Математические заметки
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математические заметки, 2023, том 114, выпуск 2, страницы 229–243
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13612
(Mi mzm13612)
 

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Возмущения негиперболических алгебраических автоморфизмов двумерного тора

В. З. Гринес, Д. И. Минц, Е. Е. Чилина

Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики в Нижнем Новгороде
Список литературы:
Аннотация: Все негиперболические автоморфизмы двумерного тора не являются структурно устойчивыми отображениями, и предсказать динамику сколь угодно их малых возмущений, вообще говоря, невозможно. В настоящей работе для представителя каждого класса алгебраической сопряженности непериодических негиперболических отображений построено однопараметрическое семейство диффеоморфизмов, содержащее исходное отображение при нулевом значении параметра и состоящие из диффеоморфизмов Морса–Смейла при всех значениях параметра, не равных нулю. Согласно результатам В. З. Гринеса и А. Н. Безденежных диффеоморфизм Морса–Смейла замкнутой ориентируемой поверхности, индуцирующий в фундаментальной группе непериодическое действие, обладает непустым гетероклиническим множеством. Доказано, что диффеоморфизмы построенных семейств при всех значениях параметра, не равных нулю, обладают непустым ориентируемым гетероклиническим множеством, число орбит которого определяется возмущаемым автоморфизмом.
Библиография: 10 названий.
Ключевые слова: негиперболические автоморфизмы, двумерный тор, ориентируемая гетероклиника.
Финансовая поддержка Номер гранта
Научный фонд НИУ ВШЭ 21-04-004
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 075-15-2022-1101
Публикация подготовлена в ходе проведения исследования (№ 21-04-004) в рамках Программы “Научный фонд Национального исследовательского университета ‘`Высшая школа экономики” (НИУ ВШЭ)’' в 2021–2022 гг., кроме п. 2, который выполнен при поддержке Лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ, грант Министерства науки и высшего образования РФ соглашение № 075-15-2022-1101.
Поступило: 05.06.2022
Исправленный вариант: 15.11.2022
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages 187–198
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070209
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.938
MSC: 37C05

1. Введение и формулировка результатов

Пусть $M^n$ – гладкое замкнутое (компактное без края) связное ориентируемое $n$-многообразие, $n\geqslant 1$, и $f$ – гомеоморфизм (диффеоморфизм) на $M^n$. Через $\Omega_f$ обозначим неблуждающее множество диффеоморфизма $f$. Если $p\in \Omega_f$ является периодической гиперболической точкой диффеоморфизма $f$, то обозначим устойчивое и неустойчивое многообразия точки $p$ через $W^{\mathrm s}_p$ и $W^{\mathrm u}_p $ соответственно.

Напомним, что диффеоморфизм $f$ называется диффеоморфизмом Морса–Смейла, если множество $\Omega_f$ конечно и гиперболично и многообразия $W^{\mathrm s}_p$, $W^{\mathrm u}_q$ пересекаются трансверсально для любых периодических точек ${p},{q}\in\Omega_f$.

Если $p$, $q$ – различные периодические седловые точки диффеоморфизма $f$, для которых $W^{\mathrm s}_q\cap W^{\mathrm u}_p\neq\varnothing$, то пересечение $W^{\mathrm s}_q\cap W^{\mathrm u}_p$ называется гетероклиническим. При этом в случае $\dim W^{\mathrm s}_q\cap W^{\mathrm u}_p=0$ пересечение $W^{\mathrm s}_q\cap W^{\mathrm u}_p$ является счетным множеством и каждая точка этого множества называется гетероклинической точкой, а орбита гетероклинической точки называется гетероклинической орбитой.

Назовем гетероклиническим множеством диффеоморфизма $f$ множество всех его гетероклинических точек. Согласно работе [1] если диффеоморфизм Морса–Смейла замкнутой ориентируемой поверхности индуцирует непериодический автоморфизм фундаментальной группы, то его блуждающее множество содержит непустое множество гетероклинических орбит. В работе [2] в классах диффеоморфизмов двумерного тора, которые действуют непериодически и негиперболически в фундаментальной группе, построены примеры в виде диффеоморфизмов Морса–Смейла с ориентируемым гетероклиническим пересечением.

Пусть $n=2$, $f \colon M^2 \to M^2$ – диффеоморфизм Морса–Смейла и $p$ – его седловая периодическая точка. Обозначим через $W^{\nu,i}_p$, $i\in\{1,2\}$, $\nu\in\{u,s\}$, компоненту связности множества $W^{\nu }_p\setminus\{p\}$.

Гетероклиническое множество диффеоморфизма $f \colon M^2 \to M^2$ называется ориентируемым (согласно [3] и [4; п. 1.2]), если для каждой пары седловых периодических точек $p$, $q$ и любых $i,j\in\{1,2\}$, для которых $W^{\mathrm u,j}_p\cap W^{\mathrm s,i}_q\neq\varnothing$, индекс пересечения кривых $W^{\mathrm u,j}_p$ и $W^{\mathrm s,i}_q$ один и тот же в любой точке $z\in W^{\mathrm u,j}_p\cap W^{\mathrm s,i}_q$.

