| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Об аналоге задачи Гельфонда для разложений Островского А. А. Жуковаa, А. В. Шутовb  a Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, Владимирский филиал b Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых
Английская версия:
Izvestiya: Mathematics, 2025, Volume 89, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9633e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПусть где $n_i\in\{0,1,\dots,b-1\}$ – разложение $N$ в $b$-ичной системе счисления. Пусть $N^{(b)}_{d,a}(X)$ – количество натуральных чисел, меньших $X$, для которых $\sum_{i} n_i \equiv a\pmod d$.А. О. Гельфонд показал [1], что при условии взаимной простоты $d$ и $b-1$ существует постоянная $\mu<1$ такая, что В случае простого $d$ аналогичный результат также чуть ранее был получен в работе [2]. Неформально, теорема Гельфонда означает равномерность распределения сумм цифр разложений натуральных чисел в $b$-ичную систему счисления по арифметическим прогрессиям. Данный результат стал источником большого числа различных обобщений. В первую очередь рассматривались задачи, в которых вместо сумм цифр всех натуральных чисел берутся суммы цифр некоторых их подпоследовательностей. Из всего многообразия работ в данной области упомянем знаменитую работу [3], в которой доказан аналог теоремы Гельфонда для последовательности простых чисел, а также работу [4], посвященную случаю полиномиальных последовательностей. Другое направление обобщений теоремы Гельфонда связано с ее переносом на другие представления натуральных чисел. В частности, Ламбергер и Тусвальднер [5] получили аналогичный результат в случае, когда вместо $b$-ичного разложения натуральных чисел рассматривались разложения по линейным рекуррентным последовательностям, удовлетворяющим определенным условиям. Мы рассматриваем аналогичную задачу для разложений Островского. Пусть $\alpha=[0;q_1,q_2,\dots)$ – иррационально, $\{q_i\}$ – неполные частные, а $\{Q_i\}$ – знаменатели подходящих дробей. Разложением Островского [6] называется представление коэффициенты которого удовлетворяют условиям $0\leqslant z_0(N)<q_1$, $0\leqslant z_i(N)\leqslant q_{i+1}$, причем $z_i(N)=q_{i+1}$ влечет за собой $z_{i-1}(N)=0$, а $t(N)$ определяется условиемДанное разложение может быть получено с помощью так называемого жадного алгоритма. Другими словами, коэффициенты $z_i(N)$ подбираются так, чтобы при $k=t(N),t(N)-1,\dots, 0$ выполнялось неравенство Пусть $N^{(\alpha)}_{d,a}(X)$ – количество натуральных чисел, меньших $X$, для которых сумма цифр разложения Островского сравнима с $a$ по модулю $d$. Из результатов работ [7], [8] вытекает асимптотика однако метод, использованный в данных работах не позволяет получить никаких оценок остаточного члена.Оценки остаточного члена в асимптотике (1.2) в настоящее время известны только в небольшом числе случаев. В случае квадратичной иррациональности с разложением в цепную дробь вида $\alpha=[0;\overline{g}]$ последовательность знаменателей подходящих дробей является линейной рекуррентной последовательностью второго порядка, и из вышеупомянутого результата Ламбергера–Тусвальднера вытекает, что, при условии взаимной простоты $g$ и $d$, остаток может быть оценен как $O(X^{\mu_{\alpha}})$, т. е. имеется степенное понижение с показателем, зависящим от иррациональности. Аналогичный результат позднее был получен для квадратичных иррациональностей с разложением в цепную дробь вида $\alpha=[0;1,\dots,g]$ (опять же при условии взаимной простоты $g$ и $d$) [9]. В работе [10] было показано, что для любого иррационального $\alpha$ т. е. была получена логарифмическая оценка остаточного члена асимптотики (1.2) для $d=2$.В той же работе было показано, что для $d=3$ в общем случае оценка остаточного члена должна быть, как минимум, степенной. Более точно, был получен следующий результат. Пусть $\lambda$ – максимум модулей корней уравнения $x^4-2x^3+2x^2-x+1=0$, $\mu=\log_{\tau}\lambda$, $\tau=(1+\sqrt{5})/2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\limsup_{X\to\infty}\frac{|N^{(\tau)}_{3,0}(X)-X/3|}{X^{\mu}}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Упомянем также работу [11], в которой рассматривается распределение сумм цифр разложений Островского для значений многочленов, т. е. аналог задачи из [4], однако в этом случае не удается получить даже главного члена асимптотики. В настоящей работе мы доказываем степенную оценку остаточного члена асимптотической формулы (1.2). Теорема 1. Для любого $d\geqslant 3$ существует постоянная $\lambda_d<1$ такая, что для любого иррационального $\alpha$ Важно отметить, что показатель степени $\lambda_d$ не зависит от выбранного $\alpha$. Точная формула для $\lambda_d$ будет приведена в § 6. С другой стороны, мы показываем существование иррациональных $\alpha$ со сколь угодно медленным ростом остаточного члена. Теорема 2. Пусть $\varphi(x)$ – непрерывная монотонно возрастающая функция, принимающая только положительные значения, и $\varphi(x)\to\infty$ при $x\to\infty$. Тогда для любого $d$ существует несчетное множество $\alpha$ таких, что § 2. План доказательстваВ первую очередь заметим, что при доказательстве теорем 1 и 2 без ограничения общности можно считать, что $X$ – натуральное число и $a\in\{0,1,\dots, d- 1\}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{d,a}(N)= \begin{cases} 1, &{\displaystyle\sum_{i=0}^{t(N)} z_i(N)\equiv a\pmod d}, \\ -\dfrac{1}{d-1}, &{\displaystyle \sum_{i=0}^{t(N)} z_i(N)\not\equiv a\pmod d.} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда справедлива явная формула для $N^{(\alpha)}_{d,a}(X)$:
