| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Доминантные множества для модельных пространств в случае нескольких переменных А. Б. Александровab, Е. С. Дубцовb a Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010127 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $B_n$ – открытый единичный шар из $\mathbb{C}^n$, $n\geqslant 1$, и $S_n=\partial B_n$ – единичная сфера. Для единичного круга $B_1$ и единичной окружности $S_1$ также будут использоваться символы $\mathbb{D}$ и $\mathbb{T}$ соответственно. Для $k\in \mathbb{N}$ и $n_j\in \mathbb{N}$, $j=1,2,\dots, k$, положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}=\mathcal{D}[n_1, n_2, \dots, n_k]= B_{n_1}\times B_{n_2}\times \dots \times B_{n_k} \subset \mathbb{C}^{n_1+ n_2 +\dots + n_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Модельными примерами области $\mathcal{D}$ являются единичный шар $B_n$ и полидиск $\mathbb{D}^k$. Пусть $C(z, \zeta)=C_\mathcal{D}(z, \zeta)$ – ядро Коши для области $\mathcal{D}$. Напомним, что
$$
\begin{equation*}
C_{B_n}(z, \zeta)=\frac{1}{(1- \langle z, \zeta \rangle)^{n}}, \qquad z\in B_n, \quad \zeta\in S_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\partial\mathcal{D}$ – множество $S_{n_1}\times S_{n_2}\times \dots \times S_{n_k}$, которое является границей Шилова области $\mathcal{D}$ и также называется выделенной границей. Тогда
$$
\begin{equation*}
C_{\mathcal{D}}(z, \zeta)=\prod_{j=1}^{k} \frac{1}{(1- \langle z_j, \zeta_j \rangle)^{n_j}}, \qquad z=(z_1, z_2, \dots, z_k)\in\mathcal{D}, \quad \zeta=(\zeta_1, \zeta_2, \dots, \zeta_k)\in\partial\mathcal{D},
\end{equation*}
\notag
$$
где $z_j=(z_{j, 1}, z_{j,2}, \dots, z_{j, n_j}) \in B_{n_j}$ и $\zeta_j=(\zeta_{j, 1}, \zeta_{j,2}, \dots, \zeta_{j, n_j}) \in S_{n_j}$. Соответствующее ядро типа Пуассона задается формулой
$$
\begin{equation*}
P(z, \zeta)=\frac{C(z, \zeta) C(\zeta, z)}{C(z, z)}, \qquad z\in\mathcal{D}, \quad \zeta\in\partial\mathcal{D}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\mathcal{D}=B_n$ ядро $P(\cdot, \cdot)$ часто называют мёбиус-инвариантным ядром Пуассона; дальнейшие детали можно найти в монографиях [1], [2]. 1.1. Внутренние функцииПусть $\Sigma$ обозначает нормированную меру Лебега на выделенной границе $\partial\mathcal{D}$. Определение 1. Голоморфная функция $I\colon \mathcal{D} \to \mathbb{D}$ называется внутренней, если $|I(\zeta)|=1$ для $\Sigma$-почти всех точек $\zeta\in\partial\mathcal{D}$. В сформулированном определении, как обычно, выражение $I(\zeta)$ обозначает предел $\lim_{r\to 1-} I(r\zeta)$. Хорошо известно, что соответствующий предел существует для $\Sigma$-почти всех точек $\zeta\in\partial\mathcal{D}$. Отметим также, что в силу определения 1 унимодулярные константы не являются внутренними функциями. 1.2. Меры КларкаПусть $M(\partial\mathcal{D})$ – пространство всех комплексных борелевских мер на множестве $\partial\mathcal{D}$. Для $\mu\in M(\partial\mathcal{D})$ интеграл Пуассона $P[\mu]$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
P[\mu](z)=\int_{\partial\mathcal{D}} P(z, \zeta)\, d\mu(\zeta), \qquad z\in \mathcal{D}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для внутренней функции $I \colon \mathcal{D}\to \mathbb{D}$ и $\alpha\in\mathbb{T}$ функция
$$
\begin{equation*}
