В. В. Горбацевич, “О базах малой размерности натуральных расслоений компактных однородных пространств”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:6 (2024), 118–138; Izv. Math., 88:6 (2024), 1119

В статье изучается один из элементов расслоенной структуры компактных однородных пространств – базы натуральных расслоений, причем рассмотрение ведется с точностью до конечнолистного накрытия. Отметим, что произвольные компактные однородные пространства размерностей $\leqslant 7$ изучались подробно в ряде работ автора. Но здесь нас будут интересовать не сами однородные пространства и их размерности, а только базы натуральных расслоений для них, причем имеющих небольшую размерность ($\leqslant 5$). Сами же однородные пространства с такими базами могут иметь сколь угодно большую размерность.

Группы Ли мы будем обозначать заглавными латинскими буквами, а их алгебры Ли – соответствующими строчными латинскими буквами. Группы Ли, транзитивные на многообразиях, мы будем обычно предполагать связными (и иногда односвязными), а их транзитивные действия – локально эффективными. Через $\pi_k(\ast)$ будут обозначаться гомотопические группы. Под решеткой в группе Ли мы будем понимать дискретную подгруппу, факторпространство по которой компактно (другими словами, мы будем рассматривать только равномерные решетки). Гладкое, локально тривиальное расслоение многообразия $M$ над базой $B$ и со слоем $F$ будет обозначаться $F\to M \to B$. Описание нужных нам свойств групп и алгебр Ли можно найти в [1]. Подробности о строении и свойствах однородных пространств можно найти в [2], а нужные сведения о решетках в группах Ли – в [3].

Базы $M_a$ натуральных расслоений компактных однородных пространств $M$ – это асферичные компактные многообразия (асферичность означает, что их гомотопические группы $\pi_k$ тривиальны при всех $k \geqslant 2)$. Такие многообразия $M_a$ с точностью до гомопопической эквивалентности (а часто и с точностью до диффеоморфизма, см. [4]) определяются своей фундаментальной группой $\pi_1(M_a)$. Отметим, что фундаментальная группа (рассматриваемая с точностью до изоморфизма) компактного многообразия конечно определена (т. е. задается конечным числом образующих и соотношений), а потому множество всех таких групп (с точностью до изоморфизма) счетно. Потому и множество многообразий $M_a$ счетно (как минимум, при рассмотрении их с точностью до гомотопической эквивалентности). В настоящей статье особое внимание уделяется счетности некоторых специальных классов многообразий $M_a$.

Вначале приведем нужные нам определения и сформулируем некоторые ранее опубликованные автором результаты, используемые в настоящей статье.

Пусть $M$ – некоторое компактное многообразие (все многообразия предполагаются конечномерными и гладкими), Предположим, что существует группа Ли $G$ (предполагаемая здесь всегда конечномерной), которая транзитивно действует на $M$. Тогда многообразие $M$ называется однородным (относительно указанного действия группы Ли $G$) пространством и оно может быть представлено в виде факторпространства $M=G/H$ группы Ли $G$ по некоторой замкнутой подгруппе Ли $H \subset G$ (стационарной подгруппе некоторой точки из $M$).

Иногда при рассмотрении однородных пространств отвлекаются от конкретизации соответствующей транзитивной группы Ли (на одном многообразии обычно могут транзитивно, и даже эффективно, действовать различные группы Ли). В таком случае будем говорить об однородных многообразиях, т. е. таких многообразиях, на которых существует транзитивное действие некоторой конечномерной группы Ли (не конкретизируется, какая именно).

Пусть $M = G/H$ – компактное однородное пространство некоторой связной группы Ли $G$ (подгруппа Ли $H$ всегда предполагается замкнутой). Эту группу Ли мы можем (и будем) часто предполагать односвязной и локально эффективной на $M$ (эффективной же она при этом будет не всегда). Пусть $K$ – некоторая максимальная компактная подгруппа в $G$. Она односвязна и полупроста (в силу предполагаемой нами односвязности группы Ли $G$) и определена однозначно с точностью до сопряжения в $G$. Имеется естественное действие группы Ли $K$ на многообразии $M$. В общем случае орбиты этого действия между собой не изоморфны, хотя все они здесь, как оказывается, будут одной размерности. Но они при этом могут иметь разный орбитный тип (т. е. соответствующие разным точкам многообразия $M$ стационарные подгруппы не всегда будут сопряжены в $K$).

Действие компактной группы $K$ на многообразии $M$ называется эквиорбитным, если все его орбиты – одного орбитного типа, т. е. если для любых точек $m, m' \in M$ соответствующие им стационарные подгруппы $K_m, K_{m'}$ сопряжены в $K$. Оказывается, что для произвольного компактного однородного пространства $G/H$ существует некоторое компактное однородное пространство $M' = G/H'$ (той же группы Ли $G$), его конечнолистно накрывающее (здесь $H'$ – это некоторая подгруппа конечного индекса в $H$), и которое является эквиорбитным относительно естественного действия максимальной компактной подгруппы $K$. В таком случае пространство орбит $K \setminus M' $ этого действия является гладким многообразием, а естественное отображение $M' \to K \setminus M' $ – гладким, локально тривиальным расслоением. Это расслоение называется натуральным расслоением для $M$ (хотя фактически нередко расслаивается не само многообразие $M$, а подходящее многообразие $M'$, конечнолистно его накрывающее). Базу этого расслоения обозначим через $M_a$, а его слой – через $M_c$.

В общем случае при построении натурального расслоения переход к $M'$ необходим, если мы хотим получить на $K \setminus M'$ структуру гладкого многообразия. При этом какого-то канонического выбора конечнолистного накрытия здесь не существует. Однако и для исходного многообразия $M$ тоже имеется своего рода расслоение – это будет расслоение Зейферта над базой $K \setminus M$, которая является орбиобразием (а потому, вообще говоря, многообразием с особенностями). Это обобщение натурального расслоения мы здесь рассматривать не будем.

Итак, натуральное расслоение $M_c \to M' \to M_a$ – это гладкое, локально тривиальное расслоение для подходящего многообразия $M'$, конечнолистно накрывающего исходное компактное однородное многообразие $M$. Это расслоение по многообразию $M'$ определяется однозначно с точностью до послойной гомотопической эквивалентности.

База натурального расслоения $M_a$ имеет вид $K\setminus M' $ и является асферичным гладким многообразием. Более того, универсальное накрывающее $M_a$ многообразие диффеоморфно евклидову пространству (отметим, что не всякое асферичное многообразие обладает таким свойством, хотя универсальное накрывающее многообразие для них всегда будет стягиваемо). При этом с точностью до диффеоморфизма базу натурального расслоения удается записать (возможно, снова переходя к некоторому конечнолистному накрытию) в виде пространства двойных смежных классов $\Gamma \setminus F/C$, где $F$ – некоторая связная, хотя и не обязательно односвязная, группа Ли (на самом деле она тесно связана с исходной транзитивной группой Ли), $C$ – максимальная компактная подгруппа Ли в $F$, а $\Gamma$ – решетка (т. е. дискретная подгруппа с компактным факторпространством) в $F$, свободная от кручения. При этом можно считать, переходя при необходимости к подгруппе конечного индекса в $\Gamma$ (что эквивалентно переходу от $M_a$ к некоторому многообразию, его конечнолистно накрывающему), что пересечение $\Gamma \cap C$ содержится в центре $Z(F)$ группы Ли $F$. Более того, тогда мы можем считать, что это пересечение тривиально, факторизуя по нему группу Ли $F$.

