| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Критерий конусов на бесконечномерном торе С. Д. Глызин  , А. Ю. Колесов Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Английская версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9548e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Базовые понятия и определения1.1. Определение бесконечномерного тораИстория развития современной теории динамических систем и основные ее достижения подробно описаны в обзорах [1], [2] и монографиях [3]–[12] (это, разумеется, далеко не полный библиографический список). Что же касается бесконечномерных динамических систем, то их изучение проводилось неоднократно в целом ряде работ (см., например, [13]–[17]). К упомянутым работам примыкает и настоящая статья, являющаяся продолжением серии публикаций [18]–[24]. Остановимся чуть более подробно на библиографии, имеющей отношение к бесконечномерной гиперболической теории. Первыми шагами в развитии этой теории можно считать работы [25] и [26], в которых изучались цепочки связанных растягивающих отображений окружности и прямое произведение счетного числа транзитивных диффеоморфизмов Аносова соответственно (точнее говоря, исследовались метрические и хаотические свойства этих систем). Имеется также целый ряд работ по нормально гиперболическим многообразиям, обобщающих классический результат Феничеля на бесконечномерный случай (см., например, [27], [28]). Отдельного упоминания заслуживает цикл статей [29]–[31], в которых изучались гиперболические множества полупотоков, порожденных решениями некоторых нелинейных параболических краевых задач. Характерной особенностью указанных работ является то, что в них были даны альтернативные определения гиперболической траектории и гиперболического множества, не опирающиеся на устойчивое и неустойчивое подпространства. Отметим еще, что определение гиперболичности, которое используется в настоящей статье, более ограничительно, так как упомянутое выше альтернативное определение из него вытекает автоматически. Подробнее об этом будет сказано ниже. Нами была предпринята попытка создания как можно более полной теории динамических систем на торе $\mathbb{T}^{\infty}$, аналогичной соответствующей теории на конечномерном торе $\mathbb{T}^m$, $m\geqslant 2$. Изложение этой теории и составляет содержание работ [18]–[24]. Мотивировкой для таких исследований служит возможность их последующего применения к динамическим системам с бесконечномерным фазовым пространством, возникающим в различных приложениях. Выбор же в качестве несущего многообразия тора $\mathbb{T}^{\infty}$ обусловлен прежде всего эстетическими соображениями, поскольку указанный тор представляет собой наиболее естественный модельный пример банахова многообразия. Конечно, этот выбор не является строго обязательным. Например, можно было бы в качестве несущего многообразия взять некоторое банахово пространство $E$ или открытое множество в нем. Возможен и вариант бесконечномерного банахова многообразия, являющегося прямым произведением счетного числа одинаковых конечномерных римановых многообразий $M$ (как это сделано в [26]). Однако в случае $\mathbb{T}^{\infty}$ удобнее проводить параллели со случаем конечномерного тора, для которого построена наиболее полная и красивая гиперболическая теория. Удобнее и строить конкретные нетривиальные примеры гиперболических диффеоморфизмов бесконечномерного тора. Один из таких примеров разобран в работах [21], [22]. В настоящей статье мы распространяем на случай тора $\mathbb{T}^{\infty}$ известный критерий конусов [2], [4], [5]. Основная трудность здесь заключается в том, что имеющиеся к настоящему времени доказательства этого критерия (см., например, [32]) не пригодны для $\mathbb{T}^{\infty}$. В связи с этим возникает проблема отыскания универсального обоснования критерия конусов, применимого как в конечномерном, так и в бесконечномерном случаях. В настоящей работе такое универсальное доказательство найдено. Следует отметить, что в статьях [18]–[24] мы использовали новое, не встречавшееся ранее в литературе, определение бесконечномерного тора $\mathbb{T}^{\infty}$. А поскольку наше определение еще не стало общепринятым, то для удобства восприятия содержания настоящей работы в данном разделе приводится необходимый справочный материал. Точнее говоря, дается описание как самого тора $\mathbb{T}^{\infty}$, так и сопутствующих понятий (дифференцируемая структура, дифференциал, диффеоморфизм, касательное пространство и так далее). Описывается также интересующий нас специальный класс диффеоморфизмов $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Начнем с определения тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Для этого, как и в [18]–[24], фиксируем некоторое бесконечномерное вещественное банахово пространство $E$ с нормой $\|\,{\cdot}\,\|$ и в первую очередь сформулируем определение бесконечномерной целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$. Определение 1.1. Бесконечномерной целочисленной решеткой (или просто целочисленной решеткой) назовем непустое подмножество $\mathbb{Z}^{\infty}\subset E$, удовлетворяющее следующим аксиомам. 1) Имеет место свойство линейности: для любых $l_1, l_2\in\mathbb{Z}^{\infty}$, $k_1, k_2\in\mathbb{Z}$ справедливо включение $k_1l_1+k_2l_2\in\mathbb{Z}^{\infty}$. 2) Выполняется условие дискретности
$$
\begin{equation}
\mu_0:=\inf_{l_1, l_2\in\mathbb{Z}^{\infty},\,l_1\ne l_2}\|l_1-l_2\|>0.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
3) Замыкание линейной оболочки векторов из $\mathbb{Z}^{\infty}$ совпадает с исходным пространством $E$ (это условие естественно назвать максимальностью). При построении конкретных примеров целочисленных решеток оказывается полезным понятие ядра. А именно, ядром $\Omega$ решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ будем называть непустое подмножество из $\mathbb{Z}^{\infty}$ такое, что любой вектор $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ представляет собой конечную линейную комбинацию элементов из $\Omega$ с целочисленными коэффициентами. Ясно, что всегда имеется так называемое максимальное ядро $\Omega=\mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, ядро $\Omega$ назовем минимальным, если оно состоит из линейно независимых векторов. Характерная особенность минимального ядра $\Omega$ заключается в том, что для любого подмножества $\Omega_0\subset\Omega$, также являющегося ядром, выполняется равенство $\Omega_0=\Omega$. В общем случае вопрос о существовании минимального ядра остается открытым, однако в некоторых конкретных ситуациях его можно выписать явно. Отдельно остановимся на связи данного нами определения минимального ядра с понятием базиса абелевой группы. В связи с этим напомним, что свободная абелева группа – это абелева группа, имеющая базис, т. е. такое подмножество $B$ элементов группы, что для любого ее элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Очевидно, что решетка $\mathbb{Z}^{\infty}$ оказывается абелевой группой по отношению к операции сложения векторов из пространства $E$, а минимальное ядро $\Omega$ (если оно существует) автоматически будет базисом $B$ в данной группе. Вопрос же о том, каждый ли базис $B$ автоматически будет являться минимальным ядром, пока открыт. Ясно лишь, что формально требования, наложенные на минимальное ядро $\Omega$, сильнее, чем условия на базис $B$ (в первом случае мы требуем отсутствия равных нулю нетривиальных конечных линейных комбинаций векторов с вещественными коэффициентами, а во втором – отсутствия таких комбинаций только лишь с целыми коэффициентами). Примером целочисленной решетки в пространстве $\ell_{p}$, $p\geqslant 1$, состоящем из векторов
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots),\qquad \varphi_{(k)}\in \mathbb{R},\quad k\geqslant 1, \\ \|\varphi\|:= \biggl(\sum_{k=1}^{\infty}|\varphi_{(k)}|^{p}\biggr)^{1/p}<\infty, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
является множество
$$
\begin{equation}
\mathbb{Z}^{\infty}= \{l=\operatorname{colon}(l_{(1)}, \dots, l_{(k)}, \dots)\in\ell_{p}\colon l_{(k)}\in\mathbb{Z},\,k\geqslant 1\}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
В силу сходимости ряда $\sum^{\infty}_{k=1}|l_{(k)}|^p$ (см. (1.2)) любой вектор $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ имеет лишь конечное число ненулевых координат. Что же касается ядра $\Omega$, то в данном случае в качестве такового можно взять множество (через $e_k$ обозначен вектор, у которого $k$-я компонента равна единице, а все остальные – нулевые). Заметим, далее, что поскольку эти векторы линейно независимы, то ядро (1.4) минимально. В случае пространства $\ell_{\infty}$, элементами которого являются векторы
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots),\qquad \varphi_{(k)}\in \mathbb{R},\quad k\geqslant 1, \\ \|\varphi\|:= \sup_{k\geqslant 1}|\varphi_{(k)}|<\infty, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
аналогичная (1.3) целочисленная решетка имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathbb{Z}^{\infty}= \{l=\operatorname{colon}(l_{(1)}, \dots, l_{(k)}, \dots)\in\ell_{\infty}\colon l_{(k)}\in\mathbb{Z},\,k\geqslant 1\}.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Далее, как показано в [21]–[24], ядром здесь будет множество $\Omega=\mathrm{Bin}(\ell_{\infty})$ так называемых бинарных векторов $l\in\ell_{\infty}$, у которых координаты $l_{(k)}$, $k\geqslant 1$, независимо друг от друга принимают значения $0$ или $1$. Отметим еще, что множество $\mathrm{Bin}(\ell_{\infty})$ заведомо не является минимальным ядром, так как ядром оказывается, например, и множество $\mathrm{Bin}(\ell_{\infty})\setminus \{l_0\}$, где $l_0=\operatorname{colon}(1, 1, \dots, 1, \dots)$. Вопрос же о существовании минимального ядра здесь, как и в общем случае, открыт. Еще один открытый вопрос, связанный с решеткой (1.6), состоит в следующем. Как известно [33], указанная решетка является свободной абелевой группой относительно операции сложения векторов, т. е. у нее существует базис $B$. Однако не ясно, будет ли этот базис минимальным ядром решетки (1.6). Обратимся, далее, к пространству $c$, состоящему из векторов
$$
\begin{equation}
\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots),\qquad \varphi_{(k)}\in \mathbb{R},\quad k\geqslant 1,\quad \lim_{k\to+\infty}\varphi_{(k)}=0,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
и снабженному нормой Как и в двух предыдущих случаях, целочисленная решетка в $c$ задается аналогичным (1.3), (1.6) равенством
$$
\begin{equation}
\mathbb{Z}^{\infty}= \{l=\operatorname{colon}(l_{(1)}, \dots, l_{(k)}, \dots)\in c\colon l_{(k)}\in\mathbb{Z},\,k\geqslant 1\}.
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Подчеркнем, что поскольку $l_{(k)}\to 0$ при $k\to+\infty$, то любой вектор $l$ из (1.9) имеет лишь конечное число ненулевых компонент. Следовательно, данная решетка фактически состоит из тех же элементов, что и (1.3). Что же касается минимального ядра $\Omega$ этой решетки, то таковым здесь будет множество (1.4). Аналог целочисленной решетки (1.6) можно определить и в лебеговом пространстве $L_{\infty}(0, 1)$, состоящем из классов измеримых функций $x(t)$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|x\|=\operatorname*{ess\,sup}_{0\leqslant t\leqslant 1}|x(t)|.
\end{equation*}
\notag
$$
А именно, здесь целочисленной решеткой является множество вида
$$
\begin{equation*}
\mathbb{Z}^{\infty}=\{x(t)\in L_{\infty}(0, 1)\colon x(t)\in\mathbb{Z}\text{ при п. в. }t\in [0, 1]\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Еще один естественный пример целочисленной решетки строится по следующему правилу. Пусть $E$ – бесконечномерное вещественное гильбертово пространство, а $\{e_{\alpha}\in E\colon \alpha\in\Sigma\}$ – некоторая его полная ортонормированная система (в силу условия $\dim E=\infty$ индексное множество $\Sigma$ заведомо состоит из бесконечного числа элементов). Тогда, как нетрудно проверить, эта система служит минимальным ядром соответствующей целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$. Элементами данной решетки являются всевозможные конечные линейные комбинации векторов $e_{\alpha}$ с целочисленными коэффициентами. Завершая рассмотрение конкретных примеров, обратимся к пространству непрерывных функций $C[0, 1]$. В отличие от всех перечисленных выше случаев здесь не удается предъявить какую-нибудь естественную целочисленную решетку. Действительно, естественные на первый взгляд линейно независимые системы функций $\{t^k\colon k=0, 1, \dots\}$ и $\{\cos(k\pi t)\colon k=0, 1, \dots\}$ не порождают требуемых решеток, так как в силу соотношений
$$
\begin{equation*}
\max_{0\leqslant t\leqslant 1}t^n(1-t)^n=\frac{1}{2^{2n}},\quad \max_{0\leqslant t\leqslant 1}\cos^{2n}(k\pi t)(1-\cos^{2}(k\pi t))^n=\frac{1}{2^{2n}}\quad \forall\,n\in\mathbb{N}
\end{equation*}
\notag
$$
для них нарушается условие дискретности (1.1). Однако нужная целочисленная решетка в $C[0, 1]$ заведомо найдется, поскольку справедливо следующее утверждение [23], [24]. Лемма 1.1. В любом банаховом пространстве $E$ существует хотя бы одна целочисленная решетка $\mathbb{Z}^{\infty}$. Перейдем теперь к определению тора $\mathbb{T}^{\infty}$. В связи с этим всюду ниже считаем, что в пространстве $E$ фиксирована некоторая целочисленная решетка $\mathbb{Z}^{\infty}$ (возможность такого выбора гарантирует лемма 1.1). Тогда с ее помощью на $E$ вводится отношение эквивалентности по следующему правилу. Будем говорить, что два вектора $x, y\in E$ эквивалентны, если существует такой элемент $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, что $x-y=2\pi l$. Определение 1.2. Бесконечномерным тором $\mathbb{T}^{\infty}$ назовем множество всех классов эквивалентности, порожденных описанным выше отношением. Иными словами, справедливы равенства $\mathbb{T}^{\infty}=E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}=\operatorname{pr}(E)$, где отображение $\operatorname{pr}\colon E\to\mathbb{T}^{\infty}$ – так называемая естественная проекция. Эта проекция действует по правилу где $\varphi$ – произвольный элемент из $E$, а $\{\varphi\}$ – класс эквивалентности из $\mathbb{T}^{\infty}$, содержащий $\varphi$.В дальнейшем для краткости одной и той же буквой $\varphi$ будем обозначать как вектор из $E$, так и соответствующий ему класс $\{\varphi\}\in\mathbb{T}^{\infty}$. Это не вызовет недоразумений, поскольку из контекста всегда будет ясно о каком именно объекте идет речь. Норма $\|\,{\cdot}\,\|$ пространства $E$ порождает естественную метрику на торе $\mathbb{T}^{\infty}$, задающуюся равенством
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi_1, \varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}\quad\rho(\varphi_1, \varphi_2)= \inf_{l\in\mathbb{Z}^{\infty}}\|\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1)- \operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)+2\pi l\|,
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1), \operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)\in E$ – произвольные прообразы точек $\varphi_1, \varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$. Так как упомянутые прообразы определяются с точностью до аддитивных добавок вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, то метрика (1.11) не зависит от их конкретного выбора. Отметим также, что в силу свойства дискретности (1.1) и формулы (1.11) отображение (1.10) является локальной изометрией, т. е.
