Е. А. Гольчук, В. С. Монахов, “О конечной группе с максимальной подгруппой Миллера–Морено”, Матем. заметки, 115:6 (2024), 940–943; Math. Notes, 115:6 (2024), 1035

Группой Миллера–Морено называют конечную неабелеву группу, у которой все собственные подгруппы абелевы; ее строение известно [1].

В теории групп хорошо известна теорема Томпсона [2] о разрешимости конечной группы с нильпотентной максимальной подгруппой нечетного порядка. Если нильпотентная максимальная подгруппа имеет четный порядок и коммутант силовской 2-подгруппы из максимальной подгруппы содержится в центре этой подгруппы, то группа также разрешима. Этот результат вошел в монографию Хупперта [3; теорема IV.7.4] как теорема Дескинса–Янко–Томпсона. Данный результат также был получен Белоноговым [4]. Неразрешимые конечные группы с нильпотентной максимальной подгруппой исследовались в работах [5]–[7].

В настоящей заметке изучается конечная группа, у которой некоторая максимальная подгруппа является группой Миллера–Морено. Доказана следующая теорема.

Если у конечной группы $X$ имеется нормальный ряд, факторы которого изоморфны силовским подгруппам, то говорят, что $X$ обладает силовской башней. Центр и коммутант группы $X$ обозначается $Z(X)$ и $X'$, а $X^{(n)}=(X^{(n-1)})'$. Число всех различных простых делителей порядка конечной группы $X$ обозначается $|\pi (X)|$. Для разрешимой конечной группы $X$ наименьшее натуральное $n$, для которого $X^{(n)}=1$, называется производной длиной $X$ и обозначается $d(X)$. Запись $X=[A]B$ означает полупрямое произведение нормальной в группе $X$ подгруппы $A$ и подгруппы $B$. Конечная группа $X$ называется $p$-нильпотентной, если в $X$ существует подгруппа $H$ такая, что $X=[H]P$, где $P$ – силовская $p$-подгруппы группы $X$.

В следующей лемме приведены необходимые для доказательства теоремы свойства групп Миллера–Морено.

Для неединичной конечной группы $G$ рассмотрим цепочку подгрупп

Доказательство теоремы. Согласно лемме 1

$$ \begin{equation*} |\pi (M)|\leqslant 2, \qquad d(M)=2. \end{equation*} \notag $$

Если $M$ ненильпотентна, то закрепляем обозначения леммы 1: $M=[P]Q$, $P$ – минимальная нормальная в $M$ подгруппа, она элементарная абелева и является силовской $p$-подгруппой в $M$, $Q=\langle y\rangle$ – ненормальная в $M$ циклическая силовская $q$-подгруппа, $Z(M)=\langle y^q\rangle$, $p$ и $q$ – различные простые числа.

(1). Пусть группа $G$ разрешима. Так как индекс $|G:M|$ есть степень простого числа, то $|\pi (G)|\leqslant 3$.

Предположим, что $M$ нормальна в $G$. Тогда $|G:M|=r$ – простое число, $G' \leqslant M$ и $d(G)\leqslant 3$. Если $|\pi (G)|=3$, то $M=[P]Q$ ненильпотентна и группа $G$ имеет силовскую башню $1<P<M<G$, $M/P\cong Q$, $G/M$ изоморфна силовской $r$-подгруппе группы $G$.

Далее считаем, что $M$ не нормальна в $G$. Тогда $M_G<M$ и $M_G$ абелева. Так как $G/M_G$ – разрешимая примитивная группа, то $G/M_G=[N/M_G](M/M_G)$, где $N/M_G$ – минимальная нормальная в $G/M_G$ подгруппа. Поскольку $N/M_G$ элементарная абелева, то $d(G/M_G)\leqslant 3$ и $d(G)\leqslant 4$.

Итак, утверждения $|\pi (G)|\leqslant 3$ и $d(G)\leqslant 4$ справедливы.

Пусть $|\pi (G)|=3$. Тогда $M=[P]Q$, $G=MR$, $R$ – силовская $r$-подгруппа группы $G$, $p$, $q$ и $r$ – различные простые числа. Так как $M$ не нормальна в $G$, то

$$ \begin{equation*} G/M_G=[RM_G/M_G](M/M_G), \end{equation*} \notag $$

где $RM_G/M_G\cong R$ – минимальная нормальная в $G/M_G$ подгруппа. Поэтому $R$ – элементарная абелева подгруппа.

Допустим, что $N_G(Q) \leqslant M$. Тогда $N_G(Q)=Q$ и по теореме Бернсайда [3; IV.2.6], группа $G$ $q$-нильпотентна, т.е. $G=[G_{q'}]Q$, где $G_{q'}$ – $q'$-холлова подгруппа группы $G$. Ясно, что $P\leqslant G_{q'}$, $R\leqslant G_{q'}$. Если $P$ нормальна в $G$, то $G_{q'}=[P]R$ и группа $G$ имеет силовскую башню

$$ \begin{equation*} 1<P<[P]R<G, \qquad P/1\cong P, \qquad [P]R/P\cong R, \qquad G/[P]R\cong Q. \end{equation*} \notag $$

Если $P$ ненормальна в $G$, то $N_G(P)=M$ и

$$ \begin{equation*} N_{G_{q'}}(P)=N_G(P)\cap G_{q'}=M\cap G_{q'}=[P]Q\cap G_{q'}=P(Q\cap G_{q'})=P. \end{equation*} \notag $$

По теореме Бернсайда [3; IV.2.6] подгруппа $G_{q'}$ $p$-нильпотентна. Значит, группа $G$ имеет силовскую башню

$$ \begin{equation*} 1< R<[R]P<G, \qquad R/1\cong R, \qquad [R]P/R\cong P, \qquad G/[R]P\cong Q. \end{equation*} \notag $$

Итак, при $N_G(Q) \leqslant M$ группа $G$ имеет силовскую башню.