Нам понадобится понятие соизмеримости баз натуральных расслоений. На самом деле это понятие применимо к произвольным многообразиям и даже к топологическим пространствам. Два топологических пространства $X$ и $Y$ называются соизмеримыми, если существует топологическое пространство $Z$, конечнолистно накрывающее и $X$, и $Y$. Ясно, что соизмеримость является отношением эквивалентности. Любое топологическое пространство, конечнолистно накрывающее некоторое топологическое пространство, является с ним соизмеримым.

Аналогично вводится понятие соизмеримости групп. Две группы будем называть соизмеримыми, если в них существуют изоморфные между собой подгруппы конечных индексов. Ясно, что топологические пространства соизмеримы только тогда, когда соизмеримы их фундаментальные группы. Отметим, что иногда соизмеримость при изучении решеток (и, вообще, дискретных подгрупп в группах Ли) понимают иначе, чем в настоящей статье: как конечность индексов пересечений таких групп в каждой из них.

Представление базы $M_a$ натурального расслоения в виде $\Gamma \setminus F/C$ (где $C$ – максимальная компактная подгруппа в связной группе Ли $F$, а $\Gamma$ – решетка в $F$, свободная от кручения) называется стандартным представлением базы. База натурального расслоения может иметь несколько различных (причем существенно различных) стандартных представлений.

Слой натурального расслоения имеет вид $M_c = K/L$, где $L = K \cap H'$ – стационарная подгруппа для некоторой точки $m_0 \in M'$ (она является замкнутой подгруппой в компактной группе Ли $K$). Если мы предполагаем, что группа Ли $G$ односвязна (а мы обычно так и будем делать), то и максимальная компактная подгруппа $K$ будет, как хорошо известно, односвязна, а потому она обязательно будет полупростой. Поэтому $M_c$ – однородное пространство компактной полупростой группы Ли. Слой $M_c$ натурального расслоения почти односвязен, т. е. его фундаментальная группа $\pi_1(M_c)$ конечна. Важный частный случай – когда этот слой односвязен. Необходимое и достаточное условие односвязности слоя $M_c$ (или, что эквивалентно, связности подгруппы $L = K \cap H'$) – это условие отсутствия кручения у фундаментальной группы $\pi_1(M)$ многообразия $M$ (в предположении, что действие $K$ на $M$ эквиорбитно).

Структурной группой натурального расслоения является компактная группа Ли $W =N_K (L)/L$, где $N_K(L)$ – нормализатор подгруппы Ли $L$ в $K$. Эта группа Ли $W$ (вообще говоря, несвязная) может рассматриваться как группа всех автоморфизмов однородного пространства $K/L$ (т. е. диффеоморфизмов, перестановочных с транзитивным действием группы Ли $K$). Естественное действие группы $W$ на слое натурального расслоения свободно.

Первый параграф настоящей статьи посвящен рассмотрению некоторых общих свойств баз натуральных расслоений. В § 2 описаны базы натуральных расслоений размерностей $\leqslant 3$, а в § 3 и § 4 – соответственно базы размерностей $4$ и $5$. В § 5 приводятся некоторые сведения о компактных однородных многообразиях с заданной базой натурального расслоения.

§ 1. Строение баз натуральных расслоений

База натурального расслоения $M_a$, как было сказано выше, имеет вид $K \setminus M'$, и она является асферичным гладким многообразием. При этом с точностью до диффеоморфизма базу натурального расслоения можно записать (возможно, снова переходя к некоторому конечнолистному накрытию) в виде $\Gamma \setminus F/C$, где $F$ – это некоторая связная, хотя и не обязательно односвязная, группа Ли, $C$ – максимальная компактная подгруппа Ли в $F$, а $\Gamma$ – решетка в $F$, свободная от кручения.

Для базы $M_a$ натурального расслоения (или для некоторого многообразия $M'_a$, соответствующего подходящему однородному пространству $M''$, конечнолистно накрывающему $M'$) может быть, в свою очередь, построено еще одно полезное расслоение – структурное расслоение $M_r \to M_a \to M_s$. Это – гладкое локально тривиальное расслоение, слой которого имеет вид $M_r=R/D$ (где $D$ – решетка в некоторой односвязной разрешимой группе Ли $R$), а база $M_s$ имеет вид $U\setminus S/\Pi$, где $S$ – некоторая полупростая связная группа Ли с конечным центром и без компактных факторов, $U$ – максимальная компактная подгруппа Ли в $S$, а $\Pi$ – решетка в $S$. При этом $U \setminus S$ является симметрическим пространством отрицательной кривизны, а $U \setminus S/\Pi$ – локально симметрическим пространством, являющимся компактной геометрической формой для симметрического пространства $U\setminus S$. Структурное расслоение можно рассматривать как некоторый аналог разложения Леви для групп Ли, построенный для компактных однородных многообразий (точнее, для баз их натуральных расслоений). База $M_s$ называется полупростой компонентой базы $M_a$ натурального расслоения, а $M_r$ – разрешимой компонентой. Если же обе эти компоненты нетривиальны (т. е. имеют положительные размерности), то $M_a$ – база смешанного (или общего) типа.

Следующее утверждение касается своего рода иерархии баз натуральных расслоений.

Доказательство. Пусть $M_c \to_p M \to M_a$ – некоторое натуральное расслоение для однородного многообразия $M$ (здесь через $p$ обозначена его проекция). Рассмотрим некоторое конечнолистное накрытие $f\colon N \to M_a$ и расслоение над $N$, индуцированное накрытием $f$. Пространство этого расслоения обозначим через $M'$. Оно, очевидно, конечнолистно и накрывает исходное многообразие $M$. Покажем, что $M'$ – однородное многообразие, причем многообразие $N$ является базой его натурального расслоения, а слой у него тот же, что и у исходного натурального расслоения для $M$.

Пусть $G$ – это односвязная связная группа Ли, транзитивная на многообразии $M$. Ей соответствует конечномерная алгебра Ли $L$ векторных полей на $M$. В силу локальной диффеоморфности накрытия эти векторные поля однозначно переносятся на $M'$, образуя там конечномерную алгебру Ли $L'$, изоморфную $L$. Многообразие $M'$ компактно (так как оно конечнолистно накрывает компактное многообразие $M$), и потому алгебра Ли $L'$ порождает группу Ли, действующую на $M'$. Мы можем считать, что эта группа Ли односвязна, и потому она будет изоморфна исходной группе Ли $G$. При этом получаемое действие группы Ли $G$ на $M'$ будет транзитивно, так как все его орбиты, очевидно, открыты (в силу локальной диффеоморфности отображения накрытия), и потому в силу связности многообразия $M'$ существует только одна орбита, которая и совпадает с $M'$. Тем самым мы доказали, что построенное нами многообразие $M'$ однородно, причем на нем транзитивна та же группа Ли $G$, которая транзитивна на исходном многообразии $M$. При этом легко понять (используя конструкцию натурального расслоения, описанную выше), что многообразие $N$ будет диффеоморфно базе некоторого натурального расслоения для $M'$. Лемма доказана.

Что касается множества всех соизмеримых баз натуральных расслоений, то полностью его описать трудно, так как в конструкцию натурального расслоения входит плохо контролируемый переход к конечнолистному накрытию. Поэтому далее мы ограничимся указанием и рассмотрением только представителей каждого класса соизмеримости баз натуральных расслоений. Иногда среди этих баз можно выбрать в некотором смысле минимальные, т. е. такие базы, которые не являются нетривиальными накрытиями каких-то других баз. Что же касается максимальных, то их не существует, так как переход к подгруппе конечного индекса в $\pi_1(M_a)$ даст в силу леммы 1 тоже некоторую базу натурального расслоения. Нахождение же подгрупп конечных и сколь угодно больших индексов в рассматриваемом нами случае однородных многообразий всегда возможно, если исходное однородное многообразие имеет бесконечную фундаментальную группу.