$$
\begin{equation}
\rho(\operatorname{pr}(\varphi_1), \operatorname{pr}(\varphi_2))=\|\varphi_1-\varphi_2\| \quad \forall\,\varphi_1, \varphi_2\in E,\quad \|\varphi_1-\varphi_2\|\leqslant\varepsilon_0,
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
где $\varepsilon_0=\mathrm{const}\in(0, \pi\mu_0)$, $\mu_0$ – постоянная из (1.1). В свою очередь, из соотношения (1.12) автоматически вытекает полнота пространства $(\mathbb{T}^{\infty}, \rho)$. В последующем нам понадобится понятие фундаментального множества тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Таковым будем называть множество $\mathscr{U}\subset E$, для которого $\operatorname{pr}(\mathscr{U})=\mathbb{T}^{\infty}$ и отображение $\operatorname{pr}\colon \mathscr{U}\to\mathbb{T}^{\infty}$ взаимно однозначно. Подчеркнем, что существование данного множества гарантирует аксиома выбора, примененная к семейству непустых попарно непересекающихся множеств $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ (под $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$ здесь понимается полный прообраз элемента $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$). В случае (1.2), (1.3) фундаментальной является область
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}=\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots)\in\ell_{p}\colon -\pi<\varphi_{(k)}\leqslant\pi,\, k\geqslant 1\},
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
в случае (1.5), (1.6) – область
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}=\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots)\in\ell_{\infty}\colon -\pi<\varphi_{(k)}\leqslant\pi,\, k\geqslant 1\},
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
а в случае (1.7)–(1.9) таковой будет область
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}=\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots)\in c\colon -\pi<\varphi_{(k)}\leqslant\pi,\, k\geqslant 1\}.
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
Нетрудно увидеть, что множества (1.14) и (1.15) ограничены, а (1.13) этим свойством не обладает. Отдельно остановимся на вопросе о том, является ли введенный нами тор $\mathbb{T}^{\infty}$ многообразием и если да, то каким. В связи с этим уточним некоторые понятия. Пусть даны хаусдорфово топологическое пространство $X$ и банахово пространство $E$. Будем говорить, что $X$ является банаховым многообразием без края или просто банаховым многообразием, если для каждой точки $x\in X$ найдется ее окрестность, гомеоморфная некоторому открытому шару пространства $E$. Далее, банахово многообразие $X$ назовем аналитическим, если на нем задан некоторый атлас, и отображения перехода между любыми двумя пересекающимися локальными картами этого атласа являются аналитическими. Справедлив следующий результат [22], [23]. Теорема 1.1. Бесконечномерный тор $\mathbb{T}^{\infty}$ представляет собой аналитическое банахово многообразие. Это многообразие всегда линейно связно и некомпактно. В случае же существования у тора $\mathbb{T}^{\infty}$ ограниченного фундаментального множества $\mathscr{U}$ оно является ограниченным (т. е. ограничено соответствующее метрическое пространство $(\mathbb{T}^{\infty}, \rho)$). Воспроизводить полное доказательство данной теоремы здесь не имеет смысла. В дальнейшем нам необходимо лишь знать в явном виде дифференцируемую структуру на $\mathbb{T}^{\infty}$. Для задания этой структуры фиксируем некоторое фундаментальное множество $\mathscr{U}$ тора $\mathbb{T}^{\infty}$ и для каждого $\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}$ обозначим через $u_0\in \mathscr{U}$ соответствующий прообраз $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0)$ (который, напомним, определяется однозначно). Далее, введем в рассмотрение отображение
$$
\begin{equation}
h_{\varphi_0}(\varphi)=\operatorname{pr}^{-1}_{u_0}(\varphi),\qquad \varphi\in O(\varphi_0, r_0):= \{\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}\colon \rho(\varphi_0, \varphi)<r_0\},
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
где $\operatorname{pr}^{-1}_{u_0}(\varphi)$, $\operatorname{pr}^{-1}_{u_0}(\varphi_0)=u_0$ – непрерывная ветвь соответствующего многозначного отображения $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, $r_0=\mathrm{const}\in (0, \varepsilon_0/6)$, а $\varepsilon_0$ – постоянная из (1.12). Подчеркнем, что в силу выбора $r_0$ и свойства локальной изометрии (1.12) гомеоморфизм (1.16) корректно определен и переводит шар $O(\varphi_0, r_0)\subset \mathbb{T}^{\infty}$ на аналогичный шар $O(u_0, r_0)=\{u\in E\colon \|u-u_0\|<r_0\}$ из пространства $E$. Локальные гомеоморфизмы (1.16) позволяют естественным образом ввести на торе $\mathbb{T}^{\infty}$ атлас
$$
\begin{equation}
\{(O(\varphi_0, r_0), h_{\varphi_0}),\, \varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}\}.
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
Как показано в [22], [23], если для некоторых $\varphi_1, \varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$ имеем
$$
\begin{equation*}
O(\varphi_1, r_0)\cap O(\varphi_2, r_0)\ne\varnothing,
\end{equation*}
\notag
$$
то для соответствующих гомеоморфизмов $h_{\varphi_j}(\varphi)=\operatorname{pr}^{-1}_{u_j}(\varphi)$, где $u_j=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_j)$, $u_j\in\mathscr{U}$, $j=1, 2$, справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi\in O(\varphi_2, r_0)\quad h_{\varphi_2}(\varphi)=h_{\varphi_1}(\varphi)+2\pi l_0,\quad l_0=\mathrm{const}\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
А отсюда несложно вывести, что соответствующее отображение перехода
$$
\begin{equation*}
h_{\varphi_2}\circ h^{-1}_{\varphi_1}\colon h_{\varphi_1}(O(\varphi_1, r_0)\cap O(\varphi_2, r_0))\to h_{\varphi_2}(O(\varphi_1, r_0)\cap O(\varphi_2, r_0))
\end{equation*}
\notag
$$
записывается в виде $u\mapsto u+2\pi l_0$, а значит, является аналитическим по локальной переменной $u\in h_{\varphi_1}(O(\varphi_1, r_0)\cap O(\varphi_2, r_0))$. Приведенная классификационная теорема играет принципиальную роль в разработке основ гиперболической теории. Действительно, наличие на торе $\mathbb{T}^{\infty}$ дифференцируемой структуры (1.17) позволяет естественным образом перенести на данное многообразие такие понятия, как касательное пространство, дифференциал, диффеоморфизм и так далее. Например, касательное пространство $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$ тора $\mathbb{T}^{\infty}$ в любой точке $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ определяется следующим образом. Рассмотрим всевозможные непрерывные кривые $\varkappa(t)\in\mathbb{T}^{\infty}$, $t\in (-a, a)$, $a>0$, такие, что $\varkappa(0)=\varphi$. Будем считать, что для некоторой локальной карты $(O(\varphi_0, r_0), h_{\varphi_0})\colon \varphi\in O(\varphi_0, r_0)$ (а значит, для любой такой карты) функция $h_{\varphi_0}(\varkappa(t))$ дифференцируема в точке $t=0$. Далее, две кривые $\varkappa_1(t)$ и $\varkappa_2(t)$ с перечисленными свойствами назовем эквивалентными, если
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}h_{\varphi_0}(\varkappa_1(t))\big|_{t=0}= \frac{d}{dt}h_{\varphi_0}(\varkappa_2(t))\big|_{t=0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Что же касается пространства $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$, то оно есть совокупность получившихся классов эквивалентности $\{\varkappa\}$ (см. [4; § П3]). Характерная особенность нашего случая заключается в том, что между классами $\{\varkappa\}$ и векторами пространства $E$ существует естественный изоморфизм $\Gamma_{\varphi}\colon T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}\to E$, осуществляющийся по правилам
$$
\begin{equation*}
\Gamma_{\varphi}\colon \{\varkappa\}\mapsto e_{\{\varkappa\}}:=\frac{d}{dt}h_{\varphi_0}(\varkappa(t))\bigg|_{t=0},\quad \Gamma^{-1}_{\varphi}\colon e\in E\mapsto \{\operatorname{pr}[\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)+t e]\}\in T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти правила корректны в том смысле, что вектор $e_{\{\varkappa\}}\in E$ не зависит ни от выбора конкретной кривой $\varkappa(t)$ из соответствующего класса $\{\varkappa\}$ (в силу эквивалентности указанных кривых), ни от локального гомеоморфизма $h_{\varphi_0}$ (так как переход от одного из них к другому осуществляется по формуле (1.18)). Тем самым, каждый класс $\{\varkappa\}\in T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$ отождествляется со своим каноническим представителем $\varkappa(t)=\operatorname{pr}[\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)+t e]$, $e\in E$, а значит, с вектором $e$. Итак, допуская некоторую вольность речи, можно утверждать, что касательное пространство $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$ тора $\mathbb{T}^{\infty}$ в каждой точке $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ совпадает с $E$. А поскольку в пространстве $E$ задана норма $\|\,{\cdot}\,\|$, то $\mathbb{T}^{\infty}$ является одновременно и финслеровым многообразием (см. [4; § П4]) с финслеровой метрикой (1.11). Напомним, что в отличие от риманова многообразия в случае финслерова многообразия $M$ при всех $x\in M$ в касательном пространстве $T_xM$ задано не скалярное произведение, а норма, и эта норма в определенном смысле непрерывно зависит от точки $x$. Завершая описание общих свойств тора $\mathbb{T}^{\infty}$, отметим, что, как правило, в математической литературе под понятием “бесконечномерный тор” подразумевается прямое произведение счетного числа окружностей $\mathbb{T}=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ с тихоновской топологией (см., например, [16], [34]–[37]). Упомянутое произведение будем обозначать через $\widetilde{\mathbb{T}}^{\infty}$ и называть тихоновским тором. Его элементами являются бесконечномерные векторы вида
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\varphi}=(\varphi_1, \dots, \varphi_m,\dots),\qquad \varphi_m\in\mathbb{T},\quad m\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
а метрика на $\widetilde{\mathbb{T}}^{\infty}$ вводится по следующему правилу. Сначала для любых двух элементов $\varphi_1, \varphi_2\in\mathbb{T}$ определяем расстояние между ними по аналогичной (1.11) формуле
$$
\begin{equation*}
d(\varphi_1, \varphi_2)= \min_{l\in\mathbb{Z}}|\theta_1-\theta_2+2\pi l|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\theta_1, \theta_2\in\mathbb{R}$ – произвольные представители соответствующих классов эквивалентности $\varphi_1, \varphi_2\in\mathbb{T}$. После этого для любых двух элементов
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\varphi}^k=(\varphi_1^k, \dots, \varphi_m^k,\dots),\qquad \varphi_m^k\in\mathbb{T},\quad k=1, 2,\quad m\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
из $\widetilde{\mathbb{T}}^{\infty}$ полагаем
$$
\begin{equation}
\rho(\widetilde{\varphi}^1, \widetilde{\varphi}^2)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{2^m}\, \frac{d(\varphi_m^1, \varphi_m^2)}{1+d(\varphi_m^1, \varphi_m^2)}.
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
Очевидно, что тор $\widetilde{\mathbb{T}}^{\infty}$, снабженный метрикой (1.19), является компактным метрическим пространством, топологическая размерность которого равна бесконечности. Упомянутые выше свойства тихоновского тора $\widetilde{\mathbb{T}}^{\infty}$ гарантируют справедливость следующего утверждения [23]. Приведенная лемма показывает, что тихоновский тор $\widetilde{\mathbb{T}}^{\infty}$ не может быть объектом стандартной гиперболической теории, так как последняя строится на гладких многообразиях. Напротив, в нашем случае в силу теоремы 1.1 тор $\mathbb{T}^{\infty}$ обладает свойствами, необходимыми для создания такой теории. Разработка элементов этой теории была предпринята в серии публикаций [18]–[23] и продолжается в настоящей статье. 1.2. Описание класса $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$Сформулируем сначала ряд вспомогательных определений. Начнем с так называемых локальных поднятий, которые могут быть введены для любого непрерывного отображения $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to \mathbb{T}^{\infty}$. Фиксируем произвольно точку $\varphi_0\in\mathbb{ T}^{\infty}$, положим затем $\varphi_1=G(\varphi_0)$ и рассмотрим произвольные прообразы $v_0=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0)$, $v_1=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1)$ этих точек. Под локальным поднятием отображения $G$ будем понимать отображение вида
$$
\begin{equation}
\overline{G}_{v_0}(v)=\operatorname{pr}^{-1}_{v_1}[G(\operatorname{pr}(v))],\qquad \overline{G}_{v_0}(v_0)=v_1.
