| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Об операторных оценках для эллиптических операторов со смешанными краевыми условиями в двумерных областях с быстро осциллирующей границей Д. И. Борисов, Р. Р. Сулейманов Институт математики с вычислительным центром, Уфимский федеральный исследовательский центр Российской академии наук, г. Уфа
Английская версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070149 
Реферативные базы данных:
  ВведениеЗадачи в областях с быстро осциллирующими границами с малой амплитудой осцилляций являются классическими для современной теории усреднения, и им посвящено значительное число работ; для примера мы здесь упомянем лишь книги [1; гл. V, § 7], [2; гл. III, § 4] и статьи [3]–[14]; см. также списки литературы в цитированных работах. Классические результаты описывают возможные усредненные задачи, а также устанавливают сходимость решений возмущенных задач к решениям усредненных. Сходимость обычно устанавливается в сильном или слабом смысле в пространстве $L_2$ или $W_2^1$ при заданных правых частях в уравнении и краевых условиях. В случае линейных уравнений на операторном языке такая сходимость соответствует слабой или сильной резольвентной сходимости. Более сильным является результат о равномерной резольвентной сходимости, или об операторных оценках. Речь идет о доказательстве сходимости резольвенты возмущенного оператора к резольвенте усредненного в подходящей операторной норме и об оценке скорости сходимости. Операторные оценки для задач с быстро осциллирующей границей в модельных случаях были установлены в [2; гл. III, § 4]. Здесь рассматривался скалярный оператор в двумерной области, осциллирующая граница задавалась как график периодической функции, причем период и амплитуда колебаний были равны одному и тому же малому параметру. Упомянутый график описывал зависимость сдвига вдоль нормали к предельной границе от ее натурального параметра. На осциллирующей границе задавалось третье краевое условие. Операторная оценка была доказана в смысле нормы операторов, действующих из $L_2$ в $L_2$ и из $L_2$ в $W_2^1$; далее их называем операторными $L_2$- и $W_2^1$-оценками. В статьях [15], [16] рассматривались соответственно линейная система уравнений Стокса и уравнение Пуассона в многомерной области с краевым условием Дирихле. Осциллирующая граница предполагалась компактной и осцилляции по сути были локально периодическими. Были доказаны операторные $L_2$- и $W_2^1$-оценки. В [17] рассматривалась задача в плоской полосе с быстро и периодически осциллирующей границей для эллиптического самосопряженного оператора общего вида. Период и амплитуда осцилляций описывались двумя малыми параметрами. На осциллирующей границе выставлялось первое, второе или третье краевое условие. Были описаны возможные усредненные задачи, которые зависели от выбора краевого условия и соотношения между параметрами, описывающими амплитуду и период осцилляций. В каждом из случаев была установлена операторная $W_2^1$-оценка. В недавней статье [18] вновь рассматривался эллиптический оператор в плоской области с осциллирующей границей, которая задавалась как график. Однако теперь это был график ограниченной функции общего вида, которая произвольно зависела от малого параметра – амплитуды осцилляций. Никаких предположений о периодичности не делалось. На осциллирующей границе выставлялось краевое условие Дирихле или Неймана. При усреднении данное краевое условие сохранялось. Были установлены операторные $L_2$- и $W_2^1$-оценки. Во всех цитированных работах на осциллирующей границе выставлялось условие одного типа – первое, второе или третье. В первых двух случаях при усреднении оно сохранялось, т.е. усредненная задача также содержала первое или второе краевое условие на границе. Во всех случаях это означало, что область определения усредненного оператора – это подходящее подмножество из пространства $W_2^2$, определяемое выбором краевого условия. Указанная гладкость функций из области определения по существу использовалась при описании сходимости и, в частности, при доказательстве операторных оценок в цитированных выше работах. Это порождает естественный вопрос об описании сходимости в случае смешанных краевых условий на осциллирующей границе, т.е. о ситуации, когда на части осциллирующей границы ставится краевое условие Дирихле, а на другой части – условие Неймана. Совершенно естественно ожидать, что тогда усредненный оператор тоже будет иметь смешанные краевые условия. Вместе с тем, смена типа краевого условия на границе расширяет область определения усредненного оператора за пределы пространства $W_2^2$ и функции из этой области определения имеют слабые степенные особенности в точках границы, где происходит смена типа. Это разрушает некоторые основные неравенства из предыдущих работ, на которых основывалось доказательство сходимости и операторных оценок, и делает интересной задачу о выяснении наличия операторной сходимости в случае смешанных краевых условий. Ее решению и посвящена настоящая работа. Мы рассматриваем эллиптический оператор второго порядка с переменными коэффициентами в двумерной области с осциллирующей границей. Главная часть оператора имеет дивергентный вид и формально самосопряжена, а коэффициенты предполагаются достаточно гладкими. Коэффициенты при младших членах комплекснозначные, что делает оператор несамосопряженным. Осциллирующая граница вновь задается как график функции, произвольно зависящей от малого параметра, который описывает амплитуду осцилляций. Никаких предположений о периодичности осцилляций не делается. Осциллирующая граница разбивается на две компоненты, на одной из которых ставится краевое условие Дирихле, на второй – условие Неймана. В малой фиксированной окрестности точки смены типа краевого условия предполагается, что дифференциальное выражение совпадает с лапласианом, а сама граница совпадает с отрезком. Данное условие является в определенной степени техническим и налагается для упрощения вычислений. В частности, наши результаты можно распространить на области с достаточно гладкой и не обязательно прямой границей и операторы, чья главная часть имеет вещественные переменные коэффициенты и самосопряжена. При усреднении рассматриваемого оператора на предельной границе возникают такие же смешанные краевые условия, как и в исходной задаче. Основной результат – это операторные $L_2$- и $W_2^1$-оценки. При этом полученные оценки скорости сходимости отличаются от аналогичных оценок в работе [18], а именно, в них дополнительно возникают степени логарифма малого параметра как следствие наличия слабых степенных особенностей у функций из области определения усредненного оператора. Этот факт отделяет результаты настоящей работы от операторных оценок, установленных в предыдущих работах без смешанных краевых условий. 1. Постановка задачи и основные результатыПусть $x=(x_1,x_2)$ – декартовы координаты в $\mathbb{R}^2$, $\Omega$ – двумерная область с непустой границей класса $C^3$ и $\Gamma$ – одна из связных компонент границы $\partial\Omega$, причем кривая $\Gamma$ неограничена, не имеет самопересечений и ее кривизна равномерно ограничена. Предполагаем, что область $\Omega$ находится по одну из сторон кривой $\Gamma$, а сама кривая содержит начало координат и в его окрестности совпадает с осью абсцисс:
$$
\begin{equation}
\{x\colon |x_1|<\delta,\, x_2=0\}\subset\Gamma,\qquad \{x\colon |x|<\delta,\, x_2>0\}\subset\Omega
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
для некоторого малого $\delta>0$. На кривой $\Gamma$ зададим натуральный параметр $s$, который измеряется от начала координат вдоль положительного направления на оси абсцисс, т.е. $s=0$ в начале координат и в его окрестности $s$ совпадает с $x_1$. С учетом предполагаемой неограниченности кривой $\Gamma$ считаем, что параметр $s$ меняется по всей вещественной прямой. Через $\nu=\nu(s)$ обозначаем единичную нормаль к кривой $\Gamma$, направленную внутрь области $\Omega$, а через $\tau$ – расстояние до точки, измеренное вдоль внутренней нормали. Ограниченность кривизны означает, что локальные переменные $(\tau,s)$ корректно определены в замыкании области $\Pi_{\tau_0}:= \{x\in \Omega\colon \operatorname{dist}(x,\Gamma)< \tau_0\}$ для некоторого фиксированного числа $\tau_0>0$ и соответствующие якобианы перехода от переменных $x$ к $(\tau,s)$ и все производные переменных $x$ по $(\tau,s)$ и переменных $(\tau,s)$ по $x$ равномерно ограничены в $\overline{\Pi}_{\tau_0}$. Пусть $\varepsilon$ – малый положительный параметр, а $b_\varepsilon=b_\varepsilon(s)$ – некоторая вещественная функция, заданная на кривой $\Gamma$, принадлежащая пространству $C^1(\Gamma)$ и удовлетворяющая равномерной оценке
$$
\begin{equation*}
0\leqslant b_\varepsilon(s)\leqslant 1\qquad\text{на}\quad \Gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Зависимость этой функции от $\varepsilon$ может быть произвольной и отдельно никак не оговаривается. Основным объектом изучения настоящей работы будет эллиптический оператор в области с быстро осциллирующей границей, причем осцилляция описывается функцией $b_\varepsilon$. Данная область вводится так:
$$
\begin{equation*}