Для полупростых баз (когда разрешимая компонента вырождается в точку), можно считать, что группа Ли $F$ в стандартном представлении полупроста. Но, как известно, в полупростых группах Ли существуют максимальные решетки (причем таких может быть несколько несопряженных), и потому существуют минимальные базы натуральных расслоений.

Для баз $M_a$ с нильпотентной фундаментальной группой минимальных среди баз натурального расслоения, как нетрудно показать, не существует. Это вытекает из связи решеток в нильпотентных группах Ли с $\mathbf{Q}$-структурой на соответствующих алгебрах Ли (установленной А. И. Мальцевым). Что касается случая разрешимой фундаментальной группы, здесь ситуация более сложная.

§ 2. Базы натуральных расслоений размерностей $1$, $2$ и $3$

В данном параграфе описаны базы натуральных расслоений размерностей $1$, $2$ и $3$. В отличие от более высоких размерностей, здесь будет дано весьма детальное описание таких баз.

При $\dim M_a = 1$ ситуация очень проста. Ведь существует только одно (с точностью до диффеоморфизма) компактное одномерное многообразие – это окружность $S^1$. Она сама является, очевидно, однородным многообразием и даже группой Ли). Поэтому она является единственным примером одномерной базы натурального расслоения. Более того, она является солвмногообразием (и для нее полупростая компонента вырождается в точку).

Случай $\dim M_2=2$ несколько более интересен. Однако нужный нам результат – описание всех баз натуральных расслоений – уже известен (в случае, когда эта база ориентируема).

Любое компактное двумерное многообразие однозначно с точностью до диффеоморфизма определяется ориентируемостью и родом $g$. Асферичными будут только двумерные компактные поверхности рода $g>0$.

Если $g=1$, то поверхность диффеоморфна тору $T^2$ или бутылке Клейна $K^2$. Факт однородности поверхности $T^2$ очевиден (она сама является группой Ли), а для $K^2$ этот факт менее очевиден. Более того, в своей классификации компактных однородных поверхностей Э. Картан бутылку Клейна пропустил. Ее однородность была обнаружена только Дж. Мостовым в [5]. Вкратце опишем представление $K^2$ как однородного пространства трехмерной группы Ли $\mathrm{E}(2)_0$, сохраняющих ориентацию движений двумерной евклидовой плоскости. Эта группа Ли образована следующими матрицами порядка $3$:

Многообразие $K^2$ может быть записано в виде $\mathrm{E}(2)_0/H$, где одномерная стационарная подгруппа $H$ состоит из матриц вида

Переходим к рассмотрению других поверхностей, претендующих на звание баз натуральных расслоений. Для простоты ограничимся рассмотрением только ориентируемых среди них. Такая поверхность однозначно с точностью до диффеоморфизма определяется своим родом, который в нашем случае должен быть $>1$. Такие многообразия, в отличие от рассмотренных выше, никогда однородными не будут. Но, несмотря на это, базами натуральных расслоений (и даже иногда – тривиальных расслоений) они быть могут. Это было впервые показано в [6], а потом уточнено в [7].

Теперь переходим к случаю $\dim M_a=3$, который, в отличие от случаев $\dim M_a=1,2$, уже не был детально рассмотрен автором ранее.

Для начала нужно выделить те трехмерные компактные асферичные многообразия, которые могут в принципе быть базами натуральных расслоений. И так как здесь число кандидатов очень велико (оно, в частности, связано с большим числом различных решеток), то теперь базы $M_a$ мы будем рассматривать только с точностью до соизмеримости. При этом основой нашего рассмотрения будет сформулированное выше утверждение о возможности представления базы натурального расслоения (рассматриваемой с точностью до соизмеримости) в виде $\Gamma \setminus F/C$.

Итак, далее мы будем рассматривать только такие базы натуральных расслоений, которые представлены в стандартном виде $\Gamma \setminus F/C$ (где $C$ – максимальная компактная подгруппа в связной группе Ли $F$, а $\Gamma$ – решетка в $F$, свободная от кручения).

При $\dim M_a=3$ должно быть, очевидно, $\dim F-\dim C = 3$. Пусть $F = S \cdot R$ – разложение Леви группы Ли $F$ (здесь $R$ – радикал, а $S$ – полупростая часть группы Ли $F$).

Предположим вначале, что $S = \{e\}$, т. е. группа Ли $F$ разрешима. Тогда мы можем считать (рассматривая базы натуральных расcлоений с точностью до соизмеримости), что $M_a = R/\Gamma$, где $R$ – разрешимая трехмерная односвязная группа Ли, а $\Gamma$ – решетка в $R$ (см., например, [2]).

Прежде чем детально рассматривать этот случай, мы докажем одно общее утверждение, касающееся произвольных компактных многообразий вида $R/\Gamma$,где $R$ – произвольная односвязная разрешимая группа Ли (а не только трехмерная), а $\Gamma$ – решетка в ней.

Доказательство. Компактные солвмногообразия $R/\Gamma$, как известно, определяются с точностью до диффеоморфизма своей фундаментальной группой (изоморфной $\Gamma$). Потому мы будем изучать именно эти фундаментальные группы. Рассмотрение многообразий $M$ с точностью до соизмеримости в данном случае эквивалентно рассмотрению решеток $\Gamma$ с точностью до соизмеримости.

Для начала отметим тот известный факт, что решетки в разрешимых односвязных группах Ли являются полициклическими группами, т. е. они имеют субнормальный ряд подгрупп с циклическими факторами. Число решеток $\Gamma$ среди них, рассматриваемых с точностью до изоморфизма, заведомо не более чем счетно (хотя легко убедиться, что оно бесконечно и потому именно счетно). Но мы рассматриваем группы с точностью до соизмеримости и в принципе могло бы оказаться, что среди счетного числа решеток $\Gamma$ попарно несоизмеримых имеется только конечное число. Мы покажем, что это не так. Причем мы рассмотрим вначале решетки в трехмерных односвязных разрешимых группах Ли, а общее утверждение для произвольной размерности $\geqslant 3$ отсюда легко выводится.

Мы сейчас рассмотрим группы, которые представлены в виде полупрямого произведения $\mathbf{Z}\times_{\phi} \mathbf{Z}^2$. Полупрямое произведение здесь однозначно задается гомоморфизмом $\phi \colon \mathbf{Z}\to \mathrm{GL}(2, \mathbf{Z})$, а тот, в свою очередь, однозначно определяется элементом $\phi(1)\in \mathrm{GL}(2,\mathbf{Z})$, т. е. целочисленной обратимой над $\mathbf{Z}$ матрицей второго порядка, которую мы обозначим через $A$. Нас будут интересовать два инварианта таких матриц – след $\operatorname{tr}(A)$ и определитель $\det(A)$. Что касается определителя здесь, то он равен только $+1$ или $-1$. Переходя от $A$ к $A^2$ (это эквивалентно переходу от $\Gamma$ к ее подгруппе индекса $2$, что не меняет класс соизмеримости), мы можем ограничиться случаем $\det(A)=1$.

