Математические заметки
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математические заметки, 2023, том 114, выпуск 3, страницы 347–352
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13975
(Mi mzm13975)
 

Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

Аппроксимация функций Матье функциями параболического цилиндра

Е. А. Злобина

Санкт-Петербургский государственный университет
Список литературы:
Аннотация: Рассматривается классическое уравнение Матье с комплексными коэффициентами специального вида. Строятся простые неравномерные асимптотики его решений в терминах функций параболического цилиндра.
Библиография: 11 названий.
Ключевые слова: уравнение Матье, асимптотические методы, функции параболического цилиндра.
Финансовая поддержка Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 075-15-2022-287
Работа выполнена в Санкт-Петербургском международном математическом институте им. Л. Эйлера при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (соглашение № 075-15-2022-287 от 06.04.2022).
Поступило: 08.04.2023
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 3, Pages 303–307
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090031
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.928.1
MSC: 34E05

1. Введение

Решения уравнения Матье, традиционно записываемого в виде

$$ \begin{equation*} u''(x)+(\lambda-2q\cos2x)u(x)=0, \end{equation*} \notag $$
имеют широкое применение как в математических, так и в физических задачах. Асимптотики функций Матье исследовались в многочисленных работах (см. например, [1]–[6], а также литературу в [7]), где роль большого параметра играли величины $\lambda$, $q$ или $\lambda/q$, и для вещественных $\lambda$ и $q$ были построены равномерные по $x$ асимптотические формулы.

Мы обращаемся к ранее не обсуждавшемуся случаю, когда коэффициенты в уравнении Матье, которое нам удобно переписать следующим образом:

$$ \begin{equation} u''(x)+(a+b\sin^2 x)u(x)=0, \end{equation} \tag{1.1} $$
принимают значения
$$ \begin{equation} a=- ik(2\nu+1), \qquad b=k^2, \end{equation} \tag{1.2} $$
где
$$ \begin{equation*} \nu \leqslant -1, \qquad k \to +\infty. \end{equation*} \notag $$
Рассмотрение этого случая мотивировано изучением задач дифракции на контурах с негладкой кривизной. В этих задачах возникают высокочастотные пограничные слои, для описания которых удобны простые аппроксимации решений (1.1)(1.2) при вещественных значениях $x$, малых по сравнению с $k$ [8]. Мы строим соответствующие приближения в терминах функций параболического цилиндра $D_{\nu}$ [9], удовлетворяющих уравнению
$$ \begin{equation} D_\nu''(z)+\biggl(\nu+\frac{1}{2}-\frac{z^2}{4}\biggr)D_\nu(z)=0 \end{equation} \tag{1.3} $$
с начальными данными
$$ \begin{equation} D_\nu(0)= \frac{2^{\nu/2}\sqrt{\pi}}{\Gamma((1-\nu)/2)}, \qquad D_\nu'(0)=- \frac{2^{(\nu+1)/2}\sqrt{\pi}}{\Gamma(-\nu/2)} \end{equation} \tag{1.4} $$
(здесь $\Gamma$ – гамма-функция). Нашей целью является построение простых неравномерных асимптотических формул.

Отметим, что функции параболического цилиндра допускают удобную равномерную аппроксимацию функциями Эйри [10], однако лишь на вещественной оси и при $\nu \geqslant -1/2$ – нам же важен только случай $\nu \leqslant -1$.

2. Формулировка и доказательство результата

Теорема 1. Уравнения Матье (1.1) с параметрами (1.2) имеет решение $u(x)$, такое что при отрицательных $x$, в области

$$ \begin{equation} -C k^{-1/4-\varepsilon} < x \leqslant 0, \end{equation} \tag{2.1} $$
для него справедливо представление
$$ \begin{equation} u(x)=D_{\nu} \bigl(-\sqrt{2k} x e^{-i\pi/4}\bigr) \bigl(1+ O(k^{-4\varepsilon})\bigr), \end{equation} \tag{2.2} $$
а при положительных $x$, в области
$$ \begin{equation} 0 \leqslant x < C k^{-1/2+1/(3(1-\nu))-\varepsilon}, \end{equation} \tag{2.3} $$
– представление
$$ \begin{equation} u(x)=D_{\nu} (-\sqrt{2k} x e^{-i\pi/4})(1+ O(k^{-3(1-\nu)\varepsilon})). \end{equation} \tag{2.4} $$
Здесь $C>0$ и $\varepsilon > 0$ – константы, не зависящие от $k$.

Замечание 1. Хотя уравнение (1.3) возникает из уравнения (1.1) при замене $\sin x$ на $x$, предполагающей малость $x$, асимптотика (2.2), (2.4) пригодна в области, где аргумент функции $D_{\nu}$ может принимать большие значения, и, соответственно, $u$ осциллирует. Область пригодности аппроксимации при отрицательных $x$ не зависит от параметра $\nu$ (см. (2.1)), а при положительных $x$ она сужается с увеличением $|\nu|$ (см. (2.3)).