$$
\begin{equation*}
N^{(\alpha)}_{d,a}(X)=\frac{d-1}{d}\sum_{N=0}^{X-1} \biggl(\varepsilon_{d,a}(N)+\frac{1}{d-1}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть Тогда для остаточного члена асимптотики (1.2) справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
N^{(\alpha)}_{d,a}(X)-\frac{X}{d}=\frac{d-1}{d}S_{d,a}(X)
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, задача об оценке остаточного члена эквивалентна задаче об оценке суммы $S_{d,a}(X)$. Например, теорема 1 в точности эквивалентна оценке Здесь и далее $A(X)\ll B(X)$ означает, что существует некоторая постоянная $C(\alpha,d)$, зависящая только от $\alpha$ и $d$ и такая, что $A(X)\leqslant C(\alpha,d)B(X)$.С учетом разложения Островского (1.1) естественно рассмотреть величины Суммы $S_{d,a}(X)$ и $S^*_{d,a}(n)$, а также формула для выражения остаточного члена задачи Гельфонда через $S_{d,a}(X)$ впервые появились в работе [10]. Кроме того, близкие по смыслу суммы использовались в работе [12] при изучении аналога задачи Гельфонда для разложений по линейным рекуррентным последовательностям в случае модуля $d=2$. Введенные величины $S^*_{d,a}(n)$ (как впрочем и $S_{d,a}(X)$) не являются независимыми. Следующее элементарное соотношение, впервые появившееся в [10], является ключевым для всех оценок. Доказательство. Данное соотношение вытекает из определений $S^*_{d,a}(n)$, $S_{d,a}(X)$ и равенства немедленно следующего из определения $\varepsilon_{d,a}(N)$. Лемма доказана. Формула (1.1), а также рекуррентное соотношение между знаменателями подходящих дробей к $\alpha$ наводят на мысль о поиске рекуррентного соотношения для $S^*_{d,a}(n)$. Такое соотношение действительно существует. Для его формулировки введем обозначение т. е. $a\ominus l$ – единственное целое число $k$ такое, что $0\leqslant k<d$ и $k\equiv a-l\pmod d$. Доказательство. Согласно определению
$$
\begin{equation*}
S^*_{d,a}(n+1)=\sum_{X=0}^{Q_{n+1}-1} \varepsilon_{d,a}(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем разложение Островского (1.1) для $X$ в виде слова $z_nz_{n-1}\dots z_1z_0$. При этом $z_{n}\leqslant q_{n+1}$. Возможны два случая.
1) $z_n=l<q_{n+1}$. Тогда $z_{n-1}\dots z_1z_0$ – также корректное разложение Островского для $X'=X-z_nQ_n$. При этом легко видеть, что 2) $z_n=q_{n+1}$. Тогда $z_{n-1}=0$ и $z_{n-2}\dots z_1z_0$ – корректное разложение Островского для числа $X'=X-q_{n+1}Q_n$ и
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{d,a}(X)=\varepsilon_{d,a\ominus q_{n+1}}(X').
\end{equation*}
\notag
$$
С использованием указанных соображений получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^*_{d,a}(n+1) &=\sum_{X=0}^{Q_{n+1}-1}\varepsilon_{d,a}(X) \\ &=\sum_{l=0}^{q_{n+1}-1}\sum_{X'=0}^{Q_n-1} \varepsilon_{d,a}(lQ_n+X')+\sum_{X'=0}^{Q_{n-1}-1} \varepsilon_{d,a}(q_{n+1}Q_n+X') \\ &=\sum_{l=0}^{q_{n+1}-1}\sum_{X'=0}^{Q_n-1} \varepsilon_{d,a\ominus l}(X')+\sum_{X'=0}^{Q_{n-1}-1} \varepsilon_{d,a\ominus q_{n+1}}(X') \\ &=\sum_{l=0}^{q_{n+1}-1} S^*_{d,a\ominus l}(n) + S^*_{d,a\ominus q_{n+1}}(n-1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Отметим, что частные случаи леммы 2 для $d=2$ и произвольного $\alpha$, а также для $d=3$ и $\alpha=\tau$ были получены в [10]. Кроме того, аналогичное утверждение для $d=2$ и разложений по линейным рекуррентным последовательностям было получено в [12]. Приведенное доказательство в целом следует идеям указанных работ. Основное отличие от случая $d=2$ состоит в том, что вместо одного рекуррентного соотношения, возникающего для $d=2$, при $d\geqslant 3$ фактически возникает система таких соотношений (для разных $a$). Непосредственное применение рекуррентного соотношения (2.3) дает лишь оценки вида которые очевидны из определения и недостаточны для наших целей. Идея состоит в том, чтобы применить соотношения (2.2) для уменьшения числа слагаемых в (2.3) и получения лучшей оценки.