Математические заметки
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математические заметки, 2023, том 114, выпуск 1, страницы 3–17
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13986
(Mi mzm13986)
 

О непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от правой части и краевых условий

Е. Р. Аваковa, Г. Г. Магарил-Ильяевbcd

a Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, г. Москва
b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
c Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва
d Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук, г. Владикавказ
Список литературы:
Аннотация: Доказывается теорема о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от правой части и краевых условий общего вида.
Библиография: 5 названий.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, краевые условия, сопряженная точка.
Поступило: 01.11.2022
Исправленный вариант: 21.02.2023
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 1, Pages 3–14
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070015
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.927.4

В работе рассматривается следующая краевая задача:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \dot x=\varphi(t,x), \qquad f_i(x(t_0),x(t_1))\leqslant0, \quad i=1,\dots,m_1, \\ g_i(x(t_0),x(t_1))=0, \quad i=1,\dots,m_2, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
на отрезке $[t_0,t_1]$ и для нее доказывается теорема о непрерывной зависимости решения данного дифференциального уравнения от его правой части и от функций $f_i$, $i=1,\dots,m_1$, и $g_i$, $i=1,\dots,m_2$. В качестве следствий получены, в частности, обобщение теоремы о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от правой части и начального условия в задаче Коши (см. [1; § 7]) и теорема о непрерывной зависимости от правой части и начальных условий в краевой задаче для уравнения второго порядка.

Основной результат, касающейся непрерывной зависимости в указанной задаче, является следствием некоторой абстрактной леммы об обратной функции, доказательство которой существенным образом опирается на теорему Шаудера о неподвижной точке, утверждающей, что если образ непрерывного отображения, переводящего выпуклое замкнутое подмножество банахового пространства в себя, является предкомпактным, то это отображение имеет неподвижную точку (см., например, [2; п. 3.6.2]).

Пусть $G_0$ – открытое подмножество $\mathbb R\times\mathbb R^n$, $G_1$ – открытое подмножество $\mathbb R^n\times\mathbb R^n$, отображения $\varphi\colon G_0\to \mathbb R^n$ (переменных $t\in\mathbb R$ и $x\in\mathbb R^n$), $f\colon G_1\to \mathbb R^{m_1}$ и $g\colon G_1\to \mathbb R^{m_2}$ (переменных $\zeta_i\in\mathbb R^n$, $i=0,1$) непрерывны. Приведенную выше задачу тогда можно записать так

$$ \begin{equation} \dot x=\varphi(t,x), \qquad f(x(t_0),x(t_1))\leqslant0, \qquad g(x(t_0),x(t_1))=0. \end{equation} \tag{1} $$

Пусть $\widehat x(\cdot)$ – решение задачи (1), график которого $\Gamma=\{(t,\widehat x(t))\colon t\in[t_0,t_1]\}$ принадлежит $G_0$, а $(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\in G_1$.

Для формулировки основного результата нам понадобятся некоторые обозначения. Пусть $Z$ – нормированное пространство и $\mathcal M$ – топологическое пространство. Обозначим через $C(\mathcal M,Z)$ пространство непрерывных ограниченных отображений $F\colon \mathcal M\to Z$ с нормой

$$ \begin{equation*} \|F\|_{C(\mathcal M, Z)}=\sup_{x\in \mathcal M}\|F(x)\|_Z. \end{equation*} \notag $$
Пространство непрерывно дифференцируемых вектор-функций на $[t_0,t_1]$ со значениями в $\mathbb R^n$ обозначаем через $C^1([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Евклидову норму в $\mathbb R^n$ обозначаем $|\cdot|$. Значение линейного функционала $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in(\mathbb R^n)^*$ на элементе $x=(x_1,\dots,x_n)^T\in\mathbb R^n$ ($T$ – символ транспонирования) записываем так $\langle \lambda,x\rangle=\sum_{i=i}^n\lambda_ix_i$. Через $(\mathbb R^n)^*_+$ обозначим множество функционалов на $\mathbb R^n$, принимающих неотрицательные значения на неотрицательных векторах. Если $\Lambda\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^m$ – линейный оператор, то $\Lambda^*\colon (\mathbb R^m)^*\to(\mathbb R^n)^*$ – сопряженный оператор к $\Lambda$.

Если $X$ – нормированное пространство, то $U_X(x_0,r)$ и $B_X(x_0,r)$ – соответственно открытый и замкнутый шары в $X$ радиуса $r$ с центром в точке $x_0$.

Если $\widehat x(\cdot)$ – решение задачи (1), то, очевидно, существует такое $\rho>0$, что компакт

$$ \begin{equation*} \Delta(\rho)=\bigl\{(t,x)\in\mathbb R\times\mathbb R^n\colon |x-\widehat x(t)|\leqslant\rho,\,t\in[t_0,t_1]\bigr\} \end{equation*} \notag $$
принадлежит $G_0$ и $B(\rho)=B_{\mathbb R^{2n}}((\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)),\rho)\subset G_1$.

Для сокращения записи производные отображений $f$ и $g$ и их частные производные по $\zeta_i\in\mathbb R^n$, $i=0,1$, в точке $(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$ записываем соответственно как $\widehat f'$, $\widehat g'$ и $\widehat f_{\zeta_i}$, $\widehat g_{\zeta_i}$, $i=0,1$.

Пусть в задаче (1) отображение $\varphi$ непрерывно вместе со своей частной производной по $x$, отображения $f$ и $g$ дифференцируемы и $\widehat x(\cdot)$ – решение этой задачи. Определим множество $\Lambda(\widehat x(\cdot))$ как совокупность наборов

$$ \begin{equation*} (\lambda_f,\lambda_g,p(\cdot))\in (\mathbb R^{m_1})_+^*\times(\mathbb R^{m_2})^*\times C^1([t_0,t_1],(\mathbb R^n)^*), \end{equation*} \notag $$
удовлетворяющих соотношениям
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \dot p(t) =-p(t)\varphi_x(t,\widehat x(t)), \\ p(t_0)={\widehat {f}_{\zeta_0}}^*\lambda_f+{\widehat {g}_{\zeta_0}}^*\lambda_g, \qquad p(t_1)=-{\widehat {f}_{\zeta_1}}^*\lambda_f-{\widehat {g}_{\zeta_1}}^*\lambda_g, \\ \langle \lambda_f,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\rangle=0. \end{gathered} \end{equation} \tag{2} $$
Ясно, что нулевой набор удовлетворяет этим соотношениям.

Основным результатом данной работы является следующая

Теорема 1. Пусть $\widehat x(\cdot)$ – решение задачи (1). Если отображение $\varphi$ непрерывно вместе со своей частной производной по $x$, отображения $f$ и $g$ дифференцируемы и $\Lambda(\widehat x(\cdot))=\{0\}$, то найдутся константа $\kappa>0$ и окрестность $\widetilde W\subset C(\Delta(\rho),\mathbb R^n)\times C(B(\rho),\mathbb R^{m_1})\times C(B(\rho),\mathbb R^{m_2})$ точки $(\varphi(\cdot), f(\cdot),g(\cdot))$ такие, что для любой точки $(\widetilde\varphi(\cdot), \widetilde f(\cdot),\widetilde g(\cdot))\in \widetilde W$ существует решение $\widetilde x(\cdot)$ краевой задачи

$$ \begin{equation} \dot x=\widetilde\varphi(t,x), \qquad \widetilde f(x(t_0),x(t_1))\leqslant0, \qquad \widetilde g(x(t_0),x(t_1))=0 \end{equation} \tag{3} $$
на отрезке $[t_0,t_1]$, и при этом
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \|\widetilde x(\cdot)-\widehat x(\cdot)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)} &\leqslant \kappa(\|\widetilde\varphi(\cdot)-\varphi(\cdot)\|_{C(\Delta(\rho),\mathbb R^n)}+\|\widetilde f(\cdot)-f(\cdot)\|_{C(B(\rho),\mathbb R^{m_1})} \\ &\qquad +\|\widetilde g(\cdot)-g(\cdot)\|_{C(B(\rho),\mathbb R^{m_2})}). \end{aligned} \end{equation} \tag{4} $$

Заметим, что теорема утверждает больше, чем непрерывная зависимость от правой части и краевых условий, а именно, доказывается линейная оценка (4), из которой, очевидно, эта непрерывная зависимость следует.

