| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Теорема Хасьминского для уравнения Колмогорова с частично вырожденной матрицей диффузии С. В. Шапошников, Д. В. Шатилович Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030155 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и формулировка основного результатаРассмотрим стационарное уравнение Колмогорова
$$
\begin{equation}
\sum_{i,j=1}^d\partial_{x_i}\partial_{x_j}(a^{ij}\mu) -\sum_{i=1}^d\partial_{x_i}(b^i\mu)=0.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Коэффициенты $a^{ij}$ и $b^i$ являются борелевскими функциями, а матрица $A=(a^{ij})$ симметрична и неотрицательно определена. Матрицу $A$ называют матрицей диффузии, а векторное поле $b=(b^i)$ называют коэффициентом сноса. Положим
$$
\begin{equation*}
Lu=\sum_{i, j=1}^da^{ij}\partial_{x_i}\partial_{x_j}u+\sum_{i=1}^db^i\partial_{x_i}u.
\end{equation*}
\notag
$$
Неотрицательная локально конечная борелевская мера $\mu$ является решением уравнения Колмогорова (1.1), если $a^{ij}, b^i\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mu)$ и для всякой функции $u\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ справедливо равенство Неотрицательное решение $\mu$, для которого верно равенство $\mu(\mathbb{R}^d)=1$, называется вероятностным. Существованию вероятностного решения уравнения Колмогорова посвящена известная теорема Хасьминского [1], [2], обобщения которой на случай вырожденных и негладких коэффициентов получены в работах [3]–[6]. Интерес именно к вероятностным решениям связан с тем, что инвариантная мера диффузионного процесса с генератором $L$ удовлетворяет уравнению Колмогорова. Более того, согласно принципу суперпозиции (см. [6; теорема 4.6], [7]) в весьма общей ситуации каждому вероятностному решению $\mu$ соответствует такая мера $P$ на $C([0, +\infty), \mathbb{R}^d)$, что $P$ является решением мартингальной задачи с оператором $L$ и для всех $t\geqslant 0$ верно равенство $P(\omega\colon \omega(t)\in B)=\mu(B)$. Наконец, существование вероятностного решения позволяет в случае нерегулярных и растущих на бесконечности коэффициентов построить субмарковскую полугруппу с генератором $L$ (см. [5] и [8; гл. 5]). Классическим глобальным условием теоремы Хасьминского является существование функции Ляпунова, т.е. такой функции $V\in C^2(\mathbb{R}^d)$, что $\lim_{|x|\to+\infty}V(x)=+\infty$ и для некоторых положительных чисел $R>0$ и $C>0$ неравенство $LV(x)\leqslant -C$ справедливо при $|x|>R$. Более того, согласно [8; предложение 5.3.9] при широких условиях на коэффициенты из существования вероятностного решения следует существование функции Ляпунова. Однако без дополнительных локальных условий на коэффициенты наличие функции Ляпунова еще не гарантирует существование вероятностного решения, что показано на нескольких примерах в конце настоящей статьи. В известных вариантах теоремы Хасьминского можно выделить три вида локальных условий: 1) коэффициенты $a^{ij}$ и $b^i$ непрерывны (см. [8; теорема 2.4.4]); 2) на каждом шаре $B$ коэффициенты $a^{ij}$ и $b^i$ ограничены и для некоторого числа $\lambda_B>0$ выполнено $A\geqslant \lambda_B\cdot I$ (см. [8; следствие 2.4.2]); 3) на каждом шаре $B$ функции $a^{ij}$ непрерывны (или удовлетворяют условию VMO), $|b|\in L^{p_B}(B)$ для некоторого $p_B>d$ и справедливо неравенство $A\geqslant \lambda_B\cdot I$ для некоторого $\lambda_B>0$ (см. [6; следствие 4.4] и [8; следствие 2.4.2]). Близкие результаты в случае, когда функции $a^{ij}$ имеют соболевские производные и матрица $A$ невырождена, получены в работе [5]. Отметим, что, в отличие от п. 2) и п. 3), в п. 1) не предполагается невырожденность матрицы $A$, но, в отличие от п. 1), в п. 2) и п. 3) не предполагается непрерывность коэффициента $b$. Представляет интерес обобщение теоремы Хасьминского на промежуточный случай, когда матрица $A$ вырождена лишь по части переменных. Типичный пример доставляет оператор
$$
\begin{equation*}
Lu(x)=\sum_{i=1}^m\partial_{x_i}^2u(x)+\sum_{i=1}^db^i(x)\partial_{x_i}u(x), \qquad 1\leqslant m\leqslant d,
\end{equation*}
\notag
$$
который появляется при исследовании стохастических уравнений, когда по части переменных диффузионный процесс описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а по остальным переменным – стохастическими дифференциальными уравнениями. Таковой является система стохастических уравнений Ланжевена
$$
\begin{equation*}
d Z_t=Y_t\,dt, \qquad dY_t=B(Y_t, Z_t)\,dt+\sqrt{2}\,dW_t,
\end{equation*}
\notag
$$
где $W_t$ – винеровский процесс. Соответствующий оператор $L$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
Lu(y, z)=\partial_y^2u(y, z)+y\partial_zu(y, z)+B(y, z)\partial_yu(y, z).
