| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Спектральные асимптотики для оператора Шрёдингера, возмущенного оператором сдвига Д. И. Борисовa, Д. М. Поляковba  a Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук, г. Уфа b Южный математический институт филиал Владикавказского научного центра Российской академии наук, г. Владикавказ
Английская версия:
Izvestiya: Mathematics, 2025, Volume 89, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9574e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеДифференциально-разностные уравнения являются важным и интересным объектом для изучения. Сдвиги в данных уравнениях часто интерпретируют как запаздывание (или опережение), суть которого состоит в том, что протекание физического процесса определяется его характеристиками не только в данный момент времени, но и в предыдущие моменты. В этом случае независимой переменной придается смысл времени. Задачи, в которых сдвиг присутствует в пространственных переменных, возникают в теории многослойных пластин и оболочек, теории многомерных диффузионных процессов, а также теории нелинейных оптических систем с двумерной обратной связью. Исследованию таких уравнений посвящена весьма обширная литература (см. [1]–[4] и приведенные там ссылки). Также имеется большое число статей, касающихся изучения краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений. Здесь прежде всего выделим книгу [5] и недавние работы [6]–[11]. В цитированных источниках исследовались вопросы устойчивости, существования, единственности и гладкости решений. Стоит также отметить статьи [12]–[14], посвященные эволюционным дифференциально-разностным уравнениям. Помимо них, изучались уравнения с нелокальностями вида растяжений или сжатий (см. [15]–[18]). Несмотря на то, что исследование дифференциально-разностных уравнений ведется достаточно активно, вопросы спектральных свойств соответствующих операторов мало затрагивались. Отметим обзорную статью [6], в которой рассматривались вопросы характера спектра, а также полноты и минимальности собственных и присоединенных (корневых) функций сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов. Кроме того, в работе [19] был получен критерий сохранения гладкости обобщенных собственных функций для такого класса операторов. Отдельно подчеркнем, что дифференциально-разностные операторы, в которых сдвиг рассматривался бы как параметр, ранее детально не исследовались и подобное возмущение не является классическим примером в современной теории возмущений. Насколько нам известно, была изучена лишь одна подобная задача [16], [18; гл. 5, § 5.3, § 5.4] о поведении собственных значений дифференциального оператора с растяжениями и сжатиями при малых вариациях области. В приведенных работах было показано, что собственные значения такого оператора сходятся к собственным значениям оператора на невозмущенной области и были получены оценки скорости сходимости. Вопросы резольвентной сходимости общих операторов с малыми переменными сдвигами рассматривались в нашей недавней работе [20]. Здесь изучались эллиптические операторы четного порядка $2m$ в произвольных областях с общими краевыми условиями, в которых также могут присутствовать малые сдвиги. При этом предполагалось, что сдвиги допускаются только в членах младшего порядка, а главная часть остается классическим дифференциальным оператором. Было показано, что в пределе малых сдвигов возникает дифференциальный оператор, соответствующий нулевым сдвигам. Основной результат указанной работы посвящен доказательству равномерной резольвентной сходимости в норме операторов, действующих из $L_2$ в $W_2^m$. Кроме того, были установлены явные оценки скорости сходимости. На основе этих результатов была показана сходимость спектров и псевдоспектров возмущенных операторов к аналогичным множествам предельных операторов. В настоящей статье мы продолжаем исследование операторов со сдвигами в младших членах. А именно, мы рассматриваем оператор Шрёдингера на отрезке с краевыми условиями Дирихле, возмущенным оператором исследуемого вида. Величина сдвига может быть произвольной, включая случай сколь угодно малого сдвига. Наш основной результат посвящен асимптотике собственных значений для больших номеров, которая является равномерной по сдвигу. Помимо этого мы также устанавливаем базисность в $L_2(0, 1)$ системы корневых функций для рассматриваемого оператора. Интерес к изучению указанных вопросов связывается с двумя основными причинами: нестандартное возмущение сдвигом и нетривиальные высокочастотные эффекты, которые оно порождает. Хотя задача о спектральных асимптотиках для задачи Штурма–Лиувилля является классической и хорошо исследованной (см., например, монографии [21], [22]), наличие возмущения, зависящего от параметра, естественным образом влечет зависимость остаточного члена в спектральных асимптотиках не только от номера, но и от такого параметра. При одновременном росте номера собственного значения и изменении параметра оценка остатка может разрушаться. В качестве простейшего примера можно привести функцию вида $\varepsilon n/(\varepsilon^6 n^3+1)$. Для каждого фиксированного $\varepsilon$ при больших $n$ она стремится к нулю как $O(n^{-2})$. Однако если при этом уменьшать $\varepsilon$, скажем, выбирая $\varepsilon=n^{-1}$, то эта функция перестает быть малой, а при $\varepsilon=n^{-1/2}$ даже начинает расти! Применение классической теории возмущений также не дает подходящего решения данной проблемы, так как даже наличие равномерной резольвентной сходимости означает сходимость спектров лишь в каждом компакте на комплексной плоскости. При этом скорость сходимости, вообще говоря, зависит от выбора компакта. Таким образом, наиболее разумный подход – это вывести асимптотику по большим $n$ с оценкой остатка, равномерной по параметру, описывающему возмущение. Для получения такой асимптотики требуется модификация имеющихся подходов и техник. Решение данной проблемы будет осуществляться с помощью метода подобных операторов, предложенного А. Г. Баскаковым. Основная идея этого метода состоит в построении преобразования подобия, позволяющего подходящим образом представить оператор в виде блочно-диагональной матрицы, блоки которой удается проанализировать. Это делает метод подобных операторов весьма эффективным средством спектрального анализа различных классов дифференциальных и разностных операторов (см. [23]–[27] и используемую там литературу). § 2. Постановка задачи и формулировка основных результатовВ пространстве $L_2(0, 1)$ рассмотрим самосопряженный оператор $\mathcal{A}$ вида $\mathcal{A}y=-y''$ на области определения $\mathring{W}_2^2(0, 1)$. Здесь и далее через $\mathring{W}_2^j(0, 1)$, $j\geqslant 1$, обозначается подпространство функций из пространства Соболева $W_2^j(0, 1)$, обращающихся в нуль на концах отрезка. Основным объектом исследования настоящей работы является возмущение оператора $\mathcal{A}$, использующее оператор сдвига. Для описания такого оператора нам понадобятся оператор продолжения нулем вне интервала $(0, 1)$, действующий из $L_2(0, 1)$ в $L_2(\mathbb{R})$ и оператор сужения на $(0, 1)$, действующий из $L_2(\mathbb{R})$ в $L_2(0, 1)$. Они задаются формулами
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}y= \begin{cases} y &\text{в } (0, 1), \\ 0 &\text{вне } (0, 1), \end{cases} \qquad \mathcal{R}y=y \quad \text{на } \ (0, 1).