Перед непосредственным доказательством этой теоремы приведем доказательства леммы об обратной функции и леммы, характеризующей условие $\Lambda(\widehat x(\cdot))=\{0\}$ в других терминах.

Лемма 1 (об обратной функции). Пусть $X$, $Y$, $Y_1$ – банаховы пространства и $Y_1$ непрерывно вложено в $Y$, $K$ – выпуклое замкнутое подмножество $X$, $V$ – окрестность точки $\widehat x\in K$ и $F\in C(V,Y)$. Тогда если выполнены условия

то найдутся окрестность $U\subset Y_1$ точки $F(\widehat x)$, окрестность $W\subset C(V\cap K,Y)$ отображения $F$ и константа $c>0$ такие, что для любого отображения $\widetilde F\in W$, для которого $\widetilde F-F\in C(V\cap K,Y_1)$, существует отображение $\psi_{\widetilde F}\colon U\to V\cap K$, удовлетворяющее соотношениям
$$ \begin{equation} \widetilde F(\psi_{\widetilde F}(y))=y, \qquad \|\psi_{\widetilde F}(y)-\widehat x\|_X\leqslant c(\|\widetilde F-F\|_{C(V\cap K,Y)}+\|y-F(\widehat x)\|_Y) \end{equation} \tag{5} $$
для всех $y\in U$.

Доказательство. Из условий леммы 1 следует, что выполнены предположения леммы 1 из статьи авторов в [3], из которой, в свою очередь, следует существование положительных чисел $\gamma$, $a$ и непрерывного отображения $R\colon U_{Y}(0,\gamma)\to K-\widehat x$ таких, что для всех $z\in U_{Y}(0,\gamma)$ справедливы соотношения ($A=F'(\widehat x)$)
$$ \begin{equation} A R(z)=z, \qquad \|R(z)\|_X\leqslant a\|z\|_Y. \end{equation} \tag{6} $$

Пусть $0<\varepsilon<1/a$. В силу условия 1) найдется $0<\delta\leqslant1$ такое, что

$$ \begin{equation*} \widehat x+U_X(0,\delta)\subset V \end{equation*} \notag $$
и если $x\in U_X(0,\delta)$, то
$$ \begin{equation} \|F(\widehat x+x)-F(\widehat x)-A x\|_Y\leqslant\varepsilon\|x\|_X. \end{equation} \tag{7} $$

Поскольку $Y_1$ непрерывно вложено в $Y$, то существует константа $b>0$ такая, что $\|y\|_Y\leqslant b\|y\|_{Y_1}$ для всех $y\in Y_1$. Выберем $r>0$ и $\delta_1>0$ так, чтобы

$$ \begin{equation} r+b\delta_1\leqslant(1-\varepsilon a)\min\biggl(\gamma,\frac \delta a\biggr), \end{equation} \tag{8} $$
и положим $U=U_{Y_1}(F(\widehat x),\delta_1)$, $W=U_{C(V\cap K,Y)}(F,r)$.

Пусть $y\in U$, $\widetilde F\in W$ и $ \widetilde F-F\in C(V\cap K,Y)$. Для каждого $x\in U_X(0,\delta)\cap(K-\widehat x)$ положим

$$ \begin{equation*} z(x)=z_{y,\widetilde F}(x)=A x+y-\widetilde F(\widehat x+x). \end{equation*} \notag $$
Записывая $z(x)$ в виде
$$ \begin{equation*} z(x)=A(\widehat x+x)-F(\widehat x+x)+F(\widehat x+x)-\widetilde F(\widehat x+x)+F(\widehat x)-A\widehat x+y-F(\widehat x), \end{equation*} \notag $$
получаем из условия 4) леммы, выбора $\widetilde F$ и $y$, что $z(x)\in B_{Y_1}(0,\kappa)$ для всех $x\in U_X(0,\delta)\cap(K-\widehat x)$ и некоторого $\kappa=\kappa(y,\widetilde F)>0$.

Записывая $z(x)$ в виде

$$ \begin{equation*} z(x)=-(F(\widehat x+x)-F(\widehat x)-A x) +F(\widehat x+x)-\widetilde F(\widehat x+x)+y-F(\widehat x), \end{equation*} \notag $$
заключаем (в силу неравенства (7) и выбора $\widetilde F$), что
$$ \begin{equation} \|z(x)\|_Y\leqslant \varepsilon\|x\|_X +\|\widetilde F-F\|_{C(V\cap K,Y)}+\|y-F(\widehat x)\|_Y=\varepsilon\|x\|_X+d \end{equation} \tag{9} $$
для всех $x\in U_X(0,\delta)\cap(K-\widehat x)$, где
$$ \begin{equation*} d=d(y, \widetilde F)=\|\widetilde F-F\|_{C(V\cap K,Y)}+\|y-F(\widehat x)\|_Y. \end{equation*} \notag $$

Положим $c=a/(1-\varepsilon a)$ и обозначим

$$ \begin{equation*} M=B_X(0, cd)\cap(K-\widehat x). \end{equation*} \notag $$
Введем отображение $\Phi=\Phi_{y,\widetilde F}\colon M\to X$, действующее по формуле
$$ \begin{equation*} \Phi(x)=R(z(x)). \end{equation*} \notag $$
Отображение определено корректно, так как, во-первых, $cd<\delta$, поскольку $d<r+b\delta_1$ (в силу выбора $y$ и $\widetilde F$ и непрерывности вложения $Y_1$ в $Y$), то, учитывая (8), имеем $cd<a(r+b\delta_1)/(1-\varepsilon a)\leqslant \delta$, а, во-вторых, отсюда учитывая (9) и используя (8), получим, что
$$ \begin{equation*} \|z(x)\|_Y\leqslant\varepsilon\|x\|_X+d<(\varepsilon c+1)d=\frac{d}{1-\varepsilon a}<\frac{r+b\delta_1}{1-\varepsilon a}\leqslant\gamma. \end{equation*} \notag $$
Отображение $\Phi$ непрерывно, как суперпозиция непрерывных отображений, и переводит выпуклое замкнутое множество $M$ в себя. Действительно, пусть $x\in M$. В силу (6), предыдущей оценки и определения $c$
$$ \begin{equation*} \|\Phi(x)\|_X=\|R(z(x))\|_X\leqslant a\|z(x)\|_Y<\frac{ad}{1-\varepsilon a}=cd, \end{equation*} \notag $$
т.е. $\Phi(x)\in B_X(0, cd)$. Кроме того, $\Phi(x)\in K-\widehat x$ по определению отображения $R$.

Покажем теперь, что образ $M$ при отображении $\Phi$ предкомпактен.

Пусть $x\in M$. Из определения $\Phi$ и равенства в (6) следует, что

$$ \begin{equation*} A\Phi(x)=A R(z(x))=z(x). \end{equation*} \notag $$
Так как по доказанному $z(x)\in B_{Y_1}(0,\kappa)$, то
$$ \begin{equation*} \Phi(x)\in A^{-1}(z(x))\subset A^{-1}(B_{Y_1}(0,\kappa)). \end{equation*} \notag $$
Кроме того, $\Phi(x)\in B_X(0,cd)\subset B_X(0,1)$ ($cd<\delta\leqslant1$). Следовательно, образ $B_X(0, cd)$ при отображении $\Phi$ содержится во множестве $B_X(0,1)\cap A^{-1}(B_{Y_1}(0,\kappa))$, которое, очевидно, предкомпактно в силу предкомпактности множества $B_X(0,1)\cap A^{-1}(B_{Y_1}(0,1))$ в силу условия 3) леммы, и тем самым этот образ сам предкомпактен.