\end{equation*}
\notag
$$
Стохастические уравнения с частично вырожденной матрицей диффузии исследовались в [9], [10]. Параболические уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова с вырожденной матрицей диффузии исследовались в статьях [11]–[14]. В перечисленных выше работах показано, что требования регулярности коэффициентов по переменным, по которым нет вырождения матрицы диффузии, можно ослабить. Естественно предположить, что в случае стационарного уравнения Колмогорова ситуация аналогична, и в теореме Хасьминского по переменным, по которым нет вырождения, можно не требовать непрерывности коэффициентов уравнения, а накладывать условия из п. 2) и п. 3). Основной результат настоящей работы состоит в обосновании этого предположения. В качестве вспомогательного результата доказано существование плотности у проекции решения на координаты, по которым нет вырождения, а также получена оценка плотности через коэффициенты уравнения. Более того, построены примеры, показывающие точность полученных условий. Для удобства выделим переменные, по которым соответствующий минор матрицы диффузии не вырождается. Пусть $1\leqslant m\leqslant d$, $\mathbb{R}^d_x=\mathbb{R}^m_y\times \mathbb{R}^{d-m}_z$ и $x=(y, z)$. В основных результатах мы будем использовать следующие предположения о коэффициентах:
Следующая теорема является основным результатом. Теорема 1. Пусть выполнены условие ${\rm (H_a)}$ и одно из условий ${\rm (H_b)}$ или ${\rm (H_c)}$. Предположим, что существуют такие функция $V\in C^2(\mathbb{R}^d)$ и числа $C>0$, $R>0$, что $\lim_{|x|\to+\infty}V(x)=+\infty$ и $LV(x)\leqslant -C$ при $|x|>R$. Тогда уравнение Колмогорова (1.1) имеет вероятностное решение. Замечание 1. При $m=d$ утверждение теоремы совпадает с известными результатами из [8; следствие 2.4.2] и [6; следствие 4.4]. Случай $m=0$ не рассматривается, но при естественном обобщении условий на случай $m=0$ утверждение совпадает с [8; следствие 2.4.4]. Действительно, при $m=0$ условие ${\rm (H_a)}$ не является ограничением, поскольку матрица $A$ с самого начала предполагается неотрицательно определенной, а условия ${\rm (H_b)}$ и ${\rm (H_c)}$ совпадают с условием непрерывности коэффициентов $a^{ij}$ и $b^i$. 2. Вспомогательные утверждения и доказательство теоремыДоказательство теоремы основано на представляющем самостоятельный интерес утверждении о существовании и оценке плотности у проекции решения на пространство $\mathbb{R}^m_y$. Это утверждение опирается на [8; теорема 1.5.2], где установлено существование плотности у неотрицательной меры, удовлетворяющей некоторому интегральному неравенству. Из доказательства [8; теорема 1.5.2] можно извлечь оценку плотности на всяком кубе $K$ через интеграл от функции $(1+|b|+\|A\|)$ по этой мере на большем кубе $Q$. Для всякого $q\geqslant 1$ через $q'$ обозначаем число $q/(q-1)$ при $q>1$ и $+\infty$ при $q=1$. Лемма 1. Пусть $\mu$ – вероятностное решение уравнения Колмогорова (1.1), выполнены условие ${\rm (H_a)}$ и одно из условий ${\rm (H_b)}$ или ${\rm (H_c)}$. (i) Для всякой функции $\eta\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^{d-m}_z)$, $0\leqslant\eta\leqslant 1$, проекция меры $\eta\mu$ на $\mathbb{R}^m_y$ имеет плотность $\varrho$ относительно меры Лебега, причем для всякого куба $K_y$ плотность $\varrho$ принадлежит $L^{m'}(K_y)$. (ii) Пусть открытый куб $Q_y\subset\mathbb{R}^m_y$ содержит замыкание куба $K_y$, открытый куб $Q_z\subset\mathbb{R}^{d-m}_z$ содержит носитель функции $\eta$ и $Q=Q_y\times Q_z$. Тогда где $C$ не зависит от $\mu$, а зависит только от $K_y$, $Q$, $\eta$, $\lambda_Q$, $m$, $d$, $C_Q$ и $\omega_Q$ в случае ${\rm (H_b)}$ и зависит только от $K_y$, $Q$, $\eta$, $\lambda_Q$, $m$, $d$, $p_Q$, $C_Q$, $\omega_Q$, $\|g^i\|_{L^{p_Q}(Q_y)}$, $\sup_{Q}|a^{ij}|$ и модуля непрерывности $a^{ij}$ на $Q$ в случае условия ${\rm (H_c)}$. Доказательство. Утверждения (i) и (ii) обосновываем одновременно, вместе с существованием плотности получая оценку ее нормы. Если мера $\eta\mu$ равна нулю, то утверждение очевидно. Пусть мера $\eta\mu$ отлична от нуля. Тогда для некоторой константы $M\geqslant 1$ мера $\sigma=M\eta\mu$ является вероятностной. Пусть открытый куб $Q_y\subset \mathbb{R}^m_y$ содержит замыкание куба $K_y$, открытый куб $Q_z\subset\mathbb{R}^{d-m}_z$ содержит носитель функции $\eta$ и $Q=Q_y\times Q_z$. Подставляя в (1.2) функцию $u(y, z)=\psi(y)\eta(z)$, где $\psi\in C_0^{\infty}(Q_y)$, получаем равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int \sum_{i, j\leqslant m}a^{ij}(y, z)\partial_{y_i}\partial_{y_j}\psi(y)\eta(z)\,\mu(dy\,dz) \\ \notag &\qquad =-\int \biggl(\sum_{i\leqslant m,\,j>m}a^{ij}(y, z)\partial_{y_i}\psi(y)\partial_{z_j}\eta(z)+ \sum_{i>m,\,j\leqslant m}a^{ij}(y, z)\partial_{y_j}\psi(y)\partial_{z_i}\eta(z) \\ \notag &\qquad\qquad +\sum_{i>m,\, j>m}a^{ij}(y, z)\partial_{z_i}\partial_{z_j}\eta(z)\psi(y)+\sum_{i\leqslant m}b^i(y, z)\partial_{y_i}\psi(y)\eta(z) \\ &\qquad\qquad +\sum_{i>m}b^i(y, z)\partial_{z_i}\eta(z)\psi(y)\biggr)\,\mu(dy\,dz). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Предположим, что выполнено условие ${\rm (H_b)}$. Тогда для всех $(y, z)\in Q_y\times Q_z$ выполнено
