След и коммутаторы измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана

Установлены новые свойства пространства $L_1(\mathcal{M},\tau)$ интегрируемых (относительно следа $\tau$) операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана ${\mathcal M}$. Для самосопряженных $\tau$-измеримых операторов $A$, $B$ найдены достаточные условия $\tau$-интегрируемости оператора $\lambda I-AB$ и вещественности следа $\tau(\lambda I- AB)$, где $\lambda \in \mathbb{R}$. При этих условиях $[A,B]=AB-BA\in L_1(\mathcal{M},\tau) $ и $\tau([A, B])=0$. Для $\tau$-измеримых операторов $A$, $B=B^2$ найдены условия, достаточные для выполнения равенства $\tau([A,B])=0$. Для изометрии $U\in\mathcal{M}$ и неотрицательного $\tau$-измеримого оператора $A$ доказано, что $U-A \in L_1(\mathcal{M},\tau)$ тогда и только тогда, когда $I-A, I-U \in L_1(\mathcal{M},\tau)$. Для $\tau$-измеримого оператора $A$ найдены оценки следа самокоммутатора $[A^*,A]$. Пусть самосопряженные $\tau$-измеримые операторы $X\geq 0$ и $Y$ таковы, что $[X^{1/2}, Y X^{1/2}] \in L_1(\mathcal{M},\tau)$. Тогда $\tau ([X^{1/2}, Y X^{1/2}])=it$, где $t \in \mathbb{R}$ и $t=0$ при $XY \in L_1(\mathcal{M},\tau)$.