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
Здесь, как и в (1.16), через $\operatorname{pr}^{-1}_{v_1}(\varphi)$ обозначена непрерывная ветвь многозначного отображения $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, выделяющаяся равенством $\operatorname{pr}^{-1}_{v_1}(\varphi_1)=v_1$ и определенная на шаре $O(\varphi_1, r_0)\subset \mathbb{T}^{\infty}$ (постоянная $r_0>0$ та же самая, что и в (1.16)). Что же касается переменной $v$ из (1.20), то она пробегает шар
$$
\begin{equation*}
O(v_0, \delta_0)=\{v\in E\colon \|v-v_0\|<\delta_0\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_0\in(0, r_0)$ удовлетворяет требованию
$$
\begin{equation}
\rho(G(\operatorname{pr}(v)), \varphi_1)<r_0\quad \forall\,v\in O(v_0, \delta_0).
\end{equation}
\tag{1.21}
$$
Добавим еще, что в силу непрерывности отображения $G(\operatorname{pr}(v))$ и равенства $G(\operatorname{pr}(v_0))=\varphi_1$ условие (1.21) будет заведомо справедливым при подходящем уменьшении $\delta_0$. Далее, непрерывно дифференцируемым назовем непрерывное отображение $G\colon \mathbb{T}^{\infty} \to\mathbb{T}^{\infty}$, у которого каждое локальное поднятие (1.20) дифференцируемо по Фреше, и соответствующая производная Фреше $D(\overline{G}_{v_0}(v))$ непрерывно зависит от $v\in O(v_0, \delta_0)$ в равномерной операторной топологии (т. е. по норме банахова пространства $L(E; E)$ линейных ограниченных операторов). В случае непрерывно дифференцируемого отображения $G$ наличие локальных представлений (1.20) позволяет ввести для него понятие дифференциала $DG(\varphi)$, $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$. По определению таковым является линейный ограниченный оператор из $E$ в $E$, задающийся равенством
$$
\begin{equation}
DG(\varphi)|_{\varphi=\operatorname{pr}(v)}=D(\overline{G}_{v_0}(v)) \quad \forall\,v\in O(v_0, \delta_0).
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
Следует отметить, что формула (1.22) корректна в том смысле, что, выбирая различные локальные представления, мы не можем получить для одной и той же точки $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ различные значения $DG(\varphi)$. Действительно, поскольку любые две непрерывные ветви отображения $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$ на пересечении своих областей определения (точнее говоря, на любой связной компоненте этого пересечения) отличаются на постоянную аддитивную добавку вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, значит, то же самое верно и для любых двух локальных поднятий $\overline{G}_{\widetilde{v}_0}(v)$, $\overline{G}_{\widetilde{\widetilde{v}}_0}(v)$. Поэтому на их общей области определения автоматически имеем $D(\overline{G}_{\widetilde{v}_0}(v)) =D(\overline{G}_{\widetilde{\widetilde{v}}_0}(v))$. Предположим теперь, что отображение $G$ является гомеоморфизмом тора $\mathbb{T}^{\infty}$, и непрерывно дифференцируемы как $G$, так и $G^{-1}$. Такого рода отображения будем называть диффеоморфизмами (или говорить, что $G$ обладает свойством диффеоморфности). Выписывая для $G^{-1}$ аналогичные (1.20), (1.22) формулы, нетрудно показать, что $\forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ оператор $DG(\varphi)$ обратим и
$$
\begin{equation}
D(G^{-1}(\varphi))=[DG(\theta)]^{-1}|_{\theta=G^{-1}(\varphi)}\quad \forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.23}
$$
Перечисленные вспомогательные понятия позволяют ввести в рассмотрение интересующий нас класс $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Определение 1.3. Класс $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ состоит из произвольных диффеоморфизмов $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$, удовлетворяющих условиям ограниченности и равномерной непрерывности Напомним, что под индуцированной нормой произвольного линейного оператора $A\colon E\to E$ понимается величина $\|A\|_{E\to E}=\sup_{x\in E, \, \|x\|=1}\|Ax\|$ (если она конечна). Подобного рода нормы встречаются и в дальнейшем. А именно, ниже через $\|\,{\cdot}\,\|_{V_1\to V_2}$, где $V_j$, $j=1, 2$, – замкнутые подпространства из $E$, будем обозначать соответствующие индуцированные операторные нормы, считая нормы в $V_j$, $j=1, 2$, заимствованными из $E$. Достаточно ясно, что в силу некомпактности тора $\mathbb{T}^{\infty}$ брать в качестве $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ совокупность всех диффеоморфизмов $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$ (как это делается в конечномерном случае) не имеет смысла. Действительно, при таком выборе $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ не удается получить никаких содержательных утверждений из гиперболической теории. Что же касается условий (1.24), то они представляют собой некий разумный компромисс. С одной стороны, эти условия достаточно просты и естественны, а с другой стороны (как показано в [21]–[23]), они обеспечивают справедливость целого ряда базовых свойств гиперболических диффеоморфизмов (отделенность от нуля угла между устойчивым и неустойчивым подпространствами, равномерная ограниченность соответствующих проекторов, $C^1$-грубость свойства гиперболичности и так далее). Интересно отметить, что в силу равенства (1.23) диффеоморфизмы $G$ и $G^{-1}$ принадлежат или нет к классу $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ одновременно, т. е. наблюдается определенная симметрия. Более того, в работах [21]–[23] установлено, что диффеоморфизмы из $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ обладают некоторой специальной структурой. Для формулировки соответствующего результата введем в рассмотрение следующие дополнительные объекты. Через $L(\mathbb{Z}^{\infty})$ обозначим класс линейных ограниченных операторов $\Lambda$ из $E$ в $E$, таких что любой оператор $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$ является обратимым и $\Lambda\mathbb{Z}^{\infty}=\mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, через $B^1_{\mathrm{per}}(E)$ будем обозначать совокупность вектор-функций $g(\varphi)\in E$, $\varphi\in E$ со следующими свойствами. Предполагаем, что, во-первых, все функции $g(\varphi)$ из $B^1_{\mathrm{per}}(E)$ и их производные Фреше $g'(\varphi)$ непрерывны по $\varphi\in E;$ во-вторых, выполняются требования $2\pi$-периодичности, ограниченности и равномерной непрерывности:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, g(\varphi+2\pi l)\equiv g(\varphi)\quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}, \qquad \sup_{\varphi\in E}\|g'(\varphi)\|_{E\to E}<\infty, \\ \lim_{\varepsilon\to 0} \sup_{\substack{\varphi_1, \varphi_2\in E\\ \|\varphi_1-\varphi_2\|<\varepsilon}} \|g'(\varphi_1)-g'(\varphi_2)\|_{E\to E}=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.25}
$$
Любой паре $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$, $g(\varphi)\in B^1_{\mathrm{per}}(E)$ поставим в соответствие два отображения $\overline{G}\colon E\to E$ и $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$ по правилам
$$
\begin{equation}
\overline{G}\colon \varphi\mapsto \overline{G}(\varphi):=\Lambda\varphi+g(\varphi),
\end{equation}
\tag{1.26}
$$
$$
\begin{equation}
G\colon \varphi\mapsto \overline{G}(\varphi)\ (\operatorname{mod}2\pi)=\Lambda\varphi+g(\varphi) \ (\operatorname{mod}2\pi).
\end{equation}
\tag{1.27}
$$
Здесь элемент $\overline{G}(\varphi)\ (\operatorname{mod} 2\pi)=\Lambda\varphi+g(\varphi)\ (\operatorname{mod} 2\pi)$ из $\mathbb{T}^{\infty}$ задается формулой
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}\quad \overline{G}(\varphi)\ (\operatorname{mod} 2\pi)= \operatorname{pr}[\overline{G}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi))] =\operatorname{pr}[\Lambda\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)+g(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi))],
\end{equation}
\tag{1.28}
$$
в которой $\operatorname{pr}$ – проекция (1.10), а $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)\in E$ – произвольный прообраз точки $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$. Поскольку разность любых двух таких прообразов есть величина вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, и $\Lambda\mathbb{Z}^{\infty}=\mathbb{Z}^{\infty}$, а функция $g(\varphi)$ периодична с периодом $2\pi$ (см. (1.25)), то формула (1.28) не зависит от конкретного выбора $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$. В дальнейшем $\overline{G}$ будем называть глобальным поднятием отображения $G$, а само $G$ – спуском отображения $\overline{G}$ на тор $\mathbb{T}^{\infty}$. В силу соотношений (1.22), (1.26)–(1.28) оба эти отображения непрерывно дифференцируемы, а их дифференциалы связаны равенствами
$$
\begin{equation}
DG(\operatorname{pr}(\varphi))=D\overline{G}(\varphi)=\Lambda+g'(\varphi)\quad\forall\,\varphi\in E.
\end{equation}
\tag{1.29}
$$
Справедливо следующее утверждение о структуре диффеоморфизмов из интересующего нас класса $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ (см. [21]–[23]). Теорема 1.2. Любой диффеоморфизм $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ допускает представление (1.27), (1.28) при некоторых $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$, $g(\varphi)\in B^1_{\mathrm{per}}(E)$, а отвечающее ему глобальное поднятие (1.26) является диффеоморфизмом из $E$ в $E$ и обладает свойством Сформулированная теорема позволяет строить конкретные примеры диффеоморфизмов из класса $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Для этого достаточно выбрать оператор $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$, добавку $g(\varphi)\in B^1_{\mathrm{per}}(E)$ и проверить выполнение двух требований: условия ограниченности (1.30) и факта диффеоморфности соответствующего отображения (1.26). Подробный анализ одного из таких примеров проделан в [21], [22]. § 2. Основные результаты2.1. Базовые свойства гиперболических диффеоморфизмовПрежде всего, определим понятие гиперболичности применительно к любому диффеоморфизму $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$. Для этого, кроме дифференциала $DG(\varphi)$, нам потребуются линейные операторы $D(G^n(\varphi))$, $D(G^{-n}(\varphi))$, $n\in\mathbb{N}$, задающиеся равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D(G^n(\varphi))&=DG(\varphi_{n-1})\circ DG(\varphi_{n-2})\circ\dots\circ DG(\varphi_{0}), \\ D(G^{-n}(\varphi))&=[DG(\varphi_{-n})]^{-1}\circ [DG(\varphi_{-(n-1)})]^{-1}\circ\dots\circ[DG(\varphi_{-1})]^{-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\varphi_j=G^j(\varphi)$, $j\in\mathbb{Z}$. Определение 2.1. Будем говорить, что диффеоморфизм $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to \mathbb{T}^{\infty}$ гиперболический или является диффеоморфизмом Аносова, если для каждого $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ пространство $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}=E$ допускает представление в виде прямой суммы ненулевых замкнутых линейных подпространств $E_\varphi^{\mathrm{u}}$, $E_\varphi^{\mathrm{s}}$, и выполняются следующие требования: a) $\forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ имеем $DG(\varphi)E_{\varphi}^{\mathrm{u}}=E_{G(\varphi)}^{\mathrm{u}}$, $DG(\varphi)E_{\varphi}^{\mathrm{s}}=E_{G(\varphi)}^{\mathrm{s}}$ (это свойство называется $DG$-инвариантностью); b) существуют такие постоянные $\mu_1, \mu_2\in (0, 1)$, $c_1, c_2>0$, что
$$
\begin{equation}
\|D(G^{-n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_1\mu_1^n\|\xi\|\quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}, \quad \forall\,\xi\in E_\varphi^{\mathrm{u}},\quad \forall\,n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
\|D(G^n(\varphi))\xi\| \leqslant c_2\mu_2^n\|\xi\|\quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}, \quad \forall\,\xi\in E_\varphi^{\mathrm{s}}, \quad \forall\,n\in\mathbb{N};
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
c) проекторы $P_{\varphi}\xi=\xi_1$, $Q_{\varphi}\xi=\xi_2$ $\forall\,\xi=\xi_1+\xi_2\in E$, $\xi_1\in E_\varphi^{\mathrm{u}}$, $\xi_2\in E_\varphi^{\mathrm{s}}$, связанные с разложением (2.2), равномерно непрерывны по $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ в равномерной операторной топологии, т. е. Сформулированное определение представляет собой естественное обобщение определения Д. В. Аносова (см. [3; § 1]) на бесконечномерный тор $\mathbb{T}^{\infty}$. Следует, впрочем, напомнить, что при замене тора $\mathbb{T}^{\infty}$ на конечномерный тор $\mathbb{T}^m$, $m\geqslant 2$, равномерная непрерывность проекторов $P_{\varphi}$, $Q_{\varphi}$ автоматически вытекает из $DG$-инвариантности подпространств $E_\varphi^{\mathrm{u}}$, $E_\varphi^{\mathrm{s}}$ и условий (2.3), (2.4) (см., например, [3], [6]). В бесконечномерном же случае вопрос о справедливости данного факта остается открытым. В связи с этим указанную непрерывность, являющуюся одним из базовых свойств гиперболической структуры, в нашем определении 2.1 приходится постулировать. Не смотря на то что определение 2.1 дано для произвольного диффеоморфизма $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to \mathbb{T}^{\infty}$, всюду ниже рассматриваются только диффеоморфизмы $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Как уже отмечалось ранее, причины, по которым мы остановили свой выбор именно на классе $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, состоят в том, что для гиперболических диффеоморфизмов $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ сохраняются некоторые элементарные результаты из гиперболической теории: отделенность от нуля угла между подпространствами $E_\varphi^{\mathrm{u}}$, $E_\varphi^{\mathrm{s}}$, равномерная ограниченность проекторов $P_\varphi$, $Q_\varphi$ и так далее. В случае же отказа от требований (1.24) упомянутые результаты установить не удается (не говоря уже о более сложных, таких как критерий гиперболичности, $C^1$-грубость свойства гиперболичности, теорема Адамара–Перрона, существование инвариантных слоений и так далее). Приступим теперь к описанию некоторых простейших свойств гиперболических диффеоморфизмов $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Для этого нам потребуется определение гиперболичности для диффеоморфизма $\overline{G}$ (см. (1.26)), являющегося глобальным поднятием произвольного отображения $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Определение 2.2. Гиперболичность диффеоморфизма $\overline{G}$ означает выполнение следующих условий. 1) При каждом $\varphi\in E$ пространство $E$ допускает представление в виде прямой суммы
