| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Коразмерности тождеств разрешимых супералгебр Ли М. В. Зайцевa, Д. Д. Реповшb a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b University of Ljubljana, Slovenia
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9560e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ статье изучаются тождества супералгебр Ли над полем $F$ нулевой характеристики. Наличие нетривиальных тождеств в той или иной алгебре играет важную роль при изучении ее свойств и строения. Например, если $A$ – ассоциативная PI-алгебра с конечным числом порождающих, то ее размерность Гельфанда–Кириллова $\operatorname{Gkdim}(A)$ конечна, а радикал Джекобсона $J(A)$ нильпотентен. Если, кроме того, $A$ проста, то $\dim A<\infty$. Если $A$ и $B$ – две конечномерные простые (не обязательно ассоциативные) алгебры над алгебраически замкнутым полем, то они изоморфны тогда и только тогда, когда наборы их тождеств совпадают. Одним из важнейших направлений при исследовании тождественных соотношений в алгебрах является анализ связанных с ними количественных характеристик. Одним из основных числовых инвариантов, характеризующих количество тождеств алгебры $A$, является последовательность $c_n(A), n=1,2,\dots$, ее коразмерностей. В общем случае последовательность $\{c_n(A)\}$ имеет сверхэкспоненциальный рост. Например, если $A$ – свободная ассоциативная алгебра счетного ранга, то $c_n(A)=n!$. Для свободной алгебры Ли мы имеем $c_n(A)=(n-1)!$. Даже если алгебра Ли $L$ удовлетворяет достаточно сильному тождеству $[[x_1,x_2,x_3],[y_1,y_2,y_3]]\equiv 0$, то последовательность ее коразмерностей $\{c_n(L)\}$ имеет порядок роста $\sqrt{n!}$ (см. [1]). Тем не менее для широкого класса алгебр последовательность коразмерностей экспоненциально ограничена. Так, для любой ассоциативной PI-алгебры $A$ существует константа $a$ такая, что $c_n(A)<a^n$ для всех $n\geqslant 1$ [2] (см. также [3]). Если $A$ – произвольная конечномерная алгебра, $\dim A=d$, то $c_n(A)\leqslant d^{n+1}$ (см. [4] или [5]). Если $L$ – бесконечномерная простая алгебра Ли картановского типа или алгебра Вирасоро, то $c_n(A)<a^n$ [6]. Аналогичное ограничение выполняется и для любой аффинной алгебры Каца–Муди [7]. Если же $L$ – супералгебра Ли с нильпотентным коммутантом, $(L^2)^{t+1}=0$, то последовательность коразмерностей $\{c_n(L)\}$ растет асимптотически не быстрее чем $(2t)^n$ [8]. Для любой алгебры Новикова $A$ последовательность коразмерностей также экспоненциально ограничена, $c_n(A)\leqslant 4^n$ [9]. В 80-х годах прошлого века Ш. Амицур выдвинул гипотезу о существовании и целочисленности предела последовательности $\{\sqrt[n]{c_n(A)}\,\}$, где $A$ – любая ассоциативная PI-алгебра. Эта гипотеза была подтверждена в работах [10], [11], а сам предел в случае его существования, стали называть PI-экспонентой алгебры $A$. Позднее существование и целочисленность предела (1) были доказаны для любой конечномерной алгебры Ли [12], йордановой алгебры [13] и некоторых других. При этом оказалось, что в случае конечномерной ассоциативой, лиевской или йордановой алгебры над алгебраически замкнутым полем PI-экспонента $A$ равна ее размерности тогда и только тогда, когда $A$ проста.В случае, когда $A$ наделена градуировкой посредством группы $G$, можно наряду с обычными тождествами рассматривать и исследовать и $G$-градуированные тождества, а также их числовые инварианты. Градуированные тождества представляют собой более тонкую характеристику. Так, если $G=\mathbb Z_2$, то любое обычное полилинейное тождество степени $n$ равносильно системе из $2^n$ градуированных. Поэтому при изучении тождественных соотношений супералгебр Ли целесообразно рассматривать как градуированные, так и неградуированные соотношения. Оказалось, что в суперлиевском случае ситуация заметно отличается от обычной лиевской или ассоциативной. В работах [14]–[16] приведены примеры конечномерных супералгебр Ли, у которых обычная и градуированная PI-экспоненты существуют, но не являются целочисленными. Там же показано, что PI-экспонента простой супералгебры Ли может быть меньше ее размерности. В упомянутых примерах конечномерные супералгебры Ли не являются разрешимыми, что приводит к естественному вопросу: существуют ли градуированная и неградуированная экспоненты у конечномерной разрешимой супералгебры Ли? Если коммутант такой супералгебры нильпотентен, то ответ положителен (см. [8]). Однако если $L=L_0\oplus L_1$ – разрешимая супералгебра с ненулевой нечетной компонентой $L_1$, то идеал $L^2$ не всегда нильпотентен. В работе [17] была построена серия конечномерных разрешимых супералгебр Ли $S(t)$, $t\geqslant 2$, с ненильпотентным коммутантом и показано, что $\exp(S(2))=\exp^{\mathrm{gr}}(S(2))=4.