| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Чебышёвские множества, составленные из объединения подпространств в несимметрично нормированных пространствах А. Р. Алимовabc , И. Г. Царьковa a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Английская версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9570e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ работе исследуются свойства чебышёвских множеств, представляющих собой конечное или бесконечное объединение плоскостей, т. е. (замкнутых) аффинных подпространств, возможно, вырожденных в точки. Эта задача будет рассмотрена в линейных пространствах с несимметричной нормой (частным случаем которых являются линейные нормированные пространства). По определению несимметричная норма $\|\,{\cdot}\,|$ на линейном действительном пространстве $X$ удовлетворяет следующим аксиомам: 1) $\|\alpha x|=\alpha\| x|$ для всех $\alpha\geqslant 0$, $x\in X$; 2) $\|x+y|\leqslant \| x |+\| y|$ для всех $x,y\in X$, и 3) $\|x|\geqslant 0$ для всех $x\in X$, $\|x|= 0\Leftrightarrow x=0$. Ниже мы всегда будем предполагать, что объединение плоскостей $M:=\bigcup _{i\in A} L_i$ является неприводимым, т. е. множество $L_j\setminus \bigcup _{i\in A, \, i\ne j} L_i$ всюду плотно в $L_j$ при любом $j\in A$ относительно нормы симметризации $\|x\|_{\mathrm{sym}}=\max\{\|x|, \|{-}x|\}$. Как следствие, если объединение плоскостей $M:=\bigcup _{i\in A} L_i$ неприводимо, то никакая плоскость из объединения не содержит другую. Отметим, что по теореме Бэра неприводимым является не более, чем счетное объединение плоскостей $\bigcup _iL_i$, $L_i\not\subset L_j$, $i\ne j$, в банаховом пространстве. Задача о приближении чебышёвским набором плоскостей рассматривается как в обычных линейных нормированных пространствах, так и в линейных пространствах с несимметричной нормой (см. § 2 ниже). Настоящая работа продолжает и развивает исследования о приближении множествами, составленными из объединения плоскостей, начатые в [1] и [2] в случае обычных линейных нормированных пространств. В настоящее время агрегаты, состоящие из неприводимого объединения плоскостей, активно изучаются и имеют ряд приложений, например, в задачах восстановления сигналов (про которые, к примеру, известно, что они лежат на некотором объединении подпространств) [3], задачах представления сигналов через разреженный набор базовых сигналов (модель “объединения подпространств”) [4], а также в задачах математической экономики и связанных с ней задачах минимизации рангов и задачи минимизации $\ell_0$-нормы [3]. Задачи приближения объединением плоскостей, с одной стороны, связаны с такими объектами приближения, как ридж-функции:
$$
\begin{equation*}
\mathscr R_N:= \biggl\{\sum^N_{k=1}f_k((a_k,x)+c_k) \biggm| x\in \mathbb R^n,\, a_k\in \mathscr A \subset \mathbb R^n, \, c_k\in \mathscr C \subset \mathbb R^n\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $ \mathscr A $ и $ \mathscr C$ – не более, чем счетные множества. Ридж-аппроксимация впервые возникла в математической физике и далее применялась в задачах компьютерной томографии, нейронных сетях, теории обучения, теории жадных алгоритмов и других прикладных и теоретических задачах (см., например, [5]). С другой стороны, приближения объединением плоскостей также связаны с классическими вариантами задачи $n$-членного приближения. Эти задачи рассматривались в работах C. Б. Стечкина, Б. С. Кашина, В. Н. Темлякова, Р. ДеВора, С. В. Конягина, П. Петрушева, Е. Д. Лифшица и многих других (см., например, [6]). При изучении вышеупомянутых задач обычно рассматриваются конечные, счетные и даже континуальные объединения плоскостей. В качестве возможного приложения можно также рассматривать задачи, связанные с приближениями в пространствах $A$-финитно порожденных матриц, в том числе, бесконечных. Именно, мы будем называть матрицу $\mathbf A= (a_{ij})$ $A$-финитной (где $A$ – набор пар индексов), если $a_{ij}=0$ при $(i,j)\notin A$. Матрица называется $A$-финитно порожденной, если она получается из $A$-финитной матрицы произвольной перестановкой конечного числа строк и столбцов. Пусть $X$ – пространство матриц, и пусть $\|\,{\cdot}\,\|$ – норма на $X$ (в качестве такой нормы можно рассматривать нормы Фробениуса, Шаттена, Гротендика, операторной $\ell^p$-нормы и др.). Задача аппроксимации произвольных матриц $A$-финитно порожденными матрицами есть задача приближения не более, чем счетным объединением подпространств в $(X,\|\,{\cdot}\,\|$). Полученные ниже результаты позволяют обобщить ряд известных ранее теорем о чебышёвских множествах (и, в частности, подпространствах) в пространствах матриц (см. [7], [8]). Мы ниже в основном следуем определениям, данным в обзоре [9] и монографии [10]. Основные определения даются в § 2. Определение 1.1. Множество $M\subset X $ называется чебышёвским, если для каждой точки из $X$ существует единственная ближайшая точка из $M$. Чебышёвское множество всегда замкнуто. Чебышёвские множества, представляющие собой не более, чем счетное объединение аппроксимативно компактных множеств, были изучены И. Г. Царьковым [2; § 3] (как правило, в равномерно выпуклых нормированных пространствах). В частности, им получен следующий результат. Теорема 1.A. Пусть $X$ – равномерно выпуклое банахово пространство, $M\subset X$ – чебышёвское множество, являющееся не более, чем счетным объединением аппроксимативно компактных множеств (в частности – плоскостей). Тогда $M$ – чебышёвское солнце. Если дополнительно $X$ – гладкое пространство, то $M$ выпукло. Определение солнца дается ниже в § 6. Замечание 1.1. Отметим, что в теореме 1.A множество $M$ может состоять из объединения континуума плоскостей. Ниже мы рассматриваем в основном не более, чем счетные объединения плоскостей. Это ограничение связано с тем, что даже в гильбертовом пространстве задача исследования чебышёвских множеств, составленных из континуума (или большего числа) плоскостей (и даже прямых), неизбежно приводит к известной нерешенной проблеме выпуклости чебышёвских множеств (в гильбертовом пространстве). Действительно, если в гильбертовом пространстве $H$ существует невыпуклое чебышёвское множество, то в нем существует чебышёвское множество в виде каверны Кли $C$ (т. е. $C$ – дополнение выпуклого открытого ограниченного множества; см. [10; § 6.3]). Положим $G:=X\setminus C$, где будем считать без ограничения общности, что $0\in G$. Рассмотрим пространство $X=H\oplus \mathbb{R}$ (наделив его евклидовой нормой) и определим $N:=\{t(y\,{\oplus}\, \{1\}) \mid y\in G,\, t\in \mathbb{R}\}$. Тогда $M:=X\setminus N$ – чебышёвское множество в $X$, и по построению $M$ составлено из прямых, проходящих через $0$ (причем число таких прямых континуально, если исходное пространство $X$ сепарабельно). Еще один пример чебышёвского множества, являющегося несчетным объединением плоскостей (более точно, дизъюнктным несчетным объединением точек) дается известным примером Кли дискретного чебышёвского множества [10; § 7.4]), который строится в банаховом пространстве $\ell=\ell^1(\Gamma )$, где $|\Gamma|=\omega$ и $\omega$ таково, что $\omega^{\aleph_{0}}=\omega$. В настоящей работе мы частично обобщаем теорему 1.A, рассматривая, как правило, более широкий класс пространств $X$, но за счет ограничения на множество – мы изучаем чебышёвские множества, состоящие из неприводимого (счетного или несчетного) объединения плоскостей $L_j$, т. е. Отметим, что в (1.1) (в отличие от теоремы 1.A) мы не предполагаем, что плоскость $L_n$ обязательно аппроксимативно компактна. Предположение о не более, чем счетности объединения, хотя и не является обременительным, ниже обобщается на более общий случай (см. условие 4.2). Из неприводимости объединения (1.1) вытекает, что ни одна плоскость из объединения (1.1) не содержит другую.