| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Лакунарные рекуррентные соотношения с пропусками длины восемь для многочленов Бернулли и Эйлера К. А. Мирзоевab, Т. А. Сафоноваc a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики c Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова, г. Архангельск
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010279 
Реферативные базы данных:
  1.Символами $B_n(x)$ и $E_n(x)$, как обычно, обозначим многочлены Бернулли и Эйлера, определяемые из разложений
$$
\begin{equation*}
\frac{te^{tx}}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{+\infty}B_n(x)\frac{t^n}{n!}, \qquad \frac{2e^{tx}}{e^t+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}E_n(x)\frac{t^n}{n!},
\end{equation*}
\notag
$$
первое из которых справедливо при $|t|<2\pi$, а второе – при $|t|<\pi$, а символами $B_n$ и $E_n$ – числа Бернулли и Эйлера, определяемые равенствами
$$
\begin{equation*}
B_n=B_n(0), \quad E_n=2^nE_n\biggl(\frac 12\biggr), \qquad n=0,1,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно (см., например, [1; п. 23, формулы 23.1.1 и 23.1.2]). Хорошо известно, что
$$
\begin{equation}
B_n\biggl(\frac 12\biggr)=-(1-2^{1-n})B_n, \quad E_n(0)=-\frac{2(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1}, \qquad n=0,1,\dots
\end{equation}
\tag{1}
$$
(см., например, [1; п. 23, формулы 23.1.21 и 23.1.20]) и
$$
\begin{equation}
B'_n(z)=nB_{n-1}(z), \quad E'_n(z)=nE_{n-1}(z), \qquad n=1,2,\dots
\end{equation}
\tag{2}
$$
(см., например, [1; п. 23, формулы 23.1.5]). Известны также формулы разложения многочленов $B_n(x)$ и $E_n(x)$ в ряды Фурье, в частности, при $0\leqslant x\leqslant 1$ и $n=1,2,\dots$ справедливы равенства
$$
\begin{equation}
B_{2n}(x)=\frac{(-1)^{n-1}2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\cos 2k\pi x}{k^{2n}},
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
E_{2n-1}(x)=\frac{(-1)^{n}4(2n-1)!}{\pi^{2n}}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\cos(2k+1)\pi x}{(2k+1)^{2n}}
\end{equation}
\tag{4}
$$
(см., например, [1; п. 23, формулы 23.1.18 и 23.1.17]) и классические линейные неоднородные рекуррентные соотношения для многочленов $B_n(x)$ и $E_n(x)$
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{n-1}C_{n}^{k}B_k(x)=nx^{n-1}, \quad \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}E_k(x)+E_{n}(x)=2x^{n}, \qquad n=1,2,\dots
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [1; п. 23, формулы 23.1.6 и 23.1.7] и [2; гл. 24, формулы 24.5.1 и 24.5.2]). Рекуррентные соотношения с пропусками для чисел Бернулли и Эйлера изучаются с конца XIX века и до сих пор остаются в центре внимания многих математиков. История вопроса до 1930 года вкратце освещена в работе Лемера [3], а до 1980 г. – в работе Вагстаффа [4]. Особо отметим первую печатную работу Рамануджана [5] (вошедшую позже в [6] и последующие издания этой книги), в которой найдены линейные рекуррентные соотношения для чисел Бернулли с пропусками длины 4, 6, 8 и 10. В работах [3]–[5] и [7] приведены различные явные рекуррентные формулы с пропусками длины 4, 6, 8, 10 и 12, содержащие числа $B_n$ и $E_n$. Символами $\alpha_{m}$, $\beta_{m}$, $\gamma_m$ и $\delta_m$, $m=0,1,\dots$, обозначим последовательности чисел
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_{m}=\biggl( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^m +\biggl( 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^m, \qquad \beta_{m}=\biggl( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^m -\biggl( 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^m, \\ \gamma_m=\biggl( i+\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^m -\biggl( i-\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^m, \qquad \delta_m=\biggl( i+\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^m +\biggl( i-\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^m \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и в терминах этих последовательностей приведем примеры следующих известных рекуррентных соотношений для них с пропусками длины восемь (см. [5], [7] и [3]):
$$
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{n}{(-1)^{k}\alpha_{4k+2}C_{8n+4}^{8k+4}B_{8(n-k)}} =(-1)^{n}(2n+1)\alpha_{4n+2},
\end{equation}
\tag{5}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}( 2^{8n}-2^{8k+1}) \alpha_{4k+2}C_{8n+4}^{8k+4}B_{8(n-k)} =(2n+1)2^{4n-2}\sqrt{2}( \gamma_{8n+3}-\beta_{8n+3}),
\end{equation}
\tag{6}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{n}{(-1)^{k}2^{8k}\alpha_{4k}C_{8n}^{8k}E_{8(n-k)}} =2^{4n-1}( \alpha_{8n}+\delta_{8n}).