$$
\begin{equation*}
|a^{ij}(y, z)|+|b^i(y, z)|\leqslant |a^{ij}(y, 0)|+|b^i(y, 0)|+\omega_Q(|z|) \leqslant C_Q+\sup_{z\in Q_z}\omega_Q(|z|)=N_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\mu$ – вероятностная мера и коэффициенты локально ограничены, то
$$
\begin{equation*}
\int\biggl(\sum_{i, j\leqslant m}a^{ij}(y, z)\partial_{y_i}\partial_{y_j}\psi(y)\biggr)\eta(z)\,\mu(dy\,dz)\leqslant N_2\Bigl(\sup_y|\psi(y)|+\sup_y|\nabla\psi(y)|\Bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Константа $N_2$ зависит только от $N_1$, $m$, $d$, $\sup_{Q_z}|\partial_{z_i}\eta(z)|$ и $\sup_{Q_z}|\partial_{z_i}\partial_{z_j}\eta(z)|$. Умножая последнее неравенство на $M$, получаем
$$
\begin{equation}
\int\biggl(\sum_{i, j\leqslant m}a^{ij}(y, z)\partial_{y_i}\partial_{y_j}\psi(y)\biggr)\,\sigma(dy\,dz)\leqslant N_2M\Bigl(\sup_{Q_y}|\psi(y)|+\sup_{Q_y}|\nabla\psi(y)|\Bigr).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Пусть $\sigma^y$ – условные меры относительно проекции $\sigma_Y$ меры $\sigma$ на $\mathbb{R}^{m}_y$. Так как носитель $\eta$ лежит в $Q_z$, для $\sigma_Y$ почти всех $y$ мера $\sigma^y$ равна нулю вне $Q_z$. При $i, j\leqslant m$ положим Функции $\alpha^{ij}$ являются условными математическими ожиданиями функций $a^{ij}$ относительно $\sigma$-алгебры, порожденной переменными $y_i$, и вероятностной меры $\sigma$. Для $\sigma_Y$ почти всех $y\in Q_y$ верна оценка $|\alpha^{ij}(y)|\leqslant N_1$. Пусть $\xi\in\mathbb{R}^m$. Для $\sigma_Y$ почти всех $y\in Q_y$ оценка
$$
\begin{equation*}
\sum_{i, j\leqslant m}a^{ij}(y, z)\xi_i\xi_j\geqslant \lambda_Q|\xi|^2
\end{equation*}
\notag
$$
справедлива для $\sigma^y$ почти всех $z$ и выполнено
$$
\begin{equation*}
\sum_{i, j\leqslant m}\alpha^{ij}(y)\xi_i\xi_j=\int\biggl(\sum_{i, j\leqslant m}a^{ij}(y, z)\xi_i\xi_j\biggr)\,\sigma^{y}(dz)\geqslant \lambda_Q|\xi|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\int\biggl(\sum_{i, j\leqslant m}\alpha^{ij}(y)\partial_{y_i}\partial_{y_j}\psi(y)\biggr)\,\sigma_Y(dy)\leqslant N_2M\Bigl(\sup_y|\psi(y)|+\sup_y|\nabla\psi(y)|\Bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Это неравенство верно для функций $\psi\in C^2(Q_y)$ с компактным носителем в $Q_y$. Таким образом, проекция $\sigma_Y$ удовлетворяет неравенству, аналогичному неравенству (2.2) для меры $\sigma$, с коэффициентами $\alpha^{ij}$, которые являются условными математическими ожиданиями коэффициентов $a^{ij}$. Согласно [8; теорема 1.5.2] мера $\sigma_Y$ на $Q_y$ имеет плотность $\widetilde{\varrho}$ относительно меры Лебега, причем $\widetilde{\varrho}\in L^{m'}(K_y)$. Существование плотности и ее оценка в [8; теорема 1.5.2] выводятся следующим образом. Пусть $\zeta\in C_0^{\infty}(Q_y)$, $\zeta\geqslant 0$ и $\zeta=1$ на $K_y$. Подставляя в неравенство для меры $\sigma_Y$ функцию $\psi(y)=\zeta(y)u(y)$, где $u\in C^2(Q_y)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\int\biggl(\sum_{i, j\leqslant m}\alpha^{ij}(y)\partial_{y_i}\partial_{y_j}u(y)\biggr)\zeta(y)\,\sigma_Y(dy)\leqslant N_3M\Bigl(\sup_{y\in Q_y}|u(y)|+\sup_{y\in Q_y}|\nabla u(y)|\Bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
N_3=N_2+m^2\sup_{y, i, j}|\alpha^{ij}(y)|\,|\partial_{y_i}\partial_{y_j}\zeta| +m^2\sup_{y, i, j}|\alpha^{ij}(y)|\,|\partial_{y_i}\zeta(y)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть открытый шар $B$ содержит замыкание куба $Q_y$, $f\in C_0^{\infty}(Q_y)$ и $f\geqslant 0$. Рассмотрим выпуклое решение $u$ уравнения Монжа–Ампера $\operatorname{det} D^2u=f^m$ на $B$ с граничным условием $u=0$ на $\partial B$. По принципу максимума А. Д. Александрова верна оценка $\sup_B|u|\leqslant C(B, m)\|f\|_{L^m(B)}=C(B, m)\|f\|_{L^m(Q_y)}$, а в силу выпуклости функции $u$ выполнено неравенство $\sup_{Q_y}|\nabla u|\leqslant C(B, Q_y, m)\sup_B|u|$. Подставляя функцию $u$ в неравенство для меры $\zeta\sigma_Y$ и следуя доказательству [8; теорема 1.5.2], получаем оценку из которой по теореме Рисса следует существование и оценка $L^{m'}$ – нормы плотности меры $\zeta\sigma_Y$. Учитывая, что $\zeta=1$ на $K_y$, получаем оценку где $N_3'$ зависит только от величин $m$, $N_2$, $K_y$, $Q_y$, $\lambda_Q$ и $N_1$. Функция $\varrho=M^{-1}\widetilde{\varrho}$ является плотностью меры $M^{-1}\sigma_Y$, которая совпадает с проекцией меры $\eta\mu$ на $\mathbb{R}^m_y$.
