| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О решении квантовой задачи трех тел в окрестности трехчастичного направления рассеяния вперед А. М. Будылин, С. Б. Левин Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030021 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеЗадача трехчастичного квантового рассеяния является одной из фундаментальных физических задач. Ее решение, как решение модельной задачи, определяет протекание многих макроскопических процессов в физике и химии. В случае быстроубывающих парных потенциалов эта задача была решена в знаменитой работе Л. Д. Фаддеева [1] более полувека назад. В случае медленно (кулоновским образом) убывающих парных потенциалов многие существенные вопросы стационарной постановки были решены или обсуждались в последующих работах Л. Д. Фаддеева, С. П. Меркурьева [2]–[4] и их учеников, а также в огромном количестве работ, инициированных первыми результатами. Тем не менее, несмотря на существенные продвижения, достигнутые за прошедшее с тех пор время, квантовая задача рассеяния трех заряженных частиц до сих пор оставляет ряд не решенных до конца вопросов. Основная проблема связана с отсутствием так называемой асимптотической свободы частиц на бесконечности. Это делает неприменимым (по крайней мере в исходной классической форме) подход Фаддеева, основанный на асимптотическом разделении волновой функции на компоненты. При этом существенно усложняется структура асимптотики волновой функции на бесконечности. Другая проблема, специфичная для реакции развала кластера, находящегося в связанном кулоновском состоянии, налетающей заряженной частицей связана с наличием бесконечного числа уровней возбуждения кластера и уровней перекластеризации. Каждый уровень возбуждения (или перекластеризации) порождает свой канал рассеяния. Чем ниже полная положительная энергия системы, тем более существенной при описании характеристик рассеяния становится роль парных возбуждений с высокими значениями парного главного квантового числа. Отметим, что размерность матрицы рассеяния становится фактически бесконечной, что существенно осложняет оценки точности при вычислении характеристик рассеяния. Однако, даже в наиболее простой ситуации парных потенциалов отталкивания построение асимптотики решения задачи рассеяния на бесконечности в конфигурационном пространстве оказывается сложным вследствие кулоновского дальнодействия. В области конфигурационного пространства, отвечающей ситуации, в которой две частицы близки, а третья существенно удалена, описание асимптотики решения появилось лишь в начале 90-х годов 20-го века в работах [5], [6] и позднее было уточнено в [7]. Асимптотика решения в области конфигурационного пространства, в которой все три частицы хорошо разделены, так называемое приближение искаженных волн, было найдено значительно раньше. Причины этого с физической точки зрения заключаются в сложности учета слабых (но, тем не менее, важных) кулоновсих поправок, связанных с взаимодействием выделенной пары с удаленной частицей, на фоне существенного взаимодействия в самой паре. Приближение искаженных плоских волн $\Psi^{BBK}$, или так называемое ВВК-приближение, предложенное в [8] и подробно описанное позже в [9], активно используется в литературе, посвященной кулоновской задаче трех тел, начиная с начала второй половины 20-го века. Не претендуя на полноту, назовем лишь несколько работ из огромного списка: [2]–[12]. В работе [9] подробно описан метод получения этого приближения и рекурентная схема его уточнения. Приближение хорошо работает в асимптотической области конфигурационного пространства, в которой все частицы хорошо разделены. Отметим, что именно в рамках ВВК-приближения удалось выделить совокупное влияние дискретного спектра кулоновской парной подсистемы с притяжением на структуру трехчастичной собственной функции абсолютно непрерывного спектра с последующим развитием вычислительной схемы [13]. В работах [7], [12] указана модификация $BBK$-приближения, позволяющая описать в рамках данного подхода также область конфигурационного пространства, допускающую сближение частиц в одной из пар. Тем не менее, даже в общей ситуации, когда три частицы хорошо разделены, в асимптотическом конфигурационном пространстве возникают угловые окрестности специальных направлений, в которых предложенные приближения не работают или работают плохо. Эти специальные направления – так называемые парные или трехчастичное направления рассеяния вперед. В окрестности этих направлений невязка $Q$ трехчастичных обобщенных собственных функций абсолютно непрерывного спектра $\Psi$ в уравнении Шрёдингера $Q=-(H-E)\Psi$ убывает медленнее парного потенциала или как сам потенциал. Такая скорость убывания демонстрирует, что предложенное приближение оказывается плохим и не дает улучшения решения по сравнению с шестимерной плоской волной. Как показано в работе [12], предложенное там решение достаточно хорошо работает в окрестностях парных направлений рассеяния вперед, а именно – в окрестности направления где $\mathbf{x}$, $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$ – парная координата Якоби, отвечающая некоторой выделенной паре, а $\mathbf{k}$, $\mathbf{k}\in\mathbb{R}^3$ – импульс, сопряженный по Фурье координате $\mathbf{x}$. Здесь введены обозначения
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathbf{x}}=\frac{\mathbf{x}}{x}\,, \qquad \widehat{\mathbf{k}}=\frac{\mathbf{k}}{k}\,, \qquad x=|\mathbf{x}|, \qquad k=|\mathbf{k}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако, в окрестности трехчастичного направления рассеяния вперед, т.е. в окрестности направления, в котором условие вида (1) оказывается выполненным во всех трех парах одновременно, ситуация меняется. Поясним подробнее в чем дело. Положим, что динамика трехчастичной сстемы описывается уравнением Шрёдингера
$$
\begin{equation*}
(H-E)\Psi=0, \qquad H=-\Delta_{\mathbf{x}}-\Delta_{\mathbf{y}}+V,
\end{equation*}
\notag
$$
где $V$ – сумма парных кулоновских потенциалов, а $(\mathbf{x},\mathbf{y})$ – пара координат Якоби системы трех тел. Будем считать, что на бесконечности в конфигурационном пространстве потенциалы существенно убывают, а динамика становится “почти свободной”. Будем искать решение уравнения Шрёдингера на бесконечности в виде
$$
\begin{equation}
\Psi=e^{i\langle\mathbf{P},\mathbf{X}\rangle+ iW(\mathbf{X},\mathbf{P})}, \qquad \mathbf{P}=\begin{pmatrix} \mathbf{k} \\ \mathbf{p} \end{pmatrix},\quad \mathbf{X}=\begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \end{pmatrix},\quad \mathbf{P}\in\mathbb{R}^6,\quad \mathbf{X}\in\mathbb{R}^6.