\end{equation}
\tag{7}
$$
В настоящей работе найдены лакунарные рекуррентные соотношения с пропусками длины восемь для многочленов Бернулли $B_{8k+s}(x)$ и Эйлера $E_{8k+s}(x)$ при фиксированном $s\in\{0,1,\dots 7\}$. Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема 1. При $m=0,1,\dots$ справедливы равенства Как мы уже отмечали выше, лакунарными рекуррентными соотношениями для чисел $B_{n}$ и $E_{n}$ исследователи интересуются давно, а соответствующие соотношения для многочленов Бернулли и Эйлера изучены мало. Кроме нашей работы [8] нам известна только работа [9], содержащая рекуррентные соотношения с пропусками длины 4 и 6 для них. В п. 2 и 3 настоящей работы изложен метод доказательства теоремы 1, основанный на применении спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов, предложенный авторами ранее и изложенный, например, в работе [10], и намечена схема ее доказательства. Теорема 1 позволяет единообразно получить и соответствующие равенства для чисел $B_{8k+s}$ и $E_{8k+s}$ (см. следствия 1 и 2), в том числе и равенства (5)–(7), что и сделано в п. 4. 2.Пусть $\alpha=0$ или $\alpha=1$. Символом $S_{\alpha}$ обозначим самосопряженный оператор, порожденный в гильбертовом пространстве $\mathcal{L}^2[0,\pi]$ – в пространстве квадратично интегрируемых по Лебегу функций на отрезке $[0,\pi]$ – выражением и граничным условиемХорошо известно, что $S_{\alpha}$ является самосопряженным оператором с дискретным, простым спектром. Известно также, что числа $2k+\alpha$ являются собственными значениями, а функции
$$
\begin{equation*}
\varphi_k(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-i(2k+\alpha)x}, \qquad k=0,\pm 1,\pm2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
– соответствующими им ортонормированными собственными функциями оператора $S_{\alpha}$. Пусть далее $n\in \mathbb N$ и $0<a<1$. Рассмотрим многочлен $P_{2n}(x)=x^{2n}-a^{2n}$ и оператор $P_{2n}(S_{\alpha})$. Этот оператор, очевидно, является самосопряженным оператором, порожденным выражением и граничными условиями
$$
\begin{equation*}
U_{j+1}(y):=y^{(j)}(0)-e^{\pi i\alpha} y^{(j)}(\pi)=0, \qquad j=0,\dots,2n-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Область определения $\mathcal{D}_{\alpha}$ этого оператора определяется равенством
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}_{\alpha}=\bigl\{y\mid y^{(j-1)}\in \mathrm{AC}[0,\pi],\,P_{2n}(S_{\alpha})y\in\mathcal{L}^2[0,\pi],\,U_{j}(y)=0,\,j=1,\dots,2n\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
и если $y\in\mathcal{D}_{\alpha}$, то Спектр $\sigma$ оператора $P_{2n}(S_{\alpha})$ является дискретным и имеет вид
$$
\begin{equation*}
\sigma=\bigl\{\lambda\mid\lambda=\lambda_{nk}:=P_{2n}(2k+\alpha),\,k=0,\pm 1,\pm 2,\dots\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
а собственному значению $\lambda_{nk}$ этого оператора соответствует собственная функция $\varphi_k$, соответствующая собственному значению $\lambda_{k}$ оператора $S_{\alpha}$. Заметим, что $\lambda=0$ не принадлежит спектру оператора $P_{2n}(S_{\alpha})$. Поэтому он имеет обратный оператор – резольвенту $R_{\alpha}=(P_{2n}(S_{\alpha})-\lambda I)^{-1}$ при $\lambda=0$, являющуюся интегральным оператором с ядром $G((x,t);P_{2n}(S_{\alpha}))$, $0\leqslant x,t\leqslant\pi$, – функцией Грина задачи