По теореме Шаудера найдется элемент $\widetilde x=\widetilde x(y,\widetilde F)$ такой, что $\Phi(\widetilde x)=\widetilde x$. Тогда отсюда, из определения $\Phi$, из равенства в (6) и определения $z(x)$ следует, что

$$ \begin{equation*} A \widetilde x=A\Phi(\widetilde x)=A R(z(\widetilde x)) =z(\widetilde x)=A \widetilde x+y-\widetilde F(\widehat x+\widetilde x), \end{equation*} \notag $$
т.е. $\widetilde F(\widehat x+\widetilde x)=y$. Положим $\psi_{\widetilde F}(y)=\widehat x+\widetilde x$. По условию
$$ \begin{equation*} \widetilde x\in U_X(0,\delta)\cap(K-\widehat x)\subset (V-\widehat x)\cap(K-\widehat x) \end{equation*} \notag $$
и поэтому $\psi_{\widetilde F}(y)\in V\cap K$, т.е. справедливо равенство в (5) для любого $y\in U$.

Так как $\psi_{\widetilde F}(y)-\widehat x=\widetilde x\in B_X(0, cd)$, то справедливо неравенство в (5), и лемма об обратной функции доказана.

Пусть $X=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times \mathbb R^{m_1}$, $Y=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^{m_1}\times \mathbb R^{m_2}$ и $\widehat x(\cdot)$ – решение задачи (1). Рассмотрим отображение $A(\widehat x(\cdot))\colon X\to Y$, действующее для всех $(h(\cdot),\xi,\nu)\in X$ и $t\in[t_0,t_1]$ по формуле

$$ \begin{equation*} A(\widehat x(\cdot))[h(\cdot),\xi,\nu](t)=\biggl(h(t)-\xi -\int_{t_0}^t\varphi_x(\tau,\widehat x(\tau))h(\tau)\,d\tau, \, \widehat f'[\xi,h(t_1)]+\nu,\, \widehat g'[\xi,h(t_1)]\biggr). \end{equation*} \notag $$
Нетрудно убедиться, что это линейный непрерывный оператор.

Положим

$$ \begin{equation*} K=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times \bigl(\mathbb R^{m_1}_++f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\bigr). \end{equation*} \notag $$
Ясно, что это выпуклое замкнутое подмножество $X$.

Лемма 2. Следующие условия эквивалентны:

1) $\Lambda(\widehat x(\cdot))=\{0\}$;

2) $0\in\operatorname{int}A(\widehat x(\cdot))K$.

Доказательство этой леммы опирается на следующие два предложения.

Предложение 1. Пусть $X$, $Y_1$, $Y_2$ – банаховы пространства, $A_i\colon X\to Y_i$, $i= 1,2$, – линейные непрерывные операторы, оператор $A=(A_1,A_2)\colon X\to Y=Y_1\times Y_2$ действует по правилу $Ax=(A_1x,A_2x)$, $x\in X$, и $C$ – выпуклое замкнутое подмножество $X$. Тогда $0\in\operatorname{int}AC$ в том и только в том случае, если

$$ \begin{equation*} 0\in\operatorname{int}A_1C, \qquad 0\in\operatorname{int}A_2(C\cap \operatorname{Ker}A_1). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Пусть $0\in\operatorname{int}AC$. Тогда найдется $r>0$ такое, что $U_{Y_1}(0,r)\times U_{Y_2}(0,r)\subset A(C)$. Отсюда получаем включение $U_{Y_1}(0,r)\subset A_1C$ и, значит, $0\in\operatorname{int}A_1C$.

Далее, так как $\{0\}\times U_{Y_2}(0,r)\subset A(C)$, для любого $y_2\in U_{Y_2}(0,r)$ найдется элемент $x\in C\cap\operatorname{Ker}A_1$ такой, что $A_2x=y_2$ и тем самым $0\in\operatorname{int}A_2(C\cap \operatorname{Ker}A_1)$.

Обратно, пусть $0\in\operatorname{int}A_1C$ и $0\in\operatorname{int}A_2(C\cap \operatorname{Ker}A_1)$. Из первого включения следует, что выполнены предположения леммы $1$ из статьи авторов в [3], из которой, как уже было сказано в начале доказательства леммы 1, следует существование чисел $\gamma>0$, $a>0$ и отображения $R\colon U_{Y_1}(0,\gamma)\to C$ таких, что для всех $y_1\in U_{Y_1}(0,\gamma)$ справедливы соотношения

$$ \begin{equation} A_1R(y_1)=y_1, \qquad \|R(y_1)\|_X\leqslant a\|y_1\|_{Y_1}. \end{equation} \tag{10} $$
Из второго включения следует, что $U_{Y_2}(0,\rho)\subset A_2(C\cap \operatorname{Ker}A_1)$ для некоторого $\rho>0$. Пусть $0<\delta\leqslant \min(\rho/4, \rho/4a\|A_2\|,\gamma/2)$. Покажем, что $U_{Y}(0,\delta)\subset AC$.

Если $y=(y_1,y_2)\in U_{Y}(0,\delta)$, то $2y_1\in U_{Y_1}(0,\gamma)$ согласно выбору $\delta$ и поэтому в силу (10) найдется $x_1=R(2y_1)\in C$ такое, что $A_1x_1=2y_1$.

Теперь покажем, что $2y_2-A_2x_1\in U_{Y_2}(0,\rho)$. Действительно, учитывая выбор $\delta$ и неравенство в (10), будем иметь

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \|2y_2-A_2x_1\|_{Y_2} &\leqslant2\|y_2\|_{Y_2}+\|A_2\|\,\|x_1\|_X <\frac{\rho}2+\|A_2\|a\|2y_1\|_{Y_1} \\ &<\frac{\rho}2 +\|A_2\|2a\delta\leqslant \frac{\rho}2+ \frac{\rho}2=\rho. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Следовательно, найдется $x_2\in C\cap \operatorname{Ker}A_1$, для которого $A_2x_2=2y_2-A_2x_1$.

Положим $x=(1/2)x_1+(1/2)x_2$. Так как $x_i\in C$, $i=1,2$, и $C$ выпукло, то $x\in C$. Далее, поскольку $x_2\in \operatorname{Ker}A_1$, то

$$ \begin{equation*} A_1x=\frac12A_1x_1+\frac12A_1x_2=\frac12A_1x_1=y_1, \end{equation*} \notag $$
а из определения $x_2$ следует, что
$$ \begin{equation*} A_2x=\frac12A_2x_1+\frac12A_2x_2=\frac12A_2x_1+y_2-\frac12A_2x_1=y_2, \end{equation*} \notag $$
т.е. $Ax=(A_1x,A_2x)=(y_1,y_2)=y$.

Таким образом, $U_{Y}(0,\delta)\subset AC$ и предложение 1 доказано.

Введенный выше оператор $A(\widehat x(\cdot))$ имеет вид $A(\widehat x(\cdot))=(A_{1}(\widehat x(\cdot)), A_{2}(\widehat x(\cdot)))$, где линейный оператор $A_{1}(\widehat x(\cdot))\colon X\to Y_1=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ действует по правилу

$$ \begin{equation*} A_{1}(\widehat x(\cdot))[h(\cdot),\xi,\nu](t)=h(t)-\xi- \int_{t_0}^t\varphi_x(\tau,\widehat x(\tau))h(\tau)\,d\tau \end{equation*} \notag $$
для всех $(h(\cdot),\xi,\nu)\in X$ и $t\in[t_0,t_1]$, а линейный оператор $A_{2}(\widehat x(\cdot))\colon X\to Y_2=\mathbb R^{m_1}\times \mathbb R^{m_2}$ – по правилу
$$ \begin{equation*} A_{2}(\widehat x(\cdot))[h(\cdot),\xi,\nu]=\bigl(\widehat f'[\xi,h(t_1)]+\nu,\widehat g'[\xi,h(t_1)]\bigr) \end{equation*} \notag $$
для всех $(h(\cdot),\xi,\nu)\in X$.

Предложение 2. Следующие условия эквивалентны:

a) $\Lambda(\widehat x(\cdot))=\{0\}$;

b) $0\in\operatorname{int}A_2(\widehat x(\cdot))(K\cap \operatorname{Ker}A_1(\widehat x(\cdot)))$.

Доказательство. a) $\Rightarrow$ b). Доказываем от противного. Предположив, что включение b) не выполняется, покажем, что $\Lambda(\widehat x(\cdot))\ne\{0\}$.