\Omega^\varepsilon:=\Omega\setminus\{x\in\overline{\Omega}\colon 0\leqslant \tau \leqslant \varepsilon b_\varepsilon(s),\, s\in\mathbb{R}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В области $\overline{\Omega}$ определим функции $A_{ij}=A_{ij}(x)$, $A_j=A_j(x)$, $A_0=A_0(x)$, удовлетворяющие следующим условиям:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, A_{ij}\in W_\infty^1(\Omega),\quad A_j, A_0\in L_\infty(\Omega),\quad A_{ij}=A_{ji},\qquad i,j=1,2, \\ \sum_{i,j=1}^2A_{ij}(x)z_i\overline{z_j}\geqslant c_0|z|^2,\qquad x\in\Omega,\quad z=(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $c_0>0$ – некоторая константа, не зависящая от $x$ и $z$. Функции $A_{ij}$ считаем вещественными, а функции $A_j$, $A_0$ – комплекснозначными. Дополнительно обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Gamma_N:=\{x\colon \tau=0,\, s<0\}, \qquad \Gamma_D:=\{x\colon \tau=0,\, s>0\}, \\ \Gamma_N^\varepsilon:=\{x\colon \tau= \varepsilon b_\varepsilon(s),\, s<0\},\qquad \Gamma_D^\varepsilon:=\{x\colon \tau=\varepsilon b_\varepsilon(s),\, s>0\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пример области $\Omega^\varepsilon$ и введенных компонент ее границ приведен на рис. 1. На области $\Omega^\varepsilon$ определим эллиптический дифференциальный оператор с дифференциальным выражением
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal{H}}:= -\sum_{i,j=1}^{2}\, \frac{\partial}{\partial x_i} A_{ij}(x)\,\frac{\partial}{\partial x_j}+ \sum_{j=1}^{2} A_j(x)\, \frac{\partial}{\partial x_j}+A_0(x)
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
и краевыми условиями
$$
\begin{equation*}
u=0\quad\text{на}\quad \Gamma_D^\varepsilon,\qquad \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{\nu}_\varepsilon}=0 \quad\text{на}\quad \Gamma_N^\varepsilon, \qquad u=0\quad\text{на}\quad \Gamma_0:=\partial\Omega\setminus\Gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Производная по конормали здесь определяется равенством
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{\nu}_\varepsilon}:= \sum_{i,j=1}^{2} \nu_i^\varepsilon A_{ij}\, \frac{\partial}{\partial x_j}\,,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $\nu^\varepsilon=(\nu_1^\varepsilon,\nu_2^\varepsilon)$ – единичная нормаль к $\Gamma^\varepsilon$, направленная внутрь области $\Omega^\varepsilon$. Оператор $\mathcal{H}^\varepsilon$ рассматривается как неограниченный в пространстве $L_2(\Omega^\varepsilon)$. Цель настоящей работы – описать поведение резольвенты оператора $\mathcal{H}^\varepsilon$ при $\varepsilon\to+0$, а именно, выяснить ее предел в смысле подходящей операторной нормы и дать оценку скорости сходимости. Для формулировки основных результатов нам понадобятся дополнительные обозначения. Начнем с того, что строго введем оператор $\mathcal{H}^\varepsilon$. Для этого рассмотрим замкнутую секториальную полуторалинейную форму
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{h}^\varepsilon(u,v):=\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\, \frac{\partial u}{\partial x_j}\,, \frac{\partial v}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+ \sum_{j=1}^{2} \biggl(A_j\,\frac{\partial u}{\partial x_j}\,, v\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+ (A_0 u,v)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}
\end{equation*}
\notag
$$
в пространстве $L_2(\Omega^\varepsilon)$ на области определения
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{D}(\mathfrak{h}^\varepsilon):= \mathring{W}_2^1(\Omega^\varepsilon,\Gamma_D^\varepsilon\cup \Gamma_0),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathring{W}_2^1(\Omega^\varepsilon,\gamma)$ – подпространство пространства Соболева $W_2^1(\Omega^\varepsilon)$, состоящее из функций с нулевым следом на заданной кривой $\gamma$. В силу первой теоремы о представлении [19; гл. VI, § 2.1] такой форме соответствует $m$-секториальный оператор в пространстве $L_2(\Omega^\varepsilon)$, который и возьмем в качестве $\mathcal{H}^\varepsilon$. В работе мы покажем, что усредненным для $\mathcal{H}^\varepsilon$ будет оператор $\mathcal{H}^0$ в области $\Omega$ с дифференциальным выражением $\widehat{\mathcal{H}}$ из (1.3) и краевыми условиями
$$
\begin{equation}
u=0\quad\text{на}\ \ \Gamma_D, \qquad \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{\nu}}=0 \quad\text{на}\ \ \Gamma_N, \qquad u=0\quad\text{на}\ \ \Gamma_0,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где производная по конормали вводится аналогично (1.4) с заменой $\nu^\varepsilon$ на нормаль $\nu$ к $\Gamma$, направленную внутрь $\Omega$. Строго его вводим как $m$-секториальный оператор, соответствующий в силу первой теоремы о представлении [19; гл. VI, § 2.1] замкнутой секториальной полуторалинейной форме
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{h}^0(u,v):=\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\, \frac{\partial u}{\partial x_j}\,, \frac{\partial v}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega)}+ \sum_{j=1}^{2}\biggl(A_j\,\frac{\partial u}{\partial x_j}\,, v\biggr)_{L_2(\Omega)}+(A_0 u,v)_{L_2(\Omega)}
\end{equation*}
\notag
$$
в пространстве $L_2(\Omega)$ на области определения $\mathfrak{D}(\mathfrak{h}^0):= \mathring{W}_2^1(\Omega,\Gamma_D\cup\Gamma_0)$. Для упрощения ряда громоздких технических вычислений всюду в работе дополнительно предполагаем, что главная часть дифференциального выражения $\widehat{\mathcal{H}}$ в окрестности начала координат совпадает с лапласианом, а именно,
$$
\begin{equation}
A_{11}(x)=A_{22}(x)=1,\qquad A_{12}(x)=A_{21}(x)=0 \qquad\text{при}\quad |x|<\delta,\quad x_2\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Обозначим еще $\omega^\varepsilon:=\{x\colon s<0,\, 0<\tau<\varepsilon b_\varepsilon(s)\}$. Сформулируем основной результат работы. Теорема 1.1. Существует $\lambda_0$ такое, что полуплоскость $\operatorname{Re}\lambda<\lambda_0$ попадает в резольвентные множества оператора $\mathcal{H}^0$ и оператора $\mathcal{H}^\varepsilon$ для всех достаточно малых $\varepsilon$ и для всех $f\in L_2(\Omega)$ верна оценка Кратко обсудим основные результаты работы. Главная особенность рассматриваемого оператора $\mathcal{H}^\varepsilon$ состоит в смешанных краевых условиях на осциллирующей границе – на компоненте $\Gamma_N^\varepsilon$ задается краевое условие Неймана, а на компоненте $\Gamma_D^\varepsilon$ – условие Дирихле. Это ожидаемо приводит к таким же смешанным краевым условиям в усредненном операторе на компонентах $\Gamma_N$ и $\Gamma_D$. Указанная комбинация краевых условий приводит к расширению области определения усредненного оператора за рамки обычного пространства $W_2^2$, и она состоит из функций с определенной слабой особенностью в точке смены типа краевого условия; см. лемму 2.1 ниже. Такая область определения усредненного оператора в определенной степени делает неприменимыми обычные подходы, используемые для усреднения задач с осциллирующей границей. Вместе с тем, в настоящей работе удается подходящим образом модифицировать эти подходы и показать наличие операторных оценок (1.7), (1.9), которые устанавливает наличие равномерной резольвентной сходимости и дает оценку скорости такой сходимости. Первая из этих оценок дана в норме пространства $W_2^1(\Omega^\varepsilon)$, и она равномерна по $L_2(\Omega)$-норме правой части. Иным образом ее можно переписать на языке операторов в виде
$$
\begin{equation}
\bigl\|(\mathcal{H}^\varepsilon-\lambda)^{-1}- (\mathcal{H}^0-\lambda)^{-1}\bigr\|_{L_2(\Omega)\to W_2^1(\Omega^\varepsilon)}\leqslant C \varepsilon^{1/2}\bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr),
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
где $\|\,\cdot\,\|_{L_2(\Omega)\to W_2^1(\Omega^\varepsilon)}$ – норма ограниченного оператора из $L_2(\Omega)$ в $W_2^1(\Omega^\varepsilon)$, а $C$ – константа, не зависящая от $\varepsilon$. По сравнению с аналогичными результатами об операторных оценках для случаев только условия Дирихле или Неймана на осциллирующей границе [18], здесь скорость сходимости оказывается ухудшается из-за появления логарифма в (1.10), в то время как подобный множитель отсутствовал в [18]. Эта дополнительная степень логарифма появляется в процессе доказательства именно как следствие упомянутой выше слабой особенности функций из области определения усредненного оператора. Нам не удалось найти подходящий пример, показывающий оптимальность оценки (1.7). Вместе с тем, доказательство теоремы 1.1 основано на серии неулучшаемых оценок, поэтому это дает веские основания предполагать, что оценка (1.7) и эквивалентная ей оценка (1.10) точны по порядку. При выполнении дополнительных условий (1.8) удается оценить разность резольвент возмущенного и усредненного операторов и в норме $L_2(\Omega^\varepsilon)$; см. оценку (1.9). В правой части этой оценки присутствует два слагаемых. Первое аналогично правой части оценки (1.7), но имеющийся малый множитель при норме $\|f\|_{L_2(\Omega)}$ имеет порядок малости в два раза больше, чем в (1.7). Это естественным образом объясняется тем, что теперь разность резольвент оценивается в более слабой норме. Второе слагаемое в правой части (1.9) содержит малый множитель $\varepsilon^{1/2}$, который отличается от множителя в правой части (1.7) лишь отсутствием логарифма, однако он стоит при норме $\|f\|_{L_2(\omega^\varepsilon)}$. Это норма определяется значениями функции $f$ вне области $\Omega^\varepsilon$, которые не влияют на вид функции $(\mathcal{H}^\varepsilon-\lambda)^{-1}f$. В частности, можно было бы исходно предполагать, что для каждого значения $\varepsilon$ функция $f$ выбирается равной нулю вне $\Omega^\varepsilon$. Такое предположение зануляет второе слагаемое в правой части (1.9). Вместе с тем, если функция $f$ сразу задана во всей области $\Omega$, то может оказаться удобным работать именно с такой функцией. В этом случае второе слагаемое в правой части (1.9) по сути показывает вклад функции
