|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях)
Краткие сообщения
Сублоренцева задача на группе Гейзенберга
Ю. Л. Сачков, Е. Ф. Сачкова Институт программных систем им. А. К. Айламазяна РАН
Ключевые слова:
сублоренцева геометрия, группа Гейзенберга, оптимальное управление,
геометрическая теория управления.
Поступило: 19.07.2020 Исправленный вариант: 25.07.2022
Рассматривается левоинвариантная сублоренцева задача на группе Гейзенберга. Построен оптимальный синтез, описаны сублоренцево расстояние и сферы.
1. Постановка задачи оптимального управления Группа Гейзенберга есть пространство $M\simeq{\mathbb R}^3_{x,y,z}$ с законом умножения
$$
\begin{equation*}
(x_1,y_1,z_1) \cdot(x_2,y_2,z_2)= \biggr(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2+\frac{(x_1y_2-x_2 y_1)}{2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Это трехмерная нильпотентная группа Ли с левоинвариантным репером
$$
\begin{equation}
X_1=\frac{\partial}{\partial x}- \frac{y}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}\,, \qquad X_2=\frac{\partial}{\partial y}+ \frac{x}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}\,, \qquad X_3=\frac{\partial}{\partial z}\,.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Левоинвариантную субриманову задачу на группе Гейзенберга можно поставить как задачу быстродействия
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot q=u_1 X_1+u_2 X_2, \qquad q \in M, \quad u_1^2+u_2^2=1, \\ q(0)=q_0=\operatorname{Id}=(0,0,0), \quad q(t_1)=q_1, \\ t_1 \to \min. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта задача – краеугольный камень субримановой геометрии [1]–[6]. Естественно рассмотреть вариацию этой задачи – левоинвариантную сублоренцеву задачу на группе Гейзенберга
$$
\begin{equation}
\dot q=u_1 X_1+u_2 X_2, \qquad q \in M,
\end{equation}
\tag{2}
$$
$$
\begin{equation}
u \in U=\{(u_1, u_2) \in {\mathbb R}^2 \mid u_1^2-u_2^2=1, \, u_1 > 0\},
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
q(0)=q_0=\operatorname{Id}=(0,0,0), \qquad q(t_1)=q_1,
\end{equation}
\tag{4}
$$
$$
\begin{equation}
t_1 \to \max.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Задача быстродействия $t_1 \to \min$ для системы (2)–(4) не имеет решения. Поэтому рассматривается задача медленнодействия (5). Задачу (2)–(5) в несколько другой терминологии рассматривал М. Гроховский [7], [8].
2. Множество достижимости Теорема 1 [8]. Множество достижимости системы (2), (3) из точки $q_0$ за произвольное неотрицательное время есть
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}=\{(x,y,z) \in M \mid -x^2+y^2+4|z|<0, \, x > 0\} \cup \{q_0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Экспоненциальное отображение Теорема 2 [7], [8]. Анормальных траекторий нет. Нормальные экстремальные траектории параметризуются параметрами $(c,\psi) \in {\mathbb R}^2$ следующим образом. Если $c=0$, то
$$
\begin{equation}
x=t \operatorname{ch} \psi, \quad y=t \operatorname{sh} \psi, \quad z=0.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Если $c \ne 0$, то
$$
\begin{equation}
