Parameterizing and inverting analytic mappings with unit Jacobian

Пусть $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb C^n$  — вектор комплексных переменных. Обозначим через $A=(a_{jk})$ квадратную матрицу размера $n\geq 2$ и через $\varphi\in\mathcal{O}(\Omega)$  — аналитическую функцию, заданную в непустой области $\Omega\subset\mathbb C$. В работе рассматриваются отображения вида
$$ f=(f_1,\ldots,f_n)\colon\mathbb C^n\rightarrow\mathbb C^n, \quad f[A,\varphi](x):=x+\varphi(Ax) $$
с координатами
$$ f_j \colon x \mapsto x_j + \varphi\left(\sum\limits_{k=1}^n a_{jk}x_k\right), \quad j=1,\ldots,n, $$
якобиан которых тождественно равен ненулевой постоянной всюду, где каждая из координат $f_j$ корректно определена. Пусть $U$  — квадратная матрица, для которой якобиан отображения $f[U,\varphi](x)$ равен ненулевой постоянной для всех $x$ из области определения и, более того, для всевозможных аналитических функций $\varphi\in\mathcal{O}(\Omega)$. В работе доказывается, что любая такая матрица $U$ задается выбором целочисленного разбиения размерности $n$ на $m$ слагаемых и перестановкой длины $m$ однозначно с точностью до перестановочного подобия матриц. Для произвольного $d=2,3,\ldots$ строится $n$-параметрическое семейство таких квадратных матриц $H(s)$, $s\in\mathbb C^n$, что для любой матрицы $U$, удовлетворяющей вышеперечисленным условиям, отображение $x+((U\odot H(s))x)^d$, заданное произведением Адамара $U\odot H(s)$, имеет единичный якобиан. Показано, что обратное к нему отображение является полиномиальным, и предложена рекурсивная формула для его вычисления.