| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Явные формулы дифференцирования гиперэллиптических функций Е. Ю. Буньковаa, В. М. Бухштаберa a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110470 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеЗадача дифференцирования абелевых функций на якобианах алгебраических кривых по параметрам семейства кривых является классической. В случае эллиптических функций Вейерштрасса она была решена в работе Фробениуса и Штикельбергера (см. [1]). В связи с созданием алгебро-геометрических методов теории солитонов и математической физики (см. [2]–[4]) эта задача стала актуальной, так как эти методы позволили получать решения фундаментальных динамических систем в терминах абелевых функций на якобианах алгебраических кривых. Были введены универсальные расслоения якобианов, базой которых являются многообразия параметров алгебраических кривых. Содержательно, одна часть параметров выделяет гамильтоновы динамические системы, а вторая их часть задает значения гамильтонианов этих систем. Задача дифференцирования абелевых функций на якобианах алгебраических кривых по параметрам семейства кривых становится задачей описания зависимости решений от вариации начальных данных и значений гамильтонианов. В работе [5] на основе теории многомерных сигма-функций, см. [6], предложен общий подход к решению этой задачи в случае большого семейства кривых, так называемых $(n,s)$-кривых. В данной работе в рамках этого подхода получено явное решение в случае $(2, 2g+1)$-кривых, т.е. для гиперэллиптических кривых любого рода $g$. Мы рассматриваем гиперэллиптическую кривую рода $g \in \mathbb{N}$ в модели
$$
\begin{equation}
\mathcal{V}_\lambda=\bigl\{(x, y)\in\mathbb{C}^2 \colon y^2=x^{2g+1}+\lambda_4 x^{2 g-1}+\lambda_6 x^{2 g-2}+\dots+ \lambda_{4 g} x+\lambda_{4 g+2}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Здесь $\lambda=(\lambda_4, \lambda_6, \dots, \lambda_{4 g}, \lambda_{4 g+2}) \in \mathbb{C}^{2 g}$ – параметры кривой. Пусть $\mathcal{B} \subset \mathbb{C}^{2g}$ – подпространство параметров такое, что кривая $\mathcal{V}_{\lambda}$ невырождена для $\lambda \in \mathcal{B}$. Тогда $\mathcal{B}=\mathbb{C}^{2g} \setminus \Sigma$, где $\Sigma$ – дискриминантная гиперповерхность. Обозначим через $\mathcal{P}$ кольцо полиномов от $\lambda \in \mathcal{B} \subset \mathbb{C}^{2g}$. Далее в формулах мы будем использовать обозначения $\lambda_0=1$ и $\lambda_s=0$ при $s \ne 0$ и $s \ne 2 k+2$ для $k=1,2,\dots,2g$. Для мероморфной функции $f$ на $\mathbb{C}^g$ вектор $\omega \in \mathbb{C}^g$ является периодом, если
$$
\begin{equation*}
f(z+\omega)=f(z) \qquad\text{для всех}\quad z \in \mathbb{C}^g.
\end{equation*}
\notag
$$
Если у мероморфной функции $f$ есть $2g$ независимых периодов в $\mathbb{C}^g$, то $f$ – абелева функция. Таким образом, абелева функция – это мероморфная функция на комплексном торе $T^g=\mathbb{C}^g/\Gamma$, где $\Gamma \subset \mathbb{C}^g$ – решетка ранга $2g$. Обозначим координаты в $\mathbb{C}^g$ через $z=(z_1, z_3, \dots, z_{2g-1})$. В настоящей работе мы используем теорию гиперэллиптических функций Клейна [6]–[12]. Они строятся на основе сигма-функции $\sigma(z, \lambda)$, где $(z, \lambda) \in \mathbb{C}^g \times \mathcal{B} \subset \mathbb{C}^{3g}$. Положим $\partial_k=\partial/ \partial z_k$. Обозначим
$$
\begin{equation}
\wp_{k_1, \dots, k_n}=- \partial_{k_1} \dots \partial_{k_n} \ln \sigma(z, \lambda),
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $n \geqslant 2$, $k_s \in \{ 1, 3, \dots, 2 g-1\}$. Для каждого $\lambda \in \mathcal{B}$ набор периодов базисных голоморфных дифференциалов на кривой $\mathcal{V}_\lambda$ порождает решетку $\Gamma_\lambda$ ранга $2 g$ в $\mathbb{C}^g$. Тор $T^g_\lambda= \mathbb{C}^g/\Gamma_\lambda$ называется многообразием Якоби кривой $\mathcal{V}_{\lambda}$. Выражения $\wp_{k_1, \dots, k_n}$ как функции от $z$ являются абелевыми функциями с решеткой периодов $\Gamma_\lambda$. Поле абелевых функций на многообразии Якоби кривой $\mathcal{V}_{\lambda}$ совпадает с полем рациональных функций от $\wp_{k_1, \dots, k_n}$. Рассматривая выражения $\wp_{k_1, \dots, k_n}$ как функции на расслоении $\mathcal{U}$ с базой $\mathcal{B}$ и слоем $T^g_\lambda$ над $\lambda \in \mathcal{B}$, мы приходим к следующему определению: гиперэллиптическими функциями рода $g$ называются рациональные функции от выражений $\wp_{k_1, \dots, k_n}$ над кольцом $\mathcal{P}$. Обозначим поле гиперэллиптических функций рода $g$ через $\mathcal{F}$. Мы рассматриваем задачу описания образующих этого поля в п. 4. Задача дифференцирования гиперэллиптических функций по параметрам является обобщением для рода $g$ результата работы [1], см. также [5; § 1.2]. Приведем постановку этой задачи из [5; § 1.1]: Задача 1.1. 1. Найти $3g$ образующих $\mathcal{F}$-модуля $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ дифференцирований поля $\mathcal{F}$. 2. Описать структуру алгебры Ли $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ над полем $\mathcal{F}$ (т.е. найти коммутационные соотношения этой алгебры Ли). 