| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О периоде разложения М. А. Королёв Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Английская версия:
Izvestiya: Mathematics, 2025, Volume 89, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9587e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПусть $d\geqslant 1$ – целое число. Для $d$, отличного от полного квадрата, величину $T(d)$ определим как длину минимального периода разложения $\sqrt{d}$ в непрерывную дробь. В противном случае положим $T(d) = 0$. Известно (см. [1]), что $T(d)\leqslant g(d)$, где $g(d)$ – количество пар целых чисел $m,q\geqslant 1$ с условиями
$$
\begin{equation*}
m<\sqrt{d}, \qquad |q-\sqrt{d}|<m,\qquad q\,|\, (d-m^2).
\end{equation*}
\notag
$$
В недавней работе Ф. Баттистони, Л. Гренье и Дж. Мольтени [2] получили для первого и второго моментов величины $g(d)$ следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
\sum_{d\leqslant x}g(d) = \frac{4}{3}\,(\ln 2)\, x^{3/2} -2x-2\sqrt{x}+\theta(x+4\sqrt{x}), \qquad 0\leqslant\theta\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{d\leqslant x}g^2(d) \leqslant 11.9x^2 + 5x^{3/2}\ln^2(4e^4x),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
которые справедливы при всех $x>1$. В свою очередь, оценка (1.2) наряду с асимптотикой (1.1) и неравенством Коши приводят к неравенствам
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{d \leqslant x}T^2(d) &\leqslant 11.9x^2 + 5x^{3/2}\ln^2(4e^4x), \\ \sum_{x<d \leqslant 2x}T^2(d) &\leqslant 47x^2 + O(x^{3/2}\ln^2{x}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
второе из которых было использовано в [2] для доказательства оценки для числа элементов множества $D(x;\alpha)$ таких $d$, $x<d\leqslant 2x$, которые удовлетворяют условию $T(d)>\alpha\sqrt{x}$. Неравенство (1.3) уточняет оценку
$$
\begin{equation*}
\#D(x;\alpha)\leqslant \frac{c+o(1)}{\ln^2{\alpha}}\,x,\qquad c>0,
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежащую А. М. Рокетту и П. Шюшу [3]. Авторы статьи [2] представили второй момент $g(d)$ в виде суммы
$$
\begin{equation*}
W = \sum_{\substack{1\leqslant m_i<\sqrt{x} \\ i = 1,2}}\,\sum_{\substack{1\leqslant q_i<\sqrt{x} + m_i \\ i = 1,2}} \, \sum_{\substack{k_1, k_2\colon |k_i-q_i|<2m_i,\, i=1,2 \\ m_1^2+k_1q_1 = m_2^2+k_2q_2 \leqslant x}}1,
\end{equation*}
\notag
$$
после чего, опустив часть ограничений на переменные $k_i$, пришли к оценке (1.2). В [2; § 3] кратко поясняется, как заменить неравенство (1.2) более точным, с величиной $8x^2+O(x^{3/2}\ln^4{x})$ в его правой части. Целью настоящей работы является вывод асимптотической формулы для суммы $W$. Основное утверждение статьи – следующая теорема. Теорема 1. Пусть $0<\varepsilon<1/54$ – произвольная фиксированная постоянная. Тогда при $x\to +\infty$ имеет место асимптотическая формула Замечание 1. Приближенные вычисления показывают, что $\mathfrak{S} \approx 0.959$, $c_0 \approx 1.218$. После того, как статья была подана в журнал, 11 мая 2024 г. авторы работы [2] любезно известили меня о том, что им удалось найти замкнутое выражение для постоянной $\mathfrak{S}$. Оказалось, что $\mathfrak{S} = 2(\ln 2)^2 = 0.9609060278\dots$ . Следствие. В условиях теоремы 1 следующее неравенство имеет место при любом $\alpha>0$: § 2. Вспомогательные утвержденияВ этом параграфе приводятся вспомогательные леммы, необходимые для доказательства основного утверждения. Лемма 1. Пусть функция $f$ принадлежит классу $C^1[a,b]$, и пусть число ее участков монотонности не превосходит $k$ $(k\geqslant 1)$. Тогда Это утверждение легко следует из формулы суммирования Эйлера. Пусть $\varrho(u) = 1/2 - \{u\}$. Тогда при любом $H>1$ имеет место представление $\varrho(u) = \varrho_{H}(u)+r_{H}(u)$, в котором
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varrho_{H}(u) = \sum_{0<|h|\leqslant H}\frac{e(hu)}{2\pi ih},\qquad |r_{H}(u)|\ll \min\biggl(1, \frac{1}{H\|u\|}\biggr), \\ \|u\| = \min(\{u\},1-\{u\}),\qquad e(v) = e^{2\pi iv}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
причем постоянная в знаке $O$ абсолютная (см., например, [4; § 5]). Для работы с “остаточным членом” $r_{H}(u)$ будем пользоваться следующим утверждением. Лемма 2. Пусть $H\,{>}\,3$. Тогда существует $1$-периодическая функция $\vartheta_{H}(u)$ со следующими свойствами: 1) $\min(1, (H\|u\|)^{-1}) \leqslant 2\vartheta_{H}(u)$; 2) разложение $\vartheta_{H}(u)$ в ряд Фурье имеет вид
$$
\begin{equation*}
\sum_{h=-\infty}^{+\infty}C(h)e(hu),\quad \textit{где }\ |C(h)|\leqslant (2\ln H+1)H^{-1}\ \textit{ для любого }\ h;
\end{equation*}
\notag
$$
3) для любых фиксированных $A>3$ и $0<\varepsilon < 0.5$ выполняется оценка Доказательство этой леммы содержится в работе Д. И. Толева [5]. Лемма 3. Обозначим через $\rho(\Delta)$ число решений сравнения Доказательство. По сути, это есть лемма 2 из [2]. Мы же приведем еще одно ее доказательство. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\rho(\Delta) = \sum_{x,y = 1}^{\Delta}\frac{1}{\Delta} \sum_{c=1}^{\Delta}e\biggl(\frac{c}{\Delta}(x^2-y^2)\biggr) = \frac{1}{\Delta}\sum_{c=1}^{\Delta}|S(\Delta,c)|^2,\qquad S(q,a) = \sum_{x=1}^{q}e\biggl(\frac{ax^2}{q}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $(c,\Delta) = \omega$ и $\Delta/\omega = \delta$, $c/\omega = e$. Тогда
$$
\begin{equation*}
S(\Delta,c) = \sum_{x=1}^{\Delta}e\biggl(\frac{ex^2}{\delta}\biggr) = \frac{\Delta}{\delta}\sum_{x=1}^{\delta}e\biggl(\frac{ex^2}{\delta}\biggr) = \frac{\Delta}{\delta}S(\delta,e).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\rho(\Delta) = \frac{1}{\Delta}\sum_{\omega\,|\,\Delta}\sum_{\substack{1\leqslant c\leqslant \Delta \\ (c,\Delta) = \omega}}\frac{\Delta^2}{\delta^2}|S(\delta,e)|^2 = \Delta\sum_{\delta | \Delta} \frac{1}{\delta^2}\sum_{\substack{1\leqslant e \leqslant \delta \\ (e,\delta)=1}}|S(\delta,e)|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $(e,\delta)=1$, то $|S(\delta,e)|^2 = \varepsilon(\delta)\delta$ (см., например, [6; гл. I, § 3, теорема 3]), откуда и следует формула (a). Далее, так как $\varphi(m)\leqslant m/2$ при четном $m$, то $\varepsilon(\delta)\varphi(\delta)\leqslant \delta$ для любого $\delta\geqslant 1$, так что $\rho(\Delta)\leqslant \Delta\tau(\Delta)$. Кроме того, в случае простого $p\geqslant 3$ формула (a) дает
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\rho(p^{\alpha})}{p^{3\alpha}} = \frac{1}{p^{2\alpha}} + \biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)\frac{\alpha}{p^{2\alpha}}, \\ \sum_{\alpha = 0}^{+\infty}\frac{\rho(p^{\alpha})}{p^{3\alpha}} = 1 + \frac{1}{p^2-1} + \frac{p(p-1)}{(p^2-1)^2} = \frac{p(p^3-1)}{(p^2-1)^2} = \frac{1-1/p^3}{(1-1/p^2)^2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, Следовательно, Лемма 4. Пусть $L,M,N>1$, и пусть $L<L_1\leqslant 2L$, $M<M_1\leqslant 2M$, $N<N_1\leqslant 2N$; пусть, кроме того, $\mathbf{a} = \{a_m\}$, $\mathbf{b} = \{b_n\}$, $\mathbf{c} = \{c_{\ell}\}$ – произвольные последовательности, определенные при $M\,{<}\,m\,{\leqslant}\, M_1$, $N\,{<}\,n\,{\leqslant}\, N_1$ и $L\,{<}\,\ell\,{\leqslant}\, L_1$. Далее, пусть $\vartheta\ne 0$ – фиксированное вещественное число. Предположим также, что функция $f_{\ell,\vartheta}(x,y)$ при любом $\ell$ принадлежит классу $C^1(\mathbb{R}_+^2)$ и удовлетворяет в прямоугольнике $M\leqslant x\leqslant M_1$, $N\leqslant y\leqslant N_1$ условиям Это есть теорема 1 из работы [7] (см. также замечание 1 в [7]). § 3. Начальные преобразования суммы $W$Оценим сперва вклад $R$ в сумму $W$ от слагаемых, отвечающих условию $q_1\,{=}\,q_2$. Если $q_1 = q_2 = q$, то равенство $m_1^2+k_1q = m_2^2+k_2q$ влечет сравнение $m_1^2\equiv m_2^2\pmod{q}$. Для заданных $q, m_1, m_2$ с таким свойством величина $k_2$ определяется по $k_1$ единственным способом: $k_2 = k_1 + (m_1^2-m_2^2)/q$. Следовательно, отбросив условие $|k_2-q|<2m_2$, получим
$$
\begin{equation*}
R \leqslant \sum_{q\leqslant 2\sqrt{x}}\, \sum_{\substack{m_i\leqslant \sqrt{x},\, i=1,2 \\ m_1^2\equiv m_2^2\ (\operatorname{mod}{q})}}\, \sum_{q-2m_1<k_1< q+2m_1}1 \leqslant 4\sqrt{x}\sum_{q\leqslant 2\sqrt{x}}\, \sum_{\substack{m_i\leqslant \sqrt{x},\, i=1,2 \\ m_1^2\equiv m_2^2\ (\operatorname{mod}{q})}}1.