$$
\begin{equation}
E=\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{u}}\oplus \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
ненулевых замкнутых линейных подпространств $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{u}}$, $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}}$, которые удовлетворяют условиям инвариантности
$$
\begin{equation}
D\overline{G}(\varphi)\overline{E}_{\varphi}^{\,\mathrm{u}} =\overline{E}_{\overline{G}(\varphi)}^{\,\mathrm{u}},\quad D\overline{G}(\varphi)\overline{E}_{\varphi}^{\,\mathrm{s}} =\overline{E}_{\overline{G}(\varphi)}^{\,\mathrm{s}}\quad\forall\,\varphi\in E,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где, напомним, $D\overline{G}(\varphi)=\Lambda+g'(\varphi)$ (см. (1.29)). 2) Существуют такие постоянные $\mu_1, \mu_2\in (0, 1)$, $c_1, c_2>0$, что
$$
\begin{equation}
\|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_1\mu_1^n\|\xi\|\quad \forall\,\varphi\in E, \quad \forall\,\xi\in \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{u}},\quad \forall\,n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation}
\|D(\overline{G}^{\,n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_2\mu_2^n\|\xi\|\quad \forall\,\varphi\in E, \quad \forall\,\xi\in \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}}, \quad \forall\,n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Здесь операторы $D(\overline{G}^{\,n}(\varphi))$, $D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))$ задаются аналогичными (2.1) равенствами, в которых дифференциал $DG(\varphi)$ заменен на $D\overline{G}(\varphi)$, а итерации отображения $G$ заменены аналогичными итерациями $\varphi_j=\overline{G}^{\,j}(\varphi)$, $j\in\mathbb{Z}$. 3) Проекторы $\overline{P}_{\varphi}$, $\overline{Q}_{\varphi}$, $\overline{P}_{\varphi}E=\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{u}}$, $\overline{Q}_{\varphi}E=\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}}$, связанные с разложением (2.5), равномерно непрерывны по $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии. Опираясь на определения 2.1, 2.2 и теорему 1.2, удается установить следующие результаты (см. [21]–[23]). Лемма 2.1. Любой диффеоморфизм $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ и его глобальное поднятие $\overline{G}$ гиперболичны или нет одновременно. Кроме того, в случае гиперболичности $\overline{G}$ для фигурирующих в (2.5) подпространств $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{u}}$, $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}}$ и соответствующих проекторов $\overline{P}_{\varphi}$, $\overline{Q}_{\varphi}$ имеет место периодичность вида Лемма 2.2. При любом натуральном $n_0$ диффеоморфизмы $\overline{G}$ и $\overline{G}^{\,n_0}$ гиперболичны или нет одновременно. Лемма 2.3. В случае гиперболичности $\overline{G}$ из условий (2.5)–(2.8) вытекают свойства ограниченности Перечисленные леммы содержат именно тот минимальный объем информации, который потребуется нам для обоснования критерия конусов. 2.2. Формулировка основных теоремФиксируем произвольно диффеоморфизм $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ и рассмотрим его глобальное поднятие $\overline{G}$. Как оказывается, достаточные условия гиперболичности $G$, фигурирующие в критерии конусов, могут быть сформулированы в терминах отображения $\overline{G}^{\,n_0}$ при некотором натуральном $n_0$. В первую очередь мы постулируем существование некоторого изначального разложения пространства $E$ в прямую сумму замкнутых линейных подпространств. Условие 2.1. При $\forall\,\varphi\in E$ справедливо разложение Для формулировки следующего условия фиксируем произвольно постоянные и при любом $\varphi\in E$ рассмотрим связанные с разложением (2.11) стандартный горизонтальный конус
$$
\begin{equation}
H_{r_1}(\varphi)=\{\xi=\xi_1+\xi_2\in E\colon \xi_1\in E_1(\varphi), \,\xi_2\in E_2(\varphi), \, \|\xi_2\|\leqslant r_1\|\xi_1\|\}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
и стандартный вертикальный конус
$$
\begin{equation}
V_{r_2}(\varphi)=\{\xi=\xi_1+\xi_2\in E\colon \xi_1\in E_1(\varphi), \, \xi_2\in E_2(\varphi), \, \|\xi_1\|\leqslant r_2\|\xi_2\|\}.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Подчеркнем, что в силу (2.14) пересечение $H_{r_1}(\varphi)\cap V_{r_2}(\varphi)$ состоит из одной точки $\xi=0$. Далее, нам потребуются множества
$$
\begin{equation*}
\mathring{H}_{r_1}(\varphi)=\operatorname{int} H_{r_1}(\varphi)\cup\{\xi=0\},\qquad \mathring{V}_{r_2}(\varphi)=\operatorname{int} V_{r_2}(\varphi)\cup\{\xi=0\},
\end{equation*}
\notag
$$
где через $\operatorname{int}$ обозначена совокупность внутренних точек соответствующего конуса. Условие 2.2. Предполагаем, что при некотором натуральном $n_0$ выполняются следующие требования. Во-первых, $\forall\,\varphi\in E$ имеет место инвариантность вида Уместно отметить, что из свойств (2.17), (2.18) вытекают аналогичные свойства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, D(\overline{G}^{\,n_0n}(\varphi))H_{r_1}(\varphi)\subset \mathring{H}_{r_1}(\overline{G}^{\,n_0n}(\varphi)), \\ D(\overline{G}^{\,-n_0n}(\varphi))V_{r_2}(\varphi) \subset \mathring{V}_{r_2}(\overline{G}^{\,-n_0n}(\varphi)), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|D(\overline{G}^{\,n_0n}(\varphi))\xi\| &\geqslant \lambda_1^n\|\xi\|\quad \forall\,\varphi\in E,\quad \forall\,\xi\in H_{r_1}(\varphi), \\ \|D(\overline{G}^{\,-n_0n}(\varphi))\xi\| &\geqslant \lambda_2^n\|\xi\|\quad \forall\,\varphi\in E,\quad \forall\,\xi\in V_{r_2}(\varphi), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
справедливые при каждом натуральном $n$. Заключительное условие, которое будем называть квазиинвариантностью, требуется только в случае $\dim E=\infty$. Условие 2.3. При выбранном выше $n_0\in\mathbb{N}$ (см. условие 2.2) и $\forall\,n\in\mathbb{N}$, $\forall\,\varphi\in E$ имеют место равенства Действительно, в конечномерной ситуации, т. е. при $E=\mathbb{R}^m$, $m\geqslant 2$, соотношения (2.21), (2.22) выполняются автоматически. Для того чтобы убедиться в этом, заметим, что в указанном случае существуют такие натуральные $m_1$, $m_2$, $m_1+m_2=m$, что
$$
\begin{equation}
\dim E_1(\varphi)= m_1,\quad \dim E_2(\varphi)= m_2\quad\forall\,\varphi\in E.
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Далее, принимая во внимание равенства (2.23) и опираясь на факт обратимости оператора $D(\overline{G}^{\,n_0n}(\varphi))$, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
\dim X_1(\varphi)= m_1,\quad \dim X_2(\varphi)= m_2\quad\forall\,\varphi\in E,
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
где
$$
\begin{equation}
X_1(\varphi)=D(\overline{G}^{\,n_0n}(\varphi))E_1(\varphi),\quad X_2(\varphi)=E_2(\overline{G}^{\,n_0n}(\varphi))\quad\forall\,n\in \mathbb{N},\quad \forall\,\varphi\in E.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
И наконец, объединяя информацию (2.24) с вытекающими из (2.19) включениями
$$
\begin{equation*}
X_1(\varphi)\subset \mathring{H}_{r_1}(\overline{G}^{\,n_0n}(\varphi)),\quad X_2(\varphi)\subset \mathring{V}_{r_2}(\overline{G}^{\,n_0n}(\varphi)) \quad\forall\,n\in \mathbb{N},\quad\forall\,\varphi\in E,
\end{equation*}
\notag
$$
последовательно выводим
$$
\begin{equation}
X_1(\varphi)\cap X_2(\varphi)=\{0\},\quad X_1(\varphi)\oplus X_2(\varphi)= E\quad \forall\,\varphi\in E.
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Что же касается формулы (2.21), то она получается из второго соотношения (2.26) после применения проектора $P(\overline{G}^{\,n_0n}(\varphi))$. Равенство (2.22) в конечномерном случае устанавливается аналогично. Следует также отметить, что требования (2.21), (2.22) заведомо выполняются при любых натуральных $n_0$, $n$ в случае, когда имеет место обычная инвариантность, т. е.
$$
\begin{equation}
D\overline{G}(\varphi)E_1(\varphi)=E_1(\overline{G}(\varphi)),\quad D(\overline{G}^{\,-1}(\varphi))E_2(\varphi)=E_2(\overline{G}^{\,-1}(\varphi))\quad \forall\,\varphi\in E.
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Таким образом, становится понятной причина, по которой мы назвали свойства (2.21), (2.22) квазиинвариантностью. Перейдем теперь к формулировке интересующего нас критерия конусов. Его содержание составляют следующие две теоремы. Теорема 2.1. При выполнении условий 2.1–2.3 исходный диффеоморфизм $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ является гиперболическим. Теорема 2.2. В случае гиперболичности диффеоморфизма $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ найдутся подпространства $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ и поля конусов $H_{r_1}(\varphi)$, $V_{r_2}(\varphi)$, $\varphi\in E$, удовлетворяющие условиям 2.1–2.3 при некотором натуральном $n_0$. Приведенный критерий носит симметричный характер, т. е. не меняется при замене $G$ на $G^{-1}$. Однако существует и более конструктивный критерий гиперболичности, также обладающий свойством симметричности. Упомянутый критерий будет получен ниже как побочный продукт предложенных нами доказательств основных теорем 2.1, 2.2. § 3. Обоснование критерия конусов3.1. Доказательство теоремы 2.1Установим сначала одно вспомогательное утверждение, представляющее и самостоятельный интерес. В связи с этим фиксируем произвольно диффеоморфизм $F\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ и обозначим через $f\colon E\to E$ его глобальное поднятие. Далее, считая выполненным условие 2.1, введем в рассмотрение линейные операторы
$$
\begin{equation}
\Lambda_{j, 1}(\varphi) =P(f(\varphi))Df(\varphi)\colon\quad E_j(\varphi)\to E_1(f(\varphi)),\qquad j=1, 2,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{j, 2}(\varphi) =Q(\varphi)(Df(\varphi))^{-1}\colon\quad E_j(f(\varphi))\to E_2(\varphi),\qquad j=1, 2,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ – подпространства из (2.11), $P(\varphi)$, $Q(\varphi)$ – проекторы (2.12). Ниже нам понадобятся некоторые дополнительные ограничения, которые формулируются в терминах операторов (3.1), (3.2). Условие 3.1. Предполагаем, что $\forall\,\varphi\in E$ обратимы операторы $\Lambda_{j, j}(\varphi)$, $j= 1, 2$, и имеют место свойства ограниченности Условие 3.2. Справедливы требования где Подчеркнем, что все фигурирующие в неравенствах (3.4), (3.5) постоянные (3.6), (3.7) заведомо конечны. Это вытекает из предположений (2.13), (3.3) и факта равномерной ограниченности дифференциалов $Df(\varphi)$, $D(f^{-1}(\varphi))$ (напомним, что $f$ – глобальное поднятие некоторого диффеоморфизма $F$ из класса $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$). Развитые в статье [21] методы проверки гиперболичности позволяют установить следующий результат. Лемма 3.1. При выполнении условий 2.1, 3.1, 3.2 диффеоморфизм $f$ обладает свойством гиперболичности. Доказательство. В силу определения 2.2 сначала нам следует убедиться в справедливости разложения (2.5) пространства $E$ в прямую сумму ненулевых замкнутых подпространств $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{u}}$, $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}}$, удовлетворяющих аналогичным (2.6) условиям инвариантности
$$
\begin{equation}
Df(\varphi)\overline{E}_{\varphi}^{\,\mathrm{u}}=\overline{E}_{f(\varphi)}^{\,\mathrm{u}},\quad Df(\varphi)\overline{E}_{\varphi}^{\,\mathrm{s}}=\overline{E}_{f(\varphi)}^{\,\mathrm{s}}\quad \forall\,\varphi\in E.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Далее, необходимо проверить выполнение аналогичных (2.7), (2.8) оценок
$$
\begin{equation}
\|D(f^{\,-n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_1\mu_1^n\|\xi\|\quad \forall\,\varphi\in E, \quad \forall\,\xi\in \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{u}},\quad \forall\,n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
$$
\begin{equation}
\|D(f^{\,n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_2\mu_2^n\|\xi\|\quad \forall\,\varphi\in E, \quad \forall\,\xi\in \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}}, \quad \forall\,n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
с некоторыми не зависящими от $\varphi$, $\xi$, $n$ постоянными $c_1, c_2>0$, $\mu_1, \mu_2\in (0, 1)$. И наконец, следует показать справедливость для проекторов $\overline{P}_{\varphi}$, $\overline{Q}_{\varphi}$, отвечающих разложению (2.5), свойства равномерной непрерывности по $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии.