Рассмотрим теперь роль следа матрицы $A$, который как параметр мы обозначим через $t$ ($t \in \mathbf{Z})$. Ясно в силу введенного нами ограничения на определитель, что характеристический многочлен матрицы $A$ имеет вид $\lambda^2-t\lambda+1$. Для дальнейшего нам достаточно рассматривать только случаи при $t \in \mathbf{N}$ и $t >2$ (последнее условие, как легко понять, обеспечивает нам иррациональность корней).

Рассмотрим квадратичное расширение поля $F$ рациональных чисел, порожденное присоединением $\sqrt {t^2-4}$. Положим для краткости $s=t^2-4$. Элементы поля $F$ имеют вид $a+b\sqrt s$, где $a,b\in \mathbf{Q} $. Характеристические корни $\lambda_1$, $\lambda_2$ матрицы $A$ принадлежат полю $F$, причем они взаимно обратны (т. е. $\lambda_1\cdot \lambda_2=1$). Ясно, что в представлении $\lambda_1=a+b \sqrt s$ при $t>2$ коэффициенты $a$, $b$ отличны от нуля (большего нам от них здесь не будет нужно).

Нам понадобится одно утверждение, связанное с квадратичными полями. Оно тесно связано с теоремой Дирихле о единицах квадратичного поля.

Доказательство. Ясно, что выражение $(a_1+b_1 \sqrt p\,)^m$ можно записать в виде $a_{1,m}+b_{1,m} \sqrt p$, где $a_{1,m}$, $b_{1,m}$ – некоторые рациональные числа. Покажем,что $b_{1,m} \ne 0$.

Предположим, что это не так. Тогда $(a_1+b_1 \sqrt p\,)^m = a_{1,m} \in \mathbf{Q}$ – некоторое рационально число. Поэтому имеем соотношение $(a_1+b_1 \sqrt p\,) = a_{1,m}^{1/m}$. Тем самым мы имеем линейную зависимость с рациональными коэффициентами между $1$, $\sqrt p$ и корнем степени $m$ из некоторого целого числа $c$ (полученного на основе числа $a_{1,m}^{1/m}$), причем коэффициенты при $1$ и $c$ – ненулевые. Такого рода соотношения уже давно были изучены в теории чисел. Укажем только одну из самых давних работ на эту тему А. Безиковича [8]. Из содержания этой статьи следует, что в нашем случае должно быть $m=2$ и, что для нас самое главное, $a_1=0$. Но это противоречит нашему предположению. Тем самым мы доказали,что $b_{1,m} \ne 0$. Аналогичное разложение имеет место, конечно, и для $(a_2+b_2 \sqrt q\,)^m$, но здесь нам уже доказывать отличие каких-то коэффициентов от нуля не нужно.

В результате из исходного равенства мы получаем в силу $m=n=2$ равенство вида $a_{1_m}+b_{1,m} \sqrt p = a_{2,n}+b_{2,n} \sqrt q $. В силу [8] получаем, что $p=q$, так как числа $p$, $q$ оба натуральные и свободны от квадратов. Лемма доказана.

Рассмотрим теперь счетное множество групп вида $\mathbf{Z} \times_{\phi} \mathbf{Z}^2$, задаваемых гомоморфизмами $\phi$ такими, что соответствующие значения параметров $t=\operatorname{tr} \phi(1)$ у них будут различны, и все они – натуральные числа, свободные от квадратов и большие $2$, т. е. речь идет о числах $t=3,5,6,7,10,11, \dots$ . Множество таких натуральных чисел обозначим через $T$. Для каждого такого $t \in T$ построим соответствующую группу $\Gamma_t= \mathbf{Z}\cdot \mathbf{Z}^2$ как полупрямое произведение $\mathbf{Z}$ и $\mathbf{Z}^2$ с помощью матрицы $A$, соответствующей параметру $t$. Получаем счетное число групп, каждая из которых является решеткой в некоторой трехмерной односвязной разрешимой группе Ли $R_t$. Опишем эту группу Ли.

Фиксируем параметр $t$. Соответствующие собственные значения матриц $\phi(1)$ у нас вещественны и положительны (так как у нас $t>2)$. Но тогда матрица $\phi(1)$, как легко понять, будет логарифмируема, т.е она лежит в образе экспоненциального отображения $\exp \colon \mathrm{gl}(2,\mathbf{R}) \to \mathrm{GL}(2, \mathbf{R})$. Пусть $\phi(1) = \exp (X)$, где $X \in \mathrm{gl}(2, \mathbf{R})$. Рассмотрим однопараметрическую подгруппу $\phi(\alpha) = \exp (\alpha X)$ (здесь $\alpha$ – параметр) и с ее помощью образуем полупрямое произведение $R_t = \mathbf{R}\times_{\phi} \mathbf{R}^2$. Получим трехмерную разрешимую односвязную группу Ли. При этом беря $\alpha \in \mathbf{Z}$, мы получим вложение группы $\Gamma_t$ в $R_t$ в качестве решетки. Оно и порождает нужное нам многообразие $M_t$.

Покажем теперь, что полученные трехмерные компактные солвмногообразия $M_t$ попарно несоизмеримы. Для этого достаточно доказать, что несоизмеримы будут соответствующие решетки $\Gamma_t$.

Рассмотрим матрицы $A_t$, порождающие группы $\Gamma_t $. В силу леммы 1 любые их степени между собой не будут равны, если $t \in T$. Но тогда соответствующие им группы $\Gamma_t$ не могут быть соизмеримы.

Построенные нами солвмногообразия $M_t$ уже сами по себе являются однородными многообразиями и потому примерами баз натуральных расслоений. При этом, как показано выше, они попарно несоизмеримы и их число счетно.

А теперь вспомним, что в утверждении доказываемого нами предложения говорилось о произвольной размерности $\geqslant 3$ рассматриваемых нами многообразий. Но от трехмерного случая перейти к $n$-мерному очень просто. Достаточно взять прямое произведение двух солвмногообразий – одного из многообразий $M_t$ и тора $T^{n-3}$ размерности $n-3$. Получим, как нетрудно понять, счетное число нужных нам солвмногообразий, попарно между собой несоизмеримых. Этим доказательство предложения 1 завершено.

Отметим, что ограничение $n \geqslant 3$ на размерность многообразия в предложении 1 не случайно. Как было показано выше, для размерностей $1$ и $2$ существует не только конечное, а даже только равное $1$ число попарно несоизмеримых баз натуральных расслоений с разрешимой фундаментальной группой. А именно, это многообразия $T^1$, $T^2$ соответственно – одномерный и двумерный торы.

Пусть теперь группа Ли $F$ не является разрешимой, т. е. ее фактор Леви $S$ нетривиален.

Нам понадобится следующий факт: коразмерность максимальной компактной подгруппы Ли $C$ в некомпактной полупростой группе Ли $S$ всегда $\geqslant 2$. Это утверждение легко вывести из классификации простых некомпактных групп Ли, хотя в принципе нетрудно доказать и непосредственно. При этом указанная коразмерность для простой некомпактной группы Ли равна $2$, только если эта группа Ли соизмерима с группой Ли $\mathrm{SL}(2, \mathbf{R})$. Или, по-другому, такая группа Ли есть конечнолистное накрытие над простой группой Ли $\mathrm{PSL}(2, \mathbf{R})$. Далее, указанная коразмерность равна $3$ для простой группы Ли $S$ только в двух случаях: когда эта простая группа Ли изоморфна $\mathcal A = \widetilde {\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})}$ (универсальной накрывающей для трехмерной группы Ли $\mathrm{SL}(2, \mathbf{R})$, здесь $C=\{e\}$), или же она соизмерима с $\mathrm{SL}(2, \mathbf{C})$ (группой Ли размерности 6, в которой максимальная компактная подгруппа трехмерна и изоморфна $\mathrm{SU}(2)$). Рассмотрим указанные возможности подробнее.