Работа построена следующим образом. Основные определения даются в § 2. Также в этом параграфе мы приводим необходимые сведения из теории несимметрично нормированных пространств. В § 3 приводятся две вспомогательные леммы о строении чебышёвских множеств, представляющих собой объединение плоскостей. Эти результаты имеют самостоятельный интерес. В основной теореме 4.1 из § 4 мы показываем, в частности, что если чебышёвское подмножество $M$ вида (1.1) банахова пространства $X$ состоит, по крайней мере, из двух плоскостей, то оно не $B$-связно (т. е. его пересечение с некоторым замкнутым шаром несвязно) и не $\mathring{B}$-полно (см. определение в § 2). В следствии 4.1 мы показываем, что в случае симметризуемых пространств (и, в частности, в нормированном случае) в рефлексивном $(\mathrm{CLUR})$-пространстве множество вида (1.1), состоящее из не менее, чем двух плоскостей, не может быть чебышёвским. Это частично обобщает теорему 1.A и не требует ограничений, связанных с равномерной выпуклостью и гладкостью пространства (как в [2]). Особая ситуация возникает при исследовании чебышёвских множеств, являющихся объединением конечного числа плоскостей. В этом случае согласно теореме 5.1 из § 5 никакое конечное объединение плоскостей (не являющееся одной плоскостью) не является чебышёвским множеством ни для какой (несимметричной) нормы на пространстве. Ряд приложений полученных результатов дается в § 6. § 2. Пространства с несимметричной нормой. Основные определенияНиже, наряду с обычными нормированными пространствами, мы будем рассматривать пространства с несимметричной нормой. Термин несимметричная норма был предложен М. Г. Крейном [11] в 1938 г. Функционал
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{\mathrm{sym}}=\max\{\|x|,\|{-}x|\}, \qquad x\in X,
\end{equation*}
\notag
$$
называемый нормой симметризации, является нормой. Объекты, определяемые относительно нормы симметризации, будут снабжаться индексом $\mathrm{sym}$. К примеру, $B_\mathrm{sym}(x,r):=\{y\mid\|x-y\|_\mathrm{sym}\leqslant r\}$. Несимметрично нормированное пространство $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ называется симметризуемым, если несимметричная норма $\|\,{\cdot}\,|$ эквивалентна норме симметризации, т. е. найдется число $K\geqslant 1$ такое, что
$$
\begin{equation*}
K^{-1}\|x\|_{\mathrm{sym}}\leqslant \|x|\leqslant \|x\|_{\mathrm{sym}} \quad \text{для всех}\quad x\in X.
\end{equation*}
\notag
$$
Топология $\tau$ несимметричного пространства задается предбазой из открытых шаров $\mathring{B}(x,r)=\{z\in X\mid \|y-x|<r\}$. В общем случае такая топология удовлетворяет лишь аксиоме отделимости $T_1$ и может быть нехаусдорфовой. Несимметричные пространства (с естественной $T_1$-топологией $\tau$) мы будем называть просто несимметричными пространствами. По поводу результатов и примеров, связанных с аксиомами отделимости в несимметричных пространствах, см. [12]. Класс несимметричных пространств, являющийся важным и полезным расширением класса линейных нормированных пространств, имеет многочисленные приложения в задачах теории аппроксимации, вариационного исчисления, теоретической информатики и математической экономики. В последнее время теория несимметричных пространств и их приложений получила интенсивное развитие. К примеру, изучаются вопросы, относящиеся к функциональному анализу и топологии, задачи оптимального размещения (location problems) с несимметричными нормами (в задачах такого рода важную роль также играют чебышёвские центры и сети относительно несимметричных норм), а также задачи, связанные со статистическим методом главных компонент (одним из популярных методов компактного представления данных). (По поводу этих и других приложений см., например, [13], [14; § 2].) В геометрической теории приближений несимметричные нормы возникают в ряде задач (см., например, [15]–[20]). Ниже $\mathring{B}(x,r)=\{y\in X \mid \|y-x| < r\}$ – открытый шар с центром $x$ и радиусом $r$; $B(x,r)=\{y\in X \mid \|y-x|\leqslant r\}$ – “замкнутый” шар1 с центром $x$ и радиусом $r$; $S(x,r) =\{y\in X \mid \|y-x|=r\}$ – сфера с центром $x$ и радиусом $r$. В частном случае мы полагаем $B:=B(0,1)$ – единичный шар, $S=S(0,1)$ – единичная сфера. Замечание 2.1. Множество $N$ в несимметричном пространстве $X$ (лево) замкнуто (относительно топологии $\tau$), если из условий $(y_n)\subset N$, $\|y_n - y|\to 0$, $n\to\infty$, вытекает, что $y\in N$. Определение 2.1. Множество $N\subset X=(X,{\|\cdot|})$ называется право-замкнутым, если из условий $(y_n)\subset N$, $\|y-y_n|\to 0$, $n\to\infty$, вытекает, что $y\in N$. Замечание 2.2. Шар $B(0,1)$ несимметричного пространства $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ замкнут относительно правой сходимости (относительно топологии, порожденной левыми открытыми шарами), т. е. если из условий $(y_n)\subset B(0,1)$, $\|y-y_n|\to 0$, $n\to\infty$, вытекает, что $y\in B(0,1)$. Пусть $\varnothing \ne M\subset X$. Расстояние от точки $x\in X$ до множества $M$ определяется следующим образом: В случае симметризуемого пространства функция расстояния $\rho(\,{\cdot}\,,M)$ непрерывна, однако в общем случае она лишь полунепрерывна снизу (см. [21; с. 146]). Множество ближайших точек из $M$ для заданного $x$ обозначается $P_Mx$. Иными словами,Определение 2.2. Множество $M$ $B$-связно, если его пересечение с любым замкнутым шаром $B(x,r)$ связно; множество $M$ $\mathring{B}$-связно, если его пересечение с любым открытым шаром $\mathring{B}(x,r)$ связно. Определение 2.3 (см. [13]). Последовательность $(x_n)\subset X$ называется последовательностью Коши, если для любого $\varepsilon>0$ существует $N\in \mathbb{N}$ такое, что $\|x_m-x_n|< \varepsilon$ для всех $m\geqslant n\geqslant N$. Несимметричное пространство $X=(X,\|\cdot|)$ называется право-полным (лево-полным), если для любой последовательности Коши $(x_n) \subset X$ существует точка $x\in X$ такая, что $\|x-x_n|\to 0$ $(\|x_n-x|\to 0)$ при $n\to\infty$. Определение 2.4. Множество $M$ называется $\mathring{B}$-полным2 (см. [22], [17]), если для любых $x\in X$ и $r>0$ § 3. Вспомогательные результатыНам потребуется следующий вспомогательный результат о линейности и положительной однородности метрической проекции вдоль подпространства (по поводу утверждения в нормированном случае см., например, [10; предложение 1.6]). Предложение 3.1. Пусть $L$ – (замкнутое) подпространство линейного несимметрично нормированного пространства $X$. Тогда оператор метрической проекции положительно однороден и линеен вдоль $L$: При этом, если $P_Lx=\varnothing$, то $\lambda P_L(x)+y=\varnothing$. Доказательство. Пусть $x\in X$, $y\in L$, $\lambda>0$. Имеем (в предпоследнем равенстве мы воспользовались тем, что $L$ – подпространство).