x=\frac{ \operatorname{sh} (\psi+ct)- \operatorname{sh} \psi}{c}\,,\quad y=\frac{ \operatorname{ch} (\psi+ct)- \operatorname{ch} \psi}{c}\,,\quad z=\frac{ \operatorname{sh} (ct)-ct}{2c^2}\,.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Обозначим $C={\mathbb R}^2_{\psi,c}$, ${\mathbb R}_+=(0,+\infty)$, $N=C \times {\mathbb R}_+$, $\widetilde{\mathcal{A}}= \mathcal{A} \setminus \{q_0\}=\operatorname{int}\mathcal{A}$. Тогда экспоненциальное отображение
$$
\begin{equation}
\operatorname{Exp}\colon N \to \widetilde{\mathcal{A}}, \qquad (\psi, c, t) \mapsto (x, y, z)
\end{equation}
\tag{8}
$$
параметризовано формулами (6), (7). Теорема 3. Экспоненциальное отображение (8) есть вещественно-аналитический диффеоморфизм. Обратное отображение $\operatorname{Exp}^{-1}\colon\widetilde{\mathcal{A}}\to N$ также вещественно-аналитично и задается формулами:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} z=0 \quad &\Longrightarrow\quad \psi=\operatorname{arth}\frac{y}{x}\,, &\quad c&=0, &\quad t&=\sqrt{x^2-y^2}\,, \\ z \ne 0 \quad &\Longrightarrow\quad \psi=\operatorname{arth}\frac{y}{x}-p, &\quad c&=(\operatorname{sgn}z)\sqrt{\frac{ \operatorname{sh} 2p-2p}{2z}}\,, &\quad t&=\frac{2p}{c}\,, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $p=\beta(z/(x^2-y^2))$, а $\beta$ есть обратная функция к функции $\alpha(p)=( \operatorname{sh} 2p-2p)/8 \operatorname{sh} ^2 p$.
4. Оптимальный синтез Теорема 4. Для любой точки $q_1 \in \widetilde{\mathcal{A}}$ экстремальная траектория $q(t)=\operatorname{Exp}(\psi,c,t)$, $t \in [0,t_1]$, есть единственная оптимальная траектория, соединяющая $q_0$ с $q_1$, $(\psi,c,t_1)=\operatorname{Exp}^{-1}(q_1) \in N$.
5. Сублоренцево расстояние Для произвольной точки $q_1 \in \widetilde{\mathcal{A}}$ обозначим
$$
\begin{equation*}
d(q_1)=\sup\{t_1 \mid \exists \text{ траектория } q(\,\cdot\,): q(0)=q_0, \, q(t_1)=q_1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5. Пусть $q=(x,y,z) \in \widetilde{\mathcal{A}}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
d(q)=\sqrt{x^2-y^2} \cdot \frac{p}{ \operatorname{sh} p}\,, \qquad p=\beta\biggl(\frac{z}{x^2-y^2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, $d(x,y,0)=\sqrt{x^2-y^2}$ . Функция $d\colon \widetilde{\mathcal{A}}\to {\mathbb R}_+$ вещественно-аналитична. Как показано в работе [8], сублоренцево расстояние $d(q)$ допускает оценку снизу функцией $\sqrt{x^2-y^2-4|z|}$ и не допускает оценки сверху этой функцией, умноженной на какую-либо константу. Теорема 6. Для любого $q=(x,y,z) \in \widetilde{\mathcal{A}}$ справедлива оценка $d(q) \leqslant \sqrt{x^2-y^2}$ .
6. Симметрии Теорема 7. Гиперболические повороты
$$
\begin{equation*}
y \frac{\partial}{\partial x}+x \frac{\partial}{\partial y}
\end{equation*}
\notag
$$
и отражения $(x,y,z) \mapsto (x,-y,z)$, $(x,y,z) \mapsto (x,y,-z)$ сохраняют сублоренцево расстояние $d$, а дилатации
$$
\begin{equation*}
Y=x \frac{\partial}{\partial x}+y \frac{\partial}{\partial y}+ 2z \frac{\partial}{\partial z}
\end{equation*}
\notag
$$
растягивают его: $d(e^{sY}(q))=e^s d(q)$.