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{H}^0-\lambda)^{-1}(f|_{\omega^\varepsilon})
\end{equation*}
\notag
$$
в эту оценку, где $f|_{\omega^\varepsilon}$ – сужение $f$ на $\omega^\varepsilon$, которое считаем равным нулю в $\Omega\setminus\omega^\varepsilon$. Также отметим, что условия (1.8) являются существенными для применяемой нами техники и избавиться от них не удается. Вопрос о том, насколько эти условия по существу и возможно ли как-то их опустить с помощью подходящей модификации подхода, остался для авторов открытым. Оценка (1.7) вновь отличается от аналогичных оценок в [18] наличием логарифма, что опять является следствием слабой особенности функций из области определения усредненного оператора. Для такой оценки нам также не удалось подобрать пример, показывающий ее оптимальность, однако мы снова предполагаем, что доказанная нами оценка точна по порядку, причем это относится к обоим слагаемых в ее правой части. В заключение отметим, что условия (1.1), (1.6) являются в определенной степени техническими и призваны упростить многие вычисления в доказательстве теоремы 1.1. Вместе с тем, приведенные результаты можно распространить на случай, когда граница в окрестности точки смены произвольная и гладкая, а старшая часть дифференциального выражения $\widehat{\mathcal{H}}$ имеет вещественные переменные коэффициенты, но остается самосопряженной. Здесь наша техника доказательства также применима, но объем вычислений и технических деталей несравнимо больше. 2. Операторная оценка в $W_2^1(\Omega^\varepsilon)$В настоящем пункте мы доказываем оценку (1.7) из теоремы 1.1. Начнем с доказательства существования числа $\lambda_0$ из утверждения теоремы. Предполагаемая гладкость коэффициентов из (1.2) в силу неравенства Коши–Буняковского сразу приводит к следующей элементарной оценке:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\,\sum_{j=1}^{2} \biggl(A_j\,\frac{\partial v}{\partial x_j}\,, v\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+ (A_0 v,v)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\biggr|&\leqslant \frac{c_0}{2}\|\nabla v\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}^2+ c_1\|v\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}^2, \\ \biggl|\,\sum_{j=1}^{2} \biggl(A_j\,\frac{\partial u}{\partial x_j}\,,u\biggr)_{L_2(\Omega)} +(A_0 u,u)_{L_2(\Omega)}\biggr|&\leqslant \frac{c_0}{2}\|\nabla u\|_{L_2(\Omega)}^2+c_1\|u\|_{L_2(\Omega)}^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_1$ – некоторая константа, не зависящая от $u\in W_2^1(\Omega)$, $v\in W_2^1(\Omega^\varepsilon)$ и $\varepsilon$. Отсюда и из условия эллиптичности в (1.2) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \operatorname{Re}\mathfrak{h}^\varepsilon(v,v)+ \biggl(c_1+\frac{c_0}{2}\biggr)\|v\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}^2 &\geqslant \frac{c_0}{2}\|v\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}^2,&\qquad v&\in \mathfrak{D}(\mathfrak{h}^\varepsilon), \\ \operatorname{Re} \mathfrak{h}(u,u)+ \biggl(c_1+\frac{c_0}{2}\biggr)\|u\|_{L_2(\Omega)}^2&\geqslant \frac{c_0}{2} \|u\|_{W_2^1(\Omega)}^2, &\qquad u&\in \mathfrak{D}(\mathfrak{h}^0), \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
а также
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} |\operatorname{Im} \mathfrak{h}^\varepsilon(v,v)|&\leqslant c_2 \operatorname{Re} \mathfrak{h}^\varepsilon(v,v)+ 2c_1\|v\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}^2, &\qquad v&\in \mathfrak{D}(\mathfrak{h}^\varepsilon), \\ |\operatorname{Im} \mathfrak{h}(u,u)|&\leqslant c_2\operatorname{Re}\mathfrak{h}(u,u)+ 2c_1\|u\|_{L_2(\Omega)}^2, &\qquad u&\in \mathfrak{D}(\mathfrak{h}^0), \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
с константой $c_2$, не зависящей от $v$, $u$ и $\varepsilon$. Так как оба оператора $\mathcal{H}^\varepsilon$ и $\mathcal{H}^0$ по определению $m$-секториальны, то из последних неравенств следует существование $\lambda_0$ такого, что в полуплоскости $\operatorname{Re} \lambda\leqslant \lambda_0$ нет точек спектра ни оператора $\mathcal{H}^\varepsilon$, ни оператора $\mathcal{H}^0$. Отметим еще, что в силу (2.1) можно $\lambda_0$ выбрать так, что для $\lambda$ из этой полуплоскости будут верны неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \operatorname{Re} \mathfrak{h}^\varepsilon(v,v)- \operatorname{Re}\lambda\|v\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}^2&\geqslant \frac{c_0}{2} \|v\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}^2,&\qquad v&\in \mathfrak{D}(\mathfrak{h}^\varepsilon), \\ \operatorname{Re} \mathfrak{h}^0(v,v)- \operatorname{Re}\lambda\|v\|_{L_2(\Omega)}^2&\geqslant \frac{c_0}{2}\|v\|_{W_2^1(\Omega)}^2,&\qquad v&\in \mathfrak{D}(\mathfrak{h}^0). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Из второго неравенства для указанных $\lambda$ легко следует ограниченность резольвенты $(\mathcal{H}^0-\lambda)^{-1}$ как оператора из $L_2(\Omega)$ в $W_2^1(\Omega)$. Всюду далее считаем, что $\lambda$ выбрано из условия $\operatorname{Re}\lambda\leqslant \lambda_0$. Наш второй шаг – описание области определения оператора $\mathcal{H}^0$. Пусть $(r,\theta)$ – полярные координаты, соответствующие переменным $x$, а $\chi=\chi(r)$ – бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная единице при $r< \delta/3$ и нулю при $r>2\delta/3$, где $\delta$ – из (1.1). Лемма 2.1. Область определения оператора $\mathcal{H}^0$ состоит из функций вида Доказательство. По определению, каждая функция $u$ из области определения оператора $\mathcal{H}^0$ принадлежит пространству $W_2^1(\Omega,\Gamma_D\cup\Gamma_0)$ и является обобщенным решением краевой задачи для уравнения с граничными условиями (1.5), где $f:=\mathcal{H}^0 u$ – функция из $L_2(\Omega)$. В силу установленной выше ограниченности оператора $(\mathcal{H}^0-\lambda)^{-1}$ из $L_2(\Omega)$ в $W_2^1(\Omega)$ для достаточно большого отрицательного $\lambda$ верна оценка с константой $C$, не зависящей от $f$ и $u$.
Из стандартных теорем о повышении гладкости сразу выводим, что функция $(1-\chi)u$ является элементом пространства $W_2^2(\Omega)$ и, более того, для нее выполнены краевые условия (1.5) и оценка
$$
\begin{equation}
\|(1-\chi) u\|_{W_2^2(\Omega)}\leqslant C\bigl(\|f\|_{L_2(\Omega)}+\|u\|_{L_2(\Omega)}\bigr),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $C$ – константа, не зависящая от $f$ и $u$. Функция $\widetilde{u}:=\chi u$ является решением краевой задачи
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\Delta \widetilde{u}=\widetilde{f} \qquad\text{в}\quad \{x\colon |x|<\delta,\, x_2>0\}, \\ \widetilde{u}=0 \qquad \text{на}\quad \{x\colon 0<x_1<\delta,\, x_2=0\}\cup\{x\colon |x|=\delta,\, x_2>0\}, \\ \frac{\partial\widetilde{u}}{\partial x_2}=0 \qquad\text{на}\quad \{x\colon -\delta<x_1<0,\, x_2=0\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $\widetilde{f}$ определена равенством
$$
\begin{equation*}
\widetilde{f}=\chi f- \sum_{j=1}^{2}A_j u\,\frac{\partial\chi}{\partial x_j}- \chi A_0 u-2\nabla\chi\cdot\nabla u-u\Delta\chi
\end{equation*}
\notag
$$
и принадлежит $L_2(\{x\colon |x|<\delta,\, x_2>0\})$. Из этой формулы и (2.5) следует оценка
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{f}\|_{L_2(\{x\colon |x|<\delta,\, x_2>0\})}\leqslant C\bigl(\|f\|_{L_2(\Omega)}+\|u\|_{L_2(\Omega)}\bigr),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где константа $C$ не зависит от $f$ и $u$.
Функции $\widetilde{u}$ и $\widetilde{f}$ четным образом продолжим в нижнюю полуплоскость, сохранив для них прежние обозначения. Продолженная функция $\widetilde{u}$ очевидно будет обобщенным решением краевой задачи
$$
\begin{equation}
-\Delta \widetilde{u}=\widetilde{f}\quad\text{в}\quad B_\delta\setminus\gamma_\delta,\qquad \widetilde{u}=0 \quad\text{на}\quad \partial B_\delta\cup\gamma_\delta,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где обозначено
$$
\begin{equation*}
B_\delta:=\{x\colon |x|<\delta\},\qquad \gamma_\delta:=\{x\colon 0<x_1<\delta,\, x_2=0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [20; § 5, пункт 5.4, формула (5.13)] решение такой задачи представляется в виде $\widetilde{u}(x)=\alpha u_\unicode{8224}+\widetilde{u}_\ddagger$, где $\alpha\in\mathbb{C}$ – некоторая константа, $\widetilde{u}_\ddagger$ – некоторая функция из $W_2^2(B_\delta\setminus\gamma_\delta)$, удовлетворяющая краевым условиям из (2.8) и оценке
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{u}_\ddagger\|_{W_2^2(B_\delta\setminus\gamma_\delta)} \leqslant C \|\widetilde{f}\|_{L_2(\Omega)}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
с константой $C$, не зависящей от $\widetilde{f}$ и $u$.