\frac{1-|I(z)|^2}{|\alpha-I(z)|^2}=\operatorname{Re} \biggl(\frac{\alpha+ I(z)}{\alpha- I(z)} \biggr), \qquad z\in \mathcal{D},
\end{equation*}
\notag
$$
является положительной и плюригармонической. Поэтому существует единственная положительная мера $\sigma_\alpha=\sigma_\alpha[I] \in M(\partial\mathcal{D})$ такая, что
$$
\begin{equation*}
P[\sigma_\alpha](z)=\operatorname{Re} \biggl(\frac{\alpha+ I(z)}{\alpha- I(z)} \biggr), \qquad z\in \mathcal{D}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как функция $I$ является внутренней, то
$$
\begin{equation*}
P[\sigma_\alpha](\zeta)=\frac{1-|I(\zeta)|^2}{|\alpha-I(\zeta)|^2}=0 \qquad \Sigma\text{-почти везде},
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, $\sigma_\alpha=\sigma_\alpha[I]$ – сингулярная мера. Здесь и далее это означает, что мера $\sigma_\alpha$ сингулярна относительно меры Лебега $\Sigma$. 1.3. Меры Кларка и модельные пространстваПусть $\mathcal{H}\mathrm{ol}(\mathcal{D})$ обозначает пространство всех голоморфных функций в области $\mathcal{D}$. Для $0<p<\infty$ стандартное пространство Харди $H^p=H^p(\mathcal{D})$ состоит из функций $f\in \mathcal{H}\mathrm{ol}(\mathcal{D})$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{H^p}^p=\sup_{0<r<1} \int_{\partial\mathcal{D}} |f(r\zeta)|^p\, d\Sigma(\zeta) < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Как обычно, пространство Харди $H^p(\mathcal{D})$, $p>0$, отождествляется с пространством $H^p(\partial\mathcal{D})$, которое состоит из соответствующих граничных значений. Для внутренней функции $\Theta$ в круге $\mathbb{D}$ классическое модельное пространство $K_\Theta$ задается равенством
$$
\begin{equation*}
K_\Theta=H^2(\mathbb{D})\ominus \Theta H^2(\mathbb{D}),
\end{equation*}
\notag
$$
см., например, монографию [3]. Кларк [4] установил важные связи между мерами Кларка и модельными пространствами. В частности, он ввел и исследовал семейство канонических унитарных операторов $U_\alpha \colon K_\Theta \to L^2(\sigma_\alpha)$, $\alpha\in\mathbb{T}$. Дальнейшее развитие теории Кларка в круге и ее приложения изложены, в частности, в обзорах [5], [6]. Положим $H^2_0=\{f\in H^2\colon f(0)=0\}$. Для внутренней функции $I$ в области $\mathcal{D}$ рассмотрим следующие естественные аналоги пространства $K_\Theta$:
$$
\begin{equation*}
I^*(H^2) =H^2 \ominus I H^2, \qquad I_*(H^2) =\{f\in H^2\colon I\overline{f} \in H^2_0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для правильного истолкования второго определения напомним, что $H^2$ и $H^2_0$ отождествляются с соответствующими пространствами, состоящими из граничных значений. Ясно, что поэтому будем называть $I^*(H^2)$ большим модельным пространством, а $I_*(H^2)$ – малым модельным пространством. Определенные базовые результаты о пространствах $I^*(H^2)$ и $I_*(H^2)$ получены в статье авторов [7]. Для внутренней функции $\Theta$ в круге $\mathbb{D}$ имеем $\Theta^* (H^2(\mathbb{D}))= \Theta_* (H^2(\mathbb{D}))$. Действительно, $L^2(\mathbb{T})=H^2(\mathbb{T}) \oplus \overline{H^2_0}(\mathbb{T})$, поэтому свойства $f\overline{\Theta}\bot H^2(\mathbb{T})$ и $f\overline{\Theta}\in \overline{H^2_0}(\mathbb{T})$ равносильны. Отметим, что в многомерном случае $H^2(\partial\mathcal{D})\oplus\overline{H^2_0}(\partial\mathcal{D})\ne L^2(\partial\mathcal{D})$ и пространство $I^*(H^2)$ может сильно отличаться от пространства $I_*(H^2)$. Например, если $\mathcal{D}=\mathbb{D}^2$ и $I(z_1,z_2)=z_1$, то $I^*(H^2)=\{f(z_2)\colon f\in H^2(\mathbb{D})\}$, а пространство $I_*(H^2)$ состоит только из констант. 