Представим двумерный тор $\mathbb T^2$ как факторгруппу группы $\mathbb R^2$ по целочисленной решетке $\mathbb Z^2\colon \mathbb T^2 = \mathbb R^2/\mathbb Z^2$ с естественной проекцией $p_2\colon \mathbb R^2\to \mathbb T^2$ и обозначим через $[z]_{p_2}$ смежный класс группы $\mathbb R^2 $ по группе $\mathbb Z^2 $, содержащий точку $z\in\mathbb R^2 $.

Пусть

$$ \begin{equation*} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in \operatorname{GL}(2,\mathbb{Z}), \end{equation*} \notag $$
т.е. $A$ – целочисленная квадратная матрица второго порядка и $\det A=\pm1$. Тогда отображение $\widehat A \colon \mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$, заданное формулой
$$ \begin{equation*} \widehat A([(x,y)]_{p_2})=[( ax+by,\, cx+dy)]_{p_2}, \end{equation*} \notag $$
является алгебраическим автоморфизмом двумерного тора.

Согласно [5] алгебраический автоморфизм $\widehat A$ называется гиперболическим, если собственные значения матрицы $A\in \operatorname{GL}(2,\mathbb{Z})$ не равны по модулю единице. В противном случае автоморфизм $\widehat A$ будем называть негиперболическим.

Согласно [6; лемма 3] и [7; разделы 2 и 3] каждый класс сопряженности негиперболических алгебраических автоморфизмов двумерного тора посредством алгебраического автоморфизма задается в точности одной из следующих матриц:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, A_1(m)=\begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1\end{pmatrix} , \quad A_2(m)=\begin{pmatrix} -1 & m \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad m\in\{0,1,2,\dots\}, \\ A_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}, \qquad A_4=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1\end{pmatrix}, \\ A_5=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1& 0 \end{pmatrix}, \qquad A_6=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}, \qquad A_7=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1& 1 \end{pmatrix}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Напомним, что отличный от тождественного гомеоморфизм $f$ замкнутой ориентируемой поверхности $M^2$ называется периодическим, если существует $n\in\mathbb{N}$ такое, что $f^n=\mathrm{id}$. Наименьшее из таких $n$ называется периодом $f$.

Матрица $A_1(0)$ индуцирует тождественное отображение двумерного тора. Матрицы $A_2(0)$, $A_3$, $A_4$, $A_5$, $A_6$, $A_7$ индуцируют периодические автоморфизмы двумерного тора, а матрицы $A_1(m)$ и $A_2(m)$ при $m\neq 0$ индуцируют непериодические автоморфизмы двумерного тора.

Хорошо известно (см. [8; теорема 1]), что гиперболические алгебраические автоморфизмы двумерного тора являются структурно устойчивыми отображениями. Негиперболические автоморфизмы двумерного тора не являются структурно устойчивыми отображениями, поэтому представляет интерес изучение возмущений таких автоморфизмов.

Рассмотрим однопараметрические семейства $M_{\varepsilon}$ и $L_{\varepsilon}$ диффеоморфизмов двумерного тора такие, что при $\varepsilon=0$ они являются тождественными отображениями, а при $\varepsilon\in(-1,0)\cup(0,1)$ являются сдвигами на единицу времени потоков с гиперболическими состояниями равновесия, фазовые портреты которых в фундаментальной области действия группы $\mathbb Z^2$ на $\mathbb R^2$ при $\varepsilon\in(-1,0)$ представлены на рис. 1, 2. При $\varepsilon\in(0,1)$ их фазовые портреты получаются из представленных на рис. 1, 2 обращением времени в обратную сторону. Построение таких семейств описано в п. 2.2.

Введем однопараметрические семейства диффеоморфизмов следующими формулами:

$$ \begin{equation*} {\mathcal M}_{\varepsilon,A} = M_\varepsilon \circ \widehat A, \qquad {\mathcal L}_{\varepsilon,A} = L_\varepsilon \circ \widehat A, \end{equation*} \notag $$
где $\widehat A$ – автоморфизм двумерного тора, индуцированный матрицей $A\in \operatorname{GL}(2,\mathbb{Z})$.

Теорема 1. Для любого $\varepsilon\in(-1,0)\cup(0,1)$ верны следующие утверждения:

2. Вспомогательные сведения и результаты

Пусть $f$ – диффеоморфизм многообразия $M^n$ и $p$ – его гиперболическая периодическая точка. Обозначим через $W^{\mathrm s}_{p,\mathrm{loc}}$ (соответственно $W^{\mathrm u}_{p,\mathrm{loc}}$) локальное устойчивое (соответственно неустойчивое) многообразие точки $p$, которое представляет собой некоторую открытую окрестность точки $p$ во внутренней метрике многообразия $W^{\mathrm s}_{p}$ (соответственно $W^{\mathrm u}_{p}$).

Пусть $X$, $Y$ – подмногообразия $Z$, трансверсально пересекающиеся в точке $z$, и $\dim Z=\dim X+\dim Y$. Если $X$, $Y$, $Z$ ориентированы в точке $z\in (X\cap Y)$, то индекс пересечения подмногообразий $X$ и $ Y$ в этой точке определяется следующим образом. Пусть $\tau_1$, $\tau_2$ – ориентирующие касательные реперы (наборы векторов) к $X$, $Y$, соответственно, в точке $z$. Индекс в точке $z$ равен $+1$, если репер $\tau=(\tau_1, \tau_2)$ является ориентирующим для $Z$ в точке $z$, и равен $-1$ в противном случае.

