| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) О тензорных инвариантах для интегрируемых случаев движения твердого тела Эйлера, Лагранжа и Ковалевской А. В. Цыганов  Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Английская версия:
Izvestiya: Mathematics, 2025, Volume 89, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9618e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеРассмотрим автономное дифференцируемое векторное поле $X$ на гладком фазовом пространстве с координатами $x=(x^1,\dots,x^n)$. Данное векторное поле входит в определение системы обыкновенных дифференциальных уравнений или динамической системы и в определение уравнения инвариантности где $\mathcal L_X$ – производная Ли тензорного поля $ T$ по направлению векторного поля $X$. Решения уравнения (1.2) постоянны: на решении уравнений (1.1). Современное обсуждение взаимосвязи уравнений (1.1) и (1.2), а также соответствующие ссылки можно найти в работах Козлова [1]–[4] и недавно опубликованной работе [5].Производная Ли определяет скорость изменения тензора $T$ при деформации фазового пространства, определяемой фазовым потоком системы (1.1). Приведем явное выражение для производной Ли тензорного поля $T$ типа $(p, q)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (\mathcal{L}_XT)^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_q}&=\sum_{k=1}^n X^{k}(\partial _{k}T^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_q}) -\sum_{\ell=1}^n (\partial _{\ell}X^{i_1})T^{\ell i_2\dots i_p}_{j_1\dots j_s}-\dots - \sum_{\ell=1}^n (\partial _{\ell}X^{i_p})T^{i_1\dots i_{p-1}\ell}_{j_1\dots j_s} \nonumber \\ &\quad+\sum_{m=1}^n(\partial _{j_1}X^m)T^{i_1\dots i_p}_{m j_2\dots j_q}+\dots +\sum_{m=1}^n(\partial _{j_q}X^m)T^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_{q-1}m}=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $\partial_s= {\partial}/{\partial x^s}$ – частная производная по координате $x^s$ [6]. Производная Ли коммутирует с операцией внешнего дифференцирования и удовлетворяет правилу Лейбница, что используется для построения тензорных инвариантов с помощью некоторого набора базовых инвариантных тензорных полей, которые либо имеют более простую функциональную зависимость от переменных $x$, либо обладают какими-либо особыми свойствами или имеют какую-либо физическую интерпретацию. В качестве стандартного примера приведем гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии $M=\mathbb R^{2n}$ где $P$ – инвариантный и удовлетворяющий тождеству Якоби бивектор Пуассона с компонентами, не зависящими от координат и импульсов. Второй множитель $dH$ в тензорном произведении (1.4) – это инвариантная 1-форма, построенная с помощью дифференцирования функции Гамильтона $H$, т. е. скалярного инварианта уравнения (1.2), который обычно совпадает с механической энергией динамической системы (1.1) [7]–[9].Следуя Якоби [7], мы обычно накладываем дополнительное ограничение на инвариантное тензорное поле $P$ в выражении для векторного поля $X$ (1.4) (тождество Якоби) которое гарантирует нам, что скобка Пуассона интегралов движения $f_1$ и $f_2$ снова является интегралом движения
$$
\begin{equation*}
f_3=P\, df_1\wedge df_2\quad \Longrightarrow\quad \mathcal L_X f_3=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь [[X,Y]] – скобка Схоутена–Нийенхейса тензорных полей $X$ и $Y$ [6]. В теории инвариантов Пуанкаре–Картана [10], [11] условие Якоби (1.5) является избыточным, поскольку тензорное произведение инвариантов так же инвариантно:
$$
\begin{equation*}
\mathcal L_X(P\, df_1\wedge df_2)=(\mathcal L_X P)\, df_1\wedge df_2+P\, d(\mathcal L_X f_1)\wedge df_2+ P\, df_1\wedge d(\mathcal L_X f_2)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
вне зависимости от других свойств тензорных инвариантов. Итак, свойства производной Ли не зависят от свойств тензорных полей к которым она применяется, т. е. не зависят от симметрии или антисимметрии при перестановке индексов или от равенства нулю скобки Схоутена–Нийенхейса, которое эквивалентно выполнению тождества Якоби для скобок Пуассона, отвечающих инвариантным бивекторам типа $(2,0)$ и его аналогам для тензорных полей других типов [12]–[15]. Для внешнего произведения векторных полей скобка Схоутена–Нийенхейса определяется с помощью скобки Ли $[\,{\cdot}\,,{\cdot}\,]$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &[\![X_1\wedge\dots \wedge X_k,\, Y_1\wedge \dots \wedge Y_\ell]\!] \nonumber \\ &\qquad=\sum_{i,j}(-1)^{i+j} [X_i,Y_j] \wedge X_1 \wedge \dots \wedge \widehat{X}_i\wedge \dots \wedge X_k\wedge Y_1\wedge \dots \wedge \widehat{Y}_j\wedge \dots \wedge Y_\ell. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Здесь $\widehat{X}_i$ и $\widehat{Y}_j$ означает, что соответствующие векторные поля ${X}_i$ и ${Y}_j$ отсутствуют во внешнем произведении векторных полей [16]. Если дивергенция векторного поля $X$ равна нулю:
$$
\begin{equation}
\operatorname{div} X=\partial_1 X^1+\partial_2 X^2+\dots+\partial_n X^n=0,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
то производная Ли полностью антисимметричных единичных тензорных полей $\Omega$ типа $(0,n)$ и $\mathcal E$ типа $(n,0)$ равна нулю:
$$
\begin{equation}
\Omega =dx^1\wedge dx^2\wedge\dots\wedge x^n, \qquad \mathcal L_X\Omega =0,
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal E = \partial_1\wedge\partial_2\wedge\dots\wedge\partial_n, \qquad \mathcal L_X \mathcal E =0,
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
согласно (1.3). В общем случае инвариантный тензор $\mathcal E$ не удовлетворяет тождеству Якоби, см. обсуждение в работе Тахтаджяна [15], но это не играет никакой роли в теории инвариантов, в отличие, например, от пуассоновой геометрии. Изучение инвариантности дифференциальной формы $\Omega$ начинается с теоремы Лиувилля 1838 г. [17] о сохранении формы объема фазового пространства для гамильтоновых векторных полей и продолжается в теории Пуанкаре–Картана об абсолютных, относительных и условных интегральных инвариантах [10], [11]. Инвариантность мультивекторного поля $\mathcal E$ является ключевым элементом теории функциональных определителей Якоби 1841–1845 гг. [18]–[20], [7], которая будет рассмотрена ниже.Инвариантные тензорные поля $\Omega$ и $\mathcal E$ порождают множество решений уравнения инвариантности (1.2), если нам известны скалярные инварианты $f_1,\dots,f_k$ или интегральные инварианты [4]. Например, можно построить инвариантные мультивекторные поля
$$
\begin{equation}
T=\mathcal E,\quad T_i=\mathcal E\, df_i,\quad T_{ij}=\mathcal E \, df_i \, df_j,\quad T_{ijk}=\mathcal E\, df_1\, df_j\, df_k,\quad \dots
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
и отвечающие им инвариантные скобки функций на фазовом пространстве. Подчеркнем, что речь идет о глобальных тензорных инвариантах, однозначно определенных на всем фазовом пространстве, так как локально, например в окрестности торов Лиувилля для невырожденных по Колмогорову систем, все решения уравнения инвариантности в пространствах дифференциальных 2-форм и бивекторов Пуассона строятся с помощью $\Omega$, $\mathcal E$ и первых интегралов согласно классификации Богоявленского [21]. Естественным образом возникает вопрос о существовании решений инвариантности, которые не могут быть получены с помощью тензорных операций из некоторого набора базовых тензорных инвариантов, например вида (1.11). Согласно Пуанкаре нам нужно затем научиться извлекать информацию о решениях ODE (1.1) из всех существующих тензорных инвариантов, удовлетворяющих уравнению инвариантности (1.2). В данной работе мы обсудим решения уравнения инвариантности (1.2) для уравнений движения, описывающих вращение твердого тела для трех известных интегрируемых случаев – Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, описание которых можно найти в книге [22]. Во всех этих случаях дивергенция векторного поля равна нулю и для нахождения тензорных инвариантов мы будем решать уравнение инвариантности (1.2), используя полиномиальную подстановку по переменным $x_1,\dots,x_n$ для компонентов тензорного поля $T$ вида
$$
\begin{equation}
T^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_q}=\sum_{k,\ell,m=1}^n (a^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_q})^{k\ell m}x_k x_\ell x_m +\sum_{k,\ell}^n (b^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_q})^{k\ell}x_k x_\ell +\sum_{k=1}^n (c^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_q})^{k}x_k+d^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_q},
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
