|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)
Доказательства теоремы Брунна—Минковского элементарными методами
Ф. М. Малышев Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Аннотация:
Приведены новые доказательства классической теоремы Брунна—Минковского об объеме суммы выпуклых многогранников $P_0$, $P_1$ одинакового $n$-мерного объема в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$, $n\ge2$: $V_n((1-t)P_0+tP_1)\ge V_n(P_0)=V_n(P_1)$, $0<t<1$, причем равенство имеет место, только если $P_1$ получается из $P_0$ параллельным переносом, в остальных случаях теорема утверждает строгое неравенство. Доказательства основаны на последовательном разбиении гиперплоскостями многогранника $P_0$ на симплексы. Для размерностей $n=2$ и $n=3$ в случае, когда $P_0$ является симплексом (треугольником при $n=2$), для произвольного выпуклого многогранника $P_1\subset\mathbb{R}^n$ построено непрерывное (в метрике Хаусдорфа) однопараметрическое семейство выпуклых многогранников $P_1(s)\subset\mathbb{R}^n$, $s\in[0,1]$, $P_1(0)=P_1$, для которого функция $w(s)=V_n\big((1-t)P_0+tP_1(s)\big)$ строго монотонно убывает, а $P_1(1)$ получается из $P_0$ параллельным сдвигом. Если $P_1$ не получается из многогранника $P_0$ параллельным переносом, то с помощью элементарных геометрических конструкций установлено существование многогранника $P_1'$, для которого $V_n((1-t)P_0+tP_1)>V_n((1-t)P_0+tP'_1)$.
Ключевые слова:
выпуклый многогранник, симплекс, треугольник, объемы, неравенство Брунна—Минковского.
Образец цитирования:
Ф. М. Малышев, “Доказательства теоремы Брунна—Минковского элементарными методами”, Труды международной конференции «Классическая и современная геометрия»,
посвященной 100-летию со дня рождения профессора Вячеслава Тимофеевича Базылева.
Москва, 22–25 апреля 2019 г. Часть 4, Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 182, ВИНИТИ РАН, М., 2020, 70–94
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/into676 https://www.mathnet.ru/rus/into/v182/p70
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 185 | PDF полного текста: | 119 | Список литературы: | 29 |
|