$ В настоящей работе мы доказываем целочисленность градуированной PI-экспоненты каждой супералгебры $S(t)$, $t\geqslant 3$, и вычисляем ее точное значение. Все необходимые сведения по теории тождественных соотношений и их числовых инвариантов можно найти в монографиях [18]–[20]. § 2. Основные понятияПусть $F$ – поле нулевой характеристики, и $F\{X,Y\}$ – абсолютно свободная алгебра над $F$ с двумя бесконечными наборами порождающих $X$ и $Y$. Алгебра $F\{X,Y\}$ естественным образом наделяется $\mathbb Z_2$-градуировкой $F\{X,Y\}=F\{X,Y\}_0\,{\oplus}\, F\{X,Y\}_1$, если объявить все порождающие из $X$ четными, а из $Y$ – нечетными. Если $L=L_0\oplus L_1$ – некоторая $\mathbb Z_2$-градуированная алгебра над $F$, то неассоциативный полином $f=f(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)\in F\{X,Y\}$ называется градуированным тождеством алгебры $L$, если $f=f(a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_n)=0$ для любых $a_1,\dots,a_m\in L_0$, $b_1,\dots,b_n\in L_1$. Совокупность всех тождеств $\mathrm{Id}^{\mathrm{gr}}(L)$ является градуированным идеалом в $F\{X,Y\}$ инвариантным относительно всех эндоморфизмов $F\{X,Y\}$, сохраняющих градуировку, т. е. $\mathrm{T}$-идеалом. Обозначим через $P_{k,m}$ подпространство всех полилинейных многочленов степени $n=k+m$ от $x_1,\dots,x_k\in X$, $y_1,\dots,y_m\in Y$. Хорошо известно, что совокупность всех подпространств $P_{r,m}\cap \mathrm{Id}^{\mathrm{gr}}(L)$, $k,m\geqslant 1$, однозначно определяет $\mathrm{Id}^{\mathrm{gr}}(L)$ как $\mathrm{T}$-идеал. Пусть также
$$
\begin{equation*}
P_{k,n-k}(L)=\frac{P_{k,n-k}}{P_{k,n-k}\cap \mathrm{Id}^{\mathrm{gr}}(L)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда величину называют частичной $(k,n-k)$-градуированной коразмерностью, а величину
$$
\begin{equation*}
c_n^{\mathrm{gr}}(L)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}c_{k,n-k}(L)
\end{equation*}
\notag
$$
– $n$-й градуированной коразмерностью алгебры $L$. Как и в неградуированном случае, последовательность градуированных коразмерностей конечномерной алгебры $L$ экспоненциально ограничена [4]. Это гарантирует существование пределов
$$
\begin{equation*}
\overline{\exp}^{\,\mathrm{gr}}(L)= \limsup_{n\to \infty}\sqrt[n]{c_n^{\mathrm{gr}}(L)}, \qquad \underline{\exp}^{\mathrm{gr}}(L)= \liminf_{n\to \infty}\sqrt[n]{c_n^{\mathrm{gr}}(L)},
\end{equation*}
\notag
$$
которые называют верхней и нижней градуированными PI-экспонентами алгебры $L$ соответственно. Если же существует обычный предел
$$
\begin{equation*}
\exp^{\mathrm{gr}}(L)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n^{\mathrm{gr}}(L)},
\end{equation*}
\notag
$$
то он называется (обычной) градуированной PI-экспонентой $L$. Ключевым инструментом при исследовании количественных характеристик тождественных соотношений является теория представлений симметрических групп. Группа $S_n$ естественным образом действует на полилинейных выражениях:
$$
\begin{equation*}
\sigma\circ f(z_1,\dots,z_n)=f(z_{\sigma(1)},\dots,z_{\sigma(n)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним отдельные элементы теории представлений симметрической группы, которые потребуются нам в дальнейшем. Необходимые сведения по теории представлений группы подстановок можно найти в [21]. Обозначим через $R=FS_m$ групповую алгебру группы $S_m$ и напомним строение минимальных левых идеалов в $R$. Пусть $\lambda\vdash m$ – разбиение числа $m$, т. е. упорядоченный набор $(\lambda_1,\dots,\lambda_k)$ целых чисел, удовлетворяющих условиям: $\lambda_1\geqslant\dots\geqslant \lambda_k>0$, $\lambda_1+\dots+\lambda_k=m$. Ему сопоставим диаграмму Юнга, т. е. таблицу из $m$ клеток, у которой $\lambda_1$ клеток стоят в первой строке, $\lambda_2$ клеток стоят во второй и так далее. Таблицей Юнга $T_\lambda$ называется диаграмма Юнга $D_\lambda$, в клетки которой вписаны числа $1,\dots,m$. По фиксированной таблице Юнга $T_\lambda$ в $FS_m$ строятся две подгруппы $R_{T_\lambda}$ и $C_{T_\lambda}$. Первая из них, называемая стабилизатором строк, состоит из тех $\sigma\in S_m$, которые переставляют числа только в пределах строк таблицы $T_\lambda$, вторая – стабилизатор столбцов – состоит из подстановок, переставляющих числа $1,2,\dots,m$ только в пределах столбцов. Таблице $T_\lambda$ сопоставляется элемент группового кольца
$$
\begin{equation}
e_{T_\lambda}=\biggl(\sum_{\sigma\in R_{T_\lambda}}\sigma\biggr) \biggl(\sum_{\tau\in C_{T_\lambda}}(-1)^\tau\tau\biggr),
\end{equation}
\tag{2}
$$
называемый симметризатором Юнга. Известно, что симметризатор Юнга – квазиидемпотент, т. е. $e_{T_\lambda}^2=\gamma e_{T_\lambda}$, где $\gamma\in\mathbb Q$ – ненулевой скаляр. Кроме того, левый идеал $Re_{T_\lambda}$ является минимальным, его характер обозначается как $\chi_\lambda$. Любой неприводимый левый $R$-модуль $M$ изоморфен некоторому $Re_{T_\lambda}$. В этом случае его характер $\chi(M)$ равен $\chi_\lambda$. Напомним также, что $Re_{T_\lambda}$ и $Re_{T_\mu}$ изоморфны как $FS_m$-модули тогда и только тогда, когда $\lambda=\mu$. Любой конечномерный $S_m$-модуль $M$ раскладывается в сумму неприводимых, $M=M_1\oplus\dots\oplus M_t$. В этом случае выражение означает, что среди $M_1,\dots,M_t$ встречается ровно $m_\lambda$ слагаемых с характером $\chi_\lambda$. Сумма кратностей $m_\lambda$ в разложении (3), т. е. число $t$, называется длиной модуля $M$.При изучении тождеств $\mathbb Z_2$-градуированных алгебр приходится использовать действие на полилинейные компоненты прямого произведения двух симметрических групп. На пространстве $P_{k,n-k}$ действует группа $S_k\times S_{n-k}$. Пересечение $P_{k,n-k}\cap \mathrm{Id}^{\mathrm{gr}}(L)$ инвариантно относительно этого действия для любой алгебры $L_0\oplus L_1$. Поэтому $P_{k,n-k}(L)$ также является ($S_k\times S_{n-k}$)-модулем. Любой неприводимый ($S_k\times S_{n-k}$)-модуль изоморфен тензорному произведению $M\otimes N$ неприводимых $S_k$-модулей и $S_{n-k}$-модулей соответственно. При этом характер этого модуля обозначается как $\chi_{\lambda,\mu}$, где $\chi_\lambda=\chi(M)$, $\chi_\mu=\chi(N)$. В этих обозначениях разложение $P_{k,n-k}(L)$ на неприводимые компоненты выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation}