Если это включение не выполняется, то либо множество справа в нем имеет непустую внутренность и нуль ей не принадлежит, либо его внутренность пуста. Это множество выпукло (как образ выпуклого множества при линейном отображении); следовательно, его внутренность также выпукла и, если она не пуста и нуль ей не принадлежит, то по конечномерной теореме отделимости найдется ненулевой вектор $\lambda\in (\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2})^*$ такой, что

$$ \begin{equation} \bigl\langle\lambda,A_{2}(\widehat x(\cdot))[h(\cdot),\xi,\nu]\bigr\rangle\geqslant0 \end{equation} \tag{11} $$
для всех $(h(\cdot),\xi,\nu)\in K\cap\operatorname{Ker}A_{1}(\widehat x(\cdot))$, причем $h(\cdot)=h(\cdot,\xi)$ (в силу определения оператора $A_1(\widehat x(\cdot))$) удовлетворяет дифференциальному уравнению
$$ \begin{equation} \dot h=\varphi_x(t,\widehat x(t))h, \qquad h(t_0)=\xi. \end{equation} \tag{12} $$

Если внутренность множества справа во включении b) пуста, то, как хорошо известно (см., например, [4]), это множество принадлежит некоторой гиперплоскости, содержащей нуль (так как нуль самому множеству принадлежит), и в этом случае неравенство (11) становится равенством.

Полагая $\lambda=(\lambda_f,\lambda_{g})\in (\mathbb R^{m_1})^*\times (\mathbb R^{m_2})^*$, неравенство (11), согласно определению оператора $A_{2}$, запишется следующим образом:

$$ \begin{equation} \bigl\langle\lambda_f,\widehat f_{\zeta_0}\xi+\widehat f_{\zeta_1}h(t_1,\xi)+\nu\bigr\rangle+\bigl\langle\lambda_g,\widehat g_{\zeta_0}\xi+\widehat g_{\zeta_1}h(t_1,\xi)\bigr\rangle\geqslant0, \end{equation} \tag{13} $$
где $\nu=\nu'+f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$ и $\nu'\in\mathbb R^{m_1}_+$.

Используя это соотношение, докажем, что $\Lambda(\widehat x(\cdot))\ne\{0\}$.

Пусть $\xi=0$ в (13). Тогда $h(t_1,0)=0$. Полагая $\nu'=\nu_0-f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$ для любого $\nu_0\in \mathbb R^{m_1}_+$, получаем из (13), что $\langle\lambda_f,\nu_0\rangle\geqslant0$, т.е. $\lambda_f\in(\mathbb R^{m_1})^*_+$.

Если $\xi=0$ и $\nu'=0$, то из (13) вытекает, что $\langle\lambda_f,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\rangle\geqslant0$. Но $\lambda_f\in(\mathbb R^{m_1})^*_+$, а $f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\leqslant0$ и поэтому $\langle\lambda_f,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\rangle\leqslant0$. Таким образом, $\langle\lambda_f,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\rangle=0$ и, значит, справедливо четвертое соотношение в (2).

Положим в (13) $\nu'=-f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$. Тогда в силу того, что $\xi\in\mathbb R^n$ и $h(\cdot,\xi)$ от $\xi$ зависит линейно, неравенство (13) становится равенством:

$$ \begin{equation} \bigl\langle \lambda_f,\widehat f_{\zeta_0} \xi+\widehat f_{\zeta_1} h(t_1,\xi)\bigr\rangle +\bigl\langle \lambda_g,\widehat g_{\zeta_0} \xi+\widehat g_{\zeta_1} h(t_1,\xi)\bigr\rangle=0 \end{equation} \tag{14} $$
для всех $\xi\in\mathbb R^n$.

Пусть $p(\cdot)$ – решение уравнения

$$ \begin{equation} \dot p =-p\varphi_x(t,\widehat x(t)), \qquad p(t_1)=-{\widehat {f}_{\zeta_1}}^*\lambda_f-{\widehat {g}_{\zeta_1}}^*\lambda_g. \end{equation} \tag{15} $$
Из (14), (15) и (12) получаем, учитывая, что $h(t_0,\xi)=\xi$,
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\langle\lambda_0\widehat f_{\zeta_0}^*\lambda_f+\widehat g_{\zeta_0}^*\lambda_g,\xi\rangle =-\langle\widehat f_{\zeta_1}^*\lambda_f+\widehat g_{\zeta_1}^*\lambda_g, h(t_1,\xi)\rangle=\langle p(t_1),h(t_1,\xi)\rangle \\ \notag &\qquad=\int_{t_0}^{t_1}\bigl(\langle p(t),\dot h(t,\xi)\rangle+\langle\dot p(t),h(t,\xi)\rangle\bigr)\,dt+\langle p(t_0),h(t_0,\xi)\rangle \\ &\qquad = \langle p(t_0),h(t_0,\xi)\rangle=\langle p(t_0),\xi\rangle \end{aligned} \end{equation} \tag{16} $$
для любого $\xi\in\mathbb R^n$ и тем самым $p(t_0)=\widehat f_{\zeta_0}^*\lambda_f+\widehat g_{\zeta_0}^*\lambda_g$.

Вместе с (15) это означает, что выполняются первые три соотношения в (2) и тем самым $\Lambda(\widehat x(\cdot))\ne\{0\}$. Импликация a) $\Rightarrow$ b) доказана.

b) $\Rightarrow$ a). Снова доказываем от противного. Предположив, что $\Lambda(\widehat x(\cdot))\ne\{0\}$, докажем невозможность включения b).

Пусть $(\lambda_f,\lambda_g, p(\cdot))$ – ненулевая тройка, для которой выполняются условия (2) (тогда $(\lambda_f,\lambda_g)$ – ненулевая пара, иначе $p(\cdot)=0$). Покажем, что с этой тройкой справедливо неравенство (13). Это, очевидно, будет противоречить тому, что нуль – внутренняя точка множества справа в b).

Из второго и третьего условий в (2) и (16) следует равенство

$$ \begin{equation*} -\langle\widehat f_{\zeta_1}^*\lambda_f+\widehat g_{\zeta_1}^*\lambda_g, h(t_1,\xi)\rangle=\langle\widehat f_{\zeta_0}^*\lambda_f+\widehat g_{\zeta_0}^*\lambda_g,\xi\rangle, \end{equation*} \notag $$
равносильное равенству (14), из которого, в силу того, что $\lambda_f\in (\mathbb R^{m_1})^*_+$ и справедливо четвертое условие в (2), следует неравенство (13). Таким образом, импликация b) $\Rightarrow$ a) доказана и тем самым доказано предложение 2.

Доказательство леммы 2. 1) $\Rightarrow$ 2). Так как $\Lambda(\widehat x(\cdot))=\{0\}$, то согласно предложению 2 справедливо включение b). Покажем, что справедливо также и включение $0\in\operatorname{int}A_1(\widehat x(\cdot))K$.

Действительно, рассмотрим оператор $A_0\colon C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\to C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, действующий для всех $h(\cdot)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ по правилу

$$ \begin{equation} A_0[h(\cdot)](t)=h(t)-\int_{t_0}^t\varphi_x(\tau,\widehat x(\tau))h(\tau)\,d\tau \qquad \forall\,t\in[t_0,t_1]. \end{equation} \tag{17} $$
Хорошо известно (см., например, [5; п. 2.5.7]) и нетрудно проверить, что это линейный непрерывный биективный оператор.

Пусть $y(\cdot)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Найдется $h(\cdot)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ такое, что $A_0[h(\cdot)](\cdot)=y(\cdot)$. Это равносильно тому, что $A_1(\widehat x(\cdot))[h(\cdot),0,0](\cdot)=y(\cdot)$. Но $(h(\cdot),0,0)\in K$ и, значит, $A_1(\widehat x(\cdot))K=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Следовательно, $0\in\operatorname{int}A_1(\widehat x(\cdot))K$.

Теперь из предложения 1, где $A_1=A_1(\widehat x(\cdot))$, $A_2=A_2(\widehat x(\cdot))$, $A=A(\widehat x(\cdot))=(A_1(\widehat x(\cdot)), A_2(\widehat x(\cdot))$ и $C=K$, получаем, что справедливо включение 2).