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор сдвига $\mathcal{T}^\alpha$ в $L_2(\mathbb{R})$ определим равенством $(\mathcal{T}^\alpha y)(x)=y(x+\alpha)$, $x\in \mathbb{R}$, где $\alpha\in[0,1]$ – величина сдвига. Пусть $V$ и $S$ – комплекснозначные функции из пространства $C^1[0, 1]$. Возмущающий оператор $\mathcal{B}^\alpha$ в пространстве $L_2(0, 1)$ введем следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}^\alpha y=-Vy-S(\mathcal{R}\mathcal{T}^\alpha\mathcal{L}y-y),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где второе слагаемое в правой части понимается как обычное умножение функции $S$ на выражение в скобках. На произвольную функцию $y\in L_2(0, 1)$ этот оператор действует по правилу
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{B}^\alpha y)(x)=-V(x)y(x)-S(x)(y(x+\alpha)-y(x)),
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $y$ считается продолженной нулем вне отрезка $[0, 1]$, а результат действия сужается на данный отрезок. При $\alpha=0$ оператор $\mathcal{B}^\alpha$ превращается в обычный оператор умножения на потенциал $-V$, а при $\alpha=1$ – в оператор умножения на потенциал $-V+S$. В настоящей работе изучается поведение спектра оператора $\mathcal{H}^\alpha=\mathcal{A}-\mathcal{B}^\alpha$ в пространстве $L_2(0, 1)$ на области определения $\mathfrak{D}(\mathcal{H}^\alpha):=\mathring{W}_2^2(0,1)$. Наш первый предварительный результат описывает основные свойства оператора $\mathcal{H}^\alpha$. Теорема 1. Оператор $\mathcal{H}^\alpha$ является $m$-секториальным, и соответствующая ему секториальная замкнутая форма в пространстве $L_2(0, 1)$ задается равенством В силу теоремы 1 собственные значения оператора $\mathcal{H}^\alpha$ расположены в полуплоскости $\operatorname{Re}\lambda\geqslant \Lambda$. Пронумеруем их в порядке возрастания их модулей и обозначим через $\lambda_n$, $n\in\mathbb{N}$. Через $\chi_I=\chi_I(x)$ определим характеристическую функцию отрезка $I$ на вещественной прямой. Наш первый основной результат посвящен спектральным асимптотикам оператора $\mathcal{H}^\alpha$ при больших номерах $n$. Теорема 2. Для собственных значений $\lambda_n$ оператора $\mathcal{H}^\alpha$ справедлива асимптотика Второй основной результат статьи описывает базисность корневых функций оператора $\mathcal{H}^\alpha$. Напомним, что базисы, которые порождаются системами проекторов, квадратично близкими к полным и минимальным системам ортогональных проекторов, называются базисами Бари. Теорема 3. Система корневых функций оператора $\mathcal{H}^\alpha$ образует базис Бари в пространстве $L_2(0, 1)$. Обсудим кратко полученные результаты. В теореме 2 установлена равномерная спектральная асимптотика (2.3), которую можно переформулировать следующим образом: существует фиксированное $n_0>0$ такое, что при $n>n_0$ выполнено равенство (2.3), где остаток оценивается величиной $Cn^{-2}$ с постоянной $C$, не зависящей от $\alpha$ и $n$. Формула (2.3) описывает поведение всего ансамбля собственных значений, за исключением их конечного числа, с номерами $n\geqslant n_0$ равномерно по $\alpha$. При $\alpha=0$ в (2.3) пропадают все слагаемые, содержащие функцию $S$, и мы получаем классическую асимптотику собственных значений оператора Шрёдингера на отрезке (см. [21; гл. 1, § 5]):
$$
\begin{equation}
\lambda_n= \pi^2n^2+ 2\int_0^1 V(x)\sin^2 (\pi n x)\,dx+O(n^{-2}).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
При $\alpha=1$ исчезают слагаемые, содержащие $\sin (\pi n\alpha)$ и $\sin (2\pi n\alpha)$, и член с характеристической функцией, и асимптотика вновь оказывается классической:
$$
\begin{equation}
\lambda_n= \pi^2n^2+ 2\int_0^1 (V(x)-S(x))\sin^2 (\pi n x)\,dx+O(n^{-2}).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Если $0<\alpha<1$, то в асимптотике собственных значений присутствуют три неклассических дополнительных слагаемых, которые порождаются исключительно оператором сдвига. Очевидные оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\frac{\sin(\pi n\alpha)}{2\pi n} \int_0^1(S(x)-V(x))\biggl(\int_{\max\{0,\, x-\alpha\}}^x S(t)\,dt -\alpha\int_0^{1-\alpha}S(t)\,dt\biggr)\,dx\biggr| \\ &\qquad\leqslant \frac{\alpha|{\sin(\pi n\alpha)}|}{\pi n} \|S\|_{C[0,1]} (\|S\|_{C[0,1]}+\|V\|_{C[0,1]}), \\ &\biggl|\frac{\sin(2\pi n\alpha)}{2\pi n}\int_0^{1-\alpha}S(x) \biggl(\int_{\max\{0,\, x-\alpha\}}^x S(t)\,dt -\frac{\alpha}{2}\int_0^{1-\alpha}S(t)\,dt\biggr)\,dx\biggr| \\ &\qquad\leqslant \frac{3\alpha|\sin(2\pi n\alpha)|}{4\pi n} \|S\|_{C[0,1]}^2 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
позволяют достаточно точно описать характер зависимости четвертого и пятого слагаемых в (2.3) от большого номера $n$ и параметра $\alpha$. Третий член в асимптотике (2.3) устроен качественно иным образом. Переписав в нем произведение синусов как разность косинусов и проинтегрировав по частям, легко получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2\int_0^1 S(x)\sin(\pi nx)\bigl(\chi_{[0, 1-\alpha]}(x)\sin(\pi n(x+\alpha))-\sin(\pi nx)\bigr)\,dx \\ &\qquad=\cos(\pi n\alpha) \int_0^{1-\alpha} S(x)\,dx - \int_0^1S(x)\,dx+O(n^{-1}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где оценка остатка равномерна по $\alpha$. Аналогично можно преобразовать и второе слагаемое в асимптотике (2.3). В результате эта асимптотика принимает вид
$$
\begin{equation}
\lambda_n=\pi^2n^2+\int_0^1V(x)\,dx + \cos(\pi n\alpha) \int_0^{1-\alpha} S(x)\,dx -\int_0^1S(x)\,dx + O(n^{-1}),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где оценка остатка равномерна по $\alpha$. Таким образом, при достаточно больших $n$ собственные значения оператора $\mathcal{H}^\alpha$ локализуются вдоль следующей кривой в комплексной плоскости:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, K_\alpha:=\{z=t^2+a+a_\alpha \cos(t\alpha)\}\subset \mathbb{C}, \\ a:=\int_0^1V(x)\,dx - \int_0^1S(x)\,dx, \qquad a_\alpha:=\int_0^{1-\alpha} S(x)\,dx. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Локализация происходит вблизи точек на этой кривой, которые соответствуют значениям параметра $t=\pi n$. Кривая напоминает график периодической функции, причем при $\alpha=0$ никаких осцилляций нет, а при возрастании параметра $\alpha$ от нуля период осцилляций кривой уменьшается и осцилляции становятся более заметными. При $\alpha\to 1-0$ коэффициент $a_\alpha$ стремится к нулю и осциллирующий косинус в определении кривой $K_\alpha$ пропадает. Асимптотика (2.7) отличается от классической асимптотики третьим слагаемым с $\cos(\pi n \alpha)$, и его наличие описывает высокочастотный эффект, порождаемый сдвигом. Одновременно с этим подчеркнем, что основной результат статьи [20] в применении к оператору $\mathcal{H}^\alpha$ утверждает сходимость резольвенты этого оператора к резольвенте предельного оператора $\mathcal{H}^0$ по норме операторов, действующих из $L_2(0, 1)$ в $W_2^1(0, 1)$, и при $\alpha\to+0$ каждое собственное значение оператора $\mathcal{H}^\alpha$ сходится к соответствующему собственному значению оператора $\mathcal{H}^0y=-y'' + Vy$ на интервале $(0,1)$ с условиями Дирихле. Скорость сходимости неравномерна по номеру $n$, и возмущение оператором сдвига порождает описанный высокочастотный эффект.  Рис. 1.Кривая $K_\alpha$ с $V(x)=4x+6\mathrm{i} x^2$ и $S(x)=\frac{1}{2}(1+\mathrm{i} x)$ выделена светло-серым цветом. Темно-серые квадраты соответствуют первым членам классической асимптотики (2.4) (случай $\alpha=0$); темно-серые круги – первым членам (2.5) (случай $\alpha=1$); черные ромбы – первым членам асимптотики (2.7). Рис. 1, (a) описывает случай $\alpha=0.2$, рис. 1, (b) – случай $\alpha=0.7$ Кривая $K_\alpha$ и примерное положение собственных значений показано на рис. 1 для потенциалов $V(x)=4x+6\mathrm{i} x^2$, $S(x)=\frac{1}{2}(1+\mathrm{i} x)$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
a=\frac{3}{2}+\frac{7\mathrm{i}}{4}, \qquad a_\alpha=\frac{1}{4}(1-\alpha) (2+\mathrm{i}(1-\alpha)).
