Об экстремальных элементах и мощности множества непрерывно дифференцируемых выпуклых продолжений булевой функции

В данной статье изучается существование максимального и минимального элементов множества непрерывно дифференцируемых выпуклых продолжений на $[0,1]^n$ произвольной булевой функции $f_{B}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ и мощность множества непрерывно дифференцируемых выпуклых продолжений на $[0,1]^n$ булевой функции $f_{B}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$. В результате исследования установлено, что мощность множества непрерывно дифференцируемых выпуклых продолжений на $[0,1]^n$ произвольной булевой функции $f_{B}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ равна континууму. Аргументировано, что для любой булевой функции $f_{B}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ среди её непрерывно дифференцируемых выпуклых продолжений на $[0,1]^n$ нет минимального элемента. Доказано, что для любой булевой функции $f_{B}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ множество её непрерывно дифференцируемых выпуклых продолжений на $[0,1]^n$ имеет максимальный элемент лишь тогда, когда количество существенных переменных данной булевой функции $f_{B}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ меньше $2$.