| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения О топологически перемешивающих диффеоморфизмах на бесконечномерном торе С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050279 
Реферативные базы данных:
 1. Постановка задачиОсновные достижения и история развития гиперболической теории излагается, например, в монографии [1]. В настоящей статье некоторые результаты этой теории, касающиеся диффеоморфизмов тора, распространяются на бесконечномерный случай. В частности, обсуждаются условия, при которых диффеоморфизмы бесконечномерного тора обладают свойством топологического перемешивания. Прежде всего, дадим определение бесконечномерного тора $\mathbb{T}^{\infty}$. С этой целью фиксируем некоторое бесконечномерное вещественное банахово пространство $E$ с нормой $\|\cdot\|$ и сформулируем определение бесконечномерной целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$. Определение 1. Бесконечномерной целочисленной решеткой (или просто целочисленной решеткой) назовем непустое подмножество $\mathbb{Z}^{\infty}\subset E$, удовлетворяющее следующим аксиомам: 1) имеет место свойство линейности: для любых $l_1, l_2\in\mathbb{Z}^{\infty}$, $k_1, k_2\in\mathbb{Z}$ справедливо включение $k_1l_1+k_2l_2\in\mathbb{Z}^{\infty}$; 2) выполняется условие дискретности
$$
\begin{equation}
\mu_0\stackrel{\rm def}{=}\inf_{l_1, l_2\in\mathbb{Z}^{\infty},\,l_1\ne l_2 }\|l_1-l_2\|>0;
\end{equation}
\tag{1}
$$
3) замыкание линейной оболочки векторов из $\mathbb{Z}^{\infty}$ совпадает с исходным пространством $E$ (это условие естественно назвать максимальностью). Примером целочисленной решетки в пространстве $\ell_{p}$, $p\ge 1$, состоящем из векторов
$$
\begin{equation}
\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \varphi_{(2)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots), \qquad \varphi_{(k)}\in \mathbb{R}, \quad k\ge 1, \qquad \|\varphi\|\stackrel{\rm def}{=} \biggl(\sum_{k=1}^{\infty}|\varphi_{(k)}|^{p}\biggr)^{1/p}<\infty,
\end{equation}
\tag{2}
$$
является множество
$$
\begin{equation}
\mathbb{Z}^{\infty}= \bigl\{l=\operatorname{colon}(l_{(1)}, l_{(2)}, \dots, l_{(k)}, \dots)\in\ell_{p} \colon l_{(k)}\in\mathbb{Z},\,k\ge 1\bigr\}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
В силу сходимости ряда $\sum^{\infty}_{k=1}|l_{(k)}|^p$ (см. (2)) любой вектор $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ имеет лишь конечное число ненулевых координат. В случае же пространства
$$
\begin{equation}
\ell_{\infty}=\Bigl\{\varphi=\operatorname{colon} (\varphi_{(1)},\varphi_{(2)},\dots, \varphi_{(k)}, \dots), \,\varphi_{(k)}\in \mathbb{R}, \,k\ge 1,\, \|\varphi\|\stackrel{\rm def}{=}\sup_{k\ge 1}|\varphi_{(k)}|<\infty\Bigr\}
\end{equation}
\tag{4}
$$
аналогичная (3) целочисленная решетка имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathbb{Z}^{\infty}= \bigl\{l=\operatorname{colon}(l_{(1)}, l_{(2)}, \dots, l_{(k)}, \dots)\in\ell_{\infty} \colon l_{(k)}\in\mathbb{Z},\,k\ge 1\bigr\}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Перейдем теперь к определению тора $\mathbb{T}^{\infty}$. В связи с этим всюду ниже считаем, что в пространстве $E$ фиксирована некоторая целочисленная решетка $\mathbb{Z}^{\infty}$. Тогда с ее помощью на $E$ вводится отношение эквивалентности по следующему правилу. Будем говорить, что два вектора $x, y\in E$ эквивалентны, если существует такой элемент $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, что $x-y=2\pi l$. Определение 2. Бесконечномерным тором $\mathbb{T}^{\infty}$ назовем множество всех классов эквивалентности, порожденных описанным выше отношением. Иными словами, справедливы равенства $\mathbb{T}^{\infty}=E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty} =\mathrm{pr}(E)$, где отображение $\mathrm{pr}\colon E\to\mathbb{T}^{\infty}$ – так называемая естественная проекция. Эта проекция действует по правилу где $\varphi$ – произвольный элемент из $E$, а $\{\varphi\}$ – класс эквивалентности из $\mathbb{T}^{\infty}$, содержащий $\varphi$. Впрочем, для краткости в дальнейшем одной и той же буквой $\varphi$ будем обозначать как вектор из $E$, так и соответствующий ему класс $\{\varphi\}\in\mathbb{T}^{\infty}$ (из контекста всегда будет ясно, о каком именно объекте идет речь).Метрику на торе $\mathbb{T}^{\infty}$ зададим равенством
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty} \qquad \rho(\varphi_1, \varphi_2)= \inf_{l\in\mathbb{Z}^{\infty}}\|\mathrm{pr}^{-1}(\varphi_1)- \mathrm{pr}^{-1}(\varphi_2)+2\pi l\|,
\end{equation}
\tag{7}
$$
где, напомним, $\|\,\cdot\,\|$ – норма в $E$, а $\mathrm{pr}^{-1}(\varphi_1), \mathrm{pr}^{-1}(\varphi_2)\in E$ – произвольные прообразы точек $\varphi_1, \varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$. Так как упомянутые прообразы определяются с точностью до аддитивных добавок вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, то метрика (7) не зависит от их конкретного выбора. Отметим также, что в силу свойства дискретности (1) и формулы (7) отображение (6) является локальной изометрией, т.е.
