|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)
Количественные выражения связности множеств в ${\mathbb R}^n$
П. А. Бородин, О. Н. Косухин Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Аннотация:
Доказывается, что для любых двух точек $a$ и $b$ связного множества
$E\subset{\mathbb R}^n$ ($n\geqslant 2$) и для любого
$\varepsilon>0$ в $E$ найдутся такие точки $x_0=a$,
$x_2,\dots,x_p=b$, что
$$
\|x_1-x_0\|^n+\dots+\|x_p-x_{p-1}\|^n<\varepsilon.
$$
Доказывается,
что показатель $n$ в этом утверждении уменьшить нельзя.
Невозможность выбрать во множестве $E$ указанную цепочку точек
с
$$
\|x_1-x_0\|^\alpha+\dots+\|x_p-x_{p-1}\|^\alpha<\varepsilon
$$
для некоторого $\alpha\in (1,n)$ оказывается
эквивалентной существованию непостоянной функции
$f\colon E\to {\mathbb R}$ из класса $\operatorname{Lip}_\alpha(E)$.
Для каждого такого $\alpha$ в ${\mathbb R}^n$ строится
такая кривая $E(\alpha)$ хаусдорфовой размерности $\alpha$
и такая непостоянная функция $f\colon E(\alpha)\to {\mathbb R}$,
что $f\in\operatorname{Lip}_\alpha(E(\alpha))$.
Библиография: 3 названия.
Поступило: 30.10.2014 Исправленный вариант: 25.03.2015
Образец цитирования:
П. А. Бородин, О. Н. Косухин, “Количественные выражения связности множеств в ${\mathbb R}^n$”, Матем. заметки, 98:5 (2015), 643–650; Math. Notes, 98:5 (2015), 707–713
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/mzm10612https://doi.org/10.4213/mzm10612 https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v98/i5/p643
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 549 | PDF полного текста: | 196 | Список литературы: | 51 | Первая страница: | 37 |
|