\end{equation*}
\notag
$$
Разобьем теперь сумму по $m_1$, $m_2$ на арифметические прогрессии по модулю $q$. Воспользовавшись леммой 3, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R &\leqslant 4\sqrt{x}\sum_{q\leqslant 2\sqrt{x}}\, \sum_{\substack{\xi_1,\xi_2 = 0 \\ \xi_1^2\equiv \xi_2^2\ (\operatorname{mod}{q})}}^{q-1} \, \sum_{\substack{m_i\leqslant \sqrt{x} \\ m_i\equiv \xi_i\ (\operatorname{mod}{q}) \\ i=1,2}}1 \leqslant 4\sqrt{x}\sum_{q\leqslant 2\sqrt{x}}\, \sum_{\substack{\xi_1,\xi_2 = 0 \\ \xi_1^2\equiv \xi_2^2\ (\operatorname{mod}{q})}}^{q-1}\biggl(\frac{\sqrt{x}}{q}+1\biggr)^2 \\ &\ll x^{3/2}\sum_{q\leqslant 2\sqrt{x}}\frac{\rho(q)}{q^2} \ll x^{3/2}\sum_{q\leqslant 2\sqrt{x}}\frac{\tau(q)}{q}\ll x^{3/2}(\ln x)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку сумма $W$ симметрична по переменным $q_1$, $q_2$, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W &= 2W_1 + O\bigl(x^{3/2}(\ln x)^2\bigr), \\ W_1 &= \sum_{\substack{1\leqslant m_i<\sqrt{x} \\ i = 1,2}}\, \sum_{\substack{1\leqslant q_i<\sqrt{x} + m_i \\ i = 1,2 \\ q_1\leqslant q_2}} \, \sum_{\substack{k_1, k_2\colon |k_i-q_i|<2m_i,\, i=1,2 \\ m_1^2+k_1q_1 = m_2^2+k_2q_2 \leqslant x}}1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразуем теперь сумму $W_1$. Из равенства $m_1^2 + k_1q_1 = m_2^2 + k_2q_2$ следует сравнение Если четверка $m_1$, $m_2$, $q_1$, $k_1$ удовлетворяет (3.1), то число $k_2 = (k_1q_1+m_1^2-m_2^2)/q_2$ – целое. В этом случае условие $|k_2-q_2|<2m_2$ (или, что то же, условие $q_2-2m_2<k_2<q_2+2m_2$) принимает вид или же, что равносильно предыдущему, вид
$$
\begin{equation}
\frac{(q_2-m_2)^2-m_1^2}{q_1}<k_1<\frac{(q_2+m_2)^2-m_1^2}{q_1}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Далее, из неравенств $m_1^2+k_1q_1\leqslant x$, $k_1>0$, следует, что Кроме того, условие $k_2>0$ приводится к такому неравенству: Наконец, неравенство $|k_1-q_1|<2m_1$ перепишем в виде Заменим теперь строгие неравенства в верхних границах переменной $k_1$ в (3.2) и (3.5) нестрогими и оценим вклад в $W_1$ такой замены. Пусть $k_1 = q_1+2m_1$. В силу (3.1) имеем
$$
\begin{equation}
(q_1+m_1)^2-m_2^2\equiv 0\pmod{q_2},\quad \text{так что }\ q_2\,|\,(q_1+m_1)^2-m_2^2.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Вклад от $q_1+m_1\neq m_2$ не превосходит
$$
\begin{equation*}
\sum_{1\leqslant m_1<m_2\leqslant \sqrt{x}}\, \sum_{\substack{q_1\leqslant 2\sqrt{x} \\ q_1\neq m_2-m_1}}\tau\bigl(|(q_1+m_1)^2-m_2^2|\bigr)\ll x^{3/2+\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вклад же от слагаемых с $q_1 = m_2-m_1>0$ оценим по порядку величиной
$$
\begin{equation*}
\sum_{1\leqslant m_1<m_2\leqslant \sqrt{x}}\, \sum_{q_2\leqslant 2\sqrt{x}}1\ll x^{3/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, пусть $k_1 = ((q_2+m_2)^2-m_1^2)/q_1$ – целое число. Тогда (3.1) выполняется автоматически. Также можно считать, что $q_2\neq m_1 - m_2$; в противном случае мы бы имели $k_1 = 0$. Но тогда $q_1$ делит $(q_2+m_2)^2-m_1^2\neq 0$, так что искомый вклад в $W_1$ не превосходит
$$
\begin{equation*}
\sum_{m_1,m_2\leqslant \sqrt{x}}\, \sum_{\substack{q_2\leqslant 2\sqrt{x} \\ q_2\neq m_1-m_2}}\tau\bigl(|(q_2+m_2)^2-m_1^2|\bigr)\ll x^{3/2+\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так находим $W_1 = W_2 + O(x^{3/2+\varepsilon})$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W_2 = \mathop{{\sum}'}_{\substack{m_i\leqslant \sqrt{x} \\ i = 1,2}}\, \mathop{{\sum}'}_{\substack{1\leqslant q_i\leqslant \sqrt{x}+m_i, \, i=1,2 \\ q_1\leqslant q_2}}\, \sum_{\substack{f<k\leqslant g \\ kq_1\equiv m_2^2-m_1^2\ (\operatorname{mod}{q_2})}}1, \\ f = f(x;m_1,m_2,q_1,q_2) = \max\biggl(0,\frac{m_2^2-m_1^2}{q_1},q_1-2m_1,\frac{(q_2-m_2)^2-m_1^2}{q_1}\biggr), \\ g = g(x;m_1,m_2,q_1,q_2) = \min\biggl(\frac{x-m_1^2}{q_1},q_1+2m_1,\frac{(q_2+m_2)^2-m_1^2}{q_1}\biggr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
причем штрих означает суммирование по множеству $\mathcal{A}(x)$ четверок $(m_1,m_2,q_1,q_2)$ положительных целых чисел, удовлетворяющих условиям $1\leqslant m_i\leqslant \sqrt{x}$, $1\leqslant q_i\leqslant \sqrt{x}+m_i$, $i=1,2$, $q_1\leqslant q_2$, и, кроме того, неравенству Очевидно, функции $f$ и $g$ можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f &= \frac{1}{q_1}\bigl(\max\{m_1^2,m_2^2,(q_1-m_1)^2,(q_2-m_2)^2\}-m_1^2\bigr), \\ g &= \frac{1}{q_1}\bigl(\min\{x,(q_1+m_1)^2,(q_2+m_2)^2\}-m_1^2\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что условия (3.7) равносильны неравенству в котором
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_1 = m_1^2,\qquad f_2 = m_2^2,\qquad f_3 = (q_1-m_1)^2,\qquad f_4 = (q_2-m_2)^2, \\ g_1 = x,\qquad g_2 = (q_1+m_1)^2, \qquad g_3 = (q_2+m_2)^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если набор $(m_1,m_2,q_1,q_2)$ принадлежит $\mathcal{A}(x)$, то $m_1$, $m_2$ удовлетворяют сравнению $m_1^2\equiv m_2^2\pmod{\Delta}$, в котором $\Delta = (q_1,q_2)$. Полагая $q_i = \Delta \kappa_i$, будем иметь $1\leqslant \kappa_i\leqslant (\sqrt{x}+m_i)/\Delta$, $i = 1,2$, причем $(\kappa_1, \kappa_2)=1$. Так сравнение (3.1) принимает вид $k\Delta \kappa_1\equiv \Delta\nu \pmod{\Delta\kappa_2}$ и имеет решение
$$
\begin{equation*}
k\equiv \nu\bar{\kappa}_1\pmod{\kappa_2},\quad \text{где }\ \nu = \frac{m_2^2-m_1^2}{\Delta},\ \ \kappa_1\bar{\kappa}_1\equiv 1\pmod{\kappa_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая $\varkappa$ так, чтобы выполнялись условия $\varkappa\equiv \nu\bar{\kappa}_1\pmod{\kappa_2}$, $0\leqslant \varkappa<\kappa_2$, и полагая $k = \tau\kappa_2+\varkappa$, получим $(f-\varkappa)/\kappa_2<\tau\leqslant (g-\varkappa)/\kappa_2$. Тогда внутренняя сумма в $W_2$ оказывается равной
$$
\begin{equation*}
\biggl[\frac{g-\varkappa}{\kappa_2}\biggr] - \biggl[\frac{f-\varkappa}{\kappa_2}\biggr];
\end{equation*}
\notag
$$
сама же сумма $W_2$ примет вид
$$
\begin{equation*}
W_2 = \sum_{\Delta\leqslant 2\sqrt{x}}\, \mathop{{\sum}'}_{\substack{1\leqslant m_i\leqslant\sqrt{x}\\ i = 1,2 \\ m_1^2\equiv m_2^2\ (\operatorname{mod}{\Delta})}}\, \mathop{{\sum}'}_{\substack{1\leqslant \kappa_i\leqslant (\sqrt{x}+m_i)/\Delta\\ i=1,2 \\ (\kappa_1,\kappa_2)=1\\ \kappa_1\leqslant \kappa_2}}\biggl(\biggl[\frac{g-\varkappa}{\kappa_2}\biggr] -\biggl[\frac{f-\varkappa}{\kappa_2}\biggr]\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, разобьем области изменения переменных $m_i$, $i=1,2$, на арифметические прогрессии по модулю $\Delta$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
W_2{=}\sum_{\Delta\leqslant 2\sqrt{x}} \sum_{\substack{0\leqslant\xi_1,\xi_2< \Delta \\ \xi_1^2\equiv \xi_2^2\ (\operatorname{mod}{\Delta})}}\, \mathop{{\sum}'}_{\substack{1\leqslant m_i\leqslant\sqrt{x}\\ m_i\equiv \xi_i\ (\operatorname{mod}{\Delta})\\ i = 1,2}} \mathop{{\sum}'}_{\substack{1\leqslant \kappa_i\leqslant (\sqrt{x}+m_i)/\Delta\\ i=1,2 \\ (\kappa_1,\kappa_2)=1\\ \kappa_1\leqslant \kappa_2}}\biggl(\biggl[\frac{g\,{-}\,\varkappa}{\kappa_2}\biggr]- \biggl[\frac{f\,{-}\,\varkappa}{\kappa_2}\biggr]\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что величина $D$ удовлетворяет неравенствам $(\ln x)^4{\ll}\, D\,{<}\,\sqrt[4]{x}$ (точное ее значение будет выбрано ниже), и оценим вклад в сумму $W_2$ от слагаемых с условием $D<\Delta\leqslant 2\sqrt{x}$. В случае $g>f$ будем, очевидно, иметь
$$
\begin{equation*}
\frac{g-f}{\kappa_2}\leqslant \frac{g}{\kappa_2}\leqslant \frac{x-m_1^2}{q_1\kappa_2} < \frac{x}{\Delta\kappa_1\kappa_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 3 этот вклад не превосходит