\chi_{k,n-k}(L)=\chi(P_{k,n-k}(L))=\sum_{\substack{\lambda\vdash k\\\mu\vdash n-k}} m_{\lambda,\mu}\chi_{\lambda,\mu},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $m_{\lambda,\mu}$ – кратность $\chi_{\lambda,\mu}$ в разложении для $\chi_n(L)$. Отсюда
$$
\begin{equation}
c_{k,n-k}(L)=\sum_{\substack{\lambda\vdash k\\ \mu\vdash n-k}} m_{\lambda,\mu} d_\lambda d_\mu,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $d_\lambda$ (соответственно $d_\mu$) – размерности неприводимых $S_k$-представлений (соответственно $S_{n-k}$-представлений) с характерами $\chi_\lambda$ (соответственно $\chi_\mu$). Для оценок роста коразмерностей существенную роль играет еще одна серия числовых характеристик. Частичной кодлиной $l_{k,n-k}(L)$ называется величина
$$
\begin{equation*}
l_{k,n-k}(L)=\sum_{\substack{\lambda\vdash k\\ \mu\vdash n-k}} m_{\lambda,\mu},
\end{equation*}
\notag
$$
где $m_{\lambda,\mu}$ – целочисленные величины из правой части (4). Градуированной кодлиной называется полная сумма
$$
\begin{equation*}
l^{\mathrm{gr}}_n(L)=\sum_{k=0}^nl_{k,n-k}(L)=\sum_{k=0}^n \sum_{\substack{\lambda\vdash k\\ \mu\vdash n-k}} m_{\lambda,\mu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Важную роль играет полученная в [22] оценка кодлины. Лемма 1 (см. [22; теорема 1]). Пусть $L=L_0\oplus L_1$ – конечномерная $\mathbb Z_2$-градуированная алгебра, $\dim L=d$. Тогда § 3. Верхние оценки роста коразмерностейВ данном параграфе мы получим верхнюю оценку роста коразмерностей супералгебр Ли, близких к конечномерным. Нам потребуется одно техническое утверждение, связанное с выбором порождающих элементов в ($S_k\times S_{n-k}$)-подмодулях в $P_{k,n-k}$. Лемма 2. Пусть $M$ – неприводимый ($S_k\times S_{n-k}$)-подмодуль в $P_{k,n-k}$ с характером $\chi_{\lambda,\mu}$, $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_p)\vdash k$, $\mu=(\mu_1,\dots,\mu_q)\vdash(n-k)$. Тогда существует такой $0\ne f= f(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_{n-k})\in M$ и разбиения $\{x_1,\dots,x_k\}\,{=}\, X_1\cup\dots\cup X_{\lambda_1}$, $\{y_1,\dots,y_{n-k}\}\,{=}\,Y_1\cup\dots \cup Y_{\mu_1}$ на непересекающиеся подмножества, что $f$ кососимметричен по каждому из наборов $X_1,\dots,X_{\lambda_1}$, $Y_1,\dots,Y_{\mu_1}$. При этом мощность $|X_i|$ каждого из $X_i$, $1\leqslant i\leqslant\lambda_1$, равна высоте $i$-го столбца диаграммы Юнга $D_\lambda$, а мощность $|Y_j|$, $1 \leqslant j\leqslant\mu_1$, равна высоте $j$-го столбца диаграммы $D_\mu$. Доказательство. По условиям леммы $M$ изоморфен $FS_k e_{T_\lambda}\otimes FS_{n-k} e_{T_\mu}$, где $\lambda\vdash k, \mu\vdash (n-k)$. В частности, $M$ как $F[S_k\times S_{n-k}]$-модуль порожден элементом вида $(e_{T_\lambda}\otimes e_{T_\mu})h$, где $h=h(x_1,\dots,x_k, y_1,\dots,y_{n-k})$ – некоторый полилинейный многочлен. Обозначим $h'=e_{T_\lambda}h$. Если $e_{T_\lambda}$ имеет вид (2), то положим
Пусть $X_1\subseteq \{x_1,\dots,x_k\}$ состоит из тех $x_i$, номера которых стоят в первом столбце таблицы $T_\lambda$, $X_2\subseteq \{x_1,\dots,x_k\}$ состоит из тех $x_i$, номера которых стоят во втором столбце таблицы $T_\lambda$, и так далее. Тогда $\{x_1,\dots,x_k\}=X_1\cup\dots\cup X_{\lambda_1}$ и $h''$ кососимметричен по каждому из наборов $X_1,\dots,X_{\lambda_1}$. Кроме того, $h''\ne 0$, поскольку $e_{T_\lambda}^2\ne 0$, а
$$
\begin{equation*}
\biggl(\sum_{\rho\in R_{T_\lambda}}\rho \biggr)h''=e_{T_\lambda}h'=e_{T_\lambda}^2h.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, положим
$$
\begin{equation*}
f=\biggl(\sum_{\tau\in C_{T_\mu}}(-1)^\tau\tau \biggr)h''
\end{equation*}
\notag
$$
и разобьем $\{ y_1,\dots,y_{n-k} \}$ в объединение $Y_1\cup\dots\cup Y_{\mu_1}$ в соответствии с распределением индексов $y_i$-х по столбцам таблицы $T_\mu$. Тогда $f\ne 0$ и $Y_1,\dots,Y_{\mu_1}$ удовлетворяют всем необходимым требованиям, и лемма 2 доказана. Напомним, что любой идеал в супералгебре Ли по определению однороден в $\mathbb Z_2$-градуировке. Для получения верхней оценки роста коразмерностей нам потребуется следующее замечание. Лемма 3. Пусть $L\,{=}\,L_0\,{\oplus}\, L_1$ – супералгебра Ли и $I_0\,{\oplus}\, I_1$ – нильпотентный идеал конечной коразмерности в $L$, $I^{m+1}=0$. Пусть $d_0=\dim(L_0/I_0)$, $d_1=\dim(L_1/I_1)$. Если $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_p)\vdash k$, $\mu=(\mu_1,\dots,\mu_q)\vdash(n-k)$ – два разбиения такие, что $m_{\lambda,\mu}\ne 0$ в разложении (4) для $L$, то $\lambda_{d_0+1}+\dots+\lambda_p\leqslant m$ и $\mu_{d_1+1}+\dots+\mu_q\leqslant m$. Доказательство. Зафиксируем базис $u_1,u_2,\dots$ в $L_0$ такой, что $u_1,\dots,u_{d_0}$ линейно независимы по модулю $I_0$, а все остальные $u_i$ лежат в $I_0$. Аналогично, выберем базис $v_1,v_2,\dots$ в $L_1$ с условием линейной независимости $v_1,\dots,v_{d_1}$ по модулю $I_1$ и $v_j\in I_1$, $j>d_1$.
