Quiver varieties and Hilbert schemes

В настоящей работе приводится явное геометрическое описание некоторых колчанных многообразий Накаджимы. Точнее говоря, пусть $X=\mathbb C^2$, $\Gamma\subset{\rm SL}(\mathbb C^2)$ – конечная подгруппа, а $X_\Gamma$ – минимальное разрешение фактора $X/\Gamma$. Мы доказываем, что $X^{\Gamma[n]}$ –$\Gamma$-эквивариантная схема Гильберта плоскости $X$ – $X_{\Gamma}^{[n]}$ – схема Гильберта поверхности $X_{\Gamma}$ – являются колчанными многообразиями для аффинного графа Дынкина, соответствующего группе $\Gamma$ при соответствии Маккея, при одинаковых векторах размерностей, но разных параметрах $\zeta$ (более ранние результаты на ту же тему содержатся в работах Хаймана, Вараньоло и Вассеро, Вана). Отсюда, в частности, следует, что многообразия $X^{\Gamma[n]}$ и $X_{\Gamma}^{[n]}$ диффеоморфны. Вычисляя их когомологии (в случае $\Gamma=\mathbb Z/d\mathbb Z$ через неподвижные точки действия группы $(\mathbb C^*\times\mathbb C^*)$, мы выводим следующее комбинаторное тождество: число $UCY(n,d)$ равномерно раскрашенных в $d$ цветов диаграмм Юнга, состоящих из $nd$ клеток, совпадает с числом $CY(n,d)$ наборов из $d$ диаграмм Юнга с общим числом клеток равным $n$.