Математические заметки
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математические заметки, 2023, том 113, выпуск 1, страницы 154–157
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13859
(Mi mzm13859)
 

Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях)

Краткие сообщения

Сублоренцева задача на группе Гейзенберга

Ю. Л. Сачков, Е. Ф. Сачкова

Институт программных систем им. А. К. Айламазяна РАН
Список литературы:
Ключевые слова: сублоренцева геометрия, группа Гейзенберга, оптимальное управление, геометрическая теория управления.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 22-11-00140
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-11-00140, https://rscf.ru/project/22-11-00140/.
Поступило: 19.07.2020
Исправленный вариант: 25.07.2022
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages 159–162
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010182
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья

Рассматривается левоинвариантная сублоренцева задача на группе Гейзенберга. Построен оптимальный синтез, описаны сублоренцево расстояние и сферы.

1. Постановка задачи оптимального управления

Группа Гейзенберга есть пространство $M\simeq{\mathbb R}^3_{x,y,z}$ с законом умножения

$$ \begin{equation*} (x_1,y_1,z_1) \cdot(x_2,y_2,z_2)= \biggr(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2+\frac{(x_1y_2-x_2 y_1)}{2}\biggr). \end{equation*} \notag $$
Это трехмерная нильпотентная группа Ли с левоинвариантным репером
$$ \begin{equation} X_1=\frac{\partial}{\partial x}- \frac{y}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}\,, \qquad X_2=\frac{\partial}{\partial y}+ \frac{x}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}\,, \qquad X_3=\frac{\partial}{\partial z}\,. \end{equation} \tag{1} $$

Левоинвариантную субриманову задачу на группе Гейзенберга можно поставить как задачу быстродействия

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \dot q=u_1 X_1+u_2 X_2, \qquad q \in M, \quad u_1^2+u_2^2=1, \\ q(0)=q_0=\operatorname{Id}=(0,0,0), \quad q(t_1)=q_1, \\ t_1 \to \min. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Эта задача – краеугольный камень субримановой геометрии [1]–[6].

Естественно рассмотреть вариацию этой задачи – левоинвариантную сублоренцеву задачу на группе Гейзенберга

$$ \begin{equation} \dot q=u_1 X_1+u_2 X_2, \qquad q \in M, \end{equation} \tag{2} $$
$$ \begin{equation} u \in U=\{(u_1, u_2) \in {\mathbb R}^2 \mid u_1^2-u_2^2=1, \, u_1 > 0\}, \end{equation} \tag{3} $$
$$ \begin{equation} q(0)=q_0=\operatorname{Id}=(0,0,0), \qquad q(t_1)=q_1, \end{equation} \tag{4} $$
$$ \begin{equation} t_1 \to \max. \end{equation} \tag{5} $$
Задача быстродействия $t_1 \to \min$ для системы (2)(4) не имеет решения. Поэтому рассматривается задача медленнодействия (5).

Задачу (2)(5) в несколько другой терминологии рассматривал М. Гроховский [7], [8].

2. Множество достижимости

Теорема 1 [8]. Множество достижимости системы (2), (3) из точки $q_0$ за произвольное неотрицательное время есть

$$ \begin{equation*} \mathcal{A}=\{(x,y,z) \in M \mid -x^2+y^2+4|z|<0, \, x > 0\} \cup \{q_0\}. \end{equation*} \notag $$

3. Экспоненциальное отображение

Теорема 2 [7], [8]. Анормальных траекторий нет.

Нормальные экстремальные траектории параметризуются параметрами $(c,\psi) \in {\mathbb R}^2$ следующим образом. Если $c=0$, то

$$ \begin{equation} x=t \operatorname{ch} \psi, \quad y=t \operatorname{sh} \psi, \quad z=0. \end{equation} \tag{6} $$
Если $c \ne 0$, то
$$ \begin{equation} x=\frac{ \operatorname{sh} (\psi+ct)- \operatorname{sh} \psi}{c}\,,\quad y=\frac{ \operatorname{ch} (\psi+ct)- \operatorname{ch} \psi}{c}\,,\quad z=\frac{ \operatorname{sh} (ct)-ct}{2c^2}\,. \end{equation} \tag{7} $$

Обозначим $C={\mathbb R}^2_{\psi,c}$, ${\mathbb R}_+=(0,+\infty)$, $N=C \times {\mathbb R}_+$, $\widetilde{\mathcal{A}}= \mathcal{A} \setminus \{q_0\}=\operatorname{int}\mathcal{A}$. Тогда экспоненциальное отображение

$$ \begin{equation} \operatorname{Exp}\colon N \to \widetilde{\mathcal{A}}, \qquad (\psi, c, t) \mapsto (x, y, z) \end{equation} \tag{8} $$
параметризовано формулами (6), (7).