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} l_{2n}[y]=f, \\ U_{j}(y)=0, \qquad j=1,\dots,2n. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Построим функции Грина $G((x,t);S_{\alpha}^{2n}\pm a^{2n})$ при значениях $n=1$ и $2$. Вычисления показывают, что при $n=1$ справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G((x,t),S_0^2-a^2)=-\frac{\cos a({\pi}/{2}-|u|)}{2a\sin({a\pi}/{2})}, \qquad G((x,t),S_1^2-a^2)=\frac{\sin a({\pi}/{2}-|u|) }{2a\cos({a\pi}/{2})}, \\ G((x,t),S_0^2+a^2)=\frac{\operatorname{ch} a({\pi}/{2}-|u|)}{2a\operatorname{sh}({a\pi}/{2})}, \qquad G((x,t),S_1^2+a^2)=\frac{\operatorname{sh} a({\pi}/{2}-|u|) }{2a\operatorname{ch} ({a\pi}/{2})}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где здесь и всюду далее $u=x-t$. Легко показать, что при $n=2$ справедлива формула
$$
\begin{equation*}
G\bigl((x,t),S_{\alpha}^4-a^4\bigr) =\int_{0}^{\pi}G\bigl((x,\tau),S_{\alpha}^2-a^2\bigr)\cdot G\bigl((\tau,t),S_{\alpha}^2+a^2\bigr)\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя ее, можно показать, что при $\alpha=0$ справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-4a^2\sin\frac{a\pi}{2}\operatorname{sh}\frac{a\pi}{2}G\bigl((x,t),S_0^4-a^4\bigr) \\ &\qquad =\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{({\pi}/{2})^{4m+1}}{(4m+1)!} \biggl(\biggl( 1+i\biggl(1-\frac{2|u|}{\pi} \biggr) \biggr)^{4m+1}+ \biggl( 1- i\biggl(1-\frac{2|u|}{\pi}\biggr)\biggr)^{4m+1}\biggr) a^{4m}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а при $\alpha=1$ – равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &4i\cos\frac{a\pi}{2}\operatorname{ch}\frac{a\pi}{2}G\bigl((x,t),S_1^4-a^4\bigr) \\ &\qquad =\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{({\pi}/{2})^{4m+3}}{(4m+3)!} \biggl(\biggl(1+i \biggl( 1-\frac{2|u|}{\pi}\biggr)\biggr)^{4m+3} -\biggl(1-i\biggl( 1-\frac{2|u|}{\pi}\biggr) \biggr)^{4m+3}\biggr) a^{4m}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Можно получить аналогичные соотношения для функций $G((x,t),S_\alpha^4+a^4)$, если в приведенных выше равенствах заменить $a$ на $\epsilon a$, где $\epsilon=(1+i)/{\sqrt{2}}$, предварительно обосновав эту возможность. Перейдем теперь к построению функции Грина $G((x,t);S_{\alpha}^8-a^8)$. Установив равенство
$$
\begin{equation*}
G\bigl((x,t),S_{\alpha}^8-a^8\bigr)=\int_{0}^{\pi}G\bigl((x,\tau),S_{\alpha}^4-a^4\bigr)\cdot G\bigl((\tau,t),S_{\alpha}^4+a^4\bigr)\,d\tau
\end{equation*}
\notag
$$
и используя полученные выше разложения для функций $G((x,t),S_\alpha^4\pm a^4)$, можно показать, что
$$
\begin{equation}
G\bigl((x,t),S_0^8-a^8\bigr)=\frac{1}{\mathcal{B}(a)} \sum_{m=0}^{+\infty}\frac{({\pi}/{2})^{8m+3}}{(8m+3)!}q_{8m+3}\biggl(\frac{|u|}{\pi}\biggr) a^{8m},
\end{equation}
\tag{10}
$$
$$
\begin{equation}
G\bigl((x,t),S_1^8-a^8\bigr)=\frac{1}{\mathcal{C}(a)} \sum_{m=0}^{+\infty}\frac{({\pi}/{2})^{8m+7}}{(8m+7)!}Q_{8m+7}\biggl(\frac{|u|}{\pi}\biggr) a^{8m},
\end{equation}