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &x\sum_{D<\Delta\leqslant 2\sqrt{x}}\frac{1}{\Delta}\sum_{\substack{0\leqslant\xi_1,\xi_2< \Delta \\ \xi_1^2\equiv \xi_2^2\ (\operatorname{mod}{\Delta})}}\, \mathop{{\sum}'}_{\substack{1\leqslant m_i\leqslant\sqrt{x}\\ m_i\equiv \xi_i\ (\operatorname{mod}{\Delta})\\ i = 1,2}}\, \mathop{{\sum}'}_{\substack{1\leqslant \kappa_i\leqslant 2\sqrt{x}/\Delta \\ i=1,2}}\frac{1}{\kappa_1\kappa_2} \\ &\qquad\ll x(\ln x)^2\sum_{D<\Delta\leqslant 2\sqrt{x}}\frac{\rho(\Delta)}{\Delta}\biggl(\frac{\sqrt{x}}{\Delta}\biggr)^2 \\ &\qquad \ll x^2(\ln x)^2\sum_{\Delta>D}\frac{\rho(\Delta)}{\Delta^3}\ll x^2(\ln x)^2\sum_{\Delta>D}\frac{\tau(\Delta)}{\Delta^2}\ll \frac{x^2(\ln x)^3}{D}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть, кроме того, величина $C$ удовлетворяет условиям $\ln x\ll C \leqslant \sqrt{x}/(2D)$ (точное ее значение также будет указано ниже). Оценим вклад в $W_2$ от слагаемых, отвечающих условию $\kappa_1\leqslant \sqrt{x}/(\Delta C)$. В случае $g>f$ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{g-f}{\kappa_2}\leqslant\frac{g}{\kappa_2}\leqslant \frac{q_1+2m_1}{\kappa_2}\leqslant\frac{\sqrt{x}+3m_1}{\kappa_2} \leqslant \frac{4\sqrt{x}}{\kappa_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, искомый вклад оценивается величиной
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\Delta\leqslant D}\sum_{\substack{0\leqslant\xi_1,\xi_2< \Delta \\ \xi_1^2\equiv \xi_2^2\ (\operatorname{mod}{\Delta})}}\, \sum_{\substack{1\leqslant m_i\leqslant\sqrt{x}\\ m_i\equiv \xi_i\ (\operatorname{mod}{\Delta})\\ i = 1,2}}\, \sum_{1\leqslant \kappa_1\leqslant 2\sqrt{x}/(C\Delta)}\, \sum_{1\leqslant \kappa_2\leqslant 2\sqrt{x}/\Delta}\frac{4\sqrt{x}}{\kappa_2} \\ &\qquad\ll\frac{x\ln x}{C}\sum_{\Delta\leqslant D}\frac{1}{\Delta}\, \sum_{\substack{0<\xi_1,\xi_2\leqslant \Delta \\ \xi_1^2\equiv \xi_2^2\ (\operatorname{mod}{\Delta})}}\, \sum_{\substack{1\leqslant m_i\leqslant\sqrt{x}\\ m_i\equiv \xi_i\ (\operatorname{mod}{\Delta})\\ i = 1,2}}1 \\ &\qquad\ll \frac{x\ln x}{C}\sum_{\Delta\leqslant D} \frac{\rho(\Delta)}{\Delta}\biggl(\frac{\sqrt{x}}{\Delta}\biggr)^2\ll \frac{x^2\ln x}{C}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, замечая, что $[w]-[v] = w-v+\varrho(w)-\varrho(v)$, перепишем $W_2$ в виде
$$
\begin{equation*}
W_0 + V(g) - V(f) + O\biggl(\frac{x^2\ln x}{C}\biggr) + O\biggl(\frac{x^2(\ln x)^4}{D}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W_0 = \sum_{\Delta\leqslant D}\, \sum_{\substack{0\leqslant\xi_1,\xi_2< \Delta \\ \xi_1^2\equiv \xi_2^2\ (\operatorname{mod}{\Delta})}}\, \mathop{{\sum}'}_{\substack{1\leqslant m_i\leqslant\sqrt{x}\\ m_i\equiv \xi_i\ (\operatorname{mod}{\Delta})\\ i = 1,2}}\, \mathop{{\sum}'}_{\substack{\sqrt{x}/(C\Delta)<\kappa_i\leqslant (\sqrt{x}+m_i)/\Delta\\ i=1,2 \\ (\kappa_1,\kappa_2)=1,\, \kappa_1\leqslant \kappa_2}}\frac{g-f}{\kappa_2}, \\ V(\varphi) = \sum_{\Delta\leqslant D}\, \sum_{\substack{0\leqslant\xi_1,\xi_2< \Delta \\ \xi_1^2\equiv \xi_2^2\ (\operatorname{mod}{\Delta})}}\, \mathop{{\sum}'}_{\substack{1\leqslant m_i\leqslant\sqrt{x}\\ m_i\equiv \xi_i\ (\operatorname{mod}{\Delta}) \\ i = 1,2}} \, \mathop{{\sum}'}_{\substack{\sqrt{x}/(C\Delta)<\kappa_i\leqslant (\sqrt{x}+m_i)/\Delta\\ i=1,2 \\ (\kappa_1,\kappa_2)=1,\, \kappa_1\leqslant \kappa_2}}\varrho\biggl(\frac{\varphi - \nu\bar{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь $\varphi$ – любая из функций $f$, $g$). Сумма $W_0$ даст главный член асимптотики $W$, суммы же $V(f)$, $V(g)$ войдут в остаток.
§ 4. Вывод асимптотики суммы $W_0$Условимся для краткости всюду далее писать (в знаках суммы) $\xi_1$, $\xi_2$ вместо $0\leqslant\xi_1,\xi_2<\Delta$, $\xi_1^2\equiv \xi_2^2\ (\operatorname{mod}{\Delta})$, и $m_1$, $m_2$ вместо $1\leqslant m_i\leqslant\sqrt{x}$, $m_i\equiv \xi_i\ (\operatorname{mod}{\Delta})$, $i = 1,2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_0 &= \sum_{\Delta\leqslant D}\sum_{\xi_1, \xi_2}\mathop{{\sum}'}_{m_1, m_2} \, \mathop{{\sum}'}_{\substack{\sqrt{x}/(C\Delta)<\kappa_i\leqslant (\sqrt{x}+m_i)/\Delta\\ i=1,2,\, \kappa_1\leqslant \kappa_2}}\biggl(\sum_{\delta \,|\, (\kappa_1,\kappa_2)}\mu(\delta)\biggr) \frac{g-f}{\kappa_2} \\ &= \sum_{\Delta\leqslant D}\sum_{1\leqslant \delta \leqslant 2\sqrt{x}/\Delta}\mu(\delta)\sum_{\xi_1, \xi_2} \mathop{{\sum}'}_{m_1, m_2} \, \mathop{{\sum}'}_{\substack{\sqrt{x}/(C\Delta)<\kappa_i\leqslant (\sqrt{x}+m_i)/\Delta\\ \kappa_i\equiv 0\ (\operatorname{mod}{\delta}),\, i=1,2 \\ \kappa_1\leqslant \kappa_2}}\frac{g-f}{\kappa_2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим вклад в $W_0$ от слагаемых, отвечающих условию $\delta>D$. Полагая $\kappa_i = \delta n_i$ и пользуясь неравенствами
$$
\begin{equation}
\frac{g-f}{\kappa_2}\leqslant \frac{g}{\kappa_2} < \frac{x}{q_1\kappa_2} = \frac{x}{\Delta\delta^2n_1n_2},
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
заключаем, что искомый вклад не превосходит
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &x\sum_{\Delta\leqslant D}\frac{1}{\Delta}\sum_{D<\delta\leqslant 2\sqrt{x}/\Delta}\frac{1}{\delta^2}\sum_{\xi_1,\xi_2} \sum_{m_1, m_2}\, \sum_{1\leqslant n_i\leqslant 2\sqrt{x}/(\Delta\delta)}\frac{1}{n_1n_2} \\ &\qquad\ll x(\ln x)^2\sum_{\Delta\leqslant D}\frac{1}{\Delta}\sum_{D<\delta\leqslant 2\sqrt{x}/\Delta} \frac{\rho(\Delta)}{\delta^2}\biggl(\frac{\sqrt{x}}{\Delta}\biggr)^2 \\ &\qquad\ll x^2(\ln x)^2\sum_{\Delta\leqslant D}\frac{\tau(\Delta)}{\Delta^2}\sum_{\delta> D}\frac{1}{\delta^2} \ll \frac{x^2(\ln x)^2}{D}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, если четверка $(m_1, m_2, q_1, q_2) = (m_1, m_2, \Delta\delta n_1, \Delta\delta n_2)$ не принадлежит множеству $\mathcal{A}(x)$, то, по крайней мере, одно из условий $g>f$, $f>0$ нарушено. Следовательно, для такой четверки имеем $\max(0,g-f)= 0$. В противном случае очевидно равенство $g-f = \max(0,g-f)$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W_0 = \sum_{\Delta\leqslant D}\sum_{\delta\leqslant D} \frac{\mu(\delta)}{\delta} \sum_{\xi_1,\xi_2}W_0(\Delta,\delta;\xi_1,\xi_2) + O\biggl(\frac{x^2(\ln x)^2}{D}\biggr), \\ W_0(\Delta,\delta;\xi_1,\xi_2) = \mathop{{\sum}'}_{m_1, m_2} \, \mathop{{\sum}'}_{\substack{\sqrt{x}/(C\Delta\delta)<n_i\leqslant (\sqrt{x}+m_i)/(\Delta\delta)\\ i=1,2, \, n_1\leqslant n_2}}\frac{\max(0,g-f)}{n_2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Возвращаясь к представлениям величин $f$ и $g$ в виде $f = \max(f_1,f_2,f_3,f_4)$, $g = \max(g_1, g_2, g_3)$, определим $\mathcal{A}_{rs}(x)$ ($1\leqslant r\leqslant 4$, $1\leqslant s\leqslant 3$) как подмножество всех четверок $(m_1, m_2, q_1, q_2) = (m_1, m_2, \Delta\delta n_1, \Delta\delta n_2)$ из $\mathcal{A}(x)$, для которых $f = f_r$, $g = g_s$. Пусть также $\mathcal{A}_{rs}(x;\Delta,\delta;\xi_1,\xi_2) = \mathcal{B}_{rs}$ – подмножество всех четверок из $\mathcal{A}_{rs}(x)$, которые отвечают заданным значениям $\Delta, \delta, \xi_1$ и $\xi_2$. Соответственно, сумма $W_0(\Delta,\delta;\xi_1,\xi_2)$ разобьется на суммы $W_{rs} = W_{rs}(\Delta,\delta;\xi_1,\xi_2)$, в которых суммирование происходит по четверкам из $\mathcal{B}_{rs}$. Положим, наконец, $m_i = \Delta\ell_i\,{+}\,\xi_i$. Заметим теперь, что множество $\mathcal{B}_{rs}$ определяется системой неравенств, линейных по переменным $m_1$, $m_2$, $q_1$, $q_2$ (или же по переменным $\ell_1$, $\ell_2$, $n_1$, $n_2$). Пользуясь этим, заменим каждую из сумм $W_{rs}$ кратным интегралом. Для краткости будем обозначать переменные интегрирования теми же буквами: $\ell_1$, $\ell_2$, $n_1$ и $n_2$. Пусть $W_{rs}$ записана в виде
$$
\begin{equation*}