где $a$, $b$, $c$ и $d$ с соответствующими индексами – это неизвестные вещественные параметры, которые и определяются в процессе решения системы алгебраических уравнений, возникающих при подстановке (1.12) в уравнение инвариантности (1.2). Для поиска, классификации и проверки решений мы используем различные системы компьютерной алгебры. Согласно [23] компьютерные вычисления позволяют нам найти новые решения и привлечь внимание к необходимому аналитическому изучению свойств полученных на компьютере решений. Основным результатом данного математического эксперимента является тот факт, что для систем Лагранжа и Ковалевской все полученные компьютерными методами решения уравнения инвариантности (1.2) в пространстве дифференциальных форм могут быть построены из базовых инвариантов $X$, $\Omega$ и первых интегралов с помощью дифференцирования и тензорного умножения, а в пространстве мультивекторных полей существуют решения, которые не могут быть получены из базовых инвариантов $X$, $\mathcal E$ и первых интегралов с помощью этих же операций. 1.1. Теория функциональных определителей ЯкобиВ современной литературе термин “якобиан” часто используется как для обозначения матрицы Якоби, так и для ее определителя. Элементы матрицы Якоби являются частными производными первого порядка от многомерной функции, что может быть использовано, например, в алгоритме обратного распространения при обучении нейронной сети, см., например, работы нобелевских лауреатов по физике 2024 г. Определитель Якоби или функциональный определитель используется, наиболее часто, при переходе от одной системы координат к другой. Конечно, Якоби не был первым, кто изучал функциональный определитель, который теперь носит его имя; впервые функциональный определитель появился в работе Коши в 1815 г., см. исторические замечания в [24]. Название “якобиан” для функциональных определителей было предложено в 1853 г. Сильвестром, см. [25; с. 476], где говорится о работе Якоби [18], опубликованной в 1841 г. В этой работе Якоби доказал, в частности, что если $n$ функций от $n$ переменных функционально зависимы, то якобиан тождественно равен нулю, в то время как если функции независимы, то якобиан не может быть тождественно равен нулю. Несколько лет спустя, в 1844–45 гг., Якоби опубликовал несколько работ [19], [20] о методе множителя, обобщающем теорию множителя Эйлера [26]. В лекциях по динамике, прочитанных в 1842–43 гг. и опубликованных посмертно в 1866 г., переизданных в 1884 г. в качестве дополнения к его собранию сочинений и переведенных на английский язык в [7], Якоби развил теорию функциональных детерминантов в лекции 13, в основном следуя [18], и, в главе 14, теорию множителей. Однако в этих лекциях [7; с. 104–106] или в [7; c. 112–114] результаты статей Якоби приводит в краткой форме, без выделения лемм, теорем и их полных доказательств. Теория функциональных определителей Якоби стала неотъемлемой частью, например, учебников по аналитической механике Аппеля [8] и Уиттакера [9], курса лекций для инженеров Валле Пуссена [27], курса математического анализа Гурса [28] и курса Бьянки по дифференциальной геометрии [29]. Первые издания этих учебников были опубликованы почти одновременно в начале XIX в. Вместо явного обозначения для функциональных детерминантов
$$
\begin{equation}
Q=\sum \pm \frac{\partial g_1}{\partial x_1}\, \frac{\partial g_2}{\partial x_2}\cdots\frac{\partial g_n}{\partial x_n},
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
которые использует Якоби, в этих учебниках было введено обозначение
$$
\begin{equation*}
Q=\frac{\partial (g_1,g_2,\dots, g_n)}{\partial (x_1,x_2,\dots,x_n)},
\end{equation*}
\notag
$$
которое мы и будем использовать ниже. Следуя Якоби [20] и учебникам [10], [11], рассмотрим систему дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\frac{dx_1}{X_1}=\frac{dx_2}{X_2}=\dots=\frac{dx_n}{X_n},
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
где $X_i$ – функции на фазовом пространстве с координатами $x_1,\dots,x_n$. В п. 1.1 мы используем нижние индексы, вместо принятых в современных работах верхних индексов для компонент векторов и векторных полей [4], [5]. Всякая функция $f(x_1,\dots,x_n)$, которая постоянна при $x_1,\dots,x_n$, удовлетворяющих (1.14), называется первым интегралом, и это условие Якоби записывает в следующей форме:
$$
\begin{equation}
X(f)=\frac{\partial f}{\partial x_1}X_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}X_2+\dots+\frac{\partial f}{\partial x_n}X_n=0,
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
как он пишет “для краткости изложения”. С помощью производной Ли это уравнение переписывается в виде Система (1.14) может иметь только $n-1$ независимых первых интегралов $f_1,\dots,f_{n-1}$, и любой другой интеграл $f$ будет функцией от $f_1,\dots,f_{n-1}$ в силу равенства нулю функционального определителя
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial(f,f_1,\dots,f_{n-1})}{\partial(x_1,\dots,x_n)}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial x_1}\Delta_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\Delta_2+\dots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\Delta_n=0,
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
где $\Delta_i$ – алгебраическое дополнение $i$-го элемента первой строки якобиана. При $X(x)\neq 0$ коэффициенты при производных в уравнениях (1.15) и (1.16) пропорциональны, т. е. существует функция $M(x)$ такая, что Функция $M(x)$ называется множителем системы уравнений (1.14), который удовлетворяет линейному уравнению в частных производных
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}(MX)=\partial_1(MX_1)+\partial_2 (MX_2)+\dots+\partial_n(MX_n)=0,
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
в которое первые интегралы $f_1,\dots,f_{n-1}$ не входят. Важность множителя Якоби $M$ вытекает из того факта, что если $M$ и $M'$ являются решениями (1.18), то их отношение $M/M'$ является первым интегралом динамической системы (1.1). Соотношения между этими первыми интегралами и симметриями обсуждаются в учебнике Бьянки [29], см. также [30]. Из определения множителя (1.17) сразу следует представление функций $X_i$, входящих в определение уравнений (1.14) через функциональный определитель и множитель
$$
\begin{equation*}
MX=\frac{\partial(x,f_1,\dots,f_{n-1})}{\partial(x_1,\dots,x_n)},
\end{equation*}
\notag
$$
см. [27; с. 253] и обсуждение в работах Козлова [4], [31]. Таким образом, Якоби получил представление векторного поля $X$ через функциональный определитель и множитель
$$
\begin{equation}
X=\frac{1}{M(x)}\,\frac{\partial(x,f_1,\dots,f_{n-1})}{\partial(x_1,\dots,x_n)},
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
т. е.
$$
\begin{equation*}
X_i=\frac{1}{M(x)}\,\Delta_i=\frac{1}{M(x)}\, \frac{\partial(x_i,f_1,\dots,f_{n-1})}{\partial(x_1,\dots,x_n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Якоби также доказал, что если дивергенция поля $X$ равна нулю (1.7), то множитель $M(x)$ является функцией первых интегралов, которые всегда можно выбрать так, чтобы $M(x)=1$ и
$$
\begin{equation*}
X=\frac{\partial(x,f_1,\dots,f_{n-1})}{\partial(x_1,\dots,x_n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обратно, если динамическая система представима через якобианы первых интегралов, то дивергенция векторного поля равна нулю, см. соответствующие теоремы в разделе 229 лекций [27]. Так как в определение определителя в (1.19) входит полностью антисимметричный единичный тензор $\mathcal E$, то векторное поле $X$ переписывается в виде
$$
\begin{equation}
X=\frac{1}{M(x)}\,\mathcal E\, df_1\cdots df_{n-1}=T_n\omega_{n-1},
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
где
$$
\begin{equation*}
T_n=\frac{1}{M(x)}\,\mathcal E \quad\text{и}\quad \omega_{n-1}=df_1\cdots df_{n-1}
\end{equation*}
\notag
$$
– два тензорных инварианта векторного поля $X$, т. е. $\mathcal L_X T_n=0$ и $\mathcal L_X \omega_{n-1}=0$. Для доказательства этих результатов Якоби использует приведенную на с. 203 в первой части работы [20], написанной на латыни, фундаментальную лемму, согласно которой алгебраические дополнения $\Delta_{ij}$ в якобиане отображения $g\colon\mathbb R^n\to \mathbb R^n$ удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_j}\,\Delta_{ij}=0,
\end{equation}
\tag{1.21}
$$
так что
$$
\begin{equation}
\frac{\partial(g_1,g_2,\dots,g_{n})}{\partial(x_1,\dots,x_n)}=\sum_{j}^n \biggl( \frac{\partial g_i}{\partial x_j}\biggr)\Delta_{ij} =\sum_{j}^n \frac{\partial }{\partial x_j}(g_i\Delta_{ij}).
