|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)
Краткие сообщения
Интерполяционная теорема Марцинкевича
для пространств типа Харди
В. Г. Кротов Белорусский государственный университет
Ключевые слова:
интерполяция операторов, пространства Лоренца,
пространства типа Харди, некасательная максимальная функция.
Поступило: 19.07.2022
Интерполяционная теорема Марцинкевича, история развития которой берет свое начало с работ [1], [2], является важным инструментом во многих разделах современного анализа, использующих шкалу пространств суммируемых функций $L^p$. Здесь мы рассматриваем новую форму этой теоремы, которая адаптирована для применений в теории пространств Харди.
Пусть $X$ – хаусдорфово пространство, топология которого порождена квазиметрикой $d$, т.е. задана функция $d\colon X\times X\to [0,\infty)$, удовлетворяющая всем аксиомам метрики, только неравенство треугольника заменяется более слабым условием: существует такое число $a_d\geqslant 1$, что для всех $x,y,z\in X$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
d(x,y)\leqslant a_d[d(x,z)+d(z,y)].
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть на $X$ задана также $\sigma$-конечная борелевская мера, причем мера каждого шара
$$
\begin{equation*}
B(x,t):=\{y\in X:d(x,y)<t\}
\end{equation*}
\notag
$$
конечна и положительна.
Введем произведение
$$
\begin{equation*}
\mathbf{X}:=X\times I,\qquad \text{где}\quad I=(0,t_0),\quad 0<t_0\leqslant+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
и снабдим его стандартной мерой-произведением $\mu\times m_1$ [3; § 3.3] ($m_1$ – одномерная мера Лебега на $I$). В случае, когда $t_0=+\infty$, множество $A\subset\mathbf{X}$ будем называть ограниченным сверху, если $\sup\{t:(x,t)\in A\}<\infty$.
Рассмотрим “некасательные” области
$$
\begin{equation*}
D(x):=\{(y,t)\in\mathbf{X}:d(x,y)<t\},\quad x\in X,
\end{equation*}
\notag
$$
подхода к точкам $x\in X$ “границы” $\mathbf{X}$ и соответствующую максимальную функцию
$$
\begin{equation*}
\mathcal{N} u(x):=\sup\{|u(y,t)|:(y,t)\in D(x)\},\quad x\in X,
\end{equation*}
\notag
$$
для любой функции $u\colon \mathbf{X}\to \mathbb{C}$.
Введем обозначение $\mathcal{H}^0(\mathbf{X})$ для множества всех измеримых функций (эквивалентные функции не отождествляются) $u\colon\mathbf{X}\to\mathbb{C}$, для которых максимальная функция $\mathcal{N} u$ конечна $\mu$-почти всюду.
Пусть $(Y,\nu)$ – множество с $\sigma$-конечной мерой $\nu$, $L^0(Y)$ – пространство (классов эквивалентности) измеримых функций на $Y$. Для $0<p,r\leqslant\infty$ обозначим $L^{p,r}(Y)$ пространства Лоренца ([4], см. также [5; § 5.3]) с квазинормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L^{p,r}(Y)}:=\begin{cases} \biggl(\displaystyle\int_0^{\infty}[t^{1/p}f^*(t)]^r\, \dfrac{dt}{t}\biggr)^{1/r},& 0<r<\infty, \\ \displaystyle\sup_{t>0}t^{1/p}f^*(t), & r=\infty, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $f^*$ – убывающая равноизмеримая перестановка функции $f$ на $Y$ [5; § 5.3].
Далее, для $p,r>0$ введем классы $\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$, состоящие из функций $u\in\mathcal{H}^0(\mathbf{X})$, для которых конечна величина
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})}:= \|\mathcal{N}u\|_{L^{p,r}(X)}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $r=p$ будем писать $\mathcal{H}^p(\mathbf{X})$ вместо $\mathcal{H}^{p,p}(\mathbf{X})$. В случае $\mathbf{X}=\mathbb{R}^{n+1}_+$ классы $\mathcal{H}^p(\mathbb{R}^{n+1}_+)$ впервые рассматривались в [6] (в указанной работе дополнительно предполагалось, что функции из этих классов непрерывны и имеют почти всюду некасательные пределы).