3. Описать действие $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ на $\mathcal{F}$. В нашем подходе к решению этой задачи среди $3g$ образующих $\mathcal{F}$-модуля $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ выделяются $g$ образующих, соответствующих дифференцированиям $\partial_k=\partial/\partial z_k$ вдоль слоя расслоения $\mathcal U$. Остальные $2g$ образующих соответствуют дифференцированию по параметрам гиперэллиптической кривой (1). Дубровин в случае рода $g=1$ показал значение решения задачи 1.1 с точки зрения дифференциальной геометрии универсального расслоения многообразий Якоби эллиптических кривых. Связность в этом расслоении он назвал $FS$-связностью (см. [13; добавление C]). В обзоре [6] задача 1.1 была рассмотрена с примерами в случаях эллиптических кривых рода $g=1$ и гиперэллиптических кривых рода $g=2$. Решение задачи 1.1 в случае рода $g=2$ описано в [14; теоремы B.3 и B.6]. В случае рода $g=3$ оно описано в [15; теорема 10.1 и следствие 10.2]. В настоящей работе мы строим решения задачи 1.1 для гиперэллиптических кривых любого рода $g \in \mathbb{N}$ на основе [5; теорема 14]. Для этого нам понадобятся линейные операторы, аннулирующие сигма-функцию $\sigma(z, \lambda)$. Их эффективное описание дано в работе [16]. Эти операторы строятся на основе полиномиальной алгебры Ли [17] векторных полей, касательных к дискриминантной гиперповерхности $\Sigma$ в $\mathbb{C}^{2g}$. Обозначим эту полиномиальную алгебру Ли через $\mathcal{L}$. Образующие $\mathcal{L}$ – это векторные поля
$$
\begin{equation}
L_{2k}=\sum_{s=2}^{2g+1} v_{2k+2, 2s-2}(\lambda) \frac{\partial}{\partial \lambda_{2s}}, \qquad k=0, 1, 2, \dots, 2g-1,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где для $l, m \in \{ 1, 2, \dots, 2 g\}$ при $l\leqslant m$ мы полагаем
$$
\begin{equation*}
v_{2l, 2m}(\lambda)=\sum_{s=0}^{l-1} 2 (l+m-2 s) \lambda_{2s} \lambda_{2 (l+m-s)} -\frac{2 l (2 g-m+1)}{2 g+1} \lambda_{2l} \lambda_{2m},
\end{equation*}
\notag
$$
а при $l > m $ полагаем $v_{2l, 2m}(\lambda)=v_{2m, 2l}(\lambda)$ (см. [18; § 4.1] и [17]). В точке $\lambda \in \mathcal{B}$ векторные поля $\{L_{0}, L_{2}, L_{4}, \dots, L_{4 g-2}\}$ определяют $2g$-мерный неголономный репер. Структура полиномиальной алгебры Ли как $\mathcal{P}$-модуля определяется полиномиальными матрицами $V(\lambda)=(v_{2l,2m}(\lambda))$ и $C(\lambda)= (c_{2i,2j}^{2k}(\lambda))$, где $l, m \in \{ 1, 2, \dots, 2 g\}$, $i,j,k \in \{0,1,\dots,2g-1\}$, и коэффициенты $c_{2i,2j}^{2k}(\lambda)$ определяются равенствами
$$
\begin{equation}
[L_{2i},L_{2j}]=\sum_{k=0}^{2g-1} c_{2i,2j}^{2k}(\lambda)L_{2k}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Согласно [5; теорема 7] имеем $\Sigma=\{ \lambda \in \mathbb{C}^{2g} \mid \det V(\lambda)=0 \}$. Лемма 1.2. Поле $L_0$ – векторное поле Эйлера. Для каждого $k \in \{1,2,\dots,2g-2\}$ имеет место соотношение Лемма 1.3 [16; лемма 4.3]. Для каждого $k \in \{1,2,\dots,2g-2\}$ имеет место соотношение Системой уравнений теплопроводности [19], [20] в неголономном репере $\mathcal{L}$ называется система уравнений Здесь операторы Шрёдингера $Q_{2k}$ – это дифференциальные операторы в пространстве $\mathbb{C}^{3g}$ с координатами $(z, \lambda)$ вида где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, H_{2k}=\frac{1}{2} \sum_{a,b} (\alpha^{a,b}_{2k}\partial_a \partial_b+2 \beta^b_{2k,a}z_a\partial_b+\gamma_{2k,a,b}z_a z_b)+\delta_{2k}, \\ \alpha^{a,b}_{2k} \in \mathcal{P}, \quad \alpha^{a,b}_{2k}= \alpha^{b,a}_{2k}, \quad \beta^b_{2k,a} \in \mathcal{P}, \quad \gamma_{2k,a,b} \in \mathcal{P}, \quad \gamma_{2k,a,b}=\gamma_{2k,b,a}, \quad \delta_{2k} \in \mathcal{P}, \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8}
$$
и выполнено $\alpha^{a,b}_{2k}=\beta^b_{2k,a}=\gamma_{2k,a,b}=0$ кроме нечетных $a, b$ от $1$ до $2g-1$. Эти операторы удовлетворяют условию (см. [19; теорема 1.3]), что алгебра Ли с образующими $\{Q_{0}, Q_{2}, Q_{4}, \dots, Q_{4 g-2}\}$ – это представление полиномиальной алгебры Ли $\mathcal{L}$. То есть имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
[Q_{2i},Q_{2j}]=\sum_{k=0}^{2g-1} c_{2i,2j}^{2k}(\lambda)Q_{2k},
\end{equation*}
\notag
$$
где коэффициенты $c_{2i,2j}^{2k}(\lambda)$ заданы выражениями (4). Cигма-функция $\sigma(z, \lambda)$ является решением системы уравнений теплопроводности (6) с начальным условием, заданным полиномом (см. [21]). Коэффициенты $\alpha^{a,b}_{2k}$, $\beta^{b}_{2k, a}$ и $\gamma_{2k,a,b}$ выражения (8) являются коэффициентами символов Кристоффеля связности Гаусса–Манина расслоения с базой $\mathcal{B}$, слоем которого над $\lambda \in \mathcal{B}$ является кривая $\mathcal{V}^\circ_\lambda$, представляющая собой кривую $\mathcal{V}_\lambda$ с выколотой точкой на бесконечности (cм. [5; § 3.1 и теорема 13]). Более подоробно связь операторов (7) с теорией абелевых функций, проблемой Римана–Шоттки и уравнениями Шрёдингера в магнитных полях мы описали в [16; § 1]. В настоящей работе в теореме 2.1 мы получаем явный вид этих операторов. 2. Коэффициенты операторов Шрёдингера Теорема 2.1. Для операторов Шрёдингера в (8) для нечетных $a, b$ от $1$ до $2g-1$ имеем Доказательство. Выражения для $\alpha^{a,b}_{2k}$ и $\delta_{2k}$ получаются из леммы 3.1 в [16]. Ее доказательство основано на результатах работы [19].