Достаточно легко видеть, что непосредственное применение (2.2) позволяет уменьшить число слагаемых в первой сумме в (2.3) до $q_{n+1}\bmod d<d$. Более того, если полученное число слагаемых больше, чем $d/2$, то еще одно применение формулы (2.2) позволяет получить рекуррентное соотношение, в первой сумме которого будет не более $[d/2]$ слагаемых. Это позволяет получить некоторую оценку для $S^*_{d,a}(n)$, которая, неформально говоря, оказывается нетривиальной, если среди $\{q_n\}$ будет достаточно много больших неполных частных, например, если $q_n>d/2$ для всех $n$. В общем случае идея состоит в том, чтобы проитерировать рекуррентное соотношение (2.3) несколько раз. Оказывается, что некоторого (зависящего только от $d$) числа итераций будет достаточно для того, чтобы можно было применить (2.2) и получить оценку для $S^*_{d,a}(n)$. Данная стратегия реализована в §§ 3 и 4. В § 3 мы изучаем соотношения для $S^*_{d,a}(n)$, полученные применением к (2.3) соотношения (2.2), а также итерированием соотношения (2.3). В § 4 мы применяем полученные результаты для получения оценок на $S^*_{d,a}(n)$. В частности, показываем, что особенно хорошие оценки получаются в случае $q_{n}\equiv 0\pmod d$ для всех $n$. В случае $d=2$ в [10] была использована иная стратегия оценки $S^*_{2,a}(n)$, основанная на доказательстве того, что при фиксированных $\alpha$ и $a$ данная величина может принимать только конечное множество значений. В той же работе показано, что уже при $d=3$ данный факт становится неверным и, следовательно, методы оценки $S^*_{2,a}(n)$ из [10] не могут быть использованы в общем случае. Оценка общей величины $S_{d,a}(X)$ может быть сведена к оценкам $S^*_{d,a}(n)$ с помощью следующей леммы. Доказательство. Мы будем доказывать более точное неравенство
$$
\begin{equation}
|S_{d,a}(X)|\leqslant \sum_{i=0}^{t(X)} z_i'\max_{0\leqslant a<d} |S^*_{d,a}(i)|,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $z_i'=z_i(X)\bmod d$. Неравенство (2.4) мгновенно следует из (2.5) и тривиальной оценки $z_i'<d$.
В начале покажем, что для любого $i$
$$
\begin{equation}
|S_{d,a}(z_iQ_i)|\leqslant z_i'\max_{0\leqslant a<d} |S^*_{d,a}(i)|.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_{d,a}(z_iQ_i) &=\sum_{N=0}^{z_iQ_i-1} \varepsilon_{d,a}(N)= \sum_{l=0}^{z_i-1}\sum_{X'=0}^{Q_i-1} \varepsilon_{d,a}(lQ_i+X') \\ &=\sum_{l=0}^{z_i-1}\sum_{X'=0}^{Q_i-1} \varepsilon_{d,a\ominus l}(X') =\sum_{l=0}^{z_i-1} S_{d,a\ominus l}(Q_i)=\sum_{l=0}^{z_i-1} S^*_{d,a\ominus l}(i). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $z_i=qd+z_i'$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\sum_{l=0}^{z_i-1} S^*_{d,a\ominus l}(i)=\sum_{k=0}^{q-1}\sum_{r=0}^{d-1}S^*_{d,a\ominus (kd+r)}(i) + \sum_{r=0}^{z_i'-1}S^*_{d,a\ominus(qd+r)}(i)=\sum_{r=0}^{z_i'-1}S^*_{d,a\ominus(qd+r)}(i),
\end{equation*}
\notag
$$
так как для любого $k$ в силу (2.2). Поэтому
$$
\begin{equation*}
|S_{d,a}(z_iQ_i)|\leqslant \sum_{r=0}^{z_i'-1} |S^*_{d,a\ominus(qd+r)}(i)|\leqslant z_i'\max_{0\leqslant a<d} |S^*_{d,a}(i)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство (2.5) будем проводить индукцией по $t(X)$. В случае $t(X)=0$ имеем $Q_0=1$, $X=z_0<q_1$ и результат следует из (2.6) с $i=0$. Перейдем к доказательству шага индукции. Пусть (2.5) доказано для $t(X)\,{=}\,t$. Докажем это неравенство для $t(X)=t+1$. Пусть разложение Островского для $X$ имеет вид $X=\sum_{i=0}^{t+1} z_iQ_i$. Тогда
$$
\begin{equation*}
S_{d,a}(X)=\sum_{N=0}^{z_{t+1}Q_{t+1}-1} \varepsilon_{d,a}(N)+ \sum_{N=z_{t+1}Q_{t+1}}^{X-1}\varepsilon_{d,a}(N).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $Y=X-z_{t+1}Q_{t+1}$. Разложение Островского для $Y$ имеет вид $Y=\sum_{i=0}^{t} z_iQ_i$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{N=z_{t+1}Q_{t+1}}^{X-1}\varepsilon_{d,a}(N)=\sum_{N=0}^{Y-1}\varepsilon_{d,a\ominus z_{t+1}}(N)=S_{d,a\ominus z_{t+1}}(Y).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
|S_{d,a}(X)|\leqslant |S_{d,a}(z_{t+1}Q_{t+1})|+|S_{d,a\ominus z_{t+1}}(Y)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя к первому слагаемому оценку (2.6), а ко второму – предположение индукции, получаем требуемый результат. Лемма доказана. Рассуждение, аналогичное доказательству леммы 3, фактически использовалось в [10] для оценки $S_{2,0}(X)$ через $S^*_{2,0}(n)$. Однако явная формулировка аналога леммы 3 в данной работе отсутствовала. В §§ 5 и 6 мы применяем оценки на $S^*_{d,a}(n)$ из § 4 и лемму 3 для доказательства теорем 1 и 2 соответственно. § 3. Соотношения для $S^*_{d,a}(n)$В данном параграфе мы изучим ряд соотношений для $S^*_{d,a}(n)$, возникающих с помощью преобразования соотношения (2.3). Вначале рассмотрим многократное применение соотношения (2.2). Лемма 4. Имеет место линейное рекуррентное соотношение Доказательство получается многократным применением (2.2). Для доказательства (3.1) положим $q_{n+1}-1=qd+r$, где $r=(q_{n+1}-1)\bmod d$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=0}^{q_{n+1}-1} S^*_{d,a\ominus l}(i)=\sum_{k=0}^{q-1}\sum_{p=0}^{d-1}S^*_{d,a\ominus (kd+p)}(i) + \sum_{p=0}^{r-1}S^*_{d,a\ominus(qd+p)}(i)=\sum_{p=0}^{r-1}S^*_{d,a\ominus(qd+p)}(i),
\end{equation*}
\notag
$$
так как в силу (2.2) $\sum_{p=0}^{d-1} S^*_{d,a\ominus (kd+p)}(i)=0$.
