| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Краткие сообщения Бифуркации в логистическом уравнении с диффузией и запаздыванием в граничном условии С. А. Кащенко, А. О. Толбей Региональный научно-образовательный математический центр при Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050292 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеРассмотрим хорошо известное (см., например, [1]–[4]) логистическое уравнение с запаздыванием, диффузией и краевыми условиями Неймана
$$
\begin{equation}
\frac{\partial v}{\partial t}=-r v(t-T, x)[1+v]+d \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}, \qquad d>0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=0}=0, \qquad \frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=1}=0.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Здесь $t \ge t_0$, $x \in [0, 1]$. Принято считать, что функция $u=1+v$ описывает динамику изменения плотности популяции, поэтому $u(t)\ge 0$. Параметр $r$ называют мальтузианским коэффициентом. При значениях $r$, близких к $\pi/2$, наблюдается бифуркация Андронова–Хопфа. Асимптотика соответствующего цикла приведена в [5]–[8]. При $r \gg 1$ в (1), (2) имеются релаксационные циклы. Они исследованы в [9]. В [10] уравнение (1) изучалось с более общими краевыми условиями
$$
\begin{equation}
\frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=0}=k_1 v|_{x=0}, \qquad \frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=1}=k_2 v|_{x=1}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Были определены значения параметров, при которых в (1), (3) возникают критические случаи в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия и для исследования всех решений в окрестности этого состояния равновесия были построены соответствующие нормальные формы. Здесь предполагается, что в граничных условиях для (1) присутствует параметр запаздывания $h>0$:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=0}=0, \qquad \frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=1}=\alpha v(t-h, 1).
\end{equation}
\tag{4}
$$
В настоящей работе рассматривается вопрос о роли параметра $h$ в бифуркационной задаче Андронова–Хопфа при изучении поведения решений (1), (4) из некоторой окрестности нулевого состояния равновесия. Основные предположения, которые открывают путь к применению аналитических методов исследования, состоят в том, что выполнено равенство и параметр $\alpha$ является достаточно малым: для некоторого фиксированного $\alpha_1$ имеем соотношение
$$
\begin{equation}
\alpha=\varepsilon \alpha_1, \qquad\text{где}\quad 0<\varepsilon \ll 1.
\end{equation}
\tag{6}
$$
При $\varepsilon=0$ характеристическое уравнение линеаризованной в нуле краевой задачи (1), (4) имеет вид
$$
\begin{equation}
\lambda=-4 \pi^2dk^2-r\exp(-\lambda T), \qquad k=0, \pm 1, \pm 2, \dotsc\,.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Условие (5) означает, что при $k=0$ в (7) имеется пара чисто мнимых корней $\pm i \pi (2T)^{-1}$, а все остальные корни (7) имеют отрицательные вещественные части. Тем самым, в окрестности нуля краевой задачи (1), (4) имеется [11]–[14] локальное двумерное инвариантное интегральное многообразие, на котором эту краевую задачу можно с точностью до $o(1)$ записать в виде скалярного комплексного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка – нормальной формы Здесь $\tau=\varepsilon t$ – “медленное” время. Функции $\xi(\tau)$ связаны с решениями (1), (4) асимптотическим равенством
$$
\begin{equation}
v=\varepsilon^{1/2}v_1(t, \tau)+\varepsilon v_2(t, \tau, x)+\varepsilon^{3/2} v_3(t, \tau, x)+\dotsb,
\end{equation}
\tag{9}
$$
где
$$
\begin{equation}
v_1(t, \tau)=\xi(\tau)\exp\bigl( i \pi (2T)^{-1}t\bigr)+\overline{\xi}(\tau) \exp \bigl( -i \pi (2T)^{-1}t \bigr),
\end{equation}
\tag{10}
$$
а $v_j(t, \tau, x)$ $(4T)$-периодичны по $t$. Коэффициенты $a$, $b$ и функции $v_j(t, \tau, x)$ находятся в процессе применения алгоритма построения нормальной формы. После этого будут сделаны выводы о структуре решений (8), а значит, и краевой задачи (1), (4). В п. 3 все построения будут проведены для изучения близких к (4), но нелинейных граничных условий
$$
\begin{equation}
\frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=0}=0, \qquad \frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=1}=f(v(t-h, 1)),
\end{equation}
\tag{11}
$$
где Затем будет рассмотрена краевая задача (1), (11) в предположении, что величина запаздывания $h$ в граничном условии является достаточно большой: для некоторого фиксированного значения $h_1>0$ выполнено условие Этот случай существенно сложнее. Роль нормальной формы (8) будет играть распределенное уравнение с запаздыванием.