Обсудим общую схему отыскания гиперболической структуры (2.5) для отображения $f$. В первую очередь заметим, что хотя фигурирующие в ней подпространства $\overline{E}^{\,\mathrm{u}}_\varphi$, $\overline{E}^{\,\mathrm{s}}_\varphi$, вообще говоря, отличны от подпространств $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ из разложения (2.11), но между ними есть определенная связь. А именно, интересующие нас подпространства $\overline{E}^{\,\mathrm{u}}_\varphi$, $\overline{E}^{\,\mathrm{s}}_\varphi$ могут быть представлены в параметрической форме
$$
\begin{equation}
\overline{E}^{\,\mathrm{u}}_\varphi =\{\xi=u_1+u_2\in E\colon u_2=a(\varphi)u_1,\, u_1\in E_1(\varphi)\},
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
$$
\begin{equation}
\overline{E}^{\,\mathrm{s}}_\varphi =\{\xi=u_1+u_2\in E\colon u_1=b(\varphi)u_2,\, u_2\in E_2(\varphi)\}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Здесь $u_1\in E_1(\varphi)$ и $u_2\in E_2(\varphi)$ – векторные параметры на $\overline{E}^{\,\mathrm{u}}_\varphi$ и $\overline{E}^{\,\mathrm{s}}_\varphi$ соответственно, а подлежащие определению линейные операторы $a(\varphi)\colon E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)$, $b(\varphi)\colon E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)$ обладают следующими свойствами. Во-первых, в силу (2.9), (2.10) они $2\pi$-периодичны по $\varphi$ и равномерно ограничены, т. е.
$$
\begin{equation*}
\sup_{\varphi\in E}\|a(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}<\infty,\qquad \sup_{\varphi\in E}\|b(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)}<\infty;
\end{equation*}
\notag
$$
во-вторых, операторы
$$
\begin{equation}
a(\varphi)P(\varphi)\colon E\to E,\qquad b(\varphi)Q(\varphi)\colon E\to E
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
равномерно непрерывны по $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии.
Как будет показано ниже (см. также аналогичные построения в [21]), из условий $Df$-инвариантности (3.8) подпространств (3.11), (3.12) для $a(\varphi)$, $b(\varphi)$ получаются некоторые нелинейные операторные уравнения, к которым в последующем применяется принцип сжимающих отображений (справедливость этого принципа в подходящих функциональных пространствах гарантируют неравенства (3.4), (3.5)). В результате устанавливаем существование требуемых подпространств $\overline{E}^{\,\mathrm{u}}_\varphi$, $\overline{E}^{\,\mathrm{s}}_\varphi$. Используя их параметрические представления (3.11), (3.12), удается обосновать как оценки вида (3.9), (3.10), так и разложение (2.5) (вместе с равномерной непрерывностью проекторов $\overline{P}_{\varphi}$, $\overline{Q}_{\varphi}$). Приступим к реализации описанной схемы и начнем с отыскания $a(\varphi)$. Из (3.8), (3.11) следует, что должно выполняться равенство вида
$$
\begin{equation}
Df(\varphi)(u_1+a(\varphi)u_1)=C_a(\varphi)u_1+a(f(\varphi))C_a(\varphi)u_1\quad \forall\,\varphi\in E,\quad \forall\,u_1\in E_1(\varphi),
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
где $C_a(\varphi)\colon E_1(\varphi)\to E_1(f(\varphi))$ – некоторый линейный ограниченный оператор.
Для анализа равенства (3.14) проделаем следующие операции. Сначала применим к его левой и правой частям проектор $P(f(\varphi))$. В результате приходим к формуле
$$
\begin{equation}
C_a(\varphi)=\Lambda_{1, 1}(\varphi)+\Lambda_{2, 1}(\varphi)a(\varphi),
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
где $\Lambda_{1, 1}(\varphi)$, $\Lambda_{2, 1}(\varphi)$ – операторы (3.1). Затем перейдем от (3.14) к новому равенству
$$
\begin{equation}
u_1+a(\varphi)u_1=[Df(\varphi)]^{-1}(C_a(\varphi)u_1+a(f(\varphi))C_a(\varphi)u_1) \quad \forall\,\varphi\in E,\quad \forall\,u_1\in E_1(\varphi).
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
И наконец, применяя к (3.16) проектор $Q(\varphi)$, имеем
$$
\begin{equation}
a(\varphi)=[\Lambda_{1, 2}(\varphi)+\Lambda_{2, 2}(\varphi)a(f(\varphi))]C_a(\varphi),
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
где $\Lambda_{1, 2}(\varphi)$, $\Lambda_{2, 2}(\varphi)$ – операторы (3.2).
Отдельного рассмотрения требует вопрос об эквивалентности перехода от равенства (3.14) к системе соотношений (3.15), (3.17). Проблема здесь сводится к проверке обратимости оператора перехода $\Pi\colon E\to H$, где пространство $H$ задается равенством
$$
\begin{equation}
H=\{(u_1, u_2)\colon u_1\in E_1(f(\varphi)),\, u_2\in E_2(\varphi)\},
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
а само отображение $\Pi$ линейно и имеет вид
$$
\begin{equation}
\Pi \xi=\bigl(P(f(\varphi))\xi, \,Q(\varphi)[Df(\varphi)]^{-1}\xi\bigr)\quad\forall\,\xi\in E.
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Из (3.18) и из очевидных равенств
$$
\begin{equation*}
P(f(\varphi))E=E_1(f(\varphi)),\qquad Q(\varphi)[Df(\varphi)]^{-1}E=E_2(\varphi)
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что оператор (3.19) сюръективен. Для проверки же его инъективности рассмотрим любой элемент $\xi_0\in E$, для которого $\Pi \xi_0=0$, т. е.
$$
\begin{equation}
P(f(\varphi))\xi_0=0, \qquad Q(\varphi)[Df(\varphi)]^{-1}\xi_0=0.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Но в этом случае автоматически $\xi_0\in E_2(f(\varphi))$, а второе соотношение из (3.20) записывается в виде $\Lambda_{2, 2}(\varphi)\xi_0=0$. Остается воспользоваться фактом обратимости оператора $\Lambda_{2, 2}(\varphi)$ (см. условие 3.1) и заключить, что $\xi_0=0$. Инъективность оператора $\Pi$ доказана.
Итак, мы показали, что соотношения (3.14) и (3.15), (3.17) действительно эквивалентны. Подставляя, далее, представление (3.15) в (3.17) и заменяя в получившемся выражении $\varphi$ на $f^{-1}(\varphi)$, убеждаемся в том, что $a(\varphi)$ является решением нелинейного операторного уравнения где
$$
\begin{equation}
\mathscr{A}_a(\varphi)=\Lambda_{2, 2}^{-1}(\theta) \{a(\theta)C_a^{-1}(\theta)-\Lambda_{1, 2}(\theta)\}|_{\theta=f^{-1}(\varphi)}.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Последующий анализ состоит в применении к уравнению (3.21) принципа сжимающих отображений в подходящем метрическом пространстве. В связи с этим обозначим через $X(\mathscr{L})$ совокупность линейных ограниченных операторов $a(\varphi)$, действующих из $E_1(\varphi)$ в $E_2(\varphi)$, равномерно непрерывных по параметру $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии (под этим понимается равномерная непрерывность по $\varphi\in E$ первого оператора из (3.13) по норме пространства $L(E;E)$), $2\pi$-периодических по $\varphi$ и удовлетворяющих неравенству
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in E}\|a(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}\leqslant\mathscr{L}.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Здесь $\mathscr{L}\geqslant 0$ – некоторая постоянная, не зависящая от выбора $a(\varphi)$. Упомянутую константу будем считать такой, что где величина $\beta_2$ определена формулой из (3.7). Далее, после введения метрики
$$
\begin{equation}
\forall\,a_1(\varphi), a_2(\varphi)\in X(\mathscr{L})\quad\rho(a_1, a_2)=\sup_{\varphi\in E}\|a_1(\varphi)-a_2(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
множество $X(\mathscr{L})$ становится полным метрическим пространством. Наша ближайшая задача – показать, что при соответствующем выборе постоянной $\mathscr{L}$ в условии (3.23) нелинейный оператор $\mathscr{A}\colon a(\varphi)\mapsto \mathscr{A}_a(\varphi)$ переводит пространство $X(\mathscr{L})$ в себя и является сжимающим.
Прежде всего, убедимся в корректности определения оператора $\mathscr{A}$. А именно, проверим обратимость линейного оператора $C_a(f^{-1}(\varphi))$ при любом выборе $a(\varphi)\in X(\mathscr{L})$ и $\varphi\in E$. Для этого сначала заметим, что в силу соотношений (3.7), (3.23), (3.24) справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\Lambda_{2, 1}(\varphi)a(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_1(\varphi)} \notag \\ &\qquad\leqslant\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\Lambda_{2, 1}(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)}\cdot\|a(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)} \leqslant\beta_2\mathscr{L}<1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Далее, используем вытекающие из формулы (3.15) представления
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, C_a(\varphi)=\Lambda_{1, 1}(\varphi)(I-D_a(\varphi)),\qquad C_a^{-1}(\varphi)=\biggl(\sum_{k=0}^{\infty}D_a^k(\varphi)\biggr) \Lambda_{1,1}^{-1}(\varphi), \\ D_a(\varphi)=-\Lambda_{1,1}^{-1}(\varphi)\Lambda_{2, 1}(\varphi)a(\varphi), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
где $I$ – единичный оператор в $E_1(\varphi)$. Заменяя в (3.27) аргумент $\varphi$ на $f^{-1}(\varphi)$ и учитывая информацию (3.26), приходим к выводу, что оператор $C_a(f^{-1}(\varphi))$ действительно обратим и, более того,
$$
\begin{equation}
\|C_a^{-1}(f^{-1}(\varphi))\|_{E_1(\varphi)\to E_1(f^{-1}(\varphi))}\leqslant \frac{\alpha_1}{1-\beta_2\mathscr{L}},
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
где $\alpha_1$ – постоянная из (3.6). В свою очередь, неравенство (3.28) и формула (3.22) приводят к оценке
$$
\begin{equation}
\|\mathscr{A}_a(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}\leqslant\frac{(\alpha_1\alpha_2- \beta_1\beta_2)\mathscr{L}+\beta_1}{1-\beta_2\mathscr{L}}\quad\forall\,a(\varphi)\in X(\mathscr{L}),\quad\forall\,\varphi\in E,
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
где $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\beta_2$ – постоянные (3.6), (3.7).
На следующем этапе выберем константу $\mathscr{L}$. Для этого рассмотрим квадратное уравнение
$$
\begin{equation}
h(\mathscr{L}):=\beta_2\mathscr{L}^2+(\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-1)\mathscr{L}+\beta_1=0,
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
корни которого при условиях
$$
\begin{equation}
\mathscr{D}:=(\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-1)^2- 4\beta_1\beta_2>0,\qquad \alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-1<0
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
лежат на полуоси $\mathscr{L}\geqslant 0$. Заметим, далее, что в нашем случае требования (3.31) выполняются. Действительно, эти требования заведомо справедливы при
$$
\begin{equation}
\alpha_1\alpha_2-1<\beta_1\beta_2<(1-\sqrt{\alpha_1\alpha_2}\,)^2.
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
Что же касается оценок (3.32), то они имеют место в силу (3.4), (3.5) и неравенства $(1-\sqrt{\alpha_1\alpha_2}\,)^2\geqslant (1-\alpha_1)(1-\alpha_2)$, проверка которого не вызывает затруднений.
Опираясь на установленные свойства функции $h(\mathscr{L})$, в качестве постоянной $\mathscr{L}$ в (3.23) возьмем наименьший корень уравнения (3.30), т. е. положим
$$
\begin{equation}
\mathscr{L}=\mathscr{L}_*,\qquad \mathscr{L}_*=\frac{1+\beta_1\beta_2-\alpha_1\alpha_2-\sqrt{\mathscr{D}}}{2\beta_2}= \frac{2\beta_1}{1+\beta_1\beta_2-\alpha_1\alpha_2+\sqrt{\mathscr{D}}}.
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
Далее, нетрудно увидеть, что в случае (3.33) выполняется априорное условие (3.24) (оно вытекает из неравенств (3.4), (3.5)) и, кроме того, справедливы свойства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl(\frac{(\alpha_1\alpha_2- \beta_1\beta_2)\mathscr{L}+\beta_1}{1-\beta_2\mathscr{L}} -\mathscr{L}\biggr)\biggr|_{\mathscr{L}= \mathscr{L}_*}=0, \\ \frac{d}{d\mathscr{L}}\biggl(\frac{(\alpha_1\alpha_2- \beta_1\beta_2)\mathscr{L}+\beta_1}{1-\beta_2\mathscr{L}} \biggr)\biggr|_{\mathscr{L}=\mathscr{L}_*}<1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
Учитывая первое из них в (3.29), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in E}\|\mathscr{A}_a(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}\leqslant \mathscr{L}_* \quad\forall\,a(\varphi)\in X(\mathscr{L}_*).
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
Оценка (3.35) сводит проблему доказательства интересующего нас включения $\mathscr{A}(X(\mathscr{L}_*))\subset X(\mathscr{L}_*)$ к проверке равномерной непрерывности и $2\pi$-периодичности оператора $\mathscr{A}_a(\varphi)$. Но эти факты верны. Требуемая периодичность вытекает из $2\pi$-периодичности подпространств (2.11), проекторов (2.12) и из представлений вида
$$
\begin{equation*}
f(\varphi)=\Lambda\varphi+\Omega_1(\varphi),\quad f^{-1}(\varphi)=\Lambda^{-1}\varphi+\Omega_2(\varphi),\quad \Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty}),\quad \Omega_1, \Omega_2\in B_{\mathrm{per}}^1(E),
\end{equation*}
\notag
$$
справедливых в силу теоремы 1.2. Что же касается равномерной непрерывности по $\varphi\in E$ оператора $\mathscr{A}_a(\varphi)P(\varphi)\colon E\to E$, то она вытекает из равномерной непрерывности проекторов (2.12), оператора $a(\varphi)P(\varphi)\colon E\to E$, где $a(\varphi)\in X(\mathscr{L}_*)$, и дифференциалов $Df(\varphi)$, $D(f^{-1}(\varphi))$.