Условие $\mathcal{N} u\in L^p(X)$ и само понятие максимальной функции восходит к Харди и Литтлвуду [7]. Оно широко используется в теории пространств Харди (см., например, [8] для случая $\mathbf{X}=\mathbb{R}_+^{n+1}$, [9; теорема 5.6.5] для случая $\mathbf{X}$ – единичный шар в $\mathbb{C}^n$) и участвует в формулировках некоторых краевых задач для уравнений в частных производных (см, например, [10], [11]; перечень таких работ можно значительно расширить). Это определяет область возможных приложений наших результатов.
Пусть $T$ – оператор, определенный на некотором векторном подпространстве в $\mathcal{H}^0(\mathbf{X})$, со значениями в $L^0(Y)$. Тогда $T$ называется квазисубаддитивным, если существует такое число $K_1>0$, что справедливо поточечное неравенство
$$
\begin{equation*}
|T(u+v)|\leqslant K_1(|Tu|+|Tv|).
\end{equation*}
\notag
$$
Если дополнительно
$$
\begin{equation*}
|T(\lambda u)|=|\lambda|\,|Tu|,
\end{equation*}
\notag
$$
то $T$ называется квазилинейным (сублинейным, если $K_1=1$).
Первоначальная форма интерполяционной теоремы Марцинкевича для пространств $L^p$ содержала условия слабого типа вида
$$
\begin{equation}
\nu(\{|Tf|>\lambda\})\leqslant \biggl(\frac{M}{\lambda}\|f\|_{L^p(X)}\biggr)^q,\quad \lambda>0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
на линейный или положительный субаддитивный оператор $T$ ([1], [2], см. также [12; приложение Б]). Следующее утверждение является аналогом для классов $\mathcal{H}^p(\mathbf{X})$.
Теорема 1. Пусть $0<p_0\ne p_1\leqslant\infty$, $0<q_0\ne q_1\leqslant\infty$, квазилинейныйный оператор $T\colon\mathcal{H}^{p_0}(\mathbf{X})+ \mathcal{H}^{p_1}(\mathbf{X})\to L^ 0(Y)$ удовлетворяет следующим условиям: существуют такие положительные постоянные $M_0$ и $M_1$, что для всех $\lambda>0$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\nu\{|Tu|>\lambda\}\leqslant \biggl(\frac{M_i}{\lambda} \|u\|_{\mathcal{H}^{p_i}(\mathbf{X})}\biggr)^{q_i},\qquad u\in \mathcal{H}^{p_i}(\mathbf{X}),\quad i=0,1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\theta\in(0,1)$ и
$$
\begin{equation}
\frac{1}{p}=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}\,,\qquad \frac{1}{q}=\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}\,,
\end{equation}
\tag{2}
$$
причем $p\leqslant q$. Тогда существует такая постоянная $C=C(K_1,p_0,p_1,q_0,q_1,\theta)$, что для всех функций $u\in \mathcal{H}^p(\mathbf{X})$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\|Tu\|_{L^q(Y)}\leqslant CM_0^{1-\theta}M_1^{\theta}\|u\|_{\mathcal{H}^{p}(\mathbf{X})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применение неравенства (1) к характеристическим функциям измеримых множеств $A\subset X$ приводит к неравенствам суженного слабого типа
$$
\begin{equation}
\|T\chi_A\|_{L^{q,\infty}(Y)}\leqslant M[\mu(A)]^{1/p}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Такие условия в интерполяционной теореме Марцинкевича впервые вводились для параметров $p_0,p_1,q_0,q_1\geqslant 1$ в работе Стейна и Вейса [13] (см. также [5; § 5.3]). Условия такого вида рассматривались также в [14]–[16] для любых $p_0,p_1,q_0,q_1>0$. Аналоги (3) используются далее в нашей работе.