Пусть теперь группа Ли $F$ не полупроста. Тогда если $R$ – ее радикал, то коразмерность пересечения $C\cap R$ должна быть $\leqslant 1$. Если эта коразмерность равна $0$, то компактная группа Ли имеет абелев компактный нормальный делитель, по которому мы можем факторизовать группу Ли $F$. Если же эта коразмерность равна $1$, то $R$ – это разрешимая группа Ли, имеющая компактную подгруппу коразмерности $1$. Эта подгруппа, как нетрудно понять, нормальна в радикале и после факторизации по ней получаем, что радикал группы Ли $F$ должен быть одномерен, и тогда группа Ли $F$ будет соизмерима с $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R}) \times \mathbf{R}$.

Если группа Ли $F$ изоморфна $\mathcal A$, то соответствующая база $M_a$ натурального расслоения диффеоморфна $\mathcal A/\Gamma$, и описание всевозможных многообразий $M_a$ сводится к рассмотрению решеток в группе Ли $\mathcal A$, причем рассмотрение это должно вестись с точностью до соизмеримости этих решеток. В данном случае структурное расслоение для $M_a$ будет иметь вид $S^1\to M_a\to F_g$, где база $F_g$ структурного расслоения – это ориентируемая компактная поверхность рода $g \geqslant 2$. В нашем случае достаточно считать, что $g=2$, т. е. расслоение это – над кренделем. Такое расслоение задается своим характеристическим классом $c\in H^2(F_2, \mathbf{Z}) = \mathbf{Z}$, т. е. некоторым целым числом $c$. При рассмотрении многообразий $M_a$ с точностью до соизмеримости можно считать, что $c$ равно $0$ или $1$. При $c=0$ получаем, что пространство такого расслоения соизмеримо с многообразием $S^1 \times F_2$ (здесь оно – побочный продукт нашего рассмотрения, так как оно не имеет вид $\mathcal A/\Gamma$). Возникает естественный вопрос: а может ли многообразие $F_g$ при $g>1$ (которое само, как нетрудно проверить, не будет однородным) являться базой натурального расслоения для некоторого компактного однородного многообразия? Как было еще давно показано автором (см. [6]), уже многообразие $F_2$ может быть базой натурального расслоения, а потому и $F_2\times S^1$ – тоже. Что же касается случая, когда группа Ли $F$ изоморфна $\mathcal A$, то с точностью до соизмеримости существует только одна трехмерная база натуральных расслоений. Обозначим ее через $S^1(F_2)$ (это – пространство нетривиального расслоения на окружности над $F_2$).

Следующая возможность здесь – когда группа Ли $F$ локально изоморфна $\mathrm{SL}(2,\mathbf{C})$. Здесь нужно рассматривать (с точностью до соизмеримости) решетки $\Gamma \subset \mathrm{SL}_2(\mathbf{C})$. В этом случае многообразия $M_a$ можно представлять в виде факторов трехмерного гиперболического пространства $H^3 = \mathrm{SL}(2, {\mathbf{C}})/ \mathrm{SU}(2)$, так как группа $\mathrm{SL}_2(\mathbf{C})$ локально изоморфна псевдоортогональной группе $\mathrm{SO}(1,3)$. Так что изучение многообразий $M_a$ в данном случае сводится к изучению компактных форм трехмерного гиперболического пространства, рассматриваемых с точностью до соизмеримости. В этом случае известно, что существует счетное число попарно несоизмеримых решеток (рассматриваемых с точностью до сопряжения), см. [9]. Потому и множество соответствующих гиперболических многообразий $M_a$, рассматриваемых с точностью до соизмеримости, тоже счетно. При этом можно, как известно, достаточно явно описать все арифметические решетки $\Gamma \subset \mathrm{SO}(1,3)$.

Остается рассмотреть случай, когда $F$ соизмерима с группой Ли $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R}) \times \mathbf{R}$. В этом случае оказывается, что соответствующее многообразие $\Gamma \setminus F/C$ соизмеримо с многообразием $F_2\times S^1$. Это вытекает из результатов Дж. Мостова, о которых будет рассказано ниже (см. предложение 2). Отметим, однако, что для рассматриваемого сейчас частного случая нетрудно дать и прямое достаточно короткое доказательство.

Результаты этого параграфа суммируем в виде следующей теоремы.

Отметим, что в случае $\dim M_a=1$ многообразие $M_a$ совпадает с $M_r$ – разрешимой компонентой структурного расслоения. В случае $\dim M_a=2$ база $M_a$ соизмерима либо с $M_r$ (тор $T^2$), либо с полупростой компонентой $M_s$ (диффеоморфной $F_2$). При $\dim M_a=3$ либо $M_a=M_r$, либо $M_a=M_s$ (это будет для гиперболических многообразий), либо $M_r=S^1$, $M_s=F_2$, т. е. тогда $M_a$ является базой общего вида (с нетривиальными разрешимой и полупростой компонентами).

При изучении баз натуральных расслоений полезно выделить среди них неразложимые. Будем называть базу натурального расслоения (рассматриваемую, как обычно, с точностью до соизмеримости) разложимой, если она соизмерима с прямым произведением двух нетривиальных (т. е. положительной размерности) баз натуральных расслоений.

Доказательство. Для начала отметим, что компактное солвмногообразие размерности $\leqslant 3$ разложимо, только если оно соизмеримо с тором. Например, для трехмерного компактного солвмногообразия его разложимость означала бы, что оно соизмеримо с прямым произведением одномерного и двумерного многообразий, являющихся базами натуральных расслоений. Но из теоремы 1 видно, что тогда двумерное многообразие здесь – это тор (ибо $F_2$ здесь не может появиться в силу неразрешимости ее фундаментальной группы), и потому получаем, что исходное солвмногообразие соизмеримо с тором. Для меньших размерностей подобное утверждение очевидно.

Неразложимость поверхности $F_2$ очевидна.

В силу теоремы 1 нам остается только рассмотреть базы натуральных расслоений, имеющие вид $\Gamma \setminus \mathrm{SL}(2,{\mathbf{C}})/\mathrm{SU}(2)$. Если такое многообразие разложимо, то оно должно быть соизмеримо с прямым произведением двумерного многообразия и окружности. Причем очевидно, что указанное двумерное многообразие должно быть соизмеримо с $F_g$. А потому фундаментальная группа $\pi_1(\Gamma \setminus \mathrm{SL}(2,{\mathbf{C}})/\mathrm{SU}(2))$ должна иметь подгруппу конечного индекса, центр которой изоморфен $\mathbf{Z}$. Однако для решеток в $\mathrm{SL}(2, \mathbf{C})$ центр, как известно, конечен. Например, это вытекает из того, что, рассматривая $\mathrm{SL}(2,\mathbf{C})$ как алгебраическую простую группу, алгебраическое замыкание решетки в ней должно совпадать с этой группой, а центр группы $\mathrm{SL}(2,\mathbf{C})$ конечен. Следствие доказано.

Отметим, что говоря о неразложимости многообразия, мы здесь имеем в виду отсутствие (с точностью до соизмеримости) разложения многообразия в прямую сумму многообразий меньшей размерности, которые сами являются базами некоторых натуральных расслоений. Однако нетрудно показать, что указанные в следствии 1 многообразия неразложимы и в более сильном смысле: они с точностью до соизмеримости неразложимы и в прямое произведение любых многообразий.