При $\lambda=0$ утверждение тривиально. Пусть $\lambda >0$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &z \in P_M(\lambda x+y)\quad \Longleftrightarrow\quad \|z-(\lambda x+y)|= \rho(\lambda x+y,L) \\ &\qquad\Longleftrightarrow \quad \lambda \biggl\| \biggl(\frac {z-y}\lambda\biggr)-x\biggr| \stackrel{(3.1)}{=} \lambda \rho(x,L) \quad \Longleftrightarrow\quad \biggl\| \biggl( \frac {z-y}\lambda\biggr)-x\biggr| = \rho(x,L) \\ &\qquad\Longleftrightarrow\quad \frac{z-y}\lambda \in P_Lx \quad \Longleftrightarrow \quad z\in \lambda P_Lx + y. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ниже мы всегда считаем, что счетное множество бесконечно. Следующие два важных вспомогательных результата нам потребуются при доказательстве основной теоремы 4.1. Лемма 3.1. Пусть $X$ – лево-полное несимметрично нормированное пространство, и пусть $M :=\bigcup_{i\in \mathbb{N}}L_i$ – чебышёвское множество, являющееся неприводимым объединением счетного числа плоскостей $L_i$ в $X$. Далее, пусть $\varnothing\ne U\subset X$ открыто, $U\cap M \ne \varnothing$, и пусть $A:=\{i \in \mathbb{N}\mid L_i\cap U\ne \varnothing\}$. Тогда 1) если $A$ конечно, то любая плоскость $L_i$, $i\in A$, является чебышёвской; 2) если $A$ счетно, то найдется сколь угодно большой номер $i_0\in A$ такой, что Доказательство. Пусть $A=\{n_1,\dots, n_\nu\}$, где число $n_\nu$ конечно или бесконечно. Предположим, что найдется точка $x_1\in L_{n_1}\cap U$ такая, что некоторая ее окрестность $\mathscr O (x_1)\subset U$ точки $x_1$ пересекает только конечное число плоскостей $L_i$, $i\geqslant n_1$, $i\in A$. При необходимости гомотетично уменьшая окрестность $\mathscr O (x_1)$ и сдвигая на малое расстояние точку $x_1$ в плоскости $L_{n_1}$, можно считать, что
$$
\begin{equation}
\mathscr O (x_1) \text{ не пересекается ни с какой плоскостью } L_i, \qquad i\in A\setminus\{ n_1\}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
При некотором $r>0$ имеем $\mathring{B}(x_1,2r)\subset \mathscr O (x_1)$. Ясно, что $\mathring{B}_\mathrm{sym} (x_1,r)\subset \mathring{B}(x_1,r)\subset \mathring{B}(x_1,2r)$. Применяя неравенство треугольника, имеем, что для любой точки из шара $\mathring{B}_{\mathrm{sym} }(x_1,r)$ ее (единственная) ближайшая точка из $M$ лежит в $L_{n_1}$. Отсюда, применяя предложение 3.1, получаем, что $L_{n_1}$ – чебышёвская плоскость. Аналогичные рассуждения показывают, что в случае конечного $A$ любая плоскость $L_{n_2}, \dots, L_{n_\nu}$ является чебышёвской.
Далее считаем, что $A$ бесконечно. C учетом сказанного выше, утверждение леммы 3.1 в случае 2) будет доказано, если для любого $N$ мы найдем номер $i_N\in A$, $i_N>N$, и точку $x_N\in L_{n_N}\cap U$ такую, что ее некоторая окрестность $\mathscr O (x_N)$ пересекается лишь с конечным числом плоскостей $L_{n_i}$, $i\ne N$. Соответственно, если такое предположение неверно, то найдется номер $\mu$ такой, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \forall m\geqslant \mu \ \forall x\in L_{n_m}\cap U \ \text{любая окрестность } \ \mathscr O (x)\subset U \ \text{точки } \ x
\\
&\text{пересекается с бесконечным числом плоскостей }\ L_{n_i},\ i\ne m.
\end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Пусть далее $N_1>\mu$, $N_1\in A$, $x_0\in L_{N_1}\cap U $ произвольны, и пусть $\mathscr O (x_0)\subset U$ – окрестность точки $x_0$. По условию неприводимости множество $L_{N_1} \setminus \bigcup _{i\ne N_1}L_i$ плотно в $L_{N_1}$. Поэтому найдется точка $s_1 \in L_{N_1}\cap \mathscr O (x_0)$ такая, что $s_1\notin L_i$, $i\ne N_1$. При этом в соответствии с (3.4) можно выбрать $\varepsilon_1>0$ такое, что $\mathring{B}(s_1,3\varepsilon_1)\subset \mathscr O (x_0)$ и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \text{шар $\mathring{B}(s_1,3\varepsilon_1)$ пересекается с бесконечным числом плоскостей $L_i$, $i > N_1$, $i\in A$,}
\\
&\text{и не пересекается ни с какой из плоскостей $L_1, \dots, L_{N_1-1}$.}
\end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Аналогично, для любого сколь угодно большого $N_2 >N_1$, для любой плоскости $L_{N_2}$, $N_2>N_2$, $N_2\in A$, $L_{N_2}\cap \mathring{B}(s_1,3\varepsilon_1)\ne \varnothing$, и произвольной точки $x_1\in L_{N_2}\cap \mathring{B}(s_1,\varepsilon_1)$, пользуясь неприводимостью и (3.5), находим точку $s_2\in L_{N_2}$ и число $\varepsilon_2>0$ такие, что $s_2\notin L_i$ при любом $i\ne N_2$, $\mathring{B}(s_2,3\varepsilon_2)\subset \mathring{B}(s_1,\varepsilon_1)$ и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \text{шар $\mathring{B}(s_2,3\varepsilon_2)$ пересекается с бесконечным числом плоскостей $L_i$, $i> N_2$,}
\\
&\text{и не пересекается с любой из плоскостей $L_1, \dots, L_{N_2-1}$.}
\end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Далее рассуждаем по индукции. Пусть выбраны точка $s_k$ и число $N_k >N_{k-1}$, $N_k\in A$. Рассуждая, как и выше, находим точку $s_{k+1}\in L_{N_{k+1}}\cap \mathring{B}(s_k,\varepsilon_k)$ и шар $\mathring{B}(s_{k+1},3\varepsilon_{k+1})\subset \mathring{B}(s_k,\varepsilon _k)$ такие, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \text{шар $\mathring{B}(s_{k+1},3\varepsilon_{k+1})$ пересекается с бесконечным числом плоскостей $L_i$, $i> N_{k+1}$,}
\\
&\text{и не пересекается с любой из плоскостей $L_1, \dots, L_{N_{k+1}-1}$.}
\end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