Пусть $\overline X$ – накрывающее пространство для $X$ и $p\colon\overline X\to X $ – его накрытие. Группой скольжений накрытия $p\colon\overline X\to X $ называется группа всех гомеоморфизмов $h\colon\overline X\to \overline X $, для которых $p\circ h=p$ (см., например, [9; определение 10.63]). Множества $\overline X_1\subset\overline X$ и $\overline X_2\subset\overline X$ называются конгруэнтными, если существует гомеоморфизм $h$ из группы скольжений накрытия $p\colon\overline X\to X $ такой, что $h(\overline X_1)=\overline X_2$.

Группа скольжений накрытия $p_2\colon \mathbb R^2\to\mathbb T^2$ состоит из гомеоморфизмов вида $h_{a,b}(x,y)=(x+a,y+b)$, $a,b\in\mathbb Z$. Обозначим ее через $G_{p_2}$.

Пусть $a\in[0,1)$. Обозначим через $ \mathbb S^1_{x=a}$ (соответственно $\mathbb S^1_{y=a}$) окружность на двумерном торе $\mathbb T^2$, которая является образом относительно естественной проекции $p_2\colon \mathbb R^2 \to \mathbb T^2$ прямой $x=a+k$ (соответственно $y=a+k$), где $k\in\mathbb Z$.

2.1. Динамика непериодических негиперболических автоморфизмов

Автоморфизмы $\widehat A_1(m)$ и $\widehat A_2(m)$ при $m\neq0$ не являются периодическими отображениями. Каждая окружность $\mathbb S^1_{y=\gamma}$, $\gamma\in [0,1)$, является инвариантной относительно действия $\widehat A_1(m)$. Ограничение отображения $\widehat A_1(m)$ на каждую окружность $\mathbb S^1_{y=\gamma}$ действует как поворот на некоторый угол $\theta_{\gamma}$. Инвариантными относительно действия отображения $\widehat A_2(m)$ являются окружности $\mathbb S^1_{y=0}$, $\mathbb S^1_{y=1/2}$ и объединения окружностей $\mathbb S^1_{y=\gamma}\cup\mathbb S^1_{y=1-\gamma}$, $ \gamma\in (0,1/2)$. Ограничение второй степени отображения $\widehat A_2(m)$ на каждую окружность $\mathbb S^1_{y=\gamma}$ действует как поворот на некоторый угол $\theta_{\gamma}$.

2.2. Построение семейств $M_\varepsilon$ и $L_\varepsilon$

Зададим функцию $ h_\varepsilon(z)\colon \mathbb R\to \mathbb R$, принадлежащую классу гладкости $C^1$, по следующему правилу:

$$ \begin{equation*} h_\varepsilon(z):= \begin{cases} k + \dfrac {1}{\pi} \operatorname{arctg}\biggl(\dfrac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon} tg(\pi z)\biggr),&z\in\biggl(k-\dfrac{1}{2},k+\dfrac{1}{2}\biggr), \\ k+\dfrac{1}{2}, & z=k+\dfrac{1}{2}, \end{cases} \qquad k\in\mathbb Z, \end{equation*} \notag $$
где1 $\varepsilon\in(-1,1)$.

При $\varepsilon=0$ функция $h_\varepsilon(z)$ имеет вид $h_\varepsilon(z)=z$. При $\varepsilon\in(-1,0)$ и $\varepsilon\in(0,1)$ график функции $h_\varepsilon(z)$ изображен на рис. 3 и рис. 4 соответственно.

Так как функция $h_\varepsilon(z)$ удовлетворяет условию $h_\varepsilon(z+k)=h_\varepsilon(z)+k$, $k\in\mathbb Z$, то она индуцирует диффеоморфизмы окружности $\varphi_\varepsilon\colon \mathbb S^1 \to \mathbb S^1$ и $\psi_\varepsilon\colon \mathbb S^1 \to \mathbb S^1$, зависящие от параметра $\varepsilon\in(-1,1)$ и заданные формулами

$$ \begin{equation*} \varphi_\varepsilon([ z]_{p_1})= [h_\varepsilon (z)]_{p_1}, \qquad \psi_\varepsilon([ z]_{p_1})= \biggl[\frac{1}{2} h_\varepsilon(2z)\biggr]_{p_1}. \end{equation*} \notag $$
Отметим, что в работе [10] функция $\varphi_{\varepsilon}$ использовалась для построения возмущений гиперболических алгебраических автоморфизмов.

При $\varepsilon=0$ отображения $\varphi_\varepsilon$ и $\psi_\varepsilon$ являются тождественными.

При $\varepsilon \in(-1,0)$ (соответственно $\varepsilon \in(0,1)$) непосредственно проверяется, что неблуждающее множество диффеоморфизма $\varphi_\varepsilon$ гиперболично и состоит из стока $\omega=p_1(1/2)$ (соответственно $\omega=p_1(0)$) и источника $\alpha=p_1(0)$ (соответственно $\alpha=p_1(1/2)$), и $\varphi_\varepsilon$ – градиентно-подобный диффеоморфизм, фазовый портрет которого изображен на рис. 5.