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
В учебнике Аппеля [8], который по мнению его современника Бобылёва является лучшим курсом по теоретической механике своего времени, воспроизведено полное и подробное доказательство Якоби этой леммы на с. 460–461. Теория функциональных определителей Якоби применяется не только в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и аналитической механике. Например, в 1910 г. Адамар в приложении к учебнику Таннери по вещественным функциям [32] ввел понятие индекса Кронекера для непрерывных и не исчезающих на гладкой границе отображений, используя обобщение уравнений (1.21) и (1.22). Эти же формулы используются в определении показателя Брауэра в [33], в теореме о неподвижной точке Брауэра [34], в теории квазивыпуклых функций [35], теории отображений с ограниченным искажением или якобианов распределений [36], теории нуль-лагранжианов [37] и так далее. 1.2. Системы с $n-1$ первыми интеграламиВ учебнике [7] Якоби рассматривает теорию функциональных определителей как введение к построению и изучению гамильтоновых систем, см. последний абзац 18 лекции. Действительно, для векторных полей с нулевой дивергенцией можно положить $M(x)=1$ и различными способами представить якобиан (1.19), (1.20) в виде комбинации элементов якобиана и их алгебраических дополнений. Соответствующая этим комбинациям цепочка скобок для произвольных функций $g_1,\dots,g_m$ на фазовом пространстве зависит от базовых тензорных инвариантов $\mathcal E$ и $f_1,\dots, f_{n-1}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \{g_1,g_2,\dots,g_n\} &=\frac{\partial(g_1,g_2,\dots,g_{n})}{\partial(x^1,x^2,\dots,x^n)}=\mathcal E\, dg_1\cdots dg_{n}, \\ \{g_1,\dots,g_{n-1}\}_{\alpha_1} &= \frac{\partial(g_1,\dots,g_{n-1}, f_{\alpha_1})}{\partial(x^1,x^2,\dots,x^n)}=T_{\alpha_1}\, dg_1\cdots dg_{n-1}, \\ \{g_1,\dots,g_{n-2}\}_{\alpha_1\alpha_2} &= \frac{\partial(g_1,\dots,g_{n-2},f_{\alpha_1},f_{\alpha_2})}{\partial(x^1,x^2,\dots,x^n)} =T_{\alpha_1,\alpha_2}\, dg_1 \cdots dg_{n-2}, \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ \{g_1,g_2\}_{\alpha_1\dots\alpha_{n-2}} &=\frac{\partial(g_1,g_2,f_{\alpha_1},\dots,f_{\alpha_{n-2}} )}{\partial(x^1,x^2,\dots,x^n)}=T_{\alpha_1,\dots,\alpha_{n-2}} \, dg_1 \, dg_2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.23}
$$
Все эти скобки удовлетворяют тождеству Якоби при $[\![\mathcal E,\mathcal E]\!]=0$, так же как и их линейные комбинации, что является следствием фундаментальной леммы Якоби. Инвариантные скобки Пуассона для $m$ функций $g_1,\dots,g_m$ на фазовом пространстве можно использовать для описания свойств исходного инвариантного векторного поля $X$. Например, при $m=2$ мы имеем стандартные скобки Пуассона для двух функций и поэтому можем утверждать, что векторное поле $X$ является гамильтоновым векторным полем (1.4). Предложение 1. Обладающее $n-1$ независимыми первыми интегралами векторное поле без дивергенции (1.7) является гамильтоновым относительно каждого из своих первых интегралов Соответствующие инвариантные бивекторы Пуассона имеют вид При доказательстве тождества Якоби для этих скобок можно использовать фундаментальную лемму Якоби и выражение для компонент бивектора второго ранга $P_k$ через алгебраические дополнения $\Delta^{ij}_k$ элементов якобиана размерности $(n-2)\times(n-2)$
$$
\begin{equation*}
P_k^{ij}=(-1)^{i+j}\Delta^{ij}_k,\qquad \Delta^{ij}_k=\frac{\partial(\widehat{x},f_1,\dots,\widehat{f}_k,\dots, f_{n-1})}{\partial(x^1,\dots,\widehat{x}^i,\dots,\widehat{x}^j,\dots,x^n)},
\end{equation*}
\notag
$$
которые получаются вычеркиванием из якобиана (1.19) первой и $k$-й строк и $i$-го и $j$-го столбцов. С другой стороны, так как
$$
\begin{equation*}
\{g_1,g_2\}_k=\{g_1,g_2,f_1,\dots,\widehat{f}_k,\dots,f_{n-1},\},
\end{equation*}
\notag
$$
то можно сказать, что выполнение тождества Якоби следует из равенства нулю скобки Схоутена–Нийенхейса для базового инварианта $\mathcal E$. Эти же скобки Пуассона можно получить, используя базовый инвариант $\Omega$ [38]. В классической механике примерами использования теории Якоби служат уравнения Эйлера, описывающие вращение твердого тела [39], задача о притяжении точки к неподвижному центру в среде, оказывающей сопротивление, и в пустом пространстве [7], система Якоби из трех тел, которые притягиваются с силой, пропорциональной кубу обратного расстояния между ними (частному случаю системы Калоджеро–Мозера) [40], и другие динамические системы, рассмотренные самим Якоби [30]. Отдельно выделим цикл работ Вольтерра 1895 г. [41], посвященных изучению чандлеровского колебания полюсов Земли, в которых используется представление векторного поля через функциональный определитель (1.19) для изучения уравнений Эйлера твердого тела с гиростатом, и лекции Якоби [7], в которых в качестве упражнения по теории множителя находятся дополнительные первые интегралы в задаче Кеплера, называемые в физике компонентами вектора Рунге–Ленца. Для так называемых однородных динамических систем с квадратичными интегралами представление векторного поля через якобиан первых интегралов было получено в [42], см. также [43] и [31]. Представление векторного поля в виде функционального определителя
$$
\begin{equation*}
X=\frac{\partial(x,f_1,\dots,f_{n-1})}{\partial(x^1,\dots,x^n)}
\end{equation*}
\notag
$$
для системы Эйлера без гиростата было переоткрыто Намбу [44], что после работы Тахтаджяна [15] привело к созданию обобщенной механики Намбу, которая очевидно является частным случаем теории множителей Якоби. Результаты Якоби для задачи Кеплера были переоткрыты в [45], см. также статью [46] о динамических системах с тремя степенями свободы. Обсуждение геометрии Пуассона–Намбу и соответствующие ссылки можно найти, например, в работах [47]–[49]. Аналогично задаче Кеплера и задаче Якоби трех тел представление векторного поля в виде якобиана (1.19), (1.20) существует для всех максимально вырожденных или суперинтегрируемых гамильтоновых систем на симплектическом многообразии размерности $n=2m$, так как дивергенция гамильтонова поля равна нулю, а максимально вырожденные системы обладают необходимым для этого представления числом $n-1$ независимых первых интегралов. Примеров таких вырожденных систем достаточно много, см. примеры и ссылки в [50]–[53]. Обобщение представления (1.19) на более общий случай, когда система дифференциальных уравнений (1.1) допускает $n-1$ абсолютных интегральных инвариантов, обсуждается в работе Козлова [4], где в качестве одного из примеров рассматриваются уравнения движения волчка Горячева–Чаплыгина. 1.3. Системы с $n-2$ первыми интеграламиУравнения движения (1.1) для векторного поля $X$ (1.19) с известными $n-1$ независимыми первыми интегралами интегрируются в квадратурах, так же как уравнения движения для векторного поля $X$, сохраняющего форму объема
$$
\begin{equation*}
\Omega=M(x) \, dx^1\wedge dx^2\wedge\dots\wedge dx^n,
\end{equation*}
\notag
$$
и $n-2$ независимых первых интегралов $f_1,\dots, f_{n-2}$, см. современное изложение теоремы Эйлера–Якоби об интегрируемости и ее обобщений в [2]–[4]. Здесь $M(x)$ – инвариантная мера. В этом случае $M(x)$ по прежнему удовлетворяет уравнению (1.18), но уже не является первым интегралом системы уравнений (1.14) [19], [20]. Доказательство данной теоремы сводится к предыдущему случаю с $n-1$ первыми интегралами при помощи построения $(n-1)$-го независимого первого интеграла где $y^{1,2}$ и $Y^{1,2}$ – координаты и компоненты векторного поля в окрестности инвариантного многообразия, задаваемого соотношениями $f_1=c_1$, $\dots$, $f_{n-2}= c_{n-2}$.Вполне естественно задать вопрос о представлении векторного поля $X$, удовлетворяющего условиям теоремы Эйлера–Якоби, в виде, аналогичном (1.20): так что
$$
\begin{equation*}
L_X X=(L_XT_m)\omega_{m-1}+T_m(\mathcal L_X\omega_{m-1})=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $T$ – мультивекторное поле типа $(m,0)$ c компонентами, которые не зависят от координат $x$, а $\omega_{m-1}$ – инвариантная дифференциальная форма типа $(0,m-1)$. Далее мы докажем, что при этом и в случае Лагранжа, и в случае Ковалевской условие инвариантности $\mathcal L_X T=0$ (1.2) действительно может быть заменено на более слабое условие
$$
\begin{equation}
(\mathcal L_X T_m)\omega_{m-1}=0,\qquad \mathcal L_X\omega_{m-1}=0.