Рассмотрим неприводимый $S_k\times S_{n-k}$-подмодуль в $P_{k,n-k}$ с характером $\chi_{\lambda,\mu}$ и выберем в $M$ порождающий $f=f(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_{n-k})$ и разбиения $X_1,\dots, X_{\lambda_1}$, $Y_1,\dots,Y_{\mu_1}$, построенные в лемме 2. Предположим, что $\lambda_{d_0+1}+\dots+\lambda_p\geqslant m+1$. Чтобы выяснить, является ли $f$ тождеством $L$ или нет, достаточно подставить вместо переменных элементы зафиксированных базисов соответствующей четности. Пусть в точности $t$ первых столбцов диаграммы $D_\lambda$ имеют высоту строго больше $d_0$, т. е. $|X_1|$, $\dots$, $|X_t|> d_0$, $|X_{t+1}|\leqslant d_0$. Если подставить вместо переменных одного из наборов $X_i$, $1\leqslant i\leqslant t$, больше чем $d_0$ базисных $u_j$ с $j\leqslant d_0$, то получим нулевое значение $f$ в силу кососимметричности. В противном же случае придется подставить не менее чем базисных элементов из $I$. Но так как а $I^{m+1}=0$, то мы снова получаем нулевое значение $f$. Аналогично, $f\equiv 0$, если $\mu_{d_1+1}+\dots+\mu_q\geqslant m+1$. Поскольку условие $m_{\lambda,\mu}\ne 0$ означает, что $f$ не является тождеством $L$, то лемма 3 доказана.Оценим размерности неприводимых компонент в разложении $P_{k,n-k}(L)$. Лемма 4. Пусть $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_p)\vdash n$ – разбиение числа $n$ такое, что $p\geqslant d+1$ и $\lambda_{d+1}+\dots+\lambda_p\leqslant m$. Тогда при фиксированных $p$ и $m$ выполняется неравенство $d_\lambda\leqslant n^md^n$. Доказательство. Рассмотрим разбиение $\nu=(\lambda_1,\dots,\lambda_d)$ целого числа $n'=\lambda_1+\dots+\lambda_d$. Тогда $n-n'\leqslant m$, и по лемме 6.2.4 из [20] $d_\lambda\leqslant n^md_\nu$, а по следствию 4.4.7 из [20] $d_\nu\leqslant d^{n'}$. Лемма доказана. Предложение 1. Пусть $L_0\oplus L_1$ – конечномерная супералгебра Ли, $\dim L{\kern1pt}{=}\,d$ и $I=I_0\oplus I_1$ – нильпотентный идеал в $L$, $I^{m+1}=0$, $\dim(L_0/I_0)=d_0$, $\dim(L_1/I_1)=d_1$. Тогда существует полином $\varphi(n)$, зависящий только от $m$, $d$, $d_0$ и $d_1$, такой, что В частности, Доказательство. Рассмотрим выражение (5) для $c_{k,n-k}(L)$. Поскольку все кратности $m_{\lambda,\mu}$ ограничены сверху величиной $l_n^{\mathrm{gr}}(L)$, по лемме 1 имеем
$$
\begin{equation}
c_{k,n-k}(L)=d(n+1)^{d^2+d+1} \sum_{\substack{\lambda\vdash k\\ \mu\vdash n-k}} d_\lambda d_\mu.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Соображения кососимметричности, использованные при доказательстве леммы 3, позволяют утверждать, что высота разбиений $\lambda$ и $\mu$ (т. е. высота соответствующих диаграмм Юнга) не превосходит $d$. Очевидно, что количество таких разбиений меньше $n^d$. Поэтому, используя леммы 3 и 4, из (8) получаем ограничение (6) для некоторого полинома $\varphi(n)$. Теперь ограничение (7) следует из (6) и определения градуированной коразмерности. Предложение доказано. § 4. Супералгебры Ли серии $S(t)$В этом параграфе мы определим бесконечную серию конечномерных разрешимых супералгебр Ли с ненильпотентным коммутантом. Сначала условимся использовать следующие соглашения. Если $A$ – супералгебра Ли, то произведение ее элементов мы будем обозначать обычной коммутаторной скобкой $[x,y]$. Если $A$ – ассоциативная алгебра, то $[x,y]=xy-yx$. Если $A=A_0\oplus A_1$ – ассоциативная алгебра с $\mathbb Z_2$-градуировкой, а $x$ и $y$ – однородные элементы из $A$, то где $|x|$ – четность элемента $x$, т. е. $0$ или $1$. Договоримся также опускать скобки в случае их левонормированной расстановки, т. е. $[x_1,\dots,x_{k+1}]= [[x_1,\dots,x_k], x_{k+1}]$ для всех $k\geqslant 2$.Пусть сначала $R$ – произвольная ассоциативная алгебра с инволюцией $\ast$ : $R\to R$. Рассмотрим ассоциативную алгебру $Q=M_2(R)$,
$$
\begin{equation*}
Q= \biggl\{ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \biggm| A,B,C,D\in R\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
и зададим на ней $\mathbb Z_2$-градуировку $Q=Q_0\oplus Q_1$, где
$$
\begin{equation*}
Q_0= \biggl\{ \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & D \end{pmatrix} \biggr\},\qquad Q_1= \biggl\{ \begin{pmatrix} 0 & B \\ C & 0 \end{pmatrix} \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известно, что $Q$ с операцией $[\,{\cdot}\,,{\cdot}\,]$ является супералгеброй Ли. Обозначим через $R^+$ и $R^-$ подпространства симметричных и кососимметричных элементов в $R$:
$$
\begin{equation*}
R^+=\{x\in R\mid x^\ast=x\},\qquad R^-=\{x\in R\mid x^\ast=-x\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда подпространство
$$
\begin{equation}
L= \biggl\{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & -x^\ast \end{pmatrix} \biggm| x \in R,\, y\in R^+,\, z\in R^-\biggr\}
\end{equation}
\tag{9}
$$
тоже является супералгеброй Ли с той же операцией, что и в $Q$, где
$$
\begin{equation*}