2) $\Rightarrow$ 1). Если выполняется включение 2), то из предложения 1 (где снова $A_1=A_1(\widehat x(\cdot))$, $A_2=A_2(\widehat x(\cdot))$, $A=A(\widehat x(\cdot))=(A_1(\widehat x(\cdot)), A_2(\widehat x(\cdot))$ и $C=K$) вытекает, что справедливо включение b) в предложении 2, из которого следует, что $\Lambda(\widehat x(\cdot))=\{0\}$. Лемма 2 доказана.

Доказательство теоремы 1. Доказательство будет следовать из леммы 1 об обратной функции, которую мы применим к данной ситуации. Пусть $\widehat x(\cdot)$ – решение задачи (1) и пусть в данной лемме
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, X=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times \mathbb R^{m_1}, \qquad Y=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^{m_1}\times \mathbb R^{m_2}, \\ Y_1=C^1([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^{m_1}\times \mathbb R^{m_2}, \\ K=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times (\mathbb R^{m_1}_++f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)), \\ \widehat x=(\widehat x(\cdot), \widehat x(t_0), 0), \qquad V =U_{X}(\widehat x,\delta_0), \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $0<\delta_0\leqslant\min(\rho, 1)$.

Чтобы далее не путать $\widehat x$ с $\widehat x(\cdot)$ будем писать $\widehat z$ вместо $\widehat x$, т.е. $\widehat z=(\widehat x(\cdot), \widehat x(t_0),0)$.

Ясно, что $Y_1$ непрерывно вложено в $Y$ и что $K$ – выпуклое замкнутое подмножество $X$.

Отображение $F\colon V\to Y$ определим по формуле

$$ \begin{equation} F(x(\cdot),\xi,\nu)(t) =\biggl(x(t)-\xi-\int_{t_0}^t\varphi(\tau,x(\tau))\,d\tau,\,f(\xi,x(t_1))+\nu, \,g(\xi,x(t_1))\biggr) \end{equation} \tag{18} $$
для всех $(x(\cdot),\xi,\nu)\in V$ и $t\in[t_0,t_1]$.

Поскольку $V$ – ограниченное множество, а отображения $\varphi$, $f$ и $g$ непрерывны, то выражение справа равномерно ограничено по всем элементам из $V$ и $t\in[t_0,t_1]$. Далее, очевидно, отображение $F$ сопоставляет каждому элементу из $V$ элемент из $Y$ и поэтому $F\in C(V,Y)$.

Покажем, что введенные пространства, множество $K$ и отображение $F$ удовлетворяют условиям леммы 1.

Из (18) следует, что $F(\widehat z)=(0,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)),0)$, поскольку $\widehat x(\cdot)$ – решение уравнения (1), и тем самым $F(\widehat z)\in Y_1$.

Отображение $F$ дифференцируемо (см. [5; п. 2.4.2]) и его производная в точке $\widehat z=(\widehat x(\cdot), \widehat x(t_0),0)$ действует по правилу

$$ \begin{equation*} F'(\widehat z)[h(\cdot),\xi,\nu](t)=\biggl(h(t)-\xi-\int_{t_0}^t\varphi_x(\tau,\widehat x(\tau))h(\tau)\,d\tau,\, \widehat f'[\xi,h(t_1)]+\nu,\, \widehat g'[\xi,h(t_1)]\biggr) \end{equation*} \notag $$
для всех $(h(\cdot),\xi,\nu)\in X$ и $t\in [t_0,t_1]$.

Таким образом, условие 1) леммы 1 выполняется. Проверим выполнимость условия 2).

Очевидно, что $F'(\widehat x)=A(\widehat x(\cdot))$ и $K=K-\widehat z$. По предположению $\Lambda(\widehat x(\cdot))=\{0\}$ и поэтому из леммы 2 следует, что выполнено условие 2) леммы 1.

Перейдем к проверке условия 3). Если $(h(\cdot),\xi,\nu)\in B_X(0,1)\cap(F'(\widehat x))^{-1}(B_{Y_1}(0,1))$, то найдется такая тройка $(y(\cdot),w_1,w_2)\in B_{Y_1}(0,1)$, что

$$ \begin{equation*} h(t)-\xi-\int_{t_0}^t\varphi_x(\tau,\widehat x(\tau))h(\tau)\,d\tau=y(t) \qquad \forall\,t\in[t_0,t_1], \end{equation*} \notag $$
$\widehat f'[\xi,h(t_1)]+\nu=w_1$ и $\widehat g'[\xi,h(t_1)]=w_2$.

Так как $y(\cdot)\in C^1([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, то $h(\cdot)\in C^1([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и, значит,

$$ \begin{equation*} \dot h(t)-\varphi_x(t,\widehat x(t))h(t)=\dot y(t) \qquad \forall\,t\in[t_0,t_1]. \end{equation*} \notag $$

По условию $\|h(\cdot)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\leqslant1$ и $\|\dot y(\cdot)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\leqslant1$, поэтому из последнего равенства следует, что

$$ \begin{equation*} \|\dot h(\cdot)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\leqslant \|\widehat\varphi_x(\cdot)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}+1. \end{equation*} \notag $$

Таким образом, множество указанных функций $h(\cdot)$ ограничено, они липшицевы с одной и той же константой и тем самым равностепенно непрерывны. Следовательно, по теореме Асколи–Арцела это множество предкомпактно в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$.

Далее, так как $|\xi|+|\nu|\leqslant1$, то множество таких пар $(\xi,\nu)$ компактно в $\mathbb R^{n+m_1}$, т.е. множество $B_X(0,1)\cap(\widehat F'(\widehat x))^{-1}(B_{Y_1}(0,1))$ предкомпактно в $X$ и, значит, выполнено условие 3) леммы 1.

Осталось проверить условие 4). Для любых $z=(x(\cdot), \xi, \nu)\in V$ и $t\in[t_0,t_1]$ имеем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, F[z](t)-F'(\widehat z)[z](t) &=\biggl(-\int_{t_0}^{t}(\varphi(\tau,x(\tau)) -\widehat\varphi_x(\tau)x(\tau))\,d\tau, f(\xi,x(t_1))-\widehat f'[\xi,x(t_1)], \\ &\qquad g(\xi,x(t_1))-\widehat g'[\xi,x(t_1)]\biggr). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Отсюда следует в силу непрерывности отображений $\varphi$ и $\varphi_x$, что первая компонента разности $F[z](\cdot)-F'(\widehat z)[z](\cdot)$ принадлежит $C^1([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и тем самым сама разность принадлежит $Y_1$. Поскольку $V$ ограничено и отображения $f$ и $g$ непрерывны, данная разность принадлежит $C(V,Y_1)$, т.е. условие 4) леммы 1 выполнено.

Пусть окрестности $U$, $W$ и константа $c$ из этой леммы, а $r>0$ такое, что $U_{C(V\cap K,Y)}(F,r)\subset W$. Пусть окрестность $\widetilde W$ в теореме 1 есть открытый шар с центром в точке $(\varphi(\cdot), f(\cdot),g(\cdot))$ радиуса $r/\max(1,t_1-t_0)$ и пусть $(\widetilde\varphi(\cdot), \widetilde f(\cdot),\widetilde g(\cdot))\in \widetilde W$.

Рассмотрим отображение $\widetilde F\colon V\to Y$, определенное по формуле

$$ \begin{equation*} \widetilde F(x(\cdot),\xi,\nu)(t)=\biggl(x(t)-\xi -\int_{t_0}^t\widetilde\varphi(\tau,x(\tau))\,d\tau,\, \widetilde f(\xi,x(t_1))+\nu,\, \widetilde g(\xi,x(t_1))\biggr) \end{equation*} \notag $$
для всех $(x(\cdot),\xi,\nu)\in V$ и $t\in[t_0,t_1]$. Тогда
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \widetilde F(x(\cdot),\xi,\nu)(t)-F(x(\cdot),\xi,\nu)(t) &=\biggl(-\int_{t_0}^t(\widetilde\varphi(\tau,x(\tau))- \varphi(\tau,x(\tau)))\,d\tau, \\ &\qquad \widetilde f(\xi,x(t_1))-f(\xi,x(t_1)),\, \widetilde g(\xi,x(t_1))-g(\xi,x(t_1))\biggr). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Ясно, что это выражение принадлежит $C(V\cap K,Y_1)$. Если $(x(\cdot),\xi,\nu)\in V$ и $t\in[t_0,t_1]$, то
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &|\widetilde F(x(\cdot),\xi,\nu)(t)-F(x(\cdot),\xi,\nu)(t)| \leqslant(t_1-t_0)\|\widetilde\varphi(\cdot)-\varphi(\cdot)\|_{C(\Delta(\rho),\mathbb R^n)} \\ &\qquad\qquad+\|\widetilde f(\cdot)-f(\cdot)\|_{C(B(\rho),\mathbb R^{m_1})}+\|\widetilde g(\cdot)-g(\cdot)\|_{C(B(\rho),\mathbb R^{m_2})}<r, \end{aligned} \end{equation} \tag{19} $$
т.е. $\widetilde F\in U_{C(V\cap K,Y)}(F,r)\subset W$.