Теорема 3. Экспоненциальное отображение (8) есть вещественно-аналитический диффеоморфизм. Обратное отображение $\operatorname{Exp}^{-1}\colon\widetilde{\mathcal{A}}\to N$ также вещественно-аналитично и задается формулами:

$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{3} z=0 \quad &\Longrightarrow\quad \psi=\operatorname{arth}\frac{y}{x}\,, &\quad c&=0, &\quad t&=\sqrt{x^2-y^2}\,, \\ z \ne 0 \quad &\Longrightarrow\quad \psi=\operatorname{arth}\frac{y}{x}-p, &\quad c&=(\operatorname{sgn}z)\sqrt{\frac{ \operatorname{sh} 2p-2p}{2z}}\,, &\quad t&=\frac{2p}{c}\,, \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$
где $p=\beta(z/(x^2-y^2))$, а $\beta$ есть обратная функция к функции $\alpha(p)=( \operatorname{sh} 2p-2p)/8 \operatorname{sh} ^2 p$.

4. Оптимальный синтез

Теорема 4. Для любой точки $q_1 \in \widetilde{\mathcal{A}}$ экстремальная траектория $q(t)=\operatorname{Exp}(\psi,c,t)$, $t \in [0,t_1]$, есть единственная оптимальная траектория, соединяющая $q_0$ с $q_1$, $(\psi,c,t_1)=\operatorname{Exp}^{-1}(q_1) \in N$.

5. Сублоренцево расстояние

Для произвольной точки $q_1 \in \widetilde{\mathcal{A}}$ обозначим

$$ \begin{equation*} d(q_1)=\sup\{t_1 \mid \exists \text{ траектория } q(\,\cdot\,): q(0)=q_0, \, q(t_1)=q_1\}. \end{equation*} \notag $$

Теорема 5. Пусть $q=(x,y,z) \in \widetilde{\mathcal{A}}$. Тогда

$$ \begin{equation*} d(q)=\sqrt{x^2-y^2} \cdot \frac{p}{ \operatorname{sh} p}\,, \qquad p=\beta\biggl(\frac{z}{x^2-y^2}\biggr). \end{equation*} \notag $$
В частности, $d(x,y,0)=\sqrt{x^2-y^2}$ .

Функция $d\colon \widetilde{\mathcal{A}}\to {\mathbb R}_+$ вещественно-аналитична.

Как показано в работе [8], сублоренцево расстояние $d(q)$ допускает оценку снизу функцией $\sqrt{x^2-y^2-4|z|}$ и не допускает оценки сверху этой функцией, умноженной на какую-либо константу.

Теорема 6. Для любого $q=(x,y,z) \in \widetilde{\mathcal{A}}$ справедлива оценка $d(q) \leqslant \sqrt{x^2-y^2}$ .

6. Симметрии

Теорема 7. Гиперболические повороты

$$ \begin{equation*} y \frac{\partial}{\partial x}+x \frac{\partial}{\partial y} \end{equation*} \notag $$
и отражения $(x,y,z) \mapsto (x,-y,z)$, $(x,y,z) \mapsto (x,y,-z)$ сохраняют сублоренцево расстояние $d$, а дилатации
$$ \begin{equation*} Y=x \frac{\partial}{\partial x}+y \frac{\partial}{\partial y}+ 2z \frac{\partial}{\partial z} \end{equation*} \notag $$
растягивают его: $d(e^{sY}(q))=e^s d(q)$.

7. Сублоренцевы сферы

Сублоренцевы сферы

$$ \begin{equation*} S(R)=\{q \in \mathcal{A} \mid d(q)=R\}, \qquad R>0, \end{equation*} \notag $$
переходят друг в друга при дилатациях $e^{sY}\colon (x,y,z) \mapsto (e^sx,e^sy,e^{2s} z)$, поэтому опишем единичную сферу $S=S(1)$.

