<p<\infty$ существуют такие константы $A_p>0$ и $B_p>0$, что для любой последовательности вещественных чисел $(c_k)_{k=1}^\infty$
$$
\begin{equation}
A_p \|(c_k)\|_{\ell^2}\leqslant \biggl\|\sum_{k=1}^\infty c_k r_k\biggr\|_{L^p[0, 1]} \leqslant B_p \|(c_k)\|_{\ell^2},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $r_k$ – функции Радемахера, $r_k(t) = \operatorname{sign} (\sin 2^k \pi t)$, $k \in \mathbb{N}$, $t \in [0,1]$, а $\|(c_k)\|_{\ell^2}:=\bigl(\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \bigr)^{1/2}$. Таким образом, для каждого $0<p<\infty$ последовательность $\{r_k\}_{k=1}^\infty$ эквивалентна в $L^p$ каноническому базису пространства $\ell^2$. Этот пример демонстрирует некоторый общий феномен, суть которого отражена в следующем понятии. Замкнутое линейное подпространство $H$ пространства $L^p=L^p[0,1]$, $1\leqslant p<\infty$, называют $\Lambda(p)$-пространством, если на $H$ сходимость в $L^p$-норме эквивалентна сходимости по мере, или равносильно: для каждого (или некоторого) $q\in (0,p)$ существует константа $C_q>0$ такая, что
$$
\begin{equation}
\|f\|_{L^p}\leqslant C_q\|f\|_{L^q}\quad\text{для всех}\quad f\in H
\end{equation}
\tag{2}
$$
(см. [2; предложение 6.4.5]). Следовательно, неравенство (1) показывает, что замкнутая линейная оболочка $[r_k]$ в $L^p$ является $\Lambda(p)$-пространством для любого $1\leqslant p<\infty$. Отправной точкой для введения понятия $\Lambda(p)$-пространства стала классическая работа У. Рудина [3] (1960 г.), посвященная анализу Фурье на окружности $[0,2\pi)$, в которой изучается следующее близкое понятие. Пусть $0<p<\infty$. Множество $E\subset \mathbb{Z}$ назовем $\Lambda(p)$-множеством, если для некоторого $0<q<p$ существует константа $C_q>0$ такая, что неравенство (2) выполнено для любого тригонометрического полинома $f$ со спектром (т. е. носителем преобразования Фурье) в $E$. Как легко видеть, это эквивалентно тому, что подпространство $L_E$, порожденное множеством экспонент $\{e^{2\pi int},\, n\in E\}$, является $\Lambda(p)$-пространством. В частности, в [3] для всех натуральных $n>1$ были построены $\Lambda(2n)$-множества, которые не являются $\Lambda(q)$-множествами для любого $q>2n$. В 1989 г. Ж. Бургейн усилил этот результат, распространив теорему У. Рудина на все $p>2$ [4]. В силу известного критерия Валле Пуссена (см. лемму 7 ниже) отсюда для каждого $p>2$ вытекает существование такого $\Lambda(p)$-множества $E$, что функции единичного шара подпространства $L_E$ имеют не равностепенно непрерывные нормы в $L^p$ (все определения см. в § 2). По “другую сторону” от $L^2$, как это часто случается, картина оказалась совершенно иной. Еще раньше, в 1974 г., Г. Ф. Бачелис и С. Е. Эбенштейн показали в [5], что в случае, когда $p\in (1,2)$, каждое $\Lambda(p)$-множество является $\Lambda(q)$-множеством для некоторого $q>p$ (подробнее о теории $\Lambda(p)$-множеств см. в обзоре [6]). Более того, в том же направлении, в [7; теорема 13] Х. П. Розенталь доказал, что для каждого $1<p<2$ (замкнутое линейное) подпространство $H$ пространства $L^p$ является $\Lambda(p)$-пространством, если и только если функции единичного шара $H$ имеют равностепенно непрерывные нормы в $L^p$. Недавняя работа автора [8] была посвящена распространению теоремы Розенталя на класс функциональных пространств Орлича $L_M$. Согласно определению 6.4.4 из [2], обобщая понятие $\Lambda(p)$-пространства, (замкнутое линейное) подпространство $H$ пространства Орлича $L_M$ (или симметричного пространства $X$) на $[0,1]$ будем называть сильно вложенным в $L_M$ (соответственно в $X$), если на $H$ сходимость в $L_M$-норме (соответственно $X$-норме) эквивалентна сходимости по мере. Ограничение $1<p<2$ из теоремы Розенталя в этой более общей ситуации переходит в неравенство $1<\alpha_M^\infty\leqslant \beta_M^\infty<2$ для индексов Матушевской–Орлича функции $M$. Как показано в [8], в отличие от $L^p$, последнее условие отнюдь не гарантирует, что в $L_M$ справедлив аналог теоремы Розенталя. В частности, нормы функций единичного шара любого сильно вложенного в пространство $L_M$ подпространства, изоморфного некоторому пространству Орлича последовательностей, равностепенно непрерывны в $L_M$, если и только если функция $t^{-1/\beta_M^\infty}$ не принадлежит $L_M$ [8; теорема 3]. Тем самым при невыполнении этого условия аналог теоремы Розенталя не верен даже для такого специального класса подпространств пространств Орлича. Семейство подпространств пространства $L_M$, изоморфных пространствам Орлича последовательностей, включает в себя, в частности, подпространства, порожденные в $L_M$ независимыми копиями в среднем равных нулю функций из этого пространства (см. далее п. 3.4). Детальному изучению подпространств этого типа и посвящена данная работа. Отметим, что исследование класса подпространств $L^p$-пространств с симметричным базисом, порожденным последовательностью независимых функций, было начато достаточно давно. Интерес к этой тематике возрос после того, как в 1958 г. М. И. Кадец [9] “поставил точку” в решении известной проблемы С. Банаха, доказав, что для каждой пары чисел $p$ и $q$ таких, что $1\leqslant p<q<2$, и для всякой $q$-устойчивой случайной величины $\xi^{(q)}$, принадлежащей к $L^p$, последовательность $\{\xi^{(q)}_k\}_{k=1}^\infty$ независимых копий $\xi^{(q)}$ порождает в $L^p$ подпространство, изоморфное $\ell^q$. Вслед за этим, в 1969 г., Ж. Бретаноль и Д. Дакунья-Кастель (см. [10]–[12]) показали, что для любой функции $f\in L^p$ такой, что $\int_0^1 f(t)\,dt=0$, последовательность $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ ее независимых копий эквивалентна в $L^p$, $1\leqslant p<2$, каноническому базису в некотором пространстве Орлича последовательностей $\ell_\psi$ с $p$-выпуклой и $2$-вогнутой функцией Орлича $\psi$ [12; теорема 1, с. X.8]. Позднее этот результат был переоткрыт М. Ш. Браверманом (см. [13; следствие 2.1] и [14]). В противоположном направлении, как было показано в [11], если $\psi$ – $p$-выпуклая и $2$-вогнутая функция Орлича такая, что $\lim_{t\to 0}\psi(t)t^{-p}=0$, то последовательность независимых копий некоторой функции $f\in L^p$ эквивалентна в $L^p$ каноническому базису в $\ell_\psi$. Эти исследования были продолжены затем в работе С. В. Асташкина и Ф. А. Сукочева [15], где, среди прочего, было выявлено существование прямых связей между данной функцией Орлича $\psi$ и распределением функции $f\in L^p$, независимые копии которой порождают в $L^p$ подпространство, изоморфное пространству $\ell_\psi$. Это привело к постановке естественного вопроса о том, однозначно ли (с точностью до эквивалентности при больших значениях аргумента) определяется функцией $\psi$ распределение функции $f\in L^p$, $\int_0^1 f(t)\,dt=0$, независимые копии которой порождают в $L^p$ подпространство, изоморфное пространству $\ell_\psi$. Частичное решение этой проблемы было дано в последующих работах [16] и [17]. В частности, согласно [16; теорема 1.1], если функция Орлича $\psi$ находится достаточно “далеко” от “крайних” функций $t^p$ и $t^2$, $1\leqslant p<2$, такая однозначность есть, и распределение функции $f$ эквивалентно (при больших значениях аргумента) распределению функции ${1}/{\psi^{-1}}$. В [17] некоторые из этих результатов были перенесены на общие симметричные функциональные пространства на $[0,1]$, удовлетворяющие определенным условиям. Последние факты существенным образом используются в данной работе. Другие важные компоненты в доказательствах – один из вариантов известного критерия Валле Пуссена, а также результаты автора, полученные в работе [18], из которых, в частности, следует, что пространство Орлича $L_M$, $1<\alpha_M^\infty\leqslant \beta_M^\infty<2$, содержит функцию $1/\psi^{-1}$ при условии, что в $L_M$ существует сильно вложенное подпространство, изоморфное пространству Орлича последовательностей $\ell_\psi$. Опишем кратко содержание работы. В § 2 и § 3 приведены необходимые предварительные сведения и некоторые вспомогательные результаты, относящиеся к симметричным пространствам, а также функциям и пространствам Орлича. Главные результаты работы содержатся в § 4. Так, в п. 4.1 в терминах растяжений функции $f\in L_M$, $\int_0^1 f(t)\,dt=0$, найдены условия, при которых подпространство $[f_k]$, порожденное независимыми копиями $f$, сильно вложено в $L_M$ (предложение 1). Здесь же получены условия, при которых нормы функций единичного шара подпространства $[f_k]$ равностепенно непрерывны в $L_M$ (предложение 2). В п. 4.2 эти результаты применяются при рассмотрении вопроса, когда из сильной вложенности подпространства $[f_k]$ этого типа в $L_M$ вытекает равностепенная непрерывность в $L_M$ норм функций его единичного шара (см. теорему 2). Наиболее полные результаты получены в п. 4.3, когда $t^{-1/\beta_M^\infty}\notin L_M$ (в частности, это выполнено для пространства $L^p$). А именно, если $1<\alpha_M^\infty\leqslant \beta_M^\infty<2$ и подпространство $[f_k]$ изоморфно пространству Орлича последовательностей $\ell_\psi$, то оба рассматриваемых свойства подпространства могут быть охарактеризованы с помощью индексов Матушевской–Орлича функций $M$ и $\psi$ следующим образом: нормы функций единичного шара подпространства $[f_k]$ равностепенно непрерывны в $L_M$ $\Longleftrightarrow$ подпространство $[f_k]$ сильно вложено в $L_M$ $\Longleftrightarrow$ $\alpha_\psi^0>\beta_M^\infty$ (см. теорему 3). В заключительной части работы, п. 4.4, показано, что функции единичного шара всякого подпространства $L^2$-пространства, порожденного независимыми, одинаково распределенными, в среднем равными нулю функциями, имеют равностепенно непрерывные нормы в $L^2$ (см. теорему 4). Часть результатов этой работы была анонсирована в заметке [19]. § 2. Предварительные сведенияЕсли $F_1$ и $F_2$ – две неотрицательные функции (квазинормы), определенные на некотором множестве $T$, то запись $F_1\preceq F_2$ означает существование константы $C>0$ такой, что $F_1(t)\leqslant CF_2(t)$ для всех $t\in T$. В том случае, когда одновременно $F_1\preceq F_2$ и $F_2\preceq F_1$, величины $F_1$ и $F_2$ будут называться эквивалентными на $T$ (обозначаем $F_1\asymp F_2$). В случае, когда $T=(0,\infty)$, мы будем говорить также об эквивалентности при больших (соответственно малых) значениях аргумента. Это означает, что соотношение $F_1\asymp F_2$ выполнено для всех $t\geqslant t_0$ (соответственно $0<t\leqslant t_0$), где $t_0$ достаточно велико (соответственно мало). Тот факт, что банаховы пространства $X$ и $Y$ линейно и непрерывно изоморфны, будет обозначаться следующим образом: $X\approx Y$. Под подпространством банахова пространства всегда будет пониматься замкнутое линейное подпространство. Наконец, всюду далее $C,C_1,\dots$ – положительные константы, значение которых может меняться от случая к случаю. 