\end{equation}
\tag{1.26}
$$
Следуя терминологии принятой теории Пуанкаре и Картана об интегральных инвариантах [10], [11], мы будем называть решения уравнения инвариантности (1.2) абсолютными тензорными инвариантами, а решения $T_m$ уравнения (1.26) условными тензорными инвариантами, зависящими от абсолютного тензорного инварианта $\omega_{m-1}$. Для векторного поля вида (1.25) аналогичным образом можно построить и цепочку скобок Пуассона, и бивекторы Пуассона, и поэтому обсуждаемая нами тема тензорных инвариантов тесно связана с проблемой гамильтонизации векторных полей, обладающих инвариантной мерой. Напомним, что скобки Пуассона, возникающие при гамильтонизации конкретных динамических систем интегрируемых по теореме Эйлера–Якоби, зависят от переменных фазового пространства достаточно сложным образом [54]–[59]. Можно предположить, что в случае интегрируемости векторного поля $X$ по теореме Эйлера–Якоби, эти полученные различными методами бивекторы Пуассона можно представить в виде произведения числовых или более простых тензорных полей $T$ и 1-форм от первых интегралов $df_i$. § 2. Случай ЭйлераНачнем с уравнений Эйлера, описывающих движение твердого тела:
$$
\begin{equation*}
\dot{M}_1=(a_2 - a_3)M_2M_3,\qquad \dot{M}_2=(a_3 - a_1)M_3M_1,\qquad \dot{M}_3=(a_1 - a_2)M_1M_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $M_1$, $M_2$ и $M_3$ – координаты на фазовом пространстве данной автономной системы дифференциальных уравнений (1.1), $a_1$, $a_2$ и $a_3$ – произвольные вещественные параметры [22]. Разложение соответствующего векторного поля $X$ по базису векторных полей $\partial_i=\partial/\partial M_i$, $i=1,2,3$, имеет вид
$$
\begin{equation}
X=b_1M_2M_3\,\partial_1+b_2M_3M_1\,\partial_2+b_3M_1M_2\,\partial_3,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где Следуя [22], в качестве независимых скалярных инвариантов выберем полиномы второй степени по переменным $M_k$
$$
\begin{equation*}
f_1=\frac12(a_1M_1^2+a_2M_2^2+a_3M_3^2),\qquad f_2=M_1^2+M_2^2+M_3^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Любая функция от этих первых интегралов $g(f_1,f_2)$ тоже является решением уравнения инвариантности (1.2), так же как и порождаемые этими первыми интегралами дифференциальные формы типа $(0,1)$ и $(0,2)$
$$
\begin{equation}
\omega_1=dg(f_1,f_2),\qquad \omega_2=dg_1(f_1,f_2)\, dg_2(f_1,f_2).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Здесь $g_{1,2}(f_1,f_2)$ – произвольные функции первых интегралов, а тензорное произведение можно симметризовать или альтернировать, см. обсуждение в работе [4]. Полученные таким образом вырожденные дифференциальные формы можно использовать аналогично их применению в теории вихрей [10], [11], [60]. Дивергенция векторного поля $X$ равна нулю, и поэтому в пространстве дифференциальных форм типа $(0,3)$ базовым решением уравнения инвариантности (1.2) является форма объема а базовое решение в пространстве кососимметрических тензоров типа $(3,0)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal E =\partial_1\wedge \partial_2 \wedge \partial_3.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Скобка Схоутена–Нийенхейса (1.6) равна нулю: $[\![\mathcal E,\mathcal E]\!]=0$, и поэтому данный тривектор задает скобку Пуассона для трех функций на фазовом пространстве
$$
\begin{equation*}
\{g_1,g_2,g_3\}=\sum_{i,j,k=1}^3 \mathcal E^{ijk}\, \frac{\partial g_1}{\partial M_i} \, \frac{\partial g_2}{\partial M_j}\, \frac{\partial g_3}{\partial M_k}
\end{equation*}
\notag
$$
такую, что Произведения инвариантного тривектора $\mathcal E$ и инвариантных 1-форм $df_1$ и $df_2$ являются совместными бивекторами Пуассона на алгебре Ли–Пуассона $\mathrm{so}^*(3)$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_1&=\mathcal E \, df_1=\begin{pmatrix} 0 & a_3M_3 & -a_2M_2 \\ -a_3M_3 & 0 & a_1M_1 \\ a_2M_2 & -a_1M_1 & 0 \end{pmatrix}, \\ P_2 &=\mathcal E \, df_2= \begin{pmatrix} 0 & M_3 & -M_2 \\ -M_3 & 0 & M_1 \\ M_2 & -M_1 & 0 \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которые удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} X &=P_1\, df_2=\mathcal E \, df_1\wedge df_2,&\qquad P_1\, df_1&=\mathcal E \, df_1\wedge df_1=0, \\ X&=-P_2 \, df_1=-\mathcal E \, df_2\wedge df_1,&\qquad P_2\, df_2&=\mathcal E \, df_2\wedge df_2=0. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что два бивектора Пуассона $P_1$ и $P_2$ совместны, если их линейная комбинация $P_1+\lambda P_2$ так же является тензором Пуассона при любом $\lambda\in\mathbb R$. Тензор Пуассона $T\, dg(f_1,f_2)$, построенный с помощью функции $g$ от $f_{1,2}$, так же будет совместен с тензорами Пуассона $P_1$ и $P_2$. Вместо базиса решений $P_{1,2}$ в пространстве тензорных полей типа $(2,0)$ можно рассмотреть фрейм из трех бивекторов
$$
\begin{equation}
P'_i=\partial_i\wedge \mathcal L_X \, \partial_i,\qquad \partial_i=\frac{\partial}{\partial M_i},\quad i=1,2,3,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
связанных соотношением Так как скобка Схоутена–Нийенхейса (1.6) между этими бивекторами равна нулю: то мы имеем три тензора Пуассона, совместных друг с другом. Векторное поле $X$ (2.1) гамильтоново относительно любого из этих инвариантных тензоров Пуассона
$$
\begin{equation*}
X=\frac{1}{a_i}P'_i\, df_1,\quad X=\frac{1}{2}P'_i\, df_2,\qquad i=1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем теперь к описанию результатов проведенного нами эксперимента. Если мы подставим (1.12) в (1.2) и решим полученные уравнения, мы получим все описанные выше тензорные инварианты и их комбинации. Кроме них, в пространстве тензорных полей типа $(3,0)$ было получено еще одно инвариантное тензорное поле $T$ компоненты которого являются однородными кубическими полиномами (1.12) от переменных $M_i$. Это решение зависит от четырех параметров, не представимо в виде суммы абсолютно антисимметричной и абсолютно симметричной частей и однозначно определено тем, что умножение $T$ на инвариантные 1-формы $df_1$ и $df_2$ дает единственный инвариантный симметричный тензор типа $(2,0)$ с точностью до множителя
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_s^{ij} &=c_{11}\sum_{k=1}^n T^{ijk}\, \frac{\partial f_1}{\partial M_k}= c_{12} \sum_{k=1}^n T^{ikj}\, \frac{\partial f_1}{\partial M_k}=c_{13}\sum_{k=1}^n T^{kij}\, \frac{\partial f_1}{\partial M_k}, \\ P_s^{ij} &=c_{21}\sum_{k=1}^n T^{ijk}\, \frac{\partial f_2}{\partial M_k}= c_{22} \sum_{k=1}^n T^{ikj}\, \frac{\partial f_2}{\partial M_k}=c_{23}\sum_{k=1}^n T^{kij}\, \frac{\partial f_2}{\partial M_k}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