\end{equation}
\tag{2}
$$
При этом отличие кулоновской динамики от свободной динамики на бесконечности определяется поведением медленно меняющейся фазовой функции $W$. В этом смысле наложим на функцию $W$ два условия
$$
\begin{equation}
|\nabla W|^2=O(R^{-2}),\qquad |\Delta W|= O(R^{-2}),\qquad R=\sqrt{x^2+y^2}\,,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $(\mathbf{x},\mathbf{y})$ – пара координат Якоби системы трех тел, а $R$ – гиперрадиус системы. Подставляя представление (2) в уравнение Шрёдингера и учитывая условия (3), получим для функции $W$ так называемое градиентное уравнение: т.е. дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Разрешая полученное уравнение методом характеристик, приходим к асимптотическому результату
$$
\begin{equation}
W(\mathbf{X},\mathbf{P})\sim -\sum_{i=1}^3\eta_i\ln|k_ix_i(1- \langle\widehat{\mathbf{k}}_i,\widehat{\mathbf{x}}_i\rangle)|,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $\eta_i=a_i/(2k_i)$, $i=1,2,3$, – параметр Зоммерфельда, $a_i$ – постоянная кулоновского парного потенциала. Учитывая асимптотику вырожденной гипергеометрической функции $\Phi(a,c,z)$ при больших аргументах [14], придем к асимптотическому описанию искаженных волн в виде так называемого ВВК-приближения [9]:
$$
\begin{equation}
\Psi^{BBK}\sim e^{i\langle\mathbf{P},\mathbf{X}\rangle}\prod_{i=1}^3 \Phi\bigl(-i\eta_i,1,ik_ix_i(1- \langle\widehat{\mathbf{k}}_i,\widehat{\mathbf{x}}_i\rangle)\bigr).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Если при этом ни в одной из парных подсистем не выполняется условие вида (1), невязка $Q$ приближенного решения $\Psi^{BBK}$ убывает как величина $o(R^{-1})$, т.е. быстрее кулоновского потенциала [2], [12]. Нетрудно проверить, что в этом случае функция (5) удовлетворяет условиям (3), использованным при выводе градиентного уравнения. Отметим, что, как было показано в [12], утверждение о скорости убывания невязки быстрее кулоновского потенциала остается справедливым и в случае, когда условие вида (1) выполняется лишь в одной из парных подсистем, хотя и существенно ослабляется и не работает в предельной ситуации. В окрестности же трехчастичного направления рассеяния вперед, как уже было сказано выше, ситуация меняется. А именно, все аргументы
$$
\begin{equation}
\varpi_i\equiv x_i(1- \langle\widehat{\mathbf{k}}_i,\widehat{\mathbf{x}}_i\rangle),\qquad i=1,2,3,
\end{equation}
\tag{7}
$$
фазовой функции (5) при условиях
$$
\begin{equation*}
x_i\to \infty, \qquad \widehat{\mathbf{x}}_i\to \widehat{\mathbf{k}}_i
\end{equation*}
\notag
$$
становятся произведением бесконечно большой и бесконечно малой величин. Фазовая функция (5) в этом случае уже не удовлетворяет условиям (3), утверждение о скорости убывания невязки приближения искаженных плоских волн (6) оказывается не справедливым, а само выражение (6) в окрестности трехчастичного направления рассеяния вперед уже не может рассматриваться как удовлетворительное приближение для решения уравнения Шрёдингера. Нам представляется, что одним из естественных путей решения этой проблемы является переход к новым переменным, одной из которых и является выражение (7), а именно – к параболическим переменным. Следующим шагом на пути решения задачи должно стать асимптотическое разделение переменных с выделением быстрых и медленных степеней свободы. Стоит упомянуть, что точное деление переменных в кулоновской задаче двух тел происходит именно в параболических переменных [15], [16]. Реализации этой идеи и посвящены следующие разделы работы. 2. Постановка задачиМы рассматриваем квантовую задачу рассеяния трех трехмерных заряженных кулоновских частиц. Динамика системы определяется уравнением Шрёдингера
$$
\begin{equation}
H\Psi=E\Psi,\quad H=-\Delta_{\mathbf{x}}-\Delta_\mathbf{y}+V,\qquad \mathbf{x}\in \mathbb{R}^3,\quad \mathbf{y}\in \mathbb{R}^3,
\end{equation}
\tag{8}
$$
оператор $\Delta$ – оператор Лапласа–Бельтрами в пространстве $\mathbb{R}^3$. Здесь полный потенциал взаимодействия $V$ определен как сумма парных потенциалов В свою очередь, парные потенциалы определяются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
v_i(x_i)=\frac{a_i}{|x_i|}\,,\qquad a_i=\sqrt{2\mu_{jk}}\,Z_jZ_k,
\end{equation*}
\notag
$$