Согласно лемме 1 существует отображение $\psi_{\widetilde F}\colon U\to V\cap K$, удовлетворяющее соотношениям (5), первое из которых при $y=(0,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)),0)$ (полагая $\psi_{\widetilde F}(y)=(\widetilde x(\cdot),\widetilde\xi,\widetilde\nu)$, где $\widetilde\nu=\widetilde \nu_1+f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$ и $\widetilde\nu_1\geqslant0$) примет вид

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\widetilde F(\psi_{\widetilde F}(y))(t) =\widetilde F(\widetilde x(\cdot),\widetilde\xi,\widetilde\nu)(t) \\ &\qquad=\biggl(\widetilde x(t)-\widetilde \xi-\int_{t_0}^t\widetilde\varphi(\tau,\widetilde x(\tau))\,d\tau, \widetilde f(\widetilde \xi,\widetilde x(t_1))+\widetilde \nu, \, \widetilde g(\widetilde \xi,\widetilde x(t_1))\biggr)=(0, f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)),0) \end{aligned} \end{equation} \tag{20} $$
для всех $t\in [t_0,t_1]$. Отсюда следует, что $\widetilde x(\cdot)$ – решение дифференциального уравнения в (3) и при этом $\widetilde \xi=\widetilde x(t_0)$. Кроме того, $\widetilde f(\widetilde x(t_0),\widetilde x(t_1))+\widetilde \nu_1=f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$, поэтому $\widetilde f(\widetilde x(t_0),\widetilde x(t_1))\leqslant0$, и ясно, что $\widetilde g(\widetilde x(t_0),\widetilde x(t_1))=0$, т.е. функция $\widetilde x(\cdot)$ удовлетворяет краевым условиям в (3).

Из неравенства в (5), учитывая (19) и то, что $\widehat F(\widehat x)=(0,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)),0)$, получаем оценку (4) с $\kappa=c\max(1,t_1-t_0)$. Теорема 1 доказана.

Следствие 1. Пусть отображение $\varphi$ непрерывно вместе со своей частной производной по $x$ и $\widehat x(\cdot)$ – решение задачи Коши

$$ \begin{equation} \dot x=\varphi(t,x), \qquad x(t_0)=x_0 \end{equation} \tag{21} $$
на $[t_0,t_1]$. Найдутся $c>0$, окрестность $V\subset C(\Delta(\rho),\mathbb R^n)$ отображения $\varphi(\cdot)$ и окрестность $V_0\subset\mathbb R^n$ точки $x_0$ такие, что для любой пары $(\widetilde\varphi(\cdot), \widetilde x_0)\in V\times V_0$ существует решение $\widetilde x(\cdot)$ задачи Коши
$$ \begin{equation*} \dot x=\widetilde\varphi(t,x), \qquad x(t_0)=\widetilde x_0, \end{equation*} \notag $$
на $[t_0,t_1]$ и при этом
$$ \begin{equation*} \|\widetilde x(\cdot)-\widehat x(\cdot)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\leqslant c(\|\widetilde\varphi(\cdot)-\varphi(\cdot)\|_{C(\Delta(\rho),\mathbb R^n)}+|x_0-\widetilde x_0|). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Ясно, что задача (21) – частный случай задачи (1): отображение $f(\cdot)$ отсутствует, а отображение $g(\cdot)$ имеет вид $g(\zeta_0, \zeta_1)=\zeta_0-x_0$. Следовательно, граничные условия для уравнения в (2) такие: $p(t_0)=\lambda_g$, $p(t_1)=0$, откуда в силу единственности $p(\cdot)=0$ и, значит, $\lambda_g=0$, т.е. $\Lambda(\widehat x(\cdot))=\{0\}$. Беря $\widetilde g(\zeta_0, \zeta_1)=\zeta_0-\widetilde x_0$, получаем из теоремы 1 утверждения следствия.

Заметим, что отображения $\widetilde\varphi$ только непрерывны. Если потребовать от $\widetilde\varphi$ еще непрерывность частной производной по $x$, то это следствие переходит в известную теорему из [1; § 7] о непрерывной зависимости, но без получения соответствующей оценки. В этой ситуации решение всегда единственно. В общем случае это не так, как показывает следующий пример.

Рассмотрим на $[0,1]$ задачу Коши

$$ \begin{equation*} \dot x=0,\qquad x(0)=0. \end{equation*} \notag $$
Единственное решение $\widehat x(\cdot)=0$. Пусть $\rho>0$. Тогда
$$ \begin{equation*} \Delta(\rho)=\bigl\{(t,x)\in\mathbb R\times\mathbb R\colon |x-\widehat x(t)|=|x|\leqslant\rho,\,t\in[0,1]\bigr\}. \end{equation*} \notag $$

Рассмотрим функцию $\varphi_\varepsilon(t,x)=\varepsilon x^{2/3}$, $\varepsilon>0$. Ясно, что $\|\varphi_\varepsilon-\varphi\|_{C(K(\rho),\mathbb R)}=\varepsilon \rho^{2/3}$ и тем самым отображение $\varphi_\varepsilon$, уменьшая $\varepsilon$, может быть как угодно близко к $\varphi=0$, но соответствующая задача Коши

$$ \begin{equation*} \dot x=\varepsilon x^{2/3}, \qquad x(0)=0 \end{equation*} \notag $$
имеет два решения: нулевое и $x(t)=(\varepsilon/3)^3t^3$, $t\in[0,1]$.

Второе следствие касается непрерывной зависимости решения от параметра. Рассмотрим задачу (1), в которой все отображения зависят еще от параметра $\mu$, пробегающего некоторое множество $M\subset\mathbb R^m$:

$$ \begin{equation} \dot x=\varphi(t,x,\mu), \qquad f(x(t_0),x(t_1),\mu)\leqslant0, \qquad g(x(t_0),x(t_1),\mu)=0, \end{equation} \tag{22} $$
где отображение $\varphi\colon \mathbb R\times\mathbb R^n\times M\to\mathbb R^n$ непрерывно вместе со своей производной по $x$, а отображения $f\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\times M\to \mathbb R^{m_1}$ и $g\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\times M\to \mathbb R^{m_2}$ при каждом $\mu\in M$ непрерывно дифференцируемы.

Пусть $\mu_0\in M$, $x(\cdot,\mu_0)$ – решение задачи (22) при $\mu=\mu_0$. Положим, как и раньше,

$$ \begin{equation*} \Delta(\rho)=\bigl\{(t,x)\in\mathbb R\times\mathbb R^n \colon |x-x(t,\mu_0)|\leqslant\rho,\,t\in[t_0,t_1]\bigr\} \end{equation*} \notag $$
и $B(\rho)=B_{\mathbb R^{2n}}((x(t_0,\mu_0),x(t_1,\mu_0)),\rho)$.

Следствие 2. Пусть $\mu_0\in\operatorname{int}M$, $x(\cdot,\mu_0)$ – решение задачи (22) и $\Lambda(x(\cdot,\mu_0))=\{0\}$. Тогда найдется такая окрестность $\mathcal O(\mu_0)$ точки $\mu_0$, что для любого $\mu\in\mathcal O(\mu_0)$ существует решение $x(\cdot,\mu)$ задачи (22), отображение $\mu\mapsto x(\cdot,\mu)$, как отображение в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, непрерывно в точке $\mu_0$ и кроме того,

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, & \|x(\cdot,\mu)-x(\cdot,\mu_0)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\leqslant c(\|\varphi(\cdot,\mu)-\varphi(\cdot,\mu_0)\|_{C(K(\rho),\mathbb R^n)} \\ &\qquad\qquad +\|f(\cdot,\mu)-f(\cdot,\mu_0)\|_{C(B(\rho),\mathbb R^{m_1})}+\|g(\cdot,\mu)-g(\cdot,\mu_0)\|_{C(B(\rho),\mathbb R^{m_2})}). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Для задачи (22), очевидно, выполнены условия теоремы 1 с заменой $\widehat x(\cdot)$ на $x(\cdot,\mu_0)$. Пусть окрестность $\widetilde W$ из этой теоремы.