Покажем теперь, что интересующий нас оператор $\mathscr{A}$ является сжимающим в пространстве $X(\mathscr{L}_*)$. С этой целью фиксируем произвольно два оператора $a_1(\varphi)$, $a_2(\varphi)$ из $X(\mathscr{L}_*)$ и заметим, что в силу соотношений (3.15), (3.22) имеют место представления
$$
\begin{equation}
\mathscr{A}_{a_1}(\varphi)-\mathscr{A}_{a_2}(\varphi) =\Lambda^{-1}_{2,2}(\theta) [a_1(\theta)-a_2(\theta)]C_{a_1}^{-1}(\theta) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\Lambda_{2,2}^{-1}(\theta)a_2(\theta)[C_{a_1}^{-1}(\theta)-C_{a_2}^{-1}(\theta)] |_{\theta=f^{-1}(\varphi)},
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
$$
\begin{equation}
C_{a_1}^{-1}(\theta)-C_{a_2}^{-1}(\theta) =C_{a_1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta) (a_2(\theta)-a_1(\theta))C_{a_2}^{-1}(\theta).
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
Объединяя затем полученные представления (3.36), (3.37) с оценками (3.23), (3.24), (3.26), (3.28) (при $\mathscr{L}=\mathscr{L}_*$), соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, C_{a_1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta)= \biggl(\sum_{k=0}^{\infty}D_{a_1}^k(\theta)\biggr) \Lambda_{1,1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta), \\ \|C_{a_1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta)\|_{E_2(\theta)\to E_1(\theta)}\leqslant \frac{\beta_2}{1-\beta_2\mathscr{L}_*} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и вытекающим из равенства $f^{-1}(E)=E$ свойством
$$
\begin{equation*}
\rho\bigl(a_1(f^{-1}(\varphi)), a_2(f^{-1}(\varphi))\bigr)=\rho(a_1(\varphi), a_2(\varphi))
\end{equation*}
\notag
$$
метрики (3.25), последовательно выводим
$$
\begin{equation*}
\|\mathscr{A}_{a_1}(\varphi)-\mathscr{A}_{a_2}(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}\leqslant q\rho(a_1,a_2)\quad \forall\,\varphi\in E, \quad \rho(\mathscr{A}_{a_1},\mathscr{A}_{a_2})\leqslant q\rho(a_1,a_2),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
q=\frac{\alpha_1\alpha_2}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}+ \frac{\alpha_1\alpha_2\beta_2\mathscr{L}_*}{(1-\beta_2\mathscr{L}_*)^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим еще, что в силу второго свойства из (3.34) величина $q$ строго меньше единицы. Остается воспользоваться принципом сжимающих отображений и заключить, что уравнение (3.21) имеет единственное решение $a_*(\varphi)\in X(\mathscr{L}_*)$.
Итак, нам удалось показать существование $Df$-инвариантного подпространства $\overline{E}^{\,\mathrm{u}}_\varphi$, задающегося формулой (3.11) при $a=a_*(\varphi)$. Проверим, далее, выполнение для этого подпространства неравенства вида (3.9) с некоторыми не зависящими от $\varphi$, $\xi$, $n$ постоянными $c_1>0$, $\mu_1\in(0, 1)$. Привлекая формулу (3.16), нетрудно показать, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [Df(\varphi_{-1})]^{-1}(u_1+a_*(\varphi)u_1)= C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-1})u_1+a_*(\varphi_{-1})C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-1})u_1 \\ \forall\,\varphi\in E,\quad\forall\,u_1\in E_1(\varphi), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где, напомним, $\varphi_j=f^j(\varphi)$, $j\in\mathbb{Z}$. А отсюда, используя метод математической индукции и явное выражение для $D(f^{\,-n}(\varphi))$ (см. аналогичную формулу из (2.1)), заключаем, что при всех $n\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &D(f^{\,-n}(\varphi))(u_1+a_*(\varphi)u_1)=C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-n}) C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-(n-1)})\cdots C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-1})u_1 \nonumber \\ &\quad +a_*(\varphi_{-n})C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-n}) C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-(n-1)})\cdots C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-1})u_1\quad \forall\,\varphi\in E,\quad \forall\,u_1\in E_1(\varphi). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
Что же касается интересующего нас неравенства (3.9), то оно вытекает из (2.13), (3.23), (3.28), (3.38) и из итоговой оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-n}) C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-(n-1)})\cdots C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-1})\|_{E_1(\varphi_0)\to E_1(\varphi_{-n})} \notag \\ &\qquad\leqslant\prod_{k=1}^n\|C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-k})\|_{E_1(\varphi_{-(k-1)})\to E_1(\varphi_{-k})}\leqslant \biggl(\frac{\alpha_1}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}\biggr)^n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
В частности, согласно (3.39) постоянная $\mu_1$ из (3.9) имеет вид
Несложный анализ показывает, что условие $\mu_1<1$ заведомо выполняется при
$$
\begin{equation*}
\beta_1\beta_2< \begin{cases} 1-\alpha_1-\alpha_1(1-\alpha_2) &\text{при }\alpha_1\leqslant \alpha_2, \\ (1-\alpha_1)(1-\alpha_2) &\text{при }\alpha_1\geqslant \alpha_2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается отметить, что данное неравенство слабее предполагаемой нами оценки (3.5).
Для отыскания устойчивого подпространства $ \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}}$ из (2.5) заметим, что оно является одновременно неустойчивым подпространством для диффеоморфизма $\widetilde{f}=f^{-1}$. Поэтому мы можем применить все приведенные выше построения к отображению $\widetilde{f}$. Действительно, обозначим через $\widetilde{\Lambda}_{j, k}(\varphi)$, $j, k=1, 2$, и $\widetilde{\alpha}_j$, $\widetilde{\beta}_j$, $j=1, 2$, операторы (3.1), (3.2) и постоянные (3.6), (3.7), соответствующие случаю $\widetilde{f}$. Принимая во внимание то обстоятельство, что для $\widetilde{f}$ подпространства $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ меняются местами, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{\Lambda}_{j, k}(\theta)|_{\theta=f(\varphi)}=\Lambda_{3-j, 3-k}(\varphi),\qquad j, k=1, 2; \\ \widetilde{\alpha}_j=\alpha_{3-j},\quad \widetilde{\beta}_j=\beta_{3-j},\qquad j=1, 2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
А отсюда очевидным образом следует, что для $f$ и $\widetilde{f}$ условия 3.1, 3.2 совпадают.
Итак, проделанный выше анализ сохраняет силу и в случае $\widetilde{f}$. Опираясь на этот факт и учитывая формулы (3.40), убеждаемся в существовании требуемого подпространства (3.12), где оператор $b=b_*(\varphi)$ равномерно непрерывен и $2\pi$-периодичен по $\varphi\in E$. Кроме того, справедлива аналогичная (3.23) оценка
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in E}\|b_*(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)}\leqslant\mathscr{R}_*,
\end{equation}
\tag{3.41}
$$
где $\mathscr{R}=\mathscr{R}_*$ – наименьший корень аналогичного (3.30) квадратного уравнения
$$
\begin{equation}
\beta_1\mathscr{R}^2+(\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-1)\mathscr{R}+\beta_2=0,
\end{equation}
\tag{3.42}
$$
а также оценка (3.10) с постоянной
$$
\begin{equation*}
\mu_2=\frac{\alpha_2}{1-\beta_1\mathscr{R}_*}\in (0, 1).
\end{equation*}
\notag
$$
Добавим еще, что в силу (3.42) имеет место равенство $\mathscr{R}_*=1/\mathscr{L}_{**}$, где $\mathscr{L}_{**}$ – наибольший корень уравнения (3.30).
Покажем, далее, что сумма подпространств $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{u}}$, $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}}$ является прямой и совпадает с $E$. Согласно представлениям (3.11), (3.12) (при $a=a_*(\varphi)$, $b=b_*(\varphi)$) для этого достаточно убедиться в том, что однозначно разрешима относительно $u_1\in E_1(\varphi)$, $u_2\in E_2(\varphi)$ система уравнений
$$
\begin{equation*}
u_1+b_*(\varphi)u_2=\widetilde{u}_1,\qquad a_*(\varphi)u_1+u_2=\widetilde{u}_2
\end{equation*}
\notag
$$
при любых фиксированных $\widetilde{u}_1\in E_1(\varphi)$, $\widetilde{u}_2\in E_2(\varphi)$. Но последнее верно в силу равенств
$$
\begin{equation*}
u_2=\widetilde{u}_2-a_*(\varphi)u_1,\qquad u_1-b_*(\varphi)a_*(\varphi)u_1= \widetilde{u}_1-b_*(\varphi)\widetilde{u}_2
\end{equation*}
\notag
$$
и непрерывной обратимости в $E_1(\varphi)$ оператора $I-b_*(\varphi)a_*(\varphi)$ ($I$ – единичный оператор в $E_1(\varphi)$). Что же касается упомянутой обратимости, то она – следствие неравенств (3.23) (при $a=a_*(\varphi)$, $\mathscr{L}=\mathscr{L}_{*}$), (3.41) и оценок
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|b_*(\varphi)a_*(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_1(\varphi)} \\ &\qquad\leqslant \|b_*(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)}\cdot \|a_*(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}\leqslant\mathscr{R}_*\mathscr{L}_*=\frac{\mathscr{L}_*}{\mathscr{L}_{**}}<1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим, наконец, отвечающие разложению (2.5) проекторы $\overline{P}_{\varphi}$ и $\overline{Q}_{\varphi}$. Нетрудно увидеть, что они задаются формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \forall\,\xi\in E\quad \overline{P}_{\varphi}\xi=u_1+a_*(\varphi)u_1,\quad \overline{Q}_{\varphi}\xi=b_*(\varphi)u_2+u_2, \\ u_1=(I-b_*(\varphi)a_*(\varphi))^{-1}(P(\varphi)\xi- b_*(\varphi)Q(\varphi)\xi),\qquad u_2=Q(\varphi)\xi-a_*(\varphi)u_1 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, обладают требуемым в определении 2.2 свойством равномерной непрерывности. Лемма 3.1 доказана. Установленная лемма вбирает в себя все технические трудности, связанные с доказательством теоремы 2.1. Для формулировки следующего вспомогательного утверждения фиксируем произвольно диффеоморфизм $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ и положим где $\overline{G}$ – глобальное поднятие $G$, натуральное $n_0$ заимствовано из условий 2.2, 2.3, а $n\in\mathbb{N}$ произвольно фиксировано.Лемма 3.2. Пусть выполнены условия 2.1–2.3. Тогда при всех достаточно больших значениях $n$ диффеоморфизм (3.43) оказывается гиперболическим. Доказательство. Установленная выше лемма 3.1 сводит проблему обоснования данного утверждения к проверке выполнения для отображения (3.43) условий 3.1, 3.2.
Обратим внимание, что поскольку справедливо включение $E_1(\varphi)\subset H_{r_1}(\varphi)$ (см. (2.15)), то в силу (2.20), (3.43) имеем
$$
\begin{equation}
\|Df(\varphi)\xi\|\geqslant \lambda_1^n\|\xi\|\quad \forall\,\varphi\in E,\quad \forall\,\xi\in E_{1}(\varphi).
\end{equation}
\tag{3.44}
$$
А так как $Df(\varphi)E_{1}(\varphi)\subset\mathring{H}_{r_1}(f(\varphi))$ (см. (2.19)), то
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Df(\varphi)\xi=P(f(\varphi))Df(\varphi)\xi+Q(f(\varphi))Df(\varphi)\xi, \\ \|Q(f(\varphi))Df(\varphi)\xi\|\leqslant r_1\|P(f(\varphi))Df(\varphi)\xi\|. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.45}
$$
И наконец, объединяя соотношения (3.44), (3.45), для фигурирующего в (3.1) оператора $\Lambda_{1, 1}(\varphi)$ в данной ситуации приходим к оценке
$$
\begin{equation}
\|\Lambda_{1, 1}(\varphi)\xi\|\geqslant \frac{\lambda_1^n}{1+r_1}\|\xi\|\quad \forall\,\varphi\in E,\quad \forall\,\xi\in E_{1}(\varphi).
\end{equation}
\tag{3.46}
$$
Неравенство (3.46) свидетельствует о том, что оператор $\Lambda_{1, 1}(\varphi)$ инъективен. А поскольку в силу (2.21) справедливо соотношение $\Lambda_{1, 1}(\varphi)E_1(\varphi) =E_1(f(\varphi))$, то данный оператор еще и сюръективен. Тем самым, $\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)$ существует и
$$
\begin{equation}
\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\xi\|\leqslant \frac{1+r_1}{\lambda_1^n}\|\xi\|\quad \forall\,\varphi\in E,\quad\forall\,\xi\in E_{1}(f(\varphi)),\qquad \alpha_1\leqslant\frac{1+r_1}{\lambda_1^n}.
\end{equation}
\tag{3.47}
$$
Аналогичным образом устанавливаются обратимость оператора $\Lambda_{2, 2}(\varphi)$ из (3.1) и оценка
Проделанный анализ показывает, что условие 3.1 справедливо для отображения (3.43) при любом натуральном $n$. Для проверки же условия 3.2 сначала попытаемся установить в случае (3.43) некоторые оценки сверху на величины (3.7). С этой целью обратимся к подпространству
$$
\begin{equation}
X(\varphi)=\{\xi=Df(\varphi)u\colon u\in E_1(\varphi)\}
\end{equation}
\tag{3.49}
$$
и попытаемся представить его в виде
$$
\begin{equation}
X(\varphi)=\{\xi=\widetilde{C}(\varphi)u+\widetilde{a}(\varphi)\widetilde{C}(\varphi)u\colon u\in E_1(\varphi)\},
\end{equation}
\tag{3.50}
$$
где линейные ограниченные операторы
$$
\begin{equation*}
\widetilde{C}(\varphi)\colon E_1(\varphi)\to E_1(f(\varphi)),\qquad \widetilde{a}(\varphi)\colon E_1(f(\varphi))\to E_2(f(\varphi))
\end{equation*}
\notag
$$
пока неизвестны. Указанная проблема сводится к установлению соотношения
$$
\begin{equation}
Df(\varphi)u=\widetilde{C}(\varphi)u+\widetilde{a}(\varphi)\widetilde{C}(\varphi)u\quad \forall\,\varphi\in E,\quad \forall\,u\in E_1(\varphi).