2.1. Симметричные пространстваПодробное изложение теории симметричных пространств см. в монографиях [20]–[22]. Банахово пространство $X$ измеримых на пространстве $(I,m)$ вещественнозначных функций, где $I$ равно $[0,1]$ или $(0,\infty)$ и $m$ – мера Лебега, называется симметричным (или перестановочно инвариантным), если из условий $y \in X$ и $x^*(t)\leqslant y^*(t)$ почти всюду (п. в.) на $I$ следует: $x\in X$ и ${\|x\|}_X \leqslant {\|y\|}_X$. Здесь и всюду далее через $x^*(t)$ обозначается непрерывная справа невозрастающая перестановка функции $|x(s)|$, заданная соотношением
$$
\begin{equation*}
x^*(t):=\inf \{ \tau\geqslant 0\colon n_x(\tau)\leqslant t \},\qquad 0<t<m(I),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
n_x(\tau):=m\{s\in I\colon |x(s)|>\tau\},\qquad\tau>0.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, каждое симметричное пространство $X$ является банаховой решеткой измеримых функций, что означает следующее: если $x$ измерима на $I$, $y \in X$ и $|x(t)|\leqslant |y(t)|$ п. в. на $I$, то $x\in X$ и ${\|x\|}_X \leqslant {\|y\|}_X$. Кроме того, согласно определению, если $x$ и $y$ – равноизмеримые функции, т. е. $n_x(\tau)=n_y(\tau)$ для всех $\tau>0$, и $y\in X$, то $x\in X$ и ${\|x\|}_X ={\|y\|}_X$. Заметим, что всякая измеримая функция $x(t)$ равноизмерима со своей перестановкой $x^*(t)$. Для каждого симметричного пространства $X$ на $[0,1]$ (соответственно на $(0,\infty)$) имеют место непрерывные вложения $L^\infty[0,1] \subseteq X \subseteq L^1[0,1]$ (соответственно $(L^1\cap L^\infty)(0,\infty)\subseteq X \subseteq (L^1+L^\infty)(0,\infty))$. Далее будет предполагаться, что всегда выполнено условие нормировки: $\|\chi_{[0,1]}\|_X=1$. В этом случае константа каждого из предыдущих вложений равна $1$. Фундаментальная функция $\phi_X$ симметричного пространства $X$ определяется соотношением: $\phi_X(t):=\|\chi_A\|_X$, где $\chi_A$ – характеристическая функция любого измеримого множества $A\subset I$ такого, что $m(A)=t$. Функция $\phi_X$ квазивогнута (т. е. $\phi_X(0)=0$, $\phi_X$ не убывает и $\phi_X(t)/t$ не возрастает на $I$). Пусть $X$ – симметричное пространство на $[0,1]$. Для любого $\tau>0$ оператор растяжения ${\sigma}_\tau x(t):=x(t/\tau)\chi_{(0,\min\{1,\tau\})}(t)$, $0\leqslant t\leqslant 1$, ограничен в $X$ и $\|{\sigma}_\tau\|_{X\to X}\leqslant \max(1,\tau)$ (см., например, [20; теорема II.4.4]). Чтобы избежать путаницы, мы не будем вводить специального обозначения для оператора растяжения $x(t)\mapsto x(t/\tau)$, $\tau>0$, определенного на функциях $x(t)$, измеримых на $(0,\infty)$. Для нормы этого оператора в любом симметричном пространстве $X$ на полуоси справедлива точно такая же оценка, как для нормы оператора ${\sigma}_\tau$. Если $X$ – симметричное пространство на $[0,1]$, то ассоциированное пространство $X'$ состоит из всех измеримых функций $y$, для которых
$$
\begin{equation*}
\|y\|_{X'}:=\sup\biggl\{\int_{0}^1{x(t)y(t)\,dt}\colon \|x\|_X\,\leqslant{1}\biggr\}<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
$X'$ – также симметричное пространство; оно изометрически вкладывается в сопряженное пространство $X^*$, причем $X'=X^*$, если и только если $X$ сепарабельно. Симметричное пространство $X$ называется максимальным, если из условий $x_n\in X$, $n=1,2,\dots$, $\sup_{n=1,2,\dots}\|x_n\|_X<\infty$ и $x_n\to{x}$ п. в. следует, что $x\in X$ и $||x||_X\leqslant \liminf_{n\to\infty}{||x_n||_X}$. Пространство $X$ максимально тогда и только тогда, когда каноническое вложение $X$ в его второе двойственное $X''$ является изометрической сюръекцией. Аналогичным образом можно определить также симметричные пространства последовательностей (см., например, [20; § II.8]). В частности, если $X$ – симметричное пространство последовательностей, то его фундаментальная функция определяется соотношением: $\phi_X(n):=\bigl\|\sum_{k=1}^n e_k\bigr\|_X$, $n=1,2,\dots$ . Всюду далее $e_k$ – канонические единичные векторы в пространстве последовательностей, т. е. $e_k=(e_k^i)_{i=1}^\infty$, $e_k^i=0$, $i\ne k$, и $e_k^k=1$, $k,i=1,2,\dots$ . Семейство симметричных пространств включает в себя многие классические пространства, играющие важную роль в анализе, в частности, $L^p$-пространства, пространства Орлича, Лоренца, Марцинкевича и многие другие. Изложению необходимых далее сведений из теории пространств Орлича, свойства которых являются главным предметом изучения в этой работе, посвящена следующая часть этого параграфа. 2.2. Функции и пространства ОрличаПространства Орлича являются наиболее естественным и важным обобщением $L^p$-пространств. Детальное описание их свойств можно найти в монографиях [23]–[25]. Пусть $M$ – функция Орлича, т. е. возрастающая, выпуклая, непрерывная функция на полуоси $[0, \infty)$ такая, что $M(0) = 0$. Не ограничивая общности, всюду в дальнейшем считаем, что $M(1) = 1$. Пространство Орлича $L_M:=L_M(I)$ состоит из всех измеримых на $I$ функций $x(t)$, для которых конечна норма Люксембурга
$$
\begin{equation*}
\| x \|_{L_M}: = \inf \biggl\{\lambda > 0 \colon \int_I M\biggl(\frac{|x(t)|}{\lambda}\biggr) \, dt \leqslant 1 \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, если $M(u)=u^p$, $1\leqslant p<\infty$, получаем пространство $L^p$ с обычной нормой. Заметим, что определение пространства $L_M[0,1]$ зависит (с точностью до эквивалентности норм) лишь от поведения функции $M(u)$ при больших значениях аргумента $u$. Фундаментальная функция этого пространства вычисляется по формуле $\phi_{L_M}(u)=1/M^{-1}(1/u)$, $0<u\leqslant 1$, где $M^{-1}$ – функция, обратная к $M$. Если $M$ – функция Орлича, то дополнительной (или сопряженной по Янгу) к ней называется функция $\widetilde{M}$, определяемая следующим образом: Как нетрудно видеть, $\widetilde{M}$ также является функцией Орлича, и дополнительной к ней будет функция $M$.Каждое пространство Орлича $L_M(I)$ максимально; $L_M[0,1]$ (соответственно $L_M(0,\infty)$) сепарабельно, если и только если функция $M$ удовлетворяет так называемому $\Delta_2^\infty$-условию ($M\in \Delta_2^\infty$) (соответственно $\Delta_2$-условию ($M\in \Delta_2$)), т. е. $\sup_{u\geqslant 1} (M(2u)/M(u))<\infty$ (соответственно $\sup_{u>0} (M(2u)/M(u))<\infty)$. В этом случае $L_M(I)^*=L_M(I)'=L_{\widetilde{M}}(I)$. Важная характеристика пространства Орлича $L_M[0,1]$ – индексы Матушевской–Орлича в бесконечности $\alpha_M^{\infty}$ и $\beta_M^{\infty}$, определяемые следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\alpha_M^{\infty}: = \sup \biggl\{ p\colon \sup_{t,\, s \geqslant 1} \frac{M(t)s^p}{M(ts)} < \infty \biggr\}, \qquad \beta_M^{\infty}: = \inf \biggl\{ p \colon \inf_{t,\, s \geqslant 1} \frac{M(t)s^p}{M(ts)} > 0 \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [26] или [27; предложение 5.3]). Легко проверить, что $1 \leqslant \alpha_M^{\infty} \leqslant \beta_M^{\infty} \leqslant \infty$. Кроме того, $M\in \Delta_2^\infty$ (соответственно $\widetilde{M}\in \Delta_2^\infty$), если и только если $\beta_M^{\infty} <\infty$ (соответственно $\alpha_M^{\infty}>1$). Индексы Матушевской–Орлича являются частным случаем так называемых индексов Бойда, которые могут быть определены для любого симметричного пространства на $[0,1]$ или $(0,\infty)$ (см., например, [21; определение 2.b.1] или [20; § II.4.3]). Аналогичным образом определяется пространство Орлича последовательностей. А именно, если $\psi$ – функция Орлича, то пространство $\ell_{\psi}$ состоит из всех последовательностей $a=(a_{k})_{k=1}^{\infty}$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\| a\|_{\ell_{\psi}} := \inf\biggl\{\lambda>0: \sum_{k=1}^{\infty} \psi \biggl( \frac{|a_{k}|}{\lambda} \biggr)\leqslant 1\biggr\}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\psi(u)=u^p$, $p\geqslant 1$, то $\ell_\psi=\ell^p$ изометрически. Фундаментальная функция пространства Орлича $\ell_{\psi}$ может быть вычислена по формуле
$$
\begin{equation}
\phi_{\ell_\psi}(n)=\frac{1}{\psi^{-1}(1/n)},\qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Пространство $\ell_{\psi}$ сепарабельно, если и только если $\psi$ удовлетворяет $\Delta_2^0$-условию ($\psi\in \Delta_2^0$), т. е.