Доказательство (3.2) и (3.3) получается еще одним применением соотношения (2.2) к доказанному (3.1). При этом в случае (3.3) нужно дополнительно заметить, что $a\ominus q_{n+1}=a$ при $q_{n+1}\equiv 0\pmod d$. Лемма доказана. Пусть
$$
\begin{equation*}
q_n'= \begin{cases} q_n\bmod d, &q_n\not\equiv 0\pmod d, \\ d, &q_n\equiv 0\pmod d. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда (3.1) может быть записано в виде
$$
\begin{equation}
S^*_{d,a}(n+1)=\sum_{l=0}^{q'_{n+1}-1} S^*_{d,a\ominus l}(n) + S^*_{d,a\ominus q'_{n+1}}(n-1).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Далее изучим вопрос об итерациях соотношения (3.4). Для начала заметим, что при фиксированном $d$ (3.4) представляет собой систему из $d$ соотношений, выражающих $S^*_{d,a}(n+1)$ через $S^*_{d,a}(n)$ и $S^*_{d,a}(n-1)$. Сдвигая эти соотношения на единицу и подставляя полученные выражения $S^*_{d,a}(n)$ через $S^*_{d,a}(n-1)$ и $S^*_{d,a}(n-2)$, получим линейные рекуррентные соотношения, выражающие $S^*_{d,a}(n+1)$ через $S^*_{d,a}(n-1)$ и $S^*_{d,a}(n-2)$. Продолжая данный процесс, для любого фиксированного $k$ мы можем получить линейные рекуррентные соотношения, выражающие $S^*_{d,a}(n+1)$ через $S^*_{d,a}(n-k)$ и $S^*_{d,a}(n-k-1)$. Для формализации данной конструкции заметим, что (3.4) может быть переписано в виде
$$
\begin{equation}
S^*_{d,a}(n+1)=\sum_{l=0}^{d-1} \xi_{l,0}(n) S^*_{d,a\ominus l}(n)+\sum_{l=0}^{d-1} \xi'_{l,0}(n) S^*_{d,a\ominus l}(n-1).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
При этом $\xi_{l,0}(n)\geqslant 0$, $\xi'_{l,0}(n)\geqslant 0$, $\sum_{l=0}^{d-1} \xi_{l,0}(n)=q'_{n+1}$ и $\sum_{l=0}^{d-1} \xi'_{l,0}(n)=1$. Лемма 5. Для любого целого $k\geqslant 0$ и $n>k$ справедливы равенства Доказательство проводится индукцией по $k$. Для $k=0$ (3.6) совпадает с (3.5) и все уже доказано. Рассмотрим шаг индукции. Пусть мы доказали (3.6) для некоторого $k$. Из (3.4) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
S^*_{d,a\ominus l}(n-k)=\sum_{j=0}^{q'_{n-k}-1} S^*_{d,a\ominus l\ominus j}(n-k-1)+ S^*_{d,a\ominus l\ominus q'_{n-k}}(n-k-2).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя это выражение в (3.6), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^*_{d,a}(n+1) &=\sum_{l=0}^{d-1} \xi_{l,k}(n)\biggl(\sum_{j=0}^{q'_{n-k}-1} S^*_{d,a\ominus l\ominus j}(n-k-1)+S^*_{d,a\ominus l\ominus q'_{n-k}}(n-k-2)\biggr) \\ &\qquad+\sum_{l=0}^{d-1} \xi'_{l,k}(n) S^*_{d,a\ominus l}(n-k-1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Раскрывая скобки и меняя порядки суммирования, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^*_{d,a}(n+1) &=\sum_{j=0}^{q'_{n-k}-1} \sum_{l=0}^{d-1} \xi_{l,k}(n) S^*_{d,a\ominus l\ominus j}(n-k-1) + \sum_{l=0}^{d-1} \xi'_{l,k}(n) S^*_{d,a\ominus l}(n-k-1) \\ &\qquad+\sum_{l=0}^{d-1} \xi_{l,k}(n) S^*_{d,a\ominus l\ominus q'_{n-k}}(n-k-2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Делая замены переменной суммирования, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^*_{d,a}(n+1) &=\sum_{j=0}^{q'_{n-k}-1} \sum_{l=0}^{d-1} \xi_{l\ominus j,k}(n) S^*_{d,a\ominus l}(n-k-1) + \sum_{l=0}^{d-1} \xi'_{l,k}(n) S^*_{d,a\ominus l}(n-k-1) \\ &\qquad+ \sum_{l=0}^{d-1} \xi_{l\ominus q'_{n-k},k}(n) S^*_{d,a\ominus l }(n-k-2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Еще раз меняя порядки суммирования и приводя подобные, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^*_{d,a}(n+1) &=\sum_{l=0}^{d-1} \biggl( \sum_{j=0}^{q'_{n-k}-1} \xi_{l\ominus j,k}(n) + \xi'_{l,k}(n)\biggr) S^*_{d,a\ominus l}(n-k-1) \\ &\qquad +\sum_{l=0}^{d-1} \xi_{l\ominus q'_{n-k},k}(n) S^*_{d,a\ominus l }(n-k-2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда и следуют (3.6)–(3.8).