Аналогично, при $\varepsilon \in(-1,0)$ (соответственно $\varepsilon \in(0,1)$) неблуждающее множество диффеоморфизма $\psi_\varepsilon$ гиперболично и состоит из двух стоков: $\omega_1=p_1(1/4)$ и $\omega_2=p_1(3/4)$ (соответственно $\omega_1=p_1(0)$ и $\omega_2=p_1(1/2)$), и двух источников: $\alpha_1=p_1(0)$ и $\alpha_2=p_1(1/2)$ (соответственно $\alpha_1=p_1(1/4)$ и $\alpha_2=p_1(3/4)$), и $\psi_\varepsilon$ – градиентно-подобный диффеоморфизм, фазовый портрет которого изображен на рис. 6.

Определим диффеоморфизмы двумерного тора $M_\varepsilon$ и $L_\varepsilon$ как прямые произведения: $M_\varepsilon = \varphi_\varepsilon \times \varphi_\varepsilon$, $L_\varepsilon = \psi_\varepsilon \times \varphi_\varepsilon$.

При $\varepsilon=0$ отображения $M_\varepsilon$ и $L_\varepsilon$ являются тождественными. При $\varepsilon\in(-1,0)$ (соответственно $\varepsilon\in(0,1)$) диффеоморфизм $M_\varepsilon$ по построению является градиентно-подобным диффеоморфизмом, неблуждающее множество $\Omega_{M_\varepsilon}$ которого состоит из источника $\alpha=p_2(0,0)$ (соответственно $\alpha=p_2(1/2,1/2)$), стока $\omega=p_2(1/2,1/2)$ (соответственно $\omega=p_2(0,0)$) и двух седел: $\sigma_1=p_2(0,1/2)$ и $\sigma_2=p_2(1/2,0)$. Аналогично, при $\varepsilon\in(-1,0)$ (соответственно $\varepsilon\in(0,1)$) диффеоморфизм $L_\varepsilon$ является градиентно-подобным диффеоморфизмом, неблуждающее множество $\Omega_{L_\varepsilon}$ которого состоит из следующих элементов:

двух источников: $\alpha_1=p_2(0,0)$ и $\alpha_2=p_2(1/2,0)$ (соответственно $\alpha_1=p_2(1/4,1/2)$ и $\alpha_2=p_2(3/4,1/2)$);

двух стоков: $\omega_1=p_2(1/4,1/2)$ и $\omega_2=p_2(3/4,1/2)$ (соответственно $\omega_1=p_2(0,0)$ и $\omega_2=p_2(1/2,0)$);

четырех седел: $\sigma_1=p_2(1/4,0)$, $\sigma_2=p_2(3/4,0)$, $\sigma_3=p_2(0,1/2)$ и $\sigma_4=p_2(1/2,1/2)$.

3. Доказательство теоремы 1

Непосредственно проверяется, что при $\varepsilon\in(-1,0)$ отображения $h_\varepsilon(z)$ и $h_\varepsilon^{-1}(z)$ переводят в себя любой интервал вида $(k/2,(k+1/2)$, $k\in\mathbb{N}$, и являются на нем сохраняющими ориентацию гомеоморфизмами.

Далее эти свойства понадобятся в ходе доказательства теоремы.

Докажем утверждения теоремы 1 для диффеоморфизмов семейства ${\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ при $m=2l$, $l\in\mathbb{N}$, и $\varepsilon\in(-1,0)$. Утверждения теоремы 1 для диффеоморфизмов семейства ${\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ при $m=2l$, $l\in\mathbb{N}$, и $\varepsilon\in(0,1)$, а также для диффеоморфизмов семейств $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_2(m)}$ при $m=2l$, $l\in\mathbb{N}$, и $\varepsilon\in(-1,0)\cup(0,1)$, $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_1(m)}$ и $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_2(m)}$ при $m=2l-1$, $l\in\mathbb{N}$, и $\varepsilon\in(-1,0)\cup(0,1)$ доказываются аналогично.

Везде далее, где не оговорено противное, будем полагать $m=2l$, $l\in\mathbb{N}$, и $\varepsilon\in(-1,0)$.

Разобьем доказательство на три основных этапа, первый из которых разобьем еще на два шага.

Этап $1$. Докажем, что диффеоморфизм ${\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ является диффеоморфизмом Морса–Смейла. Для этого сначала докажем, что его неблуждающее множество конечно и гиперболично, а затем, что инвариантные многообразия его седловых точек пересекаются трансверсально.