Проверим выполнение аналогичной априорной оценки для константы $\alpha$. Определим вспомогательную функцию $\phi(x):=r^{-1/2}\chi(r)\sin(\theta/2)$ и с учетом гармоничности функции $r^{-1/2}\sin(\theta/2)$ вне начала координат немедленно получаем, что
$$
\begin{equation*}
(\Delta\phi)(r,\theta)=r^{-1/2}\sin\frac{\theta}{2}\Delta\chi(r)+ 2\nabla\chi(r)\cdot\nabla r^{-1/2}\sin\frac{\theta}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу определения срезающей функции $\chi$ функция $\Delta\phi$, доопределенная нулем в начале координат, оказывается бесконечно дифференцируемой в круге $\overline{B_\delta}$. Далее выражение $\Delta\phi$ понимаем именно в таком смысле. Воспользуемся теперь второй формулой Грина следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{B_\delta} \widetilde{f}\phi \,dx =\lim_{\rho\to+0}\int_{B_\delta\setminus B_\rho} \widetilde{f}\phi \,dx =\lim_{\rho\to+0}\int_{B_\rho}\biggl(\phi\,\frac{\partial \widetilde{u}}{\partial r}- \widetilde{u}\,\frac{\partial\phi}{\partial r}\biggr)\,d\varsigma- \int_{B_\delta}\widetilde{u} \Delta \phi\,dx \\ &\qquad =\pi\alpha+\lim_{\rho\to+0} \rho^{-1/2}\int_{\partial B_\rho} \frac{\partial \widetilde{u}_\ddagger}{\partial r} \sin\frac{\theta}{2}\,d\varsigma+\frac{1}{2}\lim_{\rho\to+0} \rho^{-3/2}\int_{\partial B_\rho}\widetilde{u}_\ddagger \sin\frac{\theta}{2}\,d\varsigma -\int_{B_\delta}\!\widetilde{u}\Delta \phi\,dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varsigma$ – натуральный параметр на окружности $\partial B_\rho$. Совершенно аналогично проверяется следующая цепочка равенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{B_\rho} \widetilde{f} r^{1/2}\sin \frac{\theta}{2}\,dx&= -\rho^{1/2}\int_{\partial B_\rho} \frac{\partial\widetilde{u}}{\partial r}\, \sin\frac{\theta}{2}\,d\varsigma+\frac{1}{2}\rho^{-1/2} \int_{\partial B_\rho}\widetilde{u}\sin\frac{\theta}{2}\,d\varsigma \\ &=-\rho^{1/2}\int_{\partial B_\rho} \frac{\partial\widetilde{u}_\ddagger}{\partial r}\, \sin\frac{\theta}{2}\,d\varsigma+\frac{1}{2}\rho^{-1/2} \int_{\partial B_\rho}\widetilde{u}_\ddagger \sin\frac{\theta}{2}\,d\varsigma. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих равенств вытекает следующая формула для $\alpha$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \pi\alpha&=\int_{B_\delta}(\widetilde{f}\phi+ \widetilde{u}\Delta\phi)\,dx- 2\lim_{\rho\to+0} \rho^{-1/2}\int_{\partial B_\rho} \frac{\partial \widetilde{u}_\ddagger}{\partial r}\, \sin\frac{\theta}{2}\,d\varsigma \\ &\qquad-\lim_{\rho\to+0} \rho^{-1} \int_{B_\rho} \widetilde{f} r^{1/2}\sin\frac{\theta}{2}\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
В силу неравенства Коши–Буняковского выполнено
$$
\begin{equation}
\biggl|\rho^{-1}\int_{B_\rho}\widetilde{f} r^{1/2} \sin \frac{\theta}{2}\,dx\biggr|\leqslant \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{3}}\rho^{1/2} \|\widetilde{f}\|_{L_2(B_\rho)}\to 0,\qquad \rho\to+0.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
С использованием вложения пространства $L_2(\partial B_1)$ в $W_2^1(B_1)$ и четности функции $\widetilde{u}_\ddagger$ по $x_2$ легко видим, что при малых $\rho$ выполнена следующая цепочка соотношений:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\rho^{-1/2}\int_{\partial B_\rho} \frac{\partial \widetilde{u}_\ddagger}{\partial r}\, \sin\frac{\theta}{2}\,d\varsigma\biggr| =2\biggl|\rho^{-1/2} \int_{\partial B_\rho\cap\{x\colon x_2>0\}} \frac{\partial \widetilde{u}_\ddagger}{\partial r}\, \sin\frac{\theta}{2}\,d\varsigma\biggr| \\ &\qquad\leqslant C \rho^{1/2}\biggl\|\frac{\partial\widetilde{u}_\ddagger} {\partial r}\biggr\|_{L_2(\partial B_\rho\cap\{x\colon x_2>0\})} =C\rho\biggl\|\frac{\partial\widetilde{u}_\ddagger}{\partial r}\, (\rho\,\cdot\,)\biggr\|_{L_2(\partial B_1\cap\{x\colon x_2>0\})} \\ &\qquad\leqslant C\rho^2\biggl\|\nabla\frac{\partial\widetilde{u}_\ddagger} {\partial r}\,(\rho\,\cdot\,)\biggr\|_{L_2((B_1\setminus B_{1/2}) \cap \{x\colon x_2>0\})} +C\rho\biggl\|\frac{\partial\widetilde{u}_\ddagger} {\partial r}(\rho\,\cdot\,)\biggr\|_{L_2((B_1\setminus B_{1/2})\cap \{x\colon x_2>0\})} \\ &\qquad\leqslant C\|\widetilde{u}_\ddagger\|_{W_2^2(B_\rho\cap\{x\colon x_2>0\})} \to0,\qquad \rho\to+0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (2.11) следует, что пределы в правой части формулы (2.10) равны нулю, и потому в силу очевидной непрерывности функций $\phi$ и $\Delta\phi$ в $\overline{B_\delta}$ и (2.7), (2.5) выполнено
$$
\begin{equation*}
|\alpha|\leqslant C(\|\widetilde{f}\|_{L_2(B_\delta)}+ \|\widetilde{u}\|_{L_2(B_\delta)}) \leqslant C\bigl(\|f\|_{L_2(\Omega)}+\|u\|_{L_2(\Omega)}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $C$ – некоторые константы, не зависящие от $f$ и $u$. Восстанавливая теперь функцию $u$ по формуле $u=\alpha u_\unicode{8224}+(1-\chi) u+\widetilde{u}_\ddagger$, с учетом оценок (2.5)–(2.7), (2.9) приходим к утверждению леммы. Лемма доказана. Из доказанной леммы сразу следует, что для произвольной $f\in L_2(\Omega)$ функция представляется в виде (2.3) и верна оценка
$$
\begin{equation}
\|u^0\|_{W_2^1(\Omega)}+|\alpha|+\|u_\ddagger\|_{W_2^2(\Omega)} \leqslant C \|f\|_{L_2(\Omega)}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
с константой $C$, не зависящей от $f$, но зависящей от $\lambda$. Перейдем теперь непосредственно к доказательству операторной оценки (1.7). Зафиксируем $\lambda$ с $\operatorname{Re}\lambda\leqslant \lambda_0$, выберем произвольно $f\in L_2(\Omega)$ и определим функцию $u^0$ равенством (2.12). Отметим, что по своему определению область $\Omega^\varepsilon$ является подобластью $\Omega$. Поэтому сужение $f$ на $\Omega^\varepsilon$ является элементом $L_2(\Omega^\varepsilon)$ и корректно определена функция $u^\varepsilon:=(\mathcal{H}^\varepsilon-\lambda)^{-1}f$. Через $\xi=\xi(t)$ обозначим бесконечно дифференцируемую срезающую функцию, равную единице при $t<2$ и нулю при $t>3$. Положим
$$
\begin{equation}
\xi^\varepsilon(x):=\begin{cases} 1-\xi\biggl(\dfrac{\tau}{\varepsilon}\biggr) \xi\biggl(-\dfrac{s}{\varepsilon}\biggr) &\text{при}\ x\in\Xi_{3\varepsilon}, \\ 1 &\text{при}\ x\in\Omega\setminus\Xi_{3\varepsilon}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где для всех достаточно малых $a$ обозначено Функция $\xi^\varepsilon$, очевидно, дважды непрерывно дифференцируема в $\overline{\Omega}$, обращается в нуль в области $\Xi_{2\varepsilon}$ и удовлетворяет равномерным оценкам
$$
\begin{equation}
0\leqslant \xi^\varepsilon(x)\leqslant 1,\qquad |\nabla_x \xi^\varepsilon(x)|\leqslant C\varepsilon^{-1},\qquad x\in\overline{\Omega},
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
где $C$ – некоторая константа, не зависящая от $\varepsilon$ и $x$. С учетом этих свойств легко видим, что функция $\xi^\varepsilon(x)u^0(x)$ тождественно равна нулю в области $\Xi_{2\varepsilon}$ и потому попадает в область определения формы оператора $\mathcal{H}^\varepsilon$. Положим $v^\varepsilon:=u^\varepsilon-\xi^\varepsilon u^0$. Такая функция очевидно принадлежит области определения формы $\mathfrak{h}^\varepsilon$. Выпишем интегральное тождество для функции $u^\varepsilon$ с пробной функцией $v^\varepsilon$:
$$
\begin{equation}
\mathfrak{h}^\varepsilon(u^\varepsilon,v^\varepsilon)- \lambda(u^\varepsilon,v^\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}= (f,v^\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Из определения функции $u^0$ следует, что она является решением краевой задачи для уравнения
$$
\begin{equation*}
(\widehat{\mathcal{H}}-\lambda)u^0=f\quad\text{в}\ \ \Omega
\end{equation*}
\notag
$$
с краевыми условиями (1.5). Функция $\xi^\varepsilon v^\varepsilon$ принадлежит пространству $\mathring{W}_2^1(\Omega^\varepsilon, \Gamma_D^\varepsilon \cup \Gamma_0)$. С учетом этого факта умножим уравнение на эту функцию скалярно в $L_2(\Omega^\varepsilon)$ и воспользуемся первой формулой Грина, учитывая краевые условия для $u^0$ и $\xi^\varepsilon v^\varepsilon$. Тогда получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\,\frac{\partial u^0}{\partial x_j}\,, \frac{\partial\xi^\varepsilon v^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+ \sum_{j=1}^{2} \biggl(A_j\,\frac{\partial u^0}{\partial x_j}\,, \xi^\varepsilon v^\varepsilon\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+ \biggl(\frac{\partial u^0}{\partial\boldsymbol{\nu}^\varepsilon}\,, \xi^\varepsilon v^\varepsilon\biggr)_{L_2(\Gamma_N^\varepsilon)} \\ &\qquad+(A_0 u^0,\xi^\varepsilon v^\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}- \lambda(u^0,\xi^\varepsilon v^\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} =(f,\xi^\varepsilon v^\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Первые два слагаемых в левой части этого равенства перепишем в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\,\frac{\partial u^0}{\partial x_j}\,, \frac{\partial\xi^\varepsilon v^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+\sum_{j=1}^{2} \biggl(A_j\,\frac{\partial u^0}{\partial x_j}\,, \xi^\varepsilon v^\varepsilon\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \\ &\qquad=\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\, \frac{\partial\xi^\varepsilon u^0}{\partial x_j}\,, \frac{\partial v^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+ \sum_{j=1}^{2}\biggl(A_j\,\frac{\partial \xi^\varepsilon u^0} {\partial x_j}\,,v^\varepsilon\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \\ &\qquad\qquad-\sum_{j=1}^{2}\biggl(A_j\,\frac{\partial \xi^\varepsilon} {\partial x_j}\,u^0,v^\varepsilon\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} +\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\, \frac{\partial u^0}{\partial x_j}\,, v^\varepsilon\frac{\partial\xi^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \\ &\qquad\qquad-\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij} u^0\, \frac{\partial \xi^\varepsilon}{\partial x_j}\,, \frac{\partial v^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая это соотношение и определение функции $\xi^\varepsilon$, вычислим разность равенств (2.16) и (2.17):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathfrak{h}^\varepsilon(v^\varepsilon,v^\varepsilon)- \lambda \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}^2= \bigl(f,(1-\xi^\varepsilon) v^\varepsilon\bigr)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap\Omega^\varepsilon)} +\biggl(\frac{\partial u^0}{\partial\boldsymbol{\nu}^\varepsilon}\,, \xi^\varepsilon v^\varepsilon\biggr)_{L_2(\Gamma_N^\varepsilon)} \nonumber \\ &\qquad-\sum_{j=1}^{2} \biggl(A_j\,\frac{\partial \xi^\varepsilon} {\partial x_j}\,u^0, v^\varepsilon\biggr)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon} \cap\Omega^\varepsilon)}+\sum_{i,j=1}^{2} \biggl(A_{ij}\, \frac{\partial u^0}{\partial x_j}\,,v^\varepsilon\, \frac{\partial\xi^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap \Omega^\varepsilon)} \nonumber \\ &\qquad- \sum_{i,j=1}^{2} \biggl(A_{ij} u^0\, \frac{\partial \xi^\varepsilon}{\partial x_j}\,, \frac{\partial v^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap \Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Наш следующий шаг – оценка правой части равенства (2.18). Для этого нам понадобятся некоторые вспомогательные оценки, которые удобно сформулировать в виде следующей леммы. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\varpi_\varepsilon:=\{x\in\Omega^\varepsilon\colon \varepsilon b_\varepsilon(s)<\tau<3\varepsilon,\, s\in\mathbb{R}\},\qquad \varpi_\varepsilon^0:=\{x\in\Omega\colon 0<\tau<3\varepsilon,\, s\in\mathbb{R}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2.2. Верны оценки Доказательство. В области $\Pi_{\tau_0}$ корректно определены переменные $(\tau,s)$, и пусть связь между переменными $x$ и $(\tau,s)$ описывается равенством $x=X(\tau,s)$, где $X$ – некоторая гладкая вектор-функция. При достаточно малых $\varepsilon$ для $x\in\varpi_\varepsilon$ для $v\in W_2^1(\Omega^\varepsilon)$ верно равенство
$$
\begin{equation*}
v(x)=\int_{\tau_0}^{\tau}\frac{\partial}{\partial t}\, \biggl(v(X(t,s))\xi\biggl(\frac{4t}{\tau_0}\biggl)\biggr)\,dt \qquad\text{для всех}\quad v\in W_2^1(\Omega^\varepsilon),
\end{equation*}
\notag
$$
где $(\tau,s)$ соответствует $x$ в смысле указанной выше связи между этими переменными. Из этой формулы и неравенства Коши–Буняковского сразу следует, что
$$
\begin{equation}
|v(x)|^2\leqslant C \int_{\tau}^{\tau_0} \bigl(|\nabla_x v(X(t,s))|^2+|v(X(t,s))|^2\bigr)\,dt,
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
здесь и всюду до конца доказательства $C$ – некоторые константы, не зависящие от $v$, $x$, $s$, $\tau$ и $\varepsilon$. Интегрирование этой оценки по $\Xi_{3\varepsilon}\cap\Omega^\varepsilon$ и $\varpi_\varepsilon$ немедленно приводит к (2.20).