c_{11}+c_{12}+c_{13}=c_{21}+c_{22}+c_{23}=0,\qquad c_{ij}\in\mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Так же справедливо соотношение $T(df_1\wedge df_2)=0$. Для краткости мы не будем выписывать все компоненты этого инвариантного тензора в явном виде, для нас главное, что такое дополнительное решение существует. В пространстве тензорных полей типа $(1,1)$ единственное полученное нами в ходе эксперимента решение имеет вид Инвариантные смешанные тензоры типа $(2,1)$ и $(1,2)$ являются комбинациями инвариантных тензорных полей, рассмотренных выше.§ 3. Случай ЛагранжаУравнения движения имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot{\gamma}_1=2(\gamma_3M_2 -\gamma_2M_3),\qquad \dot{\gamma}_2=2(\gamma_1M_3-\gamma_3M_1),\qquad \dot{\gamma}_3=2(\gamma_2M_1 - \gamma_1M_2), \\ \dot{M}_1=-a\gamma_2,\qquad \dot{M}_2=a\gamma_1,\qquad \dot{M}_3=0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_3$ и $M_1$, $M_2$, $M_3$ – координаты на фазовом пространстве данной автономной системы дифференциальных уравнений, $a$ – произвольный вещественный параметр. Обсуждение свойств этих уравнений, физический смысл координат и параметра $a$ можно найти, например, в учебнике [22]. Дивергенция соответствующего векторного поля $X$ равна нулю, так что фазовый поток сохраняет форму объема $\Omega$ (1.8) и полностью антисимметричный единичный тензор $\mathcal E$ (1.9). В качестве независимых скалярных инвариантов выберем полиномы
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} f_1&=\gamma_1^2+\gamma_2^2+\gamma_3^2,&\qquad f_2&=\gamma_1M_1+\gamma_2M_2+\gamma_3M_3, \\ f_3&=M_1^2+M_2^2+M_3^2+a\gamma_3,&\qquad f_4&=M_3, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
которые порождают инвариантные дифференциальные 1-формы (2.2). Предложение 2. В случае Лагранжа все решения уравнения инвариантности в пространстве дифференциальных форм типа $(0,2)$ и $(0,3)$ с компонентами вида (1.12) являются тензорными произведениями инвариантных 1-форм Доказательство состоит в явном решении уравнения инвариантности с помощью подстановки (1.12) и анализе полученных таким образом решений. Факт отсутствия других решений в пространстве дифференциальных форм для этой и других интегрируемых систем, по-видимому, является одной из причин того, что применимость математической теории интегральных инвариантов Пуанкаре–Картана в классической механике ограничена. В отличие от пространства дифференциальных форм, в пространстве мультивекторных полей множество решений уравнения инвариантности не исчерпывается с помощью тензорных операций над некоторым небольшим набором базовых инвариантов. В пространстве тензорных полей типа $(1,0)$ общее решение уравнения инвариантности имеет вид где
$$
\begin{equation}
Y=-\gamma_2\, \partial_1+\gamma_1\, \partial_2-M_2\, \partial_4+M_1\, \partial_5, \qquad \partial_i=\frac{\partial}{\partial \gamma_i},\quad \partial_{i+3}=\frac{\partial}{\partial M_i},\qquad i=1,2,3.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Кроме этого, в пространстве векторных полей существует условный инвариант $\partial_6$, связанный с линейным первым интегралом $f_4=M_3$ и отвечающей ему нётеровской симметрией
$$
\begin{equation*}
L_X e_6\neq 0,\quad\text{но}\quad (L_X e_6)\, df_4=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы будем использовать этот связанный с симметриями условный инвариант для построения других условных инвариантов. 3.1. Инвариантные тензорные поля типа $(2,0)$Подставляя тензорное поле $P$ типа $(2,0)$ с компонентами вида (1.12) в уравнение $\mathcal L_XP=0$ и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях переменных $\gamma$ и $M$, мы получим систему из $6860$ алгебраических уравнений для $3024$ неизвестных. Если для решения уравнений использовать стандартные команды и стандартный персональный компьютер, то на решение этой системы уходит порядка нескольких минут. Если использовать полиномиальные подстановки старших порядков, то число уравнений, так же как и число возможных решений, существенно возрастает и при использовании стандартных команд выполнение программы обычно приводит к ее зависанию. Для получения частных решений в этом случае принято использовать специальные стратегии для ограничения пространства поиска решений. Итак, решая алгебраические уравнения с помощью систем компьютерной алгебры, мы получим абсолютные тензорные инварианты, которые делятся на симметричные и кососимметричные мультивекторные поля; среди последних существует пятьдесят один бивектор Пуассона, среди которых так же можно выделить шесть бивекторов Пуассона, совместных с каноническим бивектором Пуассона $P_{\mathrm{c}}$ на алгебре Ли–Пуассона $e^*(3)$. Итак, были получены следующие инвариантные бивекторы Пуассона с линейными по переменным $(\gamma,M)$ компонентами:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_1 &=\begin{pmatrix} 0& -M_3& M_2& 0& -\dfrac{a}2& 0 \\ M_3& 0& -M_1& \dfrac{a}2& 0& 0 \\ -M_2& M_1& 0& 0& 0& 0 \\ 0& -\dfrac{a}2& 0& 0& 0& 0 \\ \dfrac{a}2& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}, \nonumber \\ P_2 &=\begin{pmatrix} 0& 2\gamma_3& -2\gamma_2& 0& 0& 0 \\ -2\gamma_3& 0& 2\gamma_1& 0& 0& 0 \\ 2\gamma_2& -2\gamma_1& 0& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 0& -a& 0 \\ 0& 0& 0& a& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}, \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
P_3 =P_{\mathrm{c}}= \begin{pmatrix} 0 &0 & 0 & 0 &\gamma_3 &-\gamma_2 \\ 0 & 0 & 0 & -\gamma_3 & 0 & \gamma_1 \\ 0 & 0 &0 & \gamma_2 & -\gamma_1 & 0 \\ 0 & \gamma_3 & -\gamma_2 & 0 & M_3 & -M_2 \\ -\gamma_3 & 0 & \gamma_1 & -M_3 & 0 & M_1 \\ \gamma_2 & -\gamma_1 & 0 & M_2 & -M_1 & 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $P_3=P_{\mathrm{c}}$ – канонический бивектор Пуассона, который задает стандартную скобку Ли–Пуассона на алгебре $e^*(3)$
$$
\begin{equation*}