§ 3. Базы натуральных расслоений размерности $4$

Начиная с размерности $4$, описание баз натуральных расслоений (даже рассматриваемых с точностью до соизмеримости) заметно усложняется.

Здесь, конечно, имеется тоже счетное число попарно несоизмеримых баз $M_a$ натуральных расслоений. Мы укажем общий вид таких многообразий, но дать подробное описание их всех с точностью до соизмеримости весьма непросто.

Доказательство. Здесь доказательство проводится по той же схеме, что и рассмотрение случая $\dim M_a=3$ в доказательстве теоремы 1 выше.

Отметим только один специальный случай – когда группа Ли $F$ могла бы быть соизмерима с полупрямым произведением $\mathrm{SL}(2, \mathbf{R}) \times_{\tau} \mathbf{R}^2$ (где $\tau$ – тавтологическое представление в $\mathbf{R}^2$). Эта группа Ли имеет решетки, но не равномерные, а только такие, факторпространство по которым имеет конечную меру. Докажем это.

Предположим, что $\Gamma$ – некоторая равномерная решетка в $\mathrm{SL}(2, \mathbf{R}) \times_{\tau} \mathbf{R}^2$. Здесь полупростая часть группы Ли изоморфна $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$, а радикал абелев и изоморфен $\mathbf{R}^2$. При этом $\Gamma \cap \mathbf{R}^2$ – решетка в $\mathbf{R}^2$ (изоморфная $\mathbf{Z}^2$). Факторгруппа $\Gamma /\Gamma \cap \mathbf{R}^2$ тогда будет решеткой в $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$, причем в своем действии на $\mathbf{R}^2$ сохраняющей решетку $\mathbf{Z}^2\subset \mathbf{R}^2$. Но подгруппа в $\mathrm{GL}(2, \mathbf{R})$, сохраняющая решетку в $\mathbf{R}^2$, сопряжена с подгруппой целочисленных матриц $\mathrm{GL}(2,\mathbf{R})$, а эта подгруппа не является равномерной решеткой. Теорема доказана.

Из этой теоремы аналогично случаю $\dim M_a=3$ выводится такое следствие.

Доказательство. Начнем с утверждения о неразложимости указанных в пп. a), b) многообразий.

Для компактных солвмногообразий их разложимость в прямое произведение многообразий меньшей размерности эквивалентно разложимости в нетривиальное произведение фундаментальной группы этого многообразия (см. [10]). Это доказывает, как легко понять, пункт a) данного следствия.

Что касается пункта b), то разложимость здесь означает представление в виде прямого произведения многообразия размерностей $1$ и $3$ или же $2$ и $2$. Невозможность таких разложений легко вытекает из свойств решеток в полупростых группах Ли, причем в случае многообразия $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R}) \times \mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$ нужно учесть, что решетки здесь предположены неприводимыми.

Переходим к утверждению о разложимости всех остальных многообразий из теоремы 2. Для солвмногообразий опять используется [10]. Остается рассмотреть многообразия, для которых группа Ли $F$ соизмерима с $\mathcal A \times \mathbf{R}$ или с $ \mathrm{SL}(2,\mathbf{R}) \times \mathbf{R}^2$.

Мы выведем соизмеримость соответствующих многообразий из следующего более общего утверждения (которое мы еще используем и ниже при рассмотрении баз размерности $5$).

Говоря о “почти полупрямом” произведении, мы имеем в виду требование, чтобы пересечение множителей было дискретно (или даже конечно).

Это утверждение применимо у нас здесь для групп Ли $F$, соизмеримых с линейными или односвязными группами Ли. На самом деле оно верно и в более общих случаях, но мы не будем здесь на этом останавливаться и рассмотрим только нужный нам здесь частный случай.

Пусть теперь группа $S$ не является ни односвязной, ни почти линейной. Нам в дальнейшем будет нужен только случай, когда группа Ли $S$ изоморфна $\mathcal A \times \mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$. Eе центр изоморфен $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}_2$, и она не имеет точных конечномерных линейных представлений. Мы здесь ограничимся рассмотрением только групп Ли вида $G= \mathcal A \times \mathrm{SL}(2,\mathbf{R}) \times \mathbf{R}^n$ (ибо именно они нам далее и понадобятся).

Итак, рассмотрим группу Ли $\mathcal A \times \mathrm{SL}(2,\mathbf{R}) \times \mathbf{R}^n$ и в ней решетку $\Gamma$. Так как группа Ли $\mathcal A \times \mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$ не имеет компактных факторов, то пересечение $\Gamma \cap \mathbf{R}^n$ является решеткой в $\mathbf{R}^n$ (изоморфной $\mathbf{Z}^n$). Рассмотрим теперь коммутант $[\Gamma,\Gamma]$. Ясно, что он содержится в $S$. При этом центр $Z(\Gamma)$ почти полностью содержится в $[\Gamma,\Gamma]$. Но тогда от группы Ли $G$ мы можем, факторизуя по $Z(S)$, перейти к линейной группе Ли $G^\ast = \mathrm{PSL}(2,\mathbf{R}) \times \mathrm{PSL}(2,\mathbf{R}) \times \mathbf{R}^n$, содержащей решетку $\Gamma/\Gamma \cap Z(S)$. При этом группа Ли $G^\ast$ линейна, и потому мы можем применить уже упоминавшийся выше результат из [12]. Тем самым многообразие $\mathcal A \times \mathrm{SL}(2,\mathbf{R}) \times \mathbf{R}^n / \Gamma$ будет соизмеримо с $S/D \times \mathbf{R}^n/\mathbf{Z}^n$.

Продолжим доказательство следствия 2. Из предложения 2 вытекает, в частности, что для групп Ли $\mathcal A \times \mathbf{R}$, $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R}) \times \mathbf{R}^2$ и $\mathcal A \times \mathrm{SL}(2,\mathbf{R}) \times \mathbf{R}$ соответствующие многообразия $G/\Gamma$ будут разложимы. Этим доказательство следствия 2 завершено.

§ 4. Базы натуральных расслоений размерности $5$

Здесь, в отличие от предыдущих параграфов статьи, будет дано только довольно общее описание баз натуральных расслоений. Это связано с тем, что для размерности $5$ такое описание становится довольно громоздким, особенно в разрешимом случае.

Теорема 3. База $M_a$ натурального расслоения при $\dim M_a=5$ соизмерима с одним из следующих многообразий.

a) Разрешимые: солвмногообразия вида $R/\Gamma$, где $R$ – разрешимая односвязная группа Ли размерности $5$, а $\Gamma$ – решетка в ней. Множество таких многообразий $M_a$, рассматриваемых с точностью до соизмеримости, счетно.

b) Полупростые: вида $\Gamma \setminus S/K$, где $S$ – полупростая группа Ли, соизмеримая с одной из следующих групп Ли:

$$ \begin{equation*} \mathrm{SU}(1,2), \quad \mathrm{SL}(3,\mathbf{R}), \quad \mathrm{SO}(1,5), \quad \mathrm{SL}(2,{\mathbf{C}}) \times \mathrm{SL}(2,\mathbf{R}), \quad \mathcal A \times \mathrm{SL}(2,\mathbf{R}). \end{equation*} \notag $$

c) Общего вида: $\Gamma \setminus F/Q$ ($Q$ – максимальная подгруппа в $F$, $\Gamma$ – решетка в $F$), где группа Ли $G$ соизмерима с одной из следующих групп Ли:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \mathcal A \times \mathbf{R}^2, \quad \mathrm{SL}(2, \mathbf{R}) \times R,\quad\mathrm{SL}(2, {\mathbf{C}}) \times \mathbf{R}^2, \quad \mathrm{SL}(2, \mathbf{R}) \times_{\mathrm{Ad}} \mathbf{R}^3, \\ \mathrm{SO}(1,4) \times \mathbf{R}, \quad\mathrm{SL}(2,\mathbf{R}) \times \mathrm{SL}(2,\mathbf{R}) \times \mathbf{R}, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

где $R$ – односвязная трехмерная группа Ли, имеющая решетку (о них подробнее см. выше), а для группы Ли $\mathrm{SL}(2, \mathbf{R}) \times_{\mathrm{Ad}} \mathbf{R}^3$ через $\mathrm{Ad}$ обозначено присоединенное представление (трехмерное) группы Ли на ее алгебре Ли.