Пусть теперь $v$ дополнительно обращается в нуль на $\Gamma_D^\varepsilon$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Upsilon_\varepsilon^{(1)}&:=\{x\in\Omega^\varepsilon\colon s>0,\, \varepsilon b_\varepsilon(s)<\tau<3\varepsilon\}, \\ \Upsilon_\varepsilon^{(2)}&:=\{x\in\Omega^\varepsilon\colon -3\varepsilon <s<0,\,2\varepsilon<\tau<3\varepsilon\}, \\ \Upsilon_\varepsilon^{(3)}&:=\{x\in\Omega^\varepsilon\colon -3\varepsilon <s<0,\, \varepsilon b_\varepsilon(s)<\tau<2\varepsilon\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Верны равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} v(x)&=\int_{\varepsilon b_\varepsilon(s)}^{\tau} \frac{\partial}{\partial t}\,v(X(t,s))\,dt, &\qquad x&\in\Upsilon_\varepsilon^{(1)}, \\ v(x)&=\int_{3\varepsilon}^{s} \frac{\partial}{\partial z}\, \biggl(v(X(\tau,z))\xi\biggl(\frac z\varepsilon\biggr)\biggr)\,dz, &\qquad x&\in\Upsilon_\varepsilon^{(2)}, \\ v(x)&=\int_{\tau}^{3\varepsilon} \frac{\partial}{\partial t}\, \biggl(v(X(t,s))\xi\biggl(\frac t\varepsilon\biggr)\biggr)\,dt, &\qquad x&\in\Upsilon_\varepsilon^{(3)}, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
из которых в силу неравенства Коши–Буняковского следует
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} |v(x)|^2&\leqslant C\varepsilon \int_{\varepsilon b_\varepsilon(s)}^{3\varepsilon} |\nabla_x v(X(t,s))|^2\,dt, &\qquad x&\in\Upsilon_\varepsilon^{(1)}, \\ |v(x)|^2&\leqslant C\varepsilon \int_{-3\varepsilon}^{3\varepsilon} |\nabla_x v(X(\tau,z))|^2\,dz+ C\varepsilon^{-1}\int_{2\varepsilon}^{3\varepsilon} |v(X(\tau,z))|^2\,dz, &\qquad x&\in\Upsilon_\varepsilon^{(2)}, \\ |v(x)|^2&\leqslant C \varepsilon \int_{\varepsilon b_\varepsilon(s)}^{3\varepsilon} |\nabla_x v(X(t,s))|^2 \,dt+C\varepsilon^{-1} \int_{2\varepsilon}^{3\varepsilon}|v(X(t,s))|^2 \,dt, &\qquad x&\in\Upsilon_\varepsilon^{(3)}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Первое неравенство проинтегрируем по $\Upsilon_\varepsilon^{(1)}$, второе – по $\Upsilon_\varepsilon^{(2)}$, третье – по $\Upsilon_\varepsilon^{(3)}$. Тогда получим следующую цепочку неравенств, каждое из которых учитывает предыдущее:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|v\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon^{(1)})}^2&\leqslant C\varepsilon^2\|\nabla v\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon^{(1)})}^2, \\ \|v\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon^{(2)})}^2&\leqslant C\varepsilon^2 \|\nabla v\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon^{(2)}\cup \Upsilon_\varepsilon^{(1)})}^2+C\|v\|_{L_2(\{x\colon 2\varepsilon<s<3\varepsilon,\, 2\varepsilon<\tau<3\varepsilon\})}^2 \\ &\leqslant C \varepsilon^2 \|\nabla v\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon^{(2)}\cup \Upsilon_\varepsilon^{(1)})}^2+ C\|v\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon^{(1)})}^2 \leqslant C \varepsilon^2 \|\nabla v\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon^{(2)}\cup \Upsilon_\varepsilon^{(1)})}^2, \\ \|v\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon^{(3)})}^2&\leqslant C \varepsilon^2\|\nabla v\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap \Omega^\varepsilon)}^2+C\|v\|_{L_2(\{x\colon -3\varepsilon<s<0,\, 2\varepsilon<\tau<3\varepsilon\})}^2 \\ &\leqslant C \varepsilon^2\|\nabla v\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon} \cap\Omega^\varepsilon)}^2+ C\|v\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon^{(2)})}^2 \leqslant C \varepsilon^2\|\nabla v\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon} \cap\Omega^\varepsilon)}^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих трех оценок следует неравенство (2.19). Оценки (2.21), (2.22) являются частным случаем оценок (2.19), (2.20) для $b_\varepsilon(s)\equiv 0$. Лемма доказана. Доказанная лемма позволяет оценить большую часть слагаемых из правой части равенства (2.18). А именно, применяя оценку (2.19) с $v=v_\varepsilon$ и первое неравенство из (2.15), получаем
$$
\begin{equation}
\bigl|(f,(1-\xi^\varepsilon)v^\varepsilon)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap \Omega^\varepsilon)}\bigr|\leqslant C \|f\|_{L_2(\Omega)} \|v_\varepsilon\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap \Omega^\varepsilon)} \leqslant C \varepsilon \|f\|_{L_2(\Omega)}\|v_\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)};
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
здесь и всюду далее до конца пункта через $C$ обозначаем несущественные константы, не зависящие от $\varepsilon$, $f$, $v^\varepsilon$, $u^0$ и пространственных переменных. Для функции $u^0$ верно представление (2.3) и оценка (2.4), и, применяя неравенства (2.21) с $v=u_\ddagger$ и (2.22) с $v=\partial u_\ddagger/\partial x_j$, сразу выводим
$$
\begin{equation}
\|u_\ddagger\|_{W_2^1(\varpi_\varepsilon^0)}\leqslant C\varepsilon^{1/2}\|f\|_{L_2(\Omega)},\qquad \|u_\ddagger\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon})}\leqslant C\varepsilon \|u_\ddagger\|_{W_2^1(\Xi_{3\varepsilon})}\leqslant C \varepsilon^{3/2}\|f\|_{L_2(\Omega)}.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Для функции $u_\unicode{8224}$ прямыми вычислениями проверяются следующие две вспомогательные оценки:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\|\nabla u_\unicode{8224}\|_{L_2(\varpi_\varepsilon^0)}^2\leqslant C \int_{\{x\colon |x_1|<\delta,\, 0<x_2<3\varepsilon\}}r^{-1}\,dx \\ \nonumber &\qquad\leqslant C \int_{\{x\colon 0<r<3\sqrt{2}\,\varepsilon\}}r^{-1} \,dx+ C \int_{\{x\colon 3\varepsilon<|x_1|<\delta,\,0<x_2<3\varepsilon\}} r^{-1}\,dx \\ &\qquad\leqslant C\varepsilon+C \varepsilon\int_{3\varepsilon}^{\delta} \frac{dx_1}{x_1}\leqslant C\varepsilon(|\ln\varepsilon|+1), \\ \nonumber &\|u_\unicode{8224}\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon})}^2 \leqslant C \int_{\{x\colon -3\varepsilon<x_1<\delta,\, 0<x_2<3\varepsilon\}} r\sin^2\frac{\theta}{2}\,dx \\ \nonumber &\qquad\leqslant C \int_{\{x\colon -3\varepsilon<x_1<\delta,\, 0<x_2<3\varepsilon\}} (r-x_1) \,dx =C\varepsilon^3 \int_{\{t\colon -3<t_1<\delta\varepsilon^{-1},\, 0<t_2<3\}}(|t|-t_1)\,dt \\ \nonumber &\qquad\leqslant C\varepsilon^3 \int_{-3}^{\delta\varepsilon^{-1}} \bigl((t_1^2+9)^{1/2}-t_1\bigr)\,dt_1\leqslant C\varepsilon^3(|\ln\varepsilon|+1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Из них и (2.25) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|u^0\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon})}\leqslant C \varepsilon^{3/2}\bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr) \|f\|_{L_2(\Omega)}, \\ \|\nabla u^0\|_{L_2(\varpi_\varepsilon^0)}\leqslant C \varepsilon^{1/2}\bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr)\|f\|_{L_2(\Omega)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Используя установленные оценки для $u^0$, оценку (2.19) с $v=v^\varepsilon$ и вторую оценку в (2.15), имеем
$$
\begin{equation}
\biggl|\,\sum_{j=1}^{2} \biggl(A_j\, \frac{\partial \xi^\varepsilon}{\partial x_j}\,u^0, v^\varepsilon\biggr)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap \Omega^\varepsilon)}\biggr|\leqslant C \varepsilon^{3/2} \bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr)\|f\|_{L_2(\Omega)} \|v^\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Последние два слагаемых в (2.18) оцениваются аналогично:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\biggl|\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\, \frac{\partial u^0}{\partial x_j}\,,v^\varepsilon\, \frac{\partial\xi^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap \Omega^\varepsilon)}\biggr|+\biggl|\sum_{i,j=1}^{2} \biggl(A_{ij} u^0\,\frac{\partial \xi^\varepsilon}{\partial x_j}\,, \frac{\partial v^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap \Omega^\varepsilon)}\biggr| \\ \nonumber &\qquad\leqslant C \varepsilon^{-1} \bigl(\|\nabla u^0\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon})} \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap\Omega^\varepsilon)}+ \|u^0\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon})} \|\nabla v^\varepsilon\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap \Omega^\varepsilon)}\bigr) \\ &\qquad\leqslant C \varepsilon^{1/2} \bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr) \|f\|_{L_2(\Omega)} \|v^\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