\tag{11}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{B}(a)=16a^4\sin\frac{a\pi}{2}\operatorname{sh}\frac{a\pi}{2}\sin\frac{\epsilon a\pi}{2}\operatorname{sh}\frac{\epsilon a\pi}{2}, \qquad \mathcal{C}(a)=16\cos\frac{a\pi}{2}\operatorname{ch}\frac{a\pi}{2}\cos\frac{\epsilon a\pi}{2}\operatorname{ch}\frac{\epsilon a\pi}{2}, \\ q_{s}\biggl(\frac{|u|}{\pi}\biggr)=\sum_{j=1}^{8}(-1)^{j-1}\biggl( \frac{2|u|}{\pi}-1+a_j\biggr)^{s}, \qquad Q_{s}\biggl(\frac{|u|}{\pi}\biggr)=\sum_{j=1}^{8}\biggl( \frac{2|u|}{\pi}-1+a_j\biggr)^{s}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что числа $a_1, a_2,\dots, a_8$ были определены нами в формулировке теоремы 1. С другой стороны, применив спектральную теорему к самосопряженному оператору $P_{8}(S_{\alpha})$ и учтя разложения (3) и (4), заключаем, что справедливы равенства
$$
\begin{equation}
G((x,t),S_0^8-a^8)=-\frac{1}{\pi a^{8}}+ \frac{2}{\pi }\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos 2ku}{(2k)^{8}-a^{8}}=-\frac{1}{\pi a^{8}}-\sum_{s=1}^{+\infty}\frac{\pi^{8s-1}B_{8s}(u/\pi)}{(8s)!}a^{8(s-1)},
\end{equation}
\tag{12}
$$
$$
\begin{equation}
G((x,t),S_1^8-a^8)=\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\cos(2k+1)u}{(2k+1)^{8}-a^{8}} =\sum_{s=1}^{+\infty}\frac{\pi^{8s-1}E_{8s-1}(u/\pi)}{2(8s-1)!}a^{8(s-1)}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
3.Теперь наметим доказательство теоремы 1. Из равенств (10) и (12) следует, что при $0\leqslant u\leqslant\pi$
$$
\begin{equation*}
-\mathcal{B}(a)\biggl(\frac{1}{\pi a^{8}}+\sum_{s=1}^{+\infty}\frac{\pi^{8s-1}}{(8s)!}B_{8s} \biggl( \frac{u}{\pi}\biggr) a^{8(s-1)}\biggr) =\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{({\pi}/{2})^{8m+3}}{(8m+3)!}q_{8m+3}\biggl(\frac{u}{\pi}\biggr) a^{8m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Разложим левую часть этого равенства в ряд по степеням $a$ и в полученном равенстве приравняем коэффициенты при одинаковых степенях. После некоторых элементарных преобразований приходим к справедливости равенства
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\alpha_{4k+2}C_{8n+4}^{8k+4}B_{8(n-k)}(z) =\frac{(2n+1)i}{2^{8n+4}}q_{8n+3}(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $z=u/\pi$. Это соотношение, очевидно, справедливо при любом комплексном $z$. Если в нем заменить $n$ на $n+1$, продифференцировать полученное тождество нужное количество раз, учтя при этом первую из формул (2), то можно получить все рекуррентные соотношения с пропусками длины восемь для многочленов Бернулли. Таким образом, справедливы равенства (8). Если исходить из представлений (11) и (13) и рассуждать аналогично, используя вторую часть равенства (2), то можно получить рекуррентные соотношения с пропусками длины восемь для многочленов Эйлера, т.е. равенства (9). 4.Теорема 1 позволяет получить все известные рекуррентные соотношения с пропусками длины восемь для чисел Бернулли и Эйлера. Действительно, полагая $z=1/2$ в равенствах теоремы 1 и учтя определение чисел Эйлера и первое из равенств (1), приходим к справедливости такого следствия из нее. Следствие 1. При $m=0,1,\dots$ справедливы равенства Если же положить $z=0$ в тех же равенствах и учесть определение чисел Бернулли и второе из равенств (1), то после некоторых элементарных преобразований заключаем, что справедливо такое следствие из теоремы 1. Следствие 2. При $m=0,1,\dots$ и $j=0,1$ справедливы равенства Тождества, по сути совпадающие с тождествами из следствий 1 и 2, хорошо известны (см. [3]–[5] и [7]) и неоднократно использовались, например, в исследованиях об арифметических свойствах знаменателей чисел Бернулли (см. [4] и [11]).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MirSaf24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|