Положим

$$ \begin{equation*} z_0=(\varphi(\cdot,\mu_0), f(\cdot,\mu_0),g(\cdot,\mu_0)), \qquad Z=C(\Delta(\rho),\mathbb R^n)\times C(B(\rho),\mathbb R^{m_1})\times C(B(\rho),\mathbb R^{m_2}). \end{equation*} \notag $$
Пусть $r>0$ и $\delta>0$ такие, что $U_{Z}(z_0,r)\subset \widetilde W$ и $B_{\mathbb R^m}(\mu_0,\delta)\subset M$.

Так как отображение $\varphi(\cdot)$ непрерывно на компакте $\Delta(\rho)\times B_{\mathbb R^m}(\mu_0,\delta)$, а отображения $f(\cdot)$ и $g(\cdot)$ – на компакте $B(\rho)\times B_{\mathbb R^m}(\mu_0,\delta)$, то они и равномерно непрерывны на этих компактах. Поэтому существует такое $0<\delta_0\leqslant\delta$, что

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, |\varphi(t,x,\mu)-\varphi(t,x,\mu_0)|<\frac r3, \qquad |f(\zeta_0,\zeta_1,\mu)-f(\zeta_0,\zeta_1,\mu_0)|<\frac r3, \\ |f(\zeta_0,\zeta_1,\mu)-f(\zeta_0,\zeta_1,\mu_0)|<\frac r3 \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
для всех $(t,x,\mu)\in \Delta(\rho)\times B_{\mathbb R^m}(\mu_0,\delta)$ и $(\zeta_0,\zeta_1,\mu)\in B(\rho)\times B_{\mathbb R^m}(\mu_0,\delta)$, для которых $|\mu-\mu_0|<\delta_0$.

Отсюда следует, что

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\|\varphi(\cdot,\mu)-\varphi(\cdot,\mu_0)\|_{C(\Delta(\rho),\mathbb R^n)}+\|f(\cdot,\mu)-f(\cdot,\mu_0)\|_{C(B(\rho),\mathbb R^{m_1})} \\ &\qquad\qquad+\|g(\cdot,\mu)-g(\cdot,\mu_0)\|_{C(B(\rho),\mathbb R^{m_2})}<r, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
т.е. тройка $(\varphi(\cdot,\mu), f(\cdot,\mu), g(\cdot,\mu))$ для любого $\mu\in \mathcal O(\mu_0)=U_{\mathbb R^m}(\mu_0,\delta_0)$ принадлежит $\widetilde W$ и, значит, согласно теореме 1 для каждого такого $\mu$ существует решение $x(\cdot,\mu)$ задачи (22) и справедлива соответствующая оценка.

Беря любое $0<\varepsilon\leqslant r$ в рассуждениях, связанных с равномерной непрерывностью, получим, что отображения $\mu\mapsto \varphi(\cdot,\mu)$, $\mu\mapsto f(\cdot,\mu)$ и $\mu\mapsto g(\cdot,\mu)$ непрерывны в точке $\mu_0$. Отсюда и из полученной оценки вытекает, что отображение $\mu\mapsto x(\cdot,\mu)$ непрерывно в $\mu_0$.

Отметим, что теорема 1 несложно обобщается на тот случай, когда под решением уравнения (1) понимается абсолютно непрерывная функция на $[t_0,t_1]$, а равенство выполняется для п.в. $t\in[t_0,t_1]$.

Пусть $G$ – открытое множество в $\mathbb R\times\mathbb R^n\times\mathbb R^n$, $\psi\colon G\to\mathbb R^n$ – непрерывное отображение переменных $t\in\mathbb R$, $x\in\mathbb R^n$, $\dot x\in\mathbb R^n$ и $x_i\in\mathbb R^n$, $i=0,1$.

Рассмотрим на отрезке $[t_0,t_1]$ следующую краевую задачу для уравнения второго порядка:

$$ \begin{equation} \ddot x=\psi(t,x,\dot x), \qquad x(t_0)=x_0, \quad x(t_1)=x_1, \end{equation} \tag{23} $$
где отображение $\psi$ непрерывно вместе со своими частными производными по $x$ и $\dot x$.

Пусть $\widehat x(\cdot)$ – решение этой задачи, график которого $\Gamma=\{(t,\widehat x(t),\dot{\widehat x}(t))\colon t\in[t_0,t_1]\}$ принадлежит $G$. Тогда найдется $\rho>0$ такое, что компакт

$$ \begin{equation*} \Delta_0(\rho)=\bigl\{(t,y_1,y_2)\in\mathbb R\times\mathbb R^n\times\mathbb R^n\colon |y_1-\widehat x(t)|+|y_2-\dot{\widehat x}(t)|\leqslant\rho, \, t\in[t_0,t_1]\bigr\} \end{equation*} \notag $$
также принадлежит $G$.

Положим $B_0(\rho)=B_{\mathbb R^n}(x_0,\rho)$, $B_1(\rho)=B_{\mathbb R^n}(x_1,\rho)$.

Далее, для сокращения записи, пишем $\widehat\psi(t)=\psi(t,\widehat x(t),\dot{\widehat x}(t))$ и аналогично для производных $\psi(\cdot)$ по $x$ и $\dot x$.

Введем следующее уравнение в вариациях для задачи (23):

$$ \begin{equation} \ddot u=\widehat\psi_x(t)u+\widehat\psi_{\dot x}(t)\dot u, \qquad u(t_0)=0. \end{equation} \tag{24} $$

Скажем, что $\tau\in(t_0, t_1]$ является сопряженной точкой с $t_0$, если существует нетривиальное решение $u(\cdot)$ уравнения (24) такое, что $u(\tau)=0$.

Теорема 2. Если $\widehat x(\cdot)$ – решение задачи (23) и $t_1$ не является сопряженной точкой с $t_0$, то найдутся константы $c>0$ и окрестность $W \subset C(\Delta_0(\rho),\mathbb R^n)\times \mathbb R^n\times\mathbb R^n$ точки $(\psi(\cdot), x_0,x_1)$ такие, что для любой точки $(\widetilde\psi(\cdot),\widetilde x_0,\widetilde x_1)\in W$ существует решение $\widetilde x(\cdot)$ краевой задачи

$$ \begin{equation*} \ddot x=\widetilde \psi(t,x,\dot x), \qquad x(t_0)=\widetilde x_0, \quad x(t_1)=\widetilde x_1, \end{equation*} \notag $$
на отрезке $[t_0,t_1]$ и справедлива оценка
$$ \begin{equation*} \|\widetilde x(\cdot)-\widehat x(\cdot)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\leqslant c(\|\widetilde \psi(\cdot)-\psi(\cdot)\|_{C(\Delta_0(\rho),\mathbb R^n)}+|\widetilde x_0-x_0| +|\widetilde x_1-x_1|). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Задача (23) эквивалентна следующей краевой задаче:
$$ \begin{equation} \dot z_1=z_2, \quad \dot z_2=\psi(t,z_1,z_2), \qquad z_1(t_0)=x_0, \quad z_1(t_1)=x_1, \end{equation} \tag{25} $$
в том смысле, что $\widehat x(\cdot)$ – решение задачи (23) тогда и только тогда, когда пара $\widehat z(\cdot)=(\widehat z_1(\cdot),\widehat z_2(\cdot))$, где $\widehat z_1(\cdot)=\widehat x(\cdot)$ и $\widehat z_2(\cdot)=\dot{\widehat x}(\cdot)$, является решением задачи (25).