Наиболее нетривиальная часть доказательства – оценка второго слагаемого в правой части (2.18). Определим еще одну вспомогательную область:
$$
\begin{equation*}
\Theta_\varepsilon:=\biggl\{x\in\Omega^\varepsilon\colon s<0,\, \varepsilon b_\varepsilon(s)<\tau<\frac{3}{2}\varepsilon\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта область представляет собой криволинейную полуполосу, граница которой составлена из кривых $\Gamma_N^\varepsilon$ и $\widetilde{\Gamma}_N^\varepsilon:=\{x\colon s<0,\, \tau=(3/2)\varepsilon\}$ и отрезка $\{x\colon x_1=0,\, \varepsilon b_\varepsilon(0)<x_2<(3/2)\varepsilon\}$. В малой окрестности последнего отрезка функция $\xi^\varepsilon$ тождественно обращается в нуль. Так как функция $u^0$ является элементом пространства $W_2^1(\Omega)$, то уравнение для этой функции можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
-\sum_{i,j=1}^{2} \frac{\partial}{\partial x_i}\,A_{ij}\, \frac{\partial u^0}{\partial x_j}=g \quad\text{в}\ \ \Omega, \qquad g:=f-\sum_{j=1}^{2}A_j\,\frac{\partial u^0}{\partial x_j}- A_0 u^0+\lambda u^0,
\end{equation*}
\notag
$$
причем для функции $g$ в силу (2.13) верна оценка Умножим теперь указанное уравнение для функции $u^0$ на $\xi^\varepsilon v^\varepsilon$ скалярно в $L_2(\Theta_\varepsilon)$ и однократно проинтегрируем по частям. Тогда получим следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \biggl(\frac{\partial u^0}{\partial\boldsymbol{\nu}^\varepsilon}\,, \xi^\varepsilon v^\varepsilon\biggr)_{L_2(\Gamma_N^\varepsilon)}&= (g,\xi^\varepsilon v^\varepsilon)_{L_2(\Theta_\varepsilon)}+ \biggl(\frac{\partial u^0}{\partial\boldsymbol{\nu}^\varepsilon}\,, \xi^\varepsilon v^\varepsilon\biggr)_{L_2(\widetilde{\Gamma}_N^\varepsilon)} \\ &\qquad-\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\, \frac{\partial u_0}{\partial x_j}\,, \frac{\partial\xi^\varepsilon v^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Theta_\varepsilon)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
где производная по конормали на кривой $\widetilde{\Gamma}_N^\varepsilon$ определяется формулой (1.4), но в качестве $\nu$ берется единичная нормаль к этой кривой, направленная наружу из области $\Theta_\varepsilon$. Отметим еще, что данная единичная нормаль совпадает с $\nu(s)$, что легко проверяется непосредственными вычислениями на основе определения кривой $\widetilde{\Gamma}_N^\varepsilon$. Так как по своему определению область $\Theta_\varepsilon$ является подобластью $\varpi_\varepsilon$, в силу оценок (2.15), (2.19), (2.30) сразу получаем:
$$
\begin{equation}
|(g,\xi^\varepsilon v^\varepsilon)_{L_2(\Theta_\varepsilon)}| \leqslant C\varepsilon^{1/2}\|f\|_{L_2(\Omega)} \|v^\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}.
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
Из оценок (2.15), второй оценки в (2.27) и оценки (2.19) с $v=v_\varepsilon$ выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\biggl|\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\, \frac{\partial u_0}{\partial x_j}\,, \frac{\partial\xi^\varepsilon v^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Theta_\varepsilon)}\biggr| \leqslant \biggl|\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\, \frac{\partial u_0}{\partial x_j}\,, \xi^\varepsilon\,\frac{\partial v^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Theta_\varepsilon)}\biggr| \\ \nonumber &\qquad\qquad+\biggl|\,\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\, \frac{\partial u_0}{\partial x_j}\,, \frac{\partial\xi^\varepsilon}{\partial x_i} v^\varepsilon\biggr)_{L_2(\Theta_\varepsilon)}\biggr| \\ \nonumber &\qquad\leqslant C\|\nabla u_0\|_{L_2(\varpi_\varepsilon^0)} \bigl(\|\nabla v_\varepsilon\|_{L_2(\Omega_\varepsilon)}+ \varepsilon^{-1}\|v_\varepsilon\|_{L_2(\operatorname{supp} |\nabla\xi^\varepsilon|\cap\Omega_\varepsilon)}\bigr) \\ \nonumber &\qquad \leqslant C\|\nabla u_0\|_{L_2(\varpi_\varepsilon^0)} \bigl(\|\nabla v_\varepsilon\|_{L_2(\Omega_\varepsilon)}+ \varepsilon^{-1}\|v_\varepsilon\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap \Omega_\varepsilon)}\bigr) \\ &\qquad \leqslant C \varepsilon^{1/2}\bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr) \|f\|_{L_2(\Omega)}\|v_\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
Оценим второй интеграл в правой части равенства (2.31). Для этого представим функцию $u^0$ в виде (2.3) и перепишем данный интеграл в виде
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial u^0}{\partial\boldsymbol{\nu}^\varepsilon}\,, \xi^\varepsilon v^\varepsilon\biggr)_{L_2(\widetilde{\Gamma}_N^\varepsilon)}= \alpha\sum_{i,j=1}^{2}\int_{\widetilde{\Gamma}_N^\varepsilon} \nu_j A_{ij}\,\frac{\partial u_\unicode{8224}}{\partial x_j}\, \xi^\varepsilon\overline{v^\varepsilon}\,ds+\sum_{i,j=1}^{2} \int_{\widetilde{\Gamma}_N^\varepsilon} \nu_j A_{ij}\, \frac{\partial u_\ddagger}{\partial x_j}\, \xi^\varepsilon\overline{v^\varepsilon}\,ds.
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
С учетом однородного краевого условия Неймана на $\Gamma_N^\varepsilon$ для функции $u^0$ производную по конормали во втором интеграле в правой части данного равенства представим следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\sum_{i,j=1}^{2}\nu_j A_{ij}\,\frac{\partial u_\ddagger} {\partial x_j}\bigg|_{\widetilde{\Gamma}_N^\varepsilon}= \sum_{i,j=1}^{2}\int_{0}^{(3/2)\varepsilon} \frac{\partial}{\partial\tau}\biggl(\nu_j A_{ij}\, \frac{\partial u_\ddagger}{\partial x_j}\biggr)\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенство Коши–Буняковского и (2.13), сразу видим, что
$$
\begin{equation}
\biggl\|\,\sum_{i,j=1}^{2} \nu_j A_{ij}\,\frac{\partial u_\ddagger} {\partial x_j}\biggr\|_{L_2(\widetilde{\Gamma}_N^\varepsilon)}^2 \leqslant C\varepsilon \|u_\ddagger\|_{W_2^2(\Omega)}^2\leqslant C \varepsilon \|f\|_{L_2(\Omega)}^2.
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
Интегрирование (2.23) с $v=v^\varepsilon$ по кривой $\widetilde{\Gamma}_N^\varepsilon$ приводит к следующей оценке:
$$
\begin{equation*}
\|v^\varepsilon\|_{L_2(\widetilde{\Gamma}_N^\varepsilon)}\leqslant C\|v^\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, из (2.35) и первой оценки в (2.15) следует, что
$$
\begin{equation}
\biggl|\,\sum_{i,j=1}^{2}\int_{\widetilde{\Gamma}_N^\varepsilon} \nu_j A_{ij}\,\frac{\partial u_\ddagger}{\partial x_j}\, \xi^\varepsilon\overline{v^\varepsilon}\,ds\biggr|\leqslant C\varepsilon^{1/2}\|f\|_{L_2(\Omega)} \|v^\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}.
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
Оценим первый интеграл в правой части (2.34). С учетом определения функции $u_\unicode{8224}$ в (2.3) и функции $\xi^\varepsilon$ в (2.14) и условий (1.6) данный интеграл записывается следующим образом:
$$
\begin{equation}
\alpha\sum_{i,j=1}^{2}\int_{\widetilde{\Gamma}_N^\varepsilon} \nu_j A_{ij}\,\frac{\partial u_\unicode{8224}}{\partial x_j}\, \xi^\varepsilon\overline{v^\varepsilon}\,ds= \alpha\int_{-\delta}^{-\varepsilon}\, \frac{\partial u_\unicode{8224}}{\partial x_2}\,\xi^\varepsilon \overline{v^\varepsilon}\bigg|_{x_2=(3/2)\varepsilon}\,dx_1.
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\theta_\varepsilon:=\biggl\{x\colon -\delta<x_1<0,\, 0<x_2<\frac{3}{2}\varepsilon\biggr\},\qquad \widetilde{v}^\varepsilon(x):= v^\varepsilon(x_1,3\varepsilon-x_2),\quad x\in\theta_\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $\widetilde{v}^\varepsilon$ очевидно является элементом пространства $W_2^1(\theta^\varepsilon)$, ее след на верхней границе области $\theta_\varepsilon$ совпадает со следом функции $v^\varepsilon$, и в силу неравенств (2.19), (2.20) с $v=v^\varepsilon$ она удовлетворяет оценкам
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{v}^\varepsilon\|_{L_2(\{x\colon -3\varepsilon<x_1<-\varepsilon,\, 0<x_2<(3/2)\varepsilon\})} \leqslant C\varepsilon \|\nabla v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}, \quad\ \ \|\widetilde{v}^\varepsilon\|_{L_2(\theta_\varepsilon)}\leqslant C \varepsilon^{1/2}\|v^\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}.