$$
\begin{equation*}
\sup_{0<u\leqslant 1} \frac{\psi(2u)}{\psi(u)}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае $\ell_{\psi}^*=\ell_{\psi}'=\ell_{\widetilde{\psi}}$, где функция $\widetilde{\psi}$ – дополнительная к функции $\psi$. Как нетрудно видеть (см. также [28; предложение 4.a.2]), единичные векторы $e_n$, $n=1,2,\dots$, образуют симметричный базис во всяком пространстве Орлича последовательностей $\ell_{\psi}$, если $\psi\in \Delta_2^0$. Напомним, что базис $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ банахова пространства $X$ называют симметричным, если существует такое $C>0$, что для произвольной перестановки $\pi$ множества натуральных чисел и любых $a_n\in\mathbb{R}$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
C^{-1}\biggl\|\sum_{n=1}^{\infty}a_nx_n\biggr\|_X\leqslant \biggl\|\sum_{n=1}^{\infty} a_nx_{\pi(n)} \biggr\|_X \leqslant C\biggl\|\sum_{n=1}^{\infty}a_nx_n\biggr\|_X.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение пространства Орлича $\ell_{\psi}$ зависит (с точностью до эквивалентности норм) лишь от поведения функции $\psi$ при малых значениях аргумента. Точнее, если $\varphi,\psi \in \Delta_2^0$, то следующие условия эквивалентны: 1) $\ell_{\psi}=\ell_{\varphi}$ (с эквивалентностью норм); 2) канонические векторные базисы в пространствах $\ell_{\psi}$ и $\ell_{\varphi}$ эквивалентны; 3) функции $\psi$ и $\varphi$ эквивалентны при малых значениях аргумента (см. [28; предложение 4.a.5] или [25; теорема 3.4]). В том случае, когда $\psi$ – вырожденная функция Орлича, т. е. $\psi(u)=0$ при некотором $u> 0$, получаем, что $\ell_{\psi}=\ell_\infty$ (с эквивалентностью норм). Пусть $\psi$ – функция Орлича, $\psi\in \Delta_2^0$, $A>0$. Определим следующие подмножества пространства $C[0, 1]$:
$$
\begin{equation*}
E_{\psi, A}^0 = \overline{\biggl\{ \frac{\psi(st)}{\psi(s)} \colon 0<s<A \biggr\}},\qquad C_{\psi, A}^0 = \overline{\operatorname{conv} E_{\psi, A}^0},
\end{equation*}
\notag
$$
где замыкание берется в $C[0,1]$, а через $\operatorname{conv} F$ обозначается выпуклая оболочка множества $F\subset C[0,1]$. Все эти множества являются непустыми компактными подмножествами пространства $C[0,1]$ [28; лемма 4.a.6]. Согласно теореме Й. Линденштраусса и Л. Цафрири (см., например, [28; теорема 4.a.8]), пространство Орлича $\ell_\varphi$ изоморфно некоторому подпространству пространства ${\ell_\psi}$ тогда и только тогда, когда $\varphi\in C_{\psi, 1}^0$. Для любой функции Орлича $\psi$ определим индексы Матушевской–Орлича в нуле $\alpha_{\psi}^0$ и $\beta_{\psi}^0$:
$$
\begin{equation*}
\alpha_{\psi}^0: = \sup \biggl\{ p \colon \sup_{0<t, s \leqslant 1} \frac{\psi(st)}{s^p\psi(t)} < \infty \biggr\}, \qquad \beta_{\psi}^0: = \inf \biggl\{ p \colon \inf_{0<t, s \leqslant 1} \frac{\psi(st)}{s^p\psi(t)} > 0 \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как и для индексов Матушевской–Орлича в бесконечности, выполняются неравенства $1 \leqslant \alpha_{\psi}^{\infty} \leqslant \beta_{\psi}^{\infty} \leqslant \infty$ (см., например, [28; гл. 4]). Кроме того, пространство $\ell^p$ или $c_0$, если $p=\infty$, изоморфно некоторому подпространству пространства Орлича $\ell_\psi$ тогда и только тогда, когда $p\in [\alpha_{\psi}^0,\beta_{\psi}^0]$ [28; теорема 4.a.9].
§ 3. Вспомогательные результаты3.1. Сильно вложенные подпространства и множества функций с равностепенно непрерывными нормамиПусть $X$ – симметричное пространство на $[0,1]$. Напомним (см. § 1), что подпространство $H\subset X$ сильно вложено, если на $H$ сходимость в $X$-норме эквивалентна сходимости по мере. Следующий результат в той или иной форме известен (в частности, в случае $L^p$-пространств см. [2; предложение 6.4.5]). Для удобства читателя приведем его здесь с доказательством. Лемма 1. Пусть $X$ – симметричное пространство на $[0,1]$, $X\ne L^1$, $H$ – подпространство $X$. Если нормы пространств $X$ и $L^1$ эквивалентны на $H$, то $H$ сильно вложено в $X$. Доказательство. Предполагая противное, найдем последовательность $\{x_n\}\subset X$ такую, что $\{x_n\}$ сходится к нулю по мере, но $\|x_n\|_X\not\to 0$. Переходя к подпоследовательности, можно считать, что $\{x_n\}$ сходится к нулю п. в. на $[0,1]$ и $\|x_n\|_X=1$, $n=1,2,\dots$ . Тогда для любого $A>0$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|x_n\|_{L^1} &= \int_{\{|x_n|\geqslant A\}} |x_n(t)|\,dt+\int_{\{|x_n|<A\}} |x_n(t)|\,dt \nonumber \\ &\leqslant \|x_n\|_X\|\chi_{\{|x_n|\geqslant A\}}\|_{X'}+\int_{\{|x_n|<A\}} |x_n(t)|\,dt \nonumber \\ &= \phi_{X'}(m\{|x_n|\geqslant A\})+\int_{\{|x_n|<A\}} |x_n(t)|\,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $X'$ – пространство, ассоциированное к $X$, а $\phi_{X'}$ – фундаментальная функция этого пространства (см. п. 2.1). Так как $X\ne L^1$, то $X'\ne L_\infty$, и поэтому, как легко проверить, $\lim_{u\to 0+}\phi_{X'}(u)=0$.
Пусть $\delta>0$ произвольно. Во-первых, для всех $n=1,2,\dots$
$$
\begin{equation*}
m\{|x_n|\geqslant A\}\leqslant \frac{\|x_n\|_{L^1}}{A}\leqslant \frac{\|x_n\|_X}{A}= \frac{1}{A},
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, существует $A_0>0$, для которого
$$
\begin{equation*}
\sup_{n=1,2,\dots}\phi_{X'}(m\{|x_n|\geqslant A_0\})\leqslant\frac{\delta}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Во-вторых, по теореме Лебега об интегрируемой мажоранте существует натуральное $n_0$ такое, что для выбранного $A_0$ и для всех $n\geqslant n_0$
$$
\begin{equation*}
\int_{\{|x_n|<A_0\}} |x_n(t)|\,dt\leqslant\frac{\delta}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге, применяя последние два неравенства, а также оценку (4) при $A=A_0$, получаем, что $\|x_n\|_{L^1}\leqslant\delta$ при $n\geqslant n_0$. В силу произвольности $\delta>0$ отсюда следует, что нормы пространств $X$ и $L^1$ не эквивалентны на $H$. Так как это противоречит условию, лемма доказана. Пусть $X$ – симметричное пространство на $[0,1]$. Говорят, что функции множества $K\subset X$ имеют равностепенно непрерывные нормы в $X$, если
$$
\begin{equation*}
\lim_{\delta\to 0}\sup_{m(E)<\delta}\, \sup_{x\in K}\|x\chi_{E}\|_X=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Всюду в дальнейшем через $B_H$ будет обозначаться замкнутый единичный шар подпространства $H$ симметричного пространства $X$, т. е. $B_H:=\{x\in H$: $\|x\|_X\leqslant 1\}$. Лемма 2. Пусть $H$ – подпространство симметричного пространства $X$ на $[0,1]$, $X\ne L^1$. Если функции множества $B_H$ имеют равностепенно непрерывные нормы в $X$, то $H$ сильно вложено в $X$. Доказательство. Во-первых, по условию и определению перестановки для каждого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что для любой функции $x\in H$, $\|x\|_X\leqslant 1$, имеем
Далее, для произвольной измеримой на $[0,1]$ функции $x(t)$ и каждого $\delta>0$ определим множество
$$
\begin{equation*}
Q_x(\delta):=\{t\in [0,1]\colon |x(t)|\geqslant\delta\|x\|_X\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что для некоторого достаточно малого $\delta>0$ имеет место вложение
$$
\begin{equation}
H\subset \{x\in L^1\colon m(Q_x(\delta))\geqslant \delta\}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Действительно, предполагая, что это не так, для каждого $\delta>0$ найдем функцию $x_\delta\in H$, для которой $m(Q_{x_\delta}(\delta))<\delta$. Тогда по определению перестановки $x_\delta^*$, а также в силу равенства $\|\chi_{[0,1]}\|_X=1$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|x_\delta^*\chi_{[0,\delta]}\|_X &\geqslant \|x_\delta^*\chi_{[0,m(Q_{x_\delta}(\delta))]}\|_X\geqslant \|x_\delta\chi_{Q_{x_\delta}(\delta)}\|_X \geqslant \|x_\delta\|_X- \|x_\delta\chi_{[0,1]\setminus Q_{x_\delta}(\delta)}\|_X \\ &\geqslant \|x_\delta\|_X- \delta\|x_\delta\|_X \|\chi_{[0,1]}\|_X = (1-\delta)\|x_\delta\|_X. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\delta>0$ и $\varepsilon>0$ произвольны, последнее неравенство противоречит (5), если в качестве $x$ в этом неравенстве взять функцию $x_\delta/\|x_\delta\|_{L_M}$ для достаточно малого $\delta$. Таким образом, (6) доказано.