$$
\begin{equation}
\rho(\mathrm{pr}(\varphi_1), \mathrm{pr}(\varphi_2))=\|\varphi_1-\varphi_2\| \qquad \forall\,\varphi_1, \varphi_2\in E, \quad \|\varphi_1-\varphi_2\|\le\varepsilon_0,
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $\varepsilon_0=\mathrm{const}\in(0, \pi\mu_0)$. Поэтому метрическое пространство $(\mathbb{T}^{\infty}, \rho)$ будет полным. В последующем нам понадобится понятие фундаментального множества тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Таковым будем называть множество $\mathscr{U}\subset E$, для которого $\mathrm{pr}(\mathscr{U})=\mathbb{T}^{\infty}$ и отображение $\mathrm{pr}\colon \mathscr{U}\to\mathbb{T}^{\infty}$ взаимно однозначно. Подчеркнем, что существование данного множества гарантирует аксиома выбора, примененная к семейству непустых попарно непересекающихся множеств $\mathrm{pr}^{-1}(\varphi)$, $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ (под $\mathrm{pr}^{-1}(\varphi)$ здесь понимается полный прообраз элемента $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$). В случае (2), (3) фундаментальной является область
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}=\bigl\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \varphi_{(2)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots)\in\ell_{p}\colon -\pi\le\varphi_{(k)}<\pi,\, k\ge 1\bigr\},
\end{equation}
\tag{9}
$$
а в случае (4), (5) – область
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}=\bigl\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \varphi_{(2)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots)\in\ell_{\infty}\colon -\pi\le\varphi_{(k)}<\pi,\, k\ge 1\bigr\}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Нетрудно увидеть, что множество (10) ограничено, а (9) этим свойством не обладает. Необходимо отметить, что, как правило, под понятием “бесконечномерный тор” подразумевается прямое произведение счетного числа окружностей с тихоновской топологией (см., например, [2], [3]). В этом случае после введения соответствующей метрики $\mathbb{T}^{\infty}$ становится компактным метрическим пространством. В нашем же случае свойства тора $\mathbb{T}^{\infty}$ совершенно иные. Как показано в [4], он представляет собой аналитическое банахово многообразие. Это многообразие всегда замкнуто и некомпактно, а в случае существования у тора $\mathbb{T}^{\infty}$ ограниченного фундаментального множества $\mathscr{U}$ оно является ограниченным. Приступим теперь к описанию интересующего нас класса диффеоморфизмов тора $\mathbb{T}^{\infty}$. В связи с этим фиксируем произвольно линейный ограниченный оператор $\Lambda\colon E\to E$, обладающий свойством инвариантности $\Lambda\mathbb{Z}^{\infty}=\mathbb{Z}^{\infty}$. Предполагаем еще, что спектр $\sigma(\Lambda)$ этого оператора допускает представление
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sigma(\Lambda)=\sigma_1\cup\sigma_2, \qquad\sigma_j\ne\varnothing, \quad j=1, 2, \qquad \sigma_1\subset\bigl\{\lambda\in\mathbb{C}\colon |\lambda|>1\bigr\}, \\ \sigma_2\subset\bigl\{\lambda\in\mathbb{C}\colon |\lambda|<1,\,\lambda\ne 0\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Далее, фиксируем произвольно вектор-функцию $g(\varphi)\in E$ аргумента $\varphi\in E$ со следующими свойствами. Во-первых, считаем, что она дифференцируема по Фреше и ее производная $g'(\varphi)$ непрерывна по $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии (т.е. по норме банахова пространства $L(E; E)$ линейных ограниченных операторов); во-вторых, выполняются требования $2\pi$-периодичности и ограниченности