\end{equation*}
\notag
$$
Рис. 1, (a) и (b) приведены для значений $\alpha=0.2$ и $\alpha=0.7$. Помимо кривой, здесь также изображены три серии точек. Две серии, отмеченные темно-серыми квадратами и кругами, показывают значения суммы первых двух членов классических асимптотик (2.4) и (2.5). Третья серия точек, отмеченная черными ромбами, соответствует сумме первых членов асимптотики (2.7). Таким образом, из рис. 1 видно, что при указанных значениях $\alpha$ имеется существенный разрыв между членами классической асимптотики (2.4) и членами асимптотики (2.7), что является проявлением описанного выше высокочастотного эффекта. Аналогичный разрыв с асимптотикой (2.5) заметно уменьшается при $\alpha\to 1-0$. Еще одна наша теорема посвящена базисности Бари корневых функций для такого класса операторов. Известные до настоящего момента результаты затрагивали только вопросы полноты и минимальности системы корневых функций для дифференциально-разностных операторов. Более того, отсутствуют даже результаты по классической базисности Рисса. Используемая в статье техника позволяет получить необходимые оценки на спектральные проекторы, и из теоремы Бари–Маркуса (см. [28; гл. VI, теорема 5.2]) непосредственно следует базисность Бари системы корневых функций в $L_2(0, 1)$. Отметим, что согласно той же теореме Бари–Маркуса из базисности Бари вытекает базисность Рисса, и потому полученный в теореме 3 результат более общий, чем классическая базисность Рисса корневых функций. В заключение опишем структуру статьи. В § 3 устанавливается $m$-секториальность оператора $\mathcal{H}^\alpha$, а также доказывается теорема 1. В § 4 мы кратко опишем идею используемого метода исследования, а также проведем необходимые построения операторов подобия. В § 5 приведены дополнительные технические вычисления, которые вместе с результатами § 4 используются для доказательства теорем 2 и 3 в § 6. Всюду далее символом $C$ с индексами внизу обозначаем различные константы, не зависящие от $\alpha$, $k$, $j$, $n$, $m$. § 3. $m$-секториальность и компактность резольвенты Доказательство теоремы 1. Из теоремы 3 работы [20; § 5] следует, что форма $\mathfrak{h}^\alpha$ секториальна и замкнута, а ее числовая область расположена в секторе вида $\{z\in\mathbb{C}\colon |{\operatorname{Im}z}|\leqslant C_0(\operatorname{Re}z-C_1)\}$, где $C_0$ и $C_1$ – некоторые фиксированные постоянные, не зависящие от $\alpha$, причем $C_0>0$. Поэтому в силу первой теоремы о представлении [29; гл. VI, § 2.1, теорема 2.1] данной форме соответствует некоторый $m$-секториальный оператор, который обозначим через $\widetilde{\mathcal{H}}^\alpha$. Покажем, что $\widetilde{\mathcal{H}}^\alpha=\mathcal{H}^\alpha$. Пусть $u\in\mathfrak{D}(\mathcal{H}^\alpha)$, $v\in\mathfrak{D}(\mathfrak{h}^\alpha)$. Тогда интегрированием по частям легко установить, что
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{H}^\alpha u, v)_{L_2(0, 1)}=\mathfrak{h}^\alpha(u, v).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что $\mathfrak{D}(\mathcal{H}^\alpha)\subseteq \mathfrak{D}(\widetilde{\mathcal{H}}^\alpha)$ и оператор $\widetilde{\mathcal{H}}^\alpha$ является продолжением оператора $\mathcal{H}^\alpha$. Поэтому для доказательства совпадения операторов $\mathcal{H}^\alpha$ и $\widetilde{\mathcal{H}}^\alpha$ достаточно проверить, что $\mathfrak{D}(\mathcal{H}^\alpha)\supseteq \mathfrak{D}(\widetilde{\mathcal{H}}^\alpha)$.
Согласно первой теореме о представлении [29; гл. VI, § 2.1, теорема 2.1] область определения оператора $\widetilde{\mathcal{H}}^\alpha$ состоит из функций $u\in\mathfrak{D}(\mathfrak{h}^\alpha)$, для каждой из которых существует соответствующая функция $h\in L_2(0, 1)$, удовлетворяющая равенству
$$
\begin{equation}
\mathfrak{h}^\alpha(u, v)=(h, v)_{L_2(0, 1)}\quad\text{для всех }\ v\in\mathfrak{D}(\mathfrak{h}^\alpha).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Пусть $u$ – одна из таких функций. В силу определения формы в (2.2) равенство (3.1) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (u', v')_{L_2(0, 1)}=(\widetilde{h}, v)_{L_2(0, 1)}\quad\text{для всех }\ v\in\mathfrak{D}(\mathfrak{h}^\alpha), \\ \widetilde{h}:=h-Vu-S\mathcal{R}\mathcal{T}^\alpha\mathcal{L}u+Su\in L_2(0, 1). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Отсюда следует, что функция $u$ является обобщенным решением задачи
$$
\begin{equation*}
-u''=\widetilde{h} \quad \text{на } \ (0, 1), \qquad u(0)=u(1)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
и в силу стандартных теорем о повышении гладкости решений эллиптических краевых задач сразу заключаем, что $u\in\mathring{W}_2^2(0, 1)= \mathfrak{D}(\mathcal{H}^\alpha)$. Поэтому $\mathfrak{D}(\widetilde{\mathcal{H}}^\alpha)\subseteq \mathfrak{D}(\mathcal{H}^\alpha)$, откуда уже следуют равенства $\mathfrak{D}(\widetilde{\mathcal{H}}^\alpha) =\mathfrak{D}(\mathcal{H}^\alpha)$ и $\widetilde{\mathcal{H}}^\alpha=\mathcal{H}^\alpha$. Учитывая описанные выше свойства формы $\mathfrak{h}^\alpha$, видим, что полуплоскость $\operatorname{Re}\lambda\leqslant C_1-1$ лежит в резольвентном множестве оператора $\mathcal{H}^\alpha$ для каждого $\alpha\in [0, 1]$.
Резольвента оператора $\mathcal{H}^\alpha$ является ограниченным оператором в $L_2(0, 1)$, а по теореме Банаха об обратном операторе – ограниченным оператором из $L_2(0, 1)$ в $W_2^2(0, 1)$. Из компактности вложения пространства $W_2^2(0, 1)$ в $L_2(0, 1)$ следует компактность резольвенты оператора $\mathcal{H}^\alpha$. Согласно теореме об операторе с компактной резольвентой [29; гл. 3, § 6.8, теорема 6.29] спектр оператора $\mathcal{H}^\alpha$ состоит из счетного числа собственных значений с единственной точкой накопления в бесконечности. Теорема 1 доказана. § 4. Преобразования подобия оператора $\mathcal{H}^\alpha$4.1. Первое преобразование подобияХорошо известно, что подобные операторы имеют одинаковые спектры (см. более подробно в [24; лемма 2.10] и [26; лемма 1]) и основная идея метода подобных операторов заключается в построении такого преобразования подобия, которое позволит свести задачу об изучении собственных значений и соответствующих собственных подпространств оператора $\mathcal{H}^\alpha$ к исследованию этих же характеристик для некоторого оператора блочно-диагонального вида. Необходимое преобразование строится в два этапа. На первом исходный оператор $\mathcal{H}^\alpha$ преобразуется в оператор $\mathcal{A}-\mathcal{B}_0-\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha$, где $\mathcal{B}_0$ – некоторый оператор с блочно-диагональной матрицей, а $\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha$ принадлежит идеалу операторов Гильберта–Шмидта в $L_2(0, 1)$, обозначаемому через $\mathfrak{S}_2(L_2(0, 1))$ с нормой $\|\,{\cdot}\,\|_2$ (см. [28; гл. 3, § 9]). Конкретный вид оператора $\mathcal{B}_0$ будет определен ниже. На втором этапе осуществляется преобразование $\mathcal{A}-\mathcal{B}_0-\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha$ в оператор $\mathcal{A}-\mathcal{B}_0-\mathcal{Q}$, где $\mathcal{Q}$ не только принадлежит $\mathfrak{S}_2(L_2(0, 1))$, но и имеет блочно-диагональную матрицу. Общую схему, идеи и основные определения данного метода можно найти в [24]. Начнем с очевидных свойств невозмущенного оператора $\mathcal{A}$. Он самосопряжен, имеет компактную резольвенту, его собственные значения и соответствующие ортонормированные в $L_2(0, 1)$ собственные функции и проекторы Рисса задаются в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mu_n:=\pi^2 n^2,\qquad e_n(x):=\sqrt{2}\sin(\pi n x), \quad x\in [0, 1], \\ \mathcal{P}_n y = (y, e_n)_{L_2(0, 1)}e_n, \qquad n\in\mathbb{N}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Все собственные значения простые, а система собственных функций образует ортонормированный базис в $L_2(0, 1)$. Применение леммы 1 из [20] ко второму слагаемому в операторе $\mathcal{B}^\alpha$ позволяет утверждать, что $\mathcal{B}^\alpha$ является подчиненным оператору $\mathcal{A}$. Банахово пространство операторов в $L_2(0,1)$, подчиненных $\mathcal{A}$, обозначим через $\mathfrak{L}_{\mathcal{A}}(L_2(0, 1))$. Норма на этом пространстве вводится равенством
$$
\begin{equation*}
\|\mathcal{X}\|_{\mathcal{A}}=\inf\{C_2>0\colon \|\mathcal{X} x\|\leqslant C_2(\|x\|+\|\mathcal{A}x\|),\, x\in \mathfrak{D}(\mathcal{A})\},\qquad \mathcal{X}\in\mathfrak{L}_{\mathcal{A}}(L_2(0, 1)).