1.4. Доминантные множества для модельных пространствЕсли $\Theta$ – внутренняя функция в единичном круге, то понятие доминантного множества для модельного пространства $K_\Theta$ было введено в работе [8]. Такая терминология мотивирована определением доминантной последовательности для классического пространства $H^\infty$ (см. [9]). В настоящей работе эта терминология используется для аналогов модельных пространств в области $\mathcal{D}$. Определение 2. Измеримое по Лебегу множество $E\subset \partial\mathcal{D}$ называется доминантным для большого модельного пространства $I^*(H^2)$, если $\Sigma(E) < 1$ и для всех $f\in I^*(H^2)$. Отметим, что условие $\Sigma(E)<1$ исключает соответствующие тривиальные примеры доминантных множеств. С другой стороны, свойство (1.1) влечет неравенство $\Sigma(E)>0$. 1.5. Существование доминантных множествДля внутренних функций $\Theta$ в круге $\mathbb{D}$, обладающих дополнительными свойствами, в статье [8] был построен ряд примеров доминантных множеств. Таким образом, возникает естественный вопрос о существовании доминантных множеств для произвольного модельного пространства. Капустин (см. [8; теорема 5.14]) получил положительный ответ на этот вопрос в случае единичного круга. Основной результат настоящей работы – это следующая теорема существования, связанная с большими модельными пространствами на многомерной области $\mathcal{D}$. Теорема 1. Пусть $I$ – внутренняя функция в области $\mathcal{D}$. Тогда существует доминантное множество для большого модельного пространства $I^*(H^2)$. Работа организована следующим образом. В разделе 2 собраны вспомогательные результаты, в частности, утверждение о дезинтеграции меры Лебега в терминах мер Кларка. Теорема 1 доказана в разделе 3. В заключительном разделе 4 обсуждается существование радиальных пределов почти везде относительно мер Кларка. 2. Вспомогательные результаты2.1. Носители сингулярных мер КларкаПусть $\alpha\in\mathbb{T}$ и $I$ – внутренняя функция в области $\mathcal{D}$. В этом случае $\sigma_\alpha$ – сингулярная мера, поэтому хорошо известные свойства интегралов Пуассона гарантируют выполнение следующего свойства:
$$
\begin{equation}
I(\zeta)=\alpha \qquad \text{для }\sigma_\alpha \text{-почти всех точек} \quad \zeta\in \partial\mathcal{D}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
В частности, меры $\sigma_\alpha$ и $\sigma_\beta$ взаимно сингулярны при $\alpha\neq\beta$. 2.2. Дезинтеграция меры ЛебегаПусть $m$ обозначает нормированную меру Лебега на единичной окружности $\mathbb{T}$. В случае $\mathcal{D}=\mathbb{D}$ следующий результат был получен ранее в работе [10]. Предложение 1. Пусть $I\colon \mathcal{D}\to\mathbb{D}$ является внутренней функцией, $\alpha\in \mathbb{T}$ и $\sigma_\alpha=\sigma_\alpha[I]$ – соответствующая мера Кларка. Тогда Доказательство. Если $g\in C(\partial\mathcal{D})$, то достаточно повторить рассуждение, использованное в [7; теорема 3.3] для $\mathcal{D}=B_n$. Общий случай следует из частного случая $g\in C(\partial\mathcal{D})$, так как равенство (2.2) понимается в указанном выше слабом смысле. Из предложения 1 легко вытекает следующее утверждение. Следствие 1. Пусть $\{f_j\}_{j=1}^\infty$ – последовательность функций, стремящаяся к нулю в пространстве $L^2(\Sigma)$. Тогда существует подпоследовательность $\{f_{j_k}\}_{k=1}^\infty$ такая, что $\lim_{k\to\infty}\|f_{j_k}\|_{L^2(\sigma_\alpha)}=0$ при $m$-почти всех $\alpha\in\mathbb{T}$. 