Неотрицательность $\xi_{l,k}(n)$ и $\xi'_{l,k}(n)$ для произвольного $k$ вытекает из соответствующей неотрицательности для $k=0$ и формул (3.7), (3.8). Лемма доказана. Изучим соотношение (3.6) подробнее. Пусть
$$
\begin{equation*}
A_k(n)=\sum_{l=0}^{d-1} \xi_{l,k}(n)\quad \text{и}\quad A'_k(n)=\sum_{l=0}^{d-1} \xi'_{l,k}(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Выше показано, что Доказательство. Из определения $A_k(n)$, $A'_k(n)$ и соотношений (3.7), (3.8) следует, что
$$
\begin{equation*}
A_{k+1}(n)=q'_{n-k}A_k(n)+A'_k(n)\quad\text{и}\quad A'_{k+1}(n)=A_k(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Сдвигая индекс $k$ во втором соотношении и подставляя его в первое, получаем требуемый результат. Лемма доказана. Далее получим верхнюю оценку на $A_k(n)$ и $A'_k(n)$. Доказательство (3.10) проведем индукцией по $k$.
Из определения вытекает, что $q_n'\leqslant d$ при всех $n$. Поэтому что доказывает базу индукции.
Шаг индукции. Из (3.9), предположения индукции (3.10) и оценки на $q_n'$ находим
$$
\begin{equation*}
A_{k+1}(n)\leqslant d(d+1)^{k+1}+(d+1)^k\leqslant (d+1)^{k+2},
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось.
Неравенство (3.11) немедленно вытекает из (3.10) и равенства $A'_{k+1}(n)=A_k(n)$. Лемма доказана. Далее нам также потребуется связь $A_k(n)$ и $A'_k(n)$ со знаменателями подходящих дробей. Доказательство проведем индукцией по $k$. При $k=0$
$$
\begin{equation*}
Q_{n+1}=q_{n+1}Q_n+Q_{n-1}\geqslant q'_{n+1}Q_n+Q_{n-1}=A_0(n)Q_n+A'_0(n)Q_{n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг индукции
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_{n+1} &\geqslant A_k(n)Q_{n-k}+A'_k(n)Q_{n-k-1} \\ &=A_k(n)(q_{n-k}Q_{n-k-1}+Q_{n-k-2})+A'_k(n)Q_{n-k-1} \\ &\geqslant (q'_{n-k}A_k(n)+A'_k(n))Q_{n-k-1}+A_k(n)Q_{n-k-2} \\ &\geqslant A_{k+1}(n)Q_{n-k-1}+A'_{k+1}(n)Q_{n-k-2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Согласно лемме 5 все $\xi_{l,k}(n)$ и $\xi'_{l,k}(n)$ неотрицательны. Рассмотрим вопрос об их положительности. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_k(n) &=\{l\colon 0\leqslant l<d;\, \xi_{l,k}(n)\neq 0\}, \\ D'_k(n) &=\{l\colon 0\leqslant l<d;\, \xi'_{l,k}(n)\neq 0\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что при $k=0$ мощности этих множеств равны Для двух множеств $A,B\in \{0,1,\dots,d-1\}$ определим Доказательство. Равенства (3.13) и (3.14) немедленно следуют из (3.7) и (3.8) соответственно. Лемма 9 доказана. Положим Следующая лемма позволяет оценить число итераций, после которых мы гарантированно сможем применить (2.2) и уменьшить число слагаемых в (3.6). Доказательство. Вначале заметим, что из (3.13) вытекает, что имеет место включение Далее покажем, что при условии $\sharp D_k(n)<d$ справедливо неравенство
Рассмотрим два случая. 1) $q'_{n-k}>1$. Тогда из (3.13) вытекает, что При этом $D_k(n)$ и $D_k(n)\ominus\{1\}$ очевидно различаются хотя бы одним элементом. Поэтому $\sharp D_{k+1}(n)\geqslant \sharp D_k(n)+1$. С учетом (3.16) получаем требуемый результат.2) $q'_{n-k}=1$. Тогда из (3.14) вытекает Но согласно (3.13) имеем Поэтому откуда вновь следует требуемое.Теперь (3.15) получается многократным применением (3.17) к оценке $\sharp D_0(n)\geqslant 1$. Лемма 10 доказана. § 4. Оценки для $S^*_{d,a}(n)$Перейдем к доказательству оценок для $S^*_{d,a}(n)$. Пусть для натурального $d_0$ $\tau_{d_0}$ является корнем квадратного уравнения Доказательство будем проводить индукцией по $n$. Вначале заметим, что всегда можно выбрать $C(\alpha,d)$ так, чтобы $|S^*_{d,a}(n)|\leqslant C(\alpha,d)\tau_{d_0}^n$ при $n=0,1$. Действительно, можно взять