\end{equation*}
\notag
$$
Из [20] следует, что норма $\|\mathcal{B}^\alpha\|_{\mathcal{A}}$ ограничена равномерно по $\alpha$. Через $\sigma(\mathcal{A})$ и $\rho(\mathcal{A})$ обозначим спектр и резольвентное множество оператора $\mathcal{A}$. Оператор, осуществляющий первое преобразование подобия, будет задаваться с помощью операторов $J$, $\Gamma\colon\mathfrak{S}_2(L_2(0, 1))\to\mathfrak{S}_2(L_2(0, 1))$, определяемых формулами
$$
\begin{equation}
J\mathcal{X}=\sum_{n=1}^\infty \mathcal{P}_n\mathcal{X}\mathcal{P}_n,\quad \Gamma\mathcal{X}=\sum_{\substack{k, j=1 \\ k\ne j}}^\infty \frac{\mathcal{P}_k\mathcal{X}\mathcal{P}_j}{\mu_k-\mu_j}, \qquad \mathcal{X}\in\mathfrak{S}_2(L_2(0, 1)).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Данные операторы корректно определены и ограничены (см. [24; лемма 3.4]). Продолжения $J$ и $\Gamma$ на пространство $\mathfrak{L}_{\mathcal{A}}(L_2(0, 1))$ (которые будут обозначаться теми же символами) задаются соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, J\mathcal{X}=J(\mathcal{X}(\mathcal{A}-z I)^{-1})(\mathcal{A}-z I), \quad \Gamma\mathcal{X}=\Gamma(\mathcal{X}(\mathcal{A}-z I)^{-1})(\mathcal{A}-z I), \\ \mathcal{X}\in\mathfrak{L}_{\mathcal{A}}(L_2(0, 1)), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $z\in\rho(\mathcal{A})$. Это определение не зависит от выбора числа $z$. Вместе с указанными преобразованиями рассмотрим последовательности операторов
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, J_m\mathcal{X} = J(\mathcal{X}-\mathcal{P}_{(m)}\mathcal{X}\mathcal{P}_{(m)}) + \mathcal{P}_{(m)}\mathcal{X}\mathcal{P}_{(m)}, \quad \Gamma_m\mathcal{X} = \Gamma(\mathcal{X}-\mathcal{P}_{(m)}\mathcal{X}\mathcal{P}_{(m)}), \\ m\in\mathbb{N}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $\mathcal{X}\in\mathfrak{L}_{\mathcal{A}}(L_2(0, 1))$, $\mathcal{P}_{(m)}= \sum_{k=1}^m\mathcal{P}_k$. Отметим, что $J_1=J$, $\Gamma_1=\Gamma$ и каждый оператор $J_m$ является ортогональным проектором. При этом $J_m$ и $\Gamma_m$ отличаются от соответствующих операторов $J$ и $\Gamma$ на оператор конечного ранга. Поскольку $\mathcal{B}^\alpha\in\mathfrak{L}_{\mathcal{A}}(L_2(0, 1))$, то для него корректно определены операторы $J$ и $\Gamma$ вида (4.2) и операторы $J_m$ и $\Gamma_m$ вида (4.3). Через $B(L_2(0, 1))$ обозначается пространство линейных ограниченных операторов, действующих в $L_2(0, 1)$. Согласно [24; предположение 3.2], [26; теорема 9] возможность первого преобразования подобия гарантируется следующей леммой. Лемма 1. Существует достаточно большое не зависящее от $\alpha$ число $m\in \mathbb{N}$ такое, что операторы $\mathcal{B}^\alpha$, $J_m\mathcal{B}^\alpha$ и $\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha$ обладают свойствами: (I) $\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha\in B(L_2(0, 1))$ и $\|\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha\|_2\leqslant 1/2$; (II) $(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathfrak{D}(\mathcal{A})\subset \mathfrak{D}(\mathcal{A})$; (III) $\mathcal{B}^\alpha\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha$, $(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)J_m\mathcal{B}^\alpha\in\mathfrak{S}_2(L_2(0, 1))$; (IV) $\mathcal{A}(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)x-(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{A}x =(\mathcal{B}^\alpha-J_m\mathcal{B}^\alpha)x$, $x\in \mathfrak{D}(\mathcal{A})$; (V) для любого $\delta>0$ существует $\lambda_\delta\in\rho(\mathcal{A})$ такое, что $\|\mathcal{B}^\alpha(\mathcal{A}-\lambda_\delta I)^{-1}\|<\delta$ для всех $\alpha$. Для доказательства леммы предварительно докажем пару вспомогательных технических утверждений и установим различные оценки для операторов $\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha$ и $\mathcal{B}^\alpha\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha$. Оператор $\mathcal{B}^\alpha$ представим в виде $\mathcal{B}^\alpha=\mathcal{B}^\alpha_{1}+\mathcal{B}^\alpha_{2}+\mathcal{B}^\alpha_{3}$, где
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{B}^\alpha_{1}y)(x)=-V(x)y(x), \quad (\mathcal{B}^\alpha_{2}y)(x)=-S(x)(\mathcal{R}\mathcal{T}^\alpha\mathcal{L}y)(x), \quad (\mathcal{B}^\alpha_{3}y)(x)=S(x)y(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Матрицы операторов $\mathcal{B}^\alpha_{\varkappa}$, $\varkappa=1, 2, 3$, обозначим через $(b_{kj}^\varkappa)_{k, j=1}^\infty$, где $b_{kj}^\varkappa=(\mathcal{B}^\alpha_{\varkappa} e_j, e_k)_{L_2(0,1)}$, $\varkappa=1, 2, 3$. Для них верны соотношения
$$
\begin{equation}
b_{kj}^2 = -\int_0^1 S(x)(\mathcal{R}\mathcal{T}^\alpha\mathcal{L}e_j)(x)\overline{e_k(x)}\,dx =-2\int_0^{1-\alpha} S(x)\sin(\pi j(x\,{+}\,\alpha))\sin(\pi kx)\,dx,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
b_{kj}^1 = -2\int_0^1V(x)\sin(\pi j x)\sin(\pi kx)\,dx, \qquad b_{kj}^3 =2\int_0^1S(x)\sin(\pi jx)\sin(\pi kx)\,dx.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
В этих формулах произведения синусов представим в виде суммы произведений синусов и косинусов от аргументов $(j\pm k)x$, а затем проинтегрируем по частям, перенося производную на $S$ и $V$. Это сразу дает оценки
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |b_{kj}^\varkappa|\leqslant C_3 \biggl(\frac{1}{|j-k|}+\frac{1}{|j+k|}\biggr),\qquad k\ne j,\quad \varkappa=1,2,3, \nonumber \\ \sum_{\varkappa=1}^{3}|b_{kj}^\varkappa|^2\leqslant C_4\biggl(\frac{1}{(j-k)^2}+\frac{1}{(j+k)^2}\biggr) \leqslant \frac{2C_4(j^2+k^2)}{(j^2-k^2)^2}\leqslant \frac{C_5}{(j-k)^2}, \qquad k\ne j. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Лемма 2. Операторы $\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha$ являются операторами Гильберта–Шмидта, и существует не зависящее от $\alpha$ число $m_0\in\mathbb{N}$ такое, что $\|\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha\|_2\leqslant 1/2$ при $m>m_0$. Кроме того, справедливы оценки Доказательство. Покажем, что $\Gamma \mathcal{B}^\alpha$ является оператором Гильберта–Шмидта. Согласно [28; гл. III, § 9] для этого необходимо доказать сходимость ряда $\sum_{\substack{k, j=1 \\ k\ne j}}^\infty|(\Gamma \mathcal{B}^\alpha e_j, e_k)_{L_2(0, 1)}|^2$. Используя второе представление из (4.2), неравенства (4.6) и определения (4.1), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{\substack{k, j=1 \\ k\ne j}}^\infty|(\Gamma \mathcal{B}^\alpha e_j, e_k)_{L_2(0, 1)}|^2 &\leqslant C_7 \sum_{\varkappa=1}^3\sum_{\substack{k, j=1 \\ k\ne j}}^\infty \frac{|b_{kj}^\varkappa|^2}{|\mu_k-\mu_j|^2} \leqslant C_8\sum_{\substack{k, j=1 \\ k\ne j}}^\infty \frac{1}{(k-j)^4(k+j)^2} \nonumber \\ &= C_8\biggl(\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{k=-j}^{-1}\frac{1}{k^4(k+2j)^2}+\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4(k+2j)^2}\biggr) \nonumber \\ &\leqslant C_9\sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j^2} \biggl(\sum_{k=1}^{j} \frac{1}{k^2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \biggr)\leqslant C_{10}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Следовательно, оператор $\Gamma \mathcal{B}^\alpha$ является оператором Гильберта–Шмидта. Согласно (4.3) оператор $\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha$ отличается от $\Gamma\mathcal{B}^\alpha$ на оператор конечного ранга, и потому $\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha\in\mathfrak{S}_2(L_2(0, 1))$.