Перейдем к доказательству теоремы.

Доказательство теоремы 1. 1. Сделаем в уравнении (1.1) с параметрами (1.2) замену переменной
$$ \begin{equation} z=-\sqrt{2k} x e^{-i\pi/4}. \end{equation} \tag{2.5} $$
и положим
$$ \begin{equation*} u(x)=w(z(x)). \end{equation*} \notag $$
Тогда $w$ удовлетворяет уравнению
$$ \begin{equation} w''(z)+\biggl(\nu+\frac{1}{2}-\frac{z^2}{4}\biggr)w(z)=R(z)w(z), \end{equation} \tag{2.6} $$
где
$$ \begin{equation*} R(z)=-\frac{z^2}{4}-\frac{ik}{2} \sin^2\biggl(\frac{z e^{i\pi/4}}{\sqrt{2k}}\biggr). \end{equation*} \notag $$
Вещественным значениям $x$ отвечают $z$, лежащие на прямой $\mathbb{R}e^{-i\pi/4}$.

Для $R$, очевидно, при каждом из условий (2.1) и (2.3) справедлива оценка

$$ \begin{equation} |R(z)| < C \frac{|z|^4}{k}. \end{equation} \tag{2.7} $$
Здесь и далее $C$ – положительная константа, не зависящая от $k$.

2. Уравнение (2.6) стандартным образом [11] сводится к уравнению Вольтерра

$$ \begin{equation} w(z)=D_\nu(z)+\int_0^{z}M(z, t)R(t) w(t)\,dt \end{equation} \tag{2.8} $$
на прямой $\mathbb{R}e^{-i\pi/4}$. Здесь
$$ \begin{equation} M(z, t)=\bigl[D_\nu(t) D_{-\nu-1}(iz)-D_\nu(z) D_{-\nu-1}(it) \bigr] e^{i\pi(\nu+1)/2}, \end{equation} \tag{2.9} $$
а $D_\nu(z)$ и $D_{-\nu-1}(iz)$ – два линейно независимых решения уравнения (1.3), см. [9], вронскиан которых равен
$$ \begin{equation*} W[D_{\nu}(z), D_{-\nu-1}(iz)]=e^{-i\pi(\nu+1)/2}. \end{equation*} \notag $$

При $\nu \leqslant -1$ функция $D_\nu(z)$ в полуплоскости $\mathrm{Re}\, z<0$ имеет бесконечно много нулей, приближающихся на бесконечности к лучам $\arg z=\pm 3\pi/4$, но не лежащих на них, а в полуплоскости $\mathrm{Re}\, z \geqslant 0$ не обращается в нуль [7]. Тогда $w(z)$ на прямой $\mathbb{R}e^{-i\pi/4}$ допускает представление

$$ \begin{equation} w(z)=D_{\nu}(z) v(z) \end{equation} \tag{2.10} $$
с функцией $v(z)$, удовлетворяющей уравнению
$$ \begin{equation} v(z)=1+\int_0^{z} \mu (z, t) R(t) v(t)\,dt, \end{equation} \tag{2.11} $$
где
$$ \begin{equation} \mu (z, t)=\frac{D_{\nu}(t)}{D_{\nu}(z)}M (z, t), \end{equation} \tag{2.12} $$
см. (2.8) и (2.9).

Мы будем рассматривать уравнение (2.11) отдельно для $z \in \mathbb{R}_+ e^{-i\pi/4}$ и для $z \in \mathbb{R}_-e^{-i\pi/4}$ (отвечающих отрицательным и положительным $x$, соответственно, см. (2.5)).

3. Пусть сначала $z \in \mathbb{R}_+ e^{-i\pi/4}$.

Оценим $\mu (z, t)$ в области, где выполнено (2.1). В секторе $-3\pi/4 < \arg z < 3\pi/4$ функция $D_\nu (z)$ имеет асимптотику [9]

$$ \begin{equation*} D_\nu(z)=z^{\nu} e^{-z^2/4}\biggl(1+ O\biggl(\frac{1}{|z|^2}\biggr)\biggr), \end{equation*} \notag $$
откуда, с учетом (1.4), следует, что
$$ \begin{equation*} |D_{\nu}(z)| < C (1+|z|)^{\nu}, \qquad |D_{\nu}^{-1}(z)| < C (1+|z|)^{-\nu}, \qquad |D_{-\nu-1}(iz)| < C (1+|z|)^{-\nu-1}. \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \biggl|\frac{D_{\nu}(t)}{D_{\nu}(z)}M (z, t) \biggr| \leqslant \biggl|\frac{D_{\nu}^2(t) D_{-\nu-1}(iz)}{D_{\nu}(z)} \biggr| + |D_{\nu}(t) D_{-\nu-1}(t)| < C (1+|t|)^{2\nu} (1+|z|)^{-2\nu-1}, \\ |t|\leqslant |z|, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
и справедлива