L_0= \biggl\{ \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & -x^\ast \end{pmatrix} \biggr\}, \qquad L_1= \biggl\{ \begin{pmatrix} 0 & y \\ z & 0 \end{pmatrix} \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 1. Практически таким же способом строится одна из серий простых супералгебр Ли $p(t)$ (см., например, [23]). Замечание 2. Для построенной выше супералгебры $L$ эквивалентны следующие условия: 1) $L$ разрешима, 2) $L_0$ – разрешимая алгебра Ли, 3) $R$ лиевски разрешима, 4) максимальная полупростая подалгебра в $R$ коммутативна. Таким образом, предложенная конструкция дает широкий спектр конечномерных разрешимых супералгебр Ли, коммутанты которых, как правило, ненильпотентны. В качестве $R$ можно взять, например, алгебру $\mathrm{UT}_t(F)$ верхнетреугольных ($t\times t$)-матриц, конечномерную алгебру инцидентности или любую ассоциативную подалгебру в $\mathrm{UT}_t(F)$. Мы ограничимся случаем $R=\mathrm{UT}_t(F)$. Напомним описание инволюций на $\mathrm{UT}_t(F)$. Одна из них $\circ\colon R\to R$ – это отражение относительно побочной диагонали, т. е. $e_{ij}^\circ=e_{t+1-j,t+1-i}$ ($e_{ij}$ – матричные единицы). Она определена для всех $t\geqslant 2$. Мы будем называть ее ортогональной. Другая определена только для четных $t$. Пусть $t=2m$. Положим где $E$ – единичная ($m\times m$)-матрица. Тогда отображение $s\colon R\to R$, тоже является инволюцией на $R$. Ее называют симплектической. Если записать $X$ в виде то
$$
\begin{equation*}
X^s= \begin{pmatrix} W^\circ & -V^\circ \\ 0 & U^\circ \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 2 (см. [24; предложение 2.5]). Любая инволюция на $\mathrm{UT}_t(F)$ эквивалентна $\circ$ или $s$. Определение. Супералгеброй Ли $(S(t),\ast)$, $t\geqslant 2,$ будем называть алгебру (9), где $R=\mathrm{UT}_t(F)$, а $\ast=\circ$ или $s$ – ортогональная или симплектическая инволюция на $R$. Иногда мы будем обозначать как $(S(t),\circ)$, так и $(S(t),s)$ просто через $S(t)$. Нам потребуются формулы умножения в $L$:
$$
\begin{equation}
\biggl[ \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & -A^\ast \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \biggr] = \begin{pmatrix} 0 & AB+BA^\ast \\ 0 & 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{10}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl[ \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & -A^\ast \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ C & 0 \end{pmatrix} \biggr] = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -A^\ast C-CA & 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{11}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl[ \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & -A^\ast \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & -B^\ast \end{pmatrix} \biggr] = \begin{pmatrix} AB-BA & 0 \\ 0 & -(AB-BA)^\ast \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{12}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl[ \begin{pmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ C & 0 \end{pmatrix} \biggr] = \begin{pmatrix} BC & 0 \\ 0 & CB \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Введем еще ряд обозначений. Заметим сначала, что на диагональных матричных единицах обе инволюции ($\circ$ и $s$) действуют одинаковым образом: $e_{ii}^\ast=e_{t+1-i,t+1-i}$. Теперь положим в случае четного $t=2m\geqslant 2$ или нечетного $t=2m+1\geqslant 3$
$$
\begin{equation*}
X_i= \begin{pmatrix} e_{ii}-e_{ii}^\ast & 0 \\ 0 & e_{ii}-e_{ii}^\ast \end{pmatrix}, \qquad Y_i= \begin{pmatrix} 0 & e_{ii}+e_{ii}^\ast \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad Z_i= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ e_{ii}-e_{ii}^\ast & 0 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $i=1,\dots,m$, а также
$$
\begin{equation*}
E_{ij}= \begin{pmatrix} e_{ij} & 0 \\ 0 & -e_{ij}^\ast \end{pmatrix},\quad 1\leqslant i<j\leqslant t, \qquad I= \begin{pmatrix} E & 0 \\ 0 & -E \end{pmatrix},\qquad Y_0= \begin{pmatrix} 0 & E \\ 0 & 0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $E$ – единичная ($t\times t$)-матрица. Из формул умножения (10)–(13) следуют соотношения
$$
\begin{equation}
[X_i.Y_j]=[X_i,Z_j]=[X_i,X_j]=0,\quad [Y_i,Z_j]=\delta_{ij}Z_i,\qquad 1\leqslant i,j\leqslant m,
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $\delta_{ij}$ – символ Кронекера, а также
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [E_{ik},E_{kj}]=E_{ij},\qquad 1\leqslant i<k<j\leqslant 2m, \\ [E_{k,k+1},X_{k+1}]=-[E_{k,k+1},X_{k}]=E_{k,k+1}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
[E_{k,k+1},X_{j}]=0,\quad j\ne k,k+1,\qquad [I,E_{ij}]=0,\qquad [I,Y_0]=2Y_0.
\end{equation}
\tag{15}
$$
В заключение параграфа приведем нижнюю оценку PI-экспоненты. Предложение 3. Пусть $L$ – супералгебра Ли типа $S(t)$. Тогда $\overline{\exp}^{\,\mathrm{gr}}(L)\leqslant 2t$ при четном $t$ или $\overline{\exp}^{\,\mathrm{gr}}(L)\leqslant 2t-1$ при нечетном $t$. Доказательство. Сначала заметим, что кроме $\mathbb Z_2$-градуировки алгебра $L$ наделена еще и целочисленной градуировкой вида $L=L^{(0)}\oplus\dots \oplus L^{(t-1)}$. Во первых, исходная алгебра $R$ имеет $\mathbb Z$-градуировку $R=R^{(0)}\oplus\dots \oplus R^{(t-1)}$, где Теперь, если положить
$$
\begin{equation*}
L^{(k)}= \biggl\{ \begin{pmatrix} A & B \\ C & -A^\ast \end{pmatrix} \biggm| A\in R^{(k)},\, B\in R^+\cap R^{(k)},\, C\in R^-\cap R^{(k)}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
то правила умножения (10)–(13) показывают, что $L=L^{(0)}\oplus\dots \oplus L^{(t-1)}$ – требуемое $\mathbb Z$-разложение. Все подпространства $L^{(j)}$ однородны в $\mathbb Z_2$-градуировке, следовательно, $L^{(1)}\oplus\dots \oplus L^{(t-1)}$ – идеал в $L$ коразмерности $2t$. Так как этот идеал нильпотентен, предложение 1 завершает доказательство при четном $t$.