В итоге мы получаем последовательность $(s_k)$ такую, что $\|s_m-s_{m-1}| < 3^{2-m}\varepsilon_1$ для любого $m$. В силу левой полноты пространства найдется точка $s$ такая, что $\|s_k-s|\to 0$ при этом $s\in \mathring{B}(s_m, 3\varepsilon_m)$ для любого $m$. Так как $M$ замкнуто и $s_k\in M$ для любого $k\in\mathbb{N}$, то $s\in M$. Однако из построения следует, что $s$ не лежит ни в какой из плоскостей $L_i$, что противоречит замкнутости множества $M$. Лемма 3.1 доказана. Замечание 3.1. Для случая право-полных пространств аналог леммы 3.1 формулируется и доказывается аналогичным образом при естественном дополнительном предположении, что $M$ право-замкнуто. (В лемме 3.1 левая замкнутость множества гарантируется его чебышёвостью.) Мы опускаем формулировку и доказательство соответствующего результата. Лемма 3.2. Рассмотрим два случая. 1. Пусть $X$ – лево-полное несимметрично нормированное пространство, в котором единичный шар $B(0,1)$ замкнут, и пусть $M :=\bigcup_{i\in \mathbb{N}}L_i$ – чебышёвское множество, являющееся неприводимым объединением счетного числа плоскостей $L_i$ в $X$. 2. Пусть $X$ – право-полное несимметрично нормированное пространство, и пусть $M :=\bigcup_{i\in \mathbb{N}}L_i$ – право-замкнутое чебышёвское множество, являющееся неприводимым объединением счетного числа плоскостей $L_i$ в $X$. В каждом из случаев 1, 2 найдутся чебышёвская плоскость $L_{j_0}$ и шар $B(x',r')$, являющийся опорным к этой плоскости в некоторой точке $s'\in L_{j_0}$, такие, что 1) $\mathring{B}(x',r')\cap M \ne\varnothing$; 2) $s'$ – изолированная точка пересечения $B(x',r')\cap M $. Как следствие, множество $M$ не $\mathring{B}$-полно и не $B$-связно (т.e. пересечение $M$ c некоторым замкнутым шаром несвязно). Замечание 3.2. Пусть $L_i$, $L_j$ – замкнутые плоскости. Предположим, что Замечание 3.3. Назовем плоскость $L$ регулярной, если для любой точки $x\notin M$ найдутся непересекающиеся окрестности точки $x$ и плоскости $L$. В п. 1 леммы 3.2 вместо замкнутости единичного шара можно предполагать, что любая из плоскостей $L_i$, составляющих множество $M$, регулярна. Замечание 3.4. Если в условиях леммы 3.2 чебышёвское множество $M $ является неприводимым объединением конечного числа плоскостей $L_i$, $i=1,\dots, N$, $N> 1$, то выполнены утверждения 1), 2) леммы 3.2 без предположения о полноте пространства. Доказательство леммы 3.2. Ниже, рассуждая от противного, мы дважды применим замечание 3.2 и, используя предельный переход, построим точку из $M$, не лежащую ни в одной из плоскостей $L_i$, составляющих множество $M$, получая, таким образом, противоречие.
Итак, рассуждая от противного, считаем, что По лемме 3.1 найдется чебышёвская плоскость $L_{n_0}$ из семейства $\{L_i \mid i\in \mathbb{N}\}$, составляющего множество $M$.Выберем точку $v\in M\setminus L_{n_0}$ (это можно сделать, поскольку $M$ является неприводимым объединением плоскостей). Пусть $u$ – единственная ближайшая точка из чебышёвской плоскости $L_{n_0}$ для $v$. Пусть $r:=\|u-v|$. Ясно, что $\mathring{B}(v,r)\cap (M\setminus L_{n_0}) \ne\varnothing$. По замечанию 3.2 мы можем найти точку $s\in L_{n_0}\setminus \bigcup_{m\neq n_0}L_m$ (т. е. $s\notin M\setminus L_{n_0}$ ), сколь угодно близкую к точке $u$ по норме $\|\,{\cdot}\,\|_{\mathrm{sym}}$, и при этом
$$
\begin{equation}
\mathring{B}(w,r)\cap (M\setminus L_{n_0})\ne \varnothing, \quad \text{где } \ w:= v+s-u.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
В силу линейности оператора метрической проекции вдоль $L_{n_0}$ (предложение 3.1)
$$
\begin{equation}
s\ -\ \text{единственная ближайшая точка из чебышёвской плоскости }L_{n_0}\text{ для }w.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Определим
$$
\begin{equation*}
\alpha_0:=\inf\{\alpha\mid \mathring{B}(w_\alpha,\alpha r)\cap (M\setminus L_{n_0})\neq\varnothing\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $w_\alpha := \alpha w + (1-\alpha )s $. Из (3.10) имеем $\alpha _0 <1$, при этом $\alpha_0>0$ по (3.11).
База индукции. Положим $s_0:=s$, $x_0:=w_{\alpha _0}$, $r_0 :=\alpha _0 r$, и, далее, для $0<\varepsilon_0<(r-r_0)/10=(1-\alpha_0)r/10$, определим $\widehat{x}_0 = w_{\alpha_0 + \varepsilon_0}$, $\widehat{r}_0=r_0+\varepsilon_0$. Здесь мы считаем, что число $\varepsilon_0$ настолько мало, что пересечение $\mathring{B}(s_0,\varepsilon_0)\cap L_j$ непусто только при $j>n_0$. Определим
$$
\begin{equation}
T^0_{\varepsilon_0}:= \bigl(\mathring{B}(\widehat{x}_0,\widehat{r}_0)\setminus B(x_0,r_0)\bigr)\cap \mathring{B}\biggl(s_0, \frac{\varepsilon_0}{10^2}\biggr) .
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Покажем, что множество Действительно, если бы $T^0_{\varepsilon_0}$ было пустым, то множество $D^0:=(B(\widehat{x}_0,\widehat{r}_0)\setminus B(x_0,r_0))\cap \mathring{B}(s_0,\varepsilon_0/10^2)$ также было бы пустым, поскольку иначе нашлась бы точка $y\in D^0$ такая, что $y\in {B}(\widehat{x}_0,\widehat{r}_0)$, $r_0<\|y-x_0|$ и $\|y-s_0|<\varepsilon_0/10^2$. Поэтому также нашлась бы точка $y_0\in \mathring{B}(\widehat{x}_0,\widehat{r}_0)$, достаточно близкая к $y$ и такая, что $r_0<\|y-x_0|$ и $\|y-s_0|<\varepsilon_0/10^2$. Но тогда $y_0\in T^0_{\varepsilon_0}$, что противоречило бы предположению $T^0_{\varepsilon_0}=\varnothing$. Итак, $D^0=\varnothing$. Отметим, что в этом случае шар $B(x_0,r_0)$ не является одноточечным, и его внутренность не пересекает $M\setminus L_{n_0}$ (по определению числа $\alpha_0)$. Так как $M$ – чебышёвское множество, то $M\cap B(x_0,r_0) = \{s\}=\{s_0\}$. Следовательно, шар $B(\widehat{x}_0,\widehat{r}_0)$ пересекает множество $M\setminus L_{n_0}$, ($\mathring{B}(\widehat{x}_0,\widehat{r}_0)\cap M\ne \varnothing$), при этом $s_0=s\in L_{n_0}$ – изолированная точка пересечения $M\cap B(\widehat{x}_0,\widehat{r}_0)$. Но это невозможно, поскольку в силу предположения (3.9) множество $M$ $B$-связно. Таким образом, $T^0_{\varepsilon_0}$ непусто, т. е. (3.13) выполнено.