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
Проинтегрируем по частям, учитывая определения функций $u_\unicode{8224}$ и $\xi^\varepsilon$:
$$
\begin{equation*}
\int_{\theta^\varepsilon} \xi^\varepsilon \overline{\widetilde{v}^\varepsilon} \Delta u_\unicode{8224}\,dx= \int_{-\delta}^{-\varepsilon} \xi^\varepsilon \overline{v^\varepsilon}\,\frac{\partial u_\unicode{8224}} {\partial x_2}\bigg|_{x_2=(3/2)\varepsilon}\,dx_1- \int_{\theta^\varepsilon} \nabla u_\unicode{8224}\cdot \nabla(\xi^\varepsilon\overline{\widetilde{v}^\varepsilon})\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует
$$
\begin{equation*}
\int_{-\delta}^{-\varepsilon}\xi^\varepsilon\overline{v^\varepsilon} \,\frac{\partial u_\unicode{8224}}{\partial x_2}\bigg|_{x_2=(3/2)\varepsilon} \,dx_1=\int_{\theta^\varepsilon} \xi^\varepsilon \overline{\widetilde{v}^\varepsilon} \Delta u_\unicode{8224}\,dx+ \int_{\theta^\varepsilon}\xi^\varepsilon \nabla u_\unicode{8224} \cdot \nabla \overline{\widetilde{v}^\varepsilon} \,dx+ \int_{\theta^\varepsilon} \overline{\widetilde{v}^\varepsilon} \nabla u_\unicode{8224}\cdot \nabla \xi^\varepsilon\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $\Delta u_\unicode{8224}$ не равна нулю лишь на носителе $\operatorname{supp} |\nabla \chi|$. Поэтому в силу оценок (2.38), (2.26), (2.15) выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\int_{-\delta}^{-\varepsilon} \frac{\partial u_\unicode{8224}}{\partial x_2}\, \xi^\varepsilon\overline{v^\varepsilon}\biggr|_{x_2= (3/2)\varepsilon}\,dx_1\bigg|&\leqslant C \bigl(\|\widetilde{v}^\varepsilon\|_{L_2(\theta_\varepsilon)}+ \|\nabla u_\unicode{8224}\|_{L_2(\theta_\varepsilon)} \|\nabla\widetilde{v}^\varepsilon\|_{L_2(\theta_\varepsilon)} \\ &\qquad+\varepsilon^{-1}\|\nabla u_\unicode{8224}\|_{L_2(\theta_\varepsilon)} \|\widetilde{v}^\varepsilon\|_{L_2(\theta_\varepsilon\cap \operatorname{supp}|\nabla \xi^\varepsilon|)}\bigr) \\ &\leqslant C \varepsilon^{1/2}\bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr) \|v^\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (2.37), (2.36), (2.34), (2.33), (2.32), (2.31), (2.13) получаем финальную оценку для второго слагаемого в правой части (2.18):
$$
\begin{equation}
\biggl|\biggl(\frac{\partial u^0} {\partial\boldsymbol{\nu}^\varepsilon}\,, \xi^\varepsilon v^\varepsilon\biggr)_{L_2(\Gamma_N^\varepsilon)}\biggr| \leqslant C\varepsilon^{1/2}\bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr) \|f\|_{L_2(\Omega)}\|v^\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}.
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
Из нее и (2.24), (2.28), (2.29) следует аналогичная оценка для правой части равенства (2.18). Взяв теперь действительную часть этого равенства и воспользовавшись первым неравенством в (2.2), выводим
$$
\begin{equation}
\|v^\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}\leqslant C \varepsilon^{1/2}\bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr)\|f\|_{L_2(\Omega)}.
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
Выпишем теперь очевидное соотношение
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon-u^0=v^\varepsilon-(1-\xi^\varepsilon)u^0
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
и оценим второе слагаемое в правой части этого соотношения. Для этого воспользуемся оценками (2.27) и (2.15):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|(1-\xi^\varepsilon)u^0\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon})}&\leqslant C\varepsilon^{3/2}\bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr)\|f\|_{L_2(\Omega)}, \\ \nonumber \|\nabla(1-\xi^\varepsilon)u^0\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon})}&\leqslant \|\nabla u^0\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon})}+ C\varepsilon^{-1}\|u^0\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon})} \\ &\leqslant C \varepsilon^{1/2}\bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr)\|f\|_{L_2(\Omega)}. \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
Из этих оценок, (2.40) и равенства (2.41) окончательно получаем
$$
\begin{equation*}
\|u^\varepsilon-u^0\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}\leqslant C\varepsilon^{1/2}\bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr)\|f\|_{L_2(\Omega)},
\end{equation*}
\notag
$$
что эквивалентно (1.7).
3. Операторная оценка в $L_2(\Omega^\varepsilon)$В настоящем пункте мы доказываем оценку (1.9) при выполнении условий (1.8). Для этого мы используем подход на основе двойственности, см., например, [21]–[25], с незначительной модификацией, предложенной в работе [18]. Через $\mathcal{L}$ обозначим оператор в $L_2(\Omega)$ с дифференциальным выражением
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal{L}}:=-\sum_{i,j=1}^{2}\, \frac{\partial}{\partial x_i}\,A_{ij}(x)\, \frac{\partial}{\partial x_j}-\sum_{i,j=1}^{2} \frac{\partial}{\partial x_j}\,\overline{A_j}+\overline{A_0(x)}
\end{equation*}
\notag
$$
и краевыми условиями (1.5). В силу условий (1.8) такой оператор имеет ту же структуру, что и оператор $\mathcal{H}^0$, причем несложно убедиться, что оператор $\mathcal{L}$ является сопряженным к $\mathcal{H}^0$. Для такого оператора справедлива лемма 2.1 и соответствующие оценки из (2.1), (2.2) с тем же $\lambda_0$, что в предыдущем пункте. Для произвольной функции $f\in L_2(\Omega)$ определим функции $u^0$, $u^\varepsilon$, $v^\varepsilon$, как это было сделано в предыдущем пункте и положим $h:=v^\varepsilon$ в $\Omega^\varepsilon$ и $h:=0$ в $\Omega\setminus\Omega^\varepsilon$, а также $w:=(\mathcal{L}-\overline{\lambda})^{-1}h$. Согласно лемме 2.1 и оценке (2.13), для функции $w$ верны следующие представление и оценка:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, w=\beta u_\unicode{8224}+w_\ddagger,\qquad w_\ddagger\in W_2^2(\Omega),\qquad \beta\in\mathbb{C}, \\ \|w\|_{W_2^1(\Omega)}+|\beta|+\|w_\ddagger\|_{W_2^2(\Omega)}\leqslant C\|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Уравнение для функции $w$ умножим на $\xi^\varepsilon v^\varepsilon$ скалярно в $L_2(\Omega^\varepsilon)$ и однократно проинтегрируем по частям. Тогда получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i,j=1}^{2} \biggl(A_{ij}\, \frac{\partial \xi^\varepsilon v^\varepsilon}{\partial x_i}\,, \frac{\partial w}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+ \sum_{j=1}^{2}\biggl(A_j\, \frac{\partial \xi^\varepsilon v^\varepsilon}{\partial x_i}\,, w\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+ \biggl(\xi^\varepsilon v^\varepsilon,\frac{\partial w} {\partial\boldsymbol{\nu}^\varepsilon}\biggr)_ {L_2(\Gamma_N^\varepsilon)} \\ &\qquad+(\xi^\varepsilon v^\varepsilon, \overline{(A_0-\lambda)}w)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}= (\xi^\varepsilon v^\varepsilon, v^\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\partial/{\partial\boldsymbol{\nu}^\varepsilon}$ – конормальная производная из (1.4), которая возникает в силу условий $A_{ij}=A_{ji}$ из (1.2) и условия $A_j(x)=0$ в $\Pi_{\tau_1}$ из (1.8). Полученное равенство перепишем следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber (\xi^\varepsilon v^\varepsilon, v^\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}&= \mathfrak{h}^\varepsilon(v^\varepsilon,\xi^\varepsilon w)- \lambda(v^\varepsilon,\xi^\varepsilon w)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \\ \nonumber &\qquad+ \sum_{i,j=1}^{2} \biggl(A_{ij}v^\varepsilon\, \frac{\partial \xi^\varepsilon}{\partial x_i}\,, \frac{\partial w}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}- \sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\,\frac{\partial v^\varepsilon} {\partial x_i}\,,w\frac{\partial\xi^\varepsilon} {\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \\ &\qquad+\sum_{j=1}^{2}\biggl(A_j\,\frac{\partial\xi^\varepsilon} {\partial x_j}\,v^\varepsilon,w\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+ \biggl(\xi^\varepsilon v^\varepsilon,\frac{\partial w} {\partial\boldsymbol{\nu}^\varepsilon}\biggr)_ {L_2(\Gamma_N^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Теперь повторим вывод равенства (2.18), но в качестве пробной функции возьмем $\xi^\varepsilon w$ вместо $v^\varepsilon$. Это дает следующее тождество:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathfrak{h}^\varepsilon(v^\varepsilon,\xi^\varepsilon w)- \lambda(v^\varepsilon,\xi^\varepsilon w)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} =(f,(1-\xi^\varepsilon)\xi^\varepsilon w)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon} \cap\Omega^\varepsilon)}+\biggl(\frac{\partial u^0} {\partial\boldsymbol{\nu}^\varepsilon}\,, (\xi^\varepsilon)^2w\biggr)_{L_2(\Gamma_N^\varepsilon)} \\ &\qquad\qquad-\sum_{j=1}^{2}\biggl(A_j\,\frac{\partial\xi^\varepsilon} {\partial x_j}\,u^0,\xi^\varepsilon w\biggr)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon} \cap\Omega^\varepsilon)} +\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\, \frac{\partial u^0}{\partial x_j}\,,\xi^\varepsilon w\, \frac{\partial\xi^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap \Omega^\varepsilon)} \\ &\qquad\qquad-\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij} u^0\, \frac{\partial \xi^\varepsilon}{\partial x_j}\,, \frac{\partial \xi^\varepsilon w} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap \Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.2) следует
$$
\begin{equation}
(\xi^\varepsilon v^\varepsilon, v^\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}=Q_\varepsilon + \biggl(\xi^\varepsilon v^\varepsilon,\frac{\partial w} {\partial\boldsymbol{\nu}^\varepsilon}\biggr)_ {L_2(\Gamma_N^\varepsilon)}+\biggl(\frac{\partial u^0} {\partial\boldsymbol{\nu}^\varepsilon}\,, (\xi^\varepsilon)^2 w\biggr)_{L_2(\Gamma_N^\varepsilon)},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где обозначено