\{\gamma_i,\gamma_j\}=0,\qquad \{\gamma_i,M_j\}=\varepsilon_{ijk}\gamma_k,\qquad \{M_i,M_j\}=\varepsilon_{ijk}M_k,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varepsilon_{ijk}$ – тензор Леви-Чивита [22]. Так как эти бивекторы совместны друг с другом $[\![P_i,P_j]\!]=0$, $i,j=1,2,3$, то векторное поле $X$ записывается в мультигамильтоновом виде Равенство нулю скобок Схоутена–Нийенхейса можно проверить, используя следующее представление:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_1&=\frac{1}2(\partial_1\wedge\mathcal L_{Z}\, \partial_1+\partial_2\wedge \mathcal L_{Z}\, \partial_2), \qquad P_2=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 \partial_i\wedge\mathcal L_X\, \partial_{i+3}+a\, \partial_{4}\wedge \partial_{5}, \\ P_3&=\frac{1}{2}(\partial_4\wedge L_{Z}\, \partial_4+\partial_5\wedge \mathcal L_{Z}\, \partial_5) +\partial_6\wedge\mathcal L_{f_4Y} \, \partial_6,\qquad Z=X-f_4Y. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти решения уравнения инвариантности были получены и изучены в [61]–[63]. Перейдем к описанию ранее неизвестных решений. Предложение 3. В пространстве бивекторов Пуассона с компонентами, которые являются неоднородными полиномами второго порядка по переменным $(\gamma,M)$, существует два независимых решения уравнения инвариантности В пространстве симметричных тензорных полей с кубическими по переменным $(\gamma,M)$ компонентами, кроме тензорного произведения векторных полей $X$ и $Y$, существует еще три решения уравнения инвариантности ранга $1$, $2$ и $4$. В качестве примера выпишем явно решение ранга четыре
$$
\begin{equation*}
P_6=X\vee\biggl( \sum_{i=1}^3 M_i\, \partial_i+a\, \partial_6 \biggr)-aY\vee Z,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\vee$ – симметризованное тензорное произведение, $Y$ – векторное поле (3.1), инвариантное относительно действия исходного векторного поля $X$, а входящее в это определение векторное поле
$$
\begin{equation*}
Z=\sum_{i=1}^3(2 \gamma_i\, \partial_i+M_i\, \partial_{i+3})
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет соотношению т. е. является конформным инвариантом. Произведения симметричного тензорного инварианта $P_6$ c инвариантными дифференциальными 1-формами $df_i$, $i=1,\dots,4$, являются линейными комбинациями инвариантных векторных полей $X$ и $Y$
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} P_6 \, df_1 &= f_2 X- 2af_1Y, &\qquad P_6\, df_2 &= \frac{f_3}{2}\,X -\frac{3af_2}{2}\,Y, \\ P_6 \, df_3 &= \frac{3af_4}{2}\,X - af_3Y, &\qquad P_6 \, df_4 &= \frac{a}{2}\, X - \frac{af_4}{2}\,Y. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно Пуанкаре [10] мы можем использовать симметричные тензорные поля для изучения динамических систем наравне с кососимметрическими тензорными инвариантами. Дивергенция векторного поля $X$ (1.7) равна нулю, и поэтому полностью антисимметричный единичный тензор $\mathcal E$ (1.9) является решением уравнения инвариантности (1.2). Его произведение с внешним произведением инвариантных 1-форм $df_i$
$$
\begin{equation*}
P_7=\mathcal E \, df_1\wedge df_2\wedge df_3\wedge df_4
\end{equation*}
\notag
$$
будет инвариантным бивектором Пуассона второго ранга таким, что $P_7\, df_i=0$, $i=1,\dots,4$. 3.2. Инвариантные тензорные поля типа $(3,0)$Тензорное произведение абсолютных инвариантов типа $(2,0)$ и $(1,0)$ является абсолютным тензорным инвариантом типа $(3,0)$. Естественным образом возникает вопрос о существовании других абсолютных инвариантов, компоненты которых также являются неоднородными кубическими полиномами по переменным $(\gamma,M)$. Предложение 4. Уравнение инвариантности $\mathcal L_XT=0$ обладает решением вида В пространстве тензорных полей типа $(3,0)$ c числовыми компонентами уравнение инвариантности $\mathcal L_X T=0$ решений не имеет. Поэтому перейдем к рассмотрению уравнения (1.26), описывающего абсолютную инвариантность нетривиального тензорного поля $P=T\, dH$ типа $(2,0)$ относительно действия векторного поля $X$:
$$
\begin{equation}
(\mathcal L_X T)\, dH=0,\qquad H=\sum_{k=1}^4e_k f_k,\quad T\, dH\neq 0,\qquad e_k\in\mathbb R.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Здесь $H$ – линейная комбинация первых интегралов, в которой вещественные параметры $e_k$ находятся при решении данного уравнения. Предложение 5. В случае Лагранжа в пространстве тензорных полей типа $(3,0)$ с постоянными компонентами существует только три решения уравнения (3.5) Доказательство состоит из решения системы алгебраических уравнений с помощью различных систем компьютерной алгебры. Вопрос о построении условных числовых инвариантов $T_i$ типа $(3,0)$ из абсолютного числового инварианта $\mathcal E$ типа $(6,0)$ открыт. Условные инварианты $T_i$ (3.6) являются решениями уравнения (3.5) и построены без участия второго векторного поля $Y$ относительно действия которого они являются абсолютными инвариантами $\mathcal L_YT_i=0$, $i=1,2,3$. Тензорное произведение абсолютного инварианта типа $(2,0)$ и условного инварианта типа $(1,0)$ является условным тензорным инвариантом типа $(3,0)$ согласно правилу Лейбница для дифференцирования. В качестве примера приведем тензорное произведение
$$
\begin{equation*}
T=P_i \, \partial_6,\qquad \partial_6=\frac{\partial}{\partial M_3},
\end{equation*}
\notag
$$
где $P_i$ – один из абсолютных инвариантов типа $(2,0)$, найденных ранее, компоненты которого являются неоднородными полиномами по переменным $(\gamma,M)$. Полученный таким образом условный инвариант $T$ типа $(3,0)$ удовлетворяет соотношениям
$$
\begin{equation*}
P_i=T\, df_4,\qquad (L_X T)\neq 0,\qquad (L_X T)\, df_4=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве еще одного примера рассмотрим тензорное поле типа $(4,0)$, которое представляется в виде
$$
\begin{equation*}
T=(\partial_1\wedge\partial_2\wedge \partial_3)\,\partial _6+\widehat{T},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal E=\partial_1\wedge\partial_2\wedge \partial_3$ – это тензор Леви-Чивита типа $(3,0)$, а в тензорном поле $\widehat T$ всего две компоненты не равны нулю: $\widehat{T}^{4233}= 1$ и $\widehat{T}^{5133} = -1$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
X=\frac{1}{2f_4}\,T\, df_1\, df_2\, df_3,\qquad \mathcal L_XT\neq 0,\qquad (\mathcal L_X T)\, df_4=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако тензорные произведения $T$ с $df_i$ или $\omega_{i,j}=df_i\wedge df_j$ не будут удовлетворять ни одному из обсуждаемых условий инвариантности. Этот пример показывает, что для нахождения условных инвариантов в пространствах тензорных полей более высокой валентности необходимо соответствующим образом увеличивать число накладываемых уравнений условной инвариантности. Итак, в пространстве тензорных полей типа $(3,0)$ с кубическими по переменным $(\gamma,M)$ компонентами (1.12) существует не пустое множество абсолютных и условных тензорных инвариантов. Вопрос о свойствах этих инвариантов, их классификации и построении с помощью каких-либо базовых инвариантов остается открытым. § 4. Случай КовалевскойШесть уравнений движения твердого тела в случае Ковалевской