где постоянные $Z_j$, $j=1,2,3$, – заряды частиц, $\mu_{jk}=m_jm_k/(m_j+m_k)$ – приведенная масса в парной подсистеме с индексом $i$, постоянные $m_i$, $i=1,2,3$ – массы частиц в лабораторной системе координат. Индексы $(i,j,k)$ образуют четную перестановку чисел $(1,2,3)$. Пары координат Якоби $(\mathbf{x}_j,\mathbf{y}_j)$, $j=1,2,3$, отвечающие разным индексам, связаны преобразованием поворота. Фиксируя систему координат, например, $(\mathbf{x}_1,\mathbf{y}_1)$ – систему координат Якоби, связанную с парой частиц с индексом $i=1$, определим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbf{x}_2=-c_{21}\mathbf{x}_1+s_{21}\mathbf{y}_1,\qquad \mathbf{x}_3=-c_{31}\mathbf{x}_1-s_{31}\mathbf{y}_1, \\ c_{j1}=\sqrt{\frac{m_jm_1}{(m_1+m_k)(m_j+m_k)}}\,,\qquad s_{j1}=\sqrt{\frac{m_k(m_1+m_j+m_k)}{(m_1+m_k)(m_j+m_k)}}\,, \nonumber \\ j=2,3,\qquad k\ne 1,\qquad k\ne j. \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Отметим, что выполняется тождество 2.1. Специфика задачиОтметим, что вектор $\mathbf{y}_1$ лежит в малой угловой окрестности фиксированного направления $\widehat{\mathbf{p}}$. Это непосредственно следует из системы тождеств
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^3\frac{1}{\sqrt{\mu_{kl}}}\mathbf{x}_i=0,\qquad \sum_{i=1}^3\frac{1}{\sqrt{\mu_{kl}}}\mathbf{k}_i=0
\end{equation*}
\notag
$$
и подобия треугольника со сторонами $(1/\sqrt{\mu_{kl}})\mathbf{x}_i$, $i=1,2,3$, и треугольника со сторонами $(1/\sqrt{\mu_{kl}})\mathbf{k}_i$, $i=1,2,3$. Введем сферическую систему координат, связывая ось $Z$ с направлением $\widehat{\mathbf{p}}$:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{y}_1=\begin{pmatrix} y_1\sin\theta_p\cos\varphi_p \\ y_1\sin\theta_p\sin\varphi_p \\ y_1\cos\theta_p \end{pmatrix},\qquad y_1\gg 1,\quad \theta_p\ll 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, вектор $\widetilde{\mathbf{x}}_1$ лежит в малой угловой окрестности фиксированного направления $\widehat{\mathbf{k}}$. Введем сферическую систему координат, связывая ось $Z$ с направлением $\widehat{\mathbf{k}}$:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathbf{x}}_1=\begin{pmatrix} x_1\sin\theta_k\cos\varphi_k \\ x_1\sin\theta_k\sin\varphi_k \\ x_1\cos\theta_k \end{pmatrix},\qquad x_1\gg 1,\quad \theta_k\ll 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим также, что две введенные системы сферических координат связаны поворотом осей $Z$ на угол $\sigma\equiv \langle\widehat{\mathbf{p}},\widehat{\mathbf{k}}\rangle$. А именно:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{x}_1=U\widetilde{\mathbf{x}}_1,\qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\sigma & -\sin\sigma \\ 0 & \sin\sigma & \cos\sigma \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливы следующие оценки:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \langle\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_1\rangle=x_1^2+O(|\theta_k|), \qquad \langle\mathbf{y}_1,\mathbf{y}_1\rangle=y_1^2+O(|\theta_p|), \\ \langle\mathbf{x}_1,\mathbf{y}_1\rangle= \langle\widetilde{\mathbf{x}}_1,\mathbf{y}_1\rangle+ O(|\theta_k|)+O(|\theta_p|). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Вернемся теперь к явному виду полного потенциала (9):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V&=\sum_{i=1}^3\frac{a_i}{x_i}=\frac{a_1}{x_1}+ \frac{a_2}{|-c_{21}\mathbf{x}_1+s_{21}\mathbf{y}_1|}+ \frac{a_3}{|-c_{31}\mathbf{x}_1-s_{31}\mathbf{y}_1|} \nonumber \\ &=\frac{a_1}{x_1}+\frac{a_2}{\sqrt{\langle-c_{21}\mathbf{x}_1+ s_{21}\mathbf{y}_1,-c_{21}\mathbf{x}_1+s_{21}\mathbf{y}_1\rangle}}+ \frac{a_3}{\sqrt{\langle-c_{31}\mathbf{x}_1-s_{31}\mathbf{y}_1, -c_{31}\mathbf{x}_1-s_{31}\mathbf{y}_1\rangle}} \nonumber \\ &=\frac{a_1}{x_1}+\frac{a_2}{\sqrt{c_{21}^2x_1^2+s_{21}^2y_1^2- 2c_{21}s_{21}\langle\mathbf{x}_1,\mathbf{y}_1\rangle}}+ \frac{a_3}{\sqrt{c_{31}^2x_1^2+s_{31}^2y_1^2+ 2c_{31}s_{31}\langle\mathbf{x}_1,\mathbf{y}_1\rangle}}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Согласно приведенным выше оценкам (11) сумма парных потенциалов в старшем порядке не зависит от малых параметров $|\theta_k|$ и $|\theta_p|$. 3. Структура оператора ГамильтонаДля описания оператора Гамильтона (8) воспользуемся параболической системой координат, что является естественным, исходя из специфики данной задачи. Введем координаты в пространстве $\mathbb{R}_x^3$:
$$
\begin{equation*}
\zeta=x_1-\langle\mathbf{x}_1,\widehat{\mathbf{k}}\rangle,\qquad \eta=x_1+\langle\mathbf{x}_1,\widehat{\mathbf{k}}\rangle,\qquad \varphi_x=\varphi_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор Лапласа в параболических координатах принимает вид
$$
\begin{equation*}
\Delta_{\mathbf{x}_1}\Psi=\frac{4}{\zeta+\eta}\, \frac{\partial\Psi}{\partial\zeta}+ \frac{4}{\zeta+\eta}\zeta\,\frac{\partial^2\Psi}{\partial\zeta^2}+ \frac{4}{\zeta+\eta}\,\frac{\partial\Psi}{\partial\eta}+ \frac{4}{\zeta+\eta}\eta\,\frac{\partial^2\Psi}{\partial\eta^2}+ \frac{1}{\zeta\eta}\,\frac{\partial^2\Psi}{\partial\varphi_x^2}\,.
