Аннотация:
На бесконечномерном торе $\mathbb{T}^{\infty}=E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}$, где $E$ – бесконечномерное вещественное банахово пространство, $\mathbb{Z}^{\infty}$ — абстрактная целочисленная решетка, рассматривается специальный класс диффеоморфизмов $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Упомянутый класс состоит из отображений $G\colon\mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$, для которых дифференциалы $DG$ и $D(G^{-1})$ равномерно ограничены и равномерно непрерывны на $\mathbb{T}^{\infty}$. Для диффеоморфизмов из $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ дается систематическое изложение элементов гиперболической теории. При этом сначала приводятся уже известные результаты (критерий гиперболичности, теорема о $C^1$-грубости свойства гиперболичности, теорема Адамара–Перрона, существование устойчивого и неустойчивого инвариантных слоений), а затем устанавливаются и новые утверждения. К последним относятся теорема о топологической сопряженности (при некоторых дополнительных условиях) гиперболического диффеоморфизма из $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ с линейным гиперболическим автоморфизмом и связанные с этой теоремой результаты о топологическом перемешивании и структурной устойчивости.
Библиография: 32 названия.
Ключевые слова и фразы:
бесконечномерный тор, диффеоморфизм, гиперболичность, инвариантные слоения, топологическая сопряженность, топологическое перемешивание, структурная устойчивость.
Исследования, изложенные в §§ 1–3, выполнены в рамках реализации программы развития РНОМЦ (ЯрГУ) при финансовой поддержке Минобрнауки России (соглашение № 075-02-2023-948). Исследование, изложенное в § 4 и § 5, выполнено при поддержке Российского научного фонда (грант № 21-71-30011).}
Образец цитирования:
С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, “Динамические системы на бесконечномерном торе: основы гиперболической теории”, Тр. ММО, 84, № 1, МЦНМО, М., 2023, 55–116