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot{\gamma}_1=2\gamma_3M_2 - 4\gamma_2M_3,\qquad \dot{\gamma}_2=-2\gamma_3M_1 + 4\gamma_1M_3,\qquad\dot{\gamma}_3=2\gamma_2M_1 - 2\gamma_1M_2, \\ \dot{M}_1=-2M_2M_3,\qquad \dot{M}_2=2M_1M_3 - a\gamma_3,\qquad \dot{M}_3=a\gamma_2 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
обладают тремя первыми интегралами
$$
\begin{equation*}
f_1=\gamma_1^2+\gamma_2^2+\gamma_3^2, \qquad f_2=\gamma_1M_2+\gamma_2M_2+\gamma_3M_3,\qquad f_3=M_1^2 + M_2^2 + 2M_3^2 + a\gamma_1,
\end{equation*}
\notag
$$
которые являются полиномами второй степени, и первым интегралом
$$
\begin{equation*}
f_4=(M_1^2 - M_2^2 - a\gamma_1)^2 + (2M_1M_2 - a\gamma_2)^2,
\end{equation*}
\notag
$$
который является полиномом четвертой степени. Так как дивергенция соответствующего векторного поля $X$ равна нулю, то фазовый поток сохраняет форму объема $\Omega$ (1.8) и поэтому данные уравнения движения интегрируются в квадратурах согласно теореме Эйлера–Якоби [22]. Предложение 6. В случае Ковалевской все решения уравнения инвариантности в пространстве дифференциальных форм типа $(0,2)$ и $(0,3)$ с компонентами вида (1.12) являются тензорными произведениями инвариантных 1-форм Доказательство состоит в явном решении уравнения инвариантности с помощью подстановки (1.12) и анализе полученных таким образом решений. Входящее в определение уравнений движения векторное поле $X$ гамильтоново где $P_{\mathrm{c}}=P_3$ (3.2) – канонический бивектор Пуассона на алгебре Ли–Пуассона $e^*(3)$ [22]. Компоненты второго инвариантного векторного поля являются неоднородными полиномами четвертой степени по переменным $(\gamma,M)$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Y&=4\gamma_3\bigl((M_1^2 + M_2^2)M_2+a(\gamma_1M_2-\gamma_2M_1)\bigr)\, \partial_1 \\ &\quad-4\gamma_3\bigl((M_1^2 + M_2^2)M_1-a(\gamma_1M_1+\gamma_2M_2) \bigr) \, \partial_2 \\ &\quad+4\bigl( (M_1^2 + M_2^2)(\gamma_2M_1 -\gamma_1 M_2)-a(\gamma_1^2 + \gamma_2^2)M_2\bigr) \, \partial_3 \\ &\quad+ 2\bigl(2(M_1^2 + M_2^2)M_2M_3 -2a \bigl((\gamma_2M_1 - \gamma_1M_2)M_3 +2\gamma_3M_1M_2\bigr) + a^2\gamma_2\gamma_3\bigr)\, \partial_4 \\ &\quad- 2\bigl((M_1^2 + J2^2)M_1M_3-a(2(\gamma_1M_1+\gamma_2M_2)M_3 - \gamma_3(M_1^2 - M_2^2)) \,{+}\,a^2\gamma_1\gamma_3\bigr)\, \partial_5 \\ &\quad+ 2a\bigl(\gamma_2(M_1^2 - M_2^2) - 2\gamma_1M_1M_2\bigr) \, \partial_6. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Векторное поле $X$ является би-гамильтоновым [64], [65], и поэтому нам известно несколько абсолютных инвариантов векторного поля $X$ в пространстве бивекторов Пуассона. Приведенные далее решения уравнения инвариантности являются новыми и в существующей литературе не встречаются. 4.1. Инвариантные тензорные поля типа $(2,0)$Подставляя тензорное поле $P$ типа $(2,0)$ с компонентами вида (1.12) в уравнение $\mathcal L_XP=0$ и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях переменных $\gamma$ и $M$, мы получаем систему из $7164$ алгебраических уравнений для $3024$ параметров. Решая полученные таким образом уравнения с помощью систем компьютерной алгебры, мы получаем абсолютные тензорные инварианты, среди которых нет симметричных тензорных полей, в отличие от случая Лагранжа. Среди полученных кососимметричных бивекторов всего пять удовлетворяют тождеству Якоби, а три из них совместны с каноническим бивектором Пуассона $P_{\mathrm{c}}$ на алгебре Ли–Пуассона $e^*(3)$. Первый из совместных с каноническим бивекторов Пуассона выражается через первые интегралы и канонический бивектор $P_{\mathrm{c}}=P_3$ (3.2):
$$
\begin{equation*}
P_1=(c_1f_1+ c_2 f_2+c_3)P_{\mathrm{c}},\qquad c_i\in\mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Компоненты второго из совместных с каноническим бивекторов Пуассона имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_2^{12} &= 2(f_2\gamma_3-f_1M_3),\qquad P_2^{13}= f_1M_2- 2f_2\gamma_2, \\ P_2^{14} &=\gamma_1M_2 -\gamma_2 M_1)M_3+\frac{a\gamma_2 \gamma_3}{2},\qquad P_2^{15}=\frac{\gamma_2f_3}{2} - f_2M_3, \\ P_2^{16} &=(\gamma_3M_2 -\gamma_2M_3)M_3 -\frac{(f_3-a\gamma_1)\gamma_2}{2},\qquad P_2^{23}=2f_2\gamma_1-f_1M_1, \\ P_2^{24} &=f_2M_3- \frac{f_3\gamma_3}{2},\qquad P_2^{25}=(\gamma_1M_2 - \gamma_2M_1)M_3+\frac{a\gamma_2\gamma_3}{2}, \\ P_2^{26} &=\frac{f_3\gamma_1}{2}+(\gamma_1M_3 -\gamma_3 M_1)M_3-\frac{a\gamma_2^2}{2}, \qquad P_2^{34}=\frac{(M_1^2 + M_2^2)\gamma_2}{2} +\gamma_3M_2M_3, \\ P_2^{35} &=(\gamma_1M_3 -\gamma_3 M_1)M_3-\frac{f_3\gamma_1}{2}+\frac{a(\gamma_1^2 + \gamma_3^2)}{2}, \\ P_2^{36} &=(\gamma_2M_1 - \gamma_1M_2)M_3-\frac{a\gamma_2\gamma_3}{2},\qquad P_2^{45}=\frac{a\gamma_3M_1 - (M_1^2 + M_2^2)M_3}{2}, \\ P_2^{46} &=-\frac{f_3M_2}{2},\qquad P_2^{56}=\frac{f_3M_1}{2} -f_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этот бивектор Пуассона удовлетворяет соотношениям
$$
\begin{equation*}
P_2 \, df_1= f_1X,\qquad P_2 \, df_2=f_2X,\qquad P_2 \, df_3 = f_3X + \frac{Y}{4},\qquad P_2 \, df_4=f_4X,
\end{equation*}
\notag
$$
с помощью которых можно найти функции Казимира
$$
\begin{equation*}
C_1=\frac{f_2}{f_1}\quad\text{и}\quad C_2=\frac{f_4}{f_1},\quad\text{так что }\ P_2\, dC_{1,2}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Компоненты третьего из совместных с каноническим бивекторов Пуассона имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_3^{12} &=-2(\gamma_1^2 + \gamma_2^2)M_3,\qquad P_3^{13}=f_1M_2 - 2\gamma_2\gamma_3M_3, \\ P_3^{14} &=(\gamma_3M_2 -\gamma_1 M_3)M_1 +\gamma_1M_2M_3 -\frac{a\gamma_2\gamma_3}{2}, \\ P_3^{15} &= \gamma_3(M_2^2 + 2M_3^2) -f_2M_3+a\gamma_1\gamma_3,\qquad P_3^{15}=-\gamma_2M_3^2 -\frac{a\gamma_1\gamma_2}{2}, \\ P_3^{23} &=-f_1M_1 + 2\gamma_1\gamma_3M_3,\qquad P_3^{24}=f_2M_3-(M_1^2 - 2M_3^2)\gamma_3, \\ P_3^{25} &=\gamma_1 M_2M_3-\gamma_3 M_1M_2 -\gamma_2M_1 M_3 +\frac{a\gamma_2\gamma_3}{2}, \qquad P_3^{26}=\gamma_1M_3^2 -\frac{a\gamma_2^2}{2}, \\ P_3^{34} &=\frac{\gamma_2(2M_1^2 + 2M_3^2 + a\gamma_1)}{2}-(\gamma_1M_1 +\gamma_3M_3)M_2 , \\ P_3^{35} &=(\gamma_2M_2 -\gamma_3 M_3)M_1 - \gamma_1(M_2^2 + M_3^2)-\frac{a(\gamma_1^2 - \gamma_3^2)}{2}, \qquad P_3^{36}=-\frac{a\gamma_2\gamma_3}{2}, \\ P_3^{45} &=M_3^3 + \frac{a\gamma_1M_3}{2}, \qquad P_3^{46}=-M_2M_3^2 -\frac{ a\gamma_2M_1}{2},\qquad P_3^{56}=M_1M_3^2 +\frac{ a\gamma_1M_1}{2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Умножая этот бивектор на 1-формы $df_1,\dots,df_4$, получаем
$$
\begin{equation*}
P_3 \, df_1=f_1X,\quad P_3 \, df_2=\frac{1}{2}f_2X,\quad P_3 \, df_3= \frac{1}{2}f_3X + \frac{1}{4}Y,\quad P_3 \, df_4=f_4X -\frac{1}{2}f_3Y.