$$
\begin{equation}
g(\varphi+2\pi l)\equiv g(\varphi) \quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}, \qquad \sup_{\varphi\in E}\bigl(\|g(\varphi)\|+\|g'(\varphi)\|_{E\to E}\bigr)<\infty;
\end{equation}
\tag{12}
$$
в-третьих, вполне непрерывно в $E$ отображение $\varphi\mapsto g(\varphi);$ в-четвертых, при любом $\varphi\in E$ непрерывно обратим линейный оператор $\Lambda+g'(\varphi)\colon E\to E$. Необходимо отметить, что через $\|\cdot\|_{E\to E}$ в (12) обозначена операторная норма, индуцированная нормой из $E$. Подобного рода нормы встречаются и в дальнейшем. А именно, ниже через $\|\cdot\|_{V_1\to V_2}$, где $V_j$, $j=1, 2$, – замкнутые подпространства из $E$, будем обозначать соответствующие индуцированные операторные нормы, считая нормы в $V_j$, $j=1, 2$, заимствованными из $E$. Как показано в статье [4] (см. также [5]), при сформулированных ограничениях оператор
$$
\begin{equation}
G\colon \varphi\mapsto\overline{G}(\varphi)\ (\operatorname{mod}2\pi),
\end{equation}
\tag{13}
$$
где
$$
\begin{equation}
\overline{G}(\varphi)=\Lambda+g(\varphi), \quad \overline{G}(\varphi)\ (\operatorname{mod} 2\pi)= \mathrm{pr}[\overline{G}(\mathrm{pr}^{-1}(\varphi))] \qquad \forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty},
\end{equation}
\tag{14}
$$
является диффеоморфизмом из $\mathbb{T}^{\infty}$ в $\mathbb{T}^{\infty}$. Поставим вопрос о наличии у диффеоморфизма (13) свойства топологического перемешивания, т.е. существования для любых двух непустых открытых множеств $U, V\subset\mathbb{T}^{\infty}$ такого натурального $N(U, V)$, что для любого $n\ge N$ выполнено $G^n(U)\cap V\ne\varnothing$. В настоящей заметке предлагаются некоторые достаточные условия, при выполнении которых интересующий нас диффеоморфизм $G$ будет топологическим перемешиванием. 2. Описание результатовПеред формулировкой теоремы о топологическом перемешивании проделаем некоторые предварительные построения. В первую очередь обратим внимание, что в силу требований (11), наложенных на спектр оператора $\Lambda$, справедливо разложение где сумма прямая, а замкнутые линейные подпространства $E_1$, $E_2$ таковы, что $\Lambda E_j=E_j$, $j=1, 2$, и спектры сужений $\Lambda_j=\Lambda|_{E_j}$, $j=1, 2$, совпадают со спектральными множествами $\sigma_j$, $j=1, 2$, из (11). Далее, опираясь на отвечающие разложению (15) проекторы
$$
\begin{equation*}
P\xi=u,\quad Q\xi=v \qquad\forall\,\xi=u+v\in E, \quad u\in E_1,\quad v\in E_2,
\end{equation*}
\notag
$$
введем в рассмотрение линейные операторы
$$
\begin{equation}
\Lambda_{j, 1}(\varphi)=PD\overline{G}(\varphi)\colon E_j\to E_1,\quad \Lambda_{j, 2}(\varphi)=QD\overline{G}(\varphi)\colon E_j\to E_2, \qquad j=1, 2,
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $D\overline{G}(\varphi)=\Lambda+g'(\varphi)$ – дифференциал вектор-функции $\overline{G}(\varphi)$ из (14). Будем считать, что для любого $\varphi\in E$ обратим оператор $\Lambda_{1, 1}(\varphi)$ из (16) и имеет место свойство ограниченности
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\|_{E_1\to E_1}<\infty.