Покажем, что $\Lambda(\widehat z(\cdot))=\{0\}$. Воспользуемся для этого предложением 2. В нашем случае оператор

$$ \begin{equation*} A_1(\widehat z(\cdot))\colon X=C([t_0,t_1],\mathbb R^{2n})\times\mathbb R^{2n}\to C([t_0,t_1],\mathbb R^{2n}) \end{equation*} \notag $$
действует по правилу
$$ \begin{equation*} A_{1}(\widehat z(\cdot))[h(\cdot),\xi](t)=h(t)-\xi- \int_{t_0}^t\varphi_x(\tau,\widehat z(\tau))h(\tau)\,d\tau \end{equation*} \notag $$
для всех $h(\cdot)=(h_1(\cdot),h_2(\cdot))\in C([t_0,t_1],\mathbb R^{n})\times C([t_0,t_1],\mathbb R^{n})$ и $\xi=(\xi_1,\xi_2)^T\in \mathbb R^n\times\mathbb R^n$, где
$$ \begin{equation*} \varphi(t,z_1,z_2)= (z_2, \psi(t,z_1,z_2))^T, \qquad \varphi_z(t,\widehat z(t))= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \widehat \psi_x(t) & \widehat \psi_{\dot x}(t) \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag $$
а оператор $A_{2}(\widehat z(\cdot))\colon X\to \mathbb R^{2n}$ – по правилу
$$ \begin{equation*} A_{2}(\widehat z(\cdot))[h(\cdot),\xi]=\widehat g'[\xi,h(t_1)]=(\xi_1,h_1(t_1))^T \end{equation*} \notag $$
для всех $(h(\cdot),\xi)\in X$.

Покажем, что

$$ \begin{equation*} \operatorname{Im}A_2(\widehat z(\cdot))(K\cap\operatorname{Ker}A_1(\widehat z(\cdot)))=\operatorname{Im}A_2(\widehat z(\cdot))\operatorname{Ker}A_1(\widehat z(\cdot))=\mathbb R^{2n} \end{equation*} \notag $$
(в нашем случае, очевидно, $K=X$).

Рассмотрим краевую задачу

$$ \begin{equation} \dot h_1=h_2, \quad \dot h_2=\widehat \psi_x(t)h_1+\widehat \psi_{\dot x}(t)h_2, \qquad h_1(t_0)=0, \quad h_1(t_1)=0. \end{equation} \tag{26} $$
Она имеет только нулевое решение. Действительно, данная задача без условия $h_1(t_1)=0$, эквивалентна задаче (24), и так как по предположению $t_1$ не является сопряженной точкой с $t_0$, то нулевая функция является единственным решением задачи (26).

Пусть $(h(\cdot),\xi)\in\operatorname{Ker}A_1(\widehat z(\cdot))$. Тогда $h(\cdot)=h(\cdot,\xi)=(h_1(\cdot,\xi), h_2(\cdot,\xi))$ удовлетворяет дифференциальным уравнениям

$$ \begin{equation} \dot h_1=h_2, \quad \dot h_2=\widehat \psi_x(t)h_1+\widehat \psi_{\dot x}(t)h_2, \qquad h_1(t_0)=\xi_1, \quad h_2(t_0)=\xi_2. \end{equation} \tag{27} $$

Сопоставим каждому $\xi=(\xi_1,\xi_2)\in\mathbb R^{2n}$ элемент $(h(\cdot,\xi),\xi)\in\operatorname{Ker}A_1(\widehat z(\cdot))$ (это линейное отображение) и покажем, что линейное отображение $A\colon\mathbb R^{2n}\to\mathbb R^{2n}$, $A\xi=A_2(\widehat z(\cdot))(h(\cdot,\xi),\xi)=(\xi_1,h_1(t_1,\xi))^T$ биективно. Достаточно доказать только его инъективность.

Пусть это не так и пусть $\widehat \xi=(\xi_1,\xi_2)\ne0$ таково, что $A\widehat \xi=(\xi_1,h_1(t_1,\widehat \xi))^T=0$. Тогда $\xi_1=0$, $\xi_2\ne0$ и $h_1(t_1,\widehat\xi)=0$. Так как $h(\cdot,\widehat\xi)$ удовлетворяет уравнению (27) и $\xi_2\ne0$, то $h(\cdot,\widehat\xi)$ – ненулевая функция. С другой стороны, $h(\cdot,\widehat\xi)$, очевидно, удовлетворяет уравнению (26), которому, как установлено, удовлетворяет только нулевая функция. Пришли к противоречию и, значит, $A$ – биективный оператор.

Отсюда следует, что $\operatorname{Im}A_2(\widehat z(\cdot))\operatorname{Ker}A_1(\widehat z(\cdot))=\mathbb R^{2n}$ и, значит, справедливо включение b) в предложении 2, из которого вытекает равенство $\Lambda(\widehat z(\cdot))=\{0\}$. Таким образом, выполнены условия теоремы 1 для задачи (25), откуда уже легко выводятся утверждения теоремы 2.

Предположение в теореме 2 о том, что $t_1$ не является сопряженной точкой с $t_0$ является существенным. Покажем, что если оно не выполняется, то может не быть как непрерывной зависимости решения уравнения от правой части и краевых условий, так и не существовать решения для близких правых частей и краевых условий.

Рассмотрим краевую задачу

$$ \begin{equation} \ddot x=-x, \qquad x(0)=0, \quad x(\pi)=0. \end{equation} \tag{28} $$
Функция $\widehat x(t)=\sin t$, $t\in[0,\pi]$, является ее решением. Уравнение в вариациях имеет вид
$$ \begin{equation*} \ddot u=-u,\qquad u(0)=0 \end{equation*} \notag $$
и, значит, $\pi$ – сопряженная точка с нулем.

Для каждого $0<\lambda<1$ положим $\psi_\lambda(t,x,\dot x)=-\lambda x$. Соответствующее уравнение

$$ \begin{equation*} \ddot x=-\lambda x, \qquad x(0)=0, \quad x(\pi)=0. \end{equation*} \notag $$
имеет только нулевое решение. Правая часть этого уравнения может быть как угодно близка к правой части уравнения (28) (выбирая $\lambda$, близкое к единице), но так как $\|\widehat x(\cdot)-0\|_{C([0,\pi])}=1$, то непрерывной зависимости решения уравнения (28) от правой части нет.

Снова рассмотрим уравнение (28). В любой окрестности тройки $(\psi(\cdot), 0, 0)$ при достаточно малом по модулю $\varepsilon\ne0$ содержится, очевидно, тройка $(\psi(\cdot), 0,\varepsilon)$, но соответствующее ей уравнение

$$ \begin{equation*} \ddot x=-x, \qquad x(0)=0, \quad x(\pi)=\varepsilon, \end{equation*} \notag $$
не имеет решения.

Заметим, что приведенные примеры заодно показывают и существенность предположений в теореме 1.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. Ф. Филиппов, Введение в теорию дифференциальных уравнений, УРСС, М., 2007
2. Р. Эдвардс, Функциональный анализ. Теория и приложения, МИР, М., 1969  mathscinet
3. Е. Р. Аваков, Г. Г. Магарил-Ильяев, “Общая теорема о неявной функции для близких отображений”, Оптимальное управление и дифференциальные игры, Сборник статей, Труды МИАН, 315, МИАН, М., 2021, 7–18  mathnet  crossref
4. Г. Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров, Выпуклый анализ и его приложения, УРСС, М., 2020  mathscinet
5. В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин, Оптимальное управление, Наука, М., 2005  mathscinet

Образец цитирования: Е. Р. Аваков, Г. Г. Магарил-Ильяев, “О непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от правой части и краевых условий”, Матем. заметки, 114:1 (2023), 3–17; Math. Notes, 114:1 (2023), 3–14
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AvaMag23}
\by Е.~Р.~Аваков, Г.~Г.~Магарил-Ильяев
\paper О непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от правой части и краевых условий
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 114
\issue 1
\pages 3--17
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13986}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13986}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4634767}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 114
\issue 1
\pages 3--14
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623070015}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85168608356}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm13986
  • https://doi.org/10.4213/mzm13986
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v114/i1/p3
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математические заметки Mathematical Notes
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:290
    PDF полного текста:69
    HTML русской версии:236
    Список литературы:39
    Первая страница:22
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024