Теперь покажем, что существует число $m\in\mathbb{N}$, не зависящее от $\alpha$, такое, что $\|\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha\|_2\leqslant 1/2$. Используя оценки (4.6) и определение (4.3) оператора $\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha$, аналогично вычислениям в (4.8) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha\|_2^2 &\leqslant C_{11}\sum_{\varkappa=1}^3\sum_{\substack{(k, j)\in \mathbb{N}^2\setminus[1,m]^2\\ k\ne j}} \frac{|b_{kj}^\varkappa|^2}{(k-j)^2(k+j)^2} \\ &\leqslant C_5C_{11} \sum_{\substack{(k, j)\in \mathbb{N}^2\setminus[1,m]^2\\ k\ne j}} \frac{1}{(k-j)^4(k+j)^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В правой части полученного неравенства стоит остаток фиксированного ряда $\sum_{\substack{k, j=1\\ k\ne j}}^\infty 1/((k-j)^4(k+j)^2)$, сходимость которого была доказана в (4.8). Поэтому остаток стремится к нулю при $m\to+\infty$, и за счет подходящего выбора числа $m\in\mathbb{N}$ всегда можно добиться выполнения соотношения $\|\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha\|_2\leqslant 1/2$ сразу для всех $\alpha$.
Осталось установить неравенства (4.7). Используя определения (4.1) и (4.2), свойство дизъюнктности системы проекторов $\{\mathcal{P}_n\}_{n=1}^\infty$, $n\in\mathbb{N}$, и оценки (4.6), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\mathcal{P}_n(\Gamma\mathcal{B}^\alpha)\|_2^2 =\biggl\|\sum_{\substack{j=1 \\ j\ne n}}^\infty \frac{\mathcal{P}_n\mathcal{B}^\alpha\mathcal{P}_j}{\mu_n-\mu_j}\biggr\|_2^2 =\sum_{\substack{j=1 \\ j\ne n}}^\infty |((\Gamma\mathcal{B}^\alpha)e_j, e_n)_{L_2(0, 1)}|^2 \\ &\qquad\leqslant C_7\sum_{\varkappa=1}^3 \sum_{\substack{j=1 \\ j\ne n}}^\infty \frac{|b_{nj}^\varkappa|^2}{|\mu_n-\mu_j|^2} \leqslant C_8\sum_{\substack{j=1 \\ j\ne n}}^\infty \frac{1}{(n-j)^4(n+j)^2} \leqslant \frac{C_6^2}{n^2}\sum_{\substack{j=1 \\ j\ne n}}^\infty \frac{1}{(n-j)^4}\leqslant \frac{C_6^2}{n^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полностью повторив приведенные выше рассуждения для $\|(\Gamma\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n\|_2^2$, мы увидим, что эта норма оценивается той же величиной. Тогда из (4.3) непосредственно следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\mathcal{P}_n(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\|_2^2\leqslant \|\mathcal{P}_n(\Gamma \mathcal{B}^\alpha)\|_2^2\leqslant \frac{C_6^2}{n^2},\qquad \|(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n\|_2^2\leqslant \|(\Gamma \mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n\|_2^2\leqslant \frac{C_6^2}{n^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда получаем неравенства (4.7). Лемма доказана. Лемма 3. Операторы $\mathcal{B}^\alpha\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha$ и $(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)J_m\mathcal{B}^\alpha$ являются операторами Гильберта–Шмидта. Кроме того, имеет место оценка Доказательство. Операторы $\mathcal{B}^\alpha$ и $J_m\mathcal{B}^\alpha$ очевидно ограничены, и потому с учетом леммы 2 выполнено $\mathcal{B}^\alpha\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha, (\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)J_m\mathcal{B}^\alpha \in \mathfrak{S}_2(L_2(0, 1))$.
Из второго определения в (4.3) следует оценка
$$
\begin{equation}
\|(\mathcal{B}^\alpha\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n\|_2^2\leqslant C_{13}\|(\mathcal{B}^\alpha\Gamma \mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n\|_2^2.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
((\mathcal{B}^\alpha_{\varkappa}\Gamma \mathcal{B}^\alpha_{\eta})\mathcal{P}_ne_j, e_k)_{L_2(0,1)}= \frac{1}{\pi^2}\sum_{\substack{l=1 \\ l\ne n}}^\infty \frac{b_{kl}^\varkappa b_{ln}^\eta}{l^2-n^2}, \qquad k\in\mathbb{N}, \quad \varkappa, \eta=1, 2, 3.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя теперь неравенство Коши–Буняковского и оценки (4.6), выводим:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(\mathcal{B}^\alpha\Gamma \mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n\|_2^2 &\leqslant C_{14}\sum_{\varkappa,\eta=1}^3 \sum_{k=1}^\infty\Biggl(\sum_{\substack{l=1 \\ l\ne n}}^\infty \frac{|b_{kl}^\varkappa|\, |b_{ln}^\eta|}{|l-n|\, |l+n|}\Biggr)^2 \\ &\leqslant C_{15}\sum_{\varkappa,\eta=1}^3 \sum_{k=1}^\infty \sum_{\substack{l=1 \\ l\ne n}}^\infty\sum_{\substack{s=1 \\ s\ne n}}^\infty \frac{|b_{kl}^\varkappa|^2|b_{sn}^\eta|^2}{(l-n)^2(s+n)^2} \\ &\leqslant C_5C_{15}\sum_{\substack{s=1 \\ s\ne n}}^\infty \frac{1}{(s+n)^2(s-n)^2}\sum_{\substack{l=1 \\ l\ne n}}^\infty\frac{1}{(l-n)^2} \sum_{\varkappa=1}^{3}\sum_{k=1}^\infty|b_{kl}^\varkappa|^2 \\ &\leqslant \frac{C_5C_{15}}{n^2}\sum_{\substack{s=1 \\ s\ne n}}^\infty\frac{1}{(s-n)^2} \sum_{\varkappa=1}^{3} \sum_{\substack{l=1 \\ l\ne n}}^\infty \frac{\|\mathcal{B}^\alpha_\varkappa e_l\|_{L_2(0, 1)}^2}{(l-n)^2} \\ &\leqslant \frac{C_{12}^2}{n^2}\sum_{\substack{s=1 \\ s\ne n}}^\infty\frac{1}{(s-n)^2} \sum_{\substack{l=1 \\ l\ne n}}^\infty\frac{1}{(l-n)^2} \leqslant \frac{C_{12}^2}{n^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последней оценки и (4.10) следует (4.9). Лемма доказана. Доказательство леммы 1. Свойства (I) и (III) выполнены в силу лемм 2 и 3. Свойства (II) и (IV) проверяются непосредственным вычислением, повторяя рассуждения из [24; лемма 3.4].