W_{rs} = \sum_{(\ell_1)}\sum_{(\ell_2)}\sum_{(n_1)}\sum_{(n_2)}\psi_1(\ell_1, \ell_2, n_1, n_2),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi_1(\ell_1, \ell_2, n_1, n_2) &= \frac{1}{n_2}\bigl(g_s(\Delta\ell_1+\xi_1,\Delta\ell_2+\xi_2,\Delta\delta n_1,\Delta\delta n_2) \\ &\qquad\qquad-f_r(\Delta\ell_1+\xi_1,\Delta\ell_2+\xi_2,\Delta\delta n_1,\Delta\delta n_2)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а символы $(\ell_1)$, $(\ell_2)$, $(n_1)$, $(n_2)$ обозначают системы линейных неравенств, задающих области изменения соответствующих переменных. Из явных формул для величин $f_r$, $g_s$, $1\leqslant r\leqslant 4$, $1\leqslant s\leqslant 3$, следует, что $\psi_1$ имеет вид где $\mathscr{P}$ – некоторый полином степени, не выше второй. Меняя порядок суммирования, перепишем $W_{rs}$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
W_{rs} = \sum_{(n_2)^*}\sum_{(n_1)^*}\sum_{(\ell_2)^*}\sum_{(\ell_1)^*}\psi_1(\ell_1, \ell_2, n_1, n_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $(n_i)^*$, $(\ell_i)^*$ – линейные системы вида
$$
\begin{equation*}
\mathscr{L}_i<\ell_i\leqslant \mathscr{L}'_i,\quad \mathscr{N}_i<n_i\leqslant \mathscr{N}'_i,\qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathscr{L}_1$, $\mathscr{L}'_1$ – линейные формы от переменных $\ell_2$, $n_1$, $n_2$; $\mathscr{L}_2$, $\mathscr{L}'_2$ – линейные формы от переменных $n_1$, $n_2$; $\mathscr{N}_1$, $\mathscr{N}'_1$ – линейные формы от переменной $n_2$, а величины $\mathscr{N}_2$, $\mathscr{N}'_2$ зависят лишь от $x$. В то же время для всех рассматриваемых переменных имеем
$$
\begin{equation*}
0\leqslant \mathscr{L}_i < \mathscr{L}'_i \leqslant \frac{\sqrt{x}}{\Delta},\quad \frac{\sqrt{x}}{C\Delta\delta}\leqslant \mathscr{N}_i<\mathscr{N}'_i\leqslant \frac{\sqrt{x}}{\Delta\delta},\qquad i = 1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду (4.2), для любой фиксированной тройки $n_2$, $n_1$, $\ell_2$ функция $\psi_1$ (как функция переменной $\ell_1$) представляет собой линейную комбинацию кусочно монотонных функций, определенных на промежутке $[\mathscr{L}_1,\mathscr{L}'_1]$. Очевидно, что как число слагаемых в такой линейной комбинации, так и количество участков монотонности каждого из слагаемых ограничено сверху абсолютной постоянной. Так, из леммы 1 и неравенства (4.1) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sum_{(\ell_1)^*}\psi_1(\ell_1, \ell_2, n_1, n_2) = \psi_2(\ell_2, n_1, n_2) + O\biggl(\frac{x}{\Delta\delta^2 n_1n_2}\biggr), \\ \psi_2(\ell_2, n_1, n_2) = \int_{(\ell_1)^*}\psi_1(\ell_1, \ell_2, n_1, n_2)\, d\ell_1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Вклад от остаточного члена (4.3) в сумму $W_{rs}$ не превосходит
$$
\begin{equation*}
\frac{x}{\Delta\delta^2}\sum_{\substack{1\leqslant n_i\leqslant \sqrt{x}/(\Delta\delta) \\ i = 1,2}}\frac{1}{n_1n_2}\sum_{0\leqslant \ell_2\leqslant \sqrt{x}/\Delta}1\ll \frac{x^{3/2}(\ln x)^2}{\Delta^2\delta^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
W_{rs} = \sum_{(n_2)^*}\sum_{(n_1)^*}\sum_{(\ell_2)^*}\psi_2(\ell_2, n_1, n_2) + O\biggl(\frac{x^{3/2}(\ln x)^2}{\Delta^2\delta^2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, из (4.2) следует, что $\psi_2(\ell_2, n_1, n_2)$ имеет вид где $\mathscr{Q}$ – полином степени не выше третьей. Кроме того, в силу неравенства (4.1) получаем
$$
\begin{equation}
\psi_2(\ell_2, n_1, n_2) \ll \int_{(\ell_1)^*}\frac{x\,d\ell_1}{\Delta\delta^2n_1n_2}\ll \frac{x^{3/2}}{\Delta^2\delta^2n_1n_2}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Ввиду (4.4), при любых значениях $n_1$, $n_2$ функция $\psi_2$ (как функция переменной $\ell_2$) является линейной комбинацией кусочно монотонных функций, определенных на промежутке $[\mathscr{L}_2,\mathscr{L}'_2]$. Как число слагаемых такой комбинации, так и число участков монотонности каждого из слагаемых ограничено сверху абсолютной постоянной. Пользуясь леммой 1 наряду с (4.5), находим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sum_{(\ell_2)^*}\psi_2(\ell_2, n_1, n_2) = \psi_3(n_1, n_2) + O\biggl(\frac{x^{3/2}}{\Delta^2\delta^2 n_1n_2}\biggr), \\ \psi_3(n_1, n_2) = \int_{(\ell_2)^*}\psi_2(\ell_2, n_1, n_2)\, d\ell_2 = \int_{(\ell_2)^*}\int_{(\ell_1)^*}\psi_1(\ell_1,\ell_2, n_1, n_2)\, d\ell_1\, d\ell_2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Вклад в сумму $W_{rs}$ от $O$-члена формул (4.6) не превосходит
$$
\begin{equation*}
\frac{x^{3/2}}{\Delta^2\delta^2}\sum_{1\leqslant n_1, n_2\leqslant \sqrt{x}/(\Delta\delta)}\frac{1}{n_1n_2}\ll \frac{x^{3/2}(\ln x)^2}{\Delta^2\delta^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
W_{rs} = \sum_{(n_2)^*}\sum_{(n_1)^*}\psi_3(n_1, n_2) + O\biggl(\frac{x^{3/2}(\ln x)^2}{\Delta^2\delta^2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (4.4), функция $\psi_3(n_1, n_2)$ представляется в виде где $\mathscr{R}$ – полином степени не выше четвертой. Из неравенства (4.5) следует, что
$$
\begin{equation}
\psi_3(n_1, n_2) \ll \int_{(\ell_2)^*}\psi_2(\ell_2, n_1, n_2)\, d\ell_2 \ll \frac{x^2}{\Delta^3\delta^2n_1n_2}.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Поскольку $\sqrt{x}/(C\Delta\delta)\leqslant n_1\leqslant \sqrt{x}/(\Delta\delta)$, неравенство
$$
\begin{equation}
\psi_3(n_1, n_2) \ll \frac{Cx^{3/2}}{\Delta^2\delta n_2}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
будет выполнено на всем промежутке $[\mathscr{N}_1,\mathscr{N}'_1]$. Применяя к сумме по переменной $n_1$ лемму 1, заключаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sum_{(n_1)^*}\psi_3(n_1, n_2) = \psi_4(n_2) + O\biggl(\frac{Cx^{3/2}}{\Delta^2\delta n_2}\biggr), \\ \text{где }\ \psi_4(n_2)\,{=} \int_{(n_1)^*}\psi_3(n_1, n_2)\, dn_1 \,{=} \int_{(n_1)^*}\int_{(\ell_2)^*}\int_{(\ell_1)^*}\psi_1(\ell_1,\ell_2, n_1, n_2)\, d\ell_1\, d\ell_2\, dn_1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Вклад в $W_{rs}$ от $O$-члена формулы (4.10) не превосходит по порядку
$$
\begin{equation*}
\frac{Cx^{3/2}}{\Delta^2\delta}\sum_{1\leqslant n_2\leqslant \sqrt{x}/(\Delta\delta)}\frac{1}{n_2}\ll \frac{Cx^{3/2}\ln x}{\Delta^2\delta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_{rs} &= \sum_{(n_2)^*}\psi_4(n_2) + O\biggl(\frac{x^{3/2}(\ln x)^2}{\Delta^2\delta^2}\biggr) + O\biggl(\frac{Cx^{3/2}\ln x}{\Delta^2\delta}\biggr) \\ &= \sum_{(n_2)^*}\psi_4(n_2) + O\biggl(\frac{Cx^{3/2}\ln x}{\Delta^2\delta}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, оценка (4.9) влечет неравенства
$$
\begin{equation*}
\psi_4(n_2) \ll \int_{(n_1)^*}\frac{x^2}{\Delta^3\delta^2}\,\frac{dn_1}{n_1n_2} \ll \frac{x^2\ln x}{\Delta^3\delta^2n_2} \ll \frac{Cx^{3/2}\ln x}{\Delta^2\delta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, согласно (4.7), величина $\psi_4(n_2)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\frac{1}{n_2}\bigl(\mathscr{S}_1(n_2) + \mathscr{S}_2(n_2)\ln \mathscr{N}\bigr),
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где $\mathscr{S}_{j}(n_2)$ – полиномы степеней не выше третьей, а $\mathscr{N}$ – одна из величин $\mathscr{N}_1$, $\mathscr{N}'_1$. Таким образом, $\psi_4$ – линейная комбинация кусочно монотонных функций, определенных на отрезке $[\mathscr{N}_2,\mathscr{N}'_2]$. Как число слагаемых такой комбинации, так и число участков монотонности каждого из слагаемых не превосходит некоторой абсолютной постоянной. Так с помощью леммы 1 и формулы (4.11) заключаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sum_{(n_2)^*}\psi_4(n_2) = \int_{(n_2)^*}\psi_4(n_2)\, dn_2 + O\biggl(\frac{Cx^{3/2}\ln x}{\Delta^2\delta}\biggr), \\ \begin{aligned} \, W_{rs} &= \int_{(n_2)^*}\psi_4(n_2)\, dn_2 + O\biggl(\frac{Cx^{3/2}\ln x}{\Delta^2\delta}\biggr) \\ &=\int_{(n_2)^*}\int_{(n_1)^*}\int_{(\ell_2)^*}\int_{(\ell_1)^*}\psi_1(\ell_1,\ell_2, n_1, n_2)\, d\ell_1\, d\ell_2\, dn_1\, dn_2 + O\biggl(\frac{Cx^{3/2}\ln x}{\Delta^2\delta}\biggr) \\ &= \int_{(\ell_1)}\int_{(\ell_2)}\int_{(n_1)}\int_{(n_2)}\psi_1(\ell_1,\ell_2, n_1, n_2) \, d\ell_1\, d\ell_2\, dn_1\, dn_2 + O\biggl(\frac{Cx^{3/2}\ln x}{\Delta^2\delta}\biggr). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Последний же интеграл представляется в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{(\ell_1)}\int_{(\ell_2)}\int_{(n_1)}\int_{(n_2)}\chi_{rs}\frac{g_s-f_r}{n_2}\,dn_2\, dn_1\, d\ell_2\, d\ell_1 \\ &\qquad= \iiiint_{\Omega}\frac{\chi_{rs}}{n_2} \max(0,g-f)\,dn_2\, dn_1\, d\ell_2\, d\ell_1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\chi_{rs} = \chi_{rs}(\ell_1,\ell_2,n_1,n_2)$ – характеристическая функция множества точек $(\ell_1,\ell_2,n_1,n_2)\in \mathbb{R}_+^4$, удовлетворяющих условиям $f = f_r$, $g = g_s$, $f_r<g_s$, а через $\Omega = \Omega(\Delta,\delta;\xi_1,\xi_2)$ обозначено множество точек $(\ell_1,\ell_2,n_1,n_2)\in \mathbb{R}_+^4$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} 0<m_i\leqslant\sqrt{x},\quad m_i = \Delta\ell_i+\xi_i,\quad i = 1,2, \\ \dfrac{\sqrt{x}}{C\Delta\delta} < n_i\leqslant \dfrac{\sqrt{x}+m_i}{\Delta\delta},\quad i = 1,2, \\ n_1\leqslant n_2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Суммирование по всем парам $r,s$ дает