Рассмотрим доказательство шага индукции. Перепишем (3.1) в виде
$$
\begin{equation*}
|S^*_{d,a}(n+1)|\leqslant (1+(q_{n+1}-1)\bmod d) \max_{0\leqslant a<d} |S^*_{d,a}(n)|+ \max_{0\leqslant a<d} |S^*_{d,a}(n-1)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Также из (3.2) и (3.3) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
|S^*_{d,a}(n+1)|\leqslant (d-(q_{n+1}-1)\bmod d) \max_{0\leqslant a<d} |S^*_{d,a}(n)|+ \max_{0\leqslant a<d} |S^*_{d,a}(n-1)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как для любого $r\in\{0,1,\dots,d-1\}$ $\min(r+1,d-r)\leqslant d_0$, получаем
$$
\begin{equation*}
|S^*_{d,a}(n+1)|\leqslant d_0 \max_{0\leqslant a<d} |S^*_{d,a}(n)|+ \max_{0\leqslant a<d} |S^*_{d,a}(n-1)|.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом предположения индукции
$$
\begin{equation*}
|S^*_{d,a}(n+1)|\leqslant C(\alpha,d) (d_0\tau_{d_0}^n+\tau_{d_0}^{n-1})=C(\alpha,d) \tau_{d_0}^{n+1},
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Лемма 11 доказана. Лемма 12. Пусть для всех $n$ $q_n\equiv 0\pmod d$. Тогда все последовательности $\{|S^*_{d,a}(n)|\}$ ограничены. Доказательство. Согласно (3.3) в этом случае последовательность $\{S^*_{d,a}(n)\}$ периодична с периодом $2$, откуда немедленно следует требуемый результат. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\chi(d)= \begin{cases} 2, &d\equiv 0\pmod 2, \\ 1, & d\equiv 1\pmod 2, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\eta_d=\biggl(1+\frac{\chi(d)}{2(d+1)^{2d_0+1}} \biggr)^{1/(2d_0+2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Определим последовательность $\{M_d(n)\}$ следующим образом: при $0\leqslant n\leqslant 2d_0+1$ и в общем случае.
Докажем неравенство Доказательство будем проводить индукцией по $n$. При $n\leqslant 2d_0+1$ утверждение немедленно следует из (4.3). Для остальных $n$ воспользуемся (3.6) для $k=2d_0$. С учетом определений $D_k(n)$ и $D'_k(n)$ (3.6) можно переписать в виде где
$$
\begin{equation*}
\Sigma_1=\sum_{l\in D_{2d_0}(n)} \xi_{l,2d_0}(n) S^*_{d,a\ominus l}(n-2d_0)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\Sigma_2=\sum_{l\in D'_{2d_0}(n)} \xi'_{l,2d_0}(n) S^*_{d,a\ominus l}(n-2d_0-1).
\end{equation*}
\notag
$$
Для всех $l\in D_{2d_0}(n)$ имеем $\xi_{l,2d_0}(n)\geqslant 1$. Используя (2.2), перепишем $\Sigma_1$ в виде
$$
\begin{equation*}
\Sigma_1=-\sum_{l\in \overline{D_{2d_0}(n)}} S^*_{d,a\ominus l}(n-2d_0)+ \sum_{l\in D_{2d_0}(n)} (\xi_{l,2d_0}(n)-1) S^*_{d,a\ominus l}(n-2d_0),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\overline{D_{2d_0}(n)}=\{0,1,\dots,d-1\}\setminus D_{2d_0}(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
|\Sigma_1|\leqslant B(n)\max_{0\leqslant a<d} |S^*_{d,a}(n-2d_0)|,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
B(n)=\sum_{l\in \overline{D_{2d_0}(n)}} 1 + \sum_{l\in D_{2d_0}(n)} (\xi_{l,2d_0}(n)-1) = A_{2d_0}(n) + d-2\sharp D_{2d_0}(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя (3.15), получаем
$$
\begin{equation*}
|\Sigma_1|\leqslant (A_{2d_0}(n)-\chi(d)) \max_{0\leqslant a<d} |S^*_{d,a}(n-2d_0)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Также имеем
$$
\begin{equation*}
|\Sigma_2|\leqslant A'_{2d_0}(n) \max_{0\leqslant a<d} |S^*_{d,a}(n-2d_0-1)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $|S^*_{d,a}(n+1)|\leqslant |\Sigma_1|+|\Sigma_2|$, с учетом предположения индукции и (4.4), получаем оценку
$$
\begin{equation*}
|S^*_{d,a}(n+1)|\leqslant (A_{2d_0}(n)-\chi(d))M_d(n-2d_0)+A'_{2d_0}(n)M_d(n-2d_0-1)=M_d(n+1),
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось.