Шаг $1.1$. Докажем, что неблуждающее множество $\Omega_{{\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}}$ диффеоморфизма ${\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ конечно и гиперболично. Отображение $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ представимо в виде

$$ \begin{equation*} {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}([(x,y)]_{p_2}) =[(h_\varepsilon(x+my),h_\varepsilon(y))]_{p_2} =\varphi([x+my]_{p_1})\times \varphi([y]_{p_1}). \end{equation*} \notag $$

Так как вторая компонента прямого произведения $\varphi([x+my]_{p_1})\times \varphi([y]_{p_1})$ является отображением $\varphi$ и неблуждающее множество диффеоморфизма $\varphi$ состоит из гиперболического источника $p_1(0)$ и гиперболического стока $p_1(1/2)$, то неблуждающие точки диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ находятся на окружностях $\mathbb S^1_{y=0}$ и $\mathbb S^1_{y=1/2}$. Ограничение отображения $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ на эти окружности действует как диффеоморфизм ${M}_{\varepsilon}$. Поэтому неблуждающее множество диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ совпадает с неблуждающим множеством диффеоморфизма ${M}_{\varepsilon}$. Вычисление матрицы Якоби отображения $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ показывает, что неблуждающее множество $\Omega_{ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}}$ состоит из гиперболического источника $\alpha=p_2(0,0)$, гиперболического стока $\omega=p_2(1/2,1/2)$ и двух гиперболических седел: $\sigma_1=p_2(0,1/2)$ и $\sigma_2=p_2(1/2,0)$. Шаг 1.1 закончен.

Шаг $1.2$. Докажем, что инвариантные многообразия седловых точек диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ пересекаются трансверсально. Для $n\in\mathbb N$ введем следующие последовательности:

$$ \begin{equation*} \begin{cases} x_n= h_{\varepsilon}(x_{n-1}), \\ y_n= h_{\varepsilon}(y_{n-1}) \end{cases} \end{equation*} \notag $$
– последовательность точек орбиты отображения $ \overline M_{\varepsilon}\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, которое является накрывающим для диффеоморфизма $M_{\varepsilon}$;
$$ \begin{equation*} \begin{cases} x_n = x_{n-1}+my_{n-1}, \\ y_n = y_{n-1} \end{cases} \end{equation*} \notag $$
– последовательность точек орбиты отображения $\overline A_1(m)\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, которое является накрывающим для автоморфизма $\widehat A_1(m)$;
$$ \begin{equation*} \begin{cases} x_n = x_{n-1}+my_{n-1}-\dfrac{m}{2}, \\ y_n = y_{n-1} \end{cases} \end{equation*} \notag $$
– последовательность точек орбиты отображения $\overline A^*_1(m)\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, которое также является накрывающим для автоморфизма $\widehat A_1(m)$.

Рассмотрим накрывающие для диффеоморфизма ${\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ отображения

$$ \begin{equation*} \overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2, \qquad \overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^* \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2, \end{equation*} \notag $$
заданные формулами
$$ \begin{equation*} \overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}= \overline M_{\varepsilon} \circ \overline A^*_1(m), \qquad \overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^*= \overline M_{\varepsilon} \circ \overline A_1(m). \end{equation*} \notag $$
Точка $\overline\sigma_1$ с координатами $(0,1/2)$ является неподвижной седловой точкой диффеоморфизма $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$, а точка $\overline\sigma_2$ с координатами $(1/2,0)$ является неподвижной седловой точкой диффеоморфизма $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^*$. Далее под $W_{\overline\sigma_1}^{\mathrm s}$ будем понимать устойчивое многообразие точки $\overline\sigma_1$ относительно диффеоморфизма $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$, а под $W_{\overline\sigma_2}^{\mathrm u}$ будем понимать неустойчивое многообразие точки $\overline\sigma_2$ относительно диффеоморфизма $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^*$.

Рассмотрим точку $\overline\sigma_1$. В точке $\overline\sigma_1$ собственные значения матрицы Якоби отображения $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ равны

$$ \begin{equation*} \lambda_{1}=\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}, \quad \lambda_{2}=\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}, \qquad \text{где}\quad |\lambda_{1}|>1, \quad |\lambda_{2}|<1. \end{equation*} \notag $$
Непосредственно проверяется, что касательная к многообразию $W_{\overline\sigma_1,\mathrm{loc}}^{\mathrm s}$ в точке $\overline\sigma_1$ задается функцией
$$ \begin{equation*} y=\frac{4\varepsilon}{m(1-\varepsilon)^2}x+\frac12. \end{equation*} \notag $$
При рассматриваемых значениях $ \varepsilon \in (-1, 0)$ тангенс угла наклона касательной в точке $\overline\sigma_1$ принимает отрицательные значения.

Отображение $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}\in C^1$, следовательно, по теореме Адамара–Перрона (см., например, [5; теорема 6.2.8]) локальное устойчивое многообразие $W_{\overline\sigma_1,\mathrm{loc}}^{\mathrm s}$ седловой точки $\overline\sigma_1$ является гладкой кривой класса $C^1$. Из определения гладкой кривой и отрицательности тангенса угла наклона касательной к кривой $W_{\overline\sigma_1,\mathrm{loc}}^{\mathrm s}$ в точке $\overline\sigma_1$ следует, что кривая $W_{\overline\sigma_1,\mathrm{loc}}^{\mathrm s}$ в координатах $xOy$ является графиком некоторой гладкой, строго убывающей функции (см. рис. 7).

Рассмотрим отображение $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^{-1}$, которое является обратным к $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ и задано формулой $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^{-1}=\overline A^*_1(m)^{-1} \circ \overline M_{\varepsilon}^{-1} $.