\end{equation*}
\tag{13}
$$
Аналогично введем координаты в пространстве $\mathbb{R}_y^3$:
$$
\begin{equation*}
v=y_1-\langle \mathbf{y}_1,\widehat{\mathbf{p}}\rangle,\qquad u=y_1+\langle \mathbf{y}_1,\widehat{\mathbf{p}}\rangle,\qquad \varphi_y=\varphi_p.
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор Лапласа принимает вид
$$
\begin{equation}
\Delta_{\mathbf{y}_1}\Psi= \frac{4}{v+u}\,\frac{\partial\Psi}{\partial v}+ \frac{4}{v+u}v\,\frac{\partial^2\Psi}{\partial v^2}+ \frac{4}{v+u}\,\frac{\partial\Psi}{\partial v}+ \frac{4}{v+u}u\,\frac{\partial^2\Psi}{\partial u^2}+ \frac{1}{vu}\,\frac{\partial^2\Psi}{\partial\varphi_y^2}\,.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Примем во внимание, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x_1=\frac{\eta+\zeta}{2}\,,\qquad y_1=\frac{u+v}{2}\,, \\ \eta\gg\zeta,\qquad u\gg v,\qquad R\equiv \frac{1}{2}\sqrt{\eta^2+u^2}\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В этом приближении полный потенциал взаимодействия (9)–(12) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V&=\frac{2a_1}{\eta}+\frac{2a_2}{\sqrt{c_{21}^2\eta^2+s_{21}^2 u^2- 2c_{21}s_{21}\cos(\sigma)\eta u }}+ \frac{2a_3}{\sqrt{c_{31}^2\eta^2+s_{31}^2 u^2+ 2c_{31}s_{31}\cos(\sigma)\eta u }} \nonumber \\ &\qquad+O\biggl(\frac{\zeta}{R^2}\biggr)+ O\biggl(\frac{v}{R^2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Уравнение Шрёдингера в старшем порядке запишем следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-\frac{\partial^2\Psi}{\partial\eta^2}- \frac{\partial^2\Psi}{\partial u^2}- \frac{1}{\eta}\,\frac{\partial\Psi}{\partial\eta}- \frac{1}{u}\,\frac{\partial\Psi}{\partial u} -\frac{1}{\eta}K_{\zeta\varphi}\Psi -\frac{1}{u}K_{v\varphi_y}\Psi \nonumber \\ &\qquad+\frac12\biggl[\frac{a_1}{\eta}+ \frac{a_2}{\sqrt{c_{21}^2\eta^2+s_{21}^2 u^2- 2c_{21}s_{21}\cos(\sigma)\eta u}} \nonumber \\ &\qquad\qquad \hphantom{\frac12\biggl[} +\frac{a_3}{\sqrt{c_{31}^2\eta^2+s_{31}^2 u^2+ 2c_{31}s_{31}\cos(\sigma)\eta u }}\biggr]\Psi= \frac{1}{4} E\Psi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
Мы использовали следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
K_{\zeta\varphi_x}\equiv \frac{\partial}{\partial\zeta}+ \zeta\frac{\partial^2}{\partial\zeta^2}+ \frac{1}{\zeta}\,\frac{\partial^2}{\partial\varphi_x^2}\,,\qquad K_{v\varphi_y}\equiv \frac{\partial}{\partial v}+ v\frac{\partial^2}{\partial v^2}+ \frac{1}{v}\,\frac{\partial^2}{\partial\varphi_y^2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
на чем описание оператора Гамильтона завершается.
4. Построение решенияЗаметим, что в старшем порядке решение уравнения Шрёдингера (8) допускает разделение переменных в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\Psi(\eta,\zeta,\varphi_x,u,v,\varphi_y)= \chi(\zeta)\Phi(\varphi_x)\Upsilon(v)\Theta(\varphi_y) \Omega(\eta,u).