Пусть $\lambda_\delta$ – достаточно большое по модулю отрицательное число. Тогда
$$
\begin{equation*}
\|\mathcal{B}^\alpha(\mathcal{A}-\lambda_\delta I)^{-1}\|_2^2 \leqslant C_{16}\sum_{j=1}^\infty\frac{\|\mathcal{B}^\alpha e_j\|_{L_2(0, 1)}^2}{(j^2+ |\lambda_\delta| )^2} \leqslant \frac{C_{17}}{|\lambda_\delta|}\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{j^2}\leqslant \frac{C_{18}}{|\lambda_\delta|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда уже следует свойство (V). Лемма доказана. Теперь мы можем воспользоваться известными результатами метода подобных операторов. Теорема 4. Оператор $\mathcal{H}^\alpha$ подобен оператору $\mathcal{A}-J_m\mathcal{B}^\alpha-\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha$ с $m>m_0$, где $m_0$ из леммы 2, и Доказательство. Лемма 1 позволяет применить теорему 3.3 из [24], из которой сразу вытекает равенство в (4.12) c
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha=(I+\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)^{-1}(\mathcal{B}^\alpha\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha -(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)J_m\mathcal{B}^\alpha).
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Используя условия (I) и (III) леммы 1, мы можем разложить оператор $(I+\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)^{-1}$ в ряд Неймана, что вместе с формулой (4.13) дает представление (4.11).
Осталось установить оценки из (4.12). Применим к (4.11) проектор $\mathcal{P}_n$, $n\in \mathbb{N}$, справа и с обеих сторон и вычислим разность полученных равенств. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha\mathcal{P}_n - \mathcal{P}_n\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha\mathcal{P}_n \\ &\quad= (\mathcal{B}^\alpha\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n +\bigl(\mathcal{P}_n(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n -(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n\bigr)(\mathcal{P}_n\mathcal{B}^\alpha\mathcal{P}_n) -\mathcal{P}_n(\mathcal{B}^\alpha \Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n \\ &\quad\qquad + (\mathcal{P}_n(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha) -\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)(I+\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)^{-1} \bigl((\mathcal{B}^\alpha\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n -(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n\mathcal{B}^\alpha\mathcal{P}_n\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha\mathcal{P}_n - \mathcal{P}_n\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha\mathcal{P}_n\|_2 \leqslant 2\|(\mathcal{B}^\alpha\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n\|_2 +2\|(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n\|_2\|\mathcal{P}_n\mathcal{B}^\alpha\mathcal{P}_n\|_2 \\ &\qquad+ \frac{\|\mathcal{P}_n(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\|_2 +\|\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha\|_2}{1-\|\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha\|_2} \bigl(\|(\mathcal{B}^\alpha\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n\|_2 +\|(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n\|_2\|\mathcal{P}_n\mathcal{B}^\alpha\mathcal{P}_n\|_2\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя в последнюю формулу неравенства (4.7), (4.9) и $\|\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha\|_2\leqslant 1/2$, мы получаем первую оценку из (4.12). Вторая оценка следует непосредственно из (4.8), (4.13) и равномерной по $\alpha$ ограниченности оператора $\mathcal{B}^\alpha$. Теорема 4 доказана. 4.2. Второе преобразование подобияСогласно теореме 4 оператор $\mathcal{H}^\alpha$ подобен оператору $\mathcal{A}-J_m\mathcal{B}^\alpha-\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha$, где $\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha$ принадлежит $\mathfrak{S}_2(L_2(0, 1))$. В то же время оператор $J_m\mathcal{B}^\alpha$ только ограничен. Поэтому для корректного применения основных теорем метода подобных операторов (см. [24; § 3]) в качестве невозмущенного оператора мы будем рассматривать оператор $\mathcal{A}-J_m\mathcal{B}^\alpha$, а в качестве возмущения – оператор $\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha$. Теорема 5. Существует число $m_1\in\mathbb{N}$, не зависящее от $\alpha$, такое, что Доказательство. По построению оператор $J_m$ является проектором, поэтому $\|J_m\|_2=1$. Исходя из [25; лемма 3], леммы 2, а также второй оценки из (4.12), получаем
$$
\begin{equation*}
\|J_m\|_2\|\Gamma_m\|_2\|\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha\|_2\leqslant \frac{C_{21}\|\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha\|_2}{2m+1}\leqslant \frac{C_{20}C_{21}}{2m+1}<\frac{1}{4},\qquad \|\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha\|_2\leqslant \frac{1}{2}
\end{equation*}
\notag
$$
при $m>m_1$ сразу для всех значений $\alpha$ при подходящем выборе числа $m_1\in\mathbb{N}$. Применяя теперь [26; теорема 7], получаем оставшиеся утверждения теоремы. Теорема доказана. § 5. Диагональные элементы матрицы оператора $\mathcal{B}^\alpha\Gamma \mathcal{B}^\alpha$Для доказательства основных теорем 2 и 3 необходимо провести анализ диагональных элементов матрицы $(c_{nn})_{n\in\mathbb{N}}$ оператора $\mathcal{B}^\alpha\Gamma \mathcal{B}^\alpha$. Они представимы в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_{nn} &= (\mathcal{B}^\alpha\Gamma\mathcal{B}^\alpha e_n, e_n)_{L_2(0,1)} \nonumber \\ &=\sum_{\substack{l\in\mathbb{N}\setminus\{n\}}} \frac{b_{nl}b_{ln}}{\mu_l-\mu_n} =\frac{1}{\pi^2}\sum_{\substack{l\in\mathbb{N}\setminus\{n\}}} \frac{b_{nl}b_{ln}}{l^2-n^2},\qquad b_{nl}=b_{nl}^1+b_{nl}^2+b_{nl}^3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Цель настоящего параграфа – доказать следующую асимптотику для величин $c_{nn}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{\pi^2}\sum_{\substack{l\in\mathbb{N}\setminus\{n\}}} \frac{b_{nl}b_{ln}}{l^2-n^2} \nonumber \\ &\ = \frac{\sin(\pi n\alpha)}{2\pi n} \int_0^1(S(x)-V(x))\biggl(\int_{\max\{0,\, x-\alpha\}}^x S(t)\,dt -\alpha\int_0^{1-\alpha}S(t)\,dt\biggr)\,dx \nonumber \\ &\ \quad-\frac{\sin(2\pi n\alpha)}{2\pi n}\int_0^{1-\alpha}S(x)\biggl(\int_{\max\{0,\, x-\alpha\}}^x S(t)\,dt -\frac{\alpha}{2}\int_0^{1-\alpha}S(t)\,dt\biggr)\,dx+O(n^{-2}) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
при $n\to+\infty$ с равномерной по $\alpha$ оценкой остатка. Рассмотрим краевую задачу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -U''-\lambda_n U=f, \\ U(0)=U(1)=0,\qquad f:=\mathcal{B}^\alpha e_n-b_{nn}e_n,\qquad (f,e_n)_{L_2(0,1)}=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Поскольку для коэффициентов $b_{ln}$ и $b_{nl}$ верны равенства