\end{equation}
\tag{3.51}
$$
Применим сначала к (3.51) проектор $P(f(\varphi))$. В результате имеем где $\Lambda_{1, 1}(\varphi)$ – оператор из (3.1). Далее, перейдем от (3.51) к равенству
$$
\begin{equation*}
u=[Df(\varphi)]^{-1}(\widetilde{C}(\varphi)u+ \widetilde{a}(\varphi)\widetilde{C}(\varphi)u)\quad \forall\,\varphi\in E,\quad\forall\,u\in E_1(\varphi),
\end{equation*}
\notag
$$
и подействуем на него проектором $Q(\varphi)$. В итоге с учетом (3.52) для оператора $\widetilde{a}(\varphi)$ приходим к формуле
$$
\begin{equation}
\widetilde{a}(\varphi)=-\Lambda_{2, 2}^{-1}(\varphi)\Lambda_{1, 2}(\varphi),
\end{equation}
\tag{3.53}
$$
где $\Lambda_{2, 2}(\varphi)$, $\Lambda_{1, 2}(\varphi)$ – операторы из (3.2).
Как мы уже знаем (см. доказательство леммы 3.1), переход от равенства (3.51) к системе (3.52), (3.53) эквивалентен. Поэтому подпространство (3.49) действительно допускает представление (3.50) с операторами (3.52), (3.53). А поскольку в силу (2.19) имеем $X(\varphi)\subset\mathring{H}_{r_1}(f(\varphi))$ $\forall\,\varphi\in E$, то
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{a}(\varphi)\widetilde{C}(\varphi)u\|=\|\Lambda_{2, 2}^{-1}(\varphi)\Lambda_{1, 2}(\varphi)\widetilde{C}(\varphi)u\|\leqslant r_1\|\widetilde{C}(\varphi)u\|\quad\forall\,u\in E_1(\varphi).
\end{equation}
\tag{3.54}
$$
И наконец, учитывая в (3.54) факт обратимости оператора $\widetilde{C}(\varphi)$, убеждаемся в том, что
$$
\begin{equation}
\|\Lambda_{2, 2}^{-1}(\varphi)\Lambda_{1, 2}(\varphi)\|_{E_1(f(\varphi))\to E_2(f(\varphi))} \leqslant r_1,\qquad \beta_1\leqslant r_1.
\end{equation}
\tag{3.55}
$$
Аналогичным образом устанавливается и оценка
Суммируя проделанные построения, приходим к выводу, что при $n\to+\infty$ величины $\alpha_1$, $\alpha_2$, вычисленные для отображения (3.43), стремятся к нулю (см. (3.47), (3.48)), а для произведения $\beta_1\beta_2$ в силу (2.14), (3.55), (3.56) имеем $\beta_1\beta_2\leqslant r_1r_2<1$. Таким образом, при всех достаточно больших $n$ условие 3.2 для диффеоморфизма (3.43) оказывается справедливым. Лемма 3.2 доказана. Проделанный выше анализ позволяет без труда завершить обоснование теоремы 2.1. Действительно, в силу лемм 2.1, 2.2 гиперболичность исходного диффеоморфизма $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ эквивалентна гиперболичности отображения (3.43). Последнее же при условиях 2.1–2.3 и при всех достаточно больших $n$ обладает указанным свойством. Теорема 2.1 доказана. 3.2. Доказательство теоремы 2.2Предположим теперь, что гиперболическим является исходный диффеоморфизм $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Тогда в силу леммы 2.1 гиперболическим оказывается и его глобальное поднятие $\overline{G}$. Тем самым, для $\overline{G}$ выполняются все условия из определения 2.2 и мы вправе положить
$$
\begin{equation}
E_1(\varphi)=\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{u}},\quad E_2(\varphi)=\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}}, \qquad P(\varphi)=\overline{P}_{\varphi},\quad Q(\varphi)=\overline{Q}_{\varphi}.
\end{equation}
\tag{3.57}
$$
Здесь $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{u}}$, $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}}$ – подпространства из (2.5), а $\overline{P}_{\varphi}$, $\overline{Q}_{\varphi}$ – проекторы, отвечающие разложению (2.5). Опираясь на соотношения (2.9), (2.10), приходим к выводу о справедливости в случае (3.57) условия 2.1. Далее, условие 2.3 здесь также выполняется автоматически, поскольку в силу (2.6) имеет место инвариантность вида (2.27). Следовательно, остается проверить лишь выполнение в рассматриваемом случае условия 2.2. Отдельно остановимся на способе выбора фигурирующего в условиях 2.2, 2.3 натурального $n_0$. В связи с этим обратимся к вытекающим из (2.7), (2.8) оценкам
$$
\begin{equation}
\|D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))\xi\|\geqslant \lambda \|\xi\| \quad \forall\,\xi\in\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{u}}, \qquad \|D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))\xi\|\leqslant \mu \|\xi\| \quad \forall\,\xi\in\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}},
\end{equation}
\tag{3.58}
$$
где
$$
\begin{equation}
\lambda=\frac{1}{c_1}\biggl(\frac{1}{\mu_1}\biggr)^{n_0},\qquad \mu=c_2\mu_2^{n_0}.
\end{equation}
\tag{3.59}
$$
Будем считать $n_0$ настолько большим, что для величин (3.59) выполняются требования $\lambda>1$, $\mu\in (0,1)$. Обратимся теперь непосредственно к условию 2.2 и покажем сначала, что при ограничениях (2.14) на $r_1$, $r_2$ стандартные конусы (2.15), (2.16), отвечающие подпространствам (3.57), обладают свойствами инвариантности (2.17). В связи с этим фиксируем произвольно ненулевой элемент
$$
\begin{equation*}
\xi=\xi_1+\xi_2,\qquad \xi_1\in E_1(\varphi),\quad\xi_2\in E_2(\varphi)
\end{equation*}
\notag
$$
из $H_{r_1}(\varphi)$ и заметим, что в силу (3.58) и свойств инвариантности (2.27) имеет место цепочка неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|Q(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))\xi\|= \|D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))\xi_2\|\leqslant\mu \|\xi_2\|\leqslant \mu r_1\|\xi_1\| \\ &\qquad\leqslant\frac{\mu}{\lambda}\,r_1\|D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))\xi_1\|= \frac{\mu}{\lambda}\,r_1\|P(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))\xi\| \\ &\qquad <r_1\|P(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))\xi\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
А это, собственно, и означает, что $D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))H_{r_1}(\varphi)\subset \mathring{H}_{r_1}(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))$ $\forall\,\varphi\in E$. Справедливость второго включения из (2.17) устанавливается аналогично. Для завершения доказательства теоремы 2.2 остается убедиться в выполнении неравенств (2.18). В связи с этим введем в пространстве $E$ новую норму $\|\,{\cdot}\,\|_*$ по правилу
$$
\begin{equation}
\forall\,\xi\in E\quad \|\xi\|_*=\|P(\varphi)\xi\|+\|Q(\varphi)\xi\|,
\end{equation}
\tag{3.60}
$$
где $P(\varphi)$, $Q(\varphi)$ – проекторы из (3.57). В силу свойств ограниченности (2.10) данных проекторов норма (3.60) равномерно по $\varphi$ эквивалентна исходной норме $\|\,{\cdot}\,\|$. Последнее означает, что
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi\in E,\quad \forall\,\xi\in E\quad \|\xi\|_*\leqslant d\,\|\xi\|,
\end{equation}
\tag{3.61}
$$
где
$$
\begin{equation*}
d=\sup_{\varphi\in E}\|P(\varphi)\|_{E\to E}+ \sup_{\varphi\in E}\|Q(\varphi)\|_{E\to E}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Добавим еще, что противоположная оценка вида (3.61) очевидна, так как
$$
\begin{equation*}
\|\xi\|=\|P(\varphi)\xi+Q(\varphi)\xi\|\leqslant\|P(\varphi)\xi\|+\|Q(\varphi)\xi\|=\|\xi\|_*.
\end{equation*}
\notag
$$
Привлекая формулу (3.60), неравенство (3.61) и учитывая первую оценку из (3.58) вместе со свойствами инвариантности (2.27), приходим к выводу, что $\forall\,\varphi\in E$ и при всех $\xi=\xi_1+\xi_2\in H_{r_1}(\varphi)$, $\xi_1\in E_1(\varphi)$, $\xi_2\in E_2(\varphi)$ справедлива цепочка соотношений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))\xi\| &\geqslant\frac{1}{d}\,\|D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))\xi\|_* \nonumber \\ &=\frac{1}{d}\,\bigl(\|P(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))\xi\| +\|Q(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))\xi\|\bigr) \nonumber \\ &=\frac{1}{d}\,\bigl(\|D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))\xi_1\| +\|D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))\xi_2\|\bigr) \nonumber \\ &\geqslant\frac{1}{d}\,\|D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))\xi_1\|\geqslant\frac{\lambda}{d}\,\|\xi_1\| \geqslant\frac{\lambda}{d(1+r_1)}\,\|\xi\|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.62}
$$
Отметим еще, что последний переход в (3.62) опирается на очевидную оценку $\|\xi\|\leqslant(1+r_1)\|\xi_1\|$, имеющую место в конусе $H_{r_1}(\varphi)$. Итак, мы показали справедливость первого неравенства из (2.18) с постоянной где, напомним, $\lambda$ – величина из (3.59). А поскольку $\lambda\to+\infty$ при $n_0\to+\infty$, то увеличивая при необходимости натуральное $n_0$, добиваемся выполнения требуемого условия $\lambda_1>1$. Второе неравенство из (2.18) с постоянной $\lambda_2>1$ устанавливается аналогично. Теорема 2.2 доказана.§ 4. Заключительные замечания4.1. О проблеме квазиинвариантностиКритерий конусов является безусловно одним из классических результатов конечномерной гиперболической теории. Именно по этой причине принципиально важно было понять, справедлив ли он в случае бесконечномерного тора и если да, то в какой форме. В настоящей работе указанная задача решена: найден и обоснован подходящий вариант критерия конусов, пригодный для тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Среди открытых проблем следует отметить вопрос о том, можно ли избавиться в формулировке критерия конусов от условия квазиинвариантности (см. (2.21), (2.22)). Как уже отмечалось выше, в случае конечномерного тора $\mathbb{T}^m$, $m\geqslant 2$, это условие излишне, поскольку оно вытекает из условий 2.1, 2.2 автоматически. Но будет ли то же самое верно в случае $\mathbb{T}^{\infty}$, пока не ясно. Действительно, в бесконечномерной ситуации при попытке обоснования, например, равенства (2.21) сталкиваемся со следующей трудностью. Как и ранее, для подпространств (2.25) справедливо первое соотношение из (2.26), а значит, сумма $X_1(\varphi)\oplus X_2(\varphi)$ прямая. Но на вопрос о том, всегда ли $X_1(\varphi)\oplus X_2(\varphi)=E$, ответа пока нет (в отличие от случая $E=\mathbb{R}^m$, где данное равенство вытекает из размерностных соображений). Учитывая это обстоятельство, нам пришлось добавить в критерий конусов дополнительное условие 2.3. В связи с вышесказанным возникает вопрос о принципиальной реализуемости условия 2.3 в бесконечномерном случае. Ответ на него положителен: ниже приводится специальный класс диффеоморфизмов (так называемых диагональных отображений), для которых условия 2.1, 2.2 влекут выполнение условия 2.3. Для описания упомянутого класса отображений нам потребуется банахово пространство $E$, состоящее из векторов
$$
\begin{equation}
\varphi=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \dots, \vartheta_k, \dots),\qquad \vartheta_k\in\mathbb{R}^m, \quad k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
для которых конечна норма ($\|\,{\cdot}\,\|_m$ – произвольно фиксированная норма в $\mathbb{R}^m$). Далее, на бесконечномерном торе $\mathbb{T}^{\infty}=E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}$, где
$$
\begin{equation*}
\mathbb{Z}^{\infty}=\{\varphi=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \dots, \vartheta_k, \dots)\in E\colon \vartheta_k\in\mathbb{Z}^m,\, k\geqslant 1\},
\end{equation*}
\notag
$$
определим оператор $G$ посредством равенств
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, G\colon \varphi\mapsto\overline{G}(\varphi) \ (\operatorname{mod} 2\pi), \\ \overline{G}(\varphi)=\operatorname{colon}(\overline{G}_1(\vartheta_1), \dots, \overline{G}_k(\vartheta_k), \dots),\qquad \overline{G}_k(\vartheta) =\Lambda_k\vartheta+g_k(\vartheta) \quad \forall\,\vartheta\in \mathbb{R}^m. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Что же касается фигурирующих в (4.3) квадратных матриц $\Lambda_k$ размера $m\times m$ и $2\pi$-периодических по $\vartheta\in\mathbb{R}^m$ вектор-функций $g_k(\vartheta)\in C^1(\mathbb{R}^m; \mathbb{R}^m)$, то они удовлетворяют следующим ограничениям. Во-первых, предполагаем, что элементы матриц $\Lambda_k$ являются целыми числами и
$$
\begin{equation}
|{\det \Lambda_k}|=1\quad\forall\,k\geqslant 1,\qquad \sup_{k\geqslant 1}\|\Lambda_k\|_m<\infty,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где в данном случае $\|\,{\cdot}\,\|_m$ – матричная норма, индуцированная соответствующей векторной нормой $\|\,{\cdot}\,\|_m$ из (4.2). Обратим внимание, что при условиях (4.4) линейный оператор $\Lambda$, действующий на произвольный вектор (4.1) по правилу
$$
\begin{equation}
\Lambda\varphi=\operatorname{colon}(\Lambda_1\vartheta_1, \dots, \Lambda_k\vartheta_k, \dots),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
принадлежит классу $L(\mathbb{Z}^{\infty})$ (см. п. 1.2). Отметим еще, что в силу второго условия из (4.4) фигурирующие в (4.5) матрицы $\Lambda_k$ могут принимать значения лишь из некоторого конечного набора, т. е.