\end{equation}
\tag{17}
$$
Предполагая, что уравнение (16) является тождеством для любого набора переменных, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\frac{\partial^2\Omega}{\partial\eta^2}- \frac{\partial^2\Omega}{\partial u^2}- \frac{1}{\eta}\,\frac{\partial\Omega}{\partial\eta}- \frac{1}{u}\,\frac{\partial\Omega}{\partial u}-\frac{1}{\eta} \mathop{\underbrace{\frac{1}{\chi} \biggl(\zeta\frac{\partial^2\chi}{\partial\zeta^2}+ \frac{\partial\chi}{\partial\zeta}+\frac{1}{\zeta} \mathop{\underbrace{\frac{1}{\Phi}\,\frac{\partial^2\Phi} {\partial\varphi_{x}^2}}}\limits_{=-m_1^2} \chi\biggr)}}\limits_{=\lambda_1}\Omega \\ &\qquad-\frac{1}{u} \mathop{\underbrace{\frac{1}{\Upsilon} \biggl(v\frac{\partial^2\Upsilon}{\partial v^2}+ \frac{\partial\Upsilon}{\partial v}+\frac{1}{v} \mathop{\underbrace{\frac{1}{\Theta}\, \frac{\partial^2\Theta}{\partial\varphi_{y}^2}}}\limits_{=-m_2^2} \Upsilon\biggr)}}\limits_{=\lambda_2}\Omega \\ &\qquad+\frac12\biggl[\frac{a_1}{\eta}+ \frac{a_2}{\sqrt{c_{21}^2\eta^2+s_{21}^2 u^2- 2c_{21}s_{21}\cos(\sigma)\eta u}} \\ &\qquad\qquad\hphantom{\frac12\biggl[}+\frac{a_3}{\sqrt{c_{31}^2\eta^2+s_{31}^2 u^2+ 2c_{31}s_{31}\cos(\sigma)\eta u}}\biggr]\Omega= \frac{1}{4}E\Omega, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $m_j$, $\lambda_j$, $j=1,2$, – набор постоянных, возникающих при делении переменных. Окончательно, связь этих постоянных определяется следующим уравнением:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\frac{1}{\Omega}\biggl\{\frac{\partial^2\Omega}{\partial\eta^2}+ \frac{\partial^2\Omega}{\partial u^2}+\frac{1}{\eta}\, \frac{\partial\Omega}{\partial\eta}+\frac{1}{u}\, \frac{\partial\Omega}{\partial u}\biggr\}-\frac{\lambda_1}{\eta}- \frac{\lambda_2}{u} \\ &\qquad+\frac{1}{2}\biggl[\frac{a_1}{\eta}+ \frac{a_2}{\sqrt{c_{21}^2\eta^2+s_{21}^2 u^2- 2c_{21}s_{21}\cos(\sigma)\eta u }} \\ &\qquad\qquad\hphantom{\frac{1}{2}\biggl[}+\frac{a_3}{\sqrt{c_{31}^2\eta^2+s_{31}^2 u^2+ 2c_{31}s_{31}\cos(\sigma)\eta u }}\biggr]=\frac{1}{4}E. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В приведенных уравнениях мы налагаем естественные условия периодичности
$$
\begin{equation*}
\Phi(\varphi_x+2\pi)=\Phi(\varphi_x),\qquad \Theta(\varphi_y+2\pi)=\Theta(\varphi_y).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, описанная выше процедура разделения переменных ведет к следующей системе уравнений:
$$
\begin{equation}
-\frac{d^2}{d\varphi_x^2}\Phi(\varphi_x)=m_1^2\Phi(\varphi_x),\quad m_1\in \mathbb{Z},\qquad \Phi(\varphi_x)=C_1\cos(m_1\varphi_x)+C_2\sin(m_1\varphi_x),
\end{equation}
\tag{18}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\zeta\,\frac{d^2}{d\zeta^2}+\frac{d}{d\zeta}- \frac{m_1^2}{\zeta}\biggr)\chi(\zeta)=\lambda_1\chi(\zeta),
\end{equation}
\tag{19}
$$
$$
\begin{equation}
-\frac{d^2}{d\varphi_y^2}\Theta(\varphi_y)= m_2^2\Theta(\varphi_y),\quad m_2\in\mathbb{Z},\qquad \Theta(\varphi_y)=B_1\cos(m_2\varphi_y)+B_2\sin(m_2\varphi_y),
\end{equation}
\tag{20}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(v\frac{d^2}{d v^2}+\frac{d}{d v}- \frac{m_2^2}{v}\biggr)\Upsilon(v)=\lambda_2\Upsilon(v),
\end{equation}
\tag{21}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-\frac{\partial^2\Omega}{\partial\eta^2}- \frac{\partial^2\Omega}{\partial u^2}- \frac{1}{\eta}\,\frac{\partial\Omega}{\partial\eta}- \frac{1}{u}\,\frac{\partial\Omega}{\partial u}- \frac{\lambda_1}{\eta}\Omega-\frac{\lambda_2}{u}\Omega \nonumber \\ &\qquad+\frac{1}{2}\biggl[\frac{a_1}{\eta}+ \frac{a_2}{\sqrt{c_{21}^2\eta^2+s_{21}^2 u^2- 2c_{21}s_{21}\cos(\sigma)\eta u}} \nonumber \\ &\qquad\qquad\hphantom{\frac{1}{2}\biggl[}+\frac{a_3}{\sqrt{c_{31}^2\eta^2+s_{31}^2 u^2+ 2c_{31}s_{31}\cos(\sigma)\eta u}}\biggr]\Omega= \frac{1}{4}E\Omega. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Анализ полученной системы уравнений мы начнем с построения части решения, отвечающей асимптотически малым степеням свободы. 4.1. Часть решения, отвечающая асимптотически малым степеням свободыДальнейший анализ различает два основных случая. 1) Предположим вначале, что Отметим, что уравнения (19) и (21) в приближении $\zeta\ll 1$, $v\ll 1$ в старшем порядке являются уравнениями Эйлера:
$$
\begin{equation*}
\zeta^2\,\frac{d^2\chi}{d\zeta^2}+\zeta\,\frac{d\chi}{d\zeta}- m_1^2\chi=0, \qquad v^2\,\frac{d^2\Upsilon}{d v^2}+v\,\frac{d\Upsilon}{d v} -m_2^2\Upsilon=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Их решения принимают вид
$$
\begin{equation}
\chi(\zeta)=A_1\zeta^{-m_1}+O(\zeta^{m_1}),\qquad \Upsilon(v)=A_2 v^{-m_2}+O(v^{m_2}).