Выражения теоремы 2.1 для $k=0,1$ и $2$ следуют из теоремы 4.1 в [16]. Нам потребуются выражения для $\beta^b_{2k,a} $ и $\gamma_{2k,a,b}$. Для нечетных $a, b$ от $1$ до $2g-1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \beta^a_{0,a} =a \quad \text{и} \quad \beta^b_{0,a}=0, \qquad \text{если} \quad a \ne b; \\ \gamma_{0,a,b} = 0; \\ \beta^{a-2}_{2,a}=- 2 \lambda_{4}+\frac{2 a}{2g+1} \lambda_{4} \qquad \text{для} \quad a \geqslant 3, \\ \beta^{a+2}_{2,a}=a \qquad \text{для} \quad a \leqslant 2g-3, \\ \beta^b_{2,a} =0, \qquad \text{если} \quad a < b-2, \quad \text{либо} \ \ a > b+2, \quad \text{либо} \ \ a=b; \\ \gamma_{2,a,a} =a \lambda_{2a+2}-2 \lambda_{4} \lambda_{2 a-2}+\frac{2 a}{2 g+1} \lambda_{4} \lambda_{2 a-2}, \qquad \gamma_{2,a,b}=0, \quad \text{если} \ \ b \ne a; \\ \beta^{a+4}_{4,a} =a \qquad \text{для} \quad a \leqslant 2g-5, \\ \beta^a_{4,a} =(a-2) \lambda_{4} \qquad \text{для} \quad a \geqslant 3, \\ \beta^{a-2}_{4,a} =- 3 \lambda_{6}+\frac{3 a}{2g+1} \lambda_{6} \qquad \text{для} \quad a \geqslant 3, \\ \beta^{b}_{4,a}=0, \qquad \text{если}\quad a < b-4, \quad \text{либо} \ \ a=b-2, \quad \text{либо} \ \ a=b=1, \quad \text{либо} \ \ a > b+2; \\ \gamma_{4,a,a} =2 a \lambda_{2a+4}-3 \lambda_{6} \lambda_{2 a-2}+ \frac{3 a}{2 g+1} \lambda_{6} \lambda_{2 a-2}, \\ \gamma_{4,a,b} =\min(a,b) \lambda_{4+a+b}, \qquad \text{если} \quad a=b+2, \quad \text{либо} \ \ b=a+2, \\ \gamma_{4,a,b} =0, \qquad \text{если} \quad a > b+2, \quad \text{либо} \ \ b > a+2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Выражения теоремы для $\beta^b_{2k,a}$ и $\gamma_{2k,a,b}$ при $k > 2$ получаются индукцией по $k$. А именно, при $k > 2$ соотношение (9) с учетом соотношений (5) и (7) дает выражение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2 (k-2) H_{2k} &=[H_{2}, L_{2k-2}]+[L_{2} , H_{2k-2}] \\ &\qquad-[H_{2}, H_{2k-2}]-4 (\lambda_{2k} H_{0}-\lambda_4 H_{2k-4}) +\frac{4 k}{(2 g+1)} (\lambda_{2k} H_{0}-\lambda_4 H_{2k-4}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из которого с учетом выражений (3) получаем шаг индукции. При этом обратим внимание, что в выражении для оператора $H_2$, см. (8), имеем $\alpha^{a,b}_{2} \ne 0$ лишь при $a=b=1$, что позволяет доказать шаг индукции для коэффициентов $\beta^b_{2k,a}$, используя выражения следствий 2.3–2.5 и выражения $\beta^b_{2s,a}$ при $s < k$. Шаг индукции для коэффициентов $\gamma_{2k,a,b}$ получается с использованием соответствующих выражений для коэффициентов $\beta^b_{2s,a}$ и $\gamma_{2s,a,b}$ при $s < k$. Следствие 2.2. Выполнено $\beta^b_{2k,1}=1$, если $b=2 k+1$, и $\beta^b_{2k,1}=0$, если $b \ne 2 k+1$. 3. Решение задачи дифференцирования гиперэллиптических функцийПоложим $\zeta_{k}=\partial_k \ln \sigma(z, \lambda)$, см. выражения (2). Приведем формулировку теоремы 14 в [5] в случае гиперэллиптических кривых в модели (1): Теорема 3.1 [5; теорема 14]. Задача 1.1 имеет следующее решение: Таким образом, теоремы 2.1 и 3.1 совместно дают явное решение задачи 1.1. Следствие 3.2. Действие $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ на образующую $\wp_{1,1}$ поля $\mathcal{F}$ (см. п. 4) задается для $j \in \{ 0, 1, \dots, 2 g-1\}$, $s \in \{ 1, 3, \dots, 2 g-1\}$ соотношениями где суммирование ведется по нечетным $a$ от $1$ до $2j-1$. Также обратим внимание, что здесь Доказательство. Этот результат получается напрямую из п. 3 теоремы 3.1, выражений для $\alpha^{a,b}_{2k}$ теоремы 2.1 и следствий 2.2, 2.3.