$$
\begin{equation*}
b_{ln}= (\mathcal{B}^\alpha e_n, e_l)_{L_2(0,1)},\qquad b_{nl}=(\mathcal{B}^\alpha e_l, e_n)_{L_2(0,1)}=(e_l, (\mathcal{B}^\alpha)^*e_n)_{L_2(0,1)},
\end{equation*}
\notag
$$
то задача (5.3) имеет единственное решение вида
$$
\begin{equation}
U=\frac{1}{\pi^2}\sum_{l\in\mathbb{N}\setminus\{n\}}\frac{b_{ln}e_l}{l^2-n^2}, \qquad (U,e_n)_{L_2(0,1)}=0.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
(U, (\mathcal{B}^\alpha)^*e_n)_{L_2(0,1)}= \frac{1}{\pi^2}\sum_{l\in\mathbb{N}\setminus\{n\}}\frac{b_{ln}b_{nl}}{l^2-n^2}.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Стандартным образом решение (5.4) задачи (5.3) можно найти в интегральном виде и учесть условие ортогональности из (5.4). После несложных технических преобразований это решение можно представить в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{split} U_1(x) &:= -\frac{1}{\sqrt{2}\pi n}\int_0^1 \bigl(\sin(\pi n|x-t|)+G_n(nx,nt,x,t)\bigr)(S(t)-V(t))\sin(\pi nt) \,dt, \\ U_2(x) &:=\frac{1}{\sqrt{2}\,\pi n}\int_0^{1-\alpha} \bigl(\sin(\pi n|x-t|)+G_n(nx,nt,x,t)\bigr) S(t) \sin(\pi n(t+\alpha))\,dt, \end{split} \nonumber \\ \begin{split} G_n(\xi,\tau,x,t) &:= (2t-1)\sin(\pi \xi)\cos(\pi \tau)+(2x-1)\sin(\pi \tau)\cos(\pi\xi) \\ &\qquad -\frac{1}{\pi n} \sin(\pi\xi) \sin(\pi\tau). \end{split} \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\notag
$$
Для дальнейших вычислений нам понадобится следующее вспомогательное утверждение. Лемма 4. Пусть $f\in C^1[0, 1]$, $\phi\in C(\mathbb{R})$, – некоторые комплекснозначные функции, $\phi$ – $1$-периодическая и $[a, b]\subset [0, 1]$ – некоторый непустой отрезок. Тогда для всех $n\in\mathbb{N}$ верны соотношения Доказательство. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\langle\phi\rangle:=\int_0^1\phi(\xi)\,d\xi,\qquad \phi^\bot:=\phi-\langle\phi\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\langle\phi^\bot\rangle=0$, а потому функция непрерывно дифференцируема, $1$-периодическая и удовлетворяет оценке
$$
\begin{equation}
\|\psi\|_{C[0, 1]}\leqslant \|\phi^\bot\|_{C[0, 1]}\leqslant 2\|\phi\|_{C[0, 1]}.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Тогда верна следующая цепочка равенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_a^b\phi(nt)f(t)\,dt =\langle \phi\rangle\int_a^b f(t)\,dt+\frac{1}{n}\int_a^bf(t)\, \frac{d}{dt}\psi(nt)\,dt =\langle \phi\rangle\int_a^b f(t)\,dt + R_n, \\ R_n:= \frac{f(t)\psi(nt)}{n}\bigg|_a^b -\frac{1}{n}\int_a^b f'(t)\psi(nt)\,dt. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, с учетом (5.8), вытекают соотношения (5.7). Лемма доказана. Данное утверждение позволяет получить асимптотику функции $U$ по $n$ равномерно по $\alpha$ и $x\in[0,1]$. А именно, разбивая интервал интегрирования в формуле для $U_1$ на $(0,x)$ и $(x,1)$ и применяя доказанную лемму поточечно для всех $x\in[0,1]$, в результате рутинных вычислений получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_1(x) &=\frac{1}{2\sqrt{2}\, \pi n}U_3(x)+ O(n^{-2}), \\ U_3(x) &:= \cos(\pi n x)\int_0^1(S(t)-V(t))\bigl(\operatorname{sgn}(x-t)-(2x-1)\bigr)\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где оценка остатка равномерна по $\alpha$ и $x\in[0,1]$. Аналогично для функции $U_2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_2(x) &=\frac{1}{2\sqrt{2}\, \pi n}U_4(x)+O(n^{-2}), \\ U_4(x) &=\int_0^{1-\alpha} S(t) \bigl((2x-1)\cos(\pi n x) \cos(\pi n \alpha) +(2t-1)\sin(\pi n x) \sin(\pi n \alpha) \\ &\qquad- \cos(\pi n (x+\alpha))\operatorname{sgn}(x-t)\bigr)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверяем, что
$$
\begin{equation}
(\mathcal{B}^\alpha)^* e_n =\bigl(-\overline{V}-\overline{S}(\mathcal{R}\mathcal{T}^{-\alpha}\mathcal{L}-\mathcal{I})\bigr)e_n= \overline{(S-V)} e_n- \overline{S(\,{\cdot}\,{-}\,\alpha)}\chi_{[\alpha, 1]}(\,{\cdot}\,)e_n(\,{\cdot}\,{-}\,\alpha).
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Это представление, (5.6) и установленные выше асимптотики для $U_1$, $U_2$ подставим в скалярное произведение $(U, (\mathcal{B}^\alpha)^*e_n)_{L_2(0,1)}$ и воспользуемся затем леммой 4 для вычисления асимптотики полученных интегралов. В полученных соотношениях затем сделаем замену переменной $x-\alpha\mapsto x$ и поменяем местами $x$ и $t$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(U,(\mathcal{B}^\alpha)^*e_n)_{L_2(0,1)} \\ &\qquad= \frac{\sin(\pi n\alpha)}{2\pi n} \int_0^1(S(x)-V(x))\biggl(\int_{\max\{0,\, x-\alpha\}}^{x} S(t)\,dt -\alpha\int_0^{1-\alpha} S(t)\,dt\biggr)\,dx \\ &\qquad\qquad+\frac{\alpha\sin(2\pi n\alpha)}{4\pi n}\int_0^{1-\alpha} S(x)\,dx \int_0^{1-\alpha} S(t) \,dt \\ &\qquad\qquad-\frac{\sin(2\pi n\alpha)}{4\pi n}\int_0^{1-\alpha} \int_0^{1-\alpha}S(x) S(t) \operatorname{sgn}(t+\alpha-x)\,dt\, dx + O(n^{-2}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где оценка остатка равномерна по $\alpha$. Замена местами переменных $x$ и $t$ в последнем интеграле в этой формуле позволяет его упростить, что вместе с (5.5) доказывает асимптотику (5.2).
§ 6. Доказательство основных теорем Доказательство теоремы 2. Из теоремы 5 и [26; лемма 1] следует, что спектр оператора $\mathcal{H}^\alpha$ совпадает со спектром оператора $\mathcal{A}-J_m\mathcal{B}^\alpha-J_m\mathcal{X}_*$ при $m>m_1$ и, кроме того, $\mathcal{A}-J_m\mathcal{B}^\alpha-J_m\mathcal{X}_*$ перестановочен со всеми проекторами $\mathcal{P}_{(m)}$, $\mathcal{P}_n$, $n\geqslant m+1$. Следовательно, подпространства $\mathfrak{H}_{(m)}=\operatorname{Im}\mathcal{P}_{(m)}$, $\mathfrak{H}_n=\operatorname{Im}\mathcal{P}_n$, $n\geqslant m+1$, инвариантны для оператора $\mathcal{A}-J_m\mathcal{B}^\alpha-J_m\mathcal{X}_*$. Имеют место равенства
$$
\begin{equation}
\sigma(\mathcal{H}^\alpha)=\sigma(\mathcal{A}-J_m\mathcal{B}^\alpha-J_m\mathcal{X}_*) = \sigma(\mathfrak{A}_{(m)})\cup \biggl(\bigcup_{n\geqslant m+1} \sigma(\mathfrak{A}_n)\biggr),
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где $\mathfrak{A}_{(m)}=(\mathcal{A}-J_m\mathcal{B}^\alpha-J_m\mathcal{X}_*)|_{\mathfrak{H}_{(m)}}$ и $\mathfrak{A}_n=(\mathcal{A}-J_m\mathcal{B}^\alpha-J_m\mathcal{X}_*)|_{\mathfrak{H}_n}$ – сужения оператора $\mathcal{A}-J_m\mathcal{B}^\alpha-J_m\mathcal{X}_*$ на подпространства $\mathfrak{H}_{(m)}$ и $\mathfrak{H}_n$, $n\geqslant m+1$, соответственно. Для доказательства равенств (6.1) необходимо в точности повторить рассуждения из [23; замечание 2]. Ввиду конечномерности подпространства $\mathfrak{H}_{(m)}$ из представления (6.1) следует, что множество $\sigma(\mathfrak{A}_{(m)})$ содержит не более чем $m$ элементов. При этом подпространства $\mathfrak{H}_n$ являются одномерными.