\end{equation}
\tag{23}
$$
Условие локальной квадратичной интегрируемости функции $\Psi$ накладывает ограничения Переход от пары трехмернх декартовых координат Якоби $(\mathbf{x},\mathbf{y})$ к новой паре трехмерных параболических координат ведет к появлению Якобиана в интеграле вида по любой ограниченной области $\Omega$. Структура Якобиана могла бы частично компенсировать особенности решения и, таким образом, сохранить и в особой окрестности трехчастичного направления рассеяния вперед локальную квадратичную интегрируемость. Этого не происходит, поскольку, например, Якобиан ${D(x,y,z)}/{D(\eta,\zeta,\varphi)}$ принимает вид
$$
\begin{equation*}
\frac{D(x,y,z)}{D(\eta,\zeta,\varphi)}=\frac{1}{4}(\eta+\zeta).
\end{equation*}
\notag
$$
2) Предположим теперь, что В этом случае возникают уравнения вида
$$
\begin{equation}
\zeta\,\frac{d^2\chi}{d\zeta^2}+\frac{d\chi}{d\zeta} = \lambda_1\chi,
\end{equation}
\tag{24}
$$
$$
\begin{equation}
v\,\frac{d^2\Upsilon}{d v^2}+\frac{d\Upsilon}{d v} = \lambda_2\Upsilon(v).
\end{equation}
\tag{25}
$$
В этой ситуации также возникают два возможных случая. (а) Полагая приходим к уравнениям Эйлера. Их решения имеют вид
$$
\begin{equation}
\chi(\zeta)=A_1\ln|\zeta|+B_1,\qquad \Upsilon(v)=A_2\ln|v|+B_2.
\end{equation}
\tag{26}
$$
(б) Предположим теперь, что В этом случае ищем решения исходных уравнений (24)–(25). Рассмотрим, например, уравнение (24) и сделаем замену переменных $\chi(\zeta)=\zeta^\rho f(\zeta)$, где $\rho$ – произвольный параметр, а $f(\zeta)$ – неизвестная функция:
$$
\begin{equation*}
\rho^2\zeta^{\rho-1}f(\zeta)+\zeta^{\rho+1}f''(\zeta)+ (2\rho+1)\zeta^\rho f'(\zeta)=\lambda_1 \zeta^{\rho}f(\zeta).
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $\rho=-1/2$ и избавляясь таким образом от производной первого порядка, приходим к уравнению для функции $f(\zeta)$: Это уравнение может интерпретироваться как некоторое двухчастичное парциальное кулоновское уравнение
$$
\begin{equation}
-\frac{d^2U}{dr^2}+\biggl(\frac{\alpha}{r}+ \frac{l(l+1)}{r^2}\biggr)U=q^2U
\end{equation}
\tag{28}
$$
с нецелым и отрицательным угловым моментом $l=-1/2$ и бесконечно малой энергией $q^2\ll 1$. В дальнейшем мы рассмотрим предел при $q\to 0$. Следуя известной схеме решения уравнения (28), сделаем замену переменной в уравнении
$$
\begin{equation}
-\widetilde{f}''+\frac{\lambda_1}{\zeta}\widetilde{f}- \frac{1}{4\zeta^2}\widetilde{f}=q^2\widetilde{f},
\end{equation}
\tag{29}
$$
ассоциированном с уравнением (27):
$$
\begin{equation*}
\widetilde{f}(\zeta)=\zeta^{l+1}w(\zeta)e^{iq\zeta},\qquad l=-\frac{1}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Для функции $w(\zeta)$ получится уравнение Сравнивая это уравнение с уравнением для вырожденной гипергеометрической функции [17] получим, что
$$
\begin{equation*}
w(\zeta)=\Phi\biggl(\frac{1}{2}+ i\frac{\lambda_1}{2q}\,,1,-2iq\zeta\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Окончательно, решение уравнения (29) принимает вид
$$
\begin{equation}
\widetilde{f}(\zeta)={\zeta}^{l/2}e^{iq\zeta} \Phi\biggl(\frac{1}{2}+i\frac{\lambda_1}{2q}\,,1,-2iq\zeta\biggr).