Доказательство. Сам список фигурирующих здесь групп Ли $F$ получается тем же методом, который был использован для меньших размерностей.

А именно, вначале выделяем полупростые группы Ли, которые могут породить (в сочетании с некоторым радикалом) нужные нам многообразия $M_a$. Далее, добавляем возможный вид максимальных компактных подгрупп. Даже для одной простой группы Ли локально изоморфные группы Ли могут иметь разные размерности максимальных компактных подгрупп. Простейший пример – трехмерные простые некомпактные группы Ли. Все они локально изоморфны $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$, но, например, для самой $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$ максимальная компактная подгруппа одномерна, а для $\mathcal A$ (универсальной накрывающей для $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R}$)) максимальная компактная подгруппа тривиальная (а сама группа Ли $\mathcal A$ диффеоморфна $\mathbf{R}^3$).

Что касается радикала $R$, то должно быть $\dim R \leqslant 3$. Мы покажем, что радикал $R$ должен быть абелев. И тогда он будет изоморфен $\mathbf{R}$ или $\mathbf{R}^2$ (причем в этих двух случаях разложение Леви будет прямое), или $\mathbf{R}^3$. Отметим, что в наших случаях полупростая часть группы Ли $F$ не имеет компактных факторов, а потому $\Gamma \cap R$ будет в $R$ решеткой. Отсюда, в частности, вытекает, что радикал $R$ унимодулярен.

При $\dim R=1$ ясно, что радикал $R$ изоморфен $\mathbf{R}$, а разложение Леви – прямое. При $\dim R=2$ есть только одна односвязная унимодулярная группа Ли – изоморфная $\mathbf{R}^2$. Но рассуждением, аналогичным при рассмотрении случая $\dim M_a=4$ (теорема 2), тогда получаем, что действие группы Ли $S$ на радикале должно быть тривиально, и потому разложение Леви будет прямым.

Рассмотрим теперь случай $\dim R = 3$. Тогда из $\dim M_a=5$ вытекает, что $S$ будет соизмерима с $\mathrm{SL}(2, \mathbf{R})$. Рассмотрим действие алгебры Ли $L(S)$ на алгебре Ли $L(R)$ сопряжениями. Если это действие неприводимо, то оно присоединенное, и группа Ли $R$ обязательно абелева. Этот случай будет рассмотрен ниже. Если же оно приводимое, то оно тривиально, или есть прямая сумма тривиального одномерного и тавтологичного. Последний вариант, как и при доказательстве теоремы 2, невозможен. Получаем тривиальность разложения Леви для группы Ли $F$. Рассмотрим теперь случай нетривиального действия.

Предположим, что трехмерный радикал неабелев. Тогда он нильпотентен (и тогда $\dim [R,R] =1$) или же (если он ненильпотентен) $\dim[R,R]=2$. Рассмотрим оба эти случая.

Пусть радикал $R$ нильпотентен. Тогда $\dim [R,R] = 1$, и тогда группа Ли $[R,R]$, совпадает с центром $Z(R)$ и изоморфна $\mathbf{R}$. Так как $\Gamma \cap R$ – решетка в $R$, то ее пересечение с $[R,R]$ будет решеткой (изоморфной $\mathbf{Z})$. Рассмотрим двумерную абелеву факторгруппу $R/Z(R)$ и в ней решетку $(\Gamma \cap R)/ (\Gamma \cap Z(R))$. Рассуждение, приведенное выше при доказательстве теоремы 2 в аналогичном случае, показывает, что разложение Леви для группы Ли $R/Z(R)$ будет прямым. Но тогда легко понять, что и разложение Леви для группы Ли $R$ тоже должно быть прямым. Но именно такие группы Ли перечислены в п. c) в формулировке теоремы.

Предположим теперь,что трехмерный радикал группы Ли ненильпотентен. Тогда $\dim [R,R]$ будет нильрадикалом, и потому $\Gamma \cap [R,R]$ – решетка в двумерной абелевой группе Ли $[R,R]$. Рассуждение, аналогичное приведенному при рассмотрении предыдущего случая (когда $R$ нильпотентна), снова приводит к тому, что разложение Леви для $F$ – прямое.

Практически для всех перечисленных в этой теореме групп Ли $G$ наличие в них решеток $\Gamma$ не вызывает сомнений. Для полупростых групп Ли можно взять арифметические (равномерные) решетки, которые, как известно, всегда существуют. Если группа Ли $G$ разлагается в прямое произведение полупростой группы Ли и односвязной абелевой (например, для $\mathcal A \times {\mathbf{R}^2}$), нужная нам может быть получена прямым произведением решетки в полупростой группе Ли и целочисленной решетки в абелевой односвязной группе Ли. Но наличие решетки в группе Ли $\mathrm{SL}(2, \mathbf{R}) \times_{\mathrm{Ad}} {\mathbf{R}^3}$ требует пояснения. Докажем, что в этой группе Ли решетки существуют. Нам важно получить именно равномерную решетку (а вот решетку конечного кообъема построить очень легко, исходя из решетки $\mathrm{SL}(2/ \mathbf{Z})$ в $\mathrm{SL}(2, \mathbf{R})$). Для этого нам потребуются некоторые сведения из теории чисел. Для полноты изложения мы приведем все рассуждения детально.

Для начала рассмотрим некоторую целочисленную квадратичную форму от трех переменных, которая не представляет $0$ (при целых значениях аргументов). В качестве конкретного примера выберем форму $-x^2+2y^2+5z^2$.

Доказательство. Предположим, что утверждение леммы неверно, и рассмотрим некоторое целочисленное равенство $-l^2+2m^2+5n^2=0$. Целые числа $l$, $m$, $n$ можно предполагать не имеющими общего нетривиального множителя (ибо иначе мы может поделить на него).

Из $-l^2+2m^2+5n^2=0$ вытекает, что $-l^2+2m^2\equiv 0 \ \operatorname{mod} 5$.

Предположим вначале, что $l$ не сравнимо с $0$ по модулю $5$. Тогда $l$ обратимо по модулю $5$, и потому при $q=ml^{-1}$ будет $2q^2 \equiv 1 \ \operatorname{mod} 5$. Но это невозможно: при $q = 0, \pm 1, \pm 2$ (полный набор вычетов $\operatorname{mod} 5$) имеем соответственно $2q^2 \equiv 0,2,3 \ \operatorname{mod} 5$. Поэтому при $l$, не сравнимом с $0$ по модулю $5$, приходим к противоречию с $q=ml^{-1} \equiv 1 \ \operatorname{mod} 5$.