Лемма 1. Пусть $z\in \mathbb{R}_+ e^{-i\pi/4}$, $t\in \mathbb{R}_+ e^{-i\pi/4}$ и $|t|\leqslant |z|$. Тогда функция $\mu(z, t)$, см. (2.12), удовлетворяет оценке

$$ \begin{equation*} |\mu(z, t)| < C (1+|t|)^{2\nu} (1+|z|)^{-2\nu-1}. \end{equation*} \notag $$

Решая уравнение (2.11) на полуоси $z \in \mathbb{R}_+ e^{-i\pi/4}$ итерациями, с помощью неравенства (2.7) и леммы 1 получим, что при $\nu \neq -5/2$

$$ \begin{equation} |v(z)-1| \leqslant \biggl|\int_0^{z} \mu (z, t) R(t)\,dt \biggr| < C \frac{(1+|z|)^{-2\nu-1}}{k} \int_0^{|z|} (1+s)^{2\nu} s^4 \,ds < C \frac{|z|^4}{k}. \end{equation} \tag{2.13} $$
В случае $\nu=-5/2$ левая часть (2.13) оценивается через $C |z|^4 \ln|z|/k$, что в свою очередь не превосходит $C|z|^{4+\delta}/k$, где $\delta > 0$ можно выбрать сколь угодно малым. Значит, при всех $\nu \leqslant -1$ выполнена оценка
$$ \begin{equation*} |v(z)-1| < C \frac{|z|^{4+\delta}}{k}, \end{equation*} \notag $$
откуда, с учетом (2.10), вытекает справедливость представления (2.2) в области (2.1).

4. Рассмотрим теперь уравнение (2.11) при $z \in \mathbb{R}_-e^{-i\pi/4}$.

Оценим функцию $\mu(z,t)$ (2.12) в области, где выполнено (2.3). В секторе $\pi/4 < \arg z < 5\pi/4$ функция $D_\nu$ имеет асимптотику [9]

$$ \begin{equation} D_\nu(z)=z^{\nu} e^{-z^2/4} \biggl(1+ O\biggl(\frac{1}{|z|^2}\biggr)\biggr) -\frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(-\nu)} e^{i\pi\nu} z^{-\nu-1} e^{z^2/4}\biggl(1+ O\biggl(\frac{1}{|z|^2}\biggr)\biggr), \end{equation} \tag{2.14} $$
а асимптотика в секторе $-5\pi/4 < \arg z < -\pi/4$ отличается от (2.14) лишь заменой $e^{i\pi\nu}$ на $e^{-i\pi\nu}$ во втором слагаемом. Отсюда, с учетом (1.4), вытекают неравенства
$$ \begin{equation} |D_{\nu}(z)| < C (1+|z|)^{-\nu-1}, \qquad |D_{-\nu-1}(iz)| < C (1+|z|)^{-\nu-1}. \end{equation} \tag{2.15} $$
Оценка же $D_{\nu}^{-1}(z)$ осложняется тем, что корни $D_\nu(z)$ приближаются на бесконечности к лучу $\arg z=3\pi/4$ [7]. Для больших по модулю корней $z_{\nu,n}$ справедливо асимптотическое выражение [7]
$$ \begin{equation*} z_{\nu,n}=e^{3i\pi/4}\sqrt{2\tau_{\nu,n}} \biggl(1+ O\biggl(\frac{\ln\tau_{\nu,n}}{\tau_{\nu,n}}\biggr)\biggr), \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \tau_{\nu,n}=(2n+1+\nu)+if(\nu), \qquad f(\nu)= \ln\biggl(\frac{2^{\nu}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(-\nu)\biggr), \end{equation*} \notag $$
$n$ – достаточно большое натуральное число, а под квадратным корнем и логарифмом подразумеваются главные ветви этих функций. Оценим расстояние от корня $z_{\nu,n}$ до луча $\mathbb{R}_-e^{-i\pi/4}$. Пусть точка $z$ лежит на луче $\mathbb{R}_-e^{-i\pi/4}$ близко к $z_{\nu,n}$. В главном порядке
$$ \begin{equation*} |z|^4(1+o(1))=|z_{\nu,n}|^4=4(2n+1+\nu)^2+4f^2(\nu), \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, |z-z_{\nu,n}| &=|z| \operatorname{tg}\biggl|\arg z_{\nu,n}-\frac{3\pi}{4}\biggr| (1+o(1)) =|z| \operatorname{tg}\biggl|\frac{\arg \tau_{\nu,n}}{2}\biggr| (1+o(1)) \\ &=\frac{|z| f(\nu)}{2\sqrt{|z|^4-4f^2(\nu)}} (1+o(1))= \frac{f(\nu)}{2|z|}(1+o(1)). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Поэтому $D_{\nu}^{-1}(z)$ на луче $\mathbb{R}_-e^{-i\pi/4}$ удовлетворяет оценке
$$ \begin{equation} |D_{\nu}^{-1}(z)| < C (1+|z|). \end{equation} \tag{2.16} $$