2. Построение нормальной формы для краевой задачи (1), (4)Подставим в (1), (4) формальное выражение (9) и будем последовательно приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$. На первом шаге, собирая коэффициенты при $\varepsilon^{1/2}$, получаем верное равенство. На следующем шаге находим, что
$$
\begin{equation*}
v_2(t, \tau)=\frac{2-i}{5}\xi^2 \exp(i \pi T^{-1}t)+\overline{cc}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и ниже через $\overline{cc}$ обозначено слагаемое, комплексно сопряженное к предыдущему. Собирая коэффициенты при $\varepsilon^{3/2}$, приходим к уравнению относительно $v_3$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial v_3}{\partial t} =d\frac{\partial^2 v_3}{\partial x^2} -rv_3(t-T, \tau, x)-rv_2(t-T, \tau)v_1-rv_1(t-T, \tau)v_2, \\ \frac{\partial v_3}{\partial x}\bigg|_{x=0} =0, \qquad \frac{\partial v_3}{\partial x}\bigg|_{x=1}=\alpha_1 v_1(t-h, \tau). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14}
$$
Эта краевая задача является линейной относительно $v_3$ и с периодическим воздействием, которое содержит гармоники по $t$
$$
\begin{equation*}
\exp (\pm i \pi (2T)^{-1}t) \qquad\text{и}\qquad \exp(\pm i \pi 3(2T)^{-1}t).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $v_3$ тоже ищем в виде суммы этих же гармоник с коэффициентами, зависящими от $\tau$ и $x$:
$$
\begin{equation*}
v_3(t, \tau, x)= v_{31}(\tau, x)\exp( i \pi (2T)^{-1}t)+\overline{cc}+v_{33}(\tau, x) \exp( 3i \pi (2T)^{-1}t)+\overline{cc}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $v_{33}(\tau, x)$ просто находится, а условие разрешимости соответствующего уравнения для $v_{31}(\tau, x)$ состоит в выполнении равенств
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2 v_{31}}{\partial x^2} -\biggl(1+i\frac{\pi}{2}\biggr)\frac{\partial \xi}{\partial \tau}+b\xi |\xi|^2=0,
\end{equation}
\tag{15}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial v_{31}}{\partial x}\bigg|_{x=0} =0, \qquad \frac{\partial v_{31}}{\partial x}\bigg|_{x=1}=\alpha_1 \exp( -i \pi h(2T)^{-1}) \xi(\tau),
\end{equation}
\tag{16}
$$
$$
\begin{equation}
b=-\frac{\pi}{2}(3\pi-2+i(\pi+6))\biggl(10\biggl(1+\frac{4}{\pi^2}\biggr)\biggr)^{-1}, \qquad \operatorname{Re} b<0.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Из (15) тогда получаем, что
$$
\begin{equation*}
v_{31}(\tau, x)=\frac{1}{2}x^2 \biggl[\biggl(1+i\frac{\pi}{2} \biggr) \frac{\partial \xi}{\partial \tau}+b\xi |\xi|^2 \biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
а из (16) окончательно приходим к уравнению относительно $\xi(\tau)$, т.е. к нормальной форме (8), где коэффициент $b$ определен равенством (17), а для коэффициента $a$ имеем равенство
$$
\begin{equation*}
a=\biggl(1+i\frac{\pi}{2}\biggr)^{-1}\alpha_1 \exp( -i \pi h (2T)^{-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что уравнение (8) интегрируется в явном виде. Приведем для примера наиболее интересное утверждение о решениях (8) и (1), (4). Теорема 1. Пусть $\operatorname{Re} a>0$ и $\operatorname{Re} b<0$. Тогда уравнение (8) имеет устойчивый цикл $\xi_0 \exp (i \varphi_0 \tau)$, где 3. Нормальная форма для краевой задачи (1), (11)Воспользуемся той же схемой построения нормальной формы из п. 2. Формальное выражение (9) подставим в (1), (11) и будем приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$. Функцию $v_2$ представляем в виде
$$
\begin{equation*}
v_2=v_{20}(x)|\xi|^2+[v_{21}+v_{22}(x)] \exp(i\pi T^{-1}t)+\overline{cc}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для определения $v_{2j}(x)$, $j=0, 1, 2$, получаем равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, dv^{''}_{20}-r v_{20}=0, \qquad v^{'}_{20}|_{x=0}=0, \qquad v^{'}_{20}|_{x=1}=2\beta, \qquad v_{21}=\frac{2-i}{5}, \\ dv^{''}_{22}-r(2i-1)v_{22}=-ir, \qquad v^{'}_{22}|_{x=0}=0, \qquad v^{'}_{22}|_{x=1}=\beta \exp(-i \pi T^{-1}h). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_{20}=2\beta \bigl( \operatorname{sh} ((rd^{-1})^{1/2})\bigr)^{-1} \operatorname{ch} \bigl((rd^{-1})^{1/2}x\bigr), \\ v_{22}=\beta \exp(-2\pi i T^{-1}h)\bigl( \operatorname{sh} ((2i-1) rd^{-1})^{1/2}\bigr)^{-1} \operatorname{ch} \bigl(((2i-1)rd^{-1})^{1/2}x\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
На следующем шаге приходим к уравнению для $u_3(t, \tau, x)$. Из условия его разрешимости получаем уравнение относительно неизвестной амплитуды $\xi(\tau, x):$
$$
\begin{equation}
\frac{d\xi}{d\tau}=\alpha_1\biggl(1+i\frac{\pi}{2}\biggr)^{-1}A\xi +\bigl[B+b+C(2+A^2(2i-1)^{1/2})\bigr]\xi|\xi|^2,
\end{equation}
\tag{19}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A =\exp(-i\pi(2T)^{-1}h), \qquad B =d\biggl(1+i \frac{\pi}{2}\biggr)^{-1}\bigl[3g+2\beta(v_{20}(1)+v_{22}(1))\bigr], \\ C =d^{3/2}r^{1/2}\biggl(1+i\frac{\pi}{2}\biggr)^{-1}(1-i). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение (19) является нормальной формой для краевой задачи (1), (11) в рассматриваемом случае (5), (6), поэтому имеет место аналог приведенной выше теоремы о связи решений (19) и (1), (11).