\end{equation}
\tag{30}
$$
Наконец, воспользуемся разложением в ряд вырожденной гипергеометрической функции
$$
\begin{equation*}
\Phi(a,b,z)=1+\frac{a}{b}z+\frac{a(a+1)}{b(b+1)}\,\frac{z^2}{2!}+ \frac{a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)}\,\frac{z^3}{3!}+\cdots
\end{equation*}
\notag
$$
и перейдем к пределу при $q\to 0$. Эта процедура ведет к решению уравнения (27):
$$
\begin{equation}
f(\zeta)={\zeta}^{l/2}G(\lambda_1\zeta),\qquad G(\lambda_1\zeta)=\begin{cases} I_0(2\sqrt{|\lambda_1|\zeta}\,), & \lambda_1>0, \\ J_0(2\sqrt{|\lambda_1|\zeta}\,), & \lambda_1<0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{31}
$$
Здесь $I_0(z)$ и $J_0(z)$ – функции Бесселя [17]. Возвращаясь к уравнению (24), получаем
$$
\begin{equation}
\chi(\zeta)\equiv G(\lambda_1\zeta)=\begin{cases} I_0(2\sqrt{|\lambda_1|\zeta}\,), & \lambda_1>0, \\ J_0(2\sqrt{|\lambda_1|\zeta}\,), & \lambda_1<0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{32}
$$
Отметим, что решение (32) уравнения (24) можно получить и стандартным способом, пользуясь, например, теорией уравнений класса Фукса. Однако, выбранный нами путь позволяет построить общее решение уравнения (24), опираясь на частный случай кулоновского “парциального” уравнения с полуцелым отрицательным моментом и нулевой энергией. Эта ситуация, как нам кажется, близка физике описываемых здесь процессов. Рассмотрим теперь уравнение (25). Его решение, аналогично сказанному выше, имеет вид
$$
\begin{equation}
\Upsilon(v)\equiv F(\lambda_2 v)=\begin{cases} I_0(2\sqrt{|\lambda_2|v}\,), & \lambda_2>0, \\ J_0(2\sqrt{|\lambda_2|v}\,), & \lambda_2<0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{33}
$$
На этом мы завершаем построение части решения исходной задачи рассеяния, отвечающее асимптотически малым степеням свободы системы трех заряженных частиц в окрестности направления рассеяния вперед. Заметим, что в предельной ситуации, когда переменные $\zeta$ и $v$ оказываются малыми, моменты вращения $m_1$ и $m_2$ могут отождествляться с вращением относительно собственных осей вращения частиц и, тем самым, со спиновыми степенями свободы системы. Поскольку в нашем приближении спиновые степени свободы частиц не учитываются, вполне естественно ограничить рассмотрение случаем, когда $m_i=0$, $i=1,2$, и системой решений (26) или (33)–(33). Возможны, конечно, и различные комбинации этих ситуаций. В этом случае функция $\Psi$ становится локально квадратично интегрируемой. Отметим также, что если вспомнить определение $\Psi$ как обобщенных собственных функций абсолютно непрерывного спектра оператора Шрёдингера (8), то можно отказаться от требования локальной квадратичной интегрируемости. В этом случае все описанные выше варианты построения функций $\chi(\zeta)$ и $\Upsilon(v)$ оказываются справедливыми. 4.2. Часть решения, отвечающая асимптотически большим степеням свободыВернемся теперь к построению части решения, отвечающей асимптотически большим степеням свободы частиц, а именно – к уравнению (22) для функции $\Omega(\eta,u)$. По-прежнему справедливо уравнение Заметим, что уравнение (22) напоминает уравнение Шрёдингера
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -\frac{\partial^2\Omega}{\partial\eta^2}- \frac{\partial^2\Omega}{\partial u^2} &+\frac12\biggl[\frac{a_1}{\eta}+ \frac{a_2}{\sqrt{c_{21}^2\eta^2+s_{21}^2 u^2- 2c_{21}s_{21}\eta u }} \nonumber \\ &\qquad\hphantom{\frac12\biggl[}+\frac{a_3}{\sqrt{c_{31}^2\eta^2+s_{31}^2 u^2+ 2c_{31}s_{31}\eta u }}\biggr]\Omega=\frac{1}{4}E\Omega, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{34}
$$
описывающее динамику кулоновской задачи рассеяния трех одномерных квантовых частиц с парой координат Якоби $(\eta,u)$, $\eta>0$, $u>0$, которые и являются асимптотически большими координатами исходной задачи. Такая интерпретация представляется не противоречивой, учитывая что в исходной постановке задачи трехчастичное направление рассеяния вперед действительно в одной из возможных реализаций предполагает локализацию трехмерных частиц вдоль выделенной оси. С другой стороны, уравнение (22) содержит в левой части члены, содержащие производные первого порядка:
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\eta}\,\frac{\partial\Omega}{\partial\eta}+ \frac{1}{u}\,\frac{\partial\Omega}{\partial u}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти члены, однако, имеют асимптотически малые множители: $1/\eta$, $1/u$. Отметим также наличие множителя $\cos\sigma$, появление которого не оправдано в рамках задачи рассеяния трех одномерных заряженных квантовых частиц. Наконец, левая часть уравнения (22) содержит слагаемые, которые можно интерпретировать как эффективные кулоновские сдвиги:
$$
\begin{equation*}
\frac{\lambda_1}{\eta}\Omega+\frac{\lambda_2}{u}\Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Наличие таких эффективных сдвигов было оправдано в предыдущем разделе при обсуждении уравнений вида (27). Динамика системы, связанная с “медленными” степенями свободы $\eta$ и $u$, определяется подстановкой
$$
\begin{equation}
\Omega(\eta,u)= \exp\biggl(\frac i2k\eta+\frac i2pu+iW(\eta,u,\lambda_1,\lambda_2)\biggr).
