Sturm's theorem on the zeros of sums of eigenfunctions: Gelfand's strategy implemented

В своей последней опубликованной статье (Топологические свойства собственных колебаний математической физики // Тр. МИАН, 2011, Т. 273, с. 30–40), во втором разделе, озаглавленном «Теорема Куранта–Гельфанда», В. И. Арнольд пересказывает принадлежащий И. М. Гельфанду план доказательства следующего утверждения: нули на интервале $]0;1[$ любой линейной комбинации первых $n$ собственных функций задачи Штурма–Лиувилля $-y''(x) + q(x)y(x) = \lambda y(x)$, для которых $y(0)=y(1)=0$, разбивают интервал не более чем на $n$ связных компонент. В заключение своего обсуждения Арнольд пишет, что «отсутствие опубликованного формального текста со строгим доказательством теоремы Куранта–Гельфанда все еще огорчительно». План Гельфанда, черпающий идеи из квантовой механики, состоит в том, чтобы вместо линейной комбинации первых $n$ собственных функций рассмотреть их определитель Слейтера, являющийся первой собственной функцией соответствующего $n$-частичного оператора, действующего на фермионах. В статье мы проводим план Гельфанда в жизнь и даем доказательство сформулированного выше утверждения. Развивая идеи Гельфанда, мы доказываем и более точное утверждение, в котором учитываются кратности нулей — результат, восходящий еще к Штурму (1836). Мы также сравниваем подход Гельфанда с подходом Келлога и с теорией осцилляционных матриц и ядер.