$$
\begin{equation*}
\Lambda_k\in\{\Lambda_{k_1}, \dots, \Lambda_{k_s}\}\quad\forall\,k\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Во-вторых, предполагаем, что последовательности вектор-функций $g_k(\vartheta)$, $k\geqslant 1$, и их производных Фреше $g'_k(\vartheta)$, $k\geqslant 1$, равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. В этом случае, как нетрудно проверить, соответствующий оператор
$$
\begin{equation}
g(\varphi)=\operatorname{colon}(g_1(\vartheta_1), \dots, g_k(\vartheta_k), \dots) \quad\forall\,\varphi\in E
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
принадлежит классу $B^1_{\mathrm{per}}(E)$. В-третьих, считаем, что
$$
\begin{equation}
\inf_{k\geqslant 1,\, \vartheta\in\mathbb{R}^m}|{\det(\Lambda_k+g'_k(\vartheta))}|>0.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Из требования (4.7) автоматически следует, что $\forall\,k\geqslant 1$ фигурирующее в (4.3) отображение $\overline{G}_k$ является диффеоморфизмом из $\mathbb{R}^m$ в $\mathbb{R}^m$, а само отображение $\overline{G}$ – диффеоморфизм из $E$ в $E$. Кроме того, для операторов (4.5), (4.6) справедлива оценка (1.30). Перечисленные факты свидетельствуют о том, что отображение $G$, построенное по правилу (4.3), принадлежит интересующему нас классу $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ и, следовательно, мы вправе применить к нему критерий конусов. При этом необходимость в условии 2.3 здесь отпадает, поскольку имеет место следующее утверждение. Теорема 4.1. Для любого диагонального отображения $G$ справедливость условий 2.1, 2.2 влечет выполнение условия 2.3. Доказательство. Введем в рассмотрение так называемые координатные проекции, т. е. линейные операторы $\Pi_k\colon E\to\mathbb{R}^m$, действующие на любой вектор (4.1) из $E$ по правилу Далее, считая выполненным условие 2.1, обратимся к разложению (2.11) и подействуем на него проекциями (4.8). В результате приходим к серии разложений
$$
\begin{equation}
\mathbb{R}^m=E_{k, 1}(\varphi)\oplus E_{k, 2}(\varphi),\qquad E_{k, j}(\varphi)=\Pi_k(E_j(\varphi)),\quad j=1, 2,\quad k\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Здесь все суммы прямые и в силу непрерывности по $\varphi$ проекторов (2.12) найдутся такие не зависящие от $\varphi\in E$ натуральные $m_{k, 1}$, $m_{k, 2}$, $m_{k, 1}+m_{k, 2}=m$, что Что же касается исходных подпространств $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$, то они представляют собой прямые произведения соответствующих наборов $E_{k, 1}(\varphi)$, $k\geqslant 1$, и $E_{k, 2}(\varphi)$, $k\geqslant 1$, т. е.
Обратимся теперь к подпространствам (2.25) и заметим, что в силу (4.3), (4.11) для них справедливы представления
$$
\begin{equation}
X_1(\varphi)=\prod_{k=1}^{\infty}D(\overline{G}_k^{\,n_0n}(\vartheta_k))E_{k, 1}(\varphi),\qquad X_2(\varphi)=\prod_{k=1}^{\infty}E_{k, 2}(\overline{G}^{\,n_0n}(\varphi)).
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
А поскольку согласно условию 2.2 подпространства (4.12) пересекаются только по нулю (см. аналогичное место в комментариях после условия 2.3), то автоматически
$$
\begin{equation}
X_{k, 1}(\varphi)\cap X_{k, 2}(\varphi)=\{0\},\qquad k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
где $X_{k, 1}(\varphi)=D(\overline{G}_k^{\,n_0n}(\vartheta_k))E_{k, 1}(\varphi)$, $X_{k, 2}(\varphi)=E_{k, 2}(\overline{G}^{\,n_0n}(\varphi))$.
Последующие рассуждения связаны с размерностными соображениями. А именно, в силу обратимости оператора $D(\overline{G}_k^{\,n_0n}(\vartheta_k))\colon \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m$ и соотношений (4.10) имеем
$$
\begin{equation}
\dim X_{k, j}(\varphi)=m_{k, j},\qquad j=1, 2,\quad m_{k, 1}+m_{k, 2}=m.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Далее, привлекая информацию (4.13), (4.14), приходим к выводу, что $\mathbb{R}^m$ раскладывается в прямую сумму
$$
\begin{equation}
\mathbb{R}^m=X_{k, 1}(\varphi)\oplus X_{k, 2}(\varphi),\qquad k\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
И наконец, объединяя формулы (4.1), (4.15), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, E&=\prod_{k=1}^{\infty}\mathbb{R}^m=\prod_{k=1}^{\infty}\bigl(X_{k, 1}(\varphi)\oplus X_{k, 2}(\varphi)\bigr) \nonumber \\ &=\biggl(\prod_{k=1}^{\infty}X_{k, 1}(\varphi)\biggr)\oplus \biggl(\prod_{k=1}^{\infty}X_{k, 2}(\varphi)\biggr) =X_1(\varphi)\oplus X_2(\varphi). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Остается подействовать на (4.16) проектором $P(\overline{G}^{\,n_0 n}(\varphi))$ и получить требуемое свойство (2.21). Что же касается равенства (2.22), то оно в случае диагонального отображения $G$ устанавливается аналогично. Теорема 4.1 доказана. 4.2. Об одном дополнительном критерии гиперболичностиНесмотря на то, что критерий конусов имеет прозрачный геометрический смысл, на наш взгляд, в ряде случаев (а особенно в бесконечномерной ситуации) удобнее пользоваться другими критериями гиперболичности, менее геометричными, но более конструктивными по форме. Один из таких критериев был предложен в статье [21], а другой можно получить из приведенных выше доказательств теорем 2.1, 2.2. Как обычно, фиксируем произвольно диффеоморфизм $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ и обозначим через $\overline{G}$ его глобальное поднятие. Справедлив следующий результат. Теорема 4.2. Исходный диффеоморфизм $G$ гиперболичен тогда и только тогда, когда при некотором $n_0\in\mathbb{N}$ для отображения $f(\varphi)=\overline{G}^{\,n_0}(\varphi)$ выполняются условия 2.1, 3.1, 3.2. Доказательство. Справедливость сформулированной теоремы в части достаточности вытекает из леммы 3.1. Действительно, если требуемое натуральное $n_0$ найдется, то в силу указанной леммы гиперболическим будет отображение $\overline{G}^{\,n_0}$. А отсюда и из лемм 2.1, 2.2 делаем вывод о гиперболичности $G$.
Предположим теперь, что гиперболичен диффеоморфизм $G$, а значит, таковым является и его глобальное поднятие $\overline{G}$. Опираясь на эти факты, определим подпространства $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ по правилу (3.57) и заметим, что (как уже отмечалось выше) для них справедливо условие 2.1. Для проверки выполнения в случае (3.57) условий 3.1, 3.2 заметим, что здесь
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \Lambda_{1, 1}(\varphi)&=D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))\colon \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{u}}\to \overline{E}_{\overline{G}^{\,n_0}(\varphi)}^{\,\mathrm{u}}, &\qquad \Lambda_{2, 1}(\varphi) &=0, \\ \Lambda_{2, 2}(\varphi)&=[D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))]^{-1}\colon \overline{E}_{\overline{G}^{\,n_0}(\varphi)}^{\,\mathrm{s}}\to \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}}, &\qquad \Lambda_{1, 2}(\varphi) &=0. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Тем самым, операторы $\Lambda_{j, j}(\varphi)$, $j=1, 2$, заведомо обратимы, а для постоянных $\alpha_1$, $\alpha_2$ из (3.6) в силу (2.7), (2.8) справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\alpha_1\leqslant c_1\mu_1^{n_0},\qquad\alpha_2\leqslant c_2\mu_2^{n_0}.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Принимая во внимание неравенства (4.18), заключаем, что $\alpha_1,\alpha_2\to 0$ при $n_0\to+\infty$. Следовательно, требуемые условия (3.4) будут выполняться при подходящем увеличении $n_0$. Что же касается неравенства (3.5), то в данном случае оно вытекает из (3.4) автоматически, поскольку (см. (4.17)) здесь имеем $\beta_1=\beta_2=0$. Теорема 4.2 доказана. Следует добавить, что доставляемый данной теоремой критерий гиперболичности относится к числу симметричных, т. е. не меняется при замене отображения $G$ на $G^{-1}$. В заключение сравним критерий из теоремы 4.2 с установленным нами критерием конусов. Заметим в первую очередь, что в обоих критериях изначально выбирается некоторое стартовое разложение вида (2.11) и ведется так называемая охота на устойчивое и неустойчивое подпространства из (2.5). Отличаются лишь стратегии этой охоты. В случае критерия конусов мы окружаем подпространства из (2.11) соответствующими полями конусов (2.15), (2.16). При известных условиях инвариантности и растяжения (см. (2.17), (2.18)) эти конусы служат ловушками, в которых содержатся искомые подпространства из (2.5). В случае же критерия, доставляемого теоремой 4.2, стратегия охоты иная. Мы требуем, чтобы подпространства из (2.5) допускали параметризацию посредством пространств $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ (см. (3.11), (3.12)). Последнее оказывается возможным при некоторой близости между стартовым разложением (2.11) и искомым разложением (2.5). Что же касается меры этой близости, то она может быть выражена количественно посредством неравенств (3.4), (3.5). Интересно отметить и геометрический смысл условий (3.4), (3.5) для отображения $f(\varphi)=\overline{G}^{\,n_0}(\varphi)$. Первое из них ответственно за наличие оценок вида (3.9), (3.10). Особенно ярко это проявляется в случаях $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{u}}\approx E_1(\varphi)$, $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}}\approx E_2(\varphi)$ (т. е. когда малы операторы $a=a_*(\varphi)$, $b=b_*(\varphi)$ в представления вида (3.11), (3.12)). Действительно, если указанная малость имеет место, то в упомянутых оценках $\mu_1\approx\alpha_1$, $\mu_2\approx\alpha_2$. Для пояснения смысла условия (3.5) обратимся к постоянным $\beta_1$, $\beta_2$. Их возможная геометрическая интерпретация такова. Уместно предположить, что они характеризуют некоторые обобщенные углы между парами подпространств $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{u}}, E_1(\varphi)$ и $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}}, E_2(\varphi)$, а условие (3.5) означает соответствующую малость этих углов. В крайних же случаях $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{u}}=E_1(\varphi)$ или $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm{s}}=E_2(\varphi)$ автоматически имеем $\beta_1=0$ или $\beta_2=0$. 4.3. Об альтернативном подходе к определению гиперболичностиПредложенный в статьях [29]–[31] альтернативный вариант определения гиперболичности в нашем случае приобретает следующий вид. Пусть $\overline{G}$ – глобальное поднятие произвольного диффеоморфизма $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Далее, для любого фиксированного $\varphi_0\in E$ положим $\varphi_n=\overline{G}^{\,n}(\varphi_0)$, $n\in\mathbb{Z}$, и введем в рассмотрение разностный оператор $L(\xi_n)=\xi_{n+1}-D\overline{G}(\varphi_n)\xi_n$, $\xi_n\in E$, $n\in\mathbb{Z}$. Будем говорить, что оператор $L$ равномерно регулярен, если при любом фиксированном наборе $\{h\}=\{h_n\in E,\, n\in\mathbb{Z},\, \sup_{n\in\mathbb{Z}}\|h_n\|<\infty\}$ система имеет единственное решение $\{\xi\}=\{\xi_n\in E,\, n\in\mathbb{Z},\, \sup_{n\in\mathbb{Z}}\|\xi_n\|<\infty\}$, и выполняется оценка
$$
\begin{equation}
\sup_{n\in\mathbb{Z}}\|\xi_n\|\leqslant\gamma \sup_{n\in\mathbb{Z}}\|h_n\|
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
с некоторой не зависящей от выбора $\varphi_0$ и $\{h\}$ постоянной $\gamma>0$. Упомянутое выше альтернативное определение гиперболичности звучит так: диффеоморфизм $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ гиперболичен при условии равномерной регулярности оператора $L(\xi_n)$. Как оказывается, из определения 2.1 новое определение вытекает автоматически. Действительно, если исходный диффеоморфизм $G$ гиперболичен в смысле определения 2.1, то его поднятие $\overline{G}$ удовлетворяет условиям определения 2.2. Принимая во внимание неравенства (2.7), (2.8), (2.10), нетрудно увидеть, что в этом случае система (4.19) имеет единственное решение
$$
\begin{equation*}
\xi_n{=}\sum_{k=-\infty}^{n-1}D(\overline{G}^{\,n-1-k}(\varphi_{k+1}))\overline{Q}_{\varphi_{k+1}}h_k- \sum_{k=n}^{+\infty}D(\overline{G}^{\,n-1-k}(\varphi_{k+1}))\overline{P}_{\varphi_{k+1}}h_k,\qquad n\,{\in}\,\mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющее равномерной оценке (4.20). Вопрос же об эквивалентности двух указанных выше определений остается открытым.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GlyKol24} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|