Отметим также, что $B$-связность множества $M$ также влечет, что множество $T^0_{\varepsilon_0}$ пересекается с бесконечным числом плоскостей $L_i$ с номерами $i>n_0$ из некоторого счетного индексного множества $A_1 \subset \mathbb{N}\setminus\{1,\dots, n_0\}$. Тогда, применяя лемму 3.1, найдем чебышёвскую плоскость $L_{n_1}$, $n_1>n_0$, из семейства $\{L_i \mid i\in A_1\}$ такую, что $L_{n_1}\cap T^0_{\varepsilon_0}\ne\varnothing$. Пусть $t_1\in L_{n_1}$ — ближайшая точка из чебышёвской плоскости $L_{n_1}$ для точки $s_0$. Тогда $\|s_1-s_0|\leqslant \varepsilon_0/10^2$ в силу (3.12). Как и выше, пользуясь замечанием 3.2, найдем точку $s_1\in L_{n_1}$, достаточно близкую к точке $t_1$ (скажем, $\|t_1-s_1\|_\mathrm{sym}<\varepsilon_0/10^3$), такую, что $s_1\in L_{n_1}\setminus \bigcup_{m\neq n_1}L_m$ и
$$
\begin{equation}
\mathring{B}(w_1,r^1)\cap (M\setminus L_{n_1})\ne \varnothing, \quad \text{где } \ w_1:= s_0+t_1-s_1, \ \ r^1:=\|t_1-s_0|.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Из построения имеем $\|s_1-s_0| < (2/10^2)\varepsilon_0$.
Пусть, как и выше,
$$
\begin{equation*}
\alpha ^1_0:=\inf \{\alpha \in [0,1] \mid \mathring{B}(w_\alpha, \alpha r^1)\cap (M\setminus L_{n_1})\ne \varnothing\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $w_\alpha := \alpha w _1 + (1-\alpha )s_1$. В силу замкнутости множества $M$ и замечания 3.2 число $\alpha_0$ положительно. Выберем достаточно малое $0<\varepsilon_1<\varepsilon_0/10^2$, что шар $\mathring{B}(s_1,\varepsilon_1)$ пересекает плоскости $L_j$ только с номерами $j>n_1$ и $\varepsilon_1<(r^1-r_1)/10$, где $r_1:=\alpha^1_0 r^1$.
Положим $\widehat{x} _1 = w_{\alpha ^1_0 + \varepsilon_1}$, $\widehat{r}_1=r_1+\varepsilon_1$, $x_1:=w_{\alpha ^1_0}$, и определим
$$
\begin{equation}
T^1_{\varepsilon_1}:= \bigl(\mathring{B}(\widehat{x}_1, \widehat r_1)\setminus B(x_1,r_1)\bigr)\cap \mathring{B}\biggl(s_1, \frac{\varepsilon_1}{10^2}\biggr) .
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Аналогично (3.13) показывается, что множество $T^1_{\varepsilon_1}$ непусто и пересекает бесконечно много плоскостей $L_i$, $i\in A_2$, где множество $A_2\subset \mathbb{N}$ счетно, $i> n_1$ (отметим, что множество $A_2$ не может быть конечным, так как $M$ $B$-связно, и тогда пересечение $B(x_1,r_1)\cap M$ содержало бы изолированную точку $s_1$). По лемме 3.1 существует чебышёвская плоскость $L_{n_2}$, $n_1>n_1$, из семейства $\{L_i \mid i\in A_2\}$ такая, что $L_{n_2}\cap T^1_{\varepsilon_1}\ne\varnothing$.
Предположим, что, рассуждая, как и выше, мы построили соответствующие чебышёвские плоскости $L_{n_0},\dots, L_{n_{k-1}}$, $n_0<n_1< \dots < n_{k-1}$, точки $s_0, \dots, s_{k-1}$ из этих плоскостей, множества $T^j_{\varepsilon_j}$, $A_j$, $j=0, \dots, k-1$, точки $x_0,\dots, x_{k-1}$, $\widehat{x}_0,\dots, \widehat{x}_{k-1}$ и числа $\varepsilon_0, \dots, \varepsilon_{k-1}$. По построению
$$
\begin{equation}
\|s_j -s_{j-1}| \leqslant \frac2{10^2} \varepsilon_{j-1} ,\qquad 1\leqslant j < k-1.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Оценка (3.16) влечет, что шары $B(s_j,\varepsilon_j)$ вложены.
Положим
$$
\begin{equation}
T^k_{\varepsilon_k}:= (\mathring{B}(\widehat{x}_k,\widehat{r}_k)\setminus B(x_k,r_k))\cap \mathring{B}\biggl(s_k, \frac{\varepsilon_{k-1}}{10^2}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Это множество непусто и, поскольку $M$ $B$-связно, то $ T^k_{\varepsilon_k}$ пересекает бесконечно много плоскостей $L_i$, $i\in A_k$, где $A_k\subset \mathbb{N}$ счетно, $i\ne n_0, \dots, n_{k-1}$. Далее выберем достаточно малое $0<\varepsilon_k<\varepsilon_{k-1}/10^2$, так что шар $B(s_k,\varepsilon_k)$ пересекает плоскости $L_j$ только с индексами $j>n_k$. По лемме 3.1 существует чебышёвская плоскость $L_{n_k}$, $n_k>n_{k-1}$, из семейства $\{L_i \mid i\in A_k\}$ такая, что $L_{n_k}\cap T^k_{\varepsilon_k}\ne\varnothing$.
Пусть, как и выше, $t_k\in L_{n_k}$ — ближайшая точка из чебышёвской плоскости $L_{n_k}$ для точки $s_{k-1}$. Тогда $\|t_k-s_{k-1}|\leqslant \varepsilon_k/10^2$ в силу (3.17). Как и выше, пользуясь замечанием 3.2, найдем точку $s_k\in L_{n_k}$, достаточно близкую к точке $t_k$ (скажем, $\|t_k-s_k\|_\mathrm{sym}<\varepsilon_k/10^3$), такую, что $s_k\in L_{n_k}\setminus \bigcup_{m\neq n_k}L_m$ и
$$
\begin{equation}
\mathring{B}(w_k,r_k)\cap (M\setminus L_{n_k})\ne \varnothing, \quad \text{где } \ w_k:= s_{k-1}-t_k-s_k.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
По неравенству треугольника $\|s_k-s_{k-1}| < (2/10^2)\varepsilon_{k-1}$. В итоге последовательность $(s_k)$ строится по индукции. Ввиду (3.16) и так как по условию пространство лево-полно, найдется точка $s$ такая, что $\|s_k-s|\to 0$, при этом $s\in M$, так как $M$ замкнуто. При этом $s\in B(s_k,\varepsilon_k)$ для всех $k$, поскольку шар $B(0,1)$ по предположению замкнут, а так как шары $B(s_k,\varepsilon_k)$ вложены, то $s\in \bigcap _k B(s_k,\varepsilon_k)$. Однако по построению шаров $B(s_k,\varepsilon_k)$ точка $s$ не лежит ни в одной из плоскостей $L_i$, т. е. $s\notin M$. Полученное противоречие показывает, что процесс построения точек $s_k$ не может быть бесконечным и, следовательно, он прерывается на некотором шаге $m$. Как следствие, в этом случае $M$ не $B$-связно (см. замечание 3.4), что противоречит начальному предположению (3.9).