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W_0(\Delta,\delta;\xi_1,\xi_2) = I_0 + O\biggl(\frac{Cx^{3/2}\ln x}{\Delta^2\delta}\biggr), \\ I_0 = \iiiint_{\Omega}\frac{\max(0,g-f)}{n_2}\,dn_2\, dn_1\, d\ell_2\, d\ell_1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заменой переменных $m_i = \Delta\ell_i+\xi_i, q_i = \Delta\delta n_i$ интеграл приводится к виду
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\Delta\delta}{\Delta^4\delta^2}\int_0^{\sqrt{x}}dm_1\int_0^{\sqrt{x}}dm_2 \iint_{\substack{\sqrt{x}/C<q_i\leqslant\sqrt{x}+m_i,\,i=1,2 \\ q_1\leqslant q_2}}\psi(m_1,m_2,q_1,q_2)\, dq_1\, dq_2, \\ \begin{aligned} \, \psi(m_1,m_2,q_1,q_2) &= \frac{1}{q_1q_2}\max\bigl(0,\min\{x,(q_1+m_1)^2,(q_2+m_2)^2\} \\ &\qquad\qquad\qquad- \max\{m_1^2,m_2^2,(q_1-m_1)^2,(q_2-m_2)^2\}\bigr). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $m_i = u_i\sqrt{x}$, $q_i = v_i\sqrt{x}$, $i = 1,2$, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_0 = \frac{x^2}{2\Delta^3\delta}\,\mathfrak{S}\biggl(\frac{1}{C}\biggr), \\ \begin{aligned} \, \mathfrak{S}(\varepsilon) &= 2\int_0^1du_1\int_0^1du_2\iint_{\substack{\varepsilon\leqslant v_i\leqslant 1+u_i,\, i=1,2 \\ v_1\leqslant v_2}}\varphi(u_1,u_2,v_1,v_2)\, dv_1\, dv_2 \\ &=\int_0^1du_1\int_0^1du_2\int_{\varepsilon}^{1+u_1}dv_1 \int_{\varepsilon}^{1+u_2}\varphi(u_1,u_2,v_1,v_2)\, dv_2, \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, \varphi(u_1,u_2,v_1,v_2) &= \frac{1}{v_1v_2}\max\bigl\{0,\min(1,(u_1+v_1)^2,(u_2+v_2)^2) \\ &\qquad\qquad\qquad - \max{(u_1^2,u_2^2,(u_1-v_1)^2,(u_2-v_2)^2)}\bigr\}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Можно показать (это будет сделано ниже, в § 6), что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{S}(\varepsilon) = \mathfrak{S}(0) + O\biggl(\varepsilon\ln^2\frac{1}{\varepsilon}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Вводя обозначение $\mathfrak{S} = \mathfrak{S}(0)$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_0 = \frac{x^2}{\Delta^3\delta}\biggl(\mathfrak{S} + O\biggl(\frac{(\ln C)^2}{C}\biggr)\biggr), \\ W_0(\Delta,\delta;\xi_1,\xi_2) = \frac{x^2\mathfrak{S}}{\Delta^3\delta} + O\biggl(\frac{x^2(\ln x)^2}{C\Delta^3\delta}\biggr)+ O\biggl(\frac{Cx^{3/2}\ln x}{\Delta^2\delta}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Просуммируем это равенство по всем $\xi_1$, $\xi_2$, $\delta$ и $\Delta$; так получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_0 &= 2\sum_{\Delta\leqslant D}\sum_{\delta\leqslant D}\frac{\mu(\delta)}{\delta}\rho(\Delta) \biggl\{\frac{x^2\mathfrak{S}}{2\Delta^3\delta} + O\biggl(\frac{x^2(\ln x)^2}{C\Delta^3\delta}\biggr)+ O\biggl(\frac{Cx^{3/2}\ln x}{\Delta^2\delta}\biggr)\biggr\} \\ &\qquad + O\biggl(\frac{x^2(\ln x)^2}{D}\biggr) \\ &= \frac{6}{\pi^2}\biggl(\sum_{\Delta=1}^{+\infty}\frac{\rho(\Delta)}{\Delta^3}\biggr)\mathfrak{S}x^2 + O\biggl(\frac{x^2(\ln x)^2}{D}\biggr) + O\biggl(\frac{x^2(\ln x)^2}{C}\biggr) + O\bigl(Cx^{3/2}(\ln x)^2\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая же $C = D = \sqrt[4]{x}/2$ и применяя лемму 3, окончательно находим
$$
\begin{equation*}
W_0 = c_0x^2 + O\bigl(x^{7/4}(\ln x)^2\bigr),\qquad c_0 = \frac{13}{14}\, \frac{\zeta(2)}{\zeta(3)}\, \mathfrak{S}.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 5. Оценка сумм $V(f)$, $V(g)$Очевидно, что вклад в каждую из сумм $V(\varphi)$ от пар $m_1 = m_2$ не превосходит
$$
\begin{equation*}
\sum_{1\leqslant \Delta \leqslant D}\sum_{\xi_1=1}^{\Delta}\sum_{\substack{1\leqslant m_1\leqslant \sqrt{x} \\ m_1\equiv \xi_1\ (\operatorname{mod}{\Delta})}}\biggl(\frac{\sqrt{x}}{\Delta}\biggr)^2\ll \sum_{1\leqslant \Delta \leqslant D}\Delta\biggl(\frac{\sqrt{x}}{\Delta}\biggr)^3\ll x^{3/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому всюду далее будем предполагать, что $m_1\ne m_2$. Представим $V(\varphi)$ в виде
$$
\begin{equation*}
\sum_{1\leqslant \Delta \leqslant D}\;\sum_{\substack{0<\xi_1,\xi_2\leqslant \Delta \\ \xi_1^2\equiv \xi_2^2\ (\operatorname{mod}{\Delta})}}V(\varphi,\Delta;\xi_1,\xi_2) + O(x^{3/2}),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V(\varphi,\Delta;\xi_1,\xi_2) &= \mathop{{\sum}'}_{\substack{1\leqslant m_i\leqslant \sqrt{x} \\ m_i\equiv\xi_i\ (\operatorname{mod}{\Delta}) \\ i = 1,2}}V(\varphi,\Delta;\xi_1,\xi_2;m_1,m_2), \\ V(\varphi,\Delta;\xi_1,\xi_2;m_1,m_2) &= \mathop{{\sum}'}_{\substack{\sqrt{x}/(C\Delta)<\kappa_i\leqslant \sqrt{x}/\Delta\\ i=1,2 \\ (\kappa_1,\kappa_2)=1,\, \kappa_1\leqslant \kappa_2}} \varrho\biggl(\frac{\varphi - \nu\overline{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Зададим теперь некоторое целое число $H>1$, точное значение которого выберем ниже. Соответственно, обозначим через $U^{(1)}$ и $U^{(2)}$ вклады в последнюю сумму от слагаемых $\varrho_{H}$ и $r_{H}$ из § 2. Рассуждая подобно тому, как это сделано выше, разобьем $U^{(j)}$ на суммы $U_{rs}^{(j)}$, $j=1,2$, где индексы $r$, $s$ означают, что соответствующие четверки $(m_1,m_2,q_1,q_2) = (m_1, m_2,\Delta\kappa_1,\Delta\kappa_2)$ принадлежат множеству $\mathcal{A}_{rs}(x)$. Тогда при фиксированных $r$, $s$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
U_{rs}^{(1)} = \sum_{(\kappa_1)}\sum_{(\kappa_2)}\varrho_{H}\biggl(\frac{\varphi - \nu\overline{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где символы $(\kappa_1)$ и $(\kappa_2)$ обозначают области вида $\sigma_1<\kappa_1\leqslant \tau_1$, $\sigma_2<\kappa_2\leqslant \tau_2$, $(\kappa_1,\kappa_1)=1$, причем величины
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \sigma_1 &= \sigma_1(x;m_1,m_2), &\qquad \tau_1 &= \tau_1(x;m_1,m_2), \\ \sigma_2 &= \sigma_2(x;m_1,m_2,\kappa_1), &\qquad \tau_2 &= \tau_2(x;m_1,m_2,\kappa_1) \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
являются линейными функциями переменных $m_1$, $m_2$, $\kappa_1$. Ограничения, которым подчинены $\kappa_i$, влекут неравенства $E<\kappa_i\leqslant K$, в которых
$$
\begin{equation*}