\end{equation}
\tag{17}
$$
В этом случае соотношения (16) позволяют корректно определить наборы постоянных
$$
\begin{equation}
\alpha_1=\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\|_{E_1\to E_1}, \qquad \alpha_2=\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{2, 2}(\varphi)\|_{E_2\to E_2},
\end{equation}
\tag{18}
$$
$$
\begin{equation}
\beta_1=\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{1, 2}(\varphi)\|_{E_1\to E_2}, \qquad \beta_2=\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\Lambda_{2, 1}(\varphi)\|_{E_2\to E_1},
\end{equation}
\tag{19}
$$
$$
\begin{equation}
\gamma_1=\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{1, 2}(\varphi)\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\|_{E_1\to E_2}, \qquad \gamma_2=\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{2, 1}(\varphi)\|_{E_2\to E_1}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Подчеркнем, что в силу (12), (17) эти постоянные заведомо конечны. Как оказывается, именно с их помощью формулируются достаточные условия топологического перемешивания. Точнее говоря, справедлива следующая Теорема 1. Пусть в дополнение ко всем перечисленным выше ограничениям на оператор $\Lambda$ и вектор-функцию $g(\varphi)$ выполняются неравенства Для доказательства заметим, что в силу результатов из [6] при дополнительных условиях (21) отображение (13) топологически сопряжено со своей линейной частью, т.е. с линейным гиперболическим автоморфизмом
$$
\begin{equation}
L\colon \varphi\mapsto\Lambda\varphi\ (\operatorname{mod} 2\pi)
\end{equation}
\tag{22}
$$
(гиперболичность здесь означает выполнение требований (11) на спектр оператора $\Lambda$). Таким образом, проблема обоснования теоремы 1 сводится к получению следующего утверждения. Теорема 2. В случае существования у тора $\mathbb{T}^{\infty}$ ограниченного фундаментального множества $\mathscr{U}$ линейный гиперболический автоморфизм (22) является топологическим перемешиванием. Доказательство. Введем в подпространстве $E_1$ из (15) специальную норму $\|\cdot\|_*$, эквивалентную исходной норме $\|\cdot\|$ и такую, что соответствующая индуцированная норма $\|\Lambda_1^{-1}\|_*$ оператора $\Lambda_1^{-1}$ строго меньше единицы (здесь, напомним, $\Lambda_1=\Lambda|_{E_1}$). Далее, отрезком $D_r(\varphi_*)\subset E$ длины $r>0$ с центром в точке $\varphi_*\in E$ назовем множество вида Покажем существование для любого $\varepsilon>0$ такого $r=r(\varepsilon)>0$, что где $O(\varphi_0, \varepsilon)$ – открытый шар в $\mathbb{T}^{\infty}$ с центром в точке $\varphi_0$ радиуса $\varepsilon$.
Фиксируем произвольно элементы $\varphi_*\in E$, $\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}$ и $\varepsilon>0$. Положим затем
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}_{N_0}(\varphi_*)=\bigl\{\varphi_*+\Lambda^{N_0}\xi\colon \xi\in \mathscr{U}\bigr\},
\end{equation}
\tag{25}
$$
где $\mathscr{U}$ – ограниченная фундаментальная область тора $\mathbb{T}^{\infty}$, $N_0$ – некоторое натуральное число (выбором которого распорядимся в последующем). Нетрудно увидеть, что множество (25) также является фундаментальным. Поэтому найдется такое
$$
\begin{equation*}
\xi_{N_0}=\varphi_*+u_{N_0}+v_{N_0}\in\mathscr{U}_{N_0}(\varphi_*), \qquad u_{N_0}\in E_1, \quad v_{N_0}\in E_2,
\end{equation*}
\notag
$$
что $\mathrm{pr}(\xi_{N_0})=\varphi_0$. Далее, в силу ограниченности $\mathscr{U}$ и спектральных свойств (11) имеем
$$
\begin{equation*}
\|v_{N_0}\|\le\sup_{\xi\in\mathscr{U}}\|\Lambda_2^{N_0}Q\xi\|\to 0, \qquad N_0\to+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Lambda_2=\Lambda|_{E_2}$. Тем самым, увеличивая надлежащим образом $N_0$, можно считать, что $\|v_{N_0}\|<\min(\varepsilon, \varepsilon_0)$, где $\varepsilon_0$ – величина из (8). И наконец, полагая $\varphi_{N_0}=\mathrm{pr}(\varphi_*+u_{N_0})$ и принимая во внимание свойство локальной изометрии (8), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
\rho(\varphi_0, \varphi_{N_0})=\|\xi_{N_0}-\varphi_*-u_{N_0}\|=\|v_{N_0}\|<\varepsilon.