Пусть теперь выполнено условие ${\rm (H_c)}$. Тогда при $i>m$ для всех $(y, z)$ из куба $Q=Q_y\times Q_z$ выполнено
$$
\begin{equation*}
|b^i(y, z)|\leqslant |b^i(y, 0)|+\omega_Q(|z|)\leqslant C_Q+\sup_{z\in Q_z}\omega_Q(|z|)=N_4.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть как и выше $\sigma^y$ – условные меры относительно проекции $\sigma_Y$ меры $\sigma$ на $\mathbb{R}^{m}_y$. Напомним, что по условию ${\rm (H_c)}$ при $i, j\leqslant m$ функции $a^{ij}$ зависят только от $y$. Используя (2.1), получаем для всякой функции $\psi\in C_0^{\infty}(Q_y)$ неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int\biggl(\sum_{i, j\leqslant m}a^{ij}(y)\partial_{y_i}\partial_{y_j}\psi(y) +\sum_{i\leqslant m}b^i(y, z)\partial_{y_i}\psi(y)\biggr)\,\sigma(dy\,dz) \\ &\qquad \leqslant N_5M\Bigl(\sup_y|\psi(y)|+\sup_y|\nabla\psi(y)|\Bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $N_5$ зависит от $N_4$, $\sup_{Q}|a^{ij}|$, $\sup_{Q_z}|\partial_{z_i}\eta(z)|$ и $\sup_{Q_z}|\partial_{z_i}\partial_{z_j}\eta(z)|$.
При $i\leqslant m$ для всех $(y, z)\in Q=Q_y\times Q_z$ выполнено
$$
\begin{equation*}
|b^i(y, z)|\leqslant |b^i(y, 0)|+g^i(y)\omega_Q(|z|)\leqslant N_6g^i(y), \qquad N_6=1+\sup_{z\in Q_z}\omega_Q(|z|).
\end{equation*}
\notag
$$
При $i\leqslant m$ положим т.е. функции $\beta^i$ являются условными математическими ожиданиями $b^i$ относительно $\sigma$–алгебры, порожденной переменными $y_i$, и вероятностной меры $\sigma$. Для $\sigma_Y$ почти всех $y\in Q_y$ справедлива оценка $|\beta^i(y)|\leqslant N_6g^i(y)$ и, следовательно, выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\|\beta^i\|_{L^{p_Q}(Q_y)}\leqslant N_6\|g^i\|_{L^{p_Q}(Q_y)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, верно неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int\biggl(\sum_{i, j\leqslant m}a^{ij}(y)\partial_{y_i}\partial_{y_j}\psi(y) +\sum_{i\leqslant m}\beta^i(y)\partial_{y_i}\psi(y)\biggr)\,\sigma_Y(dy) \\ &\qquad\leqslant N_5M\Bigl(\sup_y|\psi(y)|+\sup_y|\nabla\psi(y)|\Bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Согласно [8; теорема 1.5.2] мера $\sigma_Y$ на $Q_y$ имеет плотность $\widetilde{\varrho}$ относительно меры Лебега, причем $\widetilde{\varrho}\in L^{m'}(K_y)$. Получим оценку нормы плотности. Для этого сделаем замену переменной и сведем задачу к случаю ограниченных коэффициентов. Пусть открытый куб $Q_y'$ содержит замыкание куба $K_y$, а открытый куб $Q_y$ содержит замыкание куба $Q_y'$. Пусть $\gamma\in C_0^{\infty}(Q_y)$, $0\leqslant\gamma\leqslant 1$ и $\gamma=1$ на $Q_y'$. При $i,j\leqslant m$ положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{a}^{ij}(y)=\gamma(y)a^{ij}(y)+\lambda_Q(1-\gamma(y))\delta^{ij}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{i, j=1}^m\widetilde{a}^{ij}(y)\xi_i\xi_j\geqslant \lambda_Q|\xi|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, модуль непрерывности $\widetilde{a}^{ij}$ на $\mathbb{R}^m$ и $\sup_{\mathbb{R}^m}|\widetilde{a}^{ij}|$ выражаются через модуль непрерывности $a^{ij}$ на $Q_y$ и $\sup_{Q_y}|a^{ij}|$. Продолжим функции $\beta^i$ нулем вне $Q_y$. Согласно [6; предложение 2.1 и предложение 2.3] существует такое число $\theta$, что для каждого $1\leqslant k\leqslant m$ уравнение
$$
\begin{equation*}
\sum_{i, j=1}^m\widetilde{a}^{ij}(y)\partial_{y_i}\partial_{y_j}u(y) +\sum_{i=1}^m\beta^i(y)\partial_{y_i}u(y)-\theta u(y)=-\beta^k(y)
\end{equation*}
\notag
$$
имеет решение $u_k\in C^1_b(\mathbb{R}_y^m)\cap W^{2, p_Q}(\mathbb{R}^m_y)$, причем отображение является диффеоморфизмом $\mathbb{R}^m_y\to\mathbb{R}^m_y$ класса $C^1$ и $2^{-1}\leqslant \operatorname{det}\Phi'\leqslant 2$, где через $\Phi'$ обозначается матрица Якоби отображения $\Phi$. Величина $\theta$ зависит только от $\|g^i\|_{L^{p_Q}(Q)}$, $m$, $\lambda_Q$, $\sup_Q|a^{ij}|$ и модуля непрерывности $a^{ij}$. Кроме того, $\sup_{\mathbb{R}^m}|u_k|$ и $\sup_{\mathbb{R}^m}|\partial_{y_i}u_k|$ оцениваются величиной, зависящей только от $\|g^i\|_{L^{p_Q}(Q)}$, $m$, $\lambda_Q$, $\sup_Q|a^{ij}|$ и модуля непрерывности $a^{ij}$.