E = \biggl[\frac{\sqrt{x}}{2C\Delta}\biggr],\qquad K = 2\biggl[\frac{\sqrt{x}}{\Delta}\biggr]+3.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, пользуясь леммой 2, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, U_{rs}^{(1)} = \frac{1}{2\pi i}\sum_{0<|h|\leqslant H}\frac{1}{h}\sum_{(\kappa_1)} \sum_{(\kappa_2)}e\biggl(\frac{h\varphi - h\nu\bar{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr) = \frac{1}{2\pi i}\mathop{{\sum}'}_{L\leqslant H/2}\frac{U_{rs}^{(1)}(L)}{L}, \\ U_{rs}^{(1)}(L) = \sum_{L<|h|\leqslant 2L}\gamma(h)\sum_{(\kappa_1)} \sum_{(\kappa_2)}e\biggl(\frac{h\varphi - h\nu\overline{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr),\qquad \gamma(h) = \frac{L}{h}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, преобразуем область $(\kappa_2)$ так, чтобы границы изменения переменной $\kappa_2$ стали независимы от $\kappa_1$; получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{(\kappa_2)}e\biggl(\frac{h\varphi - h\nu\bar{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr) = \sum_{\substack{\sigma_2<\kappa_2\leqslant \tau_2 \\ (\kappa_1,\kappa_2)=1}} e\biggl(\frac{h\varphi - h\nu\bar{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr) \\ &\qquad= \sum_{\substack{E<\kappa_2\leqslant K \\ (\kappa_1,\kappa_2)=1}}\frac{1}{K} \sum_{|a|<K/2}\sum_{\sigma_2<\lambda\leqslant \tau_2}e\biggl(\frac{a}{K}(\kappa_2-\lambda)\biggr) e\biggl(\frac{h\varphi - h\nu\bar{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr) \\ &\qquad=\sum_{|a|<K/2}\frac{1}{|a|+1}\sum_{\substack{E<\kappa_2\leqslant K \\ (\kappa_1,\kappa_2)=1}}\alpha(\kappa_2)\beta(\kappa_1) e\biggl(\frac{h\varphi - h\nu\bar{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\alpha(\kappa_2) = e\biggl(\frac{a\kappa_2}{K}\biggr),\qquad \beta(\kappa_1) = \beta_{a}(\kappa_1) = \frac{|a|+1}{K}\sum_{\sigma_2<\lambda\leqslant \tau_2}e\biggl(-\frac{a\lambda}{K}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Несложно проверить, что $|\beta_{a}(\kappa_1)|\leqslant 1$ при любом $a$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
U_{rs}^{(1)}(L) = \sum_{|a|<K/2}\frac{U_{rs}^{(1)}(L;a)}{|a|+1},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_{rs}^{(1)}(L;a) &= \sum_{L<|h|\leqslant 2L} \gamma(h)\sum_{(\kappa_1)}\beta(\kappa_1) \sum_{\substack{E<\kappa_2\leqslant K \\ (\kappa_1,\kappa_2)=1}}\alpha(\kappa_2)e\biggl(\frac{h\varphi - h\nu\bar{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr) \\ &= \sum_{L<|h|\leqslant 2L}\, \sum_{\sigma_1<\kappa_1\leqslant \tau_1}\, \sum_{\substack{E<\kappa_2\leqslant K \\ (\kappa_1,\kappa_2)=1}} \alpha(\kappa_2) \beta(\kappa_1) \gamma(h)e \biggl(\frac{h\varphi - h\nu\bar{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разобьем, наконец, области изменения переменных $\kappa_1$ и $\kappa_2$ на промежутки вида $M<\kappa_1\leqslant M_1$, $N<\kappa_2\leqslant N_1$, где $M_1 = 2M$ во всех случаях, за исключением быть может одного, когда $M_1<2M$ (то же предполагаем относительно $N$, $N_1$). Ограничиваясь лишь случаем положительных $h$ и переходя к сопряженным суммам, приходим к выражениям типа
$$
\begin{equation*}
U(L,M,N) = \sum_{L<h\leqslant 2L}\, \mathop{\sum_{M<\kappa_1\leqslant M_1}\sum_{N<\kappa_2\leqslant N_1}}_{(\kappa_1,\kappa_2)=1} \alpha(\kappa_2)\beta(\kappa_1)\gamma(h)e\biggl(\frac{\nu h\overline{\kappa}_1}{\kappa_2} + \mathscr{F}(\kappa_1,\kappa_2)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
в которых $\mathscr{F}(\kappa_1,\kappa_2) = -h\varphi/\kappa_2$. Оценим теперь производные $\partial \mathscr{F}/\partial\kappa_i$, $i=1,2$. Так, например, в случае
$$
\begin{equation*}
\varphi = f_3 = \frac{(q_2-m_2)^2-m_1^2}{q_1} = \frac{(\Delta\kappa_2-m_2)^2 - m_1^2}{\Delta\kappa_1}
\end{equation*}
\notag
$$
находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathscr{F} = \frac{h(m_1^2-(\Delta\kappa_2-m_2)^2)}{\Delta\kappa_1\kappa_2}, \\ \frac{\partial \mathscr{F}}{\partial\kappa_1} = \frac{h((\Delta\kappa_2-m_2)^2-m_1^2)}{\Delta\kappa_1^2\kappa_2}, \qquad \frac{\partial \mathscr{F}}{\partial\kappa_2} = \frac{h(m_2^2-m_1^2-(\Delta\kappa_2)^2)}{\Delta\kappa_1\kappa_2^2} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\partial \mathscr{F}}{\partial\kappa_1}\biggr|\leqslant \frac{h(\sqrt{x})^2}{\Delta\kappa_1^2\kappa_2}\leqslant \frac{2xL}{\Delta\kappa_1^2\kappa_2},\qquad \biggl|\frac{\partial \mathscr{F}}{\partial\kappa_2}\biggr|\leqslant \frac{h\bigl((\sqrt{x})^2+(2\sqrt{x})^2\bigr)}{\Delta\kappa_1^2\kappa_2} \leqslant \frac{10xL}{\Delta\kappa_1^2\kappa_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, неравенства (2.1) выполняются с $X\ll xL/\Delta$. Подобные оценки справедливы и во всех остальных случаях. Полагая в лемме 4 переменную $\vartheta = \nu = (m_2^2-m_1^2)/\Delta$, заключаем
$$
\begin{equation*}
\frac{|\vartheta|L+X}{MN}\ll \frac{xL}{\Delta MN},\qquad T = \biggl(1+\frac{|\vartheta|L+X}{MN}\biggr)^{1/2}\ll 1 + \sqrt{\frac{xL}{\Delta MN}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, беря в качестве $\{a_m\}$, $\{b_n\}$ и $\{c_{\ell}\}$ последовательности $\{\alpha(\kappa_1)\}$, $\{\beta(\kappa_2)\}$ и, соответственно, $\{\gamma(h)\}$, будем, очевидно, иметь $\|\mathbf{a}\|\ll\sqrt{M}$, $\|\mathbf{b}\|\ll\sqrt{N}$, $\|\mathbf{c}\|\ll\sqrt{L}$. Следовательно, для любого фиксированного $\varepsilon>0$ из леммы 4 получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &U(L,M,N)\ll (LMN)^{\varepsilon/4}(LMN)^{1/2}\biggl(1+ \sqrt{\frac{xL}{\Delta MN}}\biggr) \\ &\qquad\qquad\qquad\times\bigl\{(LMN)^{7/20}(M+N)^{1/4}+(LMN)^{3/8}(M+N)^{1/8}L^{1/8}\bigr\} \\ &\ll x^{3\varepsilon/4}\biggl(1+ \sqrt{\frac{xL}{\Delta MN}}\biggr) \bigl\{(LMN)^{17/20}(M+N)^{1/4}{+}\,(LMN)^{7/8}(M+N)^{1/8}L^{1/8}\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим теперь $M = K\cdot 2^{-\alpha}$, $N = K\cdot 2^{-\beta}$, где $1\leqslant 2^{\alpha}, 2^{\beta}\ll C$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{xL}{\Delta MN}\ll \frac{xL}{\Delta}\cdot\frac{2^{\alpha+\beta}}{K^2} \ll \frac{xL}{\Delta}\cdot\frac{\Delta^2}{x}\,2^{\alpha+\beta}\ll \Delta L\cdot 2^{\alpha+\beta}, \\ 1 + \sqrt{\frac{xL}{\Delta MN}}\ll \sqrt{\Delta L}\cdot 2^{(\alpha + \beta)/2},\qquad LMN \ll \frac{xL}{\Delta^2}\cdot 2^{-(\alpha+\beta)}, \\ (LMN)^{17/20}(M+N)^{1/4} \ll \biggl(\frac{x}{\Delta^2}\biggr)^{39/40}L^{17/20}\bigl( 2^{-11\alpha/10-17\beta/20} + 2^{-17\alpha/20-11\beta/10}\bigr), \\ (LMN)^{7/8}(M+N)^{1/8}L^{1/8} \ll \biggl(\frac{x}{\Delta^2}\biggr)^{15/16}L\bigl(2^{-\alpha-7\beta/8} + 2^{-7\alpha/8-\beta}\bigr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U(L,M,N) &\ll x^{3\varepsilon/4}\sqrt{\Delta L} \biggl\{\biggl(\frac{x}{\Delta^2}\biggr)^{39/40} L^{17/20}\bigl( 2^{-3\alpha/5-7\beta/20} + 2^{-7\alpha/20-3\beta/5}\bigr) \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+ \biggl(\frac{x}{\Delta^2}\biggr)^{15/16}L\bigl(2^{-\alpha/2-3\beta/8} + 2^{-3\alpha/8-\beta/2}\bigr)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Суммирование полученных оценок по всем $\alpha$, $\beta$ дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_{rs}^{(1)}(L,a) &\ll x^{3\varepsilon/4}\biggl\{ \frac{x^{39/40}}{\Delta^{29/20}}\,L^{27/20} + \frac{x^{15/16}}{\Delta^{11/8}}\,L^{3/2} \biggr\}, \\ U_{rs}^{(1)}(L) &\ll x^{4\varepsilon/5}\biggl\{ \frac{x^{39/40}}{\Delta^{29/20}}\,L^{27/20} + \frac{x^{15/16}}{\Delta^{11/8}}\,L^{3/2} \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая же $L = H\cdot 2^{-\gamma}$, находим
$$
\begin{equation*}
U_{rs}^{(1)} \ll \sum_{\gamma}\frac{|U_{rs}^{(1)}(L)|}{L}\ll x^{5\varepsilon/6}\biggl\{\frac{x^{39/40}}{\Delta^{29/20}}\,H^{7/20} + \frac{x^{15/16}}{\Delta^{11/8}}\,H^{1/2} \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя по всем парам $r,s$, приходим к следующему неравенству:
$$
\begin{equation}
U^{(1)} \ll x^{5\varepsilon/6}\biggl\{\frac{x^{39/40}}{\Delta^{29/20}}\,H^{7/20} + \frac{x^{15/16}}{\Delta^{11/8}}\,H^{1/2} \biggr\}.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Оценим теперь сумму $U^{(2)}$. По лемме 2 при любых $r$, $s$ для некоторой абсолютной постоянной $c>0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |U_{rs}^{(2)}| &= \biggl|\sum_{(\kappa_1)}\sum_{(\kappa_2)}r_{H}\biggl(\frac{\varphi - \nu\overline{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr)\biggr|\leqslant c\sum_{(\kappa_1)}\sum_{(\kappa_2)}\vartheta_{H}\biggl(\frac{\varphi - \nu\overline{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr) \\ &\leqslant c\sum_{\substack{E<\kappa_1,\kappa_2\leqslant K \\ (\kappa_1,\kappa_2)=1}}\vartheta_{H}\biggl(\frac{\varphi - \nu\overline{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr) = c\sum_{h = -\infty}^{+\infty}C(h)\sum_{\substack{E<\kappa_1,\kappa_2\leqslant K \\ (\kappa_1,\kappa_2)=1}}e\biggl(\frac{h\varphi - h\nu\overline{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим величины $\varepsilon_1 = \varepsilon/10$ и $P = [H^{1+\varepsilon_1}]$. Тогда вклад от членов с $|h|>P$ оценится как