Пусть теперь $t=2m+1$. Чтобы снова воспользоваться предложением 1, достаточно показать, что $I=\langle b\rangle +L^{(1)}\oplus\dots \oplus L^{(t-1)}$ – нильпотентный идеал в $L$, где
$$
\begin{equation*}
b= \begin{pmatrix} 0 & E_{m+1,m+1} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in L_1\cap L^{(0)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Необходимо сначала проверить включение $[a,b]\in I$, если $a$ – четный или нечетный элемент из $L^{(0)}$. Если $a$ четный, то $[a,b]=\alpha b$, $\alpha\in F$, как следует из (10) и определения $L^{(0)}$. Если то $[ab]=0$, поскольку произведение любой пары элементов вида (16) равно нулю. Если же то $c$ – диагональная матрица с нулем в $(m+1)$-й позиции. Поэтому $[a,b]=0$ согласно (13).
Докажем теперь, что $I^{4t}=0$. Пусть $a=[b_1,\dots,b_{4t}]$ – левонормированный коммутатор однородных как в $\mathbb Z_2$-градуировке, так и в $\mathbb Z$-градуировке элементов. Если среди $b_i$-х хотя бы $t$ раз встречаются сомножители из $L^{(1)}\oplus\dots \oplus L^{(t-1)}$, то $a=0$ по соображениям $\mathbb Z$-градуировки. Если же таких сомножителей меньше, то хотя бы три подряд сомножителя равны $b$, поскольку $I^{(0)}=\langle b\rangle$. Но и тогда $a=0$, поскольку $(\operatorname{ad} b)^3=0$, где $\operatorname{ad} x$ – оператор правого умножения на $x$. Поскольку наше утверждение снова следует из предложения 1. Предложение 3 доказано.§ 5. Экспоненты супералгебр серии $S(t)$Для получения нижних оценок роста коразмерностей нам потребуется рассмотреть мультиальтернированные полиномы. Поэтому иногда удобно использовать следующее соглашение. Если некоторое выражение зависит от кососимметричного набора аргументов, то вместо знакопеременной суммы мы будем ставить общий символ – черту, волну и тому подобное – над этими аргументами. Например,
$$
\begin{equation*}
\widetilde{x_1}\cdots\widetilde{x_n} =\sum_{\sigma\in S_n}x_{\sigma(1)}\cdots x_{\sigma(n)}
\end{equation*}
\notag
$$
– стандартный полином в ассоциативной алгебре, а
$$
\begin{equation*}
\overline x\,\overline{\overline y}z \overline{\overline x}\, \overline y = x\overline{\overline y}z\overline{\overline x}y -y\overline{\overline y}z\overline{\overline x}x= xyzxy-xxzyy-yyzxx+yxzyx.
\end{equation*}
\notag
$$
Сначала рассмотрим супералгебры $S(t)$ с четным $t$. Лемма 5. Пусть $S(t)$ – супералгебра, определенная ортогональной или симплектической инволюцией $\ast$, и $t=2m$. Тогда $\underline{\exp}^{\mathrm{gr}}(L)\geqslant 4m$. Доказательство. В алгебре верхнетреугольных матриц $\mathrm{UT}_{2m}$ выполняется соотношение Отсюда
Выражение $a_1$ содержит альтернированный набор четных элементов $E_{11},\dots, E_{mm}$. Усложним его конструкцию, добавив $m$-альтернированный нечетный набор. Поскольку $[Y_i,Z_i]=X_i, [Y_i,Z_j]=0$ при $i\ne j$ (см. (14)), а $[E_{k,k+1},X_{k+1}]=[E_{k,k+1},E_{k+1,k+1}]$ (см. (15)), то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl[\bigl[E_{12},[\widetilde Y_1,Z_1]\bigr],\dots,[E_{m,m+1},\bigl[\widetilde Y_m,Z_m]\bigr]\bigr] \\ &\qquad= \bigl[\bigl[E_{12},[Y_1,Z_1]\bigr],\dots,\bigl[E_{m,m+1},[Y_m,Z_m]\bigr]\bigr] \\ &\qquad=(-1)^m[E_{12},\dots,E_{m,m+1}]= (-1)^mE_{1,m+1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь удвоим количество альтернированных нечетных элементов. Положим
$$
\begin{equation*}
a_2=\bigl[\bigl[E_{12},[\widetilde Y_1,Z_1],[Y_1,\widetilde Z_1]\bigr],\dots,\bigl[E_{m,m+1}, [\widetilde Y_m,Z_m],[Y_m,\widetilde Z_m]\bigr]\bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $[Z_i,Z_j]=0$ при $i\ne j$, то альтернирование в $a_2$ можно убрать, не изменив значения самого выражения, т. е.
$$
\begin{equation*}
a_2=\bigl[\bigl[E_{12},[Y_1,Z_1],[Y_1, Z_1]\bigr],\dots,\bigl[E_{m,m+1}, [Y_m,Z_m],[Y_m,Z_m]\bigr]\bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_3 &=\bigl[\bigl[E_{12},\overline E_{11}, [\widetilde Y_1,Z_1],[Y_1,\widetilde Z_1]\bigr],\dots, \bigl[E_{m,m+1}, \overline E_{mm},[\widetilde Y_m,Z_m],[Y_m,\widetilde Z_m]\bigr], \\ &\qquad\qquad[E_{m+1,m+2},\overline E_{m+1,m+1}],\dots,[E_{2m-1,2m},\overline E_{2m-1,2m-1}],[Y_0,\overline I]\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из формул умножения (14), (15) следует, что оба альтернирования в $a_3$ можно опустить, не поменяв значения. В частности,
$$
\begin{equation}
a_3=\bigl[E_{1,2m-1},[Y_0,I]\bigr]=2[E_{1,2m-1},Y_0]= 2 \begin{pmatrix} 0 & e_{1,2m-1}\pm e_{2,2m} \\ 0 & 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{18}
$$
где знак плюс или минус в правой части (18) зависит от выбора инволюции $\ast$.