Пусть теперь $N_G(Q)$ не содержится в $M$. Поскольку $Q$ циклическая, то $Z(M)$ – характеристическая подгруппа в $Q$ и $Z(M)$ нормальна в $G$. Теперь $C_G(Z(M))$ нормальна в $G$. Так как $M\leqslant C_G(Z(M))$ и $M$ не нормальна в $G$, то $M<C_G(Z(M))$ и $Z(M)\leqslant Z(G)$. Если $Z(G)$ не содержится в $M$, то $G=MZ(G)$ и $M$ нормальна в $G$, противоречие. Поэтому $Z(G)\leqslant Z(M)$ и $Z(M)=\langle y^q\rangle =Z(G)$.

Если $Z(M)\ne 1$, то по индукции группа $G/Z(M)$ имеет силовскую башню, поэтому и группа $G$ имеет силовскую башню. Если $Z(M)=1$, то $|Q|=q$. Поскольку $P$ – минимальная нормальная подгруппа в $M$, то $Q$ – 2-максимальная подгруппа группы $G$. Следовательно, группа $G$ имеет цепочку подгрупп $1\lessdot Q\lessdot M\lessdot G$, т.е. $\lambda (G)\leqslant 3$. Так как $G$ разрешима, то согласно [9] длина главного ряда группы $G$ равна $\lambda (G)$. Поскольку $|\pi (G)|=3$, то главные факторы группы $G$ являются силовскими подгруппами. Значит, в любом случае группа $G$ имеет силовскую башню. Так как все силовские подгруппы абелевы, то $d(G)\leqslant 3$.

Утверждение (1) доказано полностью.

(2). Пусть теперь группа $G$ неразрешима. Если $M$ – нильпотентная подгруппа, то $M$ будет $r$-группой для некоторого простого $r$ и $|M' |=r$ по лемме 1. Если $r>2$, то $G$ разрешима по теореме Томпсона [2]. Если $r=2$, то $M' \leqslant Z(M)$ и $G$ разрешима по теореме Белоногова [4]. Противоречие. Поэтому подгруппа $M=[P]Q$ ненильпотентна. Если $P$ нормальна в $G$, то $M/P$ – максимальная в $G/P$ подгруппа, $M/P\cong Q$ циклическая и группа $G/P$ разрешима, противоречие. Поэтому $N_G(P)=M$.

Предположим, что $N_G(Q) \leqslant M$. Тогда $N_G(Q)=Q$, $Q$ – силовская $q$-подгруппа в $G$, и по теореме Бернсайда [3; IV.2.6], группа $G$ $q$-нильпотентна, т.е. $G=[G_{q'}]Q$. Ясно, что $P\leqslant G_{q'}$. Так как $N_G(P)=M$, то

$$ \begin{equation*} N_{G_{q'}}(P)=N_G(P)\cap G_{q'}=M\cap G_{q'}=[P]Q\cap G_{q'}=P(Q\cap G_{q'})=P. \end{equation*} \notag $$

По теореме Бернсайда [3; IV.2.6], подгруппа $G_{q'}$ $p$-нильпотентна и $G=[G_{\{p,q\}'}]M$, где $G_{\{p,q\}'}$ – $\{p,q\}'$-холлова подгруппа группы $G$. Поскольку группа $G$ неразрешима, то подгруппа $G_{\{p,q\}'}$ имеет четный порядок и по лемме Фраттини $G=G_{\{p,q\}'}N_G(S)$, где $S$ – силовская 2-подгруппа из $G_{\{p,q\}'}$. Так как $N_G(S)$ разрешима, $M$ – $\{p,q\}$-холлова подгруппа нечетного порядка группы $G$ и $|M|$ делит $|N_G(S)|$, то в $N_G(S)$ существует $\{p,q\}$-холлова подгруппа $M_1$ и $|M_1|=|M|$. Но группа $G$ $\{p,q\}$-разрешима и по теореме Чунихина [3; VI.1.7] подгруппы $M_1$ и $M$ сопряжены между собой. Поскольку $M$ – максимальная подгруппа группы $G$, то $M_1$ максимальна в $G$ и $N_G(S)=G$. Но это противоречит неразрешимости группы $G$.

Значит, допущение ошибочно и подгруппа $N_G(Q)$ не содержится в $M$. Поскольку $Q$ циклическая, то $Z(M)$ нормальна в $G$.

Предположим, что $Z(M)$ не содержится в центре группы $G$. Тогда, $C_G(Z(M))=M$, а $N_G(Z(M))=G$. Поскольку $C_G(Z(M))$ нормальна в $N_G(Z(M))$, то $M$ нормальна в $G$ и $G$ разрешима, противоречие. Следовательно, $Z(M)\leqslant Z(G)$. Если $Z(G)$ не содержится в $M$, то $G=MZ(G)$ и $M$ нормальна в $G$, противоречие. Поэтому $Z(G)$ содержится в $M$, $Z(G)\leqslant Z(M)$ и $Z(M)=\langle y^q\rangle =Z(G)$.

Поскольку $P$ – минимальная нормальная подгруппа в $M$, то $Q$ – 2-максимальная подгруппа группы $G$. Поэтому в $G/Z(G)$ подгруппа $Q/Z(G)$ имеет порядок $q$ и является 2-максимальной подгруппой группы $G/Z(G)$. Следовательно, группа $G/Z(G)$ имеет глубину 3. Так как $G/Z(G)$ неразрешима, то по лемме 2 фактор-группа $G/Z(G)$ – простая группа из таблицы 1. Теорема доказана.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