Пусть $\delta>0$ таково, что выполнено (6). Тогда для всех $x\in H$ имеем
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{L^1}\geqslant \int_{Q_x(\delta)} |x(t)|\, dt\geqslant \delta\|x\|_Xm(Q_x(\delta))\geqslant\delta^2 \|x\|_X.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как противоположное неравенство $\|x\|_{L^1}\leqslant \|x\|_X$, $x\in X$, выполнено для любого симметричного пространства $X$ (см. п. 2.1), заключаем, что нормы пространств $X$ и $L^1$ эквивалентны на $H$. Нужное утверждение теперь вытекает из леммы 1. Лемма 2 доказана. Замечание 1. Несколько модифицируя доказательство, нетрудно показать, что лемма 2 верна также для $X=L^1$. В то же время обратное утверждение к ней, вообще говоря, не имеет места (см. замечание 6 далее или подробнее [29; пример 2]). 3.2. $P$-выпуклые и $q$-вогнутые функции Орлича и индексы Матушевской–ОрличаПусть $1\leqslant p<\infty$. Говорят, что функция Орлича $M$ $p$-выпукла (соответственно $p$-вогнута), если отображение $t \mapsto M(t^{1/p})$ является выпуклым (соответственно вогнутым). Нетрудно проверить, что пространство Орлича $L_M[0,1]$ $p$-выпукло (соответственно $p$-вогнуто), если и только если функция $M$ эквивалентна некоторой $p$-выпуклой (соответственно $p$-вогнутой) функции Орлича для больших значений аргумента. Аналогично пространство Орлича последовательностей $\ell_\psi$ $p$-выпукло (соответственно $p$-вогнуто), если и только если функция $\psi$ эквивалентна некоторой $p$-выпуклой (соответственно $p$-вогнутой) функции Орлича для малых значений аргумента. Напомним, что банахова решетка $X$ называется $p$-выпуклой (соответственно $p$-вогнутой), где $1 \leqslant p \leqslant\infty$, если существует $C>0$ такое, что для любого $n\in\mathbb{N}$ и произвольных векторов $x_1, x_2, \dots, x_n$ из $X$
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\biggl(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\biggr)^{1/p}\biggr\|_X \leqslant C \biggl(\sum_{k=1}^n \|x_k\|_X^p\biggr)^{1/p},
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно
$$
\begin{equation*}
\biggl(\sum_{k=1}^n\|x_k\|_X^p\biggr)^{1/p} \leqslant C \biggl\| \biggl(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\biggr)^{1/p}\biggr\|_X
\end{equation*}
\notag
$$
(c естественной модификацией выражений в случае $p=\infty$). Очевидно, что каждая банахова решетка $1$-выпукла и $\infty$-вогнута с константой $1$. Кроме того, пространство $L^p$ $p$-выпукло и $p$-вогнуто с константой $1$. Из определения индексов Матушевской–Орлича и леммы 20 из работы [30] (см. также [15; лемма 5]) получаем следующую характеризацию введенных свойств. Лемма 3. Пусть $1\leqslant p<\infty$ и $\psi$ – функция Орлича на $[0,\infty)$. Тогда (i) $\psi$ эквивалентна $p$-выпуклой (соответственно $p$-вогнутой) функции при малых значений аргумента $\Longleftrightarrow$ $\psi(st)\leqslant C s^p\psi(t)$ (соответственно $s^p\psi(t)\leqslant C \psi(st)$) для некоторого $C>0$ и всех $0<t,s\leqslant 1$; (ii) $\psi$ эквивалентна $(p+\varepsilon)$-выпуклой (соответственно $(p-\varepsilon)$-вогнутой) функции при малых значениях аргумента и некотором $\varepsilon>0$ $\Longleftrightarrow$ $\alpha_\psi^0>p$ (соответственно $\beta_\psi^0<p$). Доказательство следующего технического результата идентично доказательству леммы 6 в [8]. Поэтому мы его не приводим. Лемма 4. Пусть $\psi$ и $\varphi$ – функции Орлича, $\varphi\in C_{\psi,1}^0$. Справедливы неравенства $\alpha_\psi^0\leqslant \alpha_\varphi^0\leqslant \beta_\varphi^0\leqslant \beta_\psi^0$. Следующую лемму можно рассматривать как непосредственное следствие результатов работы [18]. Лемма 5. Пусть $M$ – функция Орлича, $1<\alpha_M^\infty\leqslant \beta_M^\infty<2$. Предположим, что $H$ – сильно вложенное подпространство пространства Орлича $L_M$, $H\approx \ell_\psi$, где $\beta_\psi^0<2$. Тогда если $\varphi\in C_{\psi,1}^0$, то $1/\varphi^{-1}\in L_M$. В частности, получаем, что $t^{-1/\alpha_\psi^0}\in L_M$. Поэтому если $t^{-1/\beta_M^\infty}\notin L_M$, то $\alpha_\psi^0>\beta_M^\infty$. Доказательство. Прежде всего, $\ell^{\alpha_\psi^0}$ изоморфно некоторому подпространству пространства Орлича $\ell_\psi$ (см. [28; теорема 4.a.9] или п. 2.2). Следовательно, по условию $L_M$ содержит подпространство, изоморфное $\ell^{\alpha_\psi^0}$. С другой стороны, так как $1<\alpha_M^\infty\leqslant \beta_M^\infty<2$, то $L_M\in\Delta_2^\infty$ и $L_M^*=L_{\widetilde{M}}\in\Delta_2^\infty$ (см. п. 2.2). Поэтому каждое из пространств $L_M$ и $L_M^*$ является максимальным и сепарабельным, и тем самым по хорошо известной теореме Огасавары (см., например, [31; теорема X.4.10]) $L_M$ рефлексивно. Следовательно, $L_M$ не содержит подпространств, изоморфных $\ell^1$, откуда $\alpha_\psi^0>1$. Таким образом, по условию и лемме 4 получаем, что $1<\alpha_\varphi^0\leqslant \beta_\varphi^0<2$.
Далее, согласно лемме 3, для достаточно малого $\varepsilon>0$ функция $\varphi$ $(1+\varepsilon)$-выпукла и $(2-\varepsilon)$-вогнута при малых значениях аргумента. Кроме того, так как $\varphi\in C_{\psi,1}^0$, то в силу [28; теорема 4.a.8] (см. также п. 2.2) пространство $\ell_{\varphi}$ изоморфно некоторому подпространству пространства $\ell_\psi$. Тем самым $L_M$ содержит сильно вложенное подпространство, изоморфное пространству $\ell_{\varphi}$, и мы можем применить следствие 3.3 из работы [18], согласно которому $1/\varphi^{-1}\in L_M$. Чтобы доказать второе утверждение, заметим, что $\varphi(t)=t^{\alpha_\psi^0}$ принадлежит множеству $C_{\psi,1}^0$ (см. п. 2.2). Поэтому, по доказанному, $t^{-1/\alpha_\psi^0}\in L_M$. Если дополнительно известно, что $t^{-1/\beta_M^\infty}\notin L_M$, то отсюда следует: $\alpha_\psi^0>\beta_M^\infty$. Лемма 5 доказана. 3.3. Один вариант критерия Валле ПуссенаДалее будет использоваться следующий простой факт. Лемма 6. Пусть $N$ – возрастающая, непрерывная функция на полуоси $[0, \infty)$ такая, что $N(u)/u$ возрастает при $u>0$ и $N(0) = 0$. Тогда если $N\in \Delta_2$ (соответственно $N\in \Delta_2^\infty$), то $N$ эквивалентна функции Орлича $M(t):=\int_0^t N(u)\,({du}/{u})$, $t\geqslant 0$, на $[0,\infty)$ (соответственно при больших значениях аргумента). Доказательство. Предположим, что $N\in \Delta_2$ (случай, когда $N\in \Delta_2^\infty$ рассматривается совершенно аналогично).
Заметим, что $M$ – возрастающая, непрерывная функция на полуоси $[0, \infty)$. Кроме того, так как функция $M'(t)=N(t)/t$ возрастает, то $M$ является функцией Орлича и $M(t)\leqslant N(t)$, $t>0$. В силу условия $N\in \Delta_2$ справедлива также оценка противоположного характера: где $K$ – $\Delta_2$-константа функции $N$. Таким образом, $M$ и $N$ эквивалентны на $[0,\infty)$, и лемма доказана.Доказательство следующего утверждения, являющегося одним из вариантов известной теоремы Валле Пуссена (см., например, работы [32]–[34]), можно найти в работе [8]. Лемма 7. Пусть $M$ – такая функция Орлича, что $M\in \Delta_2^\infty$ и $\widetilde{M}\in \Delta_2^\infty$. Для произвольной $f\in L_M$ существует функция $N$, эквивалентная некоторой функции Орлича при больших значениях аргумента и удовлетворяющая следующим условиям: $N(1)=1$, $N\in \Delta_2^\infty$, $\widetilde{N}\in \Delta_2^\infty$, и Кроме того, если дополнительно $M$ $p$-выпукла при больших значениях аргумента, то наряду с прежними свойствами $N$ также эквивалентна $p$-выпуклой функции Орлича при больших значениях аргумента. 3.4. Описание подпространств пространств Орлича, порожденных независимыми, одинаково распределенными, в среднем равными нулю функциямиНапомним (см., например, [35; гл. 2]), что набор измеримых на $[0,1]$ функций $\{f_k\}_{k=1}^n$ называется независимым, если для любых интервалов $I_k\subset \mathbb{R}$ справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
m\{t\in [0,1]\colon f_k(t)\in I_k,\,k=1,2,\dots,n\}=\prod_{k=1}^n m\{t\in [0,1]\colon f_k(t)\in I_k\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Говорят, что $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ – последовательность независимых функций, если для каждого $n\in\mathbb{N}$ набор $\{f_k\}_{k=1}^n$ независим. Пусть $M$ – функция Орлича, $M\in \Delta_2^\infty$, $L_M=L_M[0,1]$ – пространство Орлича, $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ – последовательность независимых функций, равноизмеримых с некоторой функцией $f\,{\in}\, L_M$, $\int_0^1 f_k(t)\,dt\,{=}\,0$, $k=1,2,\dots$ . Тогда (см. [36; доказательство теоремы 1] или [37]) с константами эквивалентности, не зависящими от $a_k\in\mathbb{R}$, $k=1,2,\dots$,
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{k=1}^\infty a_kf_k\biggr\|_{L_M}\asymp \biggl\|\biggl(\sum_{k=1}^\infty a_k^2f_k^2\biggr)^{1/2}\biggr\|_{L_M}.