Процедура построения элемента $a_3$ позволяет тиражировать кососимметричные наборы как четных $\{E_{i,i},I\}$, так и нечетных $\{Y_i,Z_i\}$ сомножителей. А именно, положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &A_i^{(0)}=\bigl[E_{i,i+1},\bigl[Y_i^{(1)},Z_i^{(0)}\bigr]\bigr], \\ &A_i^{(1)}=\bigl[A_i^0,\bigl[Y_i^{(2)},Z_i^{(1)}\bigr]\bigr], \\ &\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ &A_i^{(p)}=\bigl[A_i^{p-1},\bigl[Y_i^{(p+1)},Z_i^{(p)}\bigr]\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь все $Y_i^{(j)}$ – копии элемента $Y_i$, верхний индекс мы используем лишь для дальнейшего указания, в какой из альтернируемых наборов мы будем его включать. Аналогичное замечание относится и к $Z_i^{(j)}$.
Далее, пусть
$$
\begin{equation*}
A_i^{(p,1)}=\bigl[A_i^{(p)},E_{ii}^{(1)}\bigr],\quad \dots,\quad A_i^{(p,q)}=\bigl[A_i^{(p,q-1)},E_{ii}^{(q)}\bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
Для $j=m+1,\dots,2m-1$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &A_j^{(0)}=E_{j,j+1}, \\ &A_j^{(1)}=\bigl[A_j^{(0)},E_{jj}^{(1)}\bigr], \\ &\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ &A_j^{(q)}=\bigl[A_j^{(q-1)},E_{jj}^{(q)}\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец,
$$
\begin{equation*}
A_{2m}^{(1)}=[Y_0,I^{(1)}],\quad \dots,\quad A_{2m}^{(q)}=\bigl[A_{2m}^{(q-1)},I^{(q)}\bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь
$$
\begin{equation*}
W^{(p,q)}=\bigl[A_1^{(p,q)},\dots,A_m^{(p,q)},A_{m+1}^{(q)},\dots,A_{2m}^{(q)}\bigr]
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $p,q\geqslant 1$. Заметим, что при вычислении явного значения произведения $W^{(p,q)}$ полезно вспомнить, что правое умножение на $E_{ii}$ коммутирует с правым умножением на $[Y_i,Z_i]=X_i$.
Коммутатор $W{(p,q)}$ зависит от
Проальтернировав $W^{(p,q)}$ по наборам порядка $2m$, мы получим выражение
$$
\begin{equation*}
\widetilde W^{(p,q)}=\operatorname{Alt}_1^{(0)}\cdots \operatorname{Alt}_q^{(0)}\operatorname{Alt}_1^{(1)}\cdots \operatorname{Alt}_p^{(1)}(W^{(p,q)}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{Alt}_j^{(0)}$ – альтернирование по $E_{11}^{(j)}$, $E_{2m-1,2m-1}^{(j)}$ и $I^{(j)}$, $\operatorname{Alt}_i^{(1)}$ – альтернирование по $Y_1^{(i)},\dots,Y_m^{(i)}$, $Z_1^{(i)},\dots,Z_m^{(i)}$.
Как и при вычислении выражений $a_1$, $a_2$ и $a_3$, альтернирование в $\widetilde W^{(p,q)}$ фактически не играет роли, т. е.
$$
\begin{equation}
\widetilde W^{(p,q)}=W^{(p,q)}=\pm 2^q [E_{1,2m-1},Y_0]\ne 0.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Построим элемент $\widetilde w^{(p,q)}$ в $F\{X,Y\}$ при помощи той же процедуры, что и $\widetilde W^{(p,q)}$, только заменив $E_{12},\dots,E_{2m-1,2m}$ на четные порождающие $x_{12},\dots, x_{2m-1,2m}$, $E_{11}^{(j)},\dots,E_{2m-1,2m-1}^{(j)},I^{(j)}$ – на четные порождающие $x_{1}^{(j)},\dots,x_{2m,2m}^{(j)}$, $Y_1^{(i)},\dots,Y_m^{(i)}$ – на нечетные $y_1^{(i)},\dots,y_m^{(i)}$, $Z_1^{(i)},\dots,Z_m^{(i)}$ – на нечетные $z_1^{(i)},\dots,z_m^{(i)}$, а $Y_0$ – на нечетный $y_0$. В элемент $\widetilde w^{(p,q)}$ входят $q$ кососимметрических наборов четных переменных $X^{(j)}=\{x_1^{(j)},\dots,x_{2m}^{(j)}\}$, $1\leqslant j\leqslant q$, и $p$ кососимметрических наборов нечетных переменных $Y^{(i)}= \{y_1^{(i)},\dots,y_m^{(i)},z_1^{(i)},\dots,z_m^{(i)}\}$. Кроме них в $\widetilde w^{(p,q)}$ входят $4m$ переменных $x_{12},\dots,x_{2m-1,2m}$, $y_0$, $y_1^{(p+1)},\dots,y_m^{(p+1)}$, $z_1^{(0)},\dots,z_m^{(0)}$, не участвующих в альтернировании. Зафиксируем $n=2mp+2mq+4m$ и $k=2mq+2m-1$. Тогда $n-k=2mp+2m+1$. На пространстве $P_{k,n-k}$ действует подгруппа $H=S_{2mq}\times S_{2mp}$ группы $S_k\times S_{n-k}$. При этом $S_{2mq}$ действует на $\overline X=X^{(1)}\cup\dots\cup X^{(q)}$, а $S_{2mp}$ действует на $\overline Y=Y^{(1)}\cup\dots\cup Y^{(p)}$. Соотношение (11) означает, что $\widetilde w (p,q)$ не является тождеством в $L$. Более того, $\varphi(\widetilde w(p,q))\ne 0$ для подстановки, при которой $\varphi(\overline X)\subseteq V_0$, $\varphi(\overline Y)\subseteq(V_1)$, где $V_0=L_0\cap L^{(0)}$, $V_1=L_1\cap L^{(0)}$ – подпространства размерности $2m$. Поэтому из строения симметризаторов Юнга (см. (2)) и кососимметричной структуры $\widetilde w(p,q)$ следует, что в разложении $\mathrm{FH}$-подмодуля в $P_{k,n-k}$, порожденного $\widetilde w(p,q)$, встречаются только неприводимые компоненты с характером $\chi_{\lambda,\mu}$, где
$$
\begin{equation*}
\lambda=(q^{2m})=(\underbrace{q,\dots,q}_{2m}),\qquad \mu=(p^{2m})=(\underbrace{p,\dots,p}_{2m})
\end{equation*}
\notag
$$
– два прямоугольных разбиения. Отсюда следует, что $c_{k,n-k}(L)\geqslant \deg\chi_{\lambda,\mu}=d_\lambda d_\mu$.