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве функций Казимира можно взять
$$
\begin{equation*}
C_1=\frac{f_2}{\sqrt{f_1}}\quad\text{и}\quad C_2=\frac{f_3^2-f_4}{f_1},\quad\text{так что }\ P_3\, d{C}_{1,2}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Для полноты изложения приведем так же два бивектора Пуассона, которые не совместны с каноническим бивектором $P_{\mathrm{c}}$. Компоненты первого из них имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_4^{12} &=2\gamma_3(\gamma_1M_1 + \gamma_2M_2)-4(\gamma_1^2 +\gamma_2^2)M_3, \\ P_4^{13} &=2(\gamma_1^2 + \gamma_3^2)M_2-2\gamma_2 (\gamma_1M_1+\gamma_3M_3), \\ P_4^{14} &=\gamma_3 M_1M_2 -2(\gamma_2M_1-\gamma_1M_2)M_3, \\ P_4^{15} &=\gamma_3(M_2^2 + a\gamma_1)-2 (\gamma_1M_1+\gamma_2M_2)M_3 , \\ P_4^{16} &=(\gamma_3M_2 \,{-}\, 2\gamma_2M_3)M_3-a\gamma_1\gamma_2,\qquad P_4^{23}{=}\,2\gamma_1(\gamma_2M_2 \,{+}\, 2\gamma_3M_3)\,{-}\,2(\gamma_2^2 \,{+}\, \gamma_3^2)M_1, \\ P_4^{24} &= 2(\gamma_1M_1 +\gamma_2M_2)M_3-\gamma_3M_1^2, \\ P_4^{25} &=2(\gamma_1M_2-\gamma_2M_1)M_3 - \gamma_3(M_1M_2 - a\gamma_2), \\ P_4^{26} &=(2\gamma_1M_3-\gamma_3M_1)M_3-a\gamma_2^2,\qquad P_4^{34}=2\gamma_3M_2M_3 + (\gamma_2M_1 -\gamma_1M_2)M_1, \\ P_4^{35} &=\gamma_3(a\gamma_3 - 2M_1M_3) + (\gamma_2M_1 \,{-}\,\gamma_1M_2)M_2,\qquad P_4^{36}{=}\,(\gamma_2M_1 \,{-}\,\gamma_1M_2)\,{-}\,a\gamma_2\gamma_3, \\ P_4^{45} &=\frac{a\gamma_3M_1}{2} -(M_1^2 + M_2^2) M_3,\qquad P_4^{46}= -\frac{a\gamma_2M_1}{2}-M_2M_3^2, \\ P_4^{56} &=M_1 M_3^2-\frac{a(\gamma_2M_2+\gamma_3M_3)}{2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Второй инвариантный бивектор Пуассона, не совместный с $P_{\mathrm{c}}$, выражается через $P_4$ и $P_{\mathrm{c}}$ Ранг бивекторов Пуассона $P_4$ и $P_5$ равен двум и четырем соответственно. При этом
$$
\begin{equation*}
P_5\, df_1= 2f_1X,\qquad P_5\, df_2=\frac{3}{2}f_2X,\qquad P_5\, df_3=\frac{1}{2}f_3X,\qquad P_5\, df_4= 2f_4X -\frac{f_3}{2}Y,
\end{equation*}
\notag
$$
а в качестве функций Казимира бивектора $P_5$ можно взять функции
$$
\begin{equation*}
C_1=\frac{f_2^{2/3}}{f_1^{1/2}},\qquad C_2=\frac{f_3^2}{f_1^{1/2}},\qquad P_5\, dC_{1,2}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
На этом список полученных в нашем математическом эксперименте инвариантных тензоров Пуассона исчерпан. Предложение 7. Для системы Ковалевской множество решений уравнения инвариантности в пространстве бивекторов Пуассона с компонентами вида (1.12) состоит из приведенных выше пяти бивекторов $P_1,\dots,P_5$. Доказательство состоит в непосредственном решении уравнения инвариантности с помощью подстановки (1.12). Так как дивергенция векторных полей $X$ и $Y$ равна нулю, то тензорное произведение полностью антисимметричного единичного тензора $\mathcal E$ (1.9) с произведением четырех инвариантных 1-форм $df_i$
$$
\begin{equation*}
P_6=\mathcal E\, df_1\wedge df_2\wedge df_3\wedge df_4
\end{equation*}
\notag
$$
будет инвариантным бивектором Пуассона второго ранга, компоненты которого являются полиномами шестой степени по переменным $(\gamma,M)$. 4.2. Инвариантные тензорные поля типа $(3,0)$Подставляя тензорное поле $T$ типа $(3,0)$ с компонентами вида (1.12) в уравнение инвариантности (1.2) и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях переменных $\gamma$ и $M$, мы получаем систему из $43953$ алгебраических уравнений для $18144$ неизвестных. Решая полученные таким образом уравнения с помощью систем компьютерной алгебры, мы получаем решение $T=P_{\mathrm{c}}X$ и, в отличие от случая Лагранжа, других решений нет. Чтобы получить аналог решения (3.4) для случая Лагранжа, в случае Ковалевской мы должны использовать полиномиальные подстановки более высоких порядков для компонент тензорного поля $T$ типа $(3,0)$ и специальные методы решения получаемых переопределенных систем уравнений. Для краткости мы не будем приводить это решение явно. Далее, как и в случае Лагранжа, перейдем к решению уравнения относительной инвариантности (3.5), в которое входит линейная комбинация первых интегралов $H=\sum_k e_kf_k$, в которой неизвестные коэффициенты $e_k\in \mathbb R$ находятся в процессе решения. Предложение 8. В случае Ковалевской в пространстве тензорных полей типа $(3,0)$ с постоянными компонентами существует только одно решение Доказательство состоит из решения системы алгебраических уравнений с помощью различных систем компьютерной алгебры. Итак, мы доказали, что для уравнений движения твердого тела в случае Эйлера, Лагранжа и Ковалевской существует кососимметричное числовое тензорное поле $T$ типа $(3,0)$, которое позволяет переписать исходное векторное поле в виде
$$
\begin{equation*}
X=T\omega,\qquad\mathcal L_x\omega=0, \quad d\omega=0,
\end{equation*}
\notag
$$
и $\omega$ – инвариантная дифференциальная форма типа $(0,2)$.
§ 5. ЗаключениеДля векторного поля $X$ без дивергенции полностью антисимметричные единичные тензорные поля валентностей $(0,n)$ и $(n,0)$ являются базовыми тензорными инвариантами. Если это векторное поле также обладает первым интегралом $f_1,\dots,f_{k}$, то можно построить множество тензорных инвариантов и в пространстве дифференциальных форм (2.2), и в пространстве мультивекторных полей (1.23). Целью проведенного нами математического эксперимента было нахождение всех тензорных инвариантов уравнений движения твердого тела в случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, компоненты которых имеют специальный вид (1.12). Основным результатом эксперимента является тот факт, что для систем Эйлера, Лагранжа и Ковалевской в пространстве дифференциальных форм все полученные нами решения уравнения инвариантности (1.2) могут быть построены из базового инварианта $\Omega$ и первых интегралов с помощью дифференцирования и тензорного умножения. В пространстве мультивекторных полей для этих же систем был найден ряд абсолютных и условных инвариантов, которые, по крайней мере на данный момент, не могут быть построены из базовых инвариантов с помощью стандартных тензорных операций. Подчеркнем, что речь идет о глобальных тензорных инвариантах, однозначно определенных на всем фазовом пространстве, так как локально, в окрестности торов Лиувилля, никакой разницы между количеством решений в пространствах ковариантных и контравариантных тензорных полей нет [21].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tsi25} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|