$$
\begin{equation*}
c\sum_{|h|>P}|C(h)|K^2\ll K^2H^{-3}\ll \frac{x}{\Delta^2H^3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, вклад от слагаемого, отвечающего $h = 0$, не превосходит
$$
\begin{equation*}
c|C(0)|K^2\ll \frac{K^2\ln H}{H}\ll \frac{x\ln x}{\Delta^2H}.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается, таким образом, оценить вклад от членов с $0<|h|\leqslant P$. Для этого разобьем промежуток $1\leqslant h\leqslant P$ на области вида $L<h\leqslant L_1$, $L_1\leqslant 2L$. Так, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_{rs}(L) &= \sum_{L<h\leqslant L_1}C(h)\sum_{\substack{E<\kappa_1,\kappa_2\leqslant K \\ (\kappa_1,\kappa_2)=1}}e\biggl(\frac{h\varphi - h\nu\overline{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr) \\ &=\frac{\ln H}{H}\sum_{L<h\leqslant L_1} \mathop{\sum_{E<\kappa_1\leqslant K}\sum_{E<\kappa_2\leqslant K}}_{(\kappa_1,\kappa_2)=1} \gamma(h)e\biggl(\frac{h\varphi - h\nu\overline{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma(h) = HC(h)/\ln H\ll 1$ и $\|\boldsymbol{\gamma}\|\ll \sqrt{L}$. Оценка же последней суммы проводится по той же схеме, что и выше. В итоге получим неравенство
$$
\begin{equation*}
U_{rs}(L)\ll \frac{\ln H}{H}\cdot x^{4\varepsilon/5}\biggl\{\frac{x^{39/40}}{\Delta^{29/20}}\,L^{27/20} + \frac{x^{15/16}}{\Delta^{11/8}}\,L^{3/2}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Беря $L = P\cdot 2^{-\alpha}$ и суммируя по всем $\alpha$, найдем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{1\leqslant |h|\leqslant P}C(h)\sum_{\substack{E<\kappa_1,\kappa_2\leqslant K \\ (\kappa_1,\kappa_2)=1}} e\biggl(\frac{h\varphi - h\nu\overline{\kappa}_1}{\kappa_2}\biggr) &\ll \frac{x^{5\varepsilon/6}}{H}\biggl\{\frac{x^{39/40}}{\Delta^{29/20}}\,P^{27/20} + \frac{x^{15/16}}{\Delta^{11/8}}\,P^{3/2}\biggr\} \\ &\ll x^{\varepsilon}\biggl\{\frac{x^{39/40}}{\Delta^{29/20}}\,H^{7/20} + \frac{x^{15/16}}{\Delta^{11/8}}\,H^{1/2}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
U_{rs}^{(2)}\ll x^{\varepsilon}\biggl\{\frac{x^{39/40}}{\Delta^{29/20}}\,H^{7/20} + \frac{x^{15/16}}{\Delta^{11/8}}\,H^{1/2} + \frac{x}{\Delta^2H}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Просуммировав такие неравенства по всем парам $r,s$ и пользуясь (5.1), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V(\varphi;\Delta,\xi_1,\xi_2;m_1, m_2) &= U^{(1)}+U^{(2)} \\ &\ll x^{\varepsilon}\biggl\{\frac{x^{39/40}}{\Delta^{29/20}}\,H^{7/20} + \frac{x^{15/16}}{\Delta^{11/8}}\,H^{1/2} +\frac{x}{\Delta^2H}\biggr\} \\ &\ll x^{1+\varepsilon}\biggl\{\frac{x^{-1/40}}{\Delta^{29/20}}\,H^{7/20} + \frac{x^{-1/16}}{\Delta^{11/8}}\,H^{1/2} + \frac{1}{\Delta^2H}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Суммирование по переменным $m_i\equiv\xi_i\pmod{\Delta}$, $i = 1,2$, приводит к появлению в оценке дополнительного множителя $(\sqrt{x}/\Delta)^2 = x/\Delta^2$:
$$
\begin{equation*}
V(\varphi;\Delta,\xi_1,\xi_2) \ll x^{2+\varepsilon}\biggl\{\frac{x^{-1/40}}{\Delta^{69/20}}\,H^{7/20} + \frac{x^{-1/16}}{\Delta^{27/8}}\,H^{1/2} + \frac{1}{\Delta^4H}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 3
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V(\varphi) &\ll x^{2+\varepsilon}\sum_{\Delta\leqslant D}\rho(\Delta)\biggl\{\frac{x^{-1/40}}{\Delta^{69/20}}\,H^{7/20} + \frac{x^{-1/16}}{\Delta^{27/8}}\,H^{1/2} + \frac{1}{\Delta^4H}\biggr\} \\ &\ll x^{2+\varepsilon}\biggl\{x^{-1/40}\,H^{7/20} + x^{-1/16}\,H^{1/2} +\frac{1}{H}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая $H = [x^{1/54}]$, окончательно находим
$$
\begin{equation*}
V(\varphi)\ll x^{2+\varepsilon}\biggl(\frac{1}{H} + x^{-1/16}\,H^{1/2}\biggr)\ll x^{2-1/54+\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана.
§ 6. Кратный интеграл $\mathfrak{S}(\varepsilon)$В заключительном параграфе мы рассмотрим интеграл $\mathfrak{S}(\varepsilon)$, определенный в § 4, т. е. интеграл
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{S}(\varepsilon) = \int_0^1du_1\int_0^1du_2\int_{\varepsilon}^{1+u_1}dv_1 \int_{\varepsilon}^{1+u_2}\varphi(u_1,u_2,v_1,v_2)\, dv_2,
\end{equation*}
\notag
$$
в котором
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi(u_1,u_2,v_1,v_2) = \frac{\max(0,g - f)}{v_1v_2},\quad g =\min(g_1,g_2,g_3),\quad f = \max(f_1,f_2,f_3,f_4), \\ f_1 = u_1^2,\qquad f_2 = u_2^2,\qquad f_3 = (u_1-v_1)^2,\qquad f_4 = (u_2-v_2)^2, \\ g_1 = 1,\qquad g_2 = (u_1+v_1)^2,\qquad g_3 = (u_2+v_2)^2 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(в § 3 обозначения $f_r$, $g_s$ уже были нами использованы, причем в ином смысле, однако это не должно привести здесь к недоразумениям). Обозначим через $\omega$ множество точек $(u_1,u_2,v_1,v_2)$, удовлетворяющих условиям $0\leqslant u_i\leqslant 1$, $0< v_i\leqslant 1+u_i$, $i=1,2$. Разобьем множество $\omega$ на подмножества $\omega_{r,s}$, определяемые условиями $f = f_r$, $g = g_s$, $f_r<g_s$. Обозначим, наконец, через $\omega_{r,s}(\varepsilon)$ множество точек $\omega_{r,s}$ с дополнительными условиями $v_i>\varepsilon$, $i=1,2$. Соответственно, для любого $0\leqslant \varepsilon < 1$ получаем
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{S}(\varepsilon) = \sum_{r,s}\int_{\omega_{r,s}(\varepsilon)}\varphi(u_1,u_2,v_1,v_2)\,du_1\, du_2\, dv_1\, dv_2 = \sum_{r,s}\mathfrak{S}_{r,s}(\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, достаточно показать, что равенство
$$
\begin{equation}
\mathfrak{S}_{r,s}(\varepsilon) = \mathfrak{S}_{r,s}(0) + O\biggl(\varepsilon\ln^2\frac{1}{\varepsilon}\biggr)
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
выполняется для любой пары $r,s$. При этом мы ограничимся случаем $r=s=2$, поскольку во всех прочих случаях рассуждения аналогичны. Можно проверить, что $\omega_{2,2}$ задается системой неравенств
$$
\begin{equation*}
0\leqslant u_1\leqslant u_2\leqslant 1,\quad u_2-u_1\leqslant v_1\leqslant \min(1-u_1,u_2+u_1),\quad v_1-(u_2-u_1)\leqslant v_2\leqslant 2u_2
\end{equation*}
\notag
$$
и, таким образом, $\omega_{2,2}$ разбивается на три подобласти $\varpi_1$, $\varpi_2$ и $\varpi_3$, определяемые, соответственно, системами неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{cases} 0\leqslant u_1\leqslant u_2\leqslant \dfrac{1}{3}, \\ u_2-u_1\leqslant v_1\leqslant u_2+u_1, \\ v_1-(u_2-u_1)\leqslant v_2\leqslant 2u_2, \end{cases}\qquad \begin{cases} \dfrac{1}{3} < u_2 \leqslant 1, \\ 0 \leqslant u_1 \leqslant \dfrac{1}{2}(1-u_2), \\ u_2-u_1\leqslant v_1\leqslant u_2+u_1, \\ v_1-(u_2-u_1)\leqslant v_2\leqslant 2u_2, \end{cases} \\ \begin{cases} \dfrac{1}{3} < u_2 \leqslant 1, \\ \dfrac{1}{2}(1-u_2) < u_1\leqslant u_2, \\ u_2-u_1\leqslant v_1\leqslant 1-u_1, \\ v_1-(u_2-u_1)\leqslant v_2\leqslant 2u_2. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\varpi_{j}(\varepsilon)$ ($j=1,2,3$) множество точек $\varpi_{j}$, удовлетворяющих дополнительному условию $v_i>\varepsilon$, а через $J_1(\varepsilon)$ – интеграл
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &\int_{\varpi_1(\varepsilon)}\varphi\,\,du_1\, du_2\, dv_1\, dv_2 \\ &\ = \int_0^{1/3}du_2\int_0^{u_2}du_1\int_{\max(u_2-u_1,\,\varepsilon)}^{u_2+u_1}dv_1 \int_{\max(v_1-(u_2-u_1),\,\varepsilon)}^{2u_2}\varphi\,du_1\, du_2\, dv_1\, dv_2, \end{aligned} \\ \varphi = \varphi(u_1,u_2,v_1,v_2) = \frac{g_2-f_2}{v_1v_2} = \frac{(u_1+v_1)^2-u_2^2}{v_1v_2}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Из (6.2) следует, что $2u_2\geqslant \varepsilon$ для всякой точки множества $\varpi_1(\varepsilon)$. Вклад $j_1(\varepsilon)$ в интеграл $J_1(\varepsilon)$ от подобласти $\varepsilon/2\leqslant u_2\leqslant 2\varepsilon$ не превосходит