Обозначим отображение $\Phi^{-1}$ через $\Psi$. Далее через $\Psi'$ обозначаем матрицу Якоби отображения $\Psi$. Пусть $\mathcal{V}=\Phi(Q')$ и $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathcal{V})$. Положим
$$
\begin{equation*}
\nu(dv)=\sigma_Y\circ\Phi^{-1}(dv)=\widetilde{\varrho}(\Psi(v))\operatorname{det}\Psi'(v)\,dv
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\nu$ – вероятностная мера. Подставляя функцию $\psi(y)=\varphi(\Phi(y))$ в неравенство (2.3) и повторяя рассуждения из [6; предложение 2.4], получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\int\biggl(\sum_{i, j\leqslant m}q^{ij}(y)\partial_{v_i}\partial_{v_j}\varphi(v) +\sum_{i\leqslant m}h^i(v)\partial_{v_i}\varphi(v)\biggr)\nu(dv)\leqslant N_7M\Bigl(\sup_v|\varphi(v)|+\sup_v|\nabla\varphi(v)|\Bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, N_7=N_5\bigl(1+\sup_{Q}\|\Phi'\|\bigr), \\ q^{ij}(v)=\sum_{s, t=1}^ma^{st}(\Psi(v))\partial_{y_i}\Phi_s(\Psi(v))\partial_{y_j}\Phi_t(\Psi(v)), \qquad h^i(v)=\theta u_i(\Psi(v)). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функции $u_i(\Psi(v))$ ограничены на $\mathcal{V}$ и $M\geqslant 1$, приходим к оценке
$$
\begin{equation*}
\int\biggl(\sum_{i, j\leqslant m}q^{ij}(y)\partial_{v_i}\partial_{v_j}\varphi(v)\biggr)\,\nu(dv)\leqslant N_8M\Bigl(\sup_v|\varphi(y)|+\sup_v|\nabla\varphi(v)|\Bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $N_8=N_7+\sup_{\mathcal{V}}|u(\Psi(v))|$. По [8; теорема 1.5.2] верна оценка Возвращаясь к исходным координатам, учитывая неравенства $2^{-1}\leqslant \operatorname{det}\Psi'\leqslant 2$ и умножая $\widetilde{\varrho}$ на $M^{-1}$, получаем $\|\varrho\|_{L^{m'}(K_y)}\leqslant 2N_9$. Замечание 2. Пусть матрица $A$ ограничена и невырождена, а $\mu$ – вероятностное решение. Тогда по [8; теорема 1.5.2] у меры $\mu$ есть плотность $\varrho$ относительно меры Лебега и верна оценка Кроме оценки плотности проекции решения, в доказательстве теоремы применяется следующая процедура приближения коэффициентов непрерывными функциями. Пусть $\delta\in (0, 1)$ и $y\in\mathbb{R}^m_y$. Положим $h_{\delta}(y)=\delta^{-m}h(y/\delta)$, где $h$ – неотрицательная гладкая функция с носителем в шаре $\{y\colon |y|<1\}$, причем $\|h\|_{L^1(\mathbb{R}^m)}=1$. Пусть $f$ – такая борелевская функция на $\mathbb{R}^d$, что для всякого куба $K=K_y\times K_z$ существуют число $p_K>m$, неотрицательная функция $g_K\in L^{p_K}(K_y)$ и непрерывная неотрицательная монотонная функция $\omega_K$, с которыми для всех $y\in K_y$, $z, z'\in K_z$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\bigl|f(y, z)-f(y, z')\bigr|\leqslant g_K(y)\omega_K(|z-z'|), \qquad |f(y, 0)|\leqslant g_K(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим Рассмотрим произвольный куб $K=K_y\times K_z$. Пусть куб $Q=Q_y\times Q_z$ содержит замыкание куба $K$, причем расстояние от границы куба $Q_y$ до границы куба $K_y$ больше единицы. Положим Ясно, что неравенства
$$
\begin{equation*}
|f_{\delta}(y, z)-f_{\delta}(y, z')|\leqslant g_{Q, \delta}(y)\omega_K(|z-z'|), \qquad |f_{\delta}(y, 0)|\leqslant g_{Q, \delta}(y)
\end{equation*}
\notag
$$
справедливы для всех $y\in K_y$, $z, z'\in K_z$. Кроме того, верно неравенство
$$
\begin{equation*}