7. Сублоренцевы сферы Сублоренцевы сферы
$$
\begin{equation*}
S(R)=\{q \in \mathcal{A} \mid d(q)=R\}, \qquad R>0,
\end{equation*}
\notag
$$
переходят друг в друга при дилатациях $e^{sY}\colon (x,y,z) \mapsto (e^sx,e^sy,e^{2s} z)$, поэтому опишем единичную сферу $S=S(1)$. Теорема 8. (1) Сублоренцева сфера $S$ есть регулярное вещественно-аналитическое многообразие, диффеоморфное ${\mathbb R}^2$. (2) Пусть $q=\operatorname{Exp}(\psi,c,1) \in S$, $(\psi,c) \in C$. Тогда касательное пространство к сфере в точке $q$ есть
$$
\begin{equation*}
T_qS=\biggl\{v=\sum_{i=1}^3 v_i X_i(q) \mid -v_1 \operatorname{ch} (\psi+c)+v_2 \operatorname{sh} (\psi+c)+v_3c=0\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
(3) $S$ есть график функции $x=\sqrt{y^2+f(z)}$, где $f(z)=e \circ k(z)$, $e(w)= \operatorname{sh} ^2 w/w^2$, $k(z)=b(z)/2$, $b=a^{-1}$, $a(c)=( \operatorname{sh} c-c)/2c^2$. (4) Функция $f(z)$ вещественно-аналитична, четна, строго выпукла, неограниченно строго возрастает при $z\geqslant 0$, а при $z \to 0$ имеет разложение $f(z)=1+12z^2+O(z^4)$. (5) Сечение сферы $S$ плоскостью $\{z=\operatorname{const}\}$ есть ветвь гиперболы $x^2-y^2=f(z)$, $x>0$. Сечение сферы $S$ плоскостью $\{x=\operatorname{const}>1 \}$ есть строго выпуклая кривая $y^2+f(z)=x^2$, диффеоморфная $S^1$. (6) Сублоренцево расстояние от точки $q_0$ до точки $q=(x,y,z) \in \widetilde{\mathcal{A}}$ может быть выражено как $d(q)=R$, где $x^2-y^2=R^2 f(z/R^2)$. (7) Сублоренцев шар $B=\{q \in \widetilde{\mathcal{A}} \mid d(q) \geqslant 1\}$ имеет бесконечный объем в координатах $x$, $y$, $z$.
8. Заключение Сублоренцева геометрия есть попытка перенести, насколько это возможно, богатую теорию субримановой геометрии на случай лоренцевой метрики (неопределенной метрики индекса 1). Представленные в этой заметке результаты по сублоренцевой задаче на группе Гейзенберга имеют существенные отличия от известной субримановой задачи на этой группе: Было бы интересно понять, насколько сохраняются эти свойства для более общих сублоренцевых задач (например, для левоинвариантных задач на группах Карно). Авторы выражают благодарность А. А. Аграчеву и Л. В. Локуциевскому за полезные обсуждения рассматриваемой задачи. Авторы также благодарят рецензента за полезные замечания по изложению в статье.
|
|
|
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
|
|
|
1. |
А. М. Вершик, В. Я. Гершкович, “Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи”, Динамические системы – 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 16, ВИНИТИ, М., 1987, 5–85 |
2. |
V. Jurdjevic, Geometric Control Theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997 |
3. |
R. Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002 |
4. |
А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков, Геометрическая теория управления, Физматлит, М., 2005 |
5. |
A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain, A comprehensive introduction to sub-Riemannian geometry, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2019 |
6. |
Ю. Л. Сачков, Введение в геометрическую теорию управления, URSS, М., 2021 |
7. |
M. Grochowski, “On the Heisenberg sub-Lorentzian metric on ${\mathbb R}^3$”, Geometric Singularity Theory, Banach Center Publ., 65, Warsaw, 2004, 57–65 |
8. |
M. Grochowski, J. Dyn. Control Syst., 12:2 (2006), 145–160 |
Образец цитирования:
Ю. Л. Сачков, Е. Ф. Сачкова, “Сублоренцева задача на группе Гейзенберга”, Матем. заметки, 113:1 (2023), 154–157; Math. Notes, 113:1 (2023), 159–162
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/mzm13859https://doi.org/10.4213/mzm13859 https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i1/p154
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 217 | PDF полного текста: | 31 | HTML русской версии: | 164 | Список литературы: | 28 | Первая страница: | 17 |
|