Пусть теперь $l \equiv 0 \ \operatorname{mod} 5$. Тогда, очевидно, из $-l^2+2m^2\equiv 0 \ \operatorname{mod} 5$ вытекает, что и $m \equiv 0 \ \operatorname{mod} 5$. Но тогда из $-l^2+2m^2+5n^2=0$ вытекает, что и $n \equiv 0 \ \operatorname{mod} 5$. В результате получаем, что здесь все три числа $l$, $m$, $n$ делятся на $5$, что противоречит сделанному нами предположению об отсутствии у этих трех чисел нетривиального общего множителя. Лемма доказана.

Перейдем теперь непосредственно к построению решетки в $\mathrm{SL}(2, \mathbf{R}) \times_{\mathrm{Ad}} \mathbf{R}^3$. Рассмотрим подгруппу $\mathrm{SO}(Q)$ в $\mathrm{GL}(3,\mathbf{R})$, сохраняющую форму $Q= -x^2+2y^2+5z^2$. Эта подгруппа изоморфна группе Ли $\mathrm{SO}(1,2)$, которая, в свою очередь, изоморфна $\mathrm{SL}(2, \mathbf{R})$. Нам нужно выяснить, как эта подгруппа вложена в $\mathrm{SL}(3, \mathbf{R})$. Для этого рассмотрим трехмерные представления группы $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$. Таких представлений (нетривиальных, причем с точностью до эквивалентности) всего два: одно приводимое (прямая сумма стандартного – тавтологического – двумерного представления и тривиального представления) и присоединенное $\mathrm{Ad}$. В рассматриваемой нами конструкции первый случай невозможен, например, в силу того, что тогда централизатор подгруппы $\mathrm{SO}(Q)$ был бы нетривиален, что, как легко понять, в нашем случае неверно. Поэтому вложение нашей группы $\mathrm{SO}(Q)$ получается с помощью присоединенного представления $\mathrm{Ad}$.

Так как форма $Q$ в силу доказанной нами леммы не представляет 0, то группа $\mathrm{SO}(Q)_\mathbf{Z}$ целых точек будет, как известно, равномерной решеткой в группе $\mathrm{SO}(Q)$ (изоморфной $\mathrm{SL}(2, \mathbf{R})$). Взяв стандартную целочисленную решетку $\mathbf{Z}^3 \subset \mathbf{R}^3$, рассмотрим соответствующую решетку $\mathrm{SO}(Q)_\mathbf{Z} \times_{\mathrm{Ad}} \mathbf{Z}^3$. Нужная нам решетка в $\mathrm{SL}(2, \mathbf{R}) \times_{\mathrm{Ad}} \mathbf{R}^3$ построена. Теорема доказана.

Среди перечисленных в теореме многообразий можно выделить несоизмеримые с прямыми произведениями. Как можно проверить, это будут многообразия вида $\Gamma \setminus F/Q$, для которых группа Ли $F$ либо разрешима и несоизмерима с прямым произведением двух групп Ли, либо группа Ли $F$ соизмерима с $\mathrm{SU}(1,2)$, $\mathrm{SL}(3,\mathbf{R})$, $\mathrm{SO}(1,5)$ или с $\mathcal A \times \mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$ (при условии, что решетка $\Gamma$ в данном случае будет неприводимой). Тот факт, что остальные многообразия разложимы (с точностью до соизмеримости) доказывается тем же способом, как это было сделано в предыдущем параграфе, с добавлением рассуждения после приведенного там доказательства.

§ 5. Однородные пространства с заданной базой натурального расслоения

Здесь мы рассмотрим вопрос о том, какие компактные однородные многообразия $M$ соответствуют базам $M_a$ рассмотренных выше размерностей (а также и более общих).

Отметим, что при $\dim M_a=1$ база $M_a$ разрешима (т. е. совпадает со своей разрешимой компонентой), а при $\dim M_a=2$ база $M_a$ либо разрешима, либо полупроста. Компактные однородные многообразия с базой смешанного типа появляются только при $\dim M_a = 3$ – это те многообразия $M_a$, которые имеют стандартную запись в виде $\mathcal A/\Gamma$ или же соизмеримы с $F_2 \times S^1$. Естественно, что при больших размерностях число баз каждого из трех разных типов заметно возрастает.

Начнем со случая, когда база натурального расслоения разрешима. Тогда она имеет стандартное представление вида $R/\Gamma$, где $R$ – разрешимая односвязная группа Ли, а $\Gamma$ – решетка в ней. При этом нам здесь не нужно будет накладывать на $M_a$ размерностные ограничения. В работе [10] описаны для любого компактного многообразия вида $R/\Gamma$ (рассматриваемого с точностью до соизмеримости) все возможные компактные однородные многообразия с такой базой натурального расслоения. В частности, в качестве слоя натурального расслоения может фигурировать любое многообразие вида $K/L$, где $K$ – некоторая компактная полупростая группа Ли, а $L$ – ее замкнутая подгруппа. Так как статья [10] сейчас труднодоступна, то мы вкратце приведем здесь некоторые подробности об однородных многообразиях с заданной базой вида $R/\Gamma$.

Пусть задано некоторое компактное солвмногообразие $M_a=R/\Gamma$. Дополнительно нужно еще задать несколько объектов: однородное пространство $M_c=K/L$ (предполагаемый слой натурального расслоения, база которого соизмерима с $M_a$), где $K$ – некоторая компактная односвязная (и потому полупростая) группа Ли, а $L$ – замкнутая подгруппа Ли в $K$. Положим далее $F =N_K(L)/L$ ($N_K(L)$ – это нормализатор подгруппы $L$ в $K$), $F$ – это некоторая компактная группа Ли. Выберем в $F$ некоторый тор $T$ (т. е. компактную связную абелеву подгруппу) и через $n$ обозначим его размерность. И, наконец, выберем и зафиксируем некоторый класс когомологий $c \in H^2(M_a, \mathbf{Z}^n)$.

Тогда существует такое компактное однородное многообразие, база которого конечнолистно накрывает исходное солвмногообразие, слоем является заданное однородное многообразие $M_c$, структурная группа этого расслоения редуцируется к заданному тору $T$, а заданный характеристический класс является характеристическим классом соответствующего главного $T$-расслоения.

Говоря короче, имеется описание всех (с точностью до соизмеримости) однородных многообразий с базой натурального расслоения указанного типа.

Далее, если база натурального расслоения полупроста, то построение всевозможных однородных пространств с такой базой было дано в [7]. При этом оказывается, что не всякое однородное многообразие вида $K/L$ даже с точностью до соизмеримости может быть реализовано в виде слоя натурального расслоения заданной с полупростой базой. Например, в [7; часть II] показано, что для $M_a=F_2$ слоем натурального расслоения не могут быть многообразия, диффеоморфные сфере $S^n$ при $n \ne 3$.

Остаются еще базы $M_a$ общего вида, т. е. такие, у которых нетривиальны обе компоненты структурного расслоения – разрешимая и полупростая. Некоторые такие базы размерностей $\leqslant 5$, уже описанные выше, разлагаются (с точностью до соизмеримости) в прямое произведение полупростой и разрешимой компонент, и потому довольно обширный класс компактных однородных многообразий с такими базами можно построить путем прямого произведения двух однородных многообразий, имеющих базами натуральных расслоений полупростую и разрешимую компоненты соответственно. Однако не все однородные многообразия $M$ с такого типа базами получаются таким путем. Видимо, в этом случае достаточно полное описание всех однородных многообразий $M$ труднодостижимо.

Введение

§ 1. Строение баз натуральных расслоений

§ 2. Базы натуральных расслоений размерностей $1$, $2$ и $3$

§ 3. Базы натуральных расслоений размерности $4$

§ 4. Базы натуральных расслоений размерности $5$

§ 5. Однородные пространства с заданной базой натурального расслоения

Список литературы