4. Образующие поля $\mathcal{F}$ Теорема 4.1. Каждая из функций Доказательство теоремы напрямую следует из лемм 6.3, 6.4, 7.1 и 7.2 в [22]. А именно, обозначим кольцо полиномов с рациональными коэффициентами от функций $\wp_{1,k}, \wp_{1,1,k}, \wp_{1,1,1,k}$, где $k \in \{ 1, 3, \dots, 2 g-1\}$, через $\mathcal{R}$. Согласно [22; лемма 6.3] $\lambda_m \in \mathcal{R}$ для $m \in \{ 4, 6, \dots, 4 g+2\}$. Согласно [22; лемма 6.4] $\wp_{k_1, k_2} \in \mathcal{R}$ для $k_1, k_2 \in \{ 1, 3, \dots, 2 g-1\}$. Из лемм 7.1 и 7.2 в [22] мы получаем, что $\partial_k r \in \mathcal{R}$ для $r \in \mathcal{R}$, где $k \in \{ 1, 3, \dots, 2 g-1\}$, что завершает доказательство теоремы. Теорема 4.1 позволяет ввести образующие поля $\mathcal{F}$. Классическим выбором образующих этого поля являются координаты Дубровина–Новикова, см. [5; замечание 16]. Приведем результаты, задающие выражения параметров $\lambda_m$ гиперэллиптической кривой, где $m \in \{ 4, 6, \dots, 4 g+2\}$, и координат Дубровина–Новикова $u_k=- \partial_{1}^k \ln \sigma(z, \lambda)$, где $k \geqslant 2$, в качестве полиномов над $\mathbb{Q}$ от образующих поля $\mathcal{F}$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
b_{1,k}=\wp_{1,k}, \qquad b_{2,k}=\wp_{1,1,k}, \qquad b_{3,k}=\wp_{1,1,1,k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4.2 [22; теорема 6.7], [23]. Соотношение где задает выражения для параметров $\lambda_m$, $m \in \{ 4, 6, \dots, 4 g+ 2\}$, гиперэллиптической кривой в качестве полиномов над $\mathbb{Q}$ от образующих $b_{1,k}, b_{2,k}, b_{3,k}$, где $k \in \{ 1, 3, \dots, 2 g- 1\}$. Рассмотрим формальный дифференциальный оператор $\mathcal{D}_1$, действующий на $\mathbb{Q}[b_{1,k}, b_{2,k}, b_{3,k}]$, где $k \in \{ 1, 3, \dots, 2 g-1\}$, и заданный соотношением
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}_1 =\sum_{j \in \{1,3,\dots,2g-1\}} b_{2,j} \frac{\partial}{\partial b_{1,j}}+b_{3,j} \frac{\partial}{\partial b_{2,j}}+4 (2 b_{1,1} b_{2,j}+b_{2,1} b_{1, j}+b_{2, j+2}) \frac{\partial}{\partial b_{3,j}},
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $b_{2,2 g+1}=0$. Лемма 4.4. Имеют место соотношения для всех параметров гиперэллиптической кривой $\lambda_m$, $m \in \{ 4, 6, \dots, 4 g+2\}$, заданных в качестве полиномов над $\mathbb{Q}$ от переменных $b_{1,k}, b_{2,k}, b_{3,k}$, $k \in \{ 1, 3, \dots, 2 g-1\}$, выражениями теоремы 4.2. Доказательство леммы получается применением оператора (13) к правой части равенства (11). Следствие 4.5. Действие оператора $\mathcal{D}_1$ на поле рациональных функций над $\mathbb{Q}$ от образующих $b_{1,k}, b_{2,k}, b_{3,k}$, где $k \in \{ 1, 3, \dots, 2 g-1\}$, совпадает с действием оператора $\partial_1$ на $\mathcal{F}$. Выражения (13) позволяют задать координаты Дубровина–Новикова как полиномы с рациональными коэффициентами от функций $\wp_{1,k}, \wp_{1,1,k}, \wp_{1,1,1,k}$, где $k \in \{ 1, 3, \dots, 2 g-1\}$: Следствие 4.6. Для координат Дубровина–Новикова $u_k=- \partial_{1}^k \ln \sigma(z, \lambda)$, где $k \geqslant 2$, имеют место следующие выражения: Выражения для координат $b_{1,k}, b_{2,k}, b_{3,k}$, где $k \in \{ 1, 3, \dots, 2 g-1\}$, как полиномов с рациональными коэффициентами от координат Дубровина–Новикова $u_{s}$ и параметров $\lambda_m$ гиперэллиптической кривой можно найти на основе равенства (11). А именно, для $\mathbf{b}_i(\xi)$, заданных равенствами (12), положим
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{2g+1} \varepsilon_{2k} \xi^k=\xi \mathbf{b}_2(\xi)^2+2 \xi \mathbf{b}_3(\xi) (1-\mathbf{b}_1(\xi))+4 \mathbf{b}_1(\xi)^2+8 b_{1,1} \xi (1-\mathbf{b}_1(\xi))^2.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Имеем $\varepsilon_{2}=8 b_{1,1}=8 u_2$. Для $k \in \{2, 3, \dots, g\}$ уравнение (14) определяет $\varepsilon_{2k}$ как однородный полином с рациональными коэффициентами от $b_{1,s}$, $b_{2,s}$ и $b_{3,s}$, где $s \in \{1,3,\dots,2k-3\}$. Соотношения
$$
\begin{equation}
b_{1,2k-1}=\frac{1}{8} \varepsilon_{2k}-\frac12 \lambda_{2k}
\end{equation}
\tag{15}
$$