\|g_{Q, \delta}\|_{L^{p_Q}(K_y)}\leqslant \|g_Q\|_{L^{p_Q}(Q_y)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\eta\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^{d-m}_z)$, $0\leqslant \eta\leqslant 1$ и $\eta=1$ на $Q_z$. Пусть $r>p_Q/(p_Q-1)$, что дает $r'<p_Q$. Обозначим через $\mathcal{M}_{Q, S, r}$ множество таких неотрицательных конечных борелевских мер $\mu$ на $\mathbb{R}^d$, что проекция меры $\eta\mu$ на $\mathbb{R}^m_y$ имеет плотность $\varrho$ относительно меры Лебега и верна оценка Доказательство. Пусть $\varepsilon>0$. Разобьем куб $K_z$ на $N$ попарно непересекающихся борелевских множеств $\Delta_k$ так, что для всякого $k$ неравенство $\omega_{Q}(|z-z'|)\leqslant\varepsilon$ верно для всех $z, z'\in \Delta_k$. Тогда для всех $y\in Q_y$, $z, z'\in \Delta_k$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\bigl|f(y, z)-f(y, z')\bigr|\leqslant \varepsilon\,g_Q(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим в каждом множестве $\Delta_k$ произвольную точку $\xi_k$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\iint_{K_y\times K_z}\bigl|f(y, z)-f_{\delta}(y, z)\bigr|\,\mu(dy\,dz)= \sum_{k=1}^N\iint_{K_y\times \Delta_k}\bigl|f(y, z)-f_{\delta}(y, z)\bigr|\,\mu(dy\,dz) \\ &\qquad \leqslant\sum_{k=1}^N\iint_{K_y\times \Delta_k}\bigl|f(y, \xi_k)-f_{\delta}(y, \xi_k)\bigr|\,\mu(dy\,dz) \\ &\qquad\qquad +\varepsilon\iint_{K_y\times K_z}g_Q(y)\,\mu(dy\,dz) +\varepsilon\iint_{K_y\times K_z}g_{Q, \delta}(y)\,\mu(dy\,dz). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\iint_{K_y\times \Delta_k}\bigl|f(y, \xi_k)-f_{\delta}(y, \xi_k)\bigr|\,\mu(dy\,dz) \\ &\qquad \leqslant \iint_{K_y\times \mathbb{R}^{d-m}_z}\bigl|f(y, \xi_k)-f_{\delta}(y, \xi_k)\bigr|\eta(z)\,\mu(dy\,dz) =\int_{K_y}\bigl|f(y, \xi_k)-f_{\delta}(y, \xi_k)\bigr|\varrho(y)\,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По неравенству Гёльдера это выражение оценивается сверху произведением
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_{K_y}\bigl|f(y, \xi_k)-f_{\delta}(y, \xi_k)\bigr|^{r'}\,dy\biggr)^{1/r'}\biggl(\int_{K_y}\varrho(y)^{r}\,dy\biggr)^{1/r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом получаем оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \iint_{K_y\times K_z}g_Q(y)\,\mu(dy\,dz)\leqslant \|g_Q\|_{L^{r'}(K_y)}\|\varrho\|_{L^r(K_y)}, \\ \iint_{K_y\times K_z}g_Q(y)\,\mu(dy\,dz)\leqslant \|g_{Q, \delta}\|_{L^{r'}(K_y)}\|\varrho\|_{L^r(K_y)} \leqslant\|g_Q\|_{L^{r'}(Q_y)}\|\varrho\|_{L^r(K_y)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\iint_{K_y\times K_z}|f(y, z)-f_{\delta}(y, z)|\,\mu(dy\,dz) \\ &\qquad \leqslant S\sum_{k=1}^N\|f(\cdot,\xi_k)-f_{\delta}(\cdot, \xi_k)\|_{L^{r'}(K_y)}+ \varepsilon S\bigl(\|g_Q\|_{L^{r'}(K_y)}+\|g_Q\|_{L^{r'}(Q_y)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая достаточно малое $\delta$, получаем Докажем теорему. Доказательство. Положим где $C$ – константа из условия теоремы. Пусть
$$
\begin{equation*}
A_n=A+\kappa_nI, \qquad L_nu=\sum_{i, j=1}^da^{ij}_n\partial_{x_i}\partial_{x_j}u+\sum_{i=1}^db^i\partial_{x_i}u.
\end{equation*}
\notag
$$
При $|x|>R$ выполнено
$$
\begin{equation*}
L_nV(x)=LV(x)+\kappa_n(x)\Delta V(x)=LV(x)+\frac{C}{2n(|\Delta V(x)|+1)}\Delta V(x)\leqslant -\frac{C}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [6; следствие 4.4] и [8; следствие 2.4.2] для каждого $n$ существует вероятностное решение $\mu_n$ уравнения Колмогорова (1.1) с оператором $L_n$. По теореме Прохорова (см. [15; теорема 8.6.2]) на каждом замкнутом шаре из последовательности $\mu_n$ можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность. Применяя диагональную процедуру, выбираем из $\mu_n$ подпоследовательность, сходящуюся слабо на каждом шаре $\{x\colon |x|\leqslant k\}$, где $k\in\mathbb{N}$, и на шаре $\{x\colon |x|\leqslant R\}$ к некоторой неотрицательной мере $\mu$. Ясно, что $\mu(\mathbb{R}^d)\leqslant 1$. Переходя к этой подпоследовательности, далее используем прежнее обозначение $\mu_n$. Проверим, что мера $\mu$ является решением уравнения Колмогорова с оператором $L$ и мера $\mu$ отлична от нуля.