Для $n\in\mathbb N$ введем следующие последовательности:

$$ \begin{equation*} \begin{cases} x_n= h_{\varepsilon}^{-1}(x_{n-1}), \\ y_n= h_{\varepsilon}^{-1}(y_{n-1}) \end{cases} \end{equation*} \notag $$
– последовательность точек орбиты отображения $\overline M_{\varepsilon}^{-1}$;
$$ \begin{equation*} \begin{cases} x_n = x_{n-1}-my_{n-1}+\dfrac{m}{2}, \\ y_n = y_{n-1} \end{cases} \end{equation*} \notag $$
– последовательность точек орбиты отображения $\overline A^*_1(m)^{-1}$.

При этом

$$ \begin{equation*} \begin{cases} x_n= h_{\varepsilon}^{-1}(x_{n-1})-m h_{\varepsilon}^{-1}(y_{n-1}) + \dfrac{m}{2}, \\ y_n=h_{\varepsilon}^{-1}(y_{n-1}) \end{cases} \end{equation*} \notag $$
– последовательность точек орбиты отображения $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^{-1}$.

Введем на кривой $W_{\overline\sigma_1,\mathrm{loc}}^{\mathrm s}$ параметризацию $(x(t),y(t))$ так, что $\dot x>0$; тогда $\dot y<0$. Диффеоморфизм $\overline M_{\varepsilon}^{-1}$ есть произведение сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов $h_{\varepsilon}$ прямой, а потому для образа кривой $(X(t),Y(t))=(X(x(t)),Y(y(t)))$ будем иметь

$$ \begin{equation*} \dot X=\biggl(\frac{dX}{dx}\biggr)\dot x>0, \qquad \dot Y=\biggl(\frac{dY}{dy}\biggr)\dot y<0. \end{equation*} \notag $$
Если же
$$ \begin{equation*} (X(t),Y(t))=\overline A^*_1(m)^{-1}(x(t),y(t))=\biggl(x(t)-my(t)+\frac m2,\,y(t)\biggr), \end{equation*} \notag $$
то также $\dot X>0$ и $\dot Y<0$.

Таким образом, объединение прообразов кривой $W_{\overline\sigma_1,\mathrm{loc}}^{\mathrm s}$ будет гладкой кривой $y=\phi_{\mathrm s}(x)$ с $d\phi_{\mathrm s}/dx<0$.

Рассмотрим точку $Q_0\in W_{\overline\sigma_1,\mathrm{loc}}^{\mathrm s}$ (см. рис. 7) и последовательность ее прообразов

$$ \begin{equation*} Q_j=\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^{-1}(Q_{j-1}), \qquad Q_j=(x_j,y_j). \end{equation*} \notag $$
Тогда $y_j=h^{-1}_\varepsilon(y_{j-1})$. Если $y_0<1/2$, то $y_n\to 0$. Если $y_0>1/2$, то $y_n\to 1$. Наконец,
$$ \begin{equation*} x_n=h_{\varepsilon}^{-1}(x_{n-1}) -m\biggl(h^{-1}_\varepsilon(y_{n-1})-\frac12\biggr) =h_{\varepsilon}^{-1}(x_{n-1})-m\biggl(y_n-\frac12\biggr). \end{equation*} \notag $$

При больших $n$ верно, что $|y_n-1/2|>1/4$, а тогда второй член составляет по модулю по меньшей мере $1/2$, так как $m=2l\geqslant 2$, $l\in\mathbb N$. Значит, $x_n$ лежит в каком-то интервале вида $(k/2,(k+1)/2)$, $k\in\mathbb Z$, лежащим строго правее, если $y_0<1/2$ (левее, если $y_0>1/2$), чем аналогичный интервал, где лежит $h_{\varepsilon}^{-1}(x_{n-1})$. Так как $h_{\varepsilon}^{-1}(x_{n-1})$ по свойству функции $h_{\varepsilon}^{-1}$ лежит в том же интервале, где лежит и $x_{n-1}$, то каждый раз $x_n$ смещается минимум на один интервал правее (левее, если $y_0<1/2$). Следовательно, $x_n\to+\infty$, если $y_0<1/2$, и $x_n\to-\infty$, если $y_0>1/2$ (см. рис. 8).

Аналогичным образом, неустойчивое многообразие $W^{\mathrm u}_{\overline \sigma_2}$ точки $\overline \sigma_2=(1/2,0)$ задается графиком $y=\phi_{\mathrm u}(x)$, где $d\phi_{\mathrm u}/dx>0$, $\phi_{\mathrm u}(x)\to1/2$ при $x_n\to+\infty$, $\phi_{\mathrm u}(x)\to-1/2$ при $x_n\to-\infty$ (см. рис. 8). Отсюда следует, что многообразия $W_{\sigma_1}^{\mathrm s}$ и $W^{\mathrm u}_{\sigma_2}$ пересекаются трансверсально. Шаг 1.2 закончен.