задают требующиеся выражения рекуррентно. Следствие 4.7. В теореме 3.1 если известны выражения (10), то действие $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ на $\mathcal{F}$ задается действием $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ на функцию $\wp_{1,1}$, заданным явно в следствии 3.2. Пример 4.8. В результате применения соотношений (15), получаем выражения для координат $b_{1,k}, b_{2,k}, b_{3,k}$, где $k \in \{ 1, 3, \dots, 2 g- 1\}$, как полиномов с рациональными коэффициентами от координат Дубровина–Новикова $u_{s}$ и параметров $\lambda_m$ гиперэллиптической кривой, например при $k=1,3,5$: Напомним, что решение параметрической иерархии Кортевега–де Фриза (см. [22]) в терминах гиперэллиптичеcкой функции $\wp_{1,1}$ любого рода $g$ следует из тождества где $k \in \{3, 5, \dots, 2g-1\}$. Так как в наших обозначениях $\wp_{1,k}=b_{1,k}$, то важными являются явные формулы, выражающие базисные функции $\wp_{1,k}$, где $k \in \{3, 5, \dots, 2g-1\}$, в виде полиномов от базисных функций Дубровина–Новикова с коэффициентами в кольце полиномов, порожденных коэффициентами гиперэллиптической кривой. См. формулы примера 4.8, вид которых не зависит от рода кривой.Рассмотрим в поле гиперэллиптических функций рода $g$ подкольцо, порожденное над полем рациональных чисел базисными функциями Дубровина–Новикова. Как показывают формулы примера 4.9, наши базисные функции $b_{1,k}$ не принадлежат этому кольцу, а являются рациональными функциями над полем рациональных чисел от базисных функций Дубровина–Новикова. Явные формулы этих рациональных функций важны, так как приводят к известным интегрируемым нелинейным дифференциальным уравнениям, не содержащим параметры, см. [14] и [24]. Пример 4.9. В явном виде в случае рода $g=2$ следствие 4.6 дает следующие выражения: 5. Примеры решений задачи 1.1Приведем явные формулы решения задачи 1.1 в случае $g=1,2$ и $3$. Для демонстрации приложения общих формул из теоремы 3.1 формулы ниже записаны в соответствии с формулировкой этой теоремы. 5.1. Род $g=1$Мы рассматриваем эллиптическую кривую в модели
$$
\begin{equation*}
\mathcal{V}_\lambda=\{(x, y)\in\mathbb{C}^2 \colon y^2=x^{3}+\lambda_4 x+\lambda_6\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме 2.1 операторы (8) имеют вид
$$
\begin{equation*}
H_{0} =z_1 \partial_1-1, \qquad H_{2} =\frac12 \partial_1^2-\frac16 \lambda_4 z_1^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Задача 1.1 имеет следующее решение: 1) образующие $\mathcal{F}$-модуля $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ – это операторы
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}_{0}=L_{0}-z_1 \partial_1, \qquad \mathcal{L}_{1}= \partial_1, \qquad \mathcal{L}_{2}=L_{2}-\zeta_1 \partial_1;
\end{equation}
\tag{16}
$$
2) структура алгебры Ли $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ задается коммутационными соотношениями
$$
\begin{equation*}
[\mathcal{L}_{0}, \mathcal{L}_1] =\mathcal{L}_1, \qquad [\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_{2}] =\wp_{1,1} \mathcal{L}_1, \qquad [\mathcal{L}_{0}, \mathcal{L}_{2}] =2 \mathcal{L}_{2};
\end{equation*}
\notag
$$
3) действие $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ на $\mathcal{F}$ задается для $m \in \{2,3\}$ формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{L}_{0} \lambda_{2m} =L_{0} \lambda_{2m}, \qquad \mathcal{L}_1 \lambda_{2m} =0, \qquad \mathcal{L}_{2} \lambda_{2m} =L_{2} \lambda_{2m}, \\ \mathcal{L}_{0} \wp_{1,1} =2 \wp_{1,1}, \qquad \mathcal{L}_1 \wp_{1,1} = \wp_{1,1,1}, \qquad \mathcal{L}_{2} \wp_{1,1} =\frac12 \wp_{1,1,1,1}-\wp_{1,1}^2+\frac13 \lambda_4. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заменой параметров эллиптической кривой $g_2=- 4 \lambda_4$, $g_3=- 4 \lambda_6$ с учетом выражений (3) мы получаем выражения § 1.2 работы [5]. Образующие (16) $\mathcal{F}$-модуля $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ были впервые найдены в [1]. 5.2. Род $g=2$Согласно теореме 2.1 операторы (8) имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_0&=z_1 \partial_1+3 z_3 \partial_3-3, \\ H_2 &=\frac12 \partial_1^2-\frac{4}{5} \lambda_4 z_3 \partial_1+ z_1 \partial_3-\frac{3}{10} \lambda_4 z_1^2+\biggl(\frac32 \lambda_8-\frac{2}{5} \lambda_4^2\biggr) z_3^2, \\ H_4&=\partial_1 \partial_3-\frac{6}{5} \lambda_6 z_3 \partial_1+ \lambda_4 z_3 \partial_3-\frac{1}{5} \lambda_6 z_1^2+\lambda_8 z_1 z_3+\biggl(3 \lambda_{10}-\frac{3}{5} \lambda_4 \lambda_6\biggr) z_3^2- \lambda_4, \\ H_6 &=\frac12 \partial_3^2-\frac{3}{5} \lambda_8 z_3 \partial_1-\frac{1}{10} \lambda_8 z_1^2+2 \lambda_{10} z_1 z_3-\frac{3}{10} \lambda_4 \lambda_8 z_3^2-\frac12 \lambda_6. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Задача 1.1 имеет следующее решение: 1) образующие $\mathcal{F}$-модуля $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ – это операторы $\mathcal{L}_{1}=\partial_1$, $\mathcal{L}_{3}= \partial_3$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{L}_{0} =L_{0}-z_1 \partial_1-3 z_3 \partial_3, \qquad \mathcal{L}_{2} =L_{2}-\zeta_1 \partial_1+\frac{4}{5} \lambda_4 z_3 \partial_1-z_1 \partial_3, \\ \mathcal{L}_{4} =L_{4}-\zeta_3 \partial_1-\zeta_1 \partial_3+\frac{6}{5} \lambda_6 z_3 \partial_1-\lambda_4 z_3 \partial_3, \qquad \mathcal{L}_{6} =L_{6}-\zeta_3 \partial_3+\frac{3}{5} \lambda_8 z_3 \partial_1; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