Тождества (6.1) показывают, что для вычисления асимптотики собственных значений оператора $\mathcal{H}^\alpha$ для больших $n$ необходимо описать множество $\sigma(\mathfrak{A}_n)$ для больших $n$. Имеет место соотношение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}-J_m\mathcal{B}^\alpha-J_m\mathcal{X}_* =\mathcal{A}-J_m\mathcal{B}^\alpha -J_m\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha-J_m(\mathcal{X}_*-\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим сужение этого оператора на подпространство $\mathfrak{H}_n$. Тогда $\mathfrak{A}_n=\mathcal{A}_n-(J\mathcal{B}^\alpha)_n-(J\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha)_n -(J(\mathcal{X}_*-\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha))_n$, $n\geqslant m+1$. Для вычисления всех слагаемых будем использовать матричное представление этих операторов в базисе из $\mathfrak{H}_n$.
Матрица оператора $\mathcal{B}^\alpha$ имеет вид $(b_{kj})_{k, j\in\mathbb{N}}$ с элементами, определенными в (5.1). Из определения (4.11) оператора $\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha$ видно, что основной вклад в асимптотику будет вносить оператор $\mathcal{B}^\alpha\Gamma \mathcal{B}^\alpha$, для диагональных элементов $(c_{nn})_{n\in\mathbb{N}}$ которого верна асимптотика (5.2). Остальные слагаемые в (4.11) имеют порядок $O(n^{-2})$ и попадут в остаточный член. Это явно видно, если применить оператор $J_m$ к (4.11), а также использовать неравенства (4.7), (4.9) и очевидное тождество $J_m((\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)J_m\mathcal{B}^\alpha)=0$. Подробнее остановимся на оценке для слагаемого $(J(\mathcal{X}_*-\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha))_n$ для больших $n$. В [25; теорема 8] для такого класса операторов были установлены следующие неравенства:
$$
\begin{equation*}
\|(J(\mathcal{X}_*-\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha))_n\|_2\leqslant \|\mathcal{P}_n(\mathcal{X}_*-\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha)\mathcal{P}_n\|_2 \leqslant \frac{C_{22}\|\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha\mathcal{P}_n -\mathcal{P}_n\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha\mathcal{P}_n\|_2}{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда вторая оценка из (4.12) непосредственно дает
$$
\begin{equation*}
\|(J(\mathcal{X}_*-\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha))_n\|_2\leqslant \frac{C_{23}}{n^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы установили все необходимые соотношения для $\mathfrak{A}_n$ при $n\geqslant m+1$. Тогда из приведенных выше рассуждений заключаем, что в представлении (6.1) множество $\sigma(\mathfrak{A}_{(m)})$ является конечным и содержащим не более $m$ элементов, а множества $\sigma(\mathfrak{A}_n)$, $n\geqslant m+1$, являются одноточечными, $\sigma(\mathfrak{A}_n)=\{\lambda_n\}$, $n\geqslant m+1$, причем $\lambda_n$ имеет вид (2.3). Теорема доказана. Доказательство теоремы 3. В условиях теорем 4 и 5 при $m>m_1$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{A}-J_m\mathcal{B}^\alpha-\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha)(I+\Gamma_m\mathcal{X}_*) =(I+\Gamma_m\mathcal{X}_*)(\mathcal{A}-J_m\mathcal{B}^\alpha-J_m\mathcal{X}_*).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из последнего тождества и равенства из (4.12) непосредственно следует выражение
Через $\widetilde{\mathcal{P}}_n$, $n\geqslant m+1$, обозначим проектор Рисса, построенный по множеству $\{\lambda_n\}_{n\geqslant m+1}$, где $\lambda_n$ определяется в теореме 2. Согласно [26; лемма 1] и (6.2) имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal{P}}_n= (I+\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)(I+\Gamma_m\mathcal{X}_*)\mathcal{P}_n (I+\Gamma_m\mathcal{X}_*)^{-1}(I+\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)^{-1}.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{\mathcal{P}}_n-\mathcal{P}_n &=\bigl((\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n+(\Gamma_m\mathcal{X}_*)\mathcal{P}_n +(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)(\Gamma_m\mathcal{X}_*)\mathcal{P}_n -\mathcal{P}_n(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha) \\ &\qquad-\mathcal{P}_n(\Gamma_m\mathcal{X}_*) -\mathcal{P}_n(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)(\Gamma_m\mathcal{X}_*)\bigr) (I+\Gamma_m\mathcal{X}_*)^{-1}(I+\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)^{-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим обе части последнего тождества. Из теорем 4 и 5 непосредственно следуют неравенства $\|\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha\|_2\leqslant 1/2$, $\|\Gamma_m\mathcal{X}_*\|_2\leqslant 1/2$. Учитывая их, мы выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\widetilde{\mathcal{P}}_n-\mathcal{P}_n\|_2 &\leqslant C_{24}\bigl(\|(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\mathcal{P}_n\|_2 +\|(\Gamma_m\mathcal{X}_*)\mathcal{P}_n\|_2 \nonumber \\ &\qquad\qquad+\|\mathcal{P}_n(\Gamma_m\mathcal{B}^\alpha)\|_2+\|\mathcal{P}_n(\Gamma_m\mathcal{X}_*)\|_2\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Оценим входящие в последнее неравенство величины. Имеют место соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(\Gamma_m\mathcal{X}_*)\mathcal{P}_n\|_2^2 &= \sum_{\substack{k, j\geqslant m+1 \\ k\ne j}} \frac{\|(\mathcal{P}_k\mathcal{X}_*\mathcal{P}_j)\mathcal{P}_n\|_2^2}{|\mu_k-\mu_j|^2}= \frac{1}{\pi^4}\sum_{\substack{k\geqslant m+1 \\ k\ne n}} \frac{\|\mathcal{P}_k\mathcal{X}_*\mathcal{P}_n\|_2^2}{|k^2-n^2|^2} \\ &\leqslant \frac{C_{25}^2}{n^2}\sum_{\substack{k\geqslant m+1 \\ k\ne n}} \|\mathcal{P}_k\mathcal{X}_*\mathcal{P}_n\|_2^2\leqslant\frac{C_{25}^2\|\mathcal{X}_*\|_2^2}{n^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, теорема 5, [24; теорема 3.1] и третье неравенство из (4.12) дают $\|\mathcal{X}_*\|_2\leqslant 4\|\widetilde{\mathcal{B}}^\alpha\|_2\leqslant 4C_{20}$. Аналогичным образом и по той же схеме оценивается $\|\mathcal{P}_n(\Gamma_m\mathcal{X}_*)\|_2$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\|(\Gamma_m\mathcal{X}_*)\mathcal{P}_n\|_2\leqslant \frac{C_{26}}{n}, \quad \|\mathcal{P}_n(\Gamma_m\mathcal{X}_*)\|_2\leqslant \frac{C_{26}}{n}, \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Подставляя (4.7) и (6.5) в (6.4), мы получаем
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{\mathcal{P}}_n-\mathcal{P}_n\|_2\leqslant \frac{C_{27}}{n},\qquad \sum_{n\geqslant m+1}\|\widetilde{\mathcal{P}}_n-\mathcal{P}_n\|_2^2<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как система проекторов $\{\mathcal{P}_n\}_{n=1}^\infty$ является ортогональной системой проекторов на одномерное подпространство $\operatorname{Span}\{e_n\}$, то согласно теореме Бари–Маркуса [28; гл. 6, теорема 5.2] система корневых функций оператора $\mathcal{H}^\alpha$ образует базис Бари в пространстве $L_2(0, 1)$. Теорема доказана. Авторы выражают благодарность рецензенту за многочисленные замечания, которые позволили улучшить первоначальную версию статьи. | ||||||||||