Обозначим $S_0^+(\mathbf{X})$ – множество всех функций на $\mathbf{X}$ вида
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=m}^{n}2^{-k}\chi_{A_k},
\end{equation*}
\notag
$$
где $m<n$ – целые, $A_k\subset \mathbf{X}$ – измеримые множества конечной меры, ограниченные сверху, $S^r_0(\mathbf{X})$ – множество всех функций на $\mathbf{X}$ вида $(u-v)$, где $u,v\in S_0^+(\mathbf{X})$. Наконец, $S_0(\mathbf{X})$ означает множество функций вида $u+iv$, где $u,v\in S^r_0(\mathbf{X})$.
Следующее обозначение
$$
\begin{equation*}
\widehat{A}:=\{x\in X:D(x)\cap A\ne\varnothing\}, \quad A\subset\mathbf{X},
\end{equation*}
\notag
$$
является важным, так как участвует в условиях наших результатов, приводимых ниже.
Теорема 2. Пусть $0<p_0\ne p_1\leqslant\infty$, $0<q_0\ne q_1\leqslant\infty$, $0<r<\infty$, $T$ – квазилинейный оператор, определенный на $S_0(\mathbf{X})$, со значениями во множестве $L^0(Y)$, удовлетворяющий следующим условиям: Пусть $\theta\in(0,1)$, $p$ и $q$ определяются равенствами (2). Тогда существует единственное продолжение для $T$ до ограниченного квазилинейного оператора из $\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ в $L^{q,r}(Y)$ и существует такая положительная постоянная $C=C(K_1,p_0,p_1,q_0,q_1,r,\theta)$, что для всех функций $u\in\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\|Tu\|_{L^{q,r}(Y)}\leqslant CM_0^{1-\theta}M_1^\theta \|u\|_{\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Роль условия (6) состоит в том, что оно обеспечивает существование продолжения оператора $T$ с класса $S_0(\mathbf{X})$ на пространство $\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$. Условие (6) выполнено, например, если оператор $T$ является линейным или положительным сублинейным.
Утверждение теоремы 2 подобно утверждению интерполяционной теоремы Марцинкевича (см., например, [5; § 5.3]). Отличия состоят в присутствии нормы максимальной функции $\mathcal{N}$ в правой части неравенства (7), а также в форме основных условий (4)–(5).
Если в теореме 2 заменить $\mathbf{X}$ на любое множество $X$ с $\sigma$-конечной мерой $\mu$, пространства $\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ – на пространства Лоренца $L^{p,r}(X)$ и условие $\widehat{A}\subset\mathbf{X}$ заменить на $A\subset X$, то мы получим вариант теоремы Марцинкевича из работы [15]. Этот результат в близкой форме приведен также в [16; теорема 1.4.19]. В обоих случаях доказательства основаны на идеях из [14; теорема 1.4.19], где впервые был рассмотрен случай $0<p_i,q_i<1$, $i=0,1$, для параметров теоремы Марцинкевича.
Однако доказательство в [14; теорема 1.4.19] содержало пробел, устранение которого и послужило поводом для публикации [15]. Для этого понадобилась существенная корректировка как доказательств, так и формулировок. Этим объясняется появление в них класса $S_0(\mathbf{X})$ и дополнительного условия (6).
Доказательство теоремы 2 также следует схеме рассуждений из [14; теорема 1.4.19] и [15] с изменениями, необходимыми в нашей ситуации. Подробному обоснованию будет посвящена отдельная работа. Сейчас отметим только, что доказательство опирается на ряд вспомогательных утверждений, из которых ключевыми являются следующие.
Лемма 1. Множество $S_0(\mathbf{X})$ плотно в $\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ при любых $0<p,r<\infty$.