2) cтруктура алгебры Ли $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ задается коммутационными соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [\mathcal{L}_0, \mathcal{L}_1] =\mathcal{L}_1, \qquad [\mathcal{L}_0, \mathcal{L}_3] =3 \mathcal{L}_3, \qquad [\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_3]=0, \\ [\mathcal{L}_0, \mathcal{L}_2] =2 \mathcal{L}_2, \qquad [\mathcal{L}_0, \mathcal{L}_4] =4 \mathcal{L}_4, \qquad [\mathcal{L}_0, \mathcal{L}_6]=6 \mathcal{L}_6, \\ [\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_{2}] =\wp_{1,1} \mathcal{L}_1- \mathcal{L}_3, \qquad [\mathcal{L}_3, \mathcal{L}_{2}] =\wp_{1,3} \mathcal{L}_1+\frac{4}{5} \lambda_4 \mathcal{L}_1, \\ [\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_{4}] =\wp_{1,3} \mathcal{L}_1+\wp_{1,1} \mathcal{L}_3, \qquad [\mathcal{L}_3, \mathcal{L}_{4}] =\wp_{3,3} \mathcal{L}_1+\wp_{1,3} \mathcal{L}_3+\frac65 \lambda_6 \mathcal{L}_1-\lambda_4 \mathcal{L}_3, \\ [\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_{6}] =\wp_{1,3} \mathcal{L}_3, \qquad [\mathcal{L}_3, \mathcal{L}_{6}] =\wp_{3,3} \mathcal{L}_3+\frac35 \lambda_8 \mathcal{L}_1, \\ [\mathcal{L}_{2}, \mathcal{L}_{4}] =\frac12 \wp_{1,1,1} \mathcal{L}_3-\frac12 \wp_{1,1,3} \mathcal{L}_1+ \frac{8}{5}\lambda_6 \mathcal{L}_0 -\frac{8}{5}\lambda_4 \mathcal{L}_2+ 2 \mathcal{L}_6, \\ [\mathcal{L}_{2}, \mathcal{L}_{6}] =\frac12 \wp_{1,1,3} \mathcal{L}_3-\frac12 \wp_{1,3,3} \mathcal{L}_1+ \frac{4}{5}\lambda_8 \mathcal{L}_0 -\frac{4}{5}\lambda_4 \mathcal{L}_4, \\ [\mathcal{L}_{4}, \mathcal{L}_{6}] =\frac12 \wp_{1,3,3} \mathcal{L}_3-\frac12 \wp_{3,3,3} \mathcal{L}_1 -2\lambda_{10} \mathcal{L}_0+\frac{6}{5}\lambda_8 \mathcal{L}_2 -\frac{6}{5}\lambda_6 \mathcal{L}_4+2\lambda_4 \mathcal{L}_6; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
3) согласно следствию 4.7 действие $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ на $\mathcal{F}$ задается соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{L}_{0} \wp_{1,1} =2 \wp_{1,1}, \qquad \mathcal{L}_1 \wp_{1,1}= \wp_{1,1,1}, \qquad \mathcal{L}_3 \wp_{1,1}=\wp_{1,1,3}, \\ \mathcal{L}_{2} \wp_{1,1} =\frac12 \wp_{1,1,1,1}-\wp_{1,1}^2+2 \wp_{1,3}+\frac{3}{5} \lambda_4, \\ \mathcal{L}_{4} \wp_{1,1} =\wp_{1,1,1,3}-2 \wp_{1,1} \wp_{1,3}+ \frac{2}{5} \lambda_6, \qquad \mathcal{L}_{6} \wp_{1,1} =\frac12 \wp_{1,1,3,3}-\wp_{1,3}^2+ \frac{1}{5} \lambda_8. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы получаем выражения § 4.2 работы [5] (мы исправили опечатки, допущенные в [5]) и формулы теорем Б.3 и Б.6 в [14]. 5.3. Род $g=3$Согласно теореме 2.1 операторы (8) имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_0 &=z_1 \partial_1+3 z_3 \partial_3+5 z_5 \partial_5-6; \\ H_2 &=\frac12 \partial_1^2-\frac87 \lambda_4 z_3 \partial_1+ z_1 \partial_3-\frac47 \lambda_4 z_5 \partial_3+3 z_3 \partial_5 \\ &\qquad-\frac{5}{14} \lambda_4 z_1^2+\biggl(\frac32 \lambda_8-\frac47 \lambda_4^2\biggr) z_3^2+ \biggl(\frac52 \lambda_{12}-\frac{2}{7} \lambda_4 \lambda_8 \biggr) z_5^2; \\ H_4 &=\partial_1 \partial_3-\frac{12}7 \lambda_6 z_3 \partial_1+ \lambda_4 z_3 \partial_3-\frac67 \lambda_6 z_5 \partial_3+z_1 \partial_5+3 \lambda_4 z_5 \partial_5 \\ &\qquad-\frac{2}{7} \lambda_6 z_1^2+\lambda_8 z_1 z_3 +\biggl(3 \lambda_{10}-\frac67 \lambda_4 \lambda_6\biggr) z_3^2 \\ &\qquad+3 \lambda_{12} z_3 z_5+\biggl(5 \lambda_{14}-\frac37 \lambda_6 \lambda_8 \biggr) z_5^2 -3 \lambda_4; \\ H_6 &=\frac12 \partial_3^2+\partial_1 \partial_5-\frac97 \lambda_8 z_3 \partial_1-\frac87 \lambda_8 z_5 \partial_3+ \lambda_4 z_3 \partial_5+2 \lambda_6 z_5 \partial_5 \\ &\qquad-\frac{3}{14} \lambda_8 z_1^2+2 \lambda_{10} z_1 z_3+\biggl(\frac{9}{2} \lambda_{12}-\frac{9}{14} \lambda_4 \lambda_8\biggr) z_3^2 \\ & \qquad+\lambda_{12} z_1 z_5+6 \lambda_{14} z_3 z_5+\biggl(\frac32 \lambda_4 \lambda_{12}-\frac47 \lambda_8^2\biggr) z_5^2-2 \lambda_6; \\ H_8 &=\partial_3 \partial_5-\frac67 \lambda_{10} z_3 \partial_1+ \lambda_{12} z_5 \partial_1-\frac{10}{7} \lambda_{10} z_5 \partial_3+ \lambda_8 z_5 \partial_5 \\ &\qquad-\frac17 \lambda_{10} z_1^2+3 \lambda_{12} z_1 z_3+\biggl(6 \lambda_{14}-\frac37 \lambda_4 \lambda_{10}\biggr) z_3^2 \\ & \qquad+2 \lambda_{14} z_1 z_5+\lambda_4 \lambda_{12} z_3 z_5+ \biggl(3 \lambda_{4} \lambda_{14}+\lambda_6 \lambda_{12} -\frac57 \lambda_8 \lambda_{10}\biggr) z_5^2-\lambda_8; \\ H_{10} &=\frac12 \partial_5^2-\frac37 \lambda_{12} z_3 \partial_1+2 \lambda_{14} z_5 \partial_1-\frac57 \lambda_{12} z_5 \partial_3 -\frac{1}{14} \lambda_{12} z_1^2+4 \lambda_{14} z_1 z_3 \\ & \qquad - \frac{3}{14} \lambda_4 \lambda_{12} z_3^2 +2 \lambda_4 \lambda_{14} z_3 z_5+\biggl(2 \lambda_6 \lambda_{14}-\frac{5}{14} \lambda_8 \lambda_{12}\biggr) z_5^2-\frac12 \lambda_{10}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы получаем выражения § 5.3 работы [16] и § 2.3 работы [20]. Задача 1.1 имеет следующее решение: 1) образующие $\mathcal{F}$-модуля $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ – это операторы $\mathcal{L}_{1}=\partial_1$, $\mathcal{L}_{3}= \partial_3$, $\mathcal{L}_{5}=\partial_5$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{L}_0 &=L_0-z_1 \partial_{1}-3 z_3 \partial_{3}-5 z_5 \partial_{5}, \\ \mathcal{L}_2 &=L_2-\zeta_1 \partial_{1}+\frac87 \lambda_4 z_3 \partial_{1} - z_1 \partial_{3}+\frac47 \lambda_4 z_5 \partial_{3}-3 z_3 \partial_{5}, \\ \mathcal{L}_4 &=L_4-\zeta_3 \partial_{1}-\zeta_1 \partial_{3}+\frac{12}7 \lambda_6 z_3 \partial_{1}-\lambda_4 z_3 \partial_{3}+\frac67 \lambda_6 z_5 \partial_{3}-z_1 \partial_{5}-3 \lambda_4 z_5 \partial_{5}, \\ \mathcal{L}_6 &=L_6-\zeta_5 \partial_{1}-\zeta_3 \partial_{3}-\zeta_1 \partial_{5}+\frac97 \lambda_8 z_3 \partial_{1} +\frac87 \lambda_8 z_5 \partial_{3} -\lambda_4 z_3 \partial_{5}-2 \lambda_6 z_5 \partial_{5}, \\ \mathcal{L}_8 &=L_8-\zeta_5 \partial_{3}-\zeta_3 \partial_{5}+\frac67 \lambda_{10} z_3 \partial_{1}-\lambda_{12} z_5 \partial_{1} +\frac{10}{7} \lambda_{10} z_5 \partial_{3} -\lambda_8 z_5 \partial_{5}, \\ \mathcal{L}_{10} &=L_{10}-\zeta_5 \partial_{5}+\frac37 \lambda_{12} z_3 \partial_{1}-2 \lambda_{14} z_5 \partial_{1} +\frac57 \lambda_{12} z_5 \partial_{3}; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2) структура алгебры Ли $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ задается коммутационными соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [\mathcal{L}_0, \mathcal{L}_1] =\mathcal{L}_1, \qquad [\mathcal{L}_0, \mathcal{L}_2] =2 \mathcal{L}_2, \qquad [\mathcal{L}_0, \mathcal{L}_3] =3 \mathcal{L}_3, \qquad [\mathcal{L}_0, \mathcal{L}_4] =4 \mathcal{L}_4, \\ [\mathcal{L}_0, \mathcal{L}_5] =5 \mathcal{L}_5, \qquad [\mathcal{L}_0, \mathcal{L}_6] =6 \mathcal{L}_6, \qquad [\mathcal{L}_0, \mathcal{L}_8] =8 \mathcal{L}_8, \qquad [\mathcal{L}_0, \mathcal{L}_{10}] =10 \mathcal{L}_{10}, \\ [\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_3] =0, \qquad [\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_5]= 0, \qquad [\mathcal{L}_3, \mathcal{L}_5] =0, \\ [\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2] =\wp_{1,1} \mathcal{L}_1-\mathcal{L}_3, \qquad [\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_4] =\wp_{1,3} \mathcal{L}_1+\wp_{1,1} \mathcal{L}_3-\mathcal{L}_5, \\ [\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_6] =\wp_{1,5} \mathcal{L}_1+\wp_{1,3} \mathcal{L}_3+\wp_{1,1} \mathcal{L}_5, \qquad [\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_8]=\wp_{1,5} \mathcal{L}_3+\wp_{1,3} \mathcal{L}_5, \\ [\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_{10}] =\wp_{1,5} \mathcal{L}_5, \qquad [\mathcal{L}_3, \mathcal{L}_2] =\wp_{1,3} \mathcal{L}_1+\frac87 \lambda_4 \mathcal{L}_1-3 \mathcal{L}_5, \\ [\mathcal{L}_3, \mathcal{L}_4] =\wp_{3,3} \mathcal{L}_1+\wp_{1,3} \mathcal{L}_3+\frac{12}7 \lambda_6 \mathcal{L}_1-\lambda_4 \mathcal{L}_3, \\ [\mathcal{L}_3, \mathcal{L}_6] =\wp_{3,5} \mathcal{L}_1+\wp_{3,3} \mathcal{L}_3+\wp_{1,3} \mathcal{L}_5+\frac97 \lambda_8 \mathcal{L}_1-\lambda_4 \mathcal{L}_5, \\ [\mathcal{L}_3, \mathcal{L}_8] = \wp_{3,5} \mathcal{L}_3+\wp_{3,3} \mathcal{L}_5+\frac67 \lambda_{10} \mathcal{L}_1, \\ [\mathcal{L}_3, \mathcal{L}_{10}] =\wp_{3,5} \mathcal{L}_5+\frac37 \lambda_{12} \mathcal{L}_1, \qquad [\mathcal{L}_5, \mathcal{L}_2] =\wp_{1,5} \mathcal{L}_1+\frac47 \lambda_{4} \mathcal{L}_3, \\ [\mathcal{L}_5, \mathcal{L}_4] =\wp_{3,5} \mathcal{L}_1+\wp_{1,5} \mathcal{L}_3+\frac67 \lambda_6 \mathcal{L}_3-3 \lambda_4 \mathcal{L}_5, \\ [\mathcal{L}_5, \mathcal{L}_6] =\wp_{5,5} \mathcal{L}_1+\wp_{3,5} \mathcal{L}_3+\wp_{1,5} \mathcal{L}_5+\frac87 \lambda_8 \mathcal{L}_3-2 \lambda_6 \mathcal{L}_5, \\ [\mathcal{L}_5, \mathcal{L}_8] =\wp_{5,5} \mathcal{L}_3+\wp_{3,5} \mathcal{L}_5-\lambda_{12} \mathcal{L}_1+\frac{10}{7} \lambda_{10} \mathcal{L}_3-\lambda_8 \mathcal{L}_5 , \\ [\mathcal{L}_5, \mathcal{L}_{10}] =\wp_{5,5} \mathcal{L}_5 -2 \lambda_{14} \mathcal{L}_1+\frac57 \lambda_{12} \mathcal{L}_3, \\ [\mathcal{L}_2, \mathcal{L}_4] =- \frac12 \wp_{1,1,3} \mathcal{L}_1+\frac12 \wp_{1,1,1} \mathcal{L}_3+\frac{16}{7} \lambda_6 \mathcal{L}_0-\frac{16}{7} \lambda_4 \mathcal{L}_2+2 \mathcal{L}_6, \\ [\mathcal{L}_2, \mathcal{L}_6] =- \frac12(\wp_{1,3,3}+ \wp_{1,1,5}) \mathcal{L}_1+\frac12 \wp_{1,1,3} \mathcal{L}_3+ \frac12 \wp_{1,1,1} \mathcal{L}_5 +\frac{12}7 \lambda_8 \mathcal{L}_0-\frac{12}7 \lambda_4 \mathcal{L}_4+4 \mathcal{L}_8, \\ [\mathcal{L}_2, \mathcal{L}_8] =- \wp_{1,3,5} \mathcal{L}_1+\frac12 \wp_{1,1,5} \mathcal{L}_3+\frac12 \wp_{1,1,3} \mathcal{L}_5+\frac87 \lambda_{10} \mathcal{L}_0-\frac87 \lambda_4 \mathcal{L}_6+6 \mathcal{L}_{10}, \\ [\mathcal{L}_2, \mathcal{L}_{10}] =- \frac12 \wp_{1,5,5} \mathcal{L}_1+\frac12 \wp_{1,1,5} \mathcal{L}_5+\frac47 \lambda_{12} \mathcal{L}_0-\frac47 \lambda_4 \mathcal{L}_8, \\ \begin{split} [\mathcal{L}_4, \mathcal{L}_6] &=- \frac12 \wp_{3,3,3} \mathcal{L}_1+\frac12 (\wp_{1,3,3}-2 \wp_{1,1,5}) \mathcal{L}_2+\wp_{1,1,3} \mathcal{L}_5 \\ &\qquad-2 \lambda_{10} \mathcal{L}_0+\frac{18}{7} \lambda_8 \mathcal{L}_2-\frac{18}{7} \lambda_6 \mathcal{L}_4+2 \lambda_4 \mathcal{L}_6+2 \mathcal{L}_{10}, \end{split} \\ [\mathcal{L}_4, \mathcal{L}_8] =- \wp_{3,3,5} \mathcal{L}_1+ \wp_{1,3,3} \mathcal{L}_5-4 \lambda_{12} \mathcal{L}_0+\frac{12}7 \lambda_{10} \mathcal{L}_2-\frac{12}7 \lambda_6 \mathcal{L}_6+4 \lambda_4 \mathcal{L}_8, \\ \begin{split} [\mathcal{L}_4, \mathcal{L}_{10}] &=- \frac12 \wp_{3,5,5} \mathcal{L}_1-\frac12 \wp_{1,5,5} \mathcal{L}_3+\wp_{1,3,5} \mathcal{L}_5 -6 \lambda_{14} \mathcal{L}_0+\frac67 \lambda_{12} \mathcal{L}_2-\frac67 \lambda_6 \mathcal{L}_8+6 \lambda_4 \mathcal{L}_{10}, \end{split} \\ \begin{split} [\mathcal{L}_6, \mathcal{L}_8] &=- \wp_{3,5,5} \mathcal{L}_1+\frac12 (2 \wp_{1,5,5}-\wp_{3,3,5}) \mathcal{L}_3+\frac12 \wp_{3,3,3} \mathcal{L}_5 \\ & \qquad- 2 \lambda_{14} \mathcal{L}_0-2 \lambda_{12} \mathcal{L}_2 +\frac{16}{7} \lambda_{10} \mathcal{L}_4-\frac{16}{7} \lambda_8 \mathcal{L}_6+2 \lambda_6 \mathcal{L}_8+2 \lambda_4 \mathcal{L}_{10}, \end{split} \\ \begin{split} [\mathcal{L}_6, \mathcal{L}_{10}] &=- \frac12 \wp_{5,5,5} \mathcal{L}_1-\frac12 \wp_{3,5,5} \mathcal{L}_3+\frac12 (\wp_{3,3,5}+\wp_{1,5,5}) \mathcal{L}_5 \\ &\qquad-4 \lambda_{14} \mathcal{L}_2+\frac87 \lambda_{12} \mathcal{L}_4-\frac87 \lambda_8 \mathcal{L}_8+4 \lambda_6 \mathcal{L}_{10}, \end{split} \\ [\mathcal{L}_8, \mathcal{L}_{10}] =- \frac12 \wp_{5,5,5} \mathcal{L}_3+\frac12 \wp_{3,5,5} \mathcal{L}_5-2 \lambda_{14} \mathcal{L}_4+\frac{10}{7} \lambda_{12} \mathcal{L}_6-\frac{10}{7} \lambda_{10} \mathcal{L}_8+2 \lambda_8 \mathcal{L}_{10}; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
3) согласно следствию 4.7 действие $\operatorname{Der} \mathcal{F}$ на $\mathcal{F}$ задается формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{L}_{0} \wp_{1,1} =2 \wp_{1,1}, \qquad \mathcal{L}_1 \wp_{1,1}= \wp_{1,1,1}, \qquad \mathcal{L}_3 \wp_{1,1}=\wp_{1,1,3}, \qquad \mathcal{L}_5 \wp_{1,1}=\wp_{1,1,5}, \\ \mathcal{L}_{2} \wp_{1,1} =\frac12 \wp_{1,1,1,1}-\wp_{1,1}^2+2 \wp_{1,3}+\frac{5}{7} \lambda_4, \\ \mathcal{L}_{4} \wp_{1,1} =\wp_{1,1,1,3}-2 \wp_{1,1} \wp_{1,3}+2 \wp_{1,5}+\frac{4}{7} \lambda_6, \\ \mathcal{L}_{6} \wp_{1,1} =\frac12 \wp_{1,1,3,3}-\wp_{1,3}^2+ \wp_{1,1,1,5}-2 \wp_{1,1} \wp_{1,5}+\frac{3}{7} \lambda_8, \\ \mathcal{L}_{8} \wp_{1,1} =\wp_{1,1,3,5}-2 \wp_{1,3} \wp_{1,5}+ \frac27 \lambda_{10}, \qquad \mathcal{L}_{10} \wp_{1,1} =\frac12 \wp_{1,1,5,5}-\wp_{1,5}^2+ \frac{1}{7} \lambda_{12}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BunBuc23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|