2.3. Интегралы Коши и меры КларкаСледующее техническое утверждение доказано в работе [11; предложение 2.2]. Предложение 2. Пусть $I \colon \mathcal{D}\to\mathbb{D}$ – внутренняя функция, $\alpha\in \mathbb{T}$ и $\sigma_\alpha=\sigma_\alpha[I]$ – соответствующая мера Кларка. Тогда для всех $\alpha\in\mathbb{T}$, $z, w \in\mathcal{D}$. 2.4. Воспроизводящие ядра для пространств $I^*(H^2)$Пусть $I$ – внутренняя функция в области $\mathcal{D}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
k(z, \zeta)=k(I; z, \zeta) \overset{\text{def}}{=} \bigl(1-I(z)\overline{I(\zeta)}\bigr) C(z, \zeta)
\end{equation*}
\notag
$$
является воспроизводящим ядром для большого модельного пространства $I^*(H^2)$. Действительно, $C(z, \zeta)$ – это воспроизводящее ядро для $H^2(\mathcal{D})$, следовательно, $I(z) C(z, \zeta) \overline{I(\zeta)}$ является воспроизводящим ядром для $I H^2(\mathcal{D})$. Таким образом, разность $C(z,\zeta) - I(z) C(z, \zeta) \overline{I(\zeta)}$ является воспроизводящим ядром для пространства $H^2(\mathcal{D}) \ominus I H^2(\mathcal{D})$.
3. Доминантные множества для модельных пространств3.1. Предварительные результатыПредложение 3. Пусть $I\colon \mathcal{D}\to\mathbb{D}$ – внутренняя функция, $\alpha\in \mathbb{T}$ и $\sigma_\alpha=\sigma_\alpha[I]$ – соответствующая мера Кларка. Тогда для любых функций $f, g\in I^*(H^2)$ равенство имеет место при $m$-почти всех $\alpha\in\mathbb{T}$. Доказательство. Положим $k_z(\zeta)=k(z, \zeta)$. Последовательно применяя явные формулы для ядер $k_z(\zeta)$ и $k_w(\zeta)$, $z,w\in\mathcal{D}$, свойство (2.1) и предложение 2, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\partial\mathcal{D}} k_z(\zeta) \overline{k_w (\zeta)}\,d\sigma_\alpha[I](\zeta) &=\int_{\partial\mathcal{D}} \bigl(1-\overline{I(z)}I(\zeta)\bigr) C(\zeta, z) \bigl(1-I(w)\overline{I(\zeta)}\bigr) C(w, \zeta) \, d\sigma_\alpha[I](\zeta) \\ &=\bigl(1-\alpha\overline{I(z)}\bigr)\bigl(1-\overline{\alpha}I(w)\bigr) \int_{\partial\mathcal{D}} C(\zeta, z) C(w, \zeta)\, d\sigma_\alpha[I](\zeta) \\ &=\bigl(1-\overline{I(z)}I(w)\bigr) C(w,z)=k(w,z)=(k_z, k_w)_{H^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при всех $\alpha\in\mathbb{T}$ равенство (3.1) имеет место для конечных линейных комбинаций функций $k_z$, $z\in\mathcal{D}$. В частности, равенство
$$
\begin{equation}
\|f\|_{H^2}^2=\int_{\partial\mathcal{D}} |f|^2\, d\sigma_\alpha
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
выполняется при $m$-почти всех $\alpha\in\mathbb{T}$ для любой функции $f$ из линейной оболочки семейства $\{k_z\}_{z\in\mathcal{D}}$. Следствие 1 позволяет распространить это равенство на произвольные функции $f$ из пространства $I^*(H^2)$. Для перехода от равенства (3.2) к равенству (3.1) достаточно воспользоваться стандартной формулой, выражающей скалярное произведение через нормы. Перед формулировкой следующего утверждения отметим, что композиция $\Phi\circ I$ корректно определена для любой функции $\Phi\in L^1(\mathbb{T})=L^1(\mathbb{T}, m)$. Действительно, если $I(0)=0$, то $\Sigma(I^{-1}(Q))=m(Q)$ для любого измеримого множества $Q\subset\mathbb{T}$, где $I^{-1}(Q)=\{\zeta\in\partial\mathcal{D}\colon I(\zeta) \in Q\}$. Если $I$ – произвольная внутренняя функция, то имеем $\psi\circ I(0)=0$, где