\end{equation}
\tag{35}
$$
Медленно меняющаяся функция $W$ удовлетворяет следующим свойствам:
$$
\begin{equation*}
|\nabla W|^2=O\biggl(\frac{1}{R^2}\biggr),\qquad |\Delta W|=O\biggl(\frac{1}{R^2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае градиентное уравнение для функции $W(\eta,u)$ принимает вид
$$
\begin{equation}
\langle\mathbf{P},\nabla W\rangle=-V+\frac{i}{2\eta}k+\frac{i}{2u}p+ \frac{2\lambda_1}{\eta}+\frac{2\lambda_2}{u}\,.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Мы используем здесь обозначения
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}=\begin{pmatrix} k \\ p \end{pmatrix},\qquad \nabla W=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial W}{\partial \eta} \\ \dfrac{\partial W}{\partial u} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Потенциал взаимодействия частиц в системе определен в выражении (9). Сравним формально структуру уравнений (36) и (4). Помимо различия в размерности дифференциального оператора, у этих уравнений имеется ряд структурных отличий. Появление второго и третьего слагаемых в правой части уравнения (36) обусловлено присутствием первых производных в левой части уравнения (22). Как мы увидим далее, эти члены приведут к затуханию решения исходной задачи на бесконечности. Четвертое и пятое слагаемые в правой части уравнения (36) обусловлены наличием эффективного кулоновского сдвига, обсуждавшегося выше. Применяя метод характеристик для решения уравнения (36), приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dfrac{d\eta}{ds}=k, \\ \dfrac{du}{ds}=p, \\ \dfrac{dW}{ds}=D(\eta,u). \end{cases}
\end{equation}
\tag{37}
$$
Функция $D(\eta,u)$ совпадает с правой частью уравнения (36). Решение первых двух уравнений системы имеет элементарный вид где $s$ меняется на интервале $[s_0,S]$. Величины $ks_0+l$ и $ps_0+d$ принадлежат семейству кривых, определяющих некоторую начальную нехарактеристическую поверхность, параметр $S$ удовлетворяет соотношению $S\gg 1$.Интегрируя последнее уравнение системы (37) вдоль характеристик, получаем
$$
\begin{equation*}
W=i\frac{1}{2}\ln|\eta|+i\frac{1}{2}\ln|u|- \frac{\widetilde{a}_1}{2k}\ln|S|- \frac{\widetilde{a}_2}{2k_2}\ln|S|- \frac{\widetilde{a}_3}{2k_3}\ln|S|+O(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы принимаем здесь во внимание соотношения
$$
\begin{equation*}
\mathbf{k}_2=-c_{21}\mathbf{k}+s_{21}\mathbf{p},\qquad \mathbf{k}_3=-c_{31}\mathbf{k}-s_{31}\mathbf{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значок $\widetilde{}$ в обозначении постоянных Зоммерфельда обозначает возможный сдвиг (экранирование) зарядовых переменных при ненулевых значениях постоянных $\lambda_j$, $j=1,2$. Подставляя полученный результат в выражение (35) и учитывая, что в рассматриваемой предельной ситуации
$$
\begin{equation*}
\eta=2x_1,\qquad u=2y_1,\qquad x_1=\frac{k}{\sqrt{E}}R,\qquad y_1=\frac{p}{\sqrt{E}}R,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation}
\Omega\sim R^{-1} \exp\biggl(ikx_1+ipy_1-i\frac{\widetilde{a}_1}{2k}\ln R- i\frac{\widetilde{a}_2}{2k_2}\ln R-i\frac{\widetilde{a}_3}{2k_3}\ln R\biggr)= \frac{e^{i\sqrt{E}\,R+i\widetilde{\Lambda}\ln R}}{R}\,,
\end{equation}
\tag{38}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\Lambda}=\sum_{i=1}^3\frac{\widetilde{a}_i}{2k_i}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что полученное убывание решения на бесконечности в особом направлении $R^{-1}$ не совпадает с хорошо известным убыванием шестимерной расходящейся волны вида $R^{-5/2}$. Сформулируем теперь окончательное утверждение. Теорема 1. Решение трехчастичного кулоновского уравнения Шрёдингера (8) при условии локальной квадратичной интегрируемости в области конфигурационного пространства В случае, когда $\lambda_1\ne 0$, $\lambda_2\ne 0$ асимптотика решения в данной области конфигурационного пространства определяется спецфункциями – решениями уравнений вида (27):
$$
\begin{equation}
\Psi\sim G(\lambda_1\zeta)F(\lambda_2 v) \frac{e^{i\sqrt{E}\,R+i\widetilde{\Lambda}\ln R}}{R}\,.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Здесь эффективный параметр Зоммерфелда $\widetilde{\Lambda}$ учитывает “смещение заряда” при ненулевых параметрах $\lambda_j$, $j=1,2$, а функции $G$ и $F$ были описаны выше в уравнениях (32), (33). 5. ЗаключениеОтметим, что структура решения уравнения Шрёдингера типа искаженной плоской волны $\Psi$ в окрестности трехчастичного направления рассеяния вперед формируется согласно (17) и уравнениям (18), (20), (26), (38). Все постоянные, возникшие при построении решения, должны быть фиксированы из условий гладкого согласования с решением типа $\Psi^{BBK}$, справедливым, как обсуждалось выше, вне малой угловой окрестности трехчастичного направления рассеяния вперед. Отметим, также, что построенное нами решение справедливо в области, удовлетворяющей условиям $\zeta\ll 1$, $v\ll 1$. Даже в случае ограниченных значений переменных $\zeta$ и $v$ решение уравнений (19), (21) становится уже значительно более сложным. Тем не менее, оно описывается в терминах спецфункций – решений уравнений вида (27). Для согласования полученного нами решения с решением $\Psi^{BBK}$ необходимо допустить рост переменных $\zeta$ и $v$, хотя и подчиненный росту переменных $\eta$ и $u$ соответственно. Данный анализ может являться предметом отдельного исследования. В этом случае необходимо допустить слабую зависимость потенциала от малых переменных, как это описано в первой части работы. Нам представляется существенной возможность сравнить на качественном уровне эффективное уравнение (22) для части решения, зависящей от асимптотически больших переменных $\eta$, $u$, и уравнение (34), описывающее динамику в системе трех одномерных заряженных квантовых частиц. Это наблюдение демонстрирует, с одной стороны, близость решения задачи рассеяния трех трехмерных заряженных квантовых частиц в окрестности трехчастичного направления рассеяния вперед и решения задачи рассеяния трех одномерных заряженных квантовых частиц. В частности, фазовая функция имеет существенно аналогичное поведение в обоих задачах [18], [19]. С другой стороны, мы наблюдаем существенные отличия, в частности – степенное затухание как $1/R$ решения на бесконечности и описание динамики быстрых степеней свободы с помощью специальных функций. Несмотря на отмеченные выше замечания, полученный в данной работе результат позволяет продолжить решение типа $\Psi^{BBK}$ в специальную область конфигурационного пространства, решение в которой оставалось, насколько нам известно, подробно не описанным. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BudLev23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|