Этап $2$. Докажем, что гетероклиническое множество диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ ориентируемо. Кривые, конгруэнтные $W^{\mathrm s}_{\overline \sigma_1}$ – графики функций $y=\phi_{\mathrm s}(x-a_1)+ a_2$, $a_{1,2}\in\mathbb Z$. Кривые, конгруэнтные $W^{\mathrm u}_{\overline \sigma_2}$ – графики функций $y=\phi_{\mathrm u}(x-b_1)+b_2$, $b_{1,2}\in\mathbb Z$. Все конгруэнтные кривые можно согласованно ориентировать выбором касательного вектора, смотрящего в сторону увеличения $x$ (например, вектором $(1,d(\phi_{\mathrm s}(x-a_1)+a_2)/dx))$ для графиков $y=\phi_{\mathrm s}(x-a_1)+a_2$, и $(1,d(\phi_{\mathrm u}(x-b_1)+b_2)/dx))$ для графиков $y=\phi_{\mathrm u}(x-b_1)+b_2$) (см. рис. 9). Тогда во всех точках пересечения определитель будет иметь вид

$$ \begin{equation*} \begin{vmatrix} 1& \dfrac{d}{dx}(\phi_{\mathrm s}(x-a_1)+a_2) \\ 1& \dfrac{d}{dx}(\phi_{\mathrm u}(x-b_1)+b_2) \end{vmatrix}=\phi'_{\mathrm u}(x-b_1)-\phi'_{\mathrm s}(x-a_1)>0 . \end{equation*} \notag $$
Следовательно, индекс пересечения кривых $W^{\mathrm s}_{ \sigma_1}$ и $W^{\mathrm u}_{ \sigma_2}$ во всех точках совпадает и гетероклиническое множество диффеоморфизма ${\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ ориентируемо. Этап 2 закончен.

Этап $3$. Докажем, что гетероклиническое множество диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ состоит из $m$ орбит. Обозначим через $W^{\mathrm s,1}_{\overline \sigma_1}$ (соответственно $W^{\mathrm s,2}_{\overline \sigma_1}$) часть кривой $W^{\mathrm s}_{\overline \sigma_1}$, которая лежит ниже (соответственно выше) прямой $y=1/2$. Графики $y=\phi_{\mathrm u}(x-b_1)+b_2$ лежат в полосе $y\in(b_2-1/2,b_2+1/2)$, а $W^{\mathrm s,1}_{\overline \sigma_1}$ – в полосе $y\in(0,1/2)$, поэтому пересечение возможно лишь при $b_2=0$.

Если же $b_2=0$, то при любом $b_1=q\in\mathbb Z$ пересечение существует и единственно: на луче $[0,+\infty)$ функция $\phi_{\mathrm s}$ убывает от $1/2$ до $0$, а $\phi_{\mathrm u}(x-q)$ возрастает от $\phi_{\mathrm u}(-q)< 1/2$ до $1/2>0$. Пусть $H_q=(x_q,y_q)$ – точка пересечения. Тогда $x_q$ возрастает с ростом $q$.

Действительно2,

$$ \begin{equation*} \phi_{\mathrm u}(x_q-(q+1))<\phi_{\mathrm u}(x_q-q)=\phi_{\mathrm s}(x_q). \end{equation*} \notag $$
Тогда точка $x_{q+1}$ лежит на луче $[x_q,+\infty)$ (см. рис. 10).

Итак, $H_q$ – все гетероклинические точки на луче $[0,+\infty)$. Отображение $\overline M_{\varepsilon}$ переводит в себя точку $\overline \sigma_1$ и, следовательно, кривую $W^{\mathrm s}_{\overline \sigma_1}$ также переводит в себя. Точки же вида $(1/2+q,0)$ переходят друг в друга: $(1/2+q,0)\to(1/2+q+m/2,0)$, поэтому то же происходит с их неустойчивыми многообразиями:

$$ \begin{equation*} \{y=\phi_{\mathrm u}(x-q)\}\to\biggl\{y=\phi_{\mathrm u}\biggl(x-\biggl(q+\frac m2\biggr)\biggr)\biggr\} \end{equation*} \notag $$
и с точками пересечения последних с $\{y=\phi_{\mathrm s}(x)\}\colon H_q\to H_{q+m/2}$. Следовательно, существует в точности $m/2$ гетероклинических орбит диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$, лежащих на кривой $p_2(W^{\mathrm s,1}_{\overline \sigma_1})$. Аналогично доказывается, что существует в точности $m/2$ гетероклинических орбит диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$, лежащих на кривой $p_2(W^{\mathrm s,2}_{\overline \sigma_1})$.

Таким образом, гетероклиническое множество диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ состоит из $m$ гетероклинических орбит. Этап 3 закончен.

Замечание 1. На рис. 11 изображено гетероклиническое множество диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(2)}$ при $\varepsilon\in(-1,0)$. Оно состоит из двух орбит. На рис. 11 каждая гетероклиническая орбита отмечена своим цветом и проиллюстрировано действие диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(2)}$ на произвольную гетероклиническую точку $z$.