\end{equation*}
\notag
$$
В свою очередь, если $\theta(u)=u^2$ при $0\leqslant u\leqslant 1$, $\theta(u)=M(u)$ при $u\geqslant 1$ и $\ell_\psi$ – пространство Орлича последовательностей, построенное по функции
$$
\begin{equation}
\psi(u):=\int_0^1\theta(u|f(t)|) \, dt,\qquad u\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{7}
$$
то согласно [38; теорема 8],
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\biggl(\sum_{k=1}^\infty a_k^2f_k^2\biggr)^{1/2}\biggr\|_{L_M}\asymp \|(a_k)\|_{\ell_\psi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sum_{k=1}^\infty a_kf_k\biggr\|_{L_M}\asymp\|(a_k)\|_{\ell_\psi},
\end{equation}
\tag{8}
$$
т. е. последовательность $\{f_k\}_{_{k=1}}^\infty$ эквивалентна в $L_M$ каноническому базису $\{e_k\}_{_{k=1}}^\infty$ в пространстве Орлича последовательностей ${\ell_\psi}$, где $\psi$ определена равенством (7). Заметим, что $\theta$, вообще говоря, не является функцией Орлича. Тем не менее функция $\theta(t)/t$ возрастает, непрерывна и, так как $M\in \Delta_2^\infty$, то $\theta\in\Delta_2$. Поэтому по лемме 6 функция $\theta$ эквивалентна на $(0,\infty)$ функции Орлича $\widetilde{\theta}(t):=\int_0^t (\theta(u)/u) \,du$. В свою очередь, отсюда и из (7) следует, что $\psi$ также эквивалентна некоторой функции Орлича. Для произвольной измеримой на $[0,1]$ функции $x(t)$ и любой числовой последовательности $a = (a_k)_{k=1}^\infty$ под ${a \mathbin{\overline\otimes} x}$ всюду далее будет пониматься функция, определенная на полуоси $(0,\infty)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
(a \mathbin{\overline\otimes} x)(s):=\sum_{k=1}^\infty a_kx(s-k+1)\chi_{(k,k+1)}(s), \qquad s>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Как легко видеть, функция распределения функции $a \mathbin{\overline\otimes} x$ является суммой функций распределения слагаемых $a_kx$, $k=1,2,\dots$, т. е.
$$
\begin{equation*}
n_{a\mathbin{\overline\otimes} x}(\tau)= \sum_{k=1}^\infty n_{a_k x}(\tau),\qquad \tau>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть, как и ранее, $M$ – функция Орлича, $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ – последовательность независимых функций, равноизмеримых с $f\in L_M$ и таких, что $\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$ . Согласно хорошо известной теореме Джонсона–Шехтмана [36; теорема 1], с константами, не зависящими от $a_k\in\mathbb{R}$, $k=1,2,\dots$, имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{k=1}^\infty a_kf_k\biggr\|_{L_M}\asymp \|(a \mathbin{\overline\otimes} f)^*\chi_{[0,1]}\|_{L_M}+\|(a \mathbin{\overline\otimes} f)^*\chi_{[1,\infty)}\|_{L^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (8) следует, что
$$
\begin{equation}
\|(a_k)\|_{\ell_\psi}\asymp \|(a \mathbin{\overline\otimes} f)^*\chi_{[0,1]}\|_{L_M}+\|(a \mathbin{\overline\otimes} f)^*\chi_{[1,\infty)}\|_{L^2}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
В частности, функция
$$
\begin{equation*}
\biggl(\biggl(\sum_{k=1}^n e_k\biggr)\mathbin{\overline\otimes} f\biggr)(s)=\sum_{k=1}^n f(s-k+1)\chi_{(k,k+1)}(s)
\end{equation*}
\notag
$$
равноизмерима с функцией $f(t/n)$, $t>0$. Тем самым, если $f=f^*$, то, учитывая, что фундаментальная функция $\phi_{\ell_\psi}$ определяется соотношением (3) (см. п. 2.2), в силу (9) и определения оператора растяжения $\sigma_\tau$ (см. п. 2.1) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{\psi^{-1}(1/n)}&\asymp \|\sigma_nf\|_{L_M}+\biggl\|f\biggl(\frac{\cdot}{n}\biggr)\chi_{[1,\infty)}\biggr\|_{L^2} \nonumber \\ &=\|\sigma_nf\|_{L_M}+\biggl(n\int_{1/n}^1f(s)^2\,ds\biggr)^{1/2},\qquad n\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Проиллюстрируем сказанное двумя примерами, которые показывают, что изучаемые свойства подпространства $[f_k]:=[f_k]_{L_M}$, порожденного последовательностью независимых, в среднем равных нулю копий некоторой функции $f\in L_M$ и изоморфного пространству ${\ell_\psi}$ (см. (7)), зависят не только от степени “близости” функции $\psi$ к функции $M$, но также и от того, принадлежит ли функция $t^{-1/\beta_M^\infty}$ пространству $L_M$ или нет (см. [8]). Пример 1. Пусть $1<p<2$, $M(u)=u^p$, $f(t):=t^{-1/p}\ln^{-3/(2p)}(e/t)$, $0\,{<}\,t\,{\leqslant}\, 1$. Тогда $f=f^*$, и в силу (10) (см. также [16; предложение 2.4]) если $[f_k]_{L^p}=\ell_\psi$ и $[f_k]_{L^1}=\ell_{\varphi}$, то В следующем примере, как и в предыдущем, функция $\psi$ “близка” к $M$, отличаясь лишь на степень логарифма. Однако теперь $t^{-1/\beta_M^\infty}\in L_M$ (в примере 1, напротив, $\beta_M^\infty=p$, и поэтому $t^{-1/\beta_M^\infty}\,{\notin}\, L_M=L^p$), и в результате подпространство $[f_k]_{L_M}$, изоморфное пространству $\ell_\psi$, оказывается сильно вложенным в $L_M$. Пример 2. Пусть $1<p<2$, $0<\alpha<1/p$, $M$ – функция Орлича такая, что $M(u)\asymp u^p\ln^{-2} u$ при больших значениях аргумента, $f(t):=t^{-1/p}\ln^{\alpha}(e/t)$, $0<t\leqslant 1$. Так как то $f\in L_M$ в силу выбора параметров $p$ и $\alpha$. Рассмотрим функцию Орлича $\psi$ такую, что $\psi(s)\asymp s^p\ln^{p\alpha}(e/s)$ при малых значениях аргумента. C одной стороны, непосредственно проверяется, что $1/\psi^{-1}(t)\asymp f(t)$, $0<t\leqslant 1$. С другой стороны, для некоторого $C>0$
$$
\begin{equation*}
\psi(st)\leqslant C\psi(s)\psi(t),\qquad 0\leqslant s,t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в силу [17; теорема 4.1] для каждого симметричного пространства $X$ такого, что $f\in X$, имеем $[f_k]_X\approx\ell_\psi$, где, как и ранее, $\{f_k\}$ – последовательность независимых функций, равноизмеримых с $f$, таких, что $\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$. В частности, $[f_k]_{L_M}\approx[f_k]_{L^1}\approx \ell_\psi$, и, значит, подпространство $[f_k]_{L_M}$ сильно вложено в $L_M$. Более того, как мы увидим далее в теореме 2, благодаря субмультипликативности функции $\psi$ функции единичного шара этого подпространства имеют в $L_M$ равностепенно непрерывные нормы. Далее неоднократно будет использоваться следующее утверждение, вытекающее из результатов работы [16] о единственности распределения функции, независимые копии которой порождают данное подпространство $L^p$-пространства. Лемма 8. Пусть $M$ – функция Орлича, $M\,{\in}\, \Delta_2^\infty$, $f\,{\in}\, L_M$. Предположим, что подпространство $[f_k]_{L_M}$, где $\{f_k\}$ – последовательность независимых функций, равноизмеримых с $f$ и таких, что $\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, сильно вложено в $L_M$. Тогда если $[f_k]_{L_M}=\ell_\psi$, где $1<\alpha_\psi^0\leqslant\beta_\psi^0<2$, то $n_f(\tau)\asymp n_{1/\psi^{-1}}(\tau)$ при больших $\tau>0$. Доказательство. По условию с константами, не зависящими от $n\in\mathbb{N}$ и $a_k\in\mathbb{R}$,
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{k=1}^n a_kf_k\biggr\|_{L_M} \asymp \biggl\|\sum_{k=1}^n a_kf_k\biggr\|_{L^1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, так как $[f_k]_{L_M}\approx \ell_\psi$, то в силу (8)
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\psi^{-1}(1/n)}=\biggl\|\sum_{k=1}^n e_k\biggr\|_{\ell_\psi}\asymp \biggl\|\sum_{k=1}^n f_k\biggr\|_{L_M},\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, с константами, не зависящими от $n\in\mathbb{N}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\psi^{-1}(1/n)}\asymp\biggl\|\sum_{k=1}^n f_k\biggr\|_{L^1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $1<\alpha_\psi^0\leqslant\beta_\psi^0<2$, то согласно лемме 3 функция $\psi$ $(1+\varepsilon)$-выпукла и $(2-\varepsilon)$-вогнута при малых значениях аргумента для некоторого $\varepsilon>0$. Следовательно, утверждение леммы – непосредственное следствие последней эквивалентности и теоремы 1.1 из работы [16], примененной в случае $p=1$. Лемма доказана. § 4. Основные результаты4.1. Характеризация свойств подпространств, порожденных независимыми копиями функции $f$, в терминах растяжений $f$Начнем с достаточного (во многих случаях являющегося необходимым) условия, при котором последовательность независимых, равных нулю в среднем копий некоторой функции $f\in L_M$ порождает сильно вложенное подпространство в пространстве Орлича $L_M$. Предложение 1. Пусть $M$ – функция Орлича, $f\in L_M$. (i) Если $\lim_{t\to\infty}M(t)/t=\infty$ и
$$
\begin{equation}
\|\sigma_n f\|_{L_M}\preceq \|\sigma_n f\|_{L^1},\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{13}
$$
то подпространство $[f_k]$, порожденное последовательностью $\{f_k\}$ независимых функций, равноизмеримых с $f$ и таких, что $\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$, сильно вложено в $L_M$. (ii) Наоборот, если такая же, как в (i), последовательность $\{f_k\}$ порождает в $L_M$ сильно вложенное подпространство, изоморфное пространству Орлича ${\ell_\psi}$, где $1<\alpha_\psi^0\leqslant\beta_\psi^0<2$, то имеет место соотношение (13). Доказательство. Не ограничивая общности, предположим, что $f=f^*$.
(i) Согласно тому, о чем говорилось в п. 3.4, последовательность $\{f_k\}$ эквивалентна в пространстве $L_M$ (соответственно $L^1$) каноническому базису некоторого пространства Орлича последовательностей ${\ell_\psi}$ (соответственно $\ell_{\theta}$). Так как $\lim_{t\to\infty}M(t)/t=\infty$, то $L_M\ne L^1$. Поэтому (см. лемму 1) достаточно показать, что ${\ell_\psi}= \ell_{\theta}$, или равносильно, что фундаментальные функции этих пространств эквивалентны при малых $t>0$ (см. п. 2.2). Так как, согласно (10),
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\psi^{-1}(1/n)}\asymp \|\sigma_nf\|_{L_M} +\biggl(n\int_{1/n}^1f(s)^2\,ds\biggr)^{1/2},\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{14}
$$
и аналогично
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\theta^{-1}(1/n)}\asymp \|\sigma_nf\|_{L^1} +\biggl(n\int_{1/n}^1f(s)^2\,ds\biggr)^{1/2},\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
то требуемая эквивалентность вытекает из условия (13), формулы (3) для фундаментальной функции пространства Орлича, а также выпуклости функций $\psi$ и ${\theta}$.