$$
\begin{equation*}
\psi(z)=\frac{I(0)-z}{1-\overline{I(0)}z}, \qquad z\in\mathbb{D}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, свойства $\Sigma(I^{-1}(Q))=0$ и $m(Q)=0$ эквивалентны, а композиция $\Phi\circ I$ определена почти всюду и измерима. Доказательство. Применяя предложение 3, свойство (2.1) и предложение 1, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl(\int_{\mathbb{T}}\Phi\, dm\biggr)(f,g)_{H^2} &=\int_{\mathbb{T}} \Phi(\alpha) (f,g)_{H^2}\, dm(\alpha) =\int_{\mathbb{T}}\int_{\partial\mathcal{D}} \Phi(\alpha) f(\zeta){\overline g}(\zeta)\, d\sigma_\alpha(\zeta)\, dm(\alpha) \\ &=\int_{\mathbb{T}}\int_{\partial\mathcal{D}} (\Phi\circ I) f{\overline g}\, d\sigma_\alpha\, dm(\alpha) =\int_{\partial\mathcal{D}} (\Phi\circ I) f\overline g\,d\Sigma, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось доказать. 3.2. Доказательство теоремы 1Зафиксируем измеримое множество $Q\subset \mathbb{T}$ такое, что $0<m(Q)<1$. Рассмотрим множество $I^{-1}(Q)$. Применяя следствие 2 к функции $\Phi=\chi_Q$, получаем
$$
\begin{equation*}
m(Q)\|f\|_{H^2}^2=\int_{I^{-1}(Q)}|f|^2\,d\Sigma, \qquad f\in I^*(H^2),
\end{equation*}
\notag
$$
в частности, имеет место оценка (1.1) для $E=I^{-1}(Q)$. Далее, напомним, что $\Sigma(I^{-1}(Q))=m(Q)$, если $I(0)=0$. Поэтому для произвольной внутренней функции $I$ условие $m(Q)<1$ гарантирует, что $\Sigma(I^{-1}(Q))<1$. Таким образом, множество $I^{-1}(Q)$ является доминантным, что завершает доказательство теоремы 1.
4. Радиальное поведение функций из модельных пространств4.1. Постановка вопросаПусть $I\colon \mathcal{D}\to \mathbb{D}$ – внутренняя функция. Как отмечается в предложении 1, если $g\in L^1(\partial\mathcal{D})$, то при $m$-почти всех $\alpha\in\mathbb{T}$ функция $g$ определена $\sigma_\alpha$-почти везде и суммируема по мере $\sigma_\alpha=\sigma_\alpha[I]$. Для $f\in I^*(H^2)$ можно сделать подобные выводы о существовании радиальных пределов $f(\zeta)=\lim_{r\to 1-} f(r\zeta)$. Действительно, радиальный предел $f(\zeta)$ определен для $\Sigma$-почти всех $\zeta\in\partial\mathcal{D}$, поэтому свойства семейства $\{\sigma_\alpha\}_{\alpha\in\mathbb{T}}$ гарантируют, что для $m$-почти всех $\alpha\in\mathbb{T}$ значение $f(\zeta)$ определено для $\sigma_\alpha$-почти всех $\zeta\in\partial\mathcal{D}$. Возникает естественный вопрос о соответствующем утверждении для всех $\alpha\in\mathbb{T}$. Полторацкий [12] получил положительный ответ на этот вопрос для $\mathcal{D}=\mathbb{D}$. 4.2. Теорема Полторацкого для пространства $I_*(H^2)$В этом пункте будет показано, что рассмотрение срез-функций позволяет распространить теорему Полторацкого на функции из малого модельного пространства $I_*(H^2)$. Пусть $\alpha\in\mathbb{T}$ и $\sigma_\alpha=\sigma_\alpha[I]$ – мера Кларка. Положим $u=P[\sigma_\alpha]$ и рассмотрим для $\xi\in\partial\mathcal{D}$ срез-функцию $u_\xi(z) :=u(z\xi)$, $z\in\mathbb{D}$. Так как $u_\xi$ – положительная гармоническая функция в круге $\mathbb{D}$, то она является одномерным интегралом Пуассона некоторой положительной меры, заданной на окружности $\mathbb{T}$. Для соответствующей срез-меры будем использовать обозначение $(\sigma_\alpha)_\xi$. Хорошо известна следующая формула интегрирования по срезам:
$$
\begin{equation}
\int_{\partial\mathcal{D}} g\, d\Sigma=\int_{\partial\mathcal{D}} \int_{\mathbb{T}} g(\lambda\xi)\, dm(\lambda)\, d\Sigma(\xi), \qquad g\in C(\partial\mathcal{D}).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Эта формула гарантирует (см., например, [7; предложение 2.1] в случае $\mathcal{D}=B_n$), что
$$
\begin{equation}
\int_{\partial\mathcal{D}} g\, d\sigma_\alpha=\int_{\partial\mathcal{D}} \int_{\mathbb{T}} g(\lambda\xi)\, d(\sigma_\alpha)_\xi (\lambda)\, d\Sigma(\xi)
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
для всех $g\in C(\partial\mathcal{D})$. Более того, стандартные рассуждения позволяют распространить равенства (4.1) и (4.2) на все ограниченные борелевские функции $g$, заданные на $\partial\mathcal{D}$. Предложение 4. Пусть $I$ – внутренняя функция в области $\mathcal{D}$, $f\in I_*(H^2)$ и $\alpha\in\mathbb{T}$. Тогда для $\sigma_\alpha$-почти всех точек $\zeta\in\partial\mathcal{D}$ существует радиальный предел $\lim_{r\to 1-} f(r\zeta)$. Доказательство. Пусть $I$ – внутренняя функция и $f\in I_*(H^2)$. Во-первых, из формулы (4.1) вытекает, что для борелевского множества $E\subset\partial\mathcal{D}$ равенство $\Sigma(E)=0$ выполняется в том и только том случае, когда $m(E\cap\xi\mathbb{T})=0$ при $\Sigma$-почти всех $\xi\in\partial\mathcal{D}$. Следовательно, для $\Sigma$-почти всех $\xi\in\partial\mathcal{D}$.
Во-вторых, из формулы (4.1) и леммы Фату вытекает, что для каждой функции $h\in H^2(\partial\mathcal{D})$ срез-функция $h_\xi$ принадлежит пространству $H^2(\mathbb{D})$ при $\Sigma$-почти всех $\xi\in\partial\mathcal{D}$. Аналогичным свойством обладают функции из пространства $H^2_0(\partial\mathcal{D})$. Таким образом, для рассматриваемой функции $f\in I_*(H^2)$ непосредственно из определения малого модельного пространства $I_*(H^2)$ следует, что
$$
\begin{equation}
f_\xi\in (I_\xi)_*(H^2(\mathbb{D})) \subset H^2(\mathbb{D})
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
при $\Sigma$-почти всех $\xi\in\partial\mathcal{D}$.
Далее, пусть $\alpha\in\mathbb{T}$. Предположим, что точка $\xi\in\partial\mathcal{D}$ обладает свойствами (4.3) и (4.4). Так как $(I_\xi)_*(H^2(\mathbb{D}))$ является классическим модельным пространством в круге и $f_\xi\in (I_\xi)_*(H^2(\mathbb{D}))$, то радиальный предел $\lim_{r\to 1-} f_\xi(r\lambda)$ существует для $\sigma_\alpha[I_\xi]$-почти всех $\lambda\in\mathbb{T}$ в силу теоремы Полторацкого [12]. Теперь заметим, что мера Кларка $\sigma_\alpha[I_\xi]$ и срез-мера $(\sigma_\alpha[I])_\xi$ совпадают. Таким образом, где $E$ обозначает множество тех точек $\zeta\in\partial\mathcal{D}$, для которых не существует предел $\lim_{r\to 1-} f(r\zeta)$, и $E_\xi= \{\lambda\in\mathbb{T}\colon \lambda\xi\in E\}$. Так как свойство (4.5) имеет место для $\Sigma$-почти всех точек $\xi\in\partial\mathcal{D}$, то формула (4.2) для $g=\chi_E$ гарантирует равенство $\sigma_\alpha(E)=0$, что и требовалось доказать.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AleDou24} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|