Из неравенств (2.15) и (2.16) немедленно следует

Лемма 2. Пусть $z\in \mathbb{R}_- e^{-i\pi/4}$, $t\in \mathbb{R}_- e^{-i\pi/4}$ и $|t|\leqslant |z|$. Тогда для функции $\mu(z, t)$, см. (2.12), справедлива оценка

$$ \begin{equation*} |\mu(z, t)| < C (1+|t|)^{-2\nu-2} (1+|z|)^{-\nu}. \end{equation*} \notag $$

Решая уравнение (2.11) на полуоси $z \in \mathbb{R}_- e^{-i\pi/4}$ итерациями, с помощью неравенства (2.7) и леммы 2 получим оценку

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, |v(z)-1| &\leqslant \biggl|\int_0^{z} \mu(z, t)R(t)\,dt \biggr| \\ &< C \frac{(1+|z|)^{-\nu}}{k} \int_0^{|z|} (1+s)^{-2\nu-2} s^4\,ds < C \frac{|z|^{3(1-\nu)}}{k}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отсюда вытекает справедливость представления (2.4) в области (2.3).

Таким образом, теорема доказана.

Замечание 2. В доказательстве теоремы 1 использованы простые оценки, которые не являются предельно точными, поэтому построенная асимптотика (2.2), (2.4) может быть пригодна и в несколько более широкой области, чем ограниченная неравенствами (2.1) и (2.3).

Благодарности

Автор благодарит А. П. Киселева и А. В. Цветкову за интерес к работе и полезные замечания.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. R. E. Langer, “The solutions of the Mathieu equation with a complex variable and at least one parameter large”, Trans. Amer. Math. Soc., 36:3 (1934), 637–710  crossref  mathscinet
2. R. W. McKelvey, “The solutions of second order linear ordinary differential equations about a turning point of order two”, Trans. Amer. Math. Soc., 79 (1955), 103–123  crossref  mathscinet
3. A. Sharples, “Uniform asymptotic forms of modified Mathieu functions”, Quart. J. Mech. Appl. Math., 20:3 (1967), 365–380  crossref  mathscinet
4. A. Sharples, “Uniform asymptotic expansions of modified Mathieu functions”, J. Reine Angew. Math., 247 (1971), 1–17  crossref  mathscinet
5. W. Barret, “Mathieu functions of general order: connection formulae, base functions and asymptotic formulae. I–V”, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 301 (1981), 75–162  crossref  mathscinet
6. D. T. Mark, “Uniform asymptotic approximation of Mathieu functions”, Methods Appl. Anal., 1:2 (1994), 143–168  crossref  mathscinet
7. NIST Handbook of Mathematical Functions, eds. F. W. G. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. B. Clark, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2010  mathscinet
8. Е. А. Злобина, А. П. Киселев, “Френелевские переходные зоны”, Радиотехника и Электроника, 68:6 (2023), 542–552
9. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, т. 2, Наука, М., 1973  mathscinet
10. S. Yu. Dobrokhotov, A. V. Tsvetkova, “Global asymptotics for functions of parabolic cylinder and solutions of the Schrödinger equation with a potential in the form of a nonsmooth double well”, Russ. J. Math. Phys., 30:1 (2023), 46–61  crossref  mathscinet
11. Ф. Олвер, Введение в асимптотические методы и специальные функции, Наука, М., 1978  mathscinet

Образец цитирования: Е. А. Злобина, “Аппроксимация функций Матье функциями параболического цилиндра”, Матем. заметки, 114:3 (2023), 347–352; Math. Notes, 114:3 (2023), 303–307
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zlo23}
\by Е.~А.~Злобина
\paper Аппроксимация функций Матье функциями параболического цилиндра
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 114
\issue 3
\pages 347--352
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13975}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13975}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4658783}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 114
\issue 3
\pages 303--307
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623090031}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85174608796}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm13975
  • https://doi.org/10.4213/mzm13975
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v114/i3/p347
  • Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математические заметки Mathematical Notes
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:126
    PDF полного текста:29
    HTML русской версии:77
    Список литературы:23
    Первая страница:4
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024