(ii) Достаточно показать справедливость неравенства (13) для всех достаточно больших $n$. Так как $\psi^{-1}$ – возрастающая, вогнутая функция на $(0,1]$, то $\psi^{-1}(t)\leqslant\psi^{-1}(Ct)\leqslant C\psi^{-1}(t)$ для произвольного $C\geqslant 1$ и всех $0<t\leqslant 1$, а также функция $1/\psi^{-1}$ совпадает со своей невозрастающей перестановкой. Кроме того, по лемме 8 функции распределения $n_f(\tau)$ и $n_{1/\psi^{-1}}(\tau)$ эквивалентны при больших $\tau>0$. Отсюда, а также из определения невозрастающей перестановки (см. п. 2.1) вытекает, что для некоторого $t_0\in (0,1]$
$$
\begin{equation*}
f(t)\asymp \frac1{\psi^{-1}(t)}, \qquad 0<t\leqslant t_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, так как по условию выполнено (14), при достаточно большом $n_0\in \mathbb{N}$ получаем, что
$$
\begin{equation*}
\|\sigma_nf\|_{L_M}\preceq f\biggl(\frac1{n}\biggr),\qquad n\geqslant n_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь (13) при $n\geqslant n_0$ – непосредственное следствие последней оценки и неравенства
$$
\begin{equation*}
f\biggl(\frac1{n}\biggr)\leqslant n\int_0^{1/n} f(u)\,du=\int_0^{1} f\biggl(\frac{u}{n}\biggr)\,du =\|\sigma_nf\|_{L^1},\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, предложение 1 доказано. В тех же терминах можно сформулировать условие равностепенной непрерывности в пространстве Орлича $L_M$ норм функций единичного шара подпространства рассматриваемого типа. Предложение 2. Пусть $M$ – функция Орлича, $\lim_{t\to\infty}M(t)/t\,{=}\,\infty$, $f\,{\in}\, L_M$, $\{f_k\}$ – последовательность независимых функций, равноизмеримых с $f$, таких, что $\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$ . Рассмотрим следующие условия: (a) нормы функций единичного шара подпространства $[f_k]$ равностепенно непрерывны в $L_M$; (b) существует выпуклая, неубывающая на $[0,\infty)$ функция $N$ такая, что $N(0)=0$, $N\in\Delta_2^\infty$, $\lim_{u\to\infty}{N(u)}/{M(u)}=\infty$ и
$$
\begin{equation}
\|\sigma_n f\|_{L_N}\preceq\|\sigma_n f\|_{L_M},\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Имеет место импликация (b) $\Rightarrow$ (a). Если дополнительно известно, что $[f_k]_{L_M}\approx {\ell_\psi}$, где $1<\alpha_\psi^0\leqslant\beta_\psi^0<2$, то справедлива также и обратная импликация (a) $\Rightarrow$ (b). Доказательство. (b) $\Rightarrow$ (a). Прежде всего, из (15) и условия $f\in L_M$ вытекает, что $f\in L_N$. Кроме того, так как
$$
\begin{equation*}
\lim_{u\to\infty}\frac{M(u)}{u}=\lim_{u\to\infty}\frac{N(u)}{u}=\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
то, рассуждая точно так же, как в доказательстве предложения 1(i), можно показать, что последовательность $\{f_k\}$ как в $L_M$, так и в $L_N$ эквивалентна каноническому базису в одном и том же пространстве Орлича последовательностей. Отсюда на подпространстве $H:=[f_k]_{L_M}$ нормы этих пространств эквивалентны, т. е. при некотором $C>0$
$$
\begin{equation}
B_H\subset \{x\in L_N\colon \|x\|_{L_N}\leqslant C\}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Более того, в силу условий, а также леммы 3 из [29] имеет место так называемое строгое вложение $L_N\subset L_M$, т. е. справедливо соотношение
$$
\begin{equation*}
\lim_{\delta\to 0}\sup_{\|x\|_{L_N}\leqslant 1,\, m(\operatorname{supp}x)\leqslant\delta}\|x\|_{L_M}=0
\end{equation*}
\notag
$$
(подробнее о свойствах строгих вложений симметричных пространств см. [39]). В итоге получаем и (a) доказано.
(a) $\Rightarrow$ (b). Пусть $H:=[f_k]$. Согласно условию и критерию Валле Пуссена (см., например, теорему 3.2 из работы [34]), существует неубывающая выпуклая функция $Q$ на $[0,\infty)$ такая, что $Q(0)=0$, $Q\in\Delta_2^\infty$, $\lim_{u\to\infty}{Q(u)}/{u}=\infty$ и $\sup_{x\in B_H}\|Q(|x|)\|_{L_M}<\infty$. Последнее соотношение означает, что для некоторого $C\geqslant 1$ и всех $x\in B_H$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_0^1 M\biggl(\frac{Q(|x(t)|)}{C}\biggr)\,dt\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как функция $Q$ выпукла, то $Q(|x(t)|)/C\geqslant Q(|x(t)|/C)$, откуда следует:
$$
\begin{equation*}
\int_0^1 M\biggl(Q\biggl(\frac{|x(t)|}{C}\biggr)\biggr)\,dt\leqslant 1
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\in B_H$. Полагая $N(u):=M(Q(u))$ и учитывая свойства функций $M$ и $Q$, нетрудно проверить, что функция $N$ удовлетворяет всем условиям из (b). Кроме того, в силу последнего неравенства снова имеет место вложение (16). Таким образом, нормы пространств $L_M$ и $L_N$ эквивалентны на подпространстве $H$. Так как по условию и лемме 2 подпространство $H$ сильно вложено в $L_M$, то $H$ сильно вложено и в $L_N$ (см. также лемму 1). Поэтому, применяя предложение 1(ii), получаем
$$
\begin{equation*}
\|\sigma_n f\|_{L_N}\preceq \|\sigma_n f\|_{L^1}\leqslant\|\sigma_n f\|_{L_M},\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге соотношение (15), а вместе с ним и предложение 2 доказаны. 4.2. Подпространства $L_M$, порожденные независимыми копиями функций, в среднем равных нулю, единичный шар которых состоит из функций с равностепенно непрерывными $L_M$-нормамиПусть $h\colon [0,1]\to [0,\infty)$, $h(t)>0$, если $0<t\leqslant 1$. Напомним, что функция растяжения $\mathcal M_h$ функции $h$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mathcal M_h(t):=\sup_{0<s\leqslant \min(1,1/t)}\frac{h(st)}{h(s)},\qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 3. Пусть функция $\psi\colon [0,1]\to [0,1]$ возрастает, непрерывна, $\psi(0)=0$, $\psi(1)=1$. Тогда если $f(t):=1/\psi^{-1}(t)$, $0<t\leqslant 1$, и $g$ – невозрастающая, неотрицательная функция на $(0,1]$ такая, что то для любой последовательности $c=(c_k)\in {\ell_\psi}$ справедливо неравенство Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать далее, что $\|c\|_{\ell_\psi}=1$.
Прежде всего, заметим, что в силу свойств $\psi$ функция из правой части соотношения (17) неотрицательна, непрерывна и не возрастает. Кроме того, она не превосходит $1$ и стремится к нулю, если $\tau$ стремится к бесконечности. Поэтому существует невозрастающая функция $g\colon (0,1]\to [0,\infty)$, для которой выполнено равенство (17). Так как $\psi$ не убывает и $\psi(0)=0$, то для каждого $\tau\geqslant 1$
$$
\begin{equation*}
n_f(\tau) = m\biggl\{ u\in (0,1] \colon \frac{1}{\psi^{-1}(u)} > \tau\biggr\} = m\biggl\{ u\in (0,1] \colon \psi \biggl(\frac{1}{\tau}\biggr) > u\biggr\}= \psi\biggl(\frac{1}{\tau}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому ввиду определения функции $c \mathbin{\overline\otimes} f$ (см. п. 3.4)
$$
\begin{equation}
n_{c \mathbin{\overline\otimes} f} (\tau) = \sum_{k=1}^\infty n_{c_k f} (\tau) = \sum_{k=1}^\infty \psi\biggl(\frac{|c_k|}{\tau}\biggr).
\end{equation}
\tag{18}
$$
Кроме того, так как $\|c\|_{\ell_\psi} = 1$, то для любого $k=1,2,\dots$
$$
\begin{equation*}
\psi(|c_k|) \leqslant \sum_{i=1}^\infty \psi(|c_i|)=1= \psi(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Еще раз учитывая монотонность $\psi$, получаем отсюда, что $|c_k| \leqslant 1$ для всех $k=1,2,\dots$ . Следовательно, в силу определения функции $\mathcal{M}_\psi$ для каждого $\tau \geqslant 1$ и всех $k=1,2,\dots$
$$
\begin{equation*}
\psi\biggl(\frac{|c_k|}{\tau}\biggr)\leqslant \psi(|c_k|)\mathcal{M}_\psi \biggl(\frac{1}{\tau}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, так как $\|c\|_{\ell_\psi}=1$ и $\psi$ возрастает, то из (17) и (18) вытекает оценка
$$
\begin{equation}
n_{c \mathbin{\overline\otimes} f} (\tau) \leqslant \mathcal{M}_\psi\biggl(\frac{1}{\tau}\biggr) \sum_{k=1}^\infty \psi(|c_k|)\leqslant \mathcal{M}_\psi\biggl(\frac{1}{\tau}\biggr)=n_g(\tau), \qquad \tau\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Покажем, что для каждого $s \in (0,1)$
$$
\begin{equation}
\{ \tau>0\colon n_g(\tau)\leqslant s\}\subset \{ \tau>0\colon n_{c \mathbin{\overline\otimes} f} (\tau)\leqslant s\}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Действительно, $n_g(1)=\mathcal{M}_\psi(1)=1$, откуда следует, что $g(t)> 1$ для п. в. $t\in (0,1]$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\{ \tau>0\colon n_{g}(\tau)\leqslant s\}\subset (1,\infty),
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому в силу (19) из неравенства $n_{g}(\tau)\leqslant s$ вытекает, что $n_{c \mathbin{\overline\otimes} f} (\tau)\leqslant s$. Таким образом, вложение (20) доказано.
