О наилучшем полиномиальном приближении аналитических функций в пространстве Бергмана $B_2$

Решается ряд экстремальных задач, связанных с наилучшим полиномиальным приближением аналитических в круге $U:=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$ функций, принадлежащих пространству Бергмана $B_2$. Доказано двустороннее неравенство, являющееся обобщением результата М.Ш. Шабозова–Г.А. Юсупова, полученного для класса $L_{2}^{(r)}[0,2\pi]$-периодических функций $f\in L_{2}$, у которых $(r-1)$-я производная $f^{(r-1)}$ абсолютно непрерывна, а производная $r$-го порядка $f^{(r)}\in L_{2}$ на случай полиномиального приближения $f\in \mathcal{A}(U)$, принадлежащих $B_{2}^{(r)}(U)$.
Приведен ряд случаев, когда двустороннее неравенство обращается в равенство. Для некоторых классов функций, принадлежащих $B_2$, найдены точные значения известных $n$-поперечников и решена задача совместного приближения функций и их промежуточных производных.