Докажем теперь неравенство Эквивалентно докажем, что существует $C(\alpha,d)>0$ такая, что Легко видеть, что всегда можно выбрать $C(\alpha,d)$ так, чтобы неравенство (4.7) выполнялось бы при $0\leqslant n\leqslant 2d_0+1$. Действительно, можно положить
$$
\begin{equation*}
C(\alpha,d)=\max_{0\leqslant n\leqslant 2d_0+1} \frac{Q_n}{M_d(n)\eta_d^n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (3.12)
$$
\begin{equation*}
Q_{n+1}\geqslant A_{2d_0}(n)Q_{n-2d_0}+A'_{2d_0}(n)Q_{n-2d_0-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
Q_{n+1}\geqslant (A_{2d_0}(n)-\chi(d))Q_{n-2d_0}+A'_{2d_0}(n)Q_{n-2d_0-1} +\frac{\chi(d)}{2}(Q_{n-2d_0}+Q_{n-2d_0-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы воспользовались тем, что $Q_{n-2d_0}>Q_{n-2d_0-1}$. Используя предположение индукции, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_{n+1} &\geqslant C(\alpha,d)\bigl((A_{2d_0}(n)-\chi(d))M_d(n-2d_0)\eta_d^{n-2d_0} \\ &\qquad\qquad +A'_{2d_0}(n)M_d(n-2d_0-1)\eta_d^{n-2d_0-1}\bigr) \\ &\qquad+\frac{\chi(d)}{2}\bigl(M_d(n-2d_0)\eta_d^{n-2d_0}+M_d(n-2d_0-1)\eta_d^{n-2d_0-1}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\eta_d>1$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_{n+1} &\geqslant C(\alpha,d)\eta_d^{n-2d_0-1}\biggl((A_{2d_0}(n)\,{-}\,\chi(d))M_d(n-2d_0)+A'_{2d_0}(n)M_d(n-2d_0-1) \\ &\qquad+\frac{\chi(d)}{2}(M_d(n-2d_0)+M_d(n-2d_0-1))\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу определения (4.4)
$$
\begin{equation*}
Q_{n+1}\geqslant C(\alpha,d)\eta_d^{n-2d_0-1}\biggl(M_d(n+1)+\frac{\chi(d)}{2}(M_d(n-2d_0)+M_d(n-2d_0-1))\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_d(n-2d_0)+M_d(n-2d_0-1) &\geqslant \frac{A_{2d_0}(n)M_d(n-2d_0)\,{+}\,A'_{2d_0}(n)M_d(n-2d_0-1)}{\max(A_{2d_0}(n),A'_{2d_0}(n))} \\ &=\frac{M_d(n+1)}{\max(A_{2d_0}(n),A'_{2d_0}(n))}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя оценки (3.10), (3.11), получаем
$$
\begin{equation*}
M_d(n-2d_0)+M_d(n-2d_0-1)\geqslant\frac{1}{(d+1)^{2d_0+1}}M_d(n+1).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
Q_{n+1}\geqslant C(\alpha,d)\eta_d^{n-2d_0-1}M_d(n+1)\biggl(1+\frac{\chi(d)}{2(d+1)^{2d_0+1}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $Q_{n+1}\geqslant C(\alpha,d)\eta_d^{n+1}M_d(n+1)$, что доказывает (4.7), а следовательно, и (4.6).
Оценка (4.2) получается комбинацией оценок (4.5) и (4.6). Лемма 13 доказана. § 5. Доказательство теоремы 1Как было отмечено ранее, достаточно доказать соотношение (2.1). Выберем и покажем, что существует $C(\alpha,d)$ такая, что для любого натурального $X$Вначале заметим, что $0<\lambda_d<1$, так как $\tau_{d_0}>1$ и $\eta_d>1$. Пусть $X$ имеет разложение Островского Рассмотрим два случая. 1) $t(X)\leqslant \log_{\tau_{d_0}\eta_d}X$. В этом случае, объединяя оценки (4.1) и (2.4), находим Суммируя геометрическую прогрессию, находим С учетом оценки на $t(X)$, имеем
$$
\begin{equation*}
|S_{d,a}(X)|\ll \tau_{d_0}^{\log_{\tau_{d_0}\eta_d}X}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом
$$
\begin{equation*}
\tau_{d_0}^{\log_{\tau_{d_0}\eta_d}X}=\tau_{d_0}^{\frac{\log_{\tau_{d_0}}X}{\log_{\tau_{d_0}}\tau_{d_0}\eta_d}} =X^{\frac{1}{\log_{\tau_{d_0}}\tau_{d_0}\eta_d}}=X^{\log_{\tau_{d_0}\eta_d}\tau_{d_0}}=X^{\lambda_d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, существует постоянная $C_1(\alpha,d)$ такая, что при выполняется неравенство 2) $t(X)> \log_{\tau_{d_0}\eta_d}X$. В этом случае, объединяя оценки (4.2) и (2.4), находим
$$
\begin{equation}
|S_{d,a}(X)|\ll \sum_{i=0}^{t(X)} \frac{Q_i}{\eta_d^i}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Так как $Q_i\geqslant Q_{i-1}+Q_{i-2}>2Q_{i-2}$,
$$
\begin{equation}
\frac{Q_{i-2}}{\eta_d^{i-2}}\leqslant \biggl( \frac{\eta_d^2}{2}\biggr) \frac{Q_i}{\eta_d^i}.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
При этом $0< \eta_d^2/2<1$. Перепишем (5.2) в виде
$$
\begin{equation*}
|S_{d,a}(X)|\ll \sum_{\substack{0\leqslant k\leqslant t(X)\\k\equiv 0\ (\operatorname{mod}2)}}\frac{Q_{t(X)-k}}{\eta_d^{t(X)-k}} + \sum_{\substack{0\leqslant k\leqslant t(X)\\k\equiv 1\ (\operatorname{mod}2)}}\frac{Q_{t(X)-k}}{\eta_d^{t(X)-k}}.