Так как $g$ не возрастает, то по определению невозрастающей перестановки в силу (20) получаем
$$
\begin{equation*}
(c\mathbin{\overline\otimes} f)^*\cdot \chi_{(0,1)} \leqslant g,
\end{equation*}
\notag
$$
и тем самым предложение 3 доказано. Замечание 2. Предположим, что функция $\mathcal{M}_\psi(t)$ строго возрастает на $(0,1]$. Тогда, как нетрудно проверить, функция $g$, определенная соотношением (17), совпадает с функцией $\mathcal{M}_\psi^{-1}(t)$, обратной к ней. Из предложения 3 и определения симметричного пространства вытекает следующее утверждение. Следствие 1. Пусть $\psi\colon [0,1]\to [0,1]$ возрастает, непрерывна, $\psi(0)=0$, $\psi(1)=1$, $f(t):=1/\psi^{-1}(t)$, $0<t\leqslant 1$, и $g$ – невозрастающая, неотрицательная функция на $(0,1]$ такая, что ее функция распределения $n_g(\tau)$ определяется соотношением (17). Если $X$ – симметричное пространство на $[0,1]$ такое, что $g\in X$, то для любой последовательности $c=(c_k)\in {\ell_\psi}$ Далее нам понадобится следующая техническая лемма. Лемма 9. Если функция $\psi\colon [0,1]\to [0,1]$ возрастает, $\psi(0)=0$, $\psi(1)=1$, и $h(t)=\mathcal M_{1/\psi^{-1}}(t)$, $0<t\leqslant 1$, то Доказательство. Так как $\psi$ возрастает, $\mathcal{M}_\psi(1)=1$, а функция $h$ не возрастает, достаточно показать, что для любого $\tau\geqslant 1$ и произвольно малого $\varepsilon>0$
Обозначим $t:=\mathcal{M}_\psi({1}/{\tau})-\varepsilon$. По определению $h$
$$
\begin{equation*}
h(t)=\sup_{0<s\leqslant 1}\frac{\psi^{-1}(s)}{\psi^{-1}(st)}=\sup_{0<u\leqslant t\leqslant 1} \frac{\psi^{-1}(u/t)}{\psi^{-1}(u)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, (21) выполнено, если и только если существует $u>0$ такое, что $0<u\leqslant t\leqslant 1$ и
$$
\begin{equation*}
\psi^{-1}\biggl(\frac{u}{t}\biggr)>\tau \psi^{-1}(u),
\end{equation*}
\notag
$$
или эквивалентно Заметим, что $\tau \psi^{-1}(u)\leqslant 1$. Поэтому после замены $\psi^{-1}(u)=v$ получаем, что последнее неравенство имеет место тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}_\psi\biggl(\frac{1}{\tau}\biggr):=\sup_{0<v\leqslant 1} \frac{\psi(v/\tau)}{\psi(v)}>t.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как в силу определения числа $t$ это выполнено, то соотношение (21), а значит, и лемма 9 доказаны. Теорема 1. Пусть $M$ – функция Орлича, $1<\alpha_M^\infty\leqslant \beta_M^\infty<2$. Предположим также, что $f\in L_M$ и $\mathcal{M}_{f^*}\in L_M$. Тогда если $\{f_k\}$ – последовательность независимых функций, равноизмеримых с $f$, таких, что $\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, и $[f_k]_{L_M}\approx\ell_\psi$, где $1<\alpha_\psi^0\leqslant \beta_\psi^0<2$, то нормы функций единичного шара подпространства $[f_k]_{L_M}$ равностепенно непрерывны в $L_M$. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что $f=f^*$. Покажем сначала, что подпространство $[f_k]_{L_M}$ сильно вложено в $L_M$.
Из определения функции растяжения $\mathcal{M}_f$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\sigma_{1/s}f(t)=f(st)\leqslant \mathcal{M}_f (t)f(s),\qquad 0<s,t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как по условию $\mathcal{M}_f\in L_M$, а $f$ неотрицательна и не возрастает, то отсюда для всех $0<s\leqslant 1$
$$
\begin{equation*}
\|\sigma_{1/s}f\|_{L_M}\leqslant \|\mathcal{M}_f\|_{L_M}f(s)\leqslant \|\mathcal{M}_f\|_{L_M}\cdot \frac1s\int_0^s f(u)\,du=\|\mathcal{M}_f\|_{L_M}\|\sigma_{1/s}f\|_{L^1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, применяя предложение 1(i), получаем требуемый результат.
Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы. Так как подпространство $[f_k]_{L_M}$ сильно вложено в $L_M$, то в силу леммы 8 $n_f(\tau)\asymp n_{1/\psi^{-1}}(\tau)$ при больших $\tau>0$. Следовательно, учитывая, что функции $f$ и $1/\psi^{-1}$ не возрастают и $\psi^{-1}(1)=1$, так же, как в доказательстве предложения 1(ii), для некоторого $0<t_0\leqslant 1$ получаем
$$
\begin{equation*}
f(t)\asymp \frac1{\psi^{-1}(t)},\quad 0<t\leqslant t_0,\quad\text{и}\quad f(t)\preceq \frac1{\psi^{-1}(t)},\quad 0<t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
\mathcal M_{1/\psi^{-1}}(t)=\sup_{0<s\leqslant 1}\frac{\psi^{-1}(s)}{\psi^{-1}(st)}\preceq \sup_{0<s\leqslant 1}\frac{f(st)\psi^{-1}(s)f(s)}{f(s)}\preceq \mathcal M_f(t),\qquad 0<t\leqslant t_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как функция $\mathcal M_{1/\psi^{-1}}$ не возрастает и по условию $\mathcal M_f\in L_M$, то из последнего неравенства, леммы 9 и определения функции $g$ (см. предложение 3) следует, что $g$ принадлежит пространству $L_M$.
Далее, по лемме 7 найдем функцию $N$, эквивалентную некоторой функции Орлича, такую, что $N(1)=1$, $N\in \Delta_2^\infty$, $\widetilde{N}\in \Delta_2^\infty$, $\lim_{u\to\infty}{N(u)}/{M(u)}=\infty$ и $g\in L_N$. Считая, что $N$ – функция Орлича, согласно следствию 1 для любой последовательности $c=(c_k)\in {\ell_\psi}$ получаем
$$
\begin{equation*}
\|(c\mathbin{\overline\otimes} f)^*\cdot\chi_{(0,1)}\|_{L_N}\leqslant \|g\|_{L_N}\|c\|_{\ell_\psi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как (см. п. 3.4)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\sum_{k=1}^\infty c_kf_k\biggr\|_{L_N} &\asymp \|(c\mathbin{\overline\otimes} f)^*\cdot\chi_{(0,1)}\|_{L_N}+\|(c\mathbin{\overline\otimes} f)^*\cdot\chi_{(1,\infty)}\|_{L^2}, \\ \biggl\|\sum_{k=1}^\infty c_kf_k\biggr\|_{L_M} &\asymp \|(c\otimes f)^*\cdot\chi_{(0,1)}\|_{L_M} +\|(c\otimes f)^*\cdot\chi_{(1,\infty)}\|_{L^2} \asymp\|c\|_{\ell_\psi} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и $L_N\subset L_M$, то отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{k=1}^\infty c_kf_k\biggr\|_{L_N}\asymp \|c\|_{\ell_\psi}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге, в силу критерия Валле Пуссена [34; теорема 3.2] получаем нужное утверждение. Теорема 1 доказана. В следующей теореме даны некоторые простые достаточные условия, при которых из сильной вложенности подпространства $[f_k]$ в $L_M$ следует равностепенная непрерывность в $L_M$ норм функций единичного шара этого подпространства. Теорема 2. Пусть $M$ – такая функция Орлича, что $1<\alpha_M^\infty\leqslant \beta_M^\infty<2$. Предположим также, что $\{f_k\}$ – последовательность независимых функций, равноизмеримых с функцией $f\in L_M$, $\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$ и $[f_k]\approx\ell_\psi$, где $1<\alpha_\psi^0\leqslant \beta_\psi^0<2$. Пусть подпространство $[f_k]$ сильно вложено в $L_M$. Тогда если существует функция $\varphi\in C_{\psi,1}^0$ такая, что для некоторого $C>0$ и всех $s,t\in [0,1]$ то нормы функций единичного шара подпространства $[f_k]$ равностепенно непрерывны в $L_M$. В частности, это верно при выполнении хотя бы одного из следующих условий:(a) $\psi$ субмультипликативна, т. е. существует $C>0$ такое, что для всех $s,t\in [0,1]$ (b) $\psi$ эквивалентна $\alpha_\psi^0$-выпуклой функции при малых значениях аргумента; (c) $t^{-1/p}\in L_M$ для некоторого $p\in (0,\alpha_\psi^0)$. Доказательство. Как непосредственно проверяется, неравенство (22) выполнено тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation}
\psi^{-1}\biggl(\frac{t}{s}\biggr){\varphi^{-1}(s)}\leqslant C_1 {\psi^{-1}(t)}
\end{equation}
\tag{23}
$$
при некотором $C_1>0$ и всех $0<t\leqslant s\leqslant 1$. Отсюда
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}_{\psi^{-1}}\biggl(\frac1{s}\biggr)=\sup_{0\leqslant t\leqslant s} \frac{\psi^{-1}(t/s)}{\psi^{-1}(t)}\leqslant C_1\cdot \frac{1}{\varphi^{-1}(s)},\qquad 0<s\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как подпространство $[f_k]$ сильно вложено в $L_M$, $[f_k]\approx\ell_\psi$ и $\varphi\in C_{\psi,1}^0$, то по лемме 5 функция $1/\varphi^{-1}$ принадлежит пространству $L_M$. Поэтому из последнего неравенства вытекает, что $\mathcal{M}_{\psi^{-1}}(1/s)\in L_M$.
С другой стороны, в силу леммы 8 функции распределения $n_f(\tau)$ и $n_{1/\psi^{-1}}(\tau)$ эквивалентны при больших $\tau>0$. Следовательно, как и ранее, функции $f^*(t)$ и $1/\psi^{-1}(t)$ эквивалентны при малых $t>0$, и, учитывая равенство $\psi^{-1}(1)=1$, получаем, что для некоторого $C>0$ и всех $0<s\leqslant 1$
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}_{f^*}(s)\leqslant C\mathcal{M}_{1/\psi^{-1}}(s)= C\mathcal{M}_{\psi^{-1}}\biggl(\frac1{s}\biggr).
\end{equation}
\tag{24}
$$
Таким образом, $\mathcal{M}_{f^*}\in L_M$ и для завершения доказательства первого утверждения теоремы остается применить теорему 1.
