Дискретные бегущие волны в релейной системе дифференциально-разностных уравнений, моделирующей полносвязную сеть синаптически связанных нейронов

Цель. Рассмотреть систему дифференциальных уравнений с запаздыванием, которая моделирует полносвязную цепь из $m + 1$ нейрона с запаздывающей синаптической связью. Для этой полносвязной системы построить периодические решения в виде дискретных бегущих волн. Это означает, что все компоненты представлены одной и той же периодической функцией $u(t)$ со сдвигом, кратным некоторому параметру $\Delta$ (который предстоит найти). Методы. Для поиска описанных решений в настоящей работе осуществляется переход от системы к уравнению относительно неизвестной функции $u(t)$, содержащему m упорядоченных запаздываний, отличающихся с шагом $\Delta$. В нем выполняется экспоненциальная замена (характерная для уравнений вольтерровского типа) для того, чтобы получить релейное уравнение специального вида. Результаты. Для полученного уравнения найдена область параметров, в которой удается построить периодическое решение с периодом $T$, зависящим от параметра $\Delta$. Для найденной формулы периода $T=T(\Delta)$ удается доказать разрешимость уравнения периодов, то есть доказать существование ненулевых параметров — целого $p$ и вещественного $\Delta$ — удовлетворяющих уравнению $(m+1)\Delta=pT(\Delta)$. Построенная функция $u(t)$ обладает bursting-эффектом. Это означает, что $u(t)$ имеет на периоде $n$ высоких всплесков, после которых следует промежуток с малыми значениями. Заключение. Существование подходящего параметра $\Delta$ обеспечивает существование периодического решения в виде дискретной бегущей волны для исходной системы. За счет выбора перестановки обеспечивается сосуществование сразу $(m+1)!$ периодических решений.