\end{equation*}
\notag
$$
С использованием (5.3), получаем
$$
\begin{equation*}
|S_{d,a}(X)|\ll \frac{Q_{t(X)}}{\eta_d^{t(X)}}\sum_{\substack{0\leqslant k\leqslant t(X)\\k\equiv 0\ (\operatorname{mod} 2)}} \biggl( \frac{\eta_d^2}{2}\biggr)^{k/2} + \frac{Q_{t(X)-1}\eta_d}{\eta_d^{t(X)}} \sum_{\substack{0\leqslant k\leqslant t(X)\\k\equiv 1\ (\operatorname{mod}2)}} \biggl( \frac{\eta_d^2}{2}\biggr)^{(k-1)/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $Q_{t(X)-1}<Q_{t(X)}\leqslant X$,
$$
\begin{equation*}
|S_{d,a}(X)|\ll \frac{X}{\eta_d^{t(X)}}\sum_{k\geqslant 0} \biggl( \frac{\eta_d^2}{2}\biggr)^k.
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем, меньшим единицы, находим С учетом оценки на $t(X)$ имеем
$$
\begin{equation*}
|S_{d,a}(X)|\ll \frac{X}{\eta_d^{\log_{\tau_{d_0}\eta_d}X}}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом
$$
\begin{equation*}
\eta_d^{\log_{\tau_{d_0}\eta_d}X}=\eta_d^{\frac{\log_{\eta_d}X}{\log_{\eta_d}\tau_{d_0}\eta_d}}= X^{\frac{1}{\log_{\eta_d}\tau_{d_0}\eta_d}} =X^{\log_{\tau_{d_0}\eta_d}\eta_d}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\frac{X}{\eta_d^{\log_{\tau_{d_0}\eta_d}X}}=X^{1-\log_{\tau_{d_0}\eta_d}\eta_d}=X^{\log_{\tau_{d_0}\eta_d} \tau_{d_0}}=X^{\lambda_d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, существует постоянная $C_2(\alpha,d)$ такая, что при выполняется неравенство Для доказательства (5.1) осталось выбрать Теорема 1 доказана.§ 6. Доказательство теоремы 2Для доказательства теоремы 2 достаточно показать, что существует несчетное множество иррациональных $\alpha$, для которых будет выполняться оценка В качестве первого шага построим функцию $\psi(X)$, растущую асимптотически медленнее, чем $\varphi(X)$. В качестве такой функции можно было бы взять $\ln \varphi(X)$, однако данная функция может быть отрицательна для малых положительных $X$, что неудобно. Поэтому вначале построим вспомогательную функцию $\varphi^*(X)$ такую, что $\varphi^*(X)$ – непрерывна, монотонно возрастает и $\varphi^*(X)=\varphi(X)$ при $X\geqslant X_0$. Кроме того, $\varphi^*(0)=1$ и $\varphi^*(X)>1$ при $X>0$. Если $\varphi(0)< 2$, то, поскольку $\varphi(X)$ непрерывна, монотонно возрастает и $\varphi(X)\to\infty$ при $X\to\infty$, существует единственное $X_0>0$ такое, что $\varphi(X_0)=2$. В этом случае положим
$$
\begin{equation*}
\varphi^*(X)= \begin{cases} \dfrac{X}{X_0}+1, &X< X_0, \\ \varphi(X), &X\geqslant X_0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Если же $\varphi(0)\geqslant 2$, выберем некоторое $X_0>0$ (например, $X_0=1$) и положим
$$
\begin{equation*}
\varphi^*(X)= \begin{cases} \dfrac{(\varphi(X_0)-1)X}{X_0}+1, &X< X_0, \\ \varphi(X), &X\geqslant X_0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что построенная таким образом функция $\varphi^*(X)$ действительно обладает сформулированными выше свойствами. Так как $\varphi^*(X)=\varphi(X)$ при $X>X_0$, (6.1) эквивалентно оценке При $X>0$ положим Ясно, что $\psi(X)$ – непрерывна и монотонно возрастает, причем $\psi(X)\to\infty$ при $X\to\infty$, $\psi(0)=0$ и $\psi(X)>0$ при $X>0$. Также, очевидно,Для доказательства (6.1) достаточно показать, что существует несчетное множество иррациональных $\alpha$, для которых будет выполняться оценка Далее отметим, что при $X>0$ обратная функция $\psi^{-1}(X)$ корректно определена и монотонно возрастает. Кроме того, $\psi^{-1}(X)>0$. Рассмотрим неубывающую последовательность целых неотрицательных чисел $\{a_i\}$. Выберем иррациональное $\alpha$, неполные частные разложения которого в цепную дробь задаются как Очевидно, что существует несчетное множество подходящих последовательностей $\{a_i\}$ и, следовательно, мы определили несчетное множество иррациональных $\alpha$.При этом для каждого такого $\alpha$ все $q_i\equiv 0\pmod d$ и из сочетания (2.4) и леммы 12 получаем, что Поэтому для доказательства (6.2) (а значит, и (6.1) и теоремы 2) остается доказать, что для рассматриваемых $\alpha$ Положим $r(X)=\lceil \psi(X)\rceil$. Тогда
$$
\begin{equation*}
Q_{r(X)}\geqslant q_{r(X)}\geqslant \lceil \psi^{-1}(r(X))\rceil \geqslant \psi^{-1}(\lceil \psi(X)\rceil)\geqslant \psi^{-1}(\psi(X))=X.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, согласно определению $t(X)$ Поэтому что и доказывает (6.3). Теорема 2 доказана. Авторы выражают благодарность рецензенту за ценные замечания и предложения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZhuShu25} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|