Пусть теперь пространство $X$ право-полно и множество $M$ право-замкнуто (случай 2 леммы). Известно, что единичный шар $B(0,1)$ право-замкнут. В силу правой полноты найдется точка $s$ такая, что $\|s-s_k|\to 0$, при этом $s\in M$, так как $M$ право-замкнуто. Однако по построению $s$ не лежит ни в одной из плоскостей $L_i$. Полученное противоречие показывает, что процесс построения точек $s_k$ не может быть бесконечным и, следовательно, он прерывается на некотором шаге $m$. Как следствие, в этом случае $M$ не $B$-связно (см. замечание 3.4), что противоречит начальному предположению (3.9). В этом случае найдется шар $B(x,r)$, опирающийся на чебышёвскую плоскость $L_{n_m}$ в единственной точке $s_m$, $\mathring{B}(x,r)\cap M\ne\varnothing$, при этом $s_m$ – изолированная точка пересечения $B(x,r)\cap M$. Отсутствие $\mathring{B}$-полноты множества $M$ (см. (2.1)) очевидно из пп. 1, 2 леммы. Из доказательства леммы видно,что предположение (3.9) можно заменить на более слабое предположение, являющееся отрицанием следующего условия:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \text{существуют чебышёвская плоскость $L_{k_0}$ и шар $B(x',r')$, }
\\
& \text{опорный к этой плоскости в изолированной точке $a \in L_{k_0}\subset M$ пересечения $M\cap B(x',r')$,}\\
& \text{такие, что $\mathring{B}(x',r')\cap M\ne \varnothing$.}
\end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
В этом случае противоречие получается из аналогичных рассуждений. Лемма 3.2 доказана. § 4. Основная теоремаНапомним несколько определений. Определение 4.1. Множество $M$ называется право-аппроксимативно (лево-аппроксимативно) компактным, если из условий $(y_n)\subset M$, $\|y_n-x|\to \rho (x,M)$ (соответственно $\|x-y_n|\to \rho ^-(x,M)$) следует, что найдется подпоследовательность $(y_{n_k})$, лево-сходящаяся к точке $\widehat y\in M$, т. е. $\|y_{n_k}-\widehat y|\to 0$. Соответствующая точка $x$ называется точкой правой (левой) аппроксимативной компактности для $M$. Замечание 4.1. Если $x$ – точка правой аппроксимативной компактности для $M$, то точка $\widehat y$ из определения 4.1 может не быть ближайшей точкой из $M$ для $x$ (такой случай $\widehat y\notin P_Mx$, конечно, невозможен в симметризуемом случае). См. также замечание 4.2 ниже. Соответственно, для исключения “неправильного” случая $\widehat y\notin P_Mx$, где $x\in \operatorname{AC}(M)$, мы вводим следующее определение. Определение 4.2. Множество $M$ называется регулярно право-аппроксимативно компактным, если из условий $(y_n)\,{\subset}\, M$, $\|y_n- x|\to\rho (x,M)$, вытекает, что найдутся точка $\widehat y \in P_Mx$ и подпоследовательность $(y_{n_k})$, сходящаяся к точке $\widehat y$, т. е. $\|y_{n_k}-\widehat y|\to 0$. Соответствующая точка $x$ называется точкой регулярной правой-аппроксимативной компактности. Множество $M\subset X$ называется регулярно лево-аппроксимативно компактным, если из условий $(y_n)\subset M$, $\|x-y_n|\to \rho ^-(x,M)$, вытекает, что найдутся точка $\widehat y \in P_M^-x$ и подпоследовательность $(y_{n_k})$, лево-сходящаяся к точке $\widehat y$, т. е. $\|y_{n_k}-\widehat y|\to 0$. Замечание 4.2. Если $x$ – точка левой аппроксимативной компактности для $M$, то включение $\widehat y\in P_M^-x$ всегда выполнено. Как следствие, лево-аппроксимативно компактное множество необходимо регулярно лево-аппроксимативно компактно. Замечание 4.3. Легко проверяется, что если шар $B(0,1)$ пространства $X$ замкнут3, то в $X$ Определение 4.3. Замкнутое множество $M\ne\varnothing$ называется унимодальным (или $\mathrm{LG}$-множеством; см., например, [9; § 3.3]), если для любого $x\notin M$ каждый локальный минимум функции $\Phi_x(y)=\|y-x|$, $y\in M$, является глобальным. Иными словами, замкнутое множество $M$ унимодально, если $y\in P_Mx$ при условии, что $y\in P_{M\cap V}x$, где $V:=B(y,\varepsilon)$. Замечание 4.4. В несимметричном пространстве класс унимодальных множеств совпадает с классом замкнутых $\mathring{B}$-полных множеств (см. [17; теорема 8]). Теорема 4.1. Рассмотрим два условия. 1. Пусть $X$ – лево-полное несимметрично нормированное пространство, в котором единичный шар $B(0,1)$ замкнут, и $M :=\bigcup_{i\in \mathbb{N}}L_i$ – неприводимое объединение счетного числа плоскостей $L_i$ в $X$. 2. Пусть $X$ – право-полное несимметрично нормированное пространство, и $M :=\bigcup_{i\in \mathbb{N}}L_i$ – право-замкнутое множество, являющееся неприводимым объединением счетного числа плоскостей $L_i$ в $X$. Пусть, далее, выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1) $M$ $B$-связно; 2) $M$ $\mathring{B}$-полно; 3) $M$ право регулярно аппроксимативно компактно; 4) $M$ унимодально. Тогда $M$ не является чебышёвским множеством в $X$. Замечание 4.5. В п. 1 теоремы 4.1 условие замкнутости единичного шара $B(0,1)$ можно заменить на следующее дополнительное требование на множество $M$: метрическая функция $\rho(\,{\cdot}\,,M)$ непрерывна. Также условие замкнутости шара можно ослабить следующим образом: если последовательность из $B(0,1)$ сходится, то один из ее пределов принадлежит шару. Доказательство теоремы 4.1. Утверждение теоремы в условиях пп. 1), 2) доказано в лемме 3.2. Утверждение в случае 4) вытекает из доказанного в п. 2) с учетом замечания 4.4. Пусть выполнено условие 3). По лемме 3.2 найдутся чебышёвская плоскость $L_{j_0}$ и опорный шар $B(x',r')$ к ней в некоторой точке $s'\in L_{j_0}$ такие, что $\mathring{B}(x',r')\cap M \ne\varnothing$, и $s'$ – изолированная точка пересечения $B(x',r')\cap M $. Без ограничения общности считаем, что $s'=0$, $\|x'\|=1$. Положим
$$
\begin{equation*}
\gamma := \inf \{\alpha >0 \mid \mathring{B}(\alpha x',\alpha )\cap M \ne\varnothing\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $0$ – изолированная точка пересечения $B(x',r')\cap M $, то $\gamma >0$. Имеем $\mathring{B}(x_\gamma, \gamma )\cap M=\varnothing$, 0 – ближайшая точка из $M$ для $x_\gamma$, при этом в силу определения числа $\gamma$ найдется минимизирующая последовательность $(y_n)$ из $M$ для точки $x_\gamma $, при этом $(y_n)\not\subset L_{j_0}$. Так как $M$ право-регулярно аппроксимативно компактно, найдется подпоследовательность $(y_{n_k})$, сходящаяся к некоторой точке $y'$ из $M$. Так как $0$ – изолированная точка пересечения $B(x',r')\cap M $, то $y'\ne 0$. В итоге для точки $x_\gamma$ имеются две ближайшие точки из $M$: $0$ и $y'$, что противоречит чебышёвости множества $M$. Теорема 4.1 доказана. Определение 4.4. Пусть $X$ – симметризуемое несимметричное пространство. Мы говорим, что $X\in (\mathrm{CLUR})$, если из соотношений $x\in S$, $y_n\in S$, $\|x+y_n|\to 2$ следует существование сходящейся подпоследовательности у последовательности $(y_n)$. Отметим, что рефлексивное $(\mathrm{CLUR})$-пространство является пространством Ефимова–Стечкина (см., например, [9; § 2], [24], [25]). Следствие 4.1. Пусть $X$ – симметризуемое несимметричное пространство, и $M :=\bigcup_{i\in \mathbb{N}}L_i$ – неприводимое объединение не более, чем счетного числа плоскостей $L_i$ в $X$. Пусть, далее, выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1) $M$ $B$-связно; 2) $M$ $\mathring{B}$-полно; 3) $M$ право-аппроксимативно (лево-аппроксимативно) компактно; 4) $X$ – рефлексивное $ (\mathrm{CLUR})$-пространство; 5) $M$ унимодально. Тогда $M$ не является чебышёвским множеством в $X$. Доказательство. Пусть теперь выполнено условие 4). Согласно лемме 8 из [26] в $(\mathrm{CLUR})$-пространствах свойства $\mathring{B}$- и $B$-связности эквивалентны для замкнутых множеств. Рефлексивное $(\mathrm{CLUR})$-пространство является пространством Ефимова–Стечкина (см., например, [9; § 2]), а в пространствах Ефимова–Стечкина любое чебышёвское множество $\mathring{B}$-связно (см., например, [9; теорема 5.2]). Замечание 4.6. В следствии 4.1 дается следующий частичный ответ на известную проблему Ефимова–Стечкина–Кли о выпуклости чебышёвских множеств: а именно, в гильбертовом пространстве (и, более общо, в симметризуемом $ (\mathrm{CLUR})$-пространстве) не более, чем счетное объединение плоскостей является чебышёвским множеством, если и только если это объединение само является чебышёвской плоскостью. Дадим несколько комментариев по поводу обобщений полученных выше результатов на случай не обязательно счетного объединения подпространств. Для множества, представляющего собой не обязательно счетное или конечное объединение плоскостей, ($L_\alpha $ – плоскость) рассмотрим следующее условие:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \text{любая плоскость из объединения (4.1)}\\
&\text{содержит всюду плотное (относительно нормы симметризации)}
\\
& \text{подмножество точек, каждая из которых имеет окрестность,}
\\
&\text{пересекающуюся с не более, чем счетным подмножеством плоскостей}
\\
& \text{и при этом пересечения этих окрестностей с данной плоскостью}
\\
&\text{не содержатся в объединении других плоскостей.}
\end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Нетрудно видеть, что при выполнении условия (4.2) можно распространить утверждения лемм 3.1 и 3.2 на случай, когда множество $M$ представляет собой не обязательно счетное или конечное объединение плоскостей (см. (4.1)). Таким образом, мы получаем следующее утверждение. Теорема 4.2. Рассмотрим два условия. 1. Пусть $X$ – лево-полное несимметрично нормированное пространство, в котором единичный шар $B(0,1)$ замкнут, и $M $ – неприводимое объединение произвольного числа плоскостей (4.1). 2. Пусть $X$ – право-полное несимметрично нормированное пространство, и $M $ – право-замкнутое множество (4.1), являющееся неприводимым объединением произвольного числа плоскостей. Пусть, далее, выполнено условие (4.2) и хотя бы одно из следующих условий: 1) $M$ $B$-связно; 2) $M$ $\mathring{B}$-полно; 3) $M$ право регулярно аппроксимативно компактно; 4) $M$ унимодально. Тогда $M$ не является чебышёвским множеством в $X$. Замечание 4.7. Как и выше (см. замечание 4.3), условие замкнутости единичного шара $B(0,1)$ в п. 1 теоремы 4.2 можно заменить на требование непрерывности метрической функции $\rho(\,{\cdot}\,,M)$ на множество $M$. Следствие 4.2. Пусть $X$ – полное симметризуемое несимметричное пространство, $M \subset X$ – неприводимое объединение плоскостей (4.1), и пусть, далее, выполнено условие (4.2) и хотя бы одно из следующих условий: 1) $M$ $B$-связно; 2) $M$ $\mathring{B}$-полно; 3) $M$ право регулярно аппроксимативно компактно; 4) $M$ унимодально; 5) $X$ – рефлексивное $ (\mathrm{CLUR})$-пространство; Тогда $M$ не является чебышёвским множеством в $X$. § 5. Приближение объединением конечного числа плоскостейПусть теперь есть неприводимое объединение конечного числа плоскостей $L_n$, причем $L_n\not\subset L_m$ при $n\ne m$.В следующей теореме 5.1 устанавливается, что не существует нетривиальных чебышёвских множеств, составленных из конечного числа плоскостей. Теорема 5.1. В произвольном линейном несимметрично нормированном пространстве конечное объединение плоскостей $M=M_N$ из (5.1) является чебышёвским множеством тогда и только тогда, когда $M$ – чебышёвская плоскость (в этом случае, $N=1)$. Доказательство. Следующий факт непосредственно вытекает из леммы 3.1: если конечное объединение плоскостей $M =M_N:= \bigcup _{1\leqslant n\leqslant N} L_n $ является чебышёвским множеством, то каждая из плоскостей $L_n$ является чебышёвским множеством. Согласно лемме 3.2 и замечанию 3.4 найдутся чебышёвская плоскость $L_{j_0}$ и опорный шар $B(x',r')$ к ней в некоторой точке $s'\in L_{j_0}$ такие, что $\mathring{B}(x',r')\cap M \ne\varnothing$, и $s'$ – изолированная точка пересечения $B(x',r')\cap M $. Без ограничения общности считаем, что $s'=0$, $\|x'\|=1$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\gamma := \inf \{\alpha >0 \mid \mathring{B}(\alpha x',\alpha )\cap M \ne\varnothing\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $0$ – изолированная точка пересечения $B(x',r')\cap M $, то $\gamma >0$. Имеем $\mathring{B}(x_\gamma, \gamma )\cap M=\varnothing$, $0$ – ближайшая точка из $M$ для $x_\gamma $, при этом в силу определения числа $\gamma$ одна из плоскостей $L_i$, $i\ne j_0$, является опорной плоскостью к шару $B(x_\gamma, \gamma )$. В силу сказанного выше $L_i$ — чебышёвская плоскость, поэтому для точки $x_\gamma $ в ней существует ближайшая точка, которая в силу опорности лежит в сфере $S(x_\gamma, \gamma )$. Однако, поскольку $0$ – ближайшая точка из $M$ для $x_\gamma$, это противоречит условию, что $M$ – чебышёвское множество. Теорема 5.1 доказана. § 6. Некоторые приложенияВ этом параграфе мы рассмотрим задачу о чебышёвости (или ее отсутствии) для множеств, составленных из набора плоскостей в некоторых классических несимметричных пространствах. Также будет рассмотрен вопрос о солнечности таких множеств. Ряд приложений, полученных выше результатов для случая классических линейных нормированных пространств $C(Q)$, $L^1$ и $L^\infty$ получен в [1]. Мы говорим, что плоскость нетривиальна, если она отлична от точки и всего пространства. В частности, в [1] показано, что в пространстве $L^1(\Omega,\sigma,\mu)$ с неатомарной $\sigma$-конечной мерой $\mu$ не более, чем счетное неприводимое объединение нетривиальных плоскостей конечной размерности или коразмерности, не является чебышёвским множеством в $L^1(\Omega,\sigma,\mu)$. Также установлено, что если пространство $L^\infty (\Omega,\sigma,\mu)$ бесконечномерно, то не более, чем счетное неприводимое объединение плоскостей конечной размерности $\geqslant 2$, не является чебышёвским множеством в $L^\infty (\Omega,\sigma,\mu)$. В [1] также показано, что если метризуемый компакт $Q$ не вкладывается в окружность, то не более, чем счетное неприводимое объединение плоскостей конечной размерности $\geqslant 2$, не является чебышёвским множеством в $C(Q)$. Все эти результаты получаются применением аналога леммы 3.1 для нормированных пространств (см. [1; лемма 3.1]). Несимметричные аналоги классических нормированных пространств $C(Q)$ и $L^p$ вводились во многих работах, начиная с М. Г. Крейна [11] (см. также [27]–[31]). К примеру, в пространствах $L^p=L^p (\Omega,\sigma,\mu)$, $1\leqslant p<\infty$, c $\sigma$-конечной мерой рассматривалась несимметричная норма