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_\varepsilon:&=(f,(1-\xi^\varepsilon) \xi^\varepsilon w)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap\Omega^\varepsilon)}- \sum_{j=1}^{2}\biggl(A_j\,\frac{\partial \xi^\varepsilon} {\partial x_j}\,u^0,\xi^\varepsilon w\biggr)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon} \cap\Omega^\varepsilon)} \\ &\qquad+\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\,\frac{\partial u^0} {\partial x_j}\,,\xi^\varepsilon w\,\frac{\partial\xi^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap \Omega^\varepsilon)}-\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}u^0\, \frac{\partial\xi^\varepsilon}{\partial x_j}\,, \xi^\varepsilon\,\frac{\partial w}{\partial x_i}\biggr)_ {L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap\Omega^\varepsilon)} \\ &\qquad-\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}u^0\, \frac{\partial \xi^\varepsilon}{\partial x_j}\,, w\,\frac{\partial\xi^\varepsilon}{\partial x_i}\biggr)_ {L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap\Omega^\varepsilon)}+ \sum_{i,j=1}^{2} \biggl(A_{ij}v^\varepsilon\, \frac{\partial \xi^\varepsilon}{\partial x_i}\,, \frac{\partial w}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon} \cap\Omega^\varepsilon)} \\ &\qquad-\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\,\frac{\partial v^\varepsilon} {\partial x_i}\,,w\,\frac{\partial \xi^\varepsilon} {\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap \Omega^\varepsilon)}+\sum_{j=1}^{2}\biggl(A_j\, \frac{\partial\xi^\varepsilon}{\partial x_j}\,v^\varepsilon, w\biggr)_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap\Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим правую часть полученного равенства. Вначале отметим, что неравенства (2.27) с заменой $u^0$ и $f$ на $w$ и $h$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|w\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon})}&\leqslant C \varepsilon^{3/2}\bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr) \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}, \\ \|\nabla w\|_{L_2(\varpi_\varepsilon^0)}&\leqslant C \varepsilon^{1/2}\bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr) \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Эти неравенства, (2.19), (2.27), (2.15), (2.40) позволяют сразу оценить величину $Q_\varepsilon$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber |Q_\varepsilon| &\leqslant C\varepsilon\bigl(|\ln\varepsilon|+1\bigr) \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\|f\|_{L_2(\Omega)}+ C\varepsilon^{1/2}\bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr) \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \|v^\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)} \\ & \leqslant C\varepsilon\bigl(|\ln\varepsilon|+1\bigr) \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\|f\|_{L_2(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Оценку второго слагаемого в правой части (3.3) проведем аналогично (2.39). А именно, заменив в данной оценке $u^0$ на $w$ и воспользовавшись оценкой (2.40), сразу получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \biggl|\biggl(\xi^\varepsilon v^\varepsilon,\frac{\partial w} {\partial\boldsymbol{\nu}^\varepsilon}\biggr)_ {L_2(\Gamma_N^\varepsilon)}\biggr| &\leqslant C\varepsilon^{1/2}\bigl(|\ln\varepsilon|^{1/2}+1\bigr) \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \|v^\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)} \\ &\leqslant C\varepsilon\bigl(|\ln\varepsilon|+1\bigr) \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\|f\|_{L_2(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Оценим теперь оставшееся третье слагаемое в правой части равенства (3.3). Для этого напомним определение области $\omega^\varepsilon=\{x\colon s<0,\, 0<\tau<\varepsilon b_\varepsilon(s)\}$, умножим уравнение для $u_0$ на $(\xi^\varepsilon)^2 w$ скалярно в $L_2(\omega^\varepsilon)$ и проинтегрируем по частям, учитывая краевые условия для $u^0$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (f,(\xi^\varepsilon)^2 w)_{L_2(\omega^\varepsilon)}&= -\biggl(\frac{\partial u^0}{\partial\boldsymbol{\nu}^\varepsilon}\,, (\xi^\varepsilon)^2 w\biggr)_{L_2(\Gamma_N^\varepsilon)}+ \sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\,\frac{\partial u^0}{\partial x_j}\,, \frac{\partial(\xi^\varepsilon)^2 w} {\partial x_i^2}\biggr)_{L_2(\omega^\varepsilon)} \\ &\qquad+\sum_{j=1}^{2} \biggl(A_j\, \frac{\partial u^0}{\partial x_j}\,,(\xi^\varepsilon)^2 w\biggr)_ {L_2(\omega^\varepsilon)}+\bigl((A_0-\lambda)u^0, (\xi^\varepsilon)^2 w\bigr)_{L_2(\omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\biggl(\frac{\partial u^0}{\partial\boldsymbol{\nu}^\varepsilon}\,, (\xi^\varepsilon)^2 w\biggr)_{L_2(\Gamma_N^\varepsilon)}= -(f,(\xi^\varepsilon)^2 w)_{L_2(\omega^\varepsilon)}+ \bigl((A_0-\lambda)u^0,(\xi^\varepsilon)^2 w\bigr)_{L_2(\omega^\varepsilon)} \\ \nonumber &\qquad\qquad+\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\, \frac{\partial u^0}{\partial x_j}\,,(\xi^\varepsilon)^2\, \frac{\partial w}{\partial x_i}\biggr)_{L_2(\omega^\varepsilon)} +2\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\, \frac{\partial u^0}{\partial x_j}\,, \xi^\varepsilon w\,\frac{\partial \xi^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\omega^\varepsilon)} \\ &\qquad\qquad+\sum_{j=1}^{2}\biggl(A_j\, \frac{\partial u^0}{\partial x_j}\,, (\xi^\varepsilon)^2 w\biggr)_{L_2(\omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Неравенство (2.20) с $v=w$ и $v=u^0$ вместе с (2.13), (3.1), (2.15) позволяет оценить первые два слагаемых в правой части (3.7):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\bigl|((A_0-\lambda)u^0,(\xi^\varepsilon)^2 w)_{L_2(\omega^\varepsilon)} -(f,(\xi^\varepsilon)^2 w)_{L_2(\omega^\varepsilon)}\bigr| \\ \nonumber &\qquad\leqslant C\bigl(\varepsilon^{1/2}\|f\|_{L_2(\omega^\varepsilon)}+ \varepsilon\|u^0\|_{W_2^1(\Omega)}\bigr)\|w\|_{W_2^1(\Omega)} \\ &\qquad\leqslant C\bigl(\varepsilon^{1/2}\|f\|_{L_2(\omega^\varepsilon)} +\varepsilon \|f\|_{L_2(\Omega)}\bigr) \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Из (2.15) и вторых оценок в (2.27) и (3.4) сразу следует, что
$$
\begin{equation}
\biggl|\,\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\,\frac{\partial u^0} {\partial x_j}\,,(\xi^\varepsilon)^2\,\frac{\partial w} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\omega^\varepsilon)}\biggr|\leqslant C\varepsilon\bigl(|\ln\varepsilon|+1\bigr) \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\|f\|_{L_2(\Omega)}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Из второй оценки в (2.27), первой оценки в (3.4), оценки (2.20) с $v=w$ и определения функции $\xi^\varepsilon$ выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|2\sum_{i,j=1}^{2}\biggl(A_{ij}\,\frac{\partial u^0} {\partial x_j}\,,\xi^\varepsilon w\,\frac{\partial \xi^\varepsilon} {\partial x_i}\biggr)_{L_2(\omega^\varepsilon)}+\sum_{j=1}^{2} \biggl(A_j\,\frac{\partial u^0}{\partial x_j}\,, (\xi^\varepsilon)^2 w\biggr)_{L_2(\omega^\varepsilon)}\biggr| \\ &\qquad\leqslant C\|\nabla u^0\|_{L_2(\varpi_\varepsilon^0)} \bigl(\varepsilon^{-1}\|w\|_{L_2(\operatorname{supp} |\nabla\xi^\varepsilon|)}+\|w\|_{L_2(\varpi_\varepsilon)}\bigr) \\ &\qquad\leqslant C\|\nabla u^0\|_{L_2(\varpi_\varepsilon^0)} \bigl(\varepsilon^{-1} \|w\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon})}+ \|w\|_{L_2(\varpi_\varepsilon)}\bigr) \\ &\qquad\leqslant C\varepsilon\bigl(|\ln\varepsilon|+1\bigr) \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\|f\|_{L_2(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.5)–(3.9), (3.3) вытекает
$$
\begin{equation*}
|(\xi^\varepsilon v^\varepsilon, v^\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}|\leqslant C\varepsilon\bigl(|\ln\varepsilon|+1\bigr) \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\|f\|_{L_2(\Omega)}+ C\varepsilon^{1/2}\|f\|_{L_2(\omega^\varepsilon)} \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)},
\end{equation*}
\notag
$$
а потому
$$
\begin{equation*}
\|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}^2\leqslant C\bigl(\varepsilon(|\ln\varepsilon|+1)\|f\|_{L_2(\Omega)}+ \varepsilon^{1/2}\|f\|_{L_2(\omega^\varepsilon)}\bigr) \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+ \bigl((1-\xi^\varepsilon)v^\varepsilon, v^\varepsilon\bigr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, с учетом оценки (2.19) для $v=v^\varepsilon$ и (2.40)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}&\leqslant C\bigl(\varepsilon(|\ln\varepsilon|+1)\|f\|_{L_2(\Omega)}+ \varepsilon^{1/2}\|f\|_{L_2(\omega^\varepsilon)}\bigr)+ \|v^\varepsilon\|_{L_2(\Xi_{3\varepsilon}\cap\Omega^\varepsilon)} \\ &\leqslant C\bigl(\varepsilon(|\ln\varepsilon|+1) \|f\|_{L_2(\Omega)}+\varepsilon^{1/2} \|f\|_{L_2(\omega^\varepsilon)}\bigr)+ C\varepsilon\|v^\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)} \\ &\leqslant C\bigl(\varepsilon(|\ln\varepsilon|+1) \|f\|_{L_2(\Omega)}+\varepsilon^{1/2} \|f\|_{L_2(\omega^\varepsilon)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этой оценки и (2.41), (2.42) выводим
$$
\begin{equation*}
\|u^\varepsilon-u^0\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \leqslant C\bigl(\varepsilon(|\ln\varepsilon|+1)\|f\|_{L_2(\Omega)}+ \varepsilon^{1/2}\|f\|_{L_2(\omega^\varepsilon)}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает (1.9). Авторы искренне благодарят рецензента за многочисленные полезные замечания, которые позволили существенно улучшить первоначальную версию статьи.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BorSul24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|