Теорема 8. (1) Сублоренцева сфера $S$ есть регулярное вещественно-аналитическое многообразие, диффеоморфное ${\mathbb R}^2$.

(2) Пусть $q=\operatorname{Exp}(\psi,c,1) \in S$, $(\psi,c) \in C$. Тогда касательное пространство к сфере в точке $q$ есть

$$ \begin{equation*} T_qS=\biggl\{v=\sum_{i=1}^3 v_i X_i(q) \mid -v_1 \operatorname{ch} (\psi+c)+v_2 \operatorname{sh} (\psi+c)+v_3c=0\biggr\}. \end{equation*} \notag $$

(3) $S$ есть график функции $x=\sqrt{y^2+f(z)}$, где $f(z)=e \circ k(z)$, $e(w)= \operatorname{sh} ^2 w/w^2$, $k(z)=b(z)/2$, $b=a^{-1}$, $a(c)=( \operatorname{sh} c-c)/2c^2$.

(4) Функция $f(z)$ вещественно-аналитична, четна, строго выпукла, неограниченно строго возрастает при $z\geqslant 0$, а при $z \to 0$ имеет разложение $f(z)=1+12z^2+O(z^4)$.

(5) Сечение сферы $S$ плоскостью $\{z=\operatorname{const}\}$ есть ветвь гиперболы $x^2-y^2=f(z)$, $x>0$. Сечение сферы $S$ плоскостью $\{x=\operatorname{const}>1 \}$ есть строго выпуклая кривая $y^2+f(z)=x^2$, диффеоморфная $S^1$.

(6) Сублоренцево расстояние от точки $q_0$ до точки $q=(x,y,z) \in \widetilde{\mathcal{A}}$ может быть выражено как $d(q)=R$, где $x^2-y^2=R^2 f(z/R^2)$.

(7) Сублоренцев шар $B=\{q \in \widetilde{\mathcal{A}} \mid d(q) \geqslant 1\}$ имеет бесконечный объем в координатах $x$, $y$, $z$.

8. Заключение

Сублоренцева геометрия есть попытка перенести, насколько это возможно, богатую теорию субримановой геометрии на случай лоренцевой метрики (неопределенной метрики индекса 1). Представленные в этой заметке результаты по сублоренцевой задаче на группе Гейзенберга имеют существенные отличия от известной субримановой задачи на этой группе:

Было бы интересно понять, насколько сохраняются эти свойства для более общих сублоренцевых задач (например, для левоинвариантных задач на группах Карно).

Авторы выражают благодарность А. А. Аграчеву и Л. В. Локуциевскому за полезные обсуждения рассматриваемой задачи.

Авторы также благодарят рецензента за полезные замечания по изложению в статье.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. М. Вершик, В. Я. Гершкович, “Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи”, Динамические системы – 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 16, ВИНИТИ, М., 1987, 5–85  mathnet  mathscinet  zmath
2. V. Jurdjevic, Geometric Control Theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997  mathscinet
3. R. Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002  mathscinet
4. А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков, Геометрическая теория управления, Физматлит, М., 2005
5. A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain, A comprehensive introduction to sub-Riemannian geometry, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2019  mathscinet
6. Ю. Л. Сачков, Введение в геометрическую теорию управления, URSS, М., 2021
7. M. Grochowski, “On the Heisenberg sub-Lorentzian metric on ${\mathbb R}^3$”, Geometric Singularity Theory, Banach Center Publ., 65, Warsaw, 2004, 57–65  mathscinet
8. M. Grochowski, J. Dyn. Control Syst., 12:2 (2006), 145–160  crossref  mathscinet

Образец цитирования: Ю. Л. Сачков, Е. Ф. Сачкова, “Сублоренцева задача на группе Гейзенберга”, Матем. заметки, 113:1 (2023), 154–157; Math. Notes, 113:1 (2023), 159–162
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SacSac23}
\by Ю.~Л.~Сачков, Е.~Ф.~Сачкова
\paper Сублоренцева задача на группе Гейзенберга
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 113
\issue 1
\pages 154--157
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13859}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13859}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4563358}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 113
\issue 1
\pages 159--162
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623010182}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85149933950}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm13859
  • https://doi.org/10.4213/mzm13859
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i1/p154
  • Эта публикация цитируется в следующих 5 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математические заметки Mathematical Notes
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:214
    PDF полного текста:30
    HTML русской версии:161
    Список литературы:28
    Первая страница:17
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024