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_\Omega |f_+/w_+ +f_-/w_-|^p\,d\mu \biggr)^{1/p},
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где $f_+(t):=\max\{f(t),0\}$, $f_-(t):=\min\{f(t),0\}$, $w_+$, $w_-$ – измеримые веса такие, что $0<\alpha \leqslant w_\pm(t)\leqslant \beta <\infty$. Пространство $L^p$, $1<p<\infty$, с нормой (6.1) является полным симметризуемым $ (\mathrm{CLUR})$-пространством. Отсюда с учетом следствий 4.1 и 4.2 вытекает следующий результат. Теорема 6.1. Множество, являющееся произвольным неприводимым объединением плоскостей в пространстве $L^p$, $1<p<\infty$, с нормой (6.1) не является чебышёвским. Определим пространство $C_\psi(Q)$, как пространство непрерывных вещественных функций $ C(Q,\mathbb{R})$ на хаусдорфовом компактном множестве $Q$ с несимметричной нормой
$$
\begin{equation}
\|x|_{\psi} = \|x|_{\psi_+,\psi_-}:=\max_{t\in Q}\biggl\{\frac{x_+ (t)}{\psi_+(t)},\, \frac{x_-(t)}{\psi_-(t)} \biggr\},
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
где $\psi_+$, $\psi_-$ — фиксированные положительные непрерывные функции. В [28] для такой нормы были получены несимметричные аналоги теоремы Чебышёва об альтернансе, а в [32] – ряд свойств, характеризующих строгие протосолнца (множества Колмогорова) в пространствах $C_\psi(Q)$ и в более общих пространствах $C_{\psi,0}(Q)$ функций, зануляющихся на бесконечности. Остановимся кратко на известной проблеме Хаара, которая (в классической постановке) заключается в отыскании необходимых и достаточных условий, которым должна удовлетворять система $\{\varphi _1,\dots, \varphi _n\}$ непрерывных функций на компакте $Q$, чтобы ее линейная оболочка $L$ была чебышёвским множеством в $C(Q)$. Эта проблема была поставлена и решена А. Хааром: $L$ – чебышёвская плоскость, если и только если каждый ненулевой полином $c_1\varphi _1(t) + \dots + c_n\varphi _n(t)$ имеет на $Q$ не более $n- 1$ различных нулей. Последнее условие получило название “условие Хаара”, а соответствующее подпространство, удовлетворяющее условию Хаара, называется хааровским. Легко проверяется, что в пространстве $C_\psi(Q)$ система $\{\varphi _1,\dots, \varphi _n\}$ является хааровской, если и только если для любых различных точек $t_1,\dots, t_n\in [a, b]$ определитель Хаара
$$
\begin{equation*}
\Delta (t_1,\dots, t_n):= \begin{vmatrix} \varphi _1(t_1) & \dots & \varphi _n(t_1) \\ \dots & \dots & \dots \\ \varphi _1(t_n) & \dots & \varphi _n(t_n) \end{vmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
не равен нулю. Отсюда следует, что если $Q\subset \mathbb R^d$ – компакт c непустой внутренностью, $d\geqslant 2$, то в $C_\psi(Q)$ любая система $\{\varphi _1,\dots, \varphi _n\}$, $n\geqslant 2$, не является хааровской (см. также [27; гл. IX, § 5]). Соответственно, подпространство $L:=\operatorname{span}\{\varphi _1, \dots, \varphi _n\}$ не является чебышёвским в $C_\psi(Q)$. Ряд обобщений этого результата получен Е. А. Севастьяновым в [29]. Используя лемму 3.1 и указанный результат, мы получаем следующий результат. Теорема 6.2. Если $Q\subset \mathbb R^n$ – компакт c непустой внутренностью, $n\,{\geqslant}\,2$, то в пространстве $C_\psi(Q)$ с несимметричной нормой (6.2) не более, чем счетное неприводимое объединение конечномерных плоскостей размерности $\geqslant 2$ не является чебышёвским множеством. Для подмножества $\varnothing \ne M\subset X$ точка $x\in X\setminus M$ называется точкой солнечности, если существует точка $y\in P_Mx\ne \varnothing$ (называемая точкой светимости) такая, что $ y\in P_M\bigl((1-\lambda)y+\lambda x\bigr)$ для всех $\lambda\geqslant 0$. Множество $M\subset X$ называется солнцем, если каждая точка $x\in X\setminus M$ является точкой солнечности для $M$. Следующий результат является новым и в случае обычных линейных нормированных пространств. В нем показывается отсутствие солнечности чебышёвских множеств только при структурных ограничениях на множество. По поводу других результатов о солнечности чебышёвских множеств см. [10; гл. 10]. Теорема 6.3. Пусть $X$ – лево-полное несимметрично нормированное пространство с замкнутым единичным шаром. Тогда никакое чебышёвское множество в $X$, являющееся неприводимым объединением не более, чем счетного числа плоскостей, не является солнцем. Для доказательства теоремы 6.3 достаточно заметить, что если $M$ – чебышёвское солнце (т. е. чебышёвское множество, являющееся солнцем), то согласно [17; теорема 8] оно унимодально. Теперь остается воспользоваться п. 1 теоремы 4.1. Замечание 6.1. Аналогичный теореме 6.3 результат получается с использованием п. 2 теоремы 4.1 для право-полных пространств и их право-замкнутых подмножеств, составленных из не более, чем счетного набора плоскостей. Утверждение для произвольных наборов плоскостей доказывается, как и выше, при условии (4.2). Замечание 6.2. В любом (не обязательно полном) пространстве объединение конечного числа несовпадающих прямых не является чебышёвским множеством. В частности, объединение двух несовпадающих прямых не является чебышёвским множеством. Отметим без доказательства, что в пространствах $C(Q)$ и $C_\psi(Q)$, $\operatorname{card}Q\geqslant 2$, можно построить солнце, состоящее из двух несовпадающих прямых. Такой пример также можно построить в пространствах $\ell^1$ и $\ell^\infty$. Однако такой пример невозможен в пространствах $L^1$ с неатомарной $\sigma$-конечной мерой (см. [16; теорема 3] и [33; замечание 1]), поскольку в таких пространствах любое конечномерное солнце выпукло. В гладких пространствах объединение двух несовпадающих прямых (и любого неприводимого конечного объединения различных конечномерных плоскостей) не может быть чебышёвским множеством и не может быть солнцем. Замечание 6.3. Выше мы упомянули, что В. Кли построил пример дискретного чебышёвского множества в банаховом пространстве $\ell^1(\Gamma )$, где $|\Gamma|=\omega$ и $\omega$ таково, что $\omega^{\aleph_{0}}=\omega$. Это множество является неприводимым объединением несчетного числа $0$-мерных плоскостей (точек). Несложно заметить, что в пространстве $\ell^1(\Gamma)$ можно построить аналогичный пример чебышёвского множества, которое является неприводимым объединением несчетного числа $k$-мерных плоскостей. Согласно замечанию 6.1 такое чебышёвское множество не является солнцем. БлагодарностьАвторы благодарны В. И. Бердышеву за полезные обсуждения и рецензенту за ряд замечаний и рекомендаций, способствовавших улучшению статьи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AliTsa24} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|