$$
\begin{equation*}
\int_{\varepsilon/2}^{2\varepsilon}du_2\int_0^{2\varepsilon}du_2\int_0^{2\varepsilon}du_1 \int_{\varepsilon}^{4\varepsilon}\frac{dv_1}{v_1}\int_{\varepsilon}^{4\varepsilon}\frac{(2\varepsilon + 4\varepsilon)^2}{v_2}\,dv_2\,\ll \varepsilon^{\,4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_1(\varepsilon) &= \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2 \int_0^{u_2}du_1 \int_{\max(u_2-u_1,\,\varepsilon)}^{u_2+u_1}dv_1 \int_{\max(v_1-(u_2-u_1),\,\varepsilon)}^{2u_2}\varphi\,dv_2 + O(\varepsilon^4) \\ &= \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2\int_0^{u_2-\varepsilon}du_1\int_{u_2-u_1}^{u_2+u_1}dv_1 \int_{\max(v_1-(u_2-u_1),\,\varepsilon)}^{2u_2}\varphi\,dv_2 \\ &\qquad + \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2\int_{u_2-\varepsilon}^{u_2}du_1\int_{\varepsilon}^{u_2+u_1}dv_1 \int_{\max(v_1-(u_2-u_1),\,\varepsilon)}^{2u_2}\varphi\,dv_2 + O(\varepsilon^4) \\ &= J_2(\varepsilon) + J_3(\varepsilon) + O(\varepsilon^4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
0\leqslant J_3(\varepsilon)\leqslant \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2 \int_{u_2-\varepsilon}^{u_2}du_1 \int_{\varepsilon}^1\frac{dv_1}{v_1} \int_{\varepsilon}^1\frac{dv_2}{v_2} \ll \varepsilon\ln^2\frac{1}{\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Разбивая интеграл $J_2(\varepsilon)$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_2(\varepsilon) &= \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2 \int_0^{u_2-\varepsilon}du_1 \int_{u_2-u_1+\varepsilon}^{u_2+u_1}dv_1 \int_{v_1-(u_2-u_1)}^{2u_2}\varphi\,dv_2 \\ &\qquad+ \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2 \int_0^{u_2-\varepsilon}du_1 \int_{u_2-u_1}^{u_2-u_1+\varepsilon}dv_1 \int_{\varepsilon}^{2u_2}\varphi\,dv_2 \\ &= J_4(\varepsilon) + J_5(\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\leqslant J_5(\varepsilon) \leqslant \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2 \int_0^{u_2-\varepsilon}du_1 \int_{u_2-u_1}^{u_2-u_1+\varepsilon}\frac{dv_1}{v_1} \int_{\varepsilon}^1\frac{dv_2}{v_2} \\ &= \biggl(\ln \frac{1}{\varepsilon}\biggr)\int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2 \int_0^{u_2-\varepsilon}\ln \biggl(\frac{u_2-u_1+\varepsilon}{u_2-u_1}\biggr)\,du_1 \\ &= \biggl(\ln\frac{1}{\varepsilon}\biggr)\int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2 \int_{\varepsilon}^{u_2}\ln\biggl(\frac{w+\varepsilon}{w}\biggr)\, dw \leqslant \biggl(\ln\frac{1}{\varepsilon}\biggr)\int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2 \int_{\varepsilon}^{u_2}\frac{\varepsilon\,dw}{w} \\ &\leqslant \varepsilon\biggl(\ln\frac{1}{\varepsilon}\biggr)^2\int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2\ll \varepsilon\biggl(\ln\frac{1}{\varepsilon} \biggr)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заменим теперь нижнюю границу $u_2-u_1+\varepsilon$ для переменной $v_1$ в интеграле $J_4(\varepsilon)$ величиной $u_2-u_1$. Так, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_4(\varepsilon) &= \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2\int_0^{u_2-\varepsilon}du_1\int_{u_2-u_1}^{u_2+u_1}dv_1 \int_{v_1-(u_2-u_1)}^{2u_2}\varphi\,dv_2 \\ &\qquad- \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2\int_0^{u_2-\varepsilon}du_1 \int_{u_2-u_1}^{u_2-u_1+\varepsilon}dv_1 \int_{v_1-(u_2-u_1)}^{2u_2}\varphi\,dv_2 \\ &= J_6(\varepsilon) - J_7(\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $w = u_2-u_1$, $v = v_1-(u_2-u_1)$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\leqslant J_7(\varepsilon) \leqslant \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2\int_{\varepsilon}^{u_2}dw \int_{w}^{w+\varepsilon}\frac{dv_1}{v_1}\int_{v_1-w}^{2/3}\frac{dv_2}{v_2} \\ &\leqslant \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2\int_{\varepsilon}^{1/3}dw\int_0^{\varepsilon}\frac{dv}{v+w} \int_v^{2/3+w}\frac{dv_2}{v_2} \\ &\leqslant \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2\int_{\varepsilon}^{1/3} \frac{dw}{w} \int_0^{\varepsilon}dv \int_v^1\frac{dv_2}{v_2} \\ &\leqslant \int_0^1du_2\int_{\varepsilon}^1\frac{dw}{w}\int_0^{\varepsilon}\biggl(\ln\frac{1}{v}\biggr)\, dv \ll \varepsilon\biggl(\ln\frac{1}{\varepsilon}\biggr)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заменим теперь верхнюю границу $u_2-\varepsilon$ величины $u_1$ в интеграле $J_6(\varepsilon)$ на $u_2$. Ошибка от такой замены не превосходит
$$
\begin{equation*}
J_{8}(\varepsilon) = \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2 \int_{u_2-\varepsilon}^{u_2}du_1 \int_{u_2-u_1}^{u_2+u_1}dv_1 \int_{v_1-(u_2-u_1)}^{2u_2}\varphi\,dv_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Введя обозначения $w = u_2-u_1$, $v=v_1-(u_2-u_1)$, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_{8}(\varepsilon) &= \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2\int_0^{\varepsilon}dw\int_{w}^{2u_2-w}dv_1 \int_{v_1-w}^{2u_2}\varphi\,dv_2 \\ &= \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2\int_0^{\varepsilon}dw\int_0^{2(u_2-w)}dv \int_v^{2u_2}\varphi\,dv_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varphi &= \frac{(u_1+v_1)^2-u_2^2}{v_1v_2} = \frac{(u_1+v_1-u_2)(u_1+v_1+u_2)}{v_1v_2} \\ &= \frac{v(v+2u_2)}{v_2(v+w)}\leqslant \frac{4u_2v}{v_2(v+w)}\leqslant \frac{4u_2}{v_2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_{8}(\varepsilon) &\leqslant 4\int_{2\varepsilon}^{1/3}u_2\, du_2\int_0^{\varepsilon}dw\int_0^{2u_2}dv \int_v^{2u_2}\frac{dv_2}{v_2} \\ &\leqslant 4\varepsilon\int_{2\varepsilon}^{1/3}u_2\,du_2\int_0^{2u_2}\ln\frac{2u_2}{v}\, dv\leqslant 8\varepsilon \int_0^{1/3}u_2^2\, du_2\int_1^{+\infty}\frac{\ln t}{t^2}\,dt \ll \varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, имеем равенство $J_6(\varepsilon) = J_{9}(\varepsilon) + O(\varepsilon)$, в котором
$$
\begin{equation*}
J_{9}(\varepsilon) = \int_{2\varepsilon}^{1/3}du_2\int_0^{u_2}du_1 \int_{u_2-u_1}^{u_2+u_1}dv_1 \int_{v_1-(u_2-u_1)}^{2u_2}\varphi\,dv_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Ошибка, возникающая в интеграле $J_{9}(\varepsilon)$ от замены нижней границы $\varepsilon$ переменной $u_2$ нулем, оценится так ($w = u_2-u_1$, $v = v_1- (u_2-u_1)$):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^{2\varepsilon}du_2\int_0^{u_2}du_1\int_{u_2-u_1}^{u_2+u_1}dv_1 \int_{v_1-(u_2-u_1)}^{2u_2}\varphi\,dv_2 \\ &\qquad= \int_0^{2\varepsilon}du_2\int_0^{u_2}dw\int_{w}^{2u_2-w}dv_1\int_{v_1-w}^{2u_2}\varphi\,dv_2 \\ &\qquad= \int_0^{2\varepsilon}du_2\int_0^{u_2}dw\int_0^{2(u_2-w)}dv\int_v^{2u_2}\varphi\,dv_2 \\ &\qquad\leqslant \int_0^{2\varepsilon}du_2\int_0^{u_2}dw\int_0^{2u_2}dv\int_v^{2u_2}\frac{4u_2}{v_2}\,dv_2 \\ &\qquad\leqslant 4\int_0^{2\varepsilon}u_2\, du_2\int_0^{u_2}dw\int_0^{2u_2}\ln\frac{2u_2}{v}\,dv \\ &\qquad\leqslant 8\int_0^{2\varepsilon}u_2^2\, du_2\int_0^{u_2}dw\int_1^{+\infty}\frac{\ln t}{t^2}\,dt\ll \varepsilon^4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак,
$$
\begin{equation*}
J_1(\varepsilon) = J_1(0) + O\biggl(\varepsilon\ln^2{\frac{1}{\varepsilon}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Интегралы по подобластям $\varpi_2(\varepsilon)$, $\varpi_3(\varepsilon)$ рассматриваются аналогично. Так, соотношение (6.1) проверено для $r=s=2$. Для всех оставшихся пар $r,s$ оно проверяется подобным образом. БлагодарностиАвтор искренне благодарен Ф. Баттистони, Л. Гренье и Дж. Мольтени, сообщившим о точном значении постоянной $\mathfrak{S}$, а также рецензенту за ознакомление с текстом работы и полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kor25} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|