\end{equation}
\tag{26}
$$
А так как
$$
\begin{equation}
\|u_{N_0}\|_*\le\sup_{\xi\in\mathscr{U}}\|\Lambda_1^{N_0}P\xi\|_* \stackrel{\rm def}{=}r(\varepsilon)<\infty,
\end{equation}
\tag{27}
$$
то $\varphi_{N_0}\in \mathrm{pr}[D_{r(\varepsilon)}(\varphi_*)]$ и в силу (26) требуемое свойство (24) действительно выполняется.
Добавим еще, что из неравенства
$$
\begin{equation}
\|\Lambda_1u\|_*\ge \lambda \|u\|_* \qquad \forall\,u\in E_1,
\end{equation}
\tag{28}
$$
где $\lambda=1/\|\Lambda_1^{-1}\|_*>1$, вытекает свойство, которое уместно назвать растягиванием. А именно, для любого $R>0$ найдется такое натуральное $N$, что для любого $n\ge N$ образ $\Lambda^n(D_r(\varphi_*))$ отрезка (23) содержит целиком некоторый отрезок длины $R$.
Приступим теперь непосредственно к проверке для отображения (22) свойства топологического перемешивания. Фиксируем произвольно два непустых открытых подмножества $U, V\subset \mathbb{T}^{\infty}$ и возьмем такое $\varepsilon>0$, при котором $V$ содержит целиком некоторый шар $O(\varphi_0, \varepsilon)$. Далее, в силу непустоты множества $U$ заведомо существует отрезок $D_{r_0}(\varphi_*)$ длины $r_0>0$, проекция $\mathrm{pr}[D_{r_0}(\varphi_*)]$ которого целиком содержится в $U$. Опираясь затем на свойство растягивания (28), убеждаемся в существовании такого натурального $N$, что для любого $n\ge N$ множество $\Lambda^n(D_{r_0}(\varphi_*))$ содержит целиком некоторый отрезок длины $r=r(\varepsilon)$, где $r(\varepsilon)$ – величина из (27). А отсюда с учетом свойства (24) и вытекающих из равенства $L(\varphi)=\mathrm{pr}[\Lambda(\mathrm{pr}^{-1}(\varphi))]$ для любого $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ представлений
$$
\begin{equation*}
L^n\bigl(\mathrm{pr}[D_{r_0}(\varphi_*)]\bigr) =\mathrm{pr}\bigl[\Lambda^n(D_{r_0}(\varphi_*))\bigr] \qquad \forall\,n\in\mathbb{N}
\end{equation*}
\notag
$$
заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\varnothing\ne \mathrm{pr}\bigl[\Lambda^n(D_{r_0}(\varphi_*))\bigr] \cap O(\varphi_0, \varepsilon)=L^n\bigl(\mathrm{pr}[D_{r_0}(\varphi_*)]\bigr) \cap O(\varphi_0, \varepsilon) \subset L^n(U)\cap V \qquad \forall\,n\ge N.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 доказана. В заключение приведем конкретный пример топологически перемешивающего диффеоморфизма. С этой целью положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, E=\Bigl\{(\xi_k, \eta_k)\in\mathbb{R}^2,\,k\ge 1,\,\sup_{k\ge 1}(|\xi_k|+|\eta_k|)<\infty\Bigr\}, \\ \mathbb{Z}^{\infty} =\Bigl\{(\xi_k, \eta_k)\in\mathbb{Z}^2,\,k\ge 1,\,\sup_{k\ge 1}(|\xi_k|+|\eta_k|)<\infty\Bigr\} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и на торе $\mathbb{T}^{\infty}=E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}$ рассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
\xi_k\mapsto \xi_k+\eta_k+\delta_k\cos \eta_{k+1}\ (\operatorname{mod} 2\pi), \qquad \eta_k\mapsto \xi_k+2\eta_k\ (\operatorname{mod} 2\pi),
\end{equation*}
\notag
$$
где $k\in\mathbb{N}$, $\delta_k=\mathrm{const}>0$, $\lim_{k\to+\infty}\delta_k=0$. Из проделанного в [4] анализа следует, что при дополнительном ограничении это отображение удовлетворяет всем условиям теоремы 1, а значит, является топологически перемешивающим диффеоморфизмом.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GlyKol23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|