Замечание 2. При $m=2l$, $l\in\mathbb{N}$, неблуждающее множество диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_2(m)}$ совпадает с неблуждающим множеством диффеоморфизма $M_{\varepsilon}$ и состоит из двух неподвижных гиперболических узлов и двух неподвижных гиперболических седел. Ограничение отображения ${\mathcal M}_{\varepsilon,A_2(m)}$ на инвариантные многообразия седел не сохраняет ориентацию. Каждая компонента связности этих многообразий, участвующая в гетероклиническом пересечении, содержит точки каждой гетероклинической орбиты диффеоморфизма. На рис. 12 изображено гетероклиническое множество диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_2(2)}$ при $\varepsilon\in(-1,0)$. Оно состоит из двух орбит. На рис. 12 каждая гетероклиническая орбита отмечена своим цветом и проиллюстрировано действие диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_2(2)}$ на произвольную гетероклиническую точку $z$.

Замечание 3. При $m=2l-1$, $l\in\mathbb{N}$, неблуждающее множество диффеоморфизма $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_1(m)}$ совпадает с неблуждающим множеством диффеоморфизма $ {L}_{\varepsilon}$ и состоит из двух неподвижных гиперболических узлов, двух гиперболических узлов периода два, двух неподвижных гиперболических седел и двух гиперболических седел периода два. Одно из инвариантных многообразий каждого неподвижного седла участвует в гетероклиническом пересечении с одним из инвариантных многообразий каждого периодического седла и содержит $m$ орбит на каждой компоненте связности. На рис. 13 изображено гетероклиническое множество диффеоморфизма $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_1(1)}$ при $\varepsilon\in(-1,0)$. Оно состоит из четырех орбит. На рис. 13 каждая гетероклиническая орбита отмечена своим цветом и проиллюстрировано действие диффеоморфизма $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_1(1)}$ на произвольную гетероклиническую точку $z$.

Замечание 4. При $m=2l-1$, $l\in\mathbb{N}$, неблуждающее множество диффеоморфизма $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_2(m)}$ совпадает с неблуждающим множеством диффеоморфизма $ {L}_{\varepsilon}$ и состоит из четырех неподвижных гиперболических узлов и четырех гиперболических седел периода два. Каждая гетероклиническая орбита диффеоморфизма $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_2(m)}$ содержит точки на инвариантном многообразии каждого из четырех седел. На рис. 14 изображено гетероклиническое множество диффеоморфизма $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_2(1)}$ при $\varepsilon\in(-1,0)$. Оно состоит из четырех орбит. На рис. 14 каждая гетероклиническая орбита отмечена своим цветом и проиллюстрировано действие диффеоморфизма $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_2(1)}$ на произвольную гетероклиническую точку $z$.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. A. N. Bezdenezhykh, V. Z. Grines, “Realization of gradient-like diffeomorphisms of two-dimensional manifolds”, Selecta Math. Soviet., 11:1 (1992)  mathscinet
2. А. И. Морозов, “Реализация гомотопических классов гомеоморфизмов тора простейшими структурно устойчивыми диффеоморфизмами”, Журнал СВМО, 23:2 (2021), 171–184  mathnet  crossref
3. А. Н. Безденежных, В. З. Гринес, “Диффеоморфизмы с ориентируемыми гетероклиническими множествами на двумерных многообразиях”, Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. темат. сб. науч. тр., Горьк. гос. ун-т, Горький, 1985, 139–152
4. С. Х. Арансон, В. З. Гринес, “Топологическая классификация каскадов на замкнутых двумерных многообразиях”, УМН, 45:1(271) (1990), 3–32  mathnet  mathscinet  zmath
5. А. Б. Каток, Б. Хасселблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, М., 1999  mathscinet
6. S. Batterson, “The dynamics of Morse–Smale diffeomorphisms on the torus”, Trans. Amer. Math. Soc., 256 (1979), 395–403  crossref  mathscinet
7. С. В. Сидоров, Е. Е. Чилина, “О негиперболических алгебраических автоморфизмах двумерного тора”, Журнал СВМО, 23:3 (2021), 295–307  mathnet  crossref  mathscinet
8. Д. В. Аносов, “Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны”, Тр. МИАН СССР, 90, 1967, 3–210  mathnet  mathscinet  zmath
9. V. Z. Grines, T. V. Medvedev, O. V. Pochinka, Dynamical Systems on 2- and 3-Manifolds, Developments in Math., 46, Springer, Cham, 2016  mathscinet
10. V. Chigarev, A. Kazakov, A. Pikovsky, “Kantorovich–Rubinstein–Wasserstein distance between overlapping attractor and repeller”, Chaos, 30:7 (2020), 073114  crossref  mathscinet

Образец цитирования: В. З. Гринес, Д. И. Минц, Е. Е. Чилина, “Возмущения негиперболических алгебраических автоморфизмов двумерного тора”, Матем. заметки, 114:2 (2023), 229–243; Math. Notes, 114:2 (2023), 187–198
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriMinChi23}
\by В.~З.~Гринес, Д.~И.~Минц, Е.~Е.~Чилина
\paper Возмущения негиперболических алгебраических автоморфизмов двумерного тора
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 114
\issue 2
\pages 229--243
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13612}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13612}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4634786}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 114
\issue 2
\pages 187--198
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623070209}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85168568676}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm13612
  • https://doi.org/10.4213/mzm13612
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v114/i2/p229
  • Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математические заметки Mathematical Notes
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:190
    PDF полного текста:32
    HTML русской версии:143
    Список литературы:31
    Первая страница:11
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024