Согласно лемме 1 для всякой функции $\eta\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^{d-m}_z)$, $0\leqslant\eta\leqslant 1$, проекция меры $\eta\mu_n$ на $\mathbb{R}^m_y$ имеет плотность $\varrho_n$ относительно меры Лебега и для всякого куба $K_y$ верна оценка $\|\varrho_n\|_{L^{m'}(K_y)}\leqslant C(K_y)$, причем константа $C(K_y)$ не зависит от $n$. Поскольку меры $\eta\mu_n$ слабо сходятся на шарах $\{x\colon |x|\leqslant k\}$ к мере $\eta\mu$, то проекция меры $\eta\mu$ на $\mathbb{R}^m_y$ имеет плотность $\varrho$ относительно меры Лебега и $\varrho\in L^{m'}(K_y)$ для всякого куба $K_y$. Пусть $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ и открытый куб $K=K_y\times K_z$ содержит носитель $\varphi$. Имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\int L\varphi\,d\mu_n=-\int\frac{C}{2n(|\Delta V+1|)}\Delta\varphi\,d\mu_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, верно равенство Воспользуемся процедурой приближения коэффициентов непрерывными функциями, описанной перед леммой 2. Пусть $\delta>0$. Положим
$$
\begin{equation*}
L_{\delta}u=\sum_{i, j=1}^da^{ij}_{\delta}\partial_{x_i}\partial_{x_j}u +\sum_{i=1}^db^i_{\delta}\partial_{x_i}u,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
a^{ij}_{\delta}(y, z)=\int h_{\delta}(y-v)a^{ij}(v, z)\,dv, \qquad b^{i}_{\delta}(y, z)=\int h_{\delta}(y-v)b^{i}(v, z)\,dv.
\end{equation*}
\notag
$$
Верно равенство
$$
\begin{equation*}
\int L\varphi\,d\mu=\int(L\varphi-L_{\delta}\varphi)\,d\mu+ \int L_{\delta}\varphi\,d(\mu-\mu_n)+ \int(L_{\delta}\varphi-L\varphi)\,d\mu_n+\int L\varphi\,d\mu_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\int L\varphi\,d\mu\biggr| &\leqslant C(\varphi)\int_{K}\|A-A_{\delta}\|+|b-b_{\delta}|\,d\mu +C(\varphi)\sup_k\int_{K}\|A-A_{\delta}\|+|b-b_{\delta}|\,d\mu_k \\ &\qquad +\biggl|\int L_{\delta}\varphi\,d(\mu-\mu_n)\biggr|+\biggl|\int L\varphi\,d\mu_n\biggr|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
C(\varphi)=\sup_x|\nabla\varphi(x)|+\sup_x\|D^2\varphi(x)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя $n\to\infty$, получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int L\varphi\,d\mu\biggr|\leqslant C(\varphi)\sup_k\int_{K}\|A-A_{\delta}\|+|b-b_{\delta}|\,d\mu_k+ C(\varphi)\int_{K}\|A-A_{\delta}\|+|b-b_{\delta}|\,d\mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя $\delta\to 0$ и применяя леммы 1 и 2, получаем Проверим, что построенная мера $\mu$ отлична от нуля. По [8; следствие 2.3.3] справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\mu_n(x\colon|x|>R)\leqslant 2C^{-1}\int_{|x|\leqslant R}|L_nV|\,d\mu_n,
\end{equation*}
\notag
$$
из которой следует неравенство
$$
\begin{equation*}
1\leqslant \int_{|x|\leqslant R}(1+2C^{-1}|L_nV|)\,d\mu_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть куб $K$ содержит шар $\{x\colon |x|\leqslant R\}$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
|L_nV|\leqslant |LV|+|\kappa_n\Delta V|\leqslant |L_{\delta}V|+|(L-L_{\delta})V|+ \frac{C}{2n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 &\leqslant \int_{|x|\leqslant R}(1+2C^{-1}|L_nV|)\,d\mu_n \leqslant\int_{|x|\leqslant R}(1+2C^{-1}|L_{\delta}V|)\,d\mu_n \\ &\qquad +\Bigl(\max_{|x|\leqslant R}|\nabla V(x)|+\max_{|x|\leqslant R}|D^2V(x)|\Bigr)\sup_k\int_{K}\|A-A_{\delta}\|+|b-b_{\delta}|\,d\mu_k +\frac{1}{n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбираем $\delta>0$ так, что Устремляя $n\to\infty$, получаем неравенство из которого следует, что мера $\mu$ отлична от нуля. После нормировки получаем вероятностное решение уравнения Колмогорова. 3. ПримерыСледующий пример показывает, что в теореме от условия непрерывности по переменным $z_i$ отказаться нельзя. Рассмотрим на $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}_y\times\mathbb{R}_z$ уравнение Колмогорова
$$
\begin{equation*}
\partial_{yy}^2\mu + \partial_y(y\mu) - \partial_z(\beta(z)\mu)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta(z)=-1$ при $z>0$, $\beta(0)=2$ и $\beta(z)=1$ при $x<0$. Заметим, что для функции $V(y, z)=y^2+z^2$ верно равенство $LV(y, z)=2-2y^2+2\beta(z)z$, причем $LV(y, z)=2-2y^2-2|z|$ при $z\neq 0$ и $LV(y, z)=2-2y^2$ при $z=0$. Следовательно, $LV(y, z)\to -\infty$ при $y^2+z^2\to+\infty$. Таким образом, функция $V$ является функцией Ляпунова. Предположим, что рассматриваемое уравнение имеет вероятностное решение $\mu$. Согласно [8; теорема 2.3.2] из неравенства $LV(y, z)\leqslant 2-2y^2$ следует интегрируемость $y^2$ относительно меры $\mu$, что влечет глобальную интегрируемость относительно $\mu$ коэффициентов уравнения. Поскольку коэффициенты интегрируемы относительно $\mu$ на $\mathbb{R}^2$, то в интегральное равенство (1.2) можно вместо функции класса $C_0^{\infty}(\mathbb{R}^2)$ подставлять ограниченные гладкие функции с ограниченными производными, в частности функции $u(y, z)=\varphi(z)$, где $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}_z)$. Из этого следует, что проекция $\mu_Z$ меры $\mu$ на $\mathbb{R}_z$ является решением уравнения Следовательно, $\beta(z)\mu_Z=C$ для некоторой константы $C$. Поскольку мера $\beta(z)\mu_Z$ конечна, то $C=0$. Учитывая, что $\beta$ не обращается в ноль, имеем $\mu_Z=0$. Получаем противоречие с тем, что мера $\mu_Z$ вероятностная. Таким образом, у рассматриваемого уравнения Колмогорова нет вероятностных решений.