Покажем, что остальные утверждения теоремы являются непосредственными следствиями только что доказанного. Действительно, так как $\psi\in C_{\psi,1}^0$, получаем утверждение (a). Далее, согласно лемме 3 функция $\psi$ эквивалентна $p$-выпуклой функции при малых значениях аргумента, если и только если при некотором $C_2>0$ и всех $0<t,s\leqslant 1$ имеет место неравенство Поэтому, если выполнено условие (b), то для доказательства нужного утверждения достаточно заметить, что функция $t^{\alpha_\psi^0}$ принадлежит множеству $C_{\psi,1}^0$ (см. п. 2.2).Наконец, непосредственно из определения индекса $\alpha_\psi^0$ вытекает, что для каждого $p\in (0,\alpha_\psi^0)$ функция $\psi$ эквивалентна $p$-выпуклой функции при малых значениях аргумента, т. е. при таких $p$ выполнено неравенство (25). Тем самым нужный результат следует непосредственно из условия (c). Теорема 2 доказана. Замечание 3. Утверждения теоремы 2, вообще говоря, не верны для произвольного подпространства пространства Орлича $L_M$, изоморфного некоторому пространству последовательностей Орлича. Как показано в работе [8] (см. там теорему 2 и ее доказательство), если $t^{-1/\beta_M^\infty}\in L_M$, то $L_M$ содержит сильно вложенное подпространство указанного типа, единичный шар которого состоит из функций, имеющих не равностепенно непрерывные нормы в $L_M$. 4.3. Подпространства пространств Орлича, порожденные одинаково распределенными независимыми функциями, в среднем равными нулю, и индексы Матушевской–ОрличаВ случае, когда $t^{-1/\beta_M^\infty}\notin L_M$ (в частности, это выполнено для $L^p$), все сильно вложенные в пространство Орлича $L_M$ подпространства рассматриваемого типа могут быть охарактеризованы с помощью индексов Матушевской–Орлича. Более того, то же самое условие оказывается эквивалентным равностепенной непрерывности норм функций единичного шара такого подпространства в $L_M$. Теорема 3. Пусть $M$ – такая функция Орлича, что $1<\alpha_M^\infty\leqslant \beta_M^\infty<2$ и $t^{-1/\beta_M^\infty}\notin L_M$. Если $f\in L_M$ и $\{f_k\}$ – последовательность независимых функций, равноизмеримых с $f$, $\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$, то следующие условия эквивалентны: (a) нормы функций единичного шара подпространства $[f_k]$ равностепенно непрерывны в $L_M$; (b) подпространство $[f_k]$ сильно вложено в $L_M$; (c) $\alpha_\psi^0>\beta_M^\infty$, где функция Орлича $\psi$ такова, что $[f_k]_{L_M}\approx\ell_\psi$. Доказательство. Как и ранее, можно считать, что $f=f^*$.
Импликация (a) $\Rightarrow$ (b) – следствие леммы 2. Что касается импликации (b) $\Rightarrow$ (c), то она очевидна, если $\alpha_\psi^0\geqslant 2$. В случае, когда $\alpha_\psi^0<2$, она вытекает из одного из утверждений леммы 5 (см. также ее доказательство). Таким образом, осталось показать, что из (c) следует (a). Итак, предположим, что $\alpha_\psi^0>\beta_M^\infty$. Пусть $p\in (\beta_M^\infty,\alpha_\psi^0)$. Тогда из определения индекса $\beta_M^\infty$ следует, что Утверждение (a) будет доказано, если показать, что нормы пространств $L_M$ и $L^p$ эквивалентны на $H$, или, что равносильно, $f\in L^p$ и $[f_k]_{L^p}\approx\ell_\psi$. Действительно, тогда единичный шар $B_H$ подпространства $H:=[f_k]_{L_M}$ ограничен в $L^p$, и, значит, в силу (26), согласно критерию Валле Пуссена (см., например, [34; теорема 3.2]), функции множества $B_H$ имеют равностепенно непрерывные нормы в $L_M$, т. е. выполнено (a). Прежде всего, в силу неравенства $\alpha_\psi^0>p$ и леммы 3 функция $\psi$ эквивалентна при малых значениях аргумента некоторой $(p+\varepsilon)$-выпуклой функции для достаточно малого $\varepsilon>0$. Следовательно, ${1}/{\psi^{-1}}\in L^p$ и, применяя [16; предложение 3.1], получаем, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sigma_{1/t}\biggl(\frac1{\psi^{-1}}\biggr)\biggr\|_{L^p}=\biggl(\frac1t\int_0^t \frac{ds}{(\psi^{-1}(s))^p}\biggr)^{1/p}\preceq \frac{1}{\psi^{-1}(t)},\qquad 0<t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, так как $f(t)$ не возрастает, $L_M\subset L^1$ и $[f_k]_{L_M}\approx\ell_\psi$, то из (10) следует:
$$
\begin{equation*}
f(t)\leqslant \frac1t\int_0^t f(s)\,ds=\|\sigma_{1/t}f\|_{L^1}\leqslant\|\sigma_{1/t}f\|_{L_M}\preceq \frac{1}{\psi^{-1}(t)},\qquad 0<t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, в частности, $f\in L^p$. Кроме того, из последних соотношений и (10) вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\sigma_nf\|_{L^p}+\biggl(n\int_{1/n}^1f(s)^2\,ds\biggr)^{1/2}&\preceq \biggl\|\sigma_n\biggl(\frac1{\psi^{-1}}\biggr)\biggr\|_{L^p} +\biggl(n\int_{1/n}^1f(s)^2\,ds\biggr)^{1/2} \\ &\preceq \frac{1}{\psi^{-1}(1/n)},\qquad n\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду вложения $L^p\subset L_M$ и в очередной раз соотношения (10) справедливо также противоположное неравенство, т. е.
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\psi^{-1}(1/n)}\asymp \|\sigma_nf\|_{L^p} +\biggl(n\int_{1/n}^1f(s)^2\,ds\biggr)^{1/2}, \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $[f_k]_{L^p}\approx \ell_\psi$, и теорема 3 доказана. Замечание 4. Условие $t^{-1/\beta_M^\infty}\notin L_M$ используется лишь в доказательстве импликации (b) $\Rightarrow$ (c) (при применении леммы 5). Поэтому импликация (c) $\Rightarrow$ (a) имеет место для любого пространства Орлича $L_M$ такого, что $1<\alpha_M^\infty\leqslant \beta_M^\infty<2$. Замечание 5. Предположим, что функция Орлича $M$ удовлетворяет условиям теоремы 3. Как доказано в [8; теорема 3], эквивалентность условий (a) и (b) имеет место для всех подпространств пространства Орлича $L_M$, изоморфных пространствам Орлича последовательностей. В частности, из последней теоремы и ее доказательства для $L^p$-пространств получаем следующее дополнение к теореме Розенталя (см. § 1). Следствие 2. Пусть $1\,{<}\,p\,{<}\,2$, $f\,{\in}\, L^p$ и $\{f_k\}$ – последовательность независимых функций, равноизмеримых с $f$, таких, что $\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$ и $[f_k]_{L^p}\approx\ell_\psi$. Следующие условия эквивалентны: (a) $[f_k]_{L^p}$ – $\Lambda(p)$-пространство; (b) $[f_k]_{L^p}$ – $\Lambda(q)$-пространство для некоторого $q>p$; (c) $\alpha_\psi^0>p$. 4.4. Подпространства $L^2$, порожденные независимыми копиями функции $f\in L^2$, равной в среднем нулюДо сих пор мы рассматривали подпространства пространств Орлича $L_M$, лежащих “строго слева” от пространства $L^2$, точнее, таких, что $1<\alpha_M^\infty\leqslant \beta_M^\infty<2$. Следующий результат показывает, что в случае, когда $M(t)=t^2$ (т. е. в $L^2$), ситуация упрощается: функции единичного шара любого подпространства $L^2$-пространства, порожденного независимыми, одинаково распределенными, в среднем равными нулю функциями, имеют равностепенно непрерывные нормы в $L^2$. Теорема 4. Пусть $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ – последовательность независимых функций, равноизмеримых с некоторой функцией $f\in L^2$, $\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, $k=1,2,\dots$ . Тогда нормы функций единичного шара $B_H$ подпространства $H:=[f_k]_{L^2}$ равностепенно непрерывны в $L^2$. Доказательство. Как обычно, будем предполагать, что $f^*=f$.
По лемме 7 найдем функцию $N$, эквивалентную некоторой $2$-выпуклой функции Орлича, такую, что $\widetilde{N}\in\Delta_2^\infty$, $\lim_{u\to\infty}{N(u)}u^{-2}=\infty$ и $N(|f|)\in L^1$. Без ограничения общности можно предположить, что $N$ сама является $2$-выпуклой функцией Орлича на $[0,\infty)$, и, значит, пространство Орлича $L_N$ $2$-выпукло (см. п. 2.2). Кроме того, из приведенных соотношений вытекает, что $L_N\stackrel{\ne}{\subset} L^2$ и $f\in L_N$. Пусть $[f_k]_{L_N}\approx \ell_\psi$ и $\phi_{\ell_\psi}$ – фундаментальная функция пространства $\ell_\psi$. В силу (10), а также определения оператора $\sigma_n$ для любого $n\in\mathbb{N}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \phi_{\ell_\psi}(n)&\asymp \|\sigma_nf\|_{L_N} {+}\,\biggl\|f\biggl(\frac{\cdot}{n}\biggr)\biggr\|_{L^2[1,\infty)} {=}\,\|\sigma_n(f\chi_{[0,1/n]})\|_{L_N} {+}\,\biggl\|f\chi_{[1/n,1]}\biggl(\frac{\cdot}{n}\biggr)\biggr\|_{L^2[1,\infty)} \\ &\leqslant C'n^{1/2}(\|f\chi_{[0,1/n]}\|_{L_N}+\|f\chi_{[1/n,1]}\|_{L^2})\leqslant Cn^{1/2}\|f\|_{L_N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, $\{f_k/\|f\|_{L^2}\}_{k=1}^\infty$ – ортонормированная последовательность в $L^2$, и поэтому $[f_k]_{L^2}\approx \ell^2$. Так как $\ell_\psi\subset \ell^2$ и $\phi_{\ell^2}(n)=n^{1/2}$, $n=1,2,\dots$, то из полученных соотношений следует, что $\phi_{\ell_\psi}(n)\asymp n^{1/2}$, т. е. $[f_k]_{L_N}\approx \ell^2$. Таким образом, шар $B_H$ ограничен в $L_N$, и, в очередной раз применяя критерий Валле Пуссена, мы получаем нужное утверждение. Теорема доказана. Замечание 6. Следующий пример показывает, что результат теоремы 4 не может быть распространен на все подпространства, порожденные произвольными независимыми, равными нулю в среднем (вообще говоря, не одинаково распределенными) функциями. Пусть $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ – последовательность независимых функций на $[0,1]$ такая, что $\int_0^1 f_k(t)\,dt=0$, $|f_k(t)|=2^{k/2}$, $t\in E_k$, где $m(E_k)=2^{-k-1}$, и $|f_k(t)|=1$, $t\in [0,1]\setminus E_k$ $(k=1,2,\dots)$. Как показано в [29; пример 2], подпространство $[f_k]$ сильно вложено в $L^2$, однако не существует симметричного пространства $X$ такого, что одновременно $X\stackrel{\ne}{\subset} L^2$ и $X\supset [f_k]$. Учитывая критерий Валле Пуссена, отсюда, в частности, следует, что нормы функций единичного шара подпространства $[f_k]$ не равностепенно непрерывны в $L^2$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ast24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|