4. Нормальная форма в случае больших значений коэффициента $h$Пусть выполнено условие (13). Выражение является быстро осциллирующим по параметру $\varepsilon$ при $\varepsilon \to 0$. Пусть величина $\theta=\theta(\varepsilon) \in [0, 2\pi)$ определена по правилу
$$
\begin{equation*}
\theta(\varepsilon)=(-i \pi h_1(2\varepsilon T)^{-1}) |_{\operatorname{mod}2\pi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $A=A(\theta)=\exp(i\theta)$. Основное отличие рассматриваемого случая от тех, которые были рассмотрены в п. 2 и п. 3, состоит в том, что при условии (13) бесконечно много корней характеристического уравнения для линеаризованной в нуле краевой задачи (1), (11) стремятся к мнимой оси при $\varepsilon \to 0$. Тем самым реализуется критический случай бесконечной размерности. Такого типа критические случаи были рассмотрены в работах [5], [14]. И здесь построения базируются на использовании формального выражения (9), в котором фигурирует неизвестная амплитуда $\xi(\tau)$. Поэтому ограничимся тем, что приведем итоговое уравнение для определения амплитуды $\xi(\tau)$, которое играет роль нормальной формы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d \xi}{d \tau} &=-\alpha_1\biggl(1+i\frac{\pi}{2}\biggr)^{-1}A(\theta)\xi(\tau-h_1) +b\xi(\tau)|\xi(\tau)|^2 \nonumber \\ &\qquad -\biggl(1+i\frac{\pi}{2}\biggr)^{-1}A(\theta) \bigl[B_1 \xi(\tau-h_1)|\xi(\tau-h_1)|^2 \nonumber \\ & \qquad\qquad +B_2 \xi^2(\tau-2h_1)\overline{\xi}(\tau-h_1) +B_3 \xi^2(\tau-h_1)\overline{\xi}(\tau)\bigr] +B_4 \xi(\tau) |\xi(\tau-h_1)|^2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B_1 =3\gamma+2\beta v_{21}, \qquad B_2 =2\beta^2\bigl(A(\theta) \operatorname{cth} ((2i-1)rd^{-1})^{1/2}\bigr)+2 \operatorname{cth} ((rd^{-1})^{1/2}), \\ B_3 =(rd)^{1/2}(i-1)(2i-1)^{-1/2}\beta A(\theta), \qquad B_4 =-(1-i)(rd)^{1/2} 2\beta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Сформулируем основной результат. Через $\varepsilon_n(\theta_0)$ будем обозначать последовательность
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_n(\theta_0)=\pi h_1(2T(2\pi n-\theta_0))^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. Пусть выполнены условия (5), (6) и (13). Фиксируем произвольно $\theta_0 \in [0, 2\pi]$, и пусть уравнение (20) при $A=A(\theta_0)=\exp(i \theta_0)$ имеет ограниченное при $\tau \to \infty$ решение $\xi_0(\tau)$. Тогда при всех достаточно больших $n$ функция 5. ВыводыВ критических случаях построены нормальные формы для уравнения (1) с краевыми условиями (4) и (11). При дополнительном условии (13) нормальная форма является уравнением с запаздываниями (20). Варьируя параметр $h$, можно управлять структурой решений краевой задачи в окрестности нулевого состояния равновесия. Динамические свойства решений (20) могут быть существенно богаче, чем у решений (8). Интересно отметить, что уравнение (20) может иметь несколько простейших циклов вида $\rho \exp(i \varphi \tau)$ в зависимости от значений параметров этого уравнения. Обратим внимание, что при $\varepsilon \to 0$ параметр $\theta$ бесконечно много раз пробегает все значения от нуля до $2\pi$. Для различных $\theta$ количество простейших циклов и динамические свойства решений (20) могут меняться. Это означает, что при $\varepsilon \to 0$ в краевой задаче (1), (4) может происходить неограниченный процесс прямых и обратных бифуркаций. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KasTol23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|