В условии ${\rm (H_c)}$ предполагается, что коэффициент сноса по переменным $y_i$ на всяком кубе $K$ интегрируем в степени $p_K>d$. Следующий пример показывает, что это условие нельзя ослабить до интегрируемости коэффициента сноса во всякой степени $p_K<d$. Пусть $d\geqslant 2$ и $B>d+125$. Положим $b(x)=-Bx|x|^{-2}$ при $|x|\leqslant 1$ и $b(x)=-Bx$ при $|x|>1$. Рассмотрим уравнение Колмогорова с оператором Несложно проверить, что функция $V(x)=|x|^2$ является функцией Ляпунова для оператора $L$, причем $LV(x)=2d-B|x|^2$ при $|x|>1$. Кроме того, $|b|\in L^p_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$ для всех $p<d$.Предположим, что рассматриваемое уравнение имеет вероятностное решение $\mu$. Согласно [8; теорема 2.3.2] из равенства $LV(x)=2d-B|x|^2$ при $|x|>1$ следует интегрируемость $|x|^2$ относительно $\mu$. Поскольку коэффициент сноса $b$ интегрируем на шаре $\{x\colon|x|\leqslant 1\}$ по мере $\mu$ в силу определения решения и $|b(x)|\leqslant B|x|$ при $|x|>1$, то коэффициент сноса $b$ интегрируем относительно $\mu$ на $\mathbb{R}^d$. Решение $\mu$ задается плотностью $\varrho$ относительно меры Лебега, причем вне нуля эта плотность имеет непрерывную версию и в силу неравенства Харнака строго положительна (см., например, [8; гл. 3]). Пусть $W(x)=|x|^{-1}$ и $N\geqslant 2$. Положим где $\psi_N(t)=0$ при $t\leqslant 1/2$ и при $t\geqslant 2N$, $\psi_N(t)=(2t-1)/(N-1)$ при $t\in (1/2, N/2)$, $\psi_N(t)=1$ при $t\in (N/2, N)$ и $\psi_N(t)=(2N-t)/N$ при $t\in (N, 2N)$.Поскольку $|b|\in L^1(\mu)$ и $\mu$ задано плотностью $\varrho\in L^{d'}_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$, то в интегральное равенство, определяющее решение, можно подставлять функции $u$, имеющие ограниченные соболевские производные первого и второго порядка. Подставляя $u(x) = \zeta_N(W(x))-\zeta_N(2N)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\int \psi_N(W)LW\,d\mu=\int -\psi_N'(W)|\nabla W|^2\,d\mu\leqslant N^{-1}\int_{N\leqslant W \leqslant 2N}|\nabla W|^2\,d\mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $LW(x)=(B-d+3)|x|^{-3}\geqslant 0$ и $|\nabla W(x)|^2=|x|^{-4}$. Следовательно, справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
(B-d+3)\int_{{1}/{N}\leqslant|x|\leqslant{2}/{N}}|x|^{-3}\,\mu(dx)\leqslant N^{-1}\int_{{1}/(2N)\leqslant|x|\leqslant{1}/{N}}|x|^{-4}\,\mu(dx),
\end{equation*}
\notag
$$
из которого следует оценка
$$
\begin{equation*}
(B-d+3)\mu\biggl(\frac{1}{N}\leqslant|x|\leqslant\frac{2}{N}\biggr)\leqslant 128\mu\biggl(\frac{1}{2N}\leqslant|x|\leqslant\frac{1}{N}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $N=2^{k+1}$ и $A_k=\{x\colon 2^{-k-1}\leqslant |x|\leqslant 2^{-k}\}$. Имеем Заметим, что $A_k$ и $A_l$ пересекаются по множеству $\mu$-меры нуль и
$$
\begin{equation*}
\{x\colon 0<|x|\leqslant 1\}=\bigcup_{k=0}^{+\infty}A_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя получившееся неравенство по $k$ от $0$ до $\infty$ и добавляя в правой части слагаемое $\mu(A_0)$, получаем
$$
\begin{equation*}
(B-d+3)\mu(\{x\colon 0<|x|\leqslant 1\})\leqslant 128\mu(\{x\colon 0<|x|\leqslant 1\}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $B>d+125$, то $\mu(\{x\colon 0<|x|\leqslant 1\})=0$, что противоречит положительности плотности решения. Замечание 3. Неизвестно, можно ли в случае, когда функции $a^{ij}$ непрерывны и матрица $A$ невырождена, ослабить условие $|b|\in L^{p_K}(K)$ c $p_K>d$ для всякого куба $K$ до условия $|b|\in L^d(K)$ для всякого куба $K$. Кроме того, мы не знаем, можно ли в условии ${\rm (H_c)}$ заменить неравенство $p_K>d$ на $p_K>m$. Условие $p_K>d$ используется в доказательстве теоремы, когда из [6; следствие 4.4] выводится существование вероятностного решения $\mu_n$. Если условие $p_K>d$ заменить на $p_K>m$, то для применения [6; следствие 4.4] надо дополнительно сглаживать коэффициент сноса, что в свою очередь нарушает условие с функцией Ляпунова. Авторы выражают глубокую признательность В. И. Богачеву и Т. И. Красовицкому за плодотворные обсуждения и замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ShaSha24} |
|
||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|