Хорошо известно, что размерность неприводимого представления с прямоугольной диаграммой Юнга имеет экспоненциальный порядок, а показателем экспоненты служит высота диаграммы. Например, по лемме 5.10.1 из [20] для $\nu=s^d\vdash N=sd$ при всех достаточно больших $s$ выполняется неравенство при фиксированном $d$. В нашем случае для $k=N+2m-1$, $N=2mq$, мы имеем
$$
\begin{equation*}
d_\lambda>\frac{1}{N^{m(m-1)}}\, (2m)^{k-2m+1}>\frac{1}{n^{m(m-1)}}\, \frac{(2m)^k}{(2m)^{2m-1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation*}
d_\mu>\frac{1}{n^{m(m-1)}}\, \frac{(2m)^{n-k}}{(2m)^{2m+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, мы доказали неравенство для $k=2mq+2m-1$, $n-k=2mp+2m+1$.
Чтобы получить аналогичную нижнюю оценку для $c_{k,n-k}$ при произвольных достаточно больших $k$ и $n-k$, заметим, что
$$
\begin{equation*}
\bigl[\widetilde W^{(p,q)},\underbrace{E_{11},\dots,E_{11}}_r\, \bigr]\ne 0, \qquad \bigl[\widetilde W^{(p,q)},\underbrace{[Y_1,Z_1],\dots,[Y_1,Z_1]}_r\,\bigr]\ne 0
\end{equation*}
\notag
$$
в $L$ при любых $r\geqslant 1$. Следовательно, полином не является градуированным тождеством $L$.
Теперь для любой пары $k,n$ найдутся такие $0\leqslant i,j\leqslant 2m-1$, $p$ и $q$, что $k=k_0+i$, $n=n_0+j$, где $k_0=2mq+2m-1$, $n_0-k_0=2mp+2m+1$. Применяя те же рассуждения к полиному (21), что и к $\widetilde w^{(p,q)}$, мы получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dim P_{k,n-k}(L) &\geqslant d_\lambda d_\mu \geqslant\frac{(2m)^{k_0}}{n_0^{m(m-1)} (2m)^{2m-1}} \, \frac{(2m)^{n_0-k_0}}{n_0^{m(m-1)}(2m)^{2m+1}} \\ &\geqslant \frac{(2m)^{n_0}}{n^{2m(m-1)}(2m)^{4m}}= \frac{(2m)^n}{n^{2m(m-1)}(2m)^{4m+j}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, учитывая (20), мы получаем ограничение
$$
\begin{equation*}
c_{k,n-k}(L)\geqslant \frac{(2m)^n}{n^{2m(m-1)(2m)^{8m}}}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех достаточно больших $k$ и $n-k$. Отсюда получаем неравенство
$$
\begin{equation}
c_n^{\mathrm{gr}}(L) \geqslant \frac{(2m)^n}{n^{2m(m-1)(2m)^{8m}}} \sum_{k=C+1}^{n-C}\binom{n}{k},
\end{equation}
\tag{22}
$$
где $C$ – некоторая константа, зависящая только от $m$. Поскольку сумма биномиальных коэффициентов равна $2^n$, из (22) мы получаем оценку для нижнего предела Лемма 5 доказана. Теперь рассмотрим случай нечетного $t$. Лемма 6. Пусть $t=2m+1$ и $l=s(t)=(S(t),\circ)$. Тогда $\underline{\exp}^{\mathrm{gr}}(L)\geqslant 2t-1=4m+1$. Доказательство в значительной степени повторяет доказательство леммы 5, и мы опустим повторяющиеся детали. Обозначения $A_i^{(p)}$ и $A_i^{(p,q)}$, $1\leqslant i\leqslant m$, остаются прежними. Не меняются также $A_j^{(1)},\dots,A_j^{(q)}$, $m+1\leqslant j\leqslant 2m-1$. Элементы $A_{2m}^{(1)},\dots, A_{2m}^{(q)}$ определяются индуктивно: $A_{2m}^{(1)}=E_{2m,2m+1}^{(1)}, \dots,A_{2m}^{(q)}=[A_{2m}^{(q-1)},E_{2m,2m}^{(q)}]$, а $A_{2m+1}^{(q)}$ – аналогично $A_{2m}^{(q)}$ из леммы 5. В выражении для $W^{(p,q)}$ надо заменить последний фактор $A_{2m}^{(q)}$ на $A_{2m+1}^{(q)}$.
Модифицированный элемент $\widetilde w^{(p,q)}$ зависит от $q$ кососимметричных наборов четных переменных порядка $2m+1$, от $p$ кососимметричных наборов нечетных переменных порядка $2m$ и имеет степень $n=2mp+(2m+1)q+4m+1$. Несколько видоизменяются оценки снизу для $d_\lambda$ и $d_\mu$:
$$
\begin{equation*}
d_\lambda>\frac1{n^{m(2m+1)}}\, \frac{(2m+1)^k}{(2m+1)^{2m}},\qquad d_\mu>\frac1{n^{m(2m+1)}}\, \frac{(2m)^{n-k}}{(2m)^{2m+1}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda=(q^{2m+1})$, $\mu=(p^{2m})$, а также для $c_{k,n-k}(L)$:
$$
\begin{equation*}
c_{k,n-k}(L) \geqslant \frac{(2m+1)^k(2m)^{n-k}}{n^{2m(2m+1)} (2m+1)^{8(m+1)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому оценка для градуированной коразмерности принимает вид
$$
\begin{equation*}
c_n^{\mathrm{gr}}(L) \geqslant \frac1{n^{2m(2m+1)}(2m+1)^{8(m+1)}} \sum_{k=C+1}^{n-C} \binom{n}{k}(2m+1)^k (2m)^{n-k},
\end{equation*}
\notag
$$
из этой оценки также вытекает неравенство Лемма 6 доказана. Непосредственным следствием лемм 5 и 6 и предложения 3 является основной результат статьи. Теорема 1. Пусть $L=(S(t),\ast)$ – супералгебра Ли серии $S(t)$, где $\ast$ – ортогональная или симплектическая инволюция. Тогда градуированная PI-экспонента $L$ существует, причем 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZaiRep24} |
|
||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|