Лемма 2. Пусть $0<p<\infty$, $0<q\leqslant\infty$, $T$ – квазилинейный оператор, определенный на $S_0(\mathbf{X})$, со значениями в $L^0(Y)$, удовлетворяющий следующему условию: существует такая положительная постоянная $M$, что для любого измеримого ограниченного сверху множества $A\subset\mathbf{X}$ конечной меры выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\|T(\chi_A)\|_{L^{q,\infty}(Y)}\leqslant M[\mu(\widehat{A})]^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
0<\alpha_0<\min\biggl\{q,\frac{\ln 2}{\ln 2K_1}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Тогда для любого $0<\alpha\leqslant\alpha_0$ существует положительная постоянная $C(K_1,p,q,\alpha)$ такая, что любой функции $u\in S_0(\mathbf{X})$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\|Tu\|_{L^{q,\infty}(Y)}\leqslant C(K_1,p,q,\alpha)M \|u\|_{\mathcal{H}^{p,\alpha}(\mathbf{X})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Приведем теперь вариант теоремы 2 для операторов, действующих в паре пространств $\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ и $\mathcal{H}^{q,r}(\mathbf{Y})$: пусть заданы два пространства $\mathbf{X}$ и $\mathbf{Y}$ описанного выше типа, построенные на множествах $X$ и $Y$ с разными, вообще говоря, квазиметриками и мерами $\mu$ и $\nu$ соответственно.
Теорема 3. Пусть $0<p_0\ne p_1\leqslant\infty$, $0<q_0\ne q_1\leqslant\infty$, $0<r<\infty$, $T$ – квазилинейный оператор, определенный на $S_0(\mathbf{X})$, со значениями в $\mathcal{H}^0(\mathbf{Y})$, удовлетворяющий следующим условиям: - 1) существуют такие положительные постоянные $M_0$ и $M_1$, что для любого измеримого ограниченного сверху множества $A\subset\mathbf{X}$ конечной меры выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|T(\chi_A)\|_{\mathcal{H}^{q_0,\infty}(\mathbf{Y})}&\leqslant M_0[\mu(\widehat{A})]^{1/p_0}, \\ \|T(\chi_A)\|_{\mathcal{H}^{q_1,\infty}(\mathbf{Y})}&\leqslant M_1[\mu(\widehat{A})]^{1/p_1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
- 2) существует такая положительная постоянная $K_2$, что
$$
\begin{equation}
\|Tu-Tv\|_{\mathcal{H}^{q,r}(\mathbf{Y})}\leqslant K_2\|T(u-v)\|_{\mathcal{H}^{q,r}(\mathbf{Y})}
\end{equation}
\tag{9}
$$
для любых функций $u,v\in S_0(\mathbf{X})$. Пусть $\theta\in(0,1)$, $p$ и $q$ определяются равенствами (2). Тогда существует единственное продолжение для $T$ до ограниченного квазилинейного оператора из $\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ в $\mathcal{H}^{q,r}(\mathbf{Y})$ и существует такая положительная постоянная $C=C(K_1,p_0,p_1,q_0,q_1,r,\theta)$, что для всех функций $u\in\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\|Tu\|_{\mathcal{H}^{q,r}(\mathbf{Y})}\leqslant CM_0^{1-\theta}M_1^\theta\|u\|_{\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее сформулируем вариант теоремы 2, соответствующий первоначальной версии теоремы Марцинкевича из [14; теорема 1.4.19]. Отличие следующей теоремы 4 от теоремы 2 состоит в том, что условие (6) заменено на непрерывность оператора $T\colon\mathcal{H}^{p_0}(\mathbf{X})+\mathcal{H}^{p_1}(\mathbf{X}) \to L^0(Y)$. При этом в $\mathcal{H}^{p_0}(\mathbf{X})+ \mathcal{H}^{p_1}(\mathbf{X})$ топология вводится с помощью квазинормы
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{\mathcal{H}^{p_0}(\mathbf{X})+\mathcal{H}^{p_1}(\mathbf{X})}: =\inf\{\|u_0\|_{\mathcal{H}^{p_0}(\mathbf{X})}+ \|u_1\|_{\mathcal{H}^{p_1}(\mathbf{X})}:u=u_0+u_1\},
\end{equation*}
\notag
$$
а $L^0(Y)$ снабжается, как обычно, топологией сходимости по мере.
Теорема 4. Пусть $0<p_0\ne p_1\leqslant\infty$, $0<q_0\ne q_1\leqslant\infty$, $0<r<\infty$, $T$ – квазилинейный и непрерывный оператор из $\mathcal{H}^{p_0}(\mathbf{X})+\mathcal{H}^{p_1}(\mathbf{X})$ в $L^0(Y)$, удовлетворяющий следующим условиям: существуют такие положительные постоянные $M_0$ и $M_1$, что для любого измеримого ограниченного сверху множества $A\subset\mathbf{X}$ конечной меры выполнены неравенства (4) и (5). Пусть $\theta\in(0,1)$, $p$ и $q$ определяются равенствами (2). Тогда существует такая положительная постоянная $C=C(K_1,p_0,p_1,q_0,q_1,r,\theta)$, что для всех функций $u\in\mathcal{H}^{p,r}(\mathbf{X})$ выполнено неравенство (7).
Доказательство теоремы 4 использует идею из [15; замечание (iv)] и следующую модификацию леммы 2.
Лемма 3. Пусть $0<p<\infty$, $0<q\leqslant\infty$, $T$ – квазилинейный и непрерывный оператор $\mathcal{H}^{p}(\mathbf{X})\to L^0(Y)$, удовлетворяющий следующему условию: существует такая положительная постоянная $M$, что для любого измеримого ограниченного сверху множества $A\subset\mathbf{X}$ конечной меры выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\|T(\chi_A)\|_{L^{q,\infty}(Y)}\leqslant M[\mu(\widehat{A})]^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\alpha_0$ удовлетворяет неравенствам (8). Тогда для любого $0<\alpha\leqslant\alpha_0$ существует положительная постоянная $C(K_1,p,q,\alpha)$ такая, что любой функции $\mathcal{H}^{p,\alpha}(\mathbf{X})$, принадлежащей области определения $T$, выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\|Tu\|_{L^{q,\infty}(Y)}\leqslant C(K_1,p,q,\alpha)M\|u\|_{\mathcal{H}^{p,\alpha}(\mathbf{X})}.
\end{equation*}
\notag
$$
|
|
|
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
|
|
|
1. |
J. Marcinkiewicz, C. R. Acad. Sci. Paris, 208 (1939), 1272–1273 |
2. |
A. Zygmund, J. Math. Pures Appl. (9), 35 (1956), 223–248 |
3. |
В. И. Богачев, Основы теории меры, Т. 1, РХД, М.–Ижевск, 2003 |
4. |
G. Lorentz, Ann. of Math. (2), 51:1 (1950), 33–55 |
5. |
И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, Мир, М., 1974 |
6. |
R. R. Coifman, Y. Meyer, E. M. Stein, J. Funct. Anal., 62:2 (1985), 304–335 |
7. |
G. H. Hardy, J. E. Littlewood, Acta Math., 129:1-2 (1930), 81–116 |
8. |
C. Fefferman, E. M. Stein, Acta Math., 129:3-4 (1972), 137–193 |
9. |
У. Рудин, Теория функций в единичном шаре в ${\mathbb{C}}^n$, Мир, М., 1984 |
10. |
G. Verhota, Indiana Univ. Math. J., 39:3 (1990), 671–702 |
11. |
J. Pipher, G. Verhota, Ann. of Math. (2), 142:1 (1995), 1–36 |
12. |
И. М. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, Мир, М., 1973 |
13. |
E. M. Stein, G. Weiss, J. Math. Mech., 8:2 (1959), 263–284 |
14. |
L. Grafakos, Classical Fourier Analysis, Second Edition, Grad. Texts in Math., 249, Springer, New York, 2008 |
15. |
Y. Y. Liang, L. G. Liu, D. C. Yang, Acta Math. Sinica, 27:8 (2011), 1477–1488 |
16. |
L. Grafakos, Classical Fourier Analysis, Third Edition, Grad. Texts in Math., 249, Springer, New York, 2014 |
Образец цитирования:
В. Г. Кротов, “Интерполяционная теорема Марцинкевича
для пространств типа Харди”, Матем. заметки, 113:2 (2023), 311–315; Math. Notes, 113:2 (2023), 306–310
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/mzm13887https://doi.org/10.4213/mzm13887 https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i2/p311
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 198 | PDF полного текста: | 21 | HTML русской